3.2独立性检验的基本思想及其初步应用_课件(人教A版选修2-3)[1]

公式
n ad－bc2 a＋bc＋da＋c b＋d K2＝_______________________ 其中n＝___________ a＋b＋c＋d
①根据实际问题的需要，确定容许推断“两个分类变量 临界值k0 有关系”犯错误概率的上界α.然后查表确定_________ 观测值k ②利用公式计算随机变量K2的_________ 具体 k≥k0 ，就推断“X与Y有关系”，这种推断 ③如果_______ 步骤 犯错误的概率 _____________不超过α，否则就认为在犯错误的概率不 超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本 没有发现足够证据 数据中_________________ 支持结论“X与Y有关系”
两种变量：
定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。 变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、国籍等等。
在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系： 例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。
研究两个变量的相关关系：
定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、 变量 相关指数R 2、残差分析） 分类变量—— 独立性检验
本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。
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自学导引
1． 分类变量和列联表 不同类别 ， (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的_________ 像这样的变量称为分类变量． (2)列联表
频数表 ，称为列联表． ①定义：列出的两个分类变量的_______
来理解．例如：对于性别变量，其取值有“男”和“女”两 种，这里的“变量”指的是“性别”，这里的“值”指的是“男”
或“女”．因此，这里说的“变量”和“值”不一定是取具体的
数值． (2)分类变量是大量存在的．例如：吸烟变量有吸烟与不 吸烟两种类别，而国籍变量则有多种类别．
2．独立性检验 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法 定义 称为独立性检验
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为了是不同样本容量的数据有一个统一的标准， 构造一个随即变量(a,b,c,d均必须大于5)
2 n ( ad bc ) 2 K ，其中n=a+b+c+d为样本容量 (a b)(c d )(a c)(b d )
在假设H 0成立的前提下，K 2的观测值k 应该比较小 因此，当k 很小时，说明在一定的可信程度上H 0成立； k 很大时，说明没有充分的证据说明H 0成立。
临界值表：
P( K 2 k0 ) 0.50 k0 0.44 5
0.40 0.70 8 0.25 1.32 3 0.15 2.07 2 0.10 2.70 6 0.05 3.84 1 0.02 5 5.02 4 0.01 0 6.63 5 0.00 5 7.87 9 0.001 10.828
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秃顶 不秃顶 总计
患心脏病 患其他病 214 175 451 597 665 772 总计 389 1048 1437
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通过图形直观判断
因此秃顶与患心脏病有关 不患病 比例
患病 比例 秃顶 不秃顶
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（2）根据列联表的数据，得到
列联表：
不吸烟 吸烟 总计
7775 2099 9874
那么吸烟是否会患肺癌有影响？
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通过图形直观判断
不患病 比例
患病 比例
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假设H0：吸烟与患肺癌没有关系
不患肺癌
不吸烟 吸烟 总计
患肺癌
总计
a c a+c
b d b+d
a+b c+d a+b+c+d
②2×2列联表:一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的 取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2 列联表)为 x1 x2 总计 y1 a c a＋c y2 b d b＋d 总计 a＋b c＋ d a＋b＋c＋d
想一想：如何理解分类变量？
提示
(1)这里的“变量”和“值”都ห้องสมุดไป่ตู้作为“广义”的变量和值
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例1.在某医院，因为患心脏病而住院的665名男
性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患 心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。 (1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系。 (2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为 秃顶与患心脏病有关系吗？ 解：根据已知的数据得到如下列联表：
k大小的标准是什么呢？
临界值k0
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独立性检验
首先，假设结论不成立，即 H ：两个分类变量没有关系
（在这种假设下k应该很小）
其次，由观测数据计算K 的观测值k，
（如果k很大，则在一定可信程度上说明H 不成 立,即两个分类变量之间有关系）
2
最后，根据k的值判断假设是否成立
判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
解 由公式得 K 的观测值
解 由公式得 K 的观测值 86×103×95×94
2
189× 64×73－22×30 k189 ＝ ×64×73－22×302 ≈38.459. 86 × 103 × 95 × 94 k＝ ≈38.459.
因此，在犯错误的概率不超过0.001 趣与数学成绩是有关的． 趣与数学成绩是有关的． 的前提下认为数学成绩好坏与对学习 数学的兴趣有关。
3.2
【课标要求】
独立性检验的基本思想 及其初步应用
1． 了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用； 2． 理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法、独立性检 验中K2的含义及其实施步骤． 【核心扫描】 1．能够根据题目所给数据列出列联表及求K2.(重点) 2．独立性检验的基本思想和方法．(难点)
P(K2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的
前提下，认为两变量相关； 而P(K2≥10.828)≈0.001的含义是在犯错误的概率不超过 0.001的前提下，认为两变量相关．
为了调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随 机的调查了9965人，得到结果如下（单位：人）
不患肺癌 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965
3. 独立性检验临界值表
P(K2 ≥k 0 )
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
想一想：在K2运算时，在判断变量相关时，若K2的观测值k＝ 56.632，则P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥10.828)≈0.001， 哪种说法是正确的？ 提示 两种说法均正确．
1437 (214 597 175 451) 2 k 16.373 6.635 389 1048 665 772
因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提 下认为秃顶与患心脏病有关。
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【变式1】 为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有 关，对某年级学生作调查得到如下数据： 成绩优秀 兴趣浓厚的 兴趣不浓厚的 总计 64 22 86 成绩较差 30 73 103 总计 94 95 189
假设吸烟与患肺癌没有关系，那么吸烟者中不患肺癌 的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多即
a c ab cd ad bc 0
即
a (c d ) c ( a b )
因此 ad bc 越小说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； 因此 ad bc 越大说明吸烟与患肺癌之间关系越强。
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∵ 38.459 ＞ 10.828 ，∴有 99.9% 的把握说学 ∵38.459＞10.828，∴有 99.9%的把握说学生学