直接证明和间接证明(4个课时)教(学)案
数学：2.2.1《直接证明与间接证明-综合法和分析法》PPT课件(新人教选修2-2)
A
2
O
F
5
C
-2 -4
B
-6
作业：Ｐ１０２
Ａ组２，Ｂ组２
2.2直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法(2)
复习
一般地，利用已知条件和某些已经学 过的定义、定理、公理等，经过一系列 的推理、论证，最后推导出所要证明的 结论成立，这种证明方法叫做综合法。
特点:“由因导果”
a+b 回顾基本不等式： 2
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
例:.已知a、b、c为不全相等的正数， b+c-a c+a-b a+b-c 求证： + + > 3. a b c
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
Q P1
P1 P2
2 2 2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
直接证明和间接证明(4个课时)教案
直接证明和间接证明(4个课时)教案
2．2直接证明与间接证明
教学目标：
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；
（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；
（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：
1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）
2．重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题证明方法的选择．
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．
由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．
由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．
③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．
变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.
④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析
2.2直接证明与间接证明
为止.
综合法
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件
吻合为止.
分析法
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
直接证明（例题）
例1 如图，已知AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证：CE DF.
三天过去丞相没有找到.他儿子说:”我去见 国王,你在家”
国王问你父亲怎么没来?
丞相的儿子说了一句话,使得国王赦免了他 父亲.你知道他说了什么吗?
间接证明
反证法(reduction to absurdity)：是间
接证明的一种基本方法，对于这种方法， 我们在日常生活中并不陌生，在我们日 常生活中，我们经常不自觉的利用这种 方法来解决一些实际问题。
2.2 直接证明与间接证明
直接证明
直接证明（问题情境）
如图，四边形ABCD是平行四边形
求证：AB=CD，BC=DA
证 连接AC，因为四边形ABCD
是平行形四边形，所以 AB// CD，BC// DA
故 1 2，3 4. 因为 AC CA 所以 ABC CDA 故
AB=CD,BC=DA.
直接证明
直接证明
证法2 要证 只要证
ab a b 2
2 ab a b
第七章 学案38 直接证明与间接证明
学案38 直接证明与间接证明
导学目标： 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．
自主梳理 1．直接证明 (1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件，Q 表示要证的结论)．
(2)分析法
①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．
②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.
2．间接证明
反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
自我检测
1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
2．(2011·揭阳模拟)用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”的假设内容应是( ) A.3a ＝3
b
B.3a <3b
C.3a ＝3b 且3a <3b
D.3a ＝3b 或3a <3b
高中数学_直接证明与间接证明教学设计学情分析教材分析课后反思
3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)
练习:已知a,b>0,求证
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义.
证明:
.
再给大家出一句诗：问渠那得清如许，接下一句，点题引入分析法。
二.分析法
1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
①若m⊂á,n⊂á,m∥â,n∥â,则á∥â;
②若n⊂á,m⊂â,á与â相交且不垂直,则n与m不垂直;
③若á⊥â,á∩â=m,m⊥n,则n⊥â;
④若m∥n,n⊥á,á∥â,则m⊥â.
其中所有真命题的序号是.
7.如果a+b>a+b,则实数a,b应满足的条件是.
8.若siná+sinâ+sinã=0,cosá+cosâ+cosã=0,则cos(á-â)=.
效果分析：学生通过自己思考和小组讨论能够将理论知识与实际题目联系起来，对分析法学生还是很有兴趣的，但是从学生后续的表现来看，学生比较陌生，用此法解题出错率还是很高。造成的具体原因是学生对反向思维不熟悉，本身难度较大，其他的教学设计也会存在相同的问题，今后在进行教学设计时候应该考虑到这个问题，要将难点简单化
直接证明与间接证明(教师版)
一、直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的、、等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明，常用直接证明方法和
1：综合法：一般的，利用已知条件和某些数学、、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。
综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知
1→可知
2
→…结论”。
2：分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使成立的条件，直至最后，把证明的结论归结为判定一个为止，这种证明方法叫做分析法，
分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知
1→需知
2
→…已知”。
说明：在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合；没有综合也没有分析。问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法导主导地位，而分析法伴随着它。
二、间接证明：
1：反证法：一般的，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明力原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
在反证法中，经过正确的推理后：“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与矛盾，与矛盾，或与矛盾。
2：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：，。在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n成立。
说明：1.归纳法: 由特殊事例推出一般结论的推理方法.有不完全归纳法,完全归纳法.
2.数学归纳法:对于与正整数有关的命题证明：
①当n=n0（每第一个值）时成立；②假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题成立；这就证明了命题对n0以后的所有正整数都成立。
《间接证明》教学设计
学科：数学
年级：高一
教材：
学校：江苏省羊尖高级中学
作者：夏晓静
《间接证明》教学设计
知识背景：教材在紧接着直接证明开展了本节内容，实际是要求学生能够根据不同的题目类型采取不一样的证明方法。感受不同证明方法的逻辑性，体会逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，从而有助于发展学生的数学思维能力，形成理性思维和科学精神。
教材分析：历年高考中都要考察证明，以考察综合法为主，有时也考察到反证法，涉及立体几何，解析几何，不等式，方程等知识，因此把握好反证法这种证明方法的思考过程和步骤是关键。教材在接着直接证明安排了间接证明的内容，主要是在两种证法的比较之下学生更好的比较学习、更好的理解间接证明的逻辑依据和证明步骤。教材内容从定义——逻辑依据——证明步骤——例题分析。符合学生的学习习惯思维。
教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：理解反证法的思考过程、特点
教学难点：反证法的思考过程、特点，归谬的过程
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学过程：
1.情境设置
（配合幻灯片讲述）
（1）古时候，王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
第48讲 直接证明与间接证明
答案：D
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．如果 a>0，b>0，则有( b2 A. a >2b－a b2 C. a <2b－a
) b2 B. a ≥2b－a b2 D. a ≤2b－a
b2 解：要比较 a 与 2b－a 的大小，因为 a>0，即比较 b2 与 2ab－a2 的大小，因为 a2＋b2≥2ab，所以 b2≥2ab－a2， b2 从而 a ≥2b－a. 答案：B
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．反证法
一般地， 假设 原命题的结论不成立 ， 经过 正确的推理 ， 假设错误 最后得出 矛盾 ，因此说明 ，从而证明 了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．下面的两个不等式： ①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； ② 3＋2 2<2＋ 7. 其中恒成立的有( A．只有① C．①和② ) B．只有② D．①和②都不成立
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．数学证明常用的方法有直接法和间接法．综合法 和分析法是直接证明的常用方法， 也是解决数学问题的常 用思维方式． 当数学问题直接证明比较困难或直接证明无 法进行时， 可以采用间接证明， 间接证明最主要的方法是 反证法． 2．解决数学问题时常将分析法和综合法联合使用， 即“由已知看可知， 由所求看需知”， 从而达到条件与结 论的沟通． 分析法一般用于解决问题思路方面的探求， 综 合法表述简洁，规范．因此，可用分析法寻找解题思路， 用综合法书写解题过程．
高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义(含解析)苏教版选
直接证明
[对应学生用书P26]
1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.
证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，
又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.
故2a＋2b≥42成立．
问题1：本题利用什么公式？
提示：基本不等式．
问题2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
2．求证：3＋22<2＋7.
证明：要证明3＋22<2＋7，
由于3＋22>0,2＋7>0，
只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，
展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．
所以3＋22<2＋7成立．
问题1：本题证明从哪里开始？
提示：从结论开始．
问题2：证题思路是什么？
提示：寻求上一步成立的充分条件．
1．直接证明
(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．
(2)直接证明的一般形式
⎭
⎪⎬⎪
⎫本题条件已知定义
已知公理
已知定理⇒…⇒本题结论．
2．综合法和分析法
直接证明 定义
推证过程
综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法
已知条件⇒…⇒…⇒结论
分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法 结论⇐…⇐…⇐已知条件
1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．
2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．
2014届高三数学总复习 7.2直接证明与间接证明教案 新人教A版
2014届高三数学总复习 7.2直接证明与间接证明教案 新人教A
1. 已知向量m ＝(1，1)与向量n ＝(x ，2－2x)垂直，则x ＝________． 答案：2
解析：m ·n ＝x ＋(2－2x)＝2－x. ∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0，即x ＝2.
2. 用反证法证明命题“如果a>b ，那么3a>3
b ”时，假设的内容应为______________． 答案：3a ＝3b 或3a<3b
解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即3a ＝3b 或3a<3
b. 3. (选修12P 44练习题3改编)6－22与5－7的大小关系是______________． 答案：6－22>5－7
解析：由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．
4. 定义集合运算：A·B＝{Z|Z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A·B 的所有元素之和为________．
答案：0
解析：依题意知α≠k π＋π
4，k ∈Z .
①α＝k π＋3π4(k∈Z )时，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫
22，－22，
A ·
B ＝⎩⎪⎨⎪
⎧⎭⎪
⎬⎪⎫0，
22，－22； ②α＝2k π或α＝2k π＋π
2
(k∈Z )时，B ＝{0，1}，A ·B ＝{0，1，－1}；
③α＝2k π＋π或α＝2k π－π
2
(k∈Z )时，B ＝{0，－1}，A ·B ＝{0，1，－1}；
《直接证明与间接证明》教案正式版
《直接证明与间接证明》教案
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且1
2....1n a a a +++=，则
12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c
++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) >
6abc .
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c
+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
直接证明与间接证明
【点评】(1)用反证法证明命题“若 p，则 q” 时，可能出现以下三种情况： ①导出非 p 为真，即与原命题的条件矛盾； ②导出 q 为真，即与假设“非 q 为真”矛盾； ③导出一个恒假命题． (2)一般地，以下题型宜用反证法： ①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、 更具体、更明确时，宜考虑用反证法去证．
sinx1＋x2 sinx1＋x2 只需证明 ＞ ， 2cosx1cosx2 1＋cosx1＋x2 π 由于 x1，x2∈(0， )，故 x1＋x2∈(0，π)． 2 ∴cosx1cosx2＞0，sin(x1＋x2)＞0,1＋cos(x1＋x2)＞0， 故只需证明 1＋cos(x1＋x2)＞2cosx1cosx2， 即证 1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2＞2cosx1cosx2， 即证 cos(x1－x2)＜1. π 这由 x1，x2∈(0， )，x1≠x2 上式是显然成立的． 2 x1＋x2 1 因此， [f(x1)＋f(x2)]＞f( )． 2 2
【解析】①a2＋ab>2b2，即 a2＋ab－2b2>0，即：(a b2 9 2 ＋ ) － b >0，不一定成立； 2 4 ②当 a＝0，b<0 时，显然不成立． ③a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0 成立， 故 a2＋b2≥2(a－b－1)成立． ④当 a，b 异号时显然不成立．
【知识要点】 1．直接证明 (1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明 称为 直接证明 .综合法和分析法是直接证明中 最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用 的思维方法． (2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定 理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为 止．这种证明方法常称为 综合法 .
第五节 直接证明与间接证明
[解题方略] 综合法证明问题的思路
考法(二) 分析法 [例2] 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A， B，C的对边分别为a，b，c. 求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
[证明] 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，也就是a＋c b＋b＋a c＝1， 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC的三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°， 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立． 于是原等式成立．
[解题方略] 1．利用分析法证明问题的注意点 先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条 件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法 则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．
2．分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过 程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别 是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
第(2)问
求什 么想 什么
给什 么用 什么
差什 么找 什么
要证明数列{bn}中不存在不同的三项成等比 数列，想到应用反证法
已知bn＝
Sn n
及(1)可以写出{bn}中的任意不同
高中数学选修1-2直接证明与间接证明--反证法(ppt)
反证法
复习
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推理证明结论的真实性。 常用的直接证明方法有综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。 在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。 先用分析法寻求解题思路，再用综合法解答或证明；有时要 分析法和综合法结合起来交替使用。 间接证明不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反 面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。 反证法就是一种常用的间接证明方法。
2
例5 求证：
是无理数。 2
证明：假设 2不是无理数，则 2是有理数 m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
（1）与已知条件矛盾；（2）与公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
注意：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析， 洞察矛盾。
应用反证法的情形：
⑴直接证明困难; ⑵需分成很多类进行讨论． ⑶结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 题； ⑷结论为 “唯一”类命题； ---类命
反证法的思维方法：正难则反
补充作业：求证： lg 2是无理数
高中数学《推理与证明》导学案
第二章 推理与证明
2.2直接证明与间接证明
2.2.1综合法和分析法（第1课时）
一、学习目标
1． 理解综合法的概念
2． 熟练的运用综合法证题. 【重点、难点】
综合法的思路和特点 二、学习过程 1.综合法的定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.
2.综合法的流程
其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要 证明的结论,Q1,Q2,…,Qn 表示中间结论.
【典型例题】
例1.已知a>0,b>0,求证a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc
例2.已知:a,b,c 三数成等比数列,且x,y 分别为a,b 和b,c 的等差中项. 求证:
2a b
x y
+=.
【变式拓展】
已知a+b+c=1,求证：ab+bc+ca ≤错误!未找到引用源。.
三、学习总结
综合法：从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论。是我们经常用的常规证明方法之一。 四、随堂检测
1.若实数x,y 满足不等式xy>1,x+y ≥0,则( ) A.x>0,y>0 B.x<0,y<0 C.x>0,y<0
D.x<0,y>0
2.已知x>0,y>0,x+y=1,求证：(1+错误!未找到引用源。)(1+错误!未找到引用源。)≥9.
第二章 推理与证明
2.2直接证明与间接证明
2.2.1综合法和分析法（第2课时）
一、学习目标
1.理解分析法的概念
证明方法(共5篇)
证明方法（共5篇）
第1篇：证明方法
2.2直接证明与间接证明BCA案
主备人：史玉亮审核人:吴秉政使用时间：2012年2-1 1学习目标：
1.了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法。了解间接证明的一种基本方法——反证法。
2.了解综合法和分析法的思考过程与特点，并会用两种方法证明。了解反证法的解题步骤，思维过程及特点。
重点：
1.对综合法和分析法的考查是本课的重点。应用反证法解决问题是本课考查的热点。
2.命题时多以考查综合法为主，选择题、填空题、解答题均有可能出现。反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。
B案
一、直接证明
1.定义：直接证明是从___________或___________出发的，根据已知的_________、________________，直接推证结论的真实性。
2.直接证明的方法：______________与
________________。
二、综合法
1.定义：综合法是从___________推导到______________的思维方法。具体地说，综合法从__________除法，经过逐步的___________，最后达到_______________。
…
三、分析法
1.定义：分析法是从__________追溯到__________的思维方法，具体地说，分析法是从________出发，一步一步寻求结论成立的____________，最后达到
_________或__________。
…
四、反证法的定义
由证明p q 转向证明p r t,t与_________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定_________，推出
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2．2直接证明与间接证明
教学目标：
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；
（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；
（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：
1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）
2．重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题证明方法的选择．
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．
由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．
由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．
③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．
变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.
④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．
③综合法证明不等式的逻辑关系是：
（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．
②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）
④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.
（5）关于分析法与综合法关系
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．
②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．
④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．
第一课时不等式的证明（比较法）
教学目标
1．掌握证明不等式的方法——比较法；
2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．
教学重点:比较法的意义和基本步骤.
教学难点:常见的变形技巧.
教学方法；启发引导法.
教学过程：
（－）导入新课
教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？
找学生回答问题．
（学生回答：，，，）
［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．
目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
作差比较法
[问题] 求证
教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．
学生研究证明不等式，尝试完成问题．
［本问点评］
①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．
②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．
③理论依据是：
④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．
目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．
【例题示，学会应用】
教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．
例1．求证
［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵
＝
＝，
∴．
［本例点评］
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;
②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;
③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;
④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．