高三数学一轮复习试题：空间几何体的表面积和体积-2019年精选教育文档

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高考数学一轮复习学案：空间几何体的表面积与体积(含答案)

高考数学一轮复习学案：空间几何体的表面积与体积（含答案）8.2空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积最新考纲考情考向分析了解球.棱柱.棱锥.棱台的表面积和体积的计算公式.本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征.三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.1多面体的表面积.侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱.圆锥.圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧r1r2l3.柱.锥.台.球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体棱柱和圆柱S表面积S侧2S底VSh锥体棱锥和圆锥S表面积S侧S 底V13Sh台体棱台和圆台S表面积S侧S上S下V13S上S下S上S下h球S4R2V43R3知识拓展1与体积有关的几个结论1一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差2底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切.接常用结论1正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R3a；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2R2a.2若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2Ra2b2c2.3正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1多面体的表面积等于各个面的面积之和2锥体的体积等于底面积与高之积3球的体积之比等于半径比的平方4简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差5长方体既有外接球又有内切球6圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.题组二教材改编2P27T1已知圆锥的表面积等于12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A1cmB2cmC3cmD.32cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3P28A组T3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________答案147解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1131212a12b12c148abc，剩下的几何体的体积V2abc148abc4748abc，所以V1V2147.题组三易错自纠4xx西安一中月考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A3B4C24D34答案D解析由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为22212121243.5xx全国体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A12B.323C8D4答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4R22R212，故选A.6xx大连调研如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________答案11解析由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥132383，V半球124323163，所以V剩余V半球V圆锥83，故剩余部分与挖去部分的体积之比为11.题型一求空间几何体的表面积1xx全国如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是A17B18C20D28答案A解析由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球被过球心O 且互相垂直的三个平面切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和由43R31843R3283，得球的半径R2.则得S784223142217，故选A.2xx黑龙江哈师大附中一模已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.73B.172C13D.173102答案C解析由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示则CC平面ABC，上.下底均为等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，AB2，AB22.棱台的上底面面积为121112，下底面面积为12222，梯形ACCA的面积为121223，梯形BCCB的面积为121223，过A作ADAC 于点D，过D作DEAB，则ADCC2，DE为ABC斜边高的12，DE22，AEAD2DE232，梯形ABBA的面积为122223292，几何体的表面积S122339213，故选C.思维升华空间几何体表面积的求法1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用题型二求空间几何体的体积命题点1以三视图为背景的几何体的体积典例xx浙江某几何体的三视图如图所示单位cm，则该几何体的体积单位cm3是A.21B.23C.321D.323答案A解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，该几何体体积为V1312123131222321.命题点2求简单几何体的体积典例xx广州调研已知E，F 分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1B1EDF的体积为________答案16a3解析方法一如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1HB1D于点H.因为EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF平面B1EDF，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离易知平面B1D1D平面B1EDF，又平面B1D1D平面B1EDFB1D，所以O1H平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1B1EDF的高因为B1O1HB1DD1，所以O1HB1O1DD1B1D66a.所以11CBEDFV131BEDFS四边形O1H1312EFB1DO1H13122a3a66a16a3.方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D12a.由题意得，11111CBEDFBCEFDCEFVVV四棱锥三棱锥三棱锥131CEFSh1h216a3.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略1若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体.锥体或台体，则可直接利用公式进行求解2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法.分割法.补形法等方法进行求解3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练1xx新乡二模已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323B.163C.83D.43答案C解析该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，VV柱V锥1211121312111283，故选C.2如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为A.23B.33C.43D.32答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF12，AGGDBHHC32，取AD 的中点O，连接GO，易得GO22，SAGDSBHC1222124，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC132412224123.故选A.题型三与球有关的切.接问题典例xx全国在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V 的最大值是A4D.323答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为92.引申探究1若将本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球体对角线BC1的长为球O的直径因此2R324212213.故S球4R2169.2若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，4r222r2，解得r94，则球O的体积V球43r34394324316.思维升华空间几何体与球接.切问题的求解方法1求解球与棱柱.棱锥的接.切问题时，一般过球心及接.切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接.切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解2若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解跟踪训练xx深圳调研如图所示，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD2，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为C.23D2答案A解析如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD2，所以AE22，EO12.所以OA32.在RtBDC中，OBOCOD12BC32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O，半径为32.所以该球的体积V4332332.三视图基本的.和球联系的考点分析三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积.体积等知识，所涉及的几何体既包括柱.锥.台.球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体典例1已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于A.1603B160C64322D60解析由题意知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，如图所示，其中直三棱柱的高为844，故V直三棱柱8432，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥13164643，故该几何体的体积VV直三棱柱V四棱锥326431603，故选A.答案A典例2某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为________解析如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为32，所以该组合体的体积V131221321144313343.答案343。

2019版高考数学一轮复习第7章立体几何72空间几何体的表面积与体积课后作业理.doc

7.2空间几何体的表面积与体积E课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.（2017 •东北五校联考）如左图所示，在三棱锥〃一畀％中，已知AC=BC=CD=2, CD 丄平面力应；ZACB=90Q .若其正视图、俯视图如右图所示，则其侧视图的面积为（）Cp D.^2答案D解析由儿何体的结构特征和止视图、俯视图，得该儿何体的侧视图是一个直角三角形, 其中一直角边为⑵，其长度为2,另一直角边为底面三角形畀％的边力〃上的中线，其长度为応，贝康侧视图的面积为S=»2X£7,故选D.2.某儿何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为（）A. 16 + 8 KB. 8 + 8 n答案A解析由三视图可知该儿何体由长方体和圆柱的一半组成（如图所示），其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2,圆柱的底而半径为2,高为4.所以该儿何体的体积J/=4X2X2+* 兀 X22X4 = 16 + 8 Ji .故选 A.3. （2018・合肥质检）一个儿何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该儿何体的表面积为（）侧视图俯视图A. 72 + 6 兀 C. 48 + 6 兀答案AB. 72 + 4 兀D. 48 + 4 Ji3 |解析由三视图知，该儿何体由一个正方体的&部分与一个圆柱的N部分组合而成（如图所示），其表面积为16X2+（16 — 4+兀）X 2 + 4X （2 + 2+皿）=72 + 6兀・故选A.4.三棱锥的四个顶点都在体积为葺丄的球的表面上，底面所在的小圆面积为16 n ,则该三棱锥的高的最大值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10答案C解析依题意，设题中球的球心为0、半径为R,的外接圆半径为r,则孚=啤工, 解得斤=5,由Ji r = 16 Ji ,解得厂=4,又球心0到平面的距离为寸尸二7=3,因此三棱锥P—MC的高的最大值为5 + 3 = 8.选C.5.（2017 •广东广州一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖嚅.若三棱锥戶一力牝为鳖驕，PA 丄平面/仇；PA=AB=2,加=4,三棱锥戶一力％的四个顶点都在球0的球面上，则球0的表面积为（）A. 8 nB. 12 JiC. 20 n D・ 24 n答案CP解析如图，因为四个面都是直角三角形，所以您的中点到每一个顶点的距离都相等, 即阳的中点为球心0,易得2R=PC=也）,所以斤=零，球0的表面积为4开#=20开・选C.6.（2016 •山东高考）一个由半球和四棱锥组成的儿何体，其三视图如图所示.则该儿何体的体积为（）答案C解析由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径，所以球的直径的体积为机#=1二又正四棱锥的体积为*><1取1=右所以该儿何体的体积为扌+"| 故选C.7. （2018 •河南郑州质检）某三棱锥的三视图如图所示，II 三个三角形均为直角三角形, 则“的最大值为（）A. 1 2n 3+~c.#+侧佐）视图B. D. 1 +2R=y[i,则斤=半 1正（主）视图俯视图A. 32 C. 64答案C解析由三视图知三棱锥如图所示，底面初C 是直角三角形，ABLBC,必丄平面肋C,BC=2〒,/^2+y = 102, (2A /7)2+/^ = /,因此砂=心/]()2_[,_2⑴ 打=|_____ ,+ 128 — '八/128 — -------------- --------- =64,当且仅当#=128—/,即x=8时取等号，因此xy的最大值是64.选C.8. (2018 •福建质检)空间四边形個①的四个顶点都在同一球面上，E,尸分别是M, CD的屮正视图侧视图俯视图A.65迈 16 C.点，且EFIAB, EFVCD.若AB=・ CD=EF=L则该球的半径等于(答案C解析如图，连接昭AE DE, CE,因为AE=BE, EFLAB,所以亦=加同理可得化 =血又空间四边形川％Z?的四个顶点都在同一球面上，所以球心0必在莎上，连接创，0C. 设该球的半径为R, OE=x,则#=加+加=16 + /①，#=”+"=4+（4 —劝2②，由① ②解得«=琴.故选C.9. （2018 •雁塔期末）在六条棱长分别为2, 3, 3, 4, 5, 5的所有四面体屮，最大的体积是D. 2^6左图中，由于32+42=52,即图中肋丄平面应刀,解析由题意可知, 5构成的四面体有如下三种情况: I)答案AB由棱长 2、3、3、4、5、中间图，rh于此情况的底面与上相同，但/c不与底垂直, 故高小于4,于是得仏V%；右图中，高小于2,底面积*X5X・*討呼X2=^V 攀・・・最大体积为华故选A.10. （2017 •衡水中学三调）己知正方体ABCD-A' ff C O'的外接球的体积为粤二将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（）答案B解析设正方体的棱长为的依题意得，¥><迅辟=«|王，解得日=1.由三视图可知, 该儿何体的直观图冇以下两种可能，图1对应的儿何体的表面积体的表面积为3+^3.故选B.二、填空题11. （2017 •天津高考）己知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为・解析设正方体的棱长为日，则6/=18…••日=p5.答案 9兀 ~2"侧（左）视图图2对应的几何俯视图正（主）视图B. 3+萌或鲁+平设球的半径为斤，则由题意知2斤=7日2 +扌+日2=3,3 丄切4 . 4 Ji 丫3\ 9 Ji・•・*=㊁.故球的体积K=-JI X^-J =—.12. （2016・四川高考）己知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 _________ •1^—V3 f U —H正视图答案平解析由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为2萌，三棱锥的高为1, 则三棱锥的底面积为| X 住-羽2 X 2萌=帝，・••该三棱锥的体积为#x/xi=¥.13. （2017 •江苏高考）如图，在圆柱内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母答案|解析设球0的半径为乩・・•球0与圆柱的上、下底面及母线均相切，・・・圆柱“@的高为2斤，圆柱QQ 的底面半径为斤.X 兀#・2* 3・迈=4 =牙 3^14. （2018 •太原模拟）己知三棱锥A-BCD 中，AB=AC=BC=2, BD=CD=型，点、E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 内的射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为线均相切, 记圆柱"@的体积为X,球0的体积为色,则生的值是解析如图，作出三棱锥A-BCD 的外接球，设球的半径为j 球心0到底面他的距离为d, 化'的中点为"连接过球心0作A/7的垂线刃/,垂足为//,连接创，OD, OE, 因为 BD=型,CD=p, BC=2,所以勿丄皿，则血丄平面20, OE//AF.所以HF= 0E= d.所以在 Rt △〃仞中，DE=\,矿 =*.又 AB=AC=BC=2,所以 A^=y[3,所以在RtHAFE 中,AF=-^-f 所以 r=d+\ =1 1斤牛亍解得川=订，所以三棱锥A-BCD 的外接球的表面积5=4 71?三、解答题 15. (2017 •梅州一模)如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面力彩所截后得到的，其中上BAE=ZGAD=A5° , AB=2AD=2, ZBAD=60° .(1) 求此多面体的全面积;(2) 求此多面体的体积. 60兀 11 °Cd解(1)在△胡〃中，•:AB=2AD=2, ZBAD=^Q , ・・・由余眩定理可得肋=&, 则加=妙+劝，・•・ ADL BD.由己知可得，AG//EF. AE//GF,・・・四边形〃占犷为平行四边形，GD=AD=\, :.EF=AG=^i.EB=AB=2, :.GF=AE=2©过&作GH//DC交CF于H,得777=2, :.FC=3.过&作GM//DB交BE予肘,得GM= DB=y^, ME= 1, :. GE=2.该儿何体的全面积S=〒+ 2X*X1X萌+*X1X1+*X2X2+*X (l + 3)X2+|x (2 + 3)X1=〒+帝+ 9.(2) $多面体的体枳= V A_BEGD+V C-BCD~\~V G-RCFE=2 ・BD ・ BD・ AD+^ ・ CD・ sin60°・ DG+；・ g(BE~\~CA ・ BC・ BD=16.一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）.(1) 试画出它的直观图；(2) 求它的表面积和体积.解(1)直观图如图所示:(2)由三视图可知该儿何体是长方体被截去一个三棱柱，且该儿何体的体积是以 43为棱的长方体的体积的[，在直角梯形AA 占B 中，作于E,则四边形必绍是正方形，:・AA 、= BE=\, 在 Rt △磁中，BE=\, EB 、= \,・••册=迈，・••儿何体的表而积S= S 正方形朋〃+ S 矩形坷竹q 坷+ 2S 梯形朋冷〃 + S 矩形叫甲+ S 正方形加厲〃 = 1 + 2X1 + 2X^X (1 + 2) X14-1X A /2+1=7 +y[2 (m 2).3 3・•・几何体的体积K=-XlX2Xl=-(m 3),俯视图侧视图・••该儿何体的表面积为（7+边）m2,体积为|『。

高三数学一轮复习第八章立体几何第二节空间几何体的表面积和体积夯基提能-2019word版可打印

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______年______月______日
____________________部门
A组基础题组
1.(20xx广东3月适应性考试)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
10.解析 (1)交线围成的正方形EHGF如图:
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,AH=10,HB=6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.
B组提升题组
11.B 由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥,其底面△ABC为等腰三角形且BA=BC,AC=6,AC边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=××6×3×3=9.故选B.
又由AE=CF得=,故AC∥EF.
由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.
(2)由EF∥AC得==.
由AB=5,AC=6得DO=BO==4.
所以OH=1,Dபைடு நூலகம்H=DH=3.
于是OD'2+OH2=(2)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.
由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.
又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.
又由=得EF=.
五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.

2019届高考数学一轮复习专题空间几何体的表面积、体积练习(无答案)文

空间几何体的表面积、体积一、选择题题文1、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A. B. C. D.2、已知平面和两条不同的直线，，则下列命题是真命题的是（）B.若，，则A.若直线，与平面所成的角相等，则C.若，，则D.若，，则3、如图，三棱柱的侧棱长和底面边长均为，且侧棱底面，其正视图是边长为的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为（）A. B. C. D.4、中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅同方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（单位：立方寸），则图中的为（）A.1.2B.1.6C.1.8D.2.45、右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.6、已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是（）A.27B.16C.9D.37、已知球的半径为三点在球的球面上，球心到平面ABC的距离为，，则球的表面积为（）A.B.C.D.8、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A. B. C. D.9、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，该三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.10、四棱锥的底面为正方形，且垂直于底面，为中点，则三棱锥与四棱锥的体积比为（）A. B. C. D.11、在棱长为3的正方体中，为的中点（如图所示），则点到平面的距离为（）D.A.B. C.12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.18C.24D.30二、填空题题文13、在直三棱柱中，若，，，为中点，点为中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值__________14、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为__________15、如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为__________.16、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为____．。

2019版高考数学文科一轮复习：8.2 空间几何体的表面积和体积

在Rt△BCC1中,CC1= BC12 BC2 = (2 3)2 22 =2 2 ,
∴该长方体的体积V=2×2×2 2 =8 2 ,故选C.
易错警示不能准确理解线面角的定义,无法找出直线与平面所成的角,从而导致失分.
2019/9/13
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜题名！
则OO1⊥平面ABC,CO1= 2 × 3 × 2 R= 6 R,则OO1=
32
3
R2

2
6 3
R

= 3 R,
3
则VS-ABC=2VO-ABC=2× 1 × 3 ( 2 R)2× 3 R= 1 R3=9,
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所以R=3. 所以球O的表面积S=4πR2=36π. 解法二:由题意得AO⊥SC,BO⊥SC,所以∠AOB是平面SCA与平面SCB所成二面角的平面角,又因为AO∩BO=O,所以SC⊥平面ABO.
因为平面SCA⊥平面SCB,所以∠AOB=90°,所以VS-ABC=VS-ABO+VC-ABO= 13·
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从而PA=PD=2,AD=BC=2 2 ,PB=PC=2 2 .
可得四棱锥P-ABCD的侧面积为 1 PA·PD+ 1 PA·AB+ 1 PD·DC+1 BC2sin 60°=6+2 3 .
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2
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解法二:由题设条件和(1)可知四棱锥P-ABCD是一个正方体的一部分,底面ABCD是正方体的
一个对角面,P是正方体的一个顶点(如图),
答案 B 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面. 设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2 2 ,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πr·h=4π+8π=12π. 故选B.

2019年高考数学一轮复习提分秘籍专题8.1 空间几何体及其表面积与体积

题型一求空间几何体的表面积例1一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．【答案】 12点拨空间几何体表面积的求法(1) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．巩固1如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为a ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，则其全面积为________．例2：（2018全国新课标Ⅰ文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A ．B ．12πC ．D ．10π【解析】截面面积为8，所以高h =r =22212S πππ=⋅⋅+=.【答案】 B巩固2（2018全国新课标Ⅱ理）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为__________．例3 (1)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋32＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.【答案】 (1)A (2)12 点拨空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．巩固3 如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．题型二求空间几何体的体积例4 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π【答案】 C巩固4（2018浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A ．2B ．4C ．6D ．8俯视图正视图例5 (2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【解析】设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.【答案】7点拨空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．巩固5（2018全国新课标Ⅱ文）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30 ，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．题型三与球有关的切、接问题例6 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310【解析】如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132.【答案】 C变式1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？变式2．已知棱长为a 的正四面体，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？【解析】正四面体的表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.变式3．已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？【解析】依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为22－122＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.点拨空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．巩固6（2018全国新课标Ⅲ文、理）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．答案与解析巩固1【解析】如题图，过B 作BD ⊥AA 1于D ，连接CD ，则△BAD ≌△CAD ，所以∠ADB ＝∠ADC ＝90°，所以AD ⊥CD ，AD ⊥BD ，所以△BCD 为垂直于侧棱AA 1的截面．又因为∠BAD ＝60°，AB ＝a ，所以BD ＝32a . 所以△BDC 的周长为(3＋1)a ，从而S 侧＝(3＋1)a 2，S 底＝12×a 2sin 60°＝34a 2.故S 全＝S 侧＋2S 底＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1a 2. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1a2【答案】巩固3【解析】该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－2S 半圆柱底－S 圆柱轴截面＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26.【答案】 26巩固4【解析】该几何体的立体图形为四棱柱，(12)2262V +⨯=⨯=. 【答案】：C巩固5．【解析】如下图所示，30SAO ∠=︒，90ASB ∠=︒，又，解得4SA =，所以，AO 所以该圆锥的体积为．【答案】8π【答案】B。

专题8.1空间几何体及其表面积与体积-2019年高考数学一轮复习提分秘籍Word版含解析

高三数学《空间几何体的表面积与体积》专题复习题含答案

高三数学空间几何体的表面积与体积专题复习题含答案1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π 2．长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A ．8B ．62C ．82D ．833．已知三棱锥O ABC -中，OA ，OB ，OC 两两垂直且长度都是6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO △内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面围成的几何体的体积为A ．6πB ．6π或366π+C ．366π-D ．6π或366π- 4．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A ．123B ．183C ．243D ．5435．已知在三棱锥P ABC -中，433P ABC V -=，π4APC ∠=-，π3BPC ∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为A ．4π3B ．82π3C ．123π3D ．32π3 6．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π47．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A ．3B ．32C ．1D 8．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱侧面积为A ．2πB ．πC ．2D ．19．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为A ．4πB ．3πC ．2πD ．π10．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____．11．（已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_____．12．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，侧面PAD 是等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为_______．13．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为___．14．直三棱柱111ABC A B C -各顶点都在同一球面上．若12AB AC AA ===，120BAC ∠=o ，则此球的表面积等于．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堢瑽(圆柱体)的体积112V =⨯(底面的圆周长的平方⨯高)，则该问题中圆周率π的取值为．复习题详解1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．B ．12π C． D ．10π解：因为过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为底面圆的直径为所以该圆柱的表面积为22π12π⨯⨯+⨯=．故选B ．2．长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A ．8B．C．D．解：连接1BC ，因为AB ⊥平面11BB C C ，所以130AC B ∠=o ，1AB BC ⊥，所以1ABC ∆为直角三角形．又2AB =，所以1BC =，又112B C =，所以1BB ==。

2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业41空间几何体的表面积和体积+Word版含解析.docx

课时作业41空间几何体的表面积和体积［授课提示：对应学生用书第238页］一、选择题1.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为/的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是（）A. 3 : 2B. 2 ： 1C. 4 ： 3D. 5 ： 32解析：底面半径旷=另^=亍1,故圆锥中S侧=亍兀尸，S表=亍兀尸+兀（亍＜2=§兀尸，所以表面积与侧面积的比为4 : 3.答案：C2.（2018-东北三省四市联考）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. 12+2边B. 8+2^2C. 4+4迈D. 8+4^2解析：本题考查三视图及几何体的表面积.由三视图可知，该几何体是底面为正方形，一条棱垂直于底面的四棱锥，其底面边长为2,高为2,故该四棱锥答案：D3.（201&南昌模拟）某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1）,则这个几何体的体积是（）A普B TC. 16D. 32解析：本题考查三视图、几何体的体积.由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥A-BCD,底面BCD是以4为直角边的等腰直角三角形，面积为8,高为4,答案:A4.（201&合肥市第一次教学质量检测）一个儿何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该儿何体的表面积为（）俯视图A. 72 + 671B. 72+471C. 48 + 6兀D. 48+4713 I解析：由三视图知，该几何体由一个正方体的才部分与一个圆柱的才部分组合而成（如图所示）,其表面积为16X2+（16—4+71）X2+4X（2+2+71）=72+6©故选A.答案：A5.（201&杭州一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）俯视图A. 18 B・ 16C・ 15 D. 12解析：由三视图可知该几何体为一个横放的大直三棱柱中挖去一个小直三棱柱后的图形.两个三棱柱的侧棱长都为4,大直三棱柱的底面三角形底边长为2, 该边上的高为4 +1=5,小直三棱柱的底面三角形底边长为2,该边上的高为1, 所以该几何体的体积是V=|x2X5X4-|x2X 1X4=16.故选B.答案：B6. （2018•广东省五校协作体第一次诊断考试）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（A.色护+] B 坪C •呼^+1 D.竺尹亟+1解析：由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为爭兀+1 +2兀X2+号兀=⑴-^^）兀+1,故选C.答案:C7. （2018-甘肃省五掖市高三第一次考试）若一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的外接球的体积为（）B各D .£解析：由三视图易知该几何体为四棱锥，可将该四棱锥放入正方体中，正方 A /I 2 1121^2 R 体的外接球即为四棱锥的外接球，正方体的外接球的半径R=N —2——=号, 所以^冬二扌彳爭”二申兀.答案：D1 1侧视图正视图 2俯视图侧视图俯视图8.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图, 则该三棱锥的体积为（）8 c 16 A3 B TC•了D. 16解析：本题考查三棱锥的三视图及体积.由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥A-BCD（其中正方体的棱长为4, A, C分别是两条棱的中点），故所求体积为|x[|x2X4）X4=y,故选B答案：B9.（2018-深圳调研）一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 36B. 48C・ 64 D. 72解析：本题考查三视图、空间几何体的体积.由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为6,4,4的长方体被一个平面截去所剩下的部分，如图所示，其中C, G 均为长方体对应边的中点，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为V=^X6X4X4=4,故选B.答案：B10.（2018-陕西省宝鸡市高三质检）已知A, B, C三点都在以O为球心的球都等于球的半径/?,另外一个侧面是边长为迈/?的等边三角形.因此根据三棱锥的体积公式得2,・・・S球的表砂=4兀X22=16TT,故选B.答案：B 二、填空题11. （2018-南昌模拟）如图，肓角梯形ABCD中，AD丄DC, AD//BC, BC=2CD = 2AD = 2,若将直角梯形绕BC边旋转一周,则所得几何体的表面积为解析：本题考查几何体的表面积.所得几何体的表面积是底面圆半径为1、高为1的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为1、高为1的圆锥的侧面积之和，即为兀+2兀+迈兀=（3+迈）兀.答案：（3+迈）兀12.（2018-深圳调研）已知M, N分别为长方体ABCD—A\BCD\的棱AB,A為的中点，若AB=2&, AD=AA{=2,则四面体Q-DMN的外接球的表面积为 .解析：本题考查球的表面积.由于四面体C\—DMN的外接球即为三棱柱DMC—D\NC\的外接球，由题可知DC=2y/i, DM=CM=“取CD中点E, 连接ME,在RtADME中，可得sinZCDM=^=^=¥.设△DMC的外接圆、丘3=琴=3,则设外接球的半径76 231 3为R,则有7?2 = /+12=才，故外接球的表面积为S=47i/?2=13兀.答案:13K13.（2018-湖北调考）网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为面上，OA f OB, OC两两垂直,为（)16A・3 B. 1671-32兀C. 3D. 32兀解析：设球0的半径为R,三棱锥O-ABC的体积为予则球O的表面积以球心0为顶点的三棱锥三条侧棱两两垂直且CM的半径为r,由正弦定理可知2r=—2CW解析：本题考查三视图、棱柱的体积.由三视图知该几何体由两个相同的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为2的三棱柱组合而成，其中一个是立放的，一个是平放的，其直观图如图所示，则体积为V=2x|x 1 X 1X2 = 2,故填2.答案：214. _________________________________________________ 已知三棱锥P-ABC 的所有顶点都在表面积为等的球面上，底面ABC 是边长为萌的等边三角形，则三棱锥P-ABC 体积的最大值为 ________________________________ •解析：依题意，设球的半径为R,则有4兀，=辔，AABC 的外接圆半径为r=2sin60°~9球心到截面ABC 的距离h=yjR 2_卩= y,因此点P 到截面ABC 的距离的最大值等于力+/?=#+¥=4,因此三棱锥［能力挑战］15. (2018-合肥一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 )A □1E 视图侧视图A. 2C. 3 解析：该几何体为一个横放的直三棱柱切去一个三棱锥后的图形.原直三棱柱的体2—卩= P-ABC 体积的最大值为*><答案：V3 r 1° DyX4=筋.2 rn 4积为V)=|x2X2X2=4,切去的三棱锥的体积为V2=|X|X2X2X1=2 2 10丁，则该几何体的体积为卩=卩1一/=4一丁=亍故选D.答案：D16. （2018-东北三省四市联考模拟）点A, B, C, D 在同一个球的球面上， AB=BC=\, ZABC= 120°.若四面体ABCD 体积的最大值为爭，则这个球的表面积为（）A 500兀 A* 81 R 25TCJ 9解析：半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D, E, F 为圆0上的点，△DBC, AECA, AMB 分别是以BC, CA, 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC, CA, A3为折痕B- 4兀 r 100 兀D. ~g~本题考查多面体的外接球、四面体的体积、球的表面积.因为AB=1 AJiBC=1, ZABC= 120°,所以由正弦定理知△ABC 外接圆的半径齐莎=1,1、斤 S,.AB C =2AB % SCsin 120。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.如图, 四棱柱的底面ABCD是正方形, O为底面中心, ⊥平面ABCD,．（1）证明: // 平面;（2）求三棱柱的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）体积为1.【解析】本题主要考查线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由图象可得到，，，所以得到四边形为平行四边形，所以，利用面面平行的判定得证；第二问，由面ABCD，所以得到是三棱柱的高，利用体积转化法，得到三棱柱的体积.试题解析：（1）设线段的中点为，∵BD和是的对应棱，∴，同理，∵AO和是棱柱的对应线段，∴，且，且四边形为平行四边形且，面面.（2）∵面ABCD，∴是三棱柱的高，在正方形ABCD中，，在中，，，所以，.【考点】线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积.2.（正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________．【答案】.【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：所以球的半径为：，∴正方体的外接球的体积V=．【考点】１．球的体积；２．球内接多面体．3.如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD且EF＝BD．(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：平面EAC⊥平面BDEF(3)求几何体ABCDEF的体积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【解析】(1)利用线线平行，推证线面平行；(2)利用一个面内一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直，证明面面垂直；(3)将不规则几何体转化为主题或椎体的体积求解．试题解析：(1)证明：记AC与BD的交点为O，则DO＝BO＝BD，连接EO，∵EF∥BD且EF＝BD，∴EF∥BO且EF＝BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵面ACE，面ACE，∴BF∥平面ACE；(2)证明：∵ED⊥平面ABCD，平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF，又平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；(3)解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF＝BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，BD＝2，EF＝，∴题型BDEF的面积为，由(1)知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积VABCDEF ＝2VA－BDEF＝2×S BDEF·AO＝．【考点】空间直线与平面位置关系，几何体的体积4.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.5.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.棱长为的正四面体的外接球半径为．【答案】【解析】记正四面体棱长为，外接球半径为，在正四面体中，利用棱，与棱共顶点的高及这条棱在对面上的射影构成的直角三角形可解得，因此中本题中.【考点】正四面体（正棱锥的性质）.7.如图，已知平面，，，且是的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求此多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）取的中点，连结、，利用中位线证明，利用题中条件得到，进而得到，于是说明四边形为平行四边形，得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）由平面得到，再利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，结合（1）中的结论证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用已知条件得到平面平面，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积.（1）取中点，连结、，为的中点，，且，又，且，且，为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），，所以为正三角形，，平面，，平面，又平面，，又，，平面，又，平面，又平面，平面平面；（3）此多面体是一个以为定点，以四边形为底边的四棱锥，，平面平面，等边三角形边上的高就是四棱锥的高，.【考点】1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算8.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以. （1）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 4分（2）连结，因为∥，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分（3）因为平面平面，有，所以平面，所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.9.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.10.已知等腰梯形PDCB中(如图),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图).(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.【答案】（1）见解析（2）M为线段PB的中点时（3）不平行【解析】(1)因为PDCB为等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,则PA⊥AD,CD⊥AD.又因为面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD⊂面ABCD,故CD⊥面PAD. 又因为CD⊂面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.(2)所求的点M即为线段PB的中点.证明如下：设三棱锥M-ACB的高为h1,四棱锥P-ABCD的高为h2,当M为线段PB的中点时,==,所以===,所以截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)当M为线段PB的中点时,直线PD与面AMC不平行.证明如下：(反证法)假设PD∥面AMC,连接DB交AC于点O,连接MO.因为PD⊂面PBD,且面AMC∩面PBD=MO,所以PD∥MO.因为M为线段PB的中点时,则O为线段BD的中点,即=,而AB∥DC,故==,故矛盾.所以假设不成立,故当M为线段PB的中点时,直线PD与平面AMC不平行.11.棱长为2的三棱锥的外接球的表面积为（）A．6πB．4πC．2πD．π【答案】A【解析】由题意知,此三棱锥为正四面体,以此正四面体的各棱为正方形的对角线拓展出一个正方体,则三棱锥外接球的半径为正方体外接球的半径.因三棱锥棱长为2,所以正方体棱长为,其外接球的直径为所以三棱锥的外接球的表面积为6π．12.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【解析】因为且为中点，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得，即。

2019年高三文科数学一轮复习：空间几何体的表面积与体积(解析版附后)

2019年高三文科数学一轮复习：空间几何体的表面积与体积（解析版附后）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A．22π3B．42π3C．22πD．42π2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A．32π3B．4πC．2πD．4π33．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图7-2-10所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()图7-2-10A．π2＋1 B．π2＋3C．3π2＋1 D．3π2＋34．某几何体的三视图如图7-2-11所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()图7-2-11A．2 B．9 2C．32D．35．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7-2-12所示，则该四面体的表面积是()图7-2-12A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．8．某几何体的三视图如图7-2-13所示，则该几何体的体积为________．图7-2-13三、解答题9．(2018·福州模拟)已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD，如图(1)所示，PC⊥平面ABCD，其中图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为4 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图(2)所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求四棱锥P-ABCD的侧面积．图7-2-1410．如图7-2-15，从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中选出的4个点恰为一个正四面体的顶点．图7-2-15(1)若选出4个顶点包含点A，请在图中画出这个正四面体；(2)求棱长为a的正四面体外接球的半径．B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7-2-16所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()图7-2-16A．1B．2C．4D．82．(2018·赣州模拟)在四面体SABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，SA＝AC ＝2，AB＝1，则该四面体的外接球的表面积为________.3．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图7-2-17，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.(1)试确定R与r的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；(2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．图7-2-172019年高三文科数学一轮复习：空间几何体的表面积与体积（解析版）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A．22π3B．42π3C．22πD．42πB[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝13π(2)2×22＝423π.]2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A．32π3B．4πC．2πD．4π3D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π3R3＝4π3.]3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图7-2-10所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()图7-2-10A．π2＋1 B．π2＋3C．3π2＋1 D．3π2＋3A[由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积V＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A．]4．某几何体的三视图如图7-2-11所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()图7-2-11A．2 B．9 2C．32D．3D[由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝12×(1＋2)×2＝3，∴V＝13x·3＝3，解得x＝3.]5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7-2-12所示，则该四面体的表面积是()图7-2-12A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2B[四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝2，故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×1 2×2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3.]二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．7[设新的底面半径为r，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝7.]7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12[设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h′.由题意，得13×6×12×2×3×h＝23，∴h＝1，∴斜高h′＝12＋(3)2＝2，∴S侧＝6×12×2×2＝12.]8．某几何体的三视图如图7-2-13所示，则该几何体的体积为________．图7-2-13136π[由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.]三、解答题9．(2018·福州模拟)已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD，如图(1)所示，PC⊥平面ABCD，其中图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为4 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图(2)所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求四棱锥P-ABCD的侧面积．图7-2-14[解](1)该四棱锥的俯视图为内含一条对角线，边长为4 cm的正方形，俯视图如图所示，其面积为16 cm2(2)侧面积为2×12×4×4＋2×12×4×42＝16＋16 210．如图7-2-15，从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中选出的4个点恰为一个正四面体的顶点．图7-2-15(1)若选出4个顶点包含点A，请在图中画出这个正四面体；(2)求棱长为a的正四面体外接球的半径．[解](1)如图所示，选取的四个点分别为A，D1，B1，C．(2)棱长为a的正四面体外接球的半径等于正方体外接球的半径等于正方体对角线长的一半，因为正四面体的棱长a，所以正方体的边长为22a，因此外接球的半径为32×22a＝64A．B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7-2-16所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()图7-2-16A．1B．2C．4D．8B[如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B．]2．(2018·赣州模拟)在四面体SABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，SA＝AC ＝2，AB＝1，则该四面体的外接球的表面积为________.8π[设四面体SABC的外接球的半径为r，四面体SABC可看成如图所示的长方体的一部分，则四面体的外接球的球心为SC的中点，∴2r＝SC＝SA2＋AC2＝22＋22＝22，∴r＝2，∴该四面体的外接球的表面积S＝8π.]3．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图7-2-17，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.(1)试确定R与r的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；(2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．图7-2-17[解](1)不妨设球的半径为4；则球的表面积为64π，圆锥的底面积为12π，∴圆锥的底面半径为23；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是42－(23)2＝2，所以圆锥体积较小者的高为4－2＝2，同理可得圆锥体积较大者的高为4＋2＝6；又由这两个圆锥的底面相同，∴较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们高之比，即3∶1(2)由(1)可得两个圆锥的体积和为13·π·(23)2·8＝32π，球的体积为43·π·43＝2563π，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为32π∶2563π＝3∶8。

2019版高考数学(文)一轮复习教师用书：第七章第二节空间几何体的表面积与体积 Word版含答案

第二节空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2．空间几何体的表面积与体积公式1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( ) (4)球的体积之比等于半径之比的平方．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A.163π B.323πC ．16πD ．24π解析：选B 设球的半径为R ，则由4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积为43πR 3＝323π. 3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.4．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h ＝3，所以该几何体的体积V ＝S ·h ＝⎝⎛⎭⎫12×2×3×3＝3 3.答案：335．正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A B 1DC 1的体积为________．解析：如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∵AD ⊥BC ，AD ⊥BB 1，BB 1∩BC ＝B ，∴AD ⊥平面B 1DC 1.。

2019版高考数学一轮复习第十三章立体几何13.4空间几何体的表面积与体积讲义word版本

§13.4 空间几何体的表面积与体积考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.表面积简单几何体表面积求解A 填空题★☆☆2.体积1.简单几何体体积求解2.简单等积变换A8题5分8题5分填空题解答题★★★分析解读江苏高考对体积问题几乎是每年必考,主要考查简单几何体的体积求解,偶尔考查简单的体积变换,试题难度中等.五年高考考点一表面积1.(2017课标全国Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π2.(2017课标全国Ⅰ文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36π3.(2016课标全国Ⅱ改编,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.答案12π4.(2015课标Ⅱ改编,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为.答案144π5.(2014大纲全国改编,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为.答案6.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.答案127.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案24π考点二体积1.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是.答案2.(2015山东改编,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为.答案3.(2015课标Ⅰ改编,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有斛.答案224.(2014江苏,8,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.答案5.(2014陕西改编,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为.答案6.(2013课标全国Ⅰ理改编,6,5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为.答案 cm37.(2013江苏,8,5分)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=.答案教师用书专用(8—9)8.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.解析(1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,∴CD⊥平面ABD.(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.∵AB=BD=1,∴S△ABD=.∵M是AD的中点,∴S△ABM=S△ABD=.由(1)知,CD⊥平面ABD,∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V C-ABM=S△ABM·h=.解法二:如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,所以MN⊥平面BCD,且MN=AB=,又CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD=.∴三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V A-BCD-V M-BCD=AB·S△BCD-MN·S△BCD=.9.(2013重庆,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.解析(1)证明:因BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.(2)三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·si n∠BCD=×2×2·sin=.由PA⊥底面ABCD,得V P-BCD=·S△BCD·PA=××2=2.由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为PA,故V F-BCD=·S△BCD·PA=×××2=,所以V P-BDF=V P-BCD-V F-BCD=2-=.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一表面积1.(苏教必2,一,3,变式)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是.答案2π2.(2017江苏南京高淳质检,8)若正四棱锥的底面边长为2,体积为8,则其侧面积为.答案43.(苏教必2,一,3,变式)如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB与AC都成45°角,求此斜三棱柱的表面积.解析如图,过A'作A'D⊥平面ABC于D,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连结A'E,A'F,AD.∴A'E⊥AB,A'F⊥AC,∵∠A'AE=∠A'AF,AA'=AA',∴Rt△A'AE≌Rt△A'AF,∴A'E=A'F,∴DE=DF,∴AD平分∠BAC,又∵AB=AC,∴BC⊥AD,∵BC⊥A'D,A'D∩AD=D,∴BC⊥平面A'AD,∴BC⊥AA',而AA'∥BB',∴BC⊥BB',∴四边形BCC'B'是矩形,∴斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin 45°+ab=(+1)ab.又∵斜三棱柱底面三角形的面积为a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.考点二体积4.(2018江苏盐城时杨中学高三月考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,AA1=4,若E,F分别是棱BB1和CC1上的点,则三棱锥A-A1EF的体积是.答案5.(2018江苏天一中学高三调研考试)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为.答案6.(2017江苏泰州中学模拟,6)在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是.答案7.(2017江苏南京学情调研,10)已知圆柱M的底面半径为2,高为6;圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同,则圆锥N的高为.答案 68.(苏教必2,一,3,变式)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为.答案a39.(2016江苏南通一模,8)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是棱B1B的中点,则三棱锥B1-ADE的体积为.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:10分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共10分)1.(2017江苏南京,盐城一模,10)将矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到一个圆柱,AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为A,△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥A-EFG 体积的最大值是.答案 42.(2017江苏常州奔牛中学高三调研,9)三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=1,PA=,则该三棱锥外接球的表面积为.答案5πC组2016—2018年模拟·方法题组方法1 空间几何体的表面积1.已知某圆锥的底面半径r=3,沿圆锥的母线把侧面展开后得到一个圆心角为π的扇形,则该圆锥的表面积是.答案36π方法2 空间几何体的体积2.(2017南京高三三模,10)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,点D 为侧棱BB1上的动点.当AD+DC1最小时,三棱锥D-ABC1的体积为.答案方法3 解答空间几何体中最值问题的方法3.如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,EB=.(1)求证:DE⊥平面ACD;(2)设AC=x,V(x)表示三棱锥B-ACE的体积,求函数V(x)的解析式及最大值.解析(1)证明:∵四边形DCBE为平行四边形,∴BC∥DE.∵DC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴DC⊥BC.∵AB是圆O的直径,△ABC内接于圆O,∴BC⊥AC,∵DC∩AC=C,∴BC⊥平面ACD.∵DE∥BC,∴DE⊥平面ACD.(2)∵四边形DCBE为平行四边形,∴BE∥CD.∵DC⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABC中,∵AC=x,AB=2,∴BC=(0<x<2),∴S△ABC=AC·BC=x·,∴V(x)=V E-ABC=x·(0<x<2).∵x2(4-x2)≤=4,当且仅当x2=4-x2,即x=时,取等号,∴当x=时,V(x)取得最大值,最大值为.4.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中点O在线段DE上.(1)求证:CO⊥平面ABED;(2)设∠CEO=θ,θ为何值时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?解析(1)证明:在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,故AB=DE,又AB∥DE,所以四边形ABED是平行四边形,所以AD∥BE,又因为AB∥CD,AD⊥AB,所以BE⊥CD.在四棱锥C-ABED中,BE⊥DE,BE⊥CE,CE∩DE=E,所以BE⊥平面CDE.因为CO⊂平面CDE,所以BE⊥CO.又CO⊥DE,且BE∩DE=E,故CO⊥平面ABED.(2)由题意知θ∈.由(1)知CO⊥平面ABED,则三棱锥C-AOE的体积V=S△AOE·OC=··OE·AD·OC.在直角梯形ABCD中,CD=2AB=4,AD=,CE=2,故在三棱锥C-OAE中,OE=CEcos θ=2cosθ,OC=CEsin θ=2sin θ,所以V=sin 2θ≤,当且仅当sin 2θ=1,即θ=时取等号,此时OE=<DE,点O在线段DE上,符合题意,故当θ=时,三棱锥C-AOE的体积最大,最大值为.。