三高阶导数隐函数及由参数方程所确定函数的导数-PPT课件
合集下载
隐函数对数函数求导法则课件.ppt
y 33 (,) 22
yx2
y2 x
33 1.
(,) 22
所求切线方程为 y3(x3)
2
2
法线方 y程 3x为 3 22
即 xy30.
显然通过原点.
例3 设 x 4 x y y 4 1 , 求 y '在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 值 .
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
方程.
dy
解
dy dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
2
1 cos
1.
2
当 t 时 ,x a ( 1 ),y a .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1)
2
即yxa(2)
2
小结
隐函数求导法则: 方程两边对x求导; 对数求导法: 等式两边取以e为底对数,按隐函数 的求导法等式两边同对x求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
1 2x x 1 3 x x 2 4 x1 1x 12x1 3x 14
三、由参数方程确定的函数的导数
由参数方程
x y
t所确定的函数 t
y
f
x的导数
dy 为：
dx
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
''tt
dt
例8 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切线
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1; 4
( 1 )
二、对数求导法
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
的隐函数，则 F[ x, y( x)] 0 ( x D)；
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
2021/4/22
2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
2021/4/22
14
结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
2021/4/22
28
例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
2021/4/22
29
f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
2021/4/22
2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
2021/4/22
14
结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
2021/4/22
28
例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
2021/4/22
29
f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
高数-隐函数与参数方程求导.ppt
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 (*)
dx dx
因 x = 0 时 y = 0 , 故 代入(*)求解。
4
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
将点
代入
1 3 y 0 43
y x2 3
第四节
第二章
隐函数与参数方程求导
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称
此函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
exy1 x2 y y 1 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
如 x 0 e y 1 0
若将直角坐标系中的原点取为极点，
把 x 轴的正半轴取为极轴。
设直角坐标系中点 M 的坐标 x, y 极坐标系中点M 的坐标 r,
r oM 称为极坐标的极径。
y
• M r,
ry
0x
x
0r
称为极坐标的极角。
0 2
由极轴出发逆时针方向为正。
两坐标系中变量间关系：xy
r r
cos sin
x 2 y 2 r 2
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 (*)
dx dx
因 x = 0 时 y = 0 , 故 代入(*)求解。
4
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
将点
代入
1 3 y 0 43
y x2 3
第四节
第二章
隐函数与参数方程求导
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称
此函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
exy1 x2 y y 1 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
如 x 0 e y 1 0
若将直角坐标系中的原点取为极点，
把 x 轴的正半轴取为极轴。
设直角坐标系中点 M 的坐标 x, y 极坐标系中点M 的坐标 r,
r oM 称为极坐标的极径。
y
• M r,
ry
0x
x
0r
称为极坐标的极角。
0 2
由极轴出发逆时针方向为正。
两坐标系中变量间关系：xy
r r
cos sin
x 2 y 2 r 2
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
2-3 隐函数及参数方程及高阶导数_图文.ppt
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数计算，是微积分中的重要内容。对于隐函数，我们可以通过对方程两边同时求导次进行求导，注意此时要运用复合函数的求导法则。对于由参数方程所确定的函数，其一阶导数可以通过参数方程中各变量对参数的导数关系求得。而二阶导数则需要在一阶导数的基础上，进一步对参数求导，并结合链式法则进行计算。掌握这些方法和步骤，能够有效解决隐函数及参数方程相关的高阶导数问题，提升微积分学习的效果和应用能力。
隐函数与参数式函数的求导.ppt
y0
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
上式两边对x求导得
y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
cos xln tan x sec x
y y (cos x ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x).
18
作业
P97 2(2, 4,9),3(2, 4,5)
算所构成的复杂函数和幂指函数.
20
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
上式两边对x求导得
y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
cos xln tan x sec x
y y (cos x ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x).
18
作业
P97 2(2, 4,9),3(2, 4,5)
算所构成的复杂函数和幂指函数.
20
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数
第三节 隐函数的导数和由参 数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
一、隐函数的导数
定义：若由方程 F(x,y)=0 可确定 y 是 x 的函数 ,
则称此函数为隐函数. 由 y=f (x) 表示的函数称为显函数.
F ( x, y) 0 y f ( x)
解 等式两边取对数得
a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b y a a b ln 上式两边对 x 求导得 y b x x
x
a
b
a b x a a b ln . y b x a b x x
相关变化率问题:
研究两个变化率之间的关系，以便已知其中一个 变化率时求出另一个变化率 .
相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
例1 一汽球从离开观察员 500 米处离地面铅直 上升 , 其速率为 140米 / 秒 . 当气球高度为 500 米 时 , 观察员视线的仰角增加 率是多少 ?
解 方程两边对x求导得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
(1)
1 ; 4
二、对数求导法
( x 1) 3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e
对数求导法:
yx
sin x
.
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
dy dx
t 0
例3
不计空气的阻力 以初速度v0 , 发射角 ,
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
一、隐函数的导数
定义：若由方程 F(x,y)=0 可确定 y 是 x 的函数 ,
则称此函数为隐函数. 由 y=f (x) 表示的函数称为显函数.
F ( x, y) 0 y f ( x)
解 等式两边取对数得
a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b y a a b ln 上式两边对 x 求导得 y b x x
x
a
b
a b x a a b ln . y b x a b x x
相关变化率问题:
研究两个变化率之间的关系，以便已知其中一个 变化率时求出另一个变化率 .
相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
例1 一汽球从离开观察员 500 米处离地面铅直 上升 , 其速率为 140米 / 秒 . 当气球高度为 500 米 时 , 观察员视线的仰角增加 率是多少 ?
解 方程两边对x求导得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
(1)
1 ; 4
二、对数求导法
( x 1) 3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e
对数求导法:
yx
sin x
.
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
dy dx
t 0
例3
不计空气的阻力 以初速度v0 , 发射角 ,
隐函数、参数方程的求导、高阶导数
高等数学应用教程 例2.27
2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
例2.28
高等数学应用教程 例2.29
2.2.5 高阶导数
所以
高等数学应用教程 小结
பைடு நூலகம்
2.2 导数的运算
隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程所确定的函数的求导法 高阶导数的概念及求导法
高等数学应用教程
第2章 导数与微分
2.2 导数的运算
➢ 2.2.3 隐函数的求导法
➢ 2.2.4 由参数方程所确定的
函数的求导法
➢ 2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.22
2.2.3 隐函数的求导法
两个函数, 容易得,
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.23
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 课堂练习 P53, 9 (2)
2.2.3 隐函数的求导法
例2.24
高等数学应用教程 例2.25
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
例2.26
高等数学应用教程 2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
作业
P52 习题2-2: 9（1）；10; 11(1); 12(2); 13(2)
第三节高阶导数隐函数导数参数方程求导
dy dy
dx d2y
dx x x d2y
dx2 d3y
dx2 x x
d3y
dx3
dx3 x x
dny dny
dxn
dxn x x5
4.求高阶导数举例： 例1： y ax b,求y.
解：
例 2解: ：
y a, y 0.
s sint ,求s.
s cos t ,
s 2 sint .
y
2 y3
1
1 y2
,
( y 0).
注
隐函数求高阶导数，多次将方程两边分别对x求导
注意利用原方程和含一阶导数的方程，不断将结果化简。一般，
隐函数的导数仍是隐式形式。
21
三、参数方程所确定的函数的导数
设
参
数
方
程 xy
(t) (t)
t ( , )
唯 一 确 定 函 数y f ( x)
k 1,2,,20,
k 3,4,,20,
y20 x2e2x 20
220 e2x x2 20 219e2x 2x 20 19 218 e2 x 2
2!
220 e2x x2 20x 95 .
13
例y10xex , 求y(n)
解： y ( xex ) xe x x e x ( x 1)e x
气阻力，求：
1、炮弹在时刻 t 的速度； 2、若弹着点 A 也在地平线上，求射程。
解：建立坐标系如图 1、炮弹在时刻 t 的速度；
y
v y v(t)
则
设 时 刻t 炮 弹 在x(t), y(t)，
x(t
)
v0
t
co
s
y(t)
高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
如
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2e x
1
,
y xsin x .
方 法 方程两边取对数, 再利用隐函数求导法。
--------对数求导法
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
设
y
(
x (
1) 3 x 1 x 4)2 e x
,
求y.
解
ln
y
ln( x
1)
1 3
ln(
x
1)
,求y.
解答 等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )
d: dx
y cos x ln x sin x
y
x
1
2
x x
2
y
xsin x 1 x2
(cos
x
ln
x
sin x
x
1
2
x x
2
)
17
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
2.设 x y y x ,求y.
解答 ln : y ln x x ln y,
d: dx
y ln x y ln y x y,
x
y
y
x y ln x y ln
y x
y2 x2
.
18
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
二、由参数方程所确定函数的导数
若
x y
(t) (t)
d dx
:
1 y
y
cos x ln x
sin
x
1 x
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数-PPT文档资料27页
rh
x
体积为
V,
13
则 R2h
1 3r2(hx)3hR22[h3(hx)3]
dV dt
两边对 t 求导
R2 h2
(hx)2 d d
x t
,
r hx
而
dV dt
25 (cm3
s)
R r
h
h x
R
故
25h2
R2(h
x)2
,
dx dt
100
R2
h (cm
代入上式得
d H ( t ) 122 (1) 16 (cm / s)
dt
9 25
25
因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm /s
时，桶中水面上升的速度为 16 cm /s． 25
26.01.2020
19
目录
上页
下页
返回
例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
26.01.2020
1
目录
上页
下页
返回
一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)
yx xy x3
26.01.2020
10
目录
上页
下页
返回
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数
但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方
程F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
第四节 隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定y是x的函数, 则称此
函数为隐函数.
由
表示的函数，称为显函数。
例如,
可确定y是x的函数 ,
可确定显函数
（隐函数的显化）
对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
t t
dt
例1 设
求
解：
例2 已知摆线方程
求在
但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
隐函数导数和由参数方程确定函数导数.pptx
1、 y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) . 三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ；
( x 1)5 3、 y x sin x 1 e x .
第28页/共33页
第19页/共33页
相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
第20页/共33页
例1 一汽球从离开观察员500 米处离地面铅直
上升 ,其速率为140米 / 秒 . 当气球高度为500 米 时 , 观察员视线的仰角增加率是多少?
解 设气球上升 t 秒后 , 其高度为 h(t) 米 ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解 (1) 在t0时刻的运动方向即
y v0
vy
v vx
轨迹在t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
第17页/共33页
dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
dx
(v0t cos )
v0 sin gt v0 cos
第24页/共33页
例3 河水以8米3 / 秒的体流量流入水库中, 水库
形状是长为4000米, 顶角为1200的水槽, 问水深
20米时, 水面每小时上升几米?
解 设时刻t水深为h(t)米,
水库内水量为V (t)米3 , 则
600
V (t) 4000 3h2
上式两边对t求导得
dV 8000 3h dh
( x 1)5 3、 y x sin x 1 e x .
第28页/共33页
第19页/共33页
相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
第20页/共33页
例1 一汽球从离开观察员500 米处离地面铅直
上升 ,其速率为140米 / 秒 . 当气球高度为500 米 时 , 观察员视线的仰角增加率是多少?
解 设气球上升 t 秒后 , 其高度为 h(t) 米 ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解 (1) 在t0时刻的运动方向即
y v0
vy
v vx
轨迹在t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
第17页/共33页
dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
dx
(v0t cos )
v0 sin gt v0 cos
第24页/共33页
例3 河水以8米3 / 秒的体流量流入水库中, 水库
形状是长为4000米, 顶角为1200的水槽, 问水深
20米时, 水面每小时上升几米?
解 设时刻t水深为h(t)米,
水库内水量为V (t)米3 , 则
600
V (t) 4000 3h2
上式两边对t求导得
dV 8000 3h dh
隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数
所以
dy sitn dy
,
3.
dx 1c o t sdxtπ
3
点 P 处的切线方程为
y1 2a3 x 3a2 3a .
例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出，
如果不计空气阻力，以发射点为原点，
地
平线为 x 轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y
由轴物(如理图学).知道它的运动方程为
|v |v x 2 v 2 yv 0 2 2 v 0 gsti n g 2 t2 ，
它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿
炮弹的前进方向，其斜率为
d dx yv0vs0icno sg.t
(2)令
y
=
0，得中弹点所对应的时刻t0
2v0 s in，
g
所 以x射 v0 2程 si2 n .
g t0
,
验证了
2z 2z . xy yx
例
设uexy,z求 3u .
14
x yz
解 因为
u yzexy z, x
2u (yezxy)z z (yexy)z
xy y
y
z[exy zyexyx z ]z
z(1xy )exzy,z
所以
x3yuzzx2uy
[z(1xy)ezx y]z z
(1xy)ezxyz zxyexyz
③
同样对方程 ① 两边求微分，得
dx = (t)dt，
④
③得 ④
即
ddxyf((tt))ddtt,
yx
f(t).
(t)
例4
设参数方程
x
y
a cost，(椭圆方程)确 b s i nt
定了函数 y = y(x)，求 dy .
隐函数的导数、参数式函数的导数
d 2y dx 2
dt dx
dt
例 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的方切 程. 线
解
dy dx
dy
dt dx
asint a acost
分子分母不要颠倒
sint 1 cost
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
(ey)eyy; [lny2(1)]y22y y1. (2)解出 y(允许表达式y中 ). 含有
因为y是x的函数, 所以 y 2 是x的复合函数,
例 设曲C线 的方程x为 3y33xy,求过 C上点 (3,3)
22 的切线方 ,并程证明曲 C在线该点的法线通. 过
解 方程两边 x求对导 , 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y
高等数学Ⅰ
第三节 高 阶 导 数
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
(2 )(ski)(n n x ) k nsik n x n ( ) 2
(3 )(cko )(n x ) sk nco k s x n ( ) 2
( 4 ) ( x ) ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n
(5)(lx n )(n)(1)n1(nx n 1)!(1x)(n)
(1)n
n! xn1
y
( 3,3) 22
y x2 y2 x
1.
( 3,3 ) 22
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 ( a ab b ) ( a b ) a b
3
3
2 例8. 设 yx f (sin x ) 求 y , 其中 f 二阶可导.
2 解: y 2 x f (sin x ) x f (sin x x )cos
2 y ( 2 x f (sin x ) ) ( x f(sin x ) cos x )
解:
2 n 1 2 a x y a 3 a x n a x 2 1 3 n
n 2 y 2 1 a n ( n 1 ) a x 3 2 a x 2 n 3
依次类推 , 可得
(n ) y n ! a n
当 k n时 ， y (k ) 0 .
) y [sin( x ) ] cos( x sin( x ) 2 2 2 2
) cos( x 2 y [sin( x 2 ) ] 2 2
sin( x 2 ) 2
sin( x 3 ) 2
ax
y ae
( n )
n a x
x( ) x 特别有: ( e )n e
1 y 1 x
1 y (1 x ) 2
(n) y . ln ( 1 x ) , 例3. 设 y 求 2 1 1 2 1 1 ) , , y ( , y 解: y 3 2 1 x ( 1 x ) (1 x)
即
a ( s )
x ) 的导数 y f ( x )可导, 则称 定义. 若函数 yf(
2 d y f (x) 的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作 y 或 2 , 即 d x 2 d y d dy 或 y ( y ) ( ) 2 d x dx dx
第三节
高阶导数、隐函数及由参数方程 所确定函数的导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则 三、隐函数的导数 四、由参数方程确定的函数的导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 ss ( t)
速度
ds v , dt
即 v s
d ds dv ( ) 加速度 a d t dt dt
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y ,
或
y ( 4 ) , , y(n)
d y d y , , 4 d x d xn
4
d3 y , 3 d x
n
2 n (n) 求 y a a x a x a x , y . 例1. 设 01 2 n
( n ) n ( x ) ( 1 )( 2 ) ( n 1 ) x
为任意常数 ), 问 y 设 yx (
(n)
?
(n) 求 y e , y . 例2.设 2 a x 3a x ax 解: y ae , , a e , y a e , y
一般地 , 类似可证:
( n ) n ) (sin x ) sin( x 2
( n ) (cos x ) cos( x n ) 2
二、高阶导数的运算法则 u (x )及 v v (x ) 都有 n 阶导数 , 则 设函数 u
) ( n ) ( n ) 1 .( u v )(n u v
Cu
k0
n
k (nk) (k) n
v
莱布尼兹(Leibniz) 公式
( 20 ) 2 2x 求 y . y x e , 例5. 2 x 2则 u e , v x , 解: 设
( k ) k2 k 1 , 2 , , 20 ) u 2 ex ( 2, v 2 x, v
解:
1 1 由于 y x 2 x 1
1 1 故 y x 2 x 1
( n )
n
( n )
( n )
1 1 ( 1 )n ! n 1 n 1 ( x 2 ) ( x 1 )
sin x cos x 例7. y
,
y
(n)
(1)
n1
(n 1 )!
(1 x ) n ( n 1) ! (1 x ) n
规定 0 ! = 1
ln ( 1 x ) , y (n) 思考: y
sin x ,求 y ( n ) . 例4. 设 y
) co xs sin( x (sin x ) 解: y 2
6 6
2 3 2 3 解: y (sin x ) (cos x )
4 2 2 4
1 cos 2 sin 2
2
sin x sin x cos x cos x
2 2 (sin x cos x ) 3 sin x cos n 2x cos 8 8 4 3 n (n) 4 x n ) y 4 cos( 2 8
2 . (C u )(n) Cu(n) (C为常数)
3 .( uv )
(n )
u
( n)
u v n
(n 1 )
n ( n 1 ) ( n k 1 ) (nk) (k) (n ) u v u v k !
n ( n 1 ) (n2) v u v 2!
k 3 , ,20 ) v(k) 0 (
由莱布尼兹公式 , 得
y
(20)
20 19 18 2x 2 e 2 2 e x 20 2 e 2 x 2! 20 2 x 2 x 20 x 95 ) 2 e (
20 2x
2
19 2 x
1 例6. y 2 x 3 x2
3
3
2 例8. 设 yx f (sin x ) 求 y , 其中 f 二阶可导.
2 解: y 2 x f (sin x ) x f (sin x x )cos
2 y ( 2 x f (sin x ) ) ( x f(sin x ) cos x )
解:
2 n 1 2 a x y a 3 a x n a x 2 1 3 n
n 2 y 2 1 a n ( n 1 ) a x 3 2 a x 2 n 3
依次类推 , 可得
(n ) y n ! a n
当 k n时 ， y (k ) 0 .
) y [sin( x ) ] cos( x sin( x ) 2 2 2 2
) cos( x 2 y [sin( x 2 ) ] 2 2
sin( x 2 ) 2
sin( x 3 ) 2
ax
y ae
( n )
n a x
x( ) x 特别有: ( e )n e
1 y 1 x
1 y (1 x ) 2
(n) y . ln ( 1 x ) , 例3. 设 y 求 2 1 1 2 1 1 ) , , y ( , y 解: y 3 2 1 x ( 1 x ) (1 x)
即
a ( s )
x ) 的导数 y f ( x )可导, 则称 定义. 若函数 yf(
2 d y f (x) 的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作 y 或 2 , 即 d x 2 d y d dy 或 y ( y ) ( ) 2 d x dx dx
第三节
高阶导数、隐函数及由参数方程 所确定函数的导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则 三、隐函数的导数 四、由参数方程确定的函数的导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 ss ( t)
速度
ds v , dt
即 v s
d ds dv ( ) 加速度 a d t dt dt
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y ,
或
y ( 4 ) , , y(n)
d y d y , , 4 d x d xn
4
d3 y , 3 d x
n
2 n (n) 求 y a a x a x a x , y . 例1. 设 01 2 n
( n ) n ( x ) ( 1 )( 2 ) ( n 1 ) x
为任意常数 ), 问 y 设 yx (
(n)
?
(n) 求 y e , y . 例2.设 2 a x 3a x ax 解: y ae , , a e , y a e , y
一般地 , 类似可证:
( n ) n ) (sin x ) sin( x 2
( n ) (cos x ) cos( x n ) 2
二、高阶导数的运算法则 u (x )及 v v (x ) 都有 n 阶导数 , 则 设函数 u
) ( n ) ( n ) 1 .( u v )(n u v
Cu
k0
n
k (nk) (k) n
v
莱布尼兹(Leibniz) 公式
( 20 ) 2 2x 求 y . y x e , 例5. 2 x 2则 u e , v x , 解: 设
( k ) k2 k 1 , 2 , , 20 ) u 2 ex ( 2, v 2 x, v
解:
1 1 由于 y x 2 x 1
1 1 故 y x 2 x 1
( n )
n
( n )
( n )
1 1 ( 1 )n ! n 1 n 1 ( x 2 ) ( x 1 )
sin x cos x 例7. y
,
y
(n)
(1)
n1
(n 1 )!
(1 x ) n ( n 1) ! (1 x ) n
规定 0 ! = 1
ln ( 1 x ) , y (n) 思考: y
sin x ,求 y ( n ) . 例4. 设 y
) co xs sin( x (sin x ) 解: y 2
6 6
2 3 2 3 解: y (sin x ) (cos x )
4 2 2 4
1 cos 2 sin 2
2
sin x sin x cos x cos x
2 2 (sin x cos x ) 3 sin x cos n 2x cos 8 8 4 3 n (n) 4 x n ) y 4 cos( 2 8
2 . (C u )(n) Cu(n) (C为常数)
3 .( uv )
(n )
u
( n)
u v n
(n 1 )
n ( n 1 ) ( n k 1 ) (nk) (k) (n ) u v u v k !
n ( n 1 ) (n2) v u v 2!
k 3 , ,20 ) v(k) 0 (
由莱布尼兹公式 , 得
y
(20)
20 19 18 2x 2 e 2 2 e x 20 2 e 2 x 2! 20 2 x 2 x 20 x 95 ) 2 e (
20 2x
2
19 2 x
1 例6. y 2 x 3 x2