4.5 相似三角形判定定理的证明2

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第3课时相似三角形的判定定理2

从上述例子你能得出什么结论？
AB DE
=
2，DAFC
=
2 ，有两边对应成比例.
图中∠B=∠E，而∠A≠∠D，故这两个三角形不相似.
在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两边的夹角相等，则这两个三角形不相似.
AB DE
=
2在，两DAFC个=三2，角形中，有
有两图两边中边对∠对应B应成=∠成比E比例，例.而，∠A如≠不∠D是，故
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的“口味”。

4.5 相似三角形判定定理的证明

复习回顾
• 判定两个三角形全等的方法有哪些？ • 判定两个三角形相似的方法有哪些？
1
相似三角形判定定理的证明
2
动手操作，探求新知
• 命题1、两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？ • 命题2，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。能自己试试吗？ • 命题3，三边成比例的两个三角形相似. 能自己试试吗？
6
课堂小结，分层作业
• 通过本节课的学习，您学会了哪些知识和方法？哪里还有困惑？作业：略
7
小结
本节课你有什么收获？
8
作业：
9
谢谢大家
10
3
判断题：
1.所有的等边三角形都相似。（）
2.所有的直角三角形都相似。（）
3.所有的等腰三角形都相似。（） 4.所有的等腰直三角形都相似。（）
4
如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
A
E F B C
D
5
如图在正方形网格上 A1B1C1和A2 B2C2，它们相似吗？

相似三角形判定定理的证明

D．两边成比例且有一角相等的三角形都相似
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE
并延长，与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3
B
cm，则AF的长为(
A．5 cm
)
B．6 cm
C．7 cm
D．8 cm
3.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.
解：∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C,
∴ △ABC ∽△A'B'C' .
C′
A
D
B
E
C
总结
A
D
A
B
E
B
C
“A”型
C
B
C
“x”型
“A”型
A
A
D
E
B
C
“共角”型
A
E
D
E
B
D
B
D
E
D
A
C
C
“共角共边”型
“蝴蝶”型
随堂训练
1．下列命题中是真命题的是( C)
A．有一个角相等的直角三角形都相似
B．有一个角相等的等腰三角形都相似
C．有一个角是120°的等腰三角形都相似
AB AC

.
AD AE
AB
AC
∵ ' ' ' ' ，AD = A'B'，
A B AC
AB AC
AC AC
∴
' ' ，∴
' ' ， ∴ AE =A'C'.
AD A C
AE A C
∵ ∠ A=∠ A'，

相似三角形的判定定理证明

相似三角形判定定理的证明
回顾与复习
相似三角形的判定方法:
两角对应相等，两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形
相似.
探究1
知识要点
角 A 角 A
√
两角对应相等，两三角形相似.
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，那么，△ABC ∽△ A′B′C′. A
两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似.
AB BC k, 如果∠B =∠B1 ， A1B1 B1C1
边S 角A 边S A1
√
C1
B1
那么，△ABC∽△A1B1C1. 你能证明吗？可要仔细哟！
B
ห้องสมุดไป่ตู้
A
C
AB AC , 如果对于ABC和A' B' C '， A' B ' A' C '
解: AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，
1 2
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6， 1 7 BC=4，AC=5，CD= ，求AD 2 的长.

AB CD . BC AC
又∠B=∠ACD，
△ABC∽△DCA，
BC AC AC AD ，
25 . AD= 4
思考
这两个三角形一定会相似吗？ B B '，
不会
应用
解：（1）
AB 7 AC 14 7 , , A' B' 3 A' C ' 6 3
两个三角形的相似比是多少？
AB AC . A' B ' A'C '

相似三角形判定定理的证明

C'
交∵AD′CE′∥于B点′C′E，.
A
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
B
C
∵ A′D=AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴ A' D A' E = AC ， A' B' A' C' A' C'
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
AB BC AC
∴ DE B' C'， AE A' C' . BC BC AC AC
B′
C′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
， △A′B′C′ ∽△ABC.
小结：
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定定理2:两边成比例且夹角相等的
理证
两个三角形相似.
明
相似三角形
探究2 知识要点
两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似.
如果∠B
=∠B1
， AB
A1B1
BC B1C1
k,
B1
那么，△ABC∽△A1B1C1.
边S 角A
√ 边 S
A1
C1
A
你能证明吗？可要仔细哟！
B
C
思考
对于ABC和A' B'C'，如果
AB A' B'
AC , A'C'
B B'，这两个三角形一定会相似吗？

相似三角形判定定理的证明

相似三角形判定定理的证明
穷举法证明相似三角形判定定理
相似三角形判定定理是指：任何两个三角形，只要它们的两条相应边成比例，那么它们就是相似。

穷举法可用来证明相似三角形判定定理。

假设任意两个三角形ABC、A$_1$B$_1$C$_1$，如果其相应边成比例，A：
A$_1$=B：B$_1$=C：C$_1$，且都不为零，则三角形ABC、
A$_1$B$_1$C$_1$若有相应的内角满足：
α：α$_1$=β：β$_1$=γ：γ$_1$
其中α、β、γ分别为ABC的内角，α$_1$、β$_1$、γ$_1$分别为A$_1$B$_1$C$_1$的内角，则三角形ABC、
A$_1$B$_1$C$_1$相似；
否则，如果相应边成比例，但其中一内角不满足：
α：α$_1$=β：β$_1$=γ：γ$_1$
如A、A$_1$成比例，但α：α$_1$≠β：β$_1$，
则此时三角形ABC、A$_1$B$_1$C$_1$不能相似。

根据上述论证，我们可以得出结论：任何两个三角形，只要它们的两条相应边成比例，那么它们就是相似的。

这就是相似三角形判定定理。

穷举法的证明可以得出此定理。

总之，穷举法可以用来证明相似三角形判定定理，即任何两个三角形，只要它们的两条相应边成比例，那么它们就是相似。

4.5 相似三角形判定定理的证明

4.5 相似三角形判定定理的证明学习目标：1、进一步复习巩固相似三角形的判定定理.2、能灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.预设难点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.【预习案】一、链接回忆相似三角形的判定定理的内容：定理1可简单说成： .定理2可简单说成： .定理3可简单说成： .直角三角形相似的特殊判定定理： .二、导读1、想一想：判定一般的两个三角形相似有几种方法？判定两个直角三角形相似有几种方法？2、想一想如何根据已知条件来选择三角形相似的判定方法？【探究案】1、如图，点D 为△ABC 的AB 边一点（AB>AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（）．A.∠ADC=∠ACBB.∠ACD=∠BC..DC ADAD AC D BC AC AC AB==2、已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE ，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．3、已知△ABC ，△DCE ，△EFG 是三个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG•在同一直线上，且AB=3，BC=1，连接BF，分别交AC，DC，DE于P，Q，R．求证：△BFG∽△FEG，尝试用不同的方法证明.【训练案】1、下列图形不一定相似的是（）．A、有一个角是120°的两个等腰三角形B、有一个角是60°的两个等腰三角形C、两个等腰直角三角形D、有一个角是45°的两个等腰三角形2、如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，且BD=a，BC=b，当AC与a，b满足什么关系时，△ACB∽△CBD？3、顺次连接三角形三边中点所得的小三角形与原三角形相似吗？试证明.。

4.5《相似三角形判定定理的证明》教案

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指两个三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。这个性质在几何学中非常重要，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量三角形的边长和角度，我们可以判断两个三角形是否相似，并利用这个性质来计算未知长度。
-难点三：提供实际应用题目，如测量无法直接到达的物体的高度，指导学生如何利用相似三角形的性质来建立比例关系，并解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形判定定理的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量无法直接到达的地方的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
五、教学反思
今天我们在课堂上一起探讨了相似三角形的判定定理的证明，整体上感觉同学们对这部分知识的掌握程度还是不错的。但在教学过程中，我也发现了一些值得注意的问题。
首先，对于相似三角形的定义和性质，大多数同学能够理解并记住，但在具体应用时，有些同学仍然会混淆三个判定定理。这让我意识到，在接下来的教学中，需要通过更多具体的例子和练习，帮助同学们更好地区分和运用这些定理。
-掌握三个相似三角形的判定定理，并能够准确记忆和运用。
-学会运用判定定理进行几何证明，解决实际问题。
举例：
-通过具体图形，强调相似三角形的对应角相等、对应边成比例的特点。
-通过例题，展示ห้องสมุดไป่ตู้何使用判定定理进行证明，如证明两个三角形相似。
2.教学难点
-理解并区分三个判定定理的应用场景，特别是两边对应成比例且夹角相等的定理，学生容易与其他定理混淆。

相似三角形判定定理的证明

AD A' B' , AB AB
C' 又 AB BC AC , A' B' B'C' A'C'
DE B'C', EA A'C', ADE ≌ A' B'C',
ABC ∽ A' B'C'.
巩固提高
1.根据下列条件，判断△ABC和△ A'B'C'是否相似，并说明理由. ①∠A=40°，AB=8 cm，AC=15 cm； ∠A'=30°，A'B'=16 cm，A'C'=30 cm. 不相似 ②AB=10 cm，BC=8 cm，AC=16 cm； A'B'=20 cm，B'C'=16 cm，A'C'=32 cm. 相似
已知：在△ABC和△ A'B'C'பைடு நூலகம்，AB BC AC .
求证：△ABC∽△ A'B'C'.
A'B' B'C' A'C'
A
思考：
（1）要证明这个定理可以采用哪些方法？
B A'
B'
C 根据定义或判定定理1或判定定理2
（2）根据前面两个定理的证明过程，你有哪些解题思路？
C'
探索新知
AB
已求知证：：在△△ABACB∽C△和A△'BA'C'B'.'C'中，A'B'
复习引入
1.相似三角形的判定方法有哪些？

4.5 相似三角形判定定理的证明

D
B
E
B′
C′
C
小结
一、相似三角形判定定理的证明
1.两角对应相等，两三角形相似. 2.三边对应成比例,两三角形相似. 3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
二、相似三角形判定定理的应用
A
A′
D
E
B
F
C
B′
C′
应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
探究2 知识要点
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
4.5 相似三角形判定定理的证明
回顾与复习
1、相似三角形的定义: 三角分别相等、三边成比例的两个三角形
叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定方法: 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似.
探究1 知识要点
两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图在△ABC 和△ A′B′C′中. ∠A =∠A ′，∠B =∠B ′ 求证：△ABC ∽△ A′B′C′.
已知：如图在△ABC 和△ A′B′C′中∠A = ∠A ′ ，
AB AC , A' B' A'C' A
求证：△ABC ∽△ A′B′C′.
A′
D
E
B
C
B′
C′
探究3 知识要点
三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△ A′B′C′中

4.5《相似三角形判定定理的证明》数学北师大版九年级上册教学课件

B Q
P
A
C
课堂练习
解：设P，Q两点运动t s时，△QBP与△ABC相似．
由题意可知0＜t＜4，此时PB=(8-2t)cm，BQ=4t cm．
（1）当△QBP∽△ABC时，BQ
BA
BP BC
，即
4t 8
8 2t 16
，
解得t=0.8；
（2）当△PBQ∽△ABC时，BP BQ ，即 8 2t 4t ，
∴ BC BC ． DE B'C'
∴DE=B'C'． ∴△ADE≌△A'B'C'．
∴△ABC∽△A'B'C'．
典例精析
例如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端点在CB，CD上滑动，当CM为何值时，△AED 与以M，N，C为顶点的三角形相似？
A
D
E N
B
MC
典例精析
BA BC
8 16
解得t=2．
综上所述，当P，Q两点运动0.8 s或2 s时，△QBP与△ABC
相似．
课堂小结
这节课我们主要学习了相似三角形的三个判定定理的证明及它们的应用．
再见
探究新知
2．定理两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'， AB AC ．求证：△ABC∽△A'B'C'．
A'B' A'C'
A A′
B
C B′
C′
探究新知
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，

5_相似三角形判定定理的证明_教案3

课题：4.5相似三角形判定定理的证明课型：新授课教学目标：1.以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法.2.会证明相似三角形判定定理.3.培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.教学重点与难点：重点：证明相似三角形判定定理．抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点.难点：证明相似三角形判定定理．关键：利用经典题目特别训练，并辅以课件的演示是突破难点的好方法．课前准备：制作多媒体课件.教学过程：一、创设情景，导入新课活动内容：1.观察并思考，用叠合法证明这两个风筝图形相似.2.相似三角形的判定方法有哪些？3.判定两个三角形全等的方法有哪些？活动方式：问题1由教师演示动画，并适时强调叠合法在本节课有很大的作用，学生观察思考完成.对于问题2、3直接让学生口答：SAS，ASA，AAS，SSS，（HL）；（1）两角对应相等，两三角形相似. （2）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.（3）三边对应成比例,两三角形相似.设计意图:利用学生感兴趣的动画演示开始本节课的学习和探讨，更有助于培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步回顾相关知识点，为进行新课做好准备.二、探究学习，感悟新知活动内容：（多媒体逐个出示探究1、2、3）探究1：两角对应相等，两三角形相似.已知：如图∠A =∠A'，∠B =∠B'，求证：△ABC ∽△A B C'''.如何证明呢？温馨提示：如何能把△A B C'''叠合到△ABC上呢？证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A B''，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，AD AE AB AC=.过点D作AC的平行线，交BC于点F,则AD CFAB CB=.∴AE CFAC CB=.∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE=CF.∴AE DE AC BC=.∴AD AE DE AB AC BC==.而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B',AD=A B'',∴△ADE≌△A B C'''.∴△ABC∽△A B C'''.活动方式：探究1由教师用课件展示证明过程，特别是添加辅助线应该让学生先分组讨论，再进行尝试画图，最后老师展示证明的全部过程.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，进一步熟悉证明文字命题的基本步骤:画图、写已知、求证、证明过程.同时通过分析问题,提高学生交流的能力和语言表达能力！巩固训练１：已知：如图,∠ABD =∠C ，AD =2, AC =8，求AB .解： ∵ ∠ A = ∠ A ,∠ABD =∠C ,∴ △ABD ∽ △ACB ,∴AB AD AC AB=, ∴ AB 2 = AD · AC .∵ AD =2, AC =8,∴ AB =4.活动方式：分小组讨论这个问题，并作出推理证明,两名学生分别板演这个问题的证明过程.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，巩固定理1：两角对应相等，两三角形相似.探究2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC 和A B C '''∆ 中，∠A =∠A ，C A AC B A AB ''=''. 求证:△ABC ∽A B C '''∆.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD = A B ''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠ADE=∠B , ∠AED=∠C ,∴△ABC ∽△ADE . ∴AE AC AD AB =. ∵,,AB AC AD A B A B A C''==''''∴C A AC ADAB ''=. ∴C A AC AE AC ''=. ∴C A AE ''=.而,A A '∠=∠∴△ADE ≌A B C '''∆.∴△ABC ∽A B C '''∆。

相似三角形的判定定理2

相似三角形的判定定理2 （沪科版）
霍山县落儿岭中心学校教师：严安
复习： DE//BC
A

△ADE∽△ABC
E A
D
D
E
B
CБайду номын сангаас
B
C
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
新课：
AB AC 如图，已知△ABC和△A'B'C'中， A′ B′ A′ C′
∠A=∠A', 求证: △ABC∽△A'B'C'
2 如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
A 1 D B 2 E C
3 .已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD×AD 求证： △ADC∽△CDP．
A P B D C
∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
解： AB 7 AC 14 7 : (1) ∵ , , A' B' 3 A' C ' 6 3 AB AC A' B' A' C '. A A' , ABC ∽ A' B' C '
1.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与 ΔQCP是否相似？为什么？
A 证明：在△ABC的边AB(或延长线上）
A′
截取AD=A′B′,过D作BC的平行线交AC 于E AB AC
∵ AD AE , AD A′ B′
D
∴
∴
AB AC A′ B′ A E

相似三角形判定定理的证明课件北师大版数学九年级上册

,

=

,

D
E
.
A1D=AB ，
=

B1
C1
A
，∴DE=BC,A E=AC.
1
∴ △A1DE≌△ABC, ∵ △A1DE∽△A1B1C1,
∴△ABC∽△A1B1C1.
B
C
二类似三角形判定定理的运用
一、会用证明判定定理的方法解决相关问题
G，∠1＝∠2.猜想线段BF、FG、EF之间的等量关系，并说明理由．
【思路分析】由图知三条线段分别位于
△BFG和△EFB中，若能让它们类似即可．
二类似三角形判定定理的运用
二、会用三角形类似探索线段之间的关系
【例2】如图，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD、BC于点F、
G，∠1＝∠2.猜想线段BF、FG、EF之间的等量关系，并说明理由．
A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′, ∴ ∠A′DE=∠B′,又∵∠A′=∠A.
∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴

∵A′D=AB， ′ ′

=
′
′ ′
=

′
.∴ ′ ′
′ ′

′
.
′ ′
=
′
′ ′
C
B
A'
=

.
定理1：两角分别相等的两个三角形类似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C′ 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B′.
求证：△ABC ∽△A'B'C′．
A'

4.5 相似三角形判定定理的证明2

第3课时 相似三角形的判定定理2

4.5 相似三角形判定定理的证明

相似三角形判定定理的证明

相似三角形的判定定理证明

相似三角形判定定理的证明

相似三角形判定定理的证明

4.5 相似三角形判定定理的证明

4.5《相似三角形判定定理的证明》教案

相似三角形判定定理的证明

4.5 相似三角形判定定理的证明

4.5《相似三角形判定定理的证明》数学北师大版 九年级上册教学课件

5_相似三角形判定定理的证明_教案3

相似三角形的判定定理2

相似三角形判定定理的证明课件北师大版数学九年级上册

第3课时相似三角形的判定定理2

4.5《相似三角形判定定理的证明》数学北师大版九年级上册教学课件