对一道竞赛题解法的分析

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国际信息学奥林匹克竞赛2023题解

国际信息学奥林匹克竞赛（International Olympiad in Informatics，简称IOI）是一项面向高中生的信息学竞赛，旨在促进全球信息学教育和人才培养。

每年都会有来自世界各地的优秀学生参加这一盛事，并通过解决一系列复杂的编程问题来展示他们的才华。

作为一项高级的信息学竞赛，IOI赛题往往涉及到算法和数据结构的深度思考，考验选手在编程能力和解决问题能力上的造诣。

2023年国际信息学奥林匹克竞赛的题目更是备受瞩目，接下来我们就来深度剖析这些题目并提供解题思路。

第一道题目：“字符串排列”题目描述：给定一个长度为n的字符串s，求出它的所有排列方式，并将其按字典序输出。

解题思路：1. 我们可以利用递归的方法来求解字符串的全排列。

具体地，可以将字符串s的第一个字符与后面的字符依次交换，然后对剩下的字符串进行全排列，直到交换完成一次排列。

这样就可以得到字符串s所有的排列方式。

2. 在程序设计的过程中，我们要注意剪枝操作，可以通过设定一个标志数组来记录某个字符是否已经被使用过，从而避免重复排列的情况。

这道题目的解法较为经典，通过深入的逻辑分析和编程技巧，可以很好地完成题目要求。

第二道题目：“最大子段和”题目描述：给定一个长度为n的整数序列，求出其连续子段的和的最大值。

解题思路：1. 一个直观的解法是利用动态规划来解决这个问题。

具体地，我们可以设置一个dp数组，dp[i]表示以第i个数结尾的最大子段和，然后通过递推式dp[i] = max(nums[i], dp[i-1]+nums[i])来更新dp数组。

2. 在实现过程中，我们要注意处理边界情况和初始化操作，以及在遍历过程中及时更新最大子段和的值。

这道题目需要考虑到较多的边界情况和递推关系，是一道非常有挑战性的动态规划问题。

总结回顾：国际信息学奥林匹克竞赛2023的题目涵盖了递归、动态规划等多个领域，对选手的算法能力和编程功底提出了很高的要求。

从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧

从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧题：设湖岸MN 是一条直线，有一小船自岸边的A 点沿与湖岸成α＝15°角的方向匀速向湖中驶去，有一个人自A 点同时出发，，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度为v1 =4m/s ，在水中游泳的速度为v2＝2m/s ，试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船？方法1：微元法如图，设人在D 点入水并在B 点刚好能追上小船，这表明：此时人追上小船所用时间最少，对应的小船速度最大.D 点两侧各有入水点C 和E ，使得在该处入水追船所用时间相等.现设C 、E 是D 点两侧附近无限靠近D 点的两点，并设分别从C 、E 点入水追小船所用总时间相等.现在BC 段截取BF=BE ，那么∠BFE ＝90°.由于从C 、E 点入水追小船所用总时间相等，所以，人在CE 段走与在CF 段游泳所用时间相等.于是因为C 、E 两点无限靠近D 点，所以∠BDN ＝θ＝60°，作BK ⊥BD 交MN 于K ，于是DK=2BD.又因为v1=2v2,则人游DK 段与走DK 段所用时间相等.所以人自出发经D 点再到B 点与人由A 点一直走到K 点所用时间相同，并都等于小船从A 到B 所用的最少时间.即有在⊿ABK 中，用正弦定理可得：那么方法2：类比法设想MN 为甲和乙两种介质的分界面，光在甲中的速度为v1，在乙中的速度为v2，据费马原理可知，B →D →A 是光从B 传到A 费时最少的路径，而β是临界角. 这可类比本题人从A 经D 到B 的追船情况.由此得：下面解法与方法1相同.最后可得： 21v CF v CE =21cos ==CE CF θ︒=60θ1max v AK v AB =21135sin 30sin =︒︒=AK AB )/(2222211max s m v v v ===︒==30arcsin 12v v β)/(22max s m v =方法3：图解法如图，设人开始运动就一直游泳，那么他能到达的区域是以A 为圆心、以v2t 为半径的半圆中的任何一点，若他一直沿湖岸走，那么他在t 时间内可以到达AK ＝v1t 中的任何一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么他可以在t 时间内到达图中⊿AEF 中的任何一点.所以，他若能追上船，船也必须在t 时间内到达这区域.由于题设小船沿α角的方向运动，所以沿此方向的直线与EK 线的交点B 是船以最大速度运动且又能被人追上的地点.在Rt ⊿AEK 中，因为AK=2AE ，所以∠AKE ＝30°，于是，∠ABK ＝180 °－15 °－ 30°＝135°在⊿ABK 中,据正弦定理得：而所以：方法4：矢量图解法设人先沿岸走一段，再入水追船，以船为参考系，由于人和船是同时由A 点出发的，则人在沿岸走时，船看到人正在由船所在位置逐渐“离去”，离去的相对速度u 1为：要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度u 2必须沿u 1的反方向，返回的相对速度u 2为：作图：（1）以MN 线上的A 点为起点作矢量v 1得K 点；（2）以A 点为圆心，以v2的大小为半径作圆;（3）作直线AC ，使它与MN 线的夹角为α＝15°；设K 点与圆上的任一点E 的连线与AC线的交点为B ，则AB 表示船速，BK 表示人相对船的“离开”速度u 1，而BE 表示人相对船的“返回”速度u 2.显然，当KE 与圆相切时，AB 线最长，表示船速最大，由此有作图步骤:（4）作KE 与圆相切于E 点，并与AC 相交于B 点.由于AK=AE ，所以，∠AKF ＝30°，∠ABE ＝45°.因而⊿ABE 为等腰直角三角形，那21135sin 30sin =︒︒=AK AB 1max 1max v v t v t v AK AB ==)/(2222211max s m v v v ===v v u -=11vv u -=22方法5：等效法设人在B 点追上船，则人到达B 点可能有很多途径，如A →C →B ，A →D →B,A →E →B 等,这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速，作∠NAP ＝30°，并分别作CK,DH,EF 垂直AP ，其中设BDH 为直线，又设想MN 线下方也变成湖水区域，则因为AC=2CK,所以人由K 点游泳到C 点所用时间与人在岸上走由A 点到C 点所用时间是相等的.故人按题设情况经路径A →C →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径K →C →B 所用时间相等，同理，人按题设情况经路径A →D →B所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径H→D →B 所用时间相等，人按题设情况经路径A→E →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径F →E →B 所用时间相等，显然，在这些途径中，因为HDB 是直线，因此所用时间最少.由以上分析可知，人沿等效途径HDB 游泳就费时最少地刚好追上船，这对应着最大船速，设为vmax ，则有因为⊿AHB 是等腰直角三角形，所以故得方法6：极值法（利用三角函数）如图，设人沿岸走到D 点时，船航行到C 点，此时人入水游泳就刚好能在B 点追上船. 在⊿ACD 中应用正弦定理得又设此时船速为v ，人由A 点走到D 点耗时为t ，则由以上两式得又在⊿CDB 中应用正弦定理得设人游过DB 段所用时间为t ’,则由以上两式得由（1）、（2）式，并注意v 1=2v 2，可得又由于，要v 尽可能大，即需AC/AD 尽可能大，而θ越大，则AC 越大，由于 )/(2222max s m v v ==2max v BH v AB =BHAB 2=)/(2222max s m v v ==AC AD =--)sin()sin(αθθπvtAC t v AD ==,1BC BD =--)sin(sin βθπθt v CB t v BD '='=,2)2()sin(sin 2v v =+βθθ)1()sin(sin 1v v =-αθθ)3()sin(2)sin(αθβθ-=+1v v AD AC =α为恒量，则θ越大，则θ－α也越大，且（θ－α）为锐角，则sin （θ－α）随（θ－α）增大而增大，故得sin （θ－α）最大时，θ最大，由（3）式可见，当sin （θ＋β）＝1时，sin （θ－α）有最大值为1/2，此时对应的θ值为450，此时得β=450，于是⊿CDB 是等腰直角三角形，则有所以：方法7：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设船出发后经时间t 被人追上.则船的位移为s=v t ，又设人在岸上走用时为kt （0<k<1)，位移为s1=k v 1t,人在湖中游用时为(1－k)t （0<k<1)，位移为s2=(1-k)v 2t.那么，据余弦定理有：把s 、s1、s2的表达式及v 1、v 2的值代入并整理可得于是有要这方程有实数解，其判别式⊿应满足：由此可解得：或由本题的物理情景可知只能取：方法8：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设人在岸上D 处入水追船，运动方向与湖岸成θ角,并在B 点处追上船，这人由A →D →B 用时为t .则上式表明：t 与θ有关，且在d 、L 、v 1、v 2一定时，由θ决定,研究函数两边平方得：整理后得：此方程有实数解的条件是：判别式⊿≧0，即有由此解得：所以：由（3）、（4）式得：这表明当θ＝60°时，函数y 有最小值，由（1）式知此时t 有最小值,对应的船速有最大值.)/(2222max s m v v ==αcos 2121222ss s s s -+=︒-+=-15cos 816)1(4222kv v k k 2213432230cos 115cos +=+=︒+=︒0)4(]8)26(2[1222=-+-+-v k v k 0)4(48]8)26(2[22≥---+=∆v v 22≤v )13(22+≥v )/(22max s m v =θθsin cot 21v d v d L t +-=)1()sin cos sin 1(121d v v v L θθθ-+=)2(sin cos sin 112θθθv v y -=θθθ2222122221212sin cos cos 2v v v v v v y +-=)3()cos 1(cos cos 2222212222121θθθ-+-=v v v v v v 0)1(cos 2cos )(222212122222212=-+-+v y v v v v v v y θθ0)1()(442222122222122221≥-+-v y v v v v y v v 222122212v v v v y -≥)4(222122212min v v v v y -=21cos 12==v v θ︒=60θ)315(cot )3132(15cot 1121min+︒=-+︒=v d v v v d t )315(cot 15sin sin 1min min max+︒︒===v t d t AB v θ。

38届物理竞赛预赛解析

38届物理竞赛预赛解析导言38届物理竞赛预赛作为一场重要的学术竞赛，吸引了众多物理爱好者的参与。

本文将对此次竞赛的题目进行解析，以帮助读者更好地理解和掌握其中的物理知识。

一、第一题第一题主要考察了电路的基本知识。

题目要求根据已知的电阻值和电源电压，计算电路中的电流强度，并求出电源所消耗的功率。

解题时，我们可以根据欧姆定律和功率公式进行计算，得出最终结果。

需要注意的是，题目中提到了电源的两个端点，我们要正确判断电流的流向，以保证计算结果的准确性。

二、第二题第二题涉及到了光的折射现象。

题目给出了两个介质的折射率和入射角度，要求计算出折射角度。

在解答这道题时，我们可以运用折射定律，根据已知的数据进行计算，最终得出结果。

此外，还需要注意角度的单位，确保计算过程的准确性。

三、第三题第三题是一道力学题，考察了物体在斜面上的运动。

题目给出了物体的质量、斜面的倾角和摩擦系数，要求计算物体在斜面上的加速度。

解答这道题时，我们可以运用牛顿第二定律和斜面上物体的受力分析，得出加速度的表达式，并进行计算。

需要注意的是，题目中提到了摩擦系数，我们要根据具体情况选择合适的模型进行计算。

四、第四题第四题是一道热学题，涉及到了热传导和温度变化。

题目给出了两个物体的初始温度和热传导系数，要求计算它们达到热平衡时的温度。

解答这道题时，我们可以运用热传导定律，根据已知的数据进行计算，最终得出结果。

需要注意的是，题目中提到了热传导系数，我们要根据具体情况选择合适的公式进行计算。

五、第五题第五题是一道电磁学题，涉及到了电场和电势能。

题目给出了电场强度和电荷间的距离，要求计算电势能的变化。

解答这道题时，我们可以运用电势能的定义和电场强度的公式，根据已知的数据进行计算，最终得出结果。

需要注意的是，题目中提到了电场强度的方向，我们要正确判断电势能的变化情况。

六、第六题第六题是一道光学题，涉及到了光的干涉现象。

题目给出了两束光的波长和相位差，要求计算出干涉条纹的间距。

高数建模比赛真题答案解析

高数建模比赛真题答案解析高数建模比赛是大学生数学建模领域中的一项重要竞赛，对于培养学生的数学建模能力和创新思维具有重要意义。

在这篇文章中，我们将从几道典型的高数建模比赛真题入手，解析其中的解题思路和求解方法。

第一道题目是关于人口增长的问题。

假设某国当前的人口数量为P0，年增长率为r。

题目要求我们计算若干年后的人口数量。

首先，我们可以列出一个递推公式来表示人口数量的变化。

每年的人口数量可以表示为Pn+1 = Pn + rPn，其中Pn表示第n年的人口数量。

可以通过迭代计算的方式，得到若干年后的人口数量。

接下来的问题是如何求解这个递推公式。

我们可以采用MATLAB等数学软件来编写一个循环程序，计算若干年后的人口数量。

首先，我们需要给出初始条件P0和增长率r。

然后，设置一个循环，逐个计算每年的人口数量，直到达到预定的年份为止。

最后，程序会输出若干年后的人口数量。

第二道题目是关于微分方程的求解。

题目描述了某一过程的速率与其自身值之间的关系。

我们需要求解这个微分方程，并列出其解析解。

首先，我们将问题转化为一个微分方程的初值问题。

对于速率与值之间的关系，我们可以表示为dv/dt = kv，其中v表示过程的速率，t表示时间，k表示比例常数。

然后，我们可以通过分离变量和积分的方法，解出这个微分方程。

最后，我们还可以根据初值条件得到具体的解析解。

接下来的问题是如何求解这个微分方程。

我们可以采用数值方法来求解。

例如，我们可以采用欧拉法或龙格-库塔法进行数值计算。

首先，我们需要给出初始条件v0、时间步长Δt和求解的时间范围。

然后，我们可以通过迭代的方式，逐次计算出每个时间点的速率值，直到达到所求解的时间范围为止。

最后，我们可以绘制出速率随时间变化的曲线图。

在高数建模比赛中，还涉及到其他类型的题目，例如概率统计问题、最优化问题等。

对于这些题目，我们可以采用不同的方法来求解。

例如，对于概率统计问题，我们可以利用概率论和数理统计的知识，运用概率分布、期望和方差等概念进行分析和计算。

奥数竞赛解题技巧

奥数竞赛解题技巧
以下是 9 条关于奥数竞赛解题技巧：
1. 嘿，要学会找关键信息呀！就像在森林里找宝藏的线索一样。

比如一道题说有几个小朋友分苹果，那人数和苹果数不就是关键嘛。

2. 哎呀，大胆去假设呀！比如说那道追及问题，咱就假设其中一个速度，就好解决多啦，你说是不是？
3. 记得灵活运用公式呀！公式就像是武器，要用对地方。

比如计算图形面积的公式，碰到相应图形就拿出来用呀。

4. 咋能忘了画图呢？这就好比给题目画一幅地图，一下子就清晰了。

像行程问题，画出路线，答案就容易找到啦。

5. 尝试多角度思考呀！别死磕一种方法，就像走迷宫，这条路不行就换条路嘛。

比如那道方程题，换个未知数试试呢？
6. 一定要细致呀！不能放过任何一个小细节，不然就像千里之堤毁于蚁穴。

那道计算的题，一个小数点可不能错哟。

7. 多积累一些特殊解法呀！这就像游戏里的隐藏技能。

比如特殊的图形规律，学会了可厉害啦。

8. 学会类推呀！看见一个题，想想以前做过的类似的，不就有思路了嘛。

那道找规律的题不就和以前做的很像嘛。

9. 心态要稳住呀！别急别慌，这可不是打仗。

就算遇到难题，咱也慢慢分析，肯定能找到办法的啦。

我的观点结论就是：掌握这些奥数竞赛解题技巧，就能在竞赛中更得心应手啦！。

二元一次方程组竞赛题集答案解析

【例1】方程组的解*，y满足方程5*-y=3，求k的值.【思考与分析】此题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.〔１〕由方程组消去k，得*与y的关系式，再与5*-y=3联立组成方程组求出*，y的值，最后将*，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.〔２〕把k当做数，解方程组，再根据5*-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值. 〔３〕将方程组中的两个方程相加，得5*-y=2k+11，又知5*-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5*-y=2k+11.又由5*-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解知识提要1．二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。

〔∵两个方程等效〕 ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。

〔∵两个方程是矛盾的〕 ③ 当2121b b a a ≠〔即a 1b 2－a 2b 1≠0〕时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x 〔这个解可用加减消元法求得〕 2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，假设要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进展。

3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解〔把待定系数当己知数〕，再解含待定系数的不等式或加以讨论。

〔见例2、3〕例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解【例2】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由①，得 y=4－m*，③把③代入②，得 2*+5〔4－m*〕=8，解得〔2－5m 〕*=-12，当2－5m ＝0，即m ＝时，方程无解，则原方程组无解. 当2－5m ≠0，即m ≠时，方程解为将代入③，得故当m ≠时，原方程组的解为例3. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？例4. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解*和y 都是整数？二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。

最难imo数学竞赛题

最难imo数学竞赛题
正文:
被誉为“最难 IMO 数学竞赛题”的这道难题，是一道来自 2018 年国际数学奥林匹克竞赛的题目。

这道题目的难度极高，需要学生具备扎实的数学基础和高超的思维能力。

这道题要求学生们解决一个二次方程的问题，其中方程的根既不是正数也不是负数，而是介于正数和负数之间的一个数。

这道题让学生感到困惑和棘手，因为通常情况下，二次方程的根应该是正数或负数。

在解决这道题的过程中，学生们需要运用一些高超的数学技巧和方法，例如求导数、积分、极值分析等。

这些技巧和方法要求学生具备深厚的数学功底和熟练的运用能力，才能够成功地解决这道题。

最终，学生们需要在给出的有限时间内，将方程的根精确地求解出来。

这道题的难度和挑战性极高，因此被誉为“最难 IMO 数学竞赛题”。

拓展:
这道难题的解法并不简单，需要学生具备扎实的数学基础和高超的思维能力。

一些优秀的学生可能需要数小时甚至数天的时间来解决这个问题。

在解决这道题的过程中，学生需要充分理解数学概念和方法，并且能够熟练地运用它们。

此外，学生还需要具备严谨的数学思维和解题能力，才能够成功地解决这道题。

对于参加国际数学奥林匹克竞赛的学生来说，解决这道难题是一个重要的挑战和机遇。

通过解决这道题，学生可以更好地理解和掌握数学知识，提高自己的数学水平和思维能力。

amc 10 2023 题目

【主题】解析AMC 10 2023年数学竞赛题目【内容】一、导言2023年AMC 10数学竞赛作为一项备受关注的数学竞赛，吸引了众多中学生的参与。

在本文中，我们将对2023年AMC 10数学竞赛的题目进行一一解析，帮助读者更好地理解和掌握其中的数学知识和解题技巧。

二、数学竞赛概况AMC（American Mathematics Competitions）是由美国数学协会（MAA）主办的一项全国性数学竞赛。

AMC 10是专门面向中学生的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养其数学能力和解决问题的能力。

每年举办的AMC 10数学竞赛题目涵盖了数学中的各个领域，要求考生具有扎实的数学基础和灵活的思维能力。

三、2023年AMC 10数学竞赛题目解析1. 第一道题目题目：求下列无理数的整数部分：$\sqrt{129}+\sqrt{189}-\sqrt{144}-\sqrt{121}$解析：我们可以将每个无理数的平方根表示成对应的整数和余数的形式，然后进行合并化简，经过一系列运算，最终得到答案。

2. 第二道题目题目：设函数$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$，其中$a,b,c,d$是常数，$ad-bc\neq0$，且$c\neq0$。

若对任意实数$x$恒有$f(f(x))=x$，则$f(x)$的表达式是什么？解析：通过设定函数$f(x)$，并根据题目给出的条件，我们可以利用函数的复合运算和方程的求解，来确定$f(x)$的表达式。

3. 第三道题目题目：在平面直角坐标系中，曲线$C$的方程为$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，则曲线$C$的图像是什么？解析：通过将方程进行配方完全平方，消去一次项，得到标准方程，然后结合圆的性质，来描述曲线$C$的图像特征。

4. 第四道题目题目：若正实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$，则$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}$的值是多少？解析：题目中给出的条件可以让我们有一个开始，然后我们可以通过利用分式的化简和求和规律来得出最终的结果。

竞赛数学解题技巧分析

竞赛数学解题技巧分析竞赛数学是一门考察学生综合素质的学科，它不仅考察学生的数学知识，还考察学生的逻辑思维、解决问题的能力以及心理素质。

在竞赛数学中，掌握一些解题技巧可以让我们事半功倍，取得更好的成绩。

下面我们就来分析一下常用的竞赛数学解题技巧。

一、抓住本质竞赛数学的题目往往有很多附加条件，很多学生一看就被吓倒，这时我们就需要学会抓住本质。

抓住本质就是从题目中找到最基本、最核心的要素，然后根据这些要素去解决问题。

比如，一些二次方程的题目看似十分复杂，但是只要我们化简出方程的根之和和根之积，就能够轻松地解决问题。

二、分类讨论在解决数学问题时，分类讨论是一种非常重要的解题技巧。

这种方法就是将问题分成几个不同的情况，然后逐一讨论。

分类讨论的优点是可以将大问题化为小问题，解决起来更加简单。

但是分类讨论需要较强的逻辑思维，需要考虑到所有可能的情况，不能遗漏。

三、变化题意有些时候，题目给出的条件并不能很好地揭示问题的本质，这时我们可以考虑将题目的条件进行变化，来揭示问题的本质。

比如，一道题目中要求我们求解两个整数的和，但是给出的条件不足以直接求解，这时我们可以将问题转化为求解两个整数的差，再利用观察两个整数差的性质，求出两个整数的和。

四、递推关系递推是数学中非常重要的概念，也是解题的一个重要手段。

递推就是利用已知的某些值，根据某种规律推导出其他值的过程。

常见的递推关系包括斐波那契数列、杨辉三角等。

在竞赛数学中，掌握递推技巧可以解决很多看似困难的问题。

五、化归为递推有些问题看似很难，但是如果利用递推的思想，将问题化归为递推式，就能够轻松地解决问题。

比如，一些概率问题往往看似十分复杂，但是如果将问题看做是一个递推式，其中每一步都是概率的乘积，那么我们就能够很容易地求出最终的概率。

总结竞赛数学不仅考察学生的数学知识，还考察学生的解决问题能力。

掌握一些解题技巧可以提高我们的解题效率，让我们在有限的时间内完成更多的题目。

数学奥赛试题解析与技巧总结

数学奥赛试题解析与技巧总结数学奥赛一直以来都是学生们心中的一座难以逾越的高峰。

无论是初中生还是高中生，参加数学奥赛都需要具备一定的数学基础和解题技巧。

本文将从数学奥赛试题的解析和技巧总结两方面进行探讨，希望能够为广大学生提供一些有益的参考。

一、数学奥赛试题解析1. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常用方法，在数学奥赛中也经常会涉及到。

它的基本思想是通过一系列的行变换将方程组化为简化的行阶梯形式，从而求解出未知数的值。

例如，考虑以下方程组：2x + 3y + z = 64x + 5y + 2z = 126x + 7y + 4z = 20我们可以通过高斯消元法将其化简为：2x + 3y + z = 6-y - z = 02z = 4从而得到解x = 1, y = -2, z = 2。

2. 数列与数列求和数列是数学奥赛中常见的概念，求解数列的性质和求和公式是解题的关键。

例如，考虑以下数列：1, 4, 7, 10, ...观察可知，该数列的公差为3，首项为1。

我们可以通过公式an = a1 + (n-1)d来求解任意项的值，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

同时，求解数列的和可以通过公式Sn = (a1 + an)n/2来实现，其中Sn表示前n项和。

3. 几何问题与平面几何几何问题在数学奥赛中也是常见的题型，解题关键在于几何图形的性质和定理的运用。

例如，考虑以下问题：已知三角形ABC，D为BC边上一点，且AD是三角形ABC的高，证明AD是三角形ABC的最短边。

我们可以通过利用三角形的面积公式和三角形的性质来解决这个问题。

首先，我们可以利用三角形的面积公式S = 1/2 * 底 * 高来计算三角形ABC的面积。

然后，根据三角形ABC的性质，我们可以得知三角形ABC的面积是三个边长的函数。

由于高是垂直于底的，所以当底为BC时，三角形ABC的面积最小。

因此，AD是三角形ABC的最短边。

二、数学奥赛解题技巧总结1. 题目分析和思路确定在解答数学奥赛试题时，首先要仔细阅读题目，理解题意。

数学奥赛题目解析与解题技巧

数学奥赛题目解析与解题技巧数学奥赛一直是考验学生逻辑思维和解题能力的重要竞赛项目之一。

通过参加数学奥赛，学生们不仅能够提高自己的数学水平，还能锻炼思维能力和创造力。

然而，许多学生对于数学奥赛题目感到困惑，无法准确解答。

本文将与您分享数学奥赛题目的解析与解题技巧，帮助您更好地应对数学奥赛。

一、提高基础知识水平要在数学奥赛中获得好成绩，首先需要打牢自己的基础知识。

这包括掌握数学的基本运算、几何图形的性质、代数方程的解法等。

只有在基础知识扎实的基础上，才能巧妙地应用于解题过程中。

因此，建议学生在备战数学奥赛前，加强对基础知识的复习和学习，做到心中有数，运算熟练。

二、理解题目要求在解答数学奥赛题目之前，首先要理解题目要求。

有些题目可能会给出一些附加条件，需要学生注意审题，准确把握题意。

例如，有的题目可能会要求学生求出最大值或最小值，有的题目则可能会要求学生给出具体的解等。

只有充分理解题目要求，才能找到正确的解题思路。

三、列方程解题列方程是解答数学题目的一种常用方法。

当遇到一道问题时，可以考虑将问题转化为数学方程式。

通过列出方程，可以有效地解答题目。

例如，求解线性方程组、代数方程、三角方程等。

因此，掌握列方程的技巧对于解答数学奥赛题目非常重要。

四、运用排除法在数学奥赛中，有时会遇到一些复杂的题目，学生们可能会感到困惑。

此时，可以尝试使用排除法解题。

排除法是通过逐步排除错误选项来确定正确答案的方法。

通过对错误选项逐一进行分析和排除，最终可以找到正确答案。

尤其是在多选题中，排除法可以大大提高解题准确性。

五、培养逻辑思维数学奥赛考察的不仅仅是学生的计算能力，更重要的是考察学生的逻辑思维能力。

因此，培养逻辑思维能力对于解答数学奥赛题目非常关键。

可以通过解析理论题目、阅读数学推理文章、做逻辑思维题等方式来提高逻辑思维能力。

六、多做模拟题在备战数学奥赛时，做模拟题是一种非常有效的方法。

通过多做模拟题，可以熟悉奥赛题型，了解常见解题思路，提高解题速度和准确性。

对一道不定积分竞赛题的解法探究与拓展

对一道不定积分竞赛题的解法探究与拓展王成强【摘要】对第四届全国大学生数学竞赛非数学专业组决赛第一题中的不定积分问题提出八种求解方案,同时,也对该问题的一种推广形式给出了求解方案.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2019(040)004【总页数】10页(P87-95,108)【关键词】大学数学;数学竞赛;一题多解;变式教学【作者】王成强【作者单位】成都师范学院数学学院,四川成都 611130【正文语种】中文【中图分类】O172.2设函数F(x)在区间I上可导，且其导数为f(x)，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数；函数f(x)在区间I上的原函数全体称为它在区间I上的不定积分，记为并表示为不定积分理论是整个大学数学的关键，具有多种性质，有关的问题可塑性强.因此，诸如考研数学、全国大学生数学竞赛等重要的的考试都会涉及一定分值比例的不定积分试题.全国大学生数学竞赛(简称数学竞赛)已经完整举办了十届，其主要目的是为了促进高校大学数学的教学质量改革，为激发大学生学习数学的兴趣.概因于此，与其他题目一样，数学竞赛中的不定积分题目富有趣味性，集考查应试者的知识素养与能力于一身，具有很大的研究价值.本文研究第四届(2013年)全国大学生数学竞赛非数学专业组决赛第一题第4问：计算不定积分(*)问题(*)只涉及多项式函数x、反正切函数arctanx、对数函数与多项式函数的复合函数ln(1+x2)，“构成”并不复杂.大学数学教材、教辅材料中的常遇到的不定积分有等，问题(*)可看成这些不定积分的“合成”，它做到了命题回归教材，突出了能力立意，增强了问题的创新性.据此，问题(*)的研究对大学数学不定积分的教学有重要的指导意义.本文拟给出问题(*)的八种解法，并针对一般形式的不定积分(n是非负整数)介绍一种计算方法.后文中，不定积分法会起着关键性的作用，分部积分法[1]详细内容表述如下：设u(x)，v(x)均在区间I上可导，且函数u′(x)v(x)在区间I上有原函数，则函数u(x)v′(x)在区间I上有原函数，且简记为1 问题(*)的八种解法解法1 因被积函数xarctanxln(1+x2)中含有的arctanx与ln(1+x2)的导数都是有理函数，故可尝试利用分部积分法求解问题(*).受此想法的驱使，借助于微分恒等式对不定积分实施分部积分，有(1)但(2)且经计算，可发现微分恒等式(3)将(3)代入(2)，利用分部积分法及一些常规计算，可得=ln(1+x2)dx+d((1+x2)arctanx-x-arctanxln(1+x2)),(4)经计算，还可发现微分恒等式=d(xln(1+x2))-2d(x-arctanx)=d(xln(1+x2)-2x+2arctanx), (5)将(5)代入(4)，并整理，得=d(xln(1+x2)-2x+2arctanx+(1+x2)arctanx-x-arctanxln(1+x2)) =d(-arctanxln(1+x2)+(3+x2)arctanx+xln(1+x2)-3x),(6)将(6)代入(1)，有解法2 受分析与探究1的启发，还是想利用分部积分法求解问题(*).经计算，可发现微分恒等式(7)借助于微分恒等式(7)，利用分部积分法以及一些常规运算，有(8)将(6)代入(8)，并整理，得解法3 借助于微分恒等式(5)，有(9)将(6)代入(9)，便得解法4 问题(*)中的被积函数xarctanxln(1+x2)由三个函数作积而成，前三种解法都是将其中的一个函数视成v′(x)，接下来三种方法的思路都是将两个函数的乘积视为v′(x)(见上节末尾).这里探究将xln(1+x2)视为v′(x)时问题(*)的求解方法.(10)借助于微分恒等式(5)、分部积分法，以及一些常规运算，有注1 解法4是由竞赛组委会提供的官方参考答案.解法5 将xarctanx视为v′(x)(见上节末尾)，借助于微分恒等式(3)及一些常规运算，有注2 解法5与解法4的想法一致，解法5只依赖于(3)这一个微分恒等式，但解法4依赖了(5)、(10)这两个微分恒等式，从这角度上看，解法5优于解法4.解法6 沿用解法4中的思路，这里探究将arctanxln(1+x2)视为v′(x)(见上节末尾)问题(*)的求解方法.首先，可得到下述微分恒等式arctanxln(1+x2)dx利用该微分恒等式，有借助于微分恒等式(3)和(6)，分部积分法，及一些常规运算，有解法7 将被积函数xarctanxln(1+x2)的因子1视为v′(x)，尝试利用分部积分法求解问题(*).首先会得到(11)将微分恒等式(6)带入(11)，便有=解法8 探究利用待定系数法.留意到故猜测中含有x2arctanxln(1+x2)、x2arctanx及xln(1+x2)；再留意到且故猜测中含有x.综上，猜测的表达式如下+(a31+a32x)ln(1+x2)+a41x+C,其中，参数a11，a12，a21，a22，a31，a32，a41待定.对上述等式两端同时求导，得xarctanxln(1+x2)由此可得方程组：2a12=1，a11+a22=0，a12+a22=0，a11+a32=0，a12+a32=0，a21+a41=0，a31=0，a22+2a32+a41=0.解该方程组，得于是注3 对不定积分而言，待定系数法需要应试者具有敏锐的观察能力，具有较强的计算能力.2 问题(*)的拓展定理1 设则对∀n>1，有证利用微分恒等式(10)，有=(15)再借助于微分恒等式(10)，有并由此可得到这表明(14)式得证.另借助于微分恒等式(3)，有由此整理，进而还有这意味着(13)式得证.最后，对上式作简单整理，得将该恒等式带入(15)有考虑到In，Jn及Hn的定义，可知定理1得证. 在本节的最后，考虑一个定理1 的应用案例.例1 计算不定积分与解利用微分恒等式有=由定理1，于是3 结束语本文给出了不定积分的八种计算方法，前七种方法主要用到了分部积分法，第八种方法是待定系数法.本文还针对更一般的不定积分(n是非负整数)提出了一种基于递推想法的计算思路.参考文献:【相关文献】[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.[2] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.。

对一道高等数学竞赛试题解法的商榷

的方法．［］结了北京历届数学竞赛试题与一文１总些省份的数学竞赛试题并给予了较为详尽的参考解答，数学工作者提供了详实的理论资料，是，对但笔
形，么，那Ｐ和Ｑ两点是否满足在此平面的同侧的条
的结果容易将题目中在已知平面上点Ｍ使得ＩＭＩＰ
＋ＩＭＩＱ最小的问题转化为求点Ｑ与Ｐ关于已知平
品质．过鼓励大学生参加各种形式与不同级别的通高等数学（数学专业）赛，于提高优秀学生的非竞对数学技能与数学素养以及培养他们构建探索新知
维普资讯
第１６卷第４期
２００７年１２月
Байду номын сангаас
河南教育学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｎｎＩｓｔｔｏｄｃｔｎ（ａｕａＳｉｃ）ｏｒａｏＨｅａｔｕｅｆｕａｏＮｔｒｌｃｎｅｎｉＥｉｅ
Ｖ０．６１１Ｎｏ．４
Ｄｅ．Ｏ７ｃ２Ｏ
对一道高等数学竞赛试题解法的商榷
吴耀强
（迁学院教师教育系，苏宿迁２３０）宿江２８０
摘要：析了一道竞赛试题的解法中的不严谨成因，出了该题的完整解答并得到了判断空间中的点与平面剖给
求出过９点且与已知平面垂直的直线方程，将其再

大胆猜测、细心求证——对一道竞赛题的解题过程分析

大家都知道行军打仗需要一位军师运筹帷幄．他要
在掌握的敌我情况之后，定一个克敌制胜的战略战制
现在摆在我们面前称之为一个问题，因为我们对它还不了解．是我们还不知道问题的最后状态：知量是什么样的？证明的结论是否成立？未
考．在学习过程中我们如果仅仅是把数学中的公理、定
理、概念、定义、理论 ……等知识介绍给学生，显然是不
够的． ‘ “ 教会思考 ’ 意味着数学教师不仅仅要传授知识，
而且应当发展学生运用所传授的知识的能力 ” 在数学．中，知识的运用主要体现在解题中．对因此在教学中为了教会学生思考，进行一定量的解题教学是必要的．
２大胆猜测
例
＝
如图１等腰 △ＡＣ中，Ｂ，ＢＡ
Ａ．ＡＡＣ的外接圆的内部有一Ｃ在Ｂ
与其相切的一个小圆，小圆又分该
别与仙，Ｃ相切于ＰＱ两点．Ａ，
求证：线段ＰＱ的中点恰为ＡＡＣ内Ｂ
切圆的圆心．图１
切０Ｏ于口．
角：系这条件与结论，联是我们解题的主要途径，我
们在解题过程中要去向角靠拢；
通过对条件的列举我们大致知道，本题中要涉及的
２６
明灯；
中‘ ７（ｌ－４高版７擞一２ｏ￥期・中）ｏｑ
ＡＢＤＰ △ ＤＰＭ。ＢＰ＝ＭＰ．
条件１ △Ａｃ是等腰三角形，Ｂ＝Ｃ；．曰ＡＡ结论

2004年西部奥林匹克最后一题

2004年西部奥林匹克数学竞赛的最后一题引起了广泛的讨论和争议。

这道题目以其独特的思维方式和复杂的数学知识要求，挑战了参赛者的智力和计算能力。

在这篇文章中，我们将深入探讨这道题目的具体内容，并分析其解题思路和数学原理，以期对读者有所启发和帮助。

一、题目内容描述在2004年西部奥林匹克数学竞赛中，最后一题的具体内容描述如下：已知一个圆形花坛内有2004朵花，其中一些花是红色的，一些花是蓝色的。

如果我们任意连接两朵红色花之间的线段，以及任意连接两朵蓝色花之间的线段，那么总共会有多少个交点呢？二、解题思路分析要解决这个问题，首先我们需要理解两种不同颜色花朵之间连接线段的排列组合问题。

假设红色花朵有r朵，蓝色花朵有b朵。

连接红色花朵之间的线段共有C(r, 2)种排列组合，连接蓝色花朵之间的线段共有C(b, 2)种排列组合。

那么总共的交点数目就是C(r, 2) + C(b, 2)。

对于这个数学问题，我们需要进一步分析不同的情况。

如果红色花朵和蓝色花朵之间都不会相交，则总共的交点数目就是C(r, 2) + C(b, 2)；如果红色花朵和蓝色花朵之间会相交，则总共的交点数目还需要考虑红色花朵和蓝色花朵之间线段交叉形成的交点数。

三、数学原理分析根据以上解题思路，我们可以得出以下结论：如果红色花朵朵数为r，蓝色花朵朵数为b，且红色花朵和蓝色花朵之间会相交，那么总共的交点数目为C(r, 2) + C(b, 2) + r*b。

其中，C(r, 2)表示r个花朵中任意选取2朵连接线段的排列组合数；C(b, 2)表示b个花朵中任意选取2朵连接线段的排列组合数；r*b表示红色花朵和蓝色花朵之间连接线段交叉形成的交点数。

四、结论及讨论通过对2004年西部奥林匹克数学竞赛的最后一题进行深入的分析和研究，我们得出结论：总共的交点数目为C(r, 2) + C(b, 2) + r*b。

这个结论具有一定的理论意义和实际应用价值，对于进一步研究和探索数学排列组合问题具有积极的意义。

第23届ⅰmo试题解析

第23届ⅰmo试题解析第23届ⅰMO试题解析一、题目背景介绍第23届ⅰMO（国际数学奥林匹克初赛）是一项世界性的数学竞赛，吸引了来自全球各地优秀的中学生参与。

本届比赛共有六道题目，涉及了多个数学领域，难度较高。

下面我们将对这六道题目进行详细解析。

二、题目解析1. 题目一：矩形面积这道题目考察了几何和代数的结合。

首先，我们可以假设矩形的两个边长分别为a和b，并且设x为矩形的内切圆的半径。

通过观察可知，内切圆的直径等于矩形的较短边长，即2x=b。

通过这个等式，我们可以得到x与a和b之间的关系。

接下来，我们利用代数方法解方程组计算出矩形的面积。

2. 题目二：全排列这道题目考察了组合数学中的全排列问题。

首先，我们需要了解全排列的概念及计算方法。

然后，我们可以通过对给定的一组数进行全排列，并使用递归方法计算出满足条件的全排列个数。

3. 题目三：集合问题这道题目涉及到集合的运算和性质。

我们首先需要明确集合的定义和基本运算法则。

然后，通过对给定的一组集合进行运算，我们可以得到最终的结果。

在解答时，我们需要注意集合的交、并、差等运算的优先级以及符号运用的准确性。

4. 题目四：数列递推这道题目考察了数列的递推关系。

我们首先需要观察数列给出的前几项，然后通过找到数列递推的规律，得出递推公式。

接下来，我们可以根据递推公式计算出数列的特定项的数值。

5. 题目五：几何问题这道题目涉及到几何中的相似三角形和三向角梯形的性质。

我们首先需要利用已知条件，确定图形的几何特征。

然后，通过运用相似三角形和三向角梯形的性质，解出所求的角度或长度。

6. 题目六：不等式问题这道题目考察了不等式的基本概念和性质。

我们需要利用已知条件，通过代数方法求解不等式，并得出所求的数值范围。

在解答时，我们需要注意不等式符号的方向和操作的准确性。

三、解题技巧1. 提前熟悉数学知识点：在参加数学竞赛前，必须对重要的数学知识点进行深入理解，并熟练掌握解题方法。

数学奥赛题目的解析与思路

数学奥赛题目的解析与思路数学奥赛一直以来都是考验学生数学思维和解题能力的重要评判标准。

而在解析数学奥赛题目的过程中，理解题意、分析解题思路、运用适当的数学知识和技巧是至关重要的。

本文将结合实际题目，对数学奥赛题目的解析与思路进行详细讨论。

一、解析题目背景与条件在解数学奥赛题目之前，首先要仔细阅读题目，理解题目背景和条件。

这一步十分重要，因为只有准确地理解题目要求，才能有针对性地寻找合适的解题思路。

以一道例题为例：【题目】已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求解方程 f(a) = 0 的解 a 的取值范围。

【解析】首先，根据题目给出的函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，我们可以推测这是一个二次函数。

根据二次函数的性质，当 f(a) = 0 时，函数的图像与 x 轴有两个交点。

接下来，我们需要确定二次函数的开口方向，即二次项的系数 a 的符号。

由于题目中给出的系数是正数 2，我们可以推断二次函数的开口是向上的。

进一步，我们需要计算二次函数的顶点坐标。

根据二次函数顶点坐标的计算公式，顶点坐标为 (p, q)，其中 p = -b / (2a)，q = f(p)。

代入题目给出的系数，计算得到的顶点坐标为 (3/4, -1/8)。

最后，我们可以根据顶点坐标和开口方向，得出当 a 的取值在 (-∞, 3/4) 和(3/4, +∞) 时，方程 f(a) = 0 有解。

而当 a = 3/4 时，方程 f(a) = 0 的解只有一个且唯一。

二、分析解题思路与方法在解题的过程中，我们需要分析解题思路和方法，灵活运用数学知识和技巧。

以另一道例题为例：【题目】一组数据为 1，3，5，7，9，11，13，...，其中第 n 个数为 a(n)，求 a(n) 的表达式，并计算当 n = 10 时 a(n) 的值。

【解析】观察题目中给出的数据，可以发现该数列是以等差数列的形式递增。

可以通过观察和分析，总结出等差数列的通项公式 a(n) =a(1) + (n-1)d，其中 a(1) 为首项，d 为公差。

usaco2024年12月铜题解

usaco2024年12月铜题解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：USACO（美国计算机奥林匹克竞赛）是美国著名的计算机竞赛活动，旨在激发学生对计算机科学的兴趣，并培养他们解决问题和编程的能力。

每年举办多次比赛，分为四个级别：铜牌、银牌、金牌和铂金。

其中铜牌级别是最基础的级别，适合初学者和有限的编程经验的学生参加。

2024年12月的USACO铜牌题目共有3个问题，分别为"Cow Radio"、"Sleepy Cow Sorting"和"Mooyomooyo"。

这些问题涉及到不同的编程知识和技巧，下面我们来解析这些问题的解题思路和方法。

1. Cow Radio这个问题描述了一头母牛在牛棚里玩耍，她想要选择一首歌曲来听，希望通过换频道来找到最喜欢的歌曲。

每首歌曲都有一个唯一的频道编号和长度，母牛可以通过加或减频道来切换歌曲。

给定母牛当前所在的频道和要切换的频道，需要计算出播放完所有歌曲需要的最少时间。

解题思路：首先需要计算出母牛当前所在频道和目标频道之间的距离，然后根据每首歌曲的长度来判断是否需要调整频道。

最后将所有歌曲的长度相加即可得到最少时间。

2. Sleepy Cow Sorting这个问题描述了一些牛在一行上排队睡觉，但它们总是在不断地调整位置，直到所有牛都按照顺序排好。

需要计算最少需要多少次调整位置才能使所有牛按照从小到大的顺序排列。

解题思路：可以通过编写一个排序算法来模拟牛的位置调整过程，每次调整位置时计数器加一，直到所有牛都按照顺序排列为止。

最后输出计数器的值即为最少次数。

3. Mooyomooyo这个问题描述了一个由"0"和"1"组成的矩阵，其中相邻的"1"可以被合并为一个整体。

给定一个矩阵和一个整数K，需要将所有相邻的"1"合并后，将矩阵中大于等于K个连续的"1"替换为"0"。

史上最经典最牛的奥数题解法附数学历年考试

史上最经典最牛的奥数题解法附数学历年考试奥数，全称奥林匹克数学竞赛，是指国际数学奥林匹克竞赛（IMO）以及各国的奥林匹克数学竞赛。

作为一项具备挑战性和创造性的数学竞赛，奥数一直吸引着无数热爱数学的学子们。

历经几十年的发展，人们创造了多种解题方法和技巧。

在本文中，我们将探讨一道史上最经典、最牛的奥数题解法，并附上数学历年考试的相关内容。

题目：解析史上最经典最牛的奥数题这道题来自1995年国际数学奥林匹克竞赛，是一道经典的几何问题。

我们来看一下题目：题目描述：在直角三角形ABC中，角C是直角，点M是AC边上的一个动点。

以CM为直径绘制一个半圆，交BC边于点N，交AB边于点P。

证明：当且仅当AM为AB的三分之一时，有三角形PBM的面积与三角形ABC的面积之和最大。

解题思路：这道题目涉及到了几何知识以及一些基本的数学推理。

我们可以通过以下的步骤来解决这道题目。

1. 假设AM=AB的三分之一，将三角形ABC分成两个等腰直角三角形，记为AMC和CMB。

- 由于AM=AB的三分之一，那么AM等于对边MC的三分之一，即AM=MC/3。

- 又由于MC是半圆的直径，故三角形CMC'是一个直角等腰三角形。

- 根据勾股定理，我们可以得到AC=MC'。

- 同理，由于CM=CB的三分之一，我们可以得到BM=MC'/3。

- 由此可见，三角形PBM也是一个直角等腰三角形。

2. 接下来，我们需要证明三角形PBM的面积与三角形ABC的面积之和最大。

- 首先，我们可以使用面积公式计算三角形ABC的面积，记为S1。

- 然后，我们计算三角形PBM的面积，记为S2。

由于三角形PBM是一个直角等腰三角形，所以我们可以使用公式S2=1/2 * BM^2来计算。

- 接下来，我们计算两个面积之和S=S1+S2，然后将S表示为AM 的函数。

- 通过对S求导，并令导数等于零，我们可以得到AM等于AB的三分之一时，S取得最大值。