高中数学人教a版选修2-2课时检测(二十一) 复数代数形式的乘除运算含解析

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2018版数学新导学同步选修2-2人教A版：课时作业21复数代数形式的乘除运算含解析

|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.答案：D2．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i解析：由题意z ＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A. 答案：A3．设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C.32 D ．2 解析：因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＋i ＝12＋i2，所以|z |＝2.A ．EB ．FC ．GD ．H解析：依题意得z ＝3＋i ，z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．i 是虚数单位，－5＋10i3＋4i＝________(用a ＋b i 的形式表示，其中a ，b ∈R )．解析：－5＋10i 3＋4i ＝(－5＋10i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－15＋20i ＋30i ＋409＋16＝1＋2i.答案：1＋2i7．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________. 解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.(5－4i )(1－i )解析：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (7－i) ＝3－72＋73＋12i. (2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i ＝－20＋16i1－9i＝－4(5－4i )(1＋9i )82＝－4(41＋41i )82＝－2－2i.10．已知复数z 满足zz －1＝2i ，求复数z 对应点坐标．解析：方法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则zz －1＝x ＋y i (x －1)＋y i ＝2i ，得x ＋y i ＝－2y ＋2(x －1)i ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y y ＝2(x －1)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45y ＝－25，则复数z ＝45－25i.即复数z 对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－25.C ．2D ．－2解析：法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i ＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i＝2i ＝－2i.答案：B12．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ，2＝3b ，所以a ＝83.答案：8313．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i.(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．解析：(1)z ＝－2i ＋3＋3i＝3＋i＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°. （1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；（3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。

人教A版选修2-23.2.2复数代数形式的乘除运算基础达标(含答案解析).docx

1．(2013·杭州高二检测)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是( )A．E B．FC．G D．H解析：选D.z点对应的复数z＝3＋i，z1＋i＝3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i2＝2－i.故表示复数z1＋i的点是H.2．(2011·高考安徽卷)设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为( ) A．2 B．－2C．－12D.12解析：选A.1＋a i2－i＝1＋a i2－i·2＋i2＋i＝2－a＋(2a＋1)i5，∵1＋a i 2－i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ＝0，2a ＋1≠0，∴a ＝2.3．设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i ＜2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]解析：选C.因为M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }＝{y |y ＝|cos 2x |，x ∈R }＝{y |0≤y≤1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx －1i ＜2＝{x ||x ＋i|＜2}＝{x |x 2＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，所以M ∩N ＝[0,1)．所以选C.4．(2012·高考山东卷)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i解析：选A.由z (2－i)＝11＋7i 得z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i 5＝3＋5i. 5．z z ＋z ＋z ＝3，则z 的对应点Z 的几何图形是( )A ．圆B ．两个点C ．线段D ．直线解析：选A.设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，z ·z ＝a 2＋b 2.z ＋z ＝2a ，∴a 2＋b 2＋2a ＝3.(a ＋1)2＋b 2＝4，故选A.6．(2012·高考湖北卷)若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 解析：3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i] ＝3－b 2＋3＋b 2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3. 答案：3 7．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，a 2＋b 2－a ＋b i ＝2＋4i.∴⎩⎨⎧ a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝4.答案：3＋4i8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z ＝________. 解析：由定义知z i ＋z ＝4＋2i∴z ＝4＋2i 1＋i ＝6－2i (1＋i )(1－i )＝3－i.答案：3－i9．求值：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014. 解：原式＝i (1＋23i )1＋23i＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 007 ＝i ＋i 1 007＝i ＋i 3＝i －i ＝0.10．已知1＋i 是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根．(b ，c 为实数)①求b ，c 的值，②说明1－i 也是该方程的一个根．解：①∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(b ＋2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝0，b ＋2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2c ＝2.②把1－i 代入方程的左边(1－i)2－2(1－i)＋2＝1－2i ＋i 2－2＋2i ＋2＝0，显然方程成立．因此1－i 是原方程的一个根．。

2021年高中数学3.2.2复数代数形式的乘除运算学案含解析人教A版选修2_2

3．2.2 复数代数形式的乘除运算[目标] 1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算.2.理解共轭复数的意义.3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算．[重点] 复数的乘法与除法的运算法则．[难点] 复数的除法运算．知识点一复数的乘法运算[填一填]1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数的乘法满足的运算律对任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3[答一答]1．两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？提示：多个复数的乘法运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部．2．若z1，z2∈C，(z1＋z2)2＝z21＋2z1·z2＋z22是否成立？提示：成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．知识点二复数的除法运算[填一填]1．共轭复数已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则(1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c ，且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c ，且b ＝－d ≠0. 2．复数代数形式的除法法则 (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [答一答]3．根据共轭复数的概念，探究以下问题： (1)如果z ∈R ，那么z 与z 有什么关系？(2)复数z 与它的共轭复数z 在复平面内所对应的点的位置关系如何？ (3)两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？提示：(1)当z ∈R 时，z ＝z ，即一个实数的共轭复数是它自身． (2)关于实轴对称．(3)当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数．事实上，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么z ·z ＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，且有z ·z ＝|z |2＝|z |2.4．复数除法的实质是怎样的？提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．1．复数的乘除法(1)复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i 2应化为－1.(2)复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式．2．共轭复数(1)复数z 的共轭复数通常用z 表示，即当z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时，z ＝a －b i. (2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2＝|z |2＝|z |2.(3)实数a 的共轭复数仍是a 本身，即z ∈C ，z ＝z ⇔z ∈R ，这是判断一个数是否为实数的一个准则．(4)两个共轭复数的对应点关于实轴对称． 3．虚数单位i 的乘方由i 4＝1，则对任意n ∈N *，i 的幂的周期性如下：i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n＝1.类型一复数的乘法运算【例1】计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.正确使用乘法公式，此类题就不难解决.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等.计算下列各题． (1)(1－i)3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)．解：(1)(1－i)3＝(1－i)2·(1－i) ＝(1－2i ＋i 2)·(1－i)＝(－2i)·(1－i)＝－2i ＋2i 2＝－2－2i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (7－i) ＝3－72＋73＋12i.类型二共轭复数【例2】 (1)若z ＝1＋2ii ，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(3)复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．iD ．2i【解析】 (1)z ＝1＋2ii＝1＋2i －i－i2＝2－i ，则复数z ＝2＋i. (2)因为x ＋y i 的共轭复数为x －y i ，故选B.(3)依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. 【答案】 (1)D (2)B (3)B1若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z ，再进行复数的四则运算.必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求z .2共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z ，解此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解.(1)若|z |＝3，z ＋z ＝0，则复数z ＝3i 或－3i. 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则有z ＝x －y i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x ＋y i ＋x －y i ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，即z ＝3i 或－3i.(2)已知x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数，求实数x 与y 的值．解：∵x ，y 为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.类型三复数的除法运算【例3】计算： (1)1＋i3－1－i 31＋i2－1－i2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4＋1－3i 22＋2i 2.【思路分析】 (1)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简，或分解因式，再做除法；(2)先展开，后化简．【解】 (1)方法1：原式＝1＋3i 1＋i ＋i 3－[1－3i 1－i －i 3]2i ＋2i ＝4i4i ＝1.方法2：原式＝ [1＋i －1－i ][1＋i 2＋1＋i 1－i ＋1－i2][1＋i ＋1－i ][1＋i －1－i ]＝4i4i＝1. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＋－2－23i 41＋i2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2－1＋3i 4i ＝－12－32i ＋14i －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－32i.在进行复数除法运算时，通常先把a ＋b i ÷c ＋d i 写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c －d i ，化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( D ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋iD ．5－i解析：由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝3＋52－i ＝3＋52＋i2－i 2＋i＝3＋2＋i ＝5＋i ，所以z ＝5－i.1．(1－i)2·i 等于( D ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2D ．2解析：(1－i)2·i＝(1－2i ＋i 2)·i＝(－2i)·i＝－2i 2＝2，故选D. 2．在复平面内，复数z ＝12＋i对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝12＋i ＝2－i 2＋i 2－i ＝2－i 22－i 2＝2－i 5＝25－15i ，故复数z 对应的点为Z (25，－15)，它位于第四象限，选D. 3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 的值为( C ) A ．－3＋i B ．3＋i C ．－3－iD ．3－i解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ，∴z ＝－3－i ，故选C.4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝－1，y ＝1.解析：x －2＋y i ＝3x ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.5．计算：(2＋i)·(1＋i)2－2＋i 1＋i .解：原式＝(2＋i)(2i)－2＋i1－i2＝4i －2－3－i2＝(－2－32)＋(4＋12)i ＝－72＋92i.。

高中数学(人教A版选修2-2)课时作业3.2.2 复数代数形式的乘除运算

课时提升作业(二十三)复数代数形式的乘除运算一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·深圳高二检测)i为虚数单位，则=( )A.-iB.-1C.iD.1【解析】选C.因为==i，所以原式=i2 013=i4×503+1=i.2.(2014·东营高二检测)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H【解析】选D.依题意得z=3+i，====2-i，该复数对应的点的坐标是(2，-1).3.(2013·山东高考)复数z=(i为虚数单位)，则|z|=( )A.25B.C.5D.【解题指南】从复数的运算法则及复数的模的概念角度处理.【解析】选C.z==-4-3i，所以|z|==5.4.(2014·江西高考)是z的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=( ) A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i【解析】选D.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,z+=2a=2,故a=1,(z-)i=-2b=2,故b=-1,所以z=1-i.5.(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.D【解题指南】解决本题的关键是明确复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数的形式是=a-bi，然后根据图示进行选择即可.【解析】选B.由于点A表示复数z=a+bi(a，b∈R)，所以其共轭复数是=a-bi，在图中应该是点B对应的复数，故选B.6.下面关于复数z=的结论，正确的是( )①=2；②z2=2i；③z的共轭复数为1+i；④z的虚部为-1.A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】选C.z===-1-i，所以==，z2=(-1-i)2=2i.z的共轭复数为-1+i.z的虚部为-1，所以②④正确.二、填空题(每小题4分，共12分)7.计算(7-i)=__________.【解题指南】复数乘法运算可以把虚数单位i看作一个字母，按照实数的多项式乘法运算法则进行运算.【解析】(7-i)=×7-i+i·7-i·i=+i.答案：+i8.如果x-1+yi与i-3x是共轭复数，则实数x=__________，实数y=__________.【解析】由已知得所以答案：-19.(2014·银川高二检测)已知=b+i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a+b=__________.【解析】根据已知可得=b+i⇒2-ai=b+i⇒即从而a+b=1.答案：1【变式训练】i是虚数单位，若=a+bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )A.-15B.-3C.3D.15【解析】选B.==-1+3i=a+bi，所以a=-1，b=3，所以ab=-3.三、解答题(每小题10分，共20分)10.计算：(1)(2+i)(2-i).(2)(1+2i)2.(3)+.【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)原式=+=i6+=-1+i.【一题多解】(3)原式=+=i6+i=-1+i.【拓展延伸】复数的运算顺序复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算乘方、开方，再进行次级运算乘、除，最后进行低级运算加、减，如i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算.11.(2014·天津高二检测)已知复数z满足z=(-1+3i)(1-i)-4.(1)求复数z的共轭复数.(2)若w=z+ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围.【解题指南】先利用乘法法则计算出z，再求出复数z，w的模，进而计算出a的范围.【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i，所以复数z的共轭复数为-2-4i.(2)w=-2+(4+a)i，复数w对应向量为(-2，4+a)，其模为=.又复数z所对应向量为(-2，4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，20+8a+a2≤20，a2+8a≤0，a(a+8)≤0，所以，实数a的取值范围是-8≤a≤0.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·武汉高二检测)已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=sin53°+isin37°，则z1·z2=( )A.+iB.+iC.-iD.-i【解析】选 A.由已知及复数乘法与三角公式得，z1·z2=(cos23°+isin23°)(sin53°+isin37°)=(cos23°+isin23°)(cos37°+isin37°)=(cos23°cos 37°-sin 23°sin 37°)+i(cos 23°sin 37°+sin 23°cos 37°)=cos 60°+isin 60°=+i.故选A.2.(2014·长春高二检测)已知3-i=z·(-2i)，那么复数z在复平面内对应的点应位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题指南】先计算出z，再判断z所在的象限.【解析】选A.z==+i.【举一反三】若结论改为求复数z的共轭复数的模，则结果如何?【解析】z==+i.则=-i，即得||===1.3.(2014·安徽高考)设i是虚数单位,复数i3+= ( )A.-iB.iC.-1D.1【解题指南】利用复数的运算性质进行计算.【解析】选D.i3+=-i+=-i+=-i+=1.4.(2014·长沙高二检测)定义：复数b+ai是z=a+bi(a，b∈R)的转置复数，记为z′=b+ai；复数a-bi是z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数，记为=a-bi.给出下列命题：①z′=i；②′+=0；③z′1·z′2=；其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.i=i(a-bi)=b+ai=z′，①正确；′+=(a-bi)′+=-b+ai+b-ai=0，②正确；设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，a2，b1，b2∈R).z′1·z′+b1i)′·(a2+b2i)′2=(a1=(b1+a1i)·(b2+a2i)=(b1b2-a1a2)+(b1a2+a1b2)i.===(a1a2-b1b2)-(b1a2+a1b2)i，所以z′1·z′2≠，③错，故选C.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·石家庄高二检测)若复数z=的实部为3，则z的虚部为__________.【解析】z===，由条件知，=3，所以a=-1，所以z=3+i，所以z的虚部为1.答案：16.复数z满足方程i=1-i，则z=__________.【解析】·i=1-i，所以===-i(1-i)=-1-i，所以z=-1+i.答案：-1+i三、解答题(每小题12分，共24分)7.定义运算=ad-bc，复数z满足=1+i，求z.【解析】由题意知，=i·z-i=1+i，所以iz=1+2i，所以z==2-i.8.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b，c为实数).(1)求b，c的值.(2)试说明1-i也是方程的根吗?【解析】(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根，所以(1+i)2+b(1+i)+c=0，即(b+c)+(2+b)i=0.所以得(2)方程为x2-2x+2=0.把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0，显然方程成立，所以1-i 也是方程的一个根.【变式训练】若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，求b，c的值.【解析】由于1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根，则(1+i)2+b(1+i)+c=0，整理得(b+c-1) +(2+b)i=0，则解得关闭Word文档返回原板块。

高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测(二十一) 复数代数形式的乘除运算 Word版含解析

课时跟踪检测（二十一）复数代数形式的乘除运算层级一学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋i i＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C. 3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( )A ．2－3iB ．2＋3iC ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i.4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4B ．－3C ．3D ．4 解析：选D 2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．(天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 答案：27．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析：∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3.答案：－38．若a 1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 解析：∵a ，b ∈R ，且a 1－i＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1. ∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 59．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i. 解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i 2－3i ＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i 13＝－i ，所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i＝i －1＋(－i)＝－1. 10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i 1＋i∈R ，则实数a ＝( ) A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R ，所以不妨设1＋a i 1＋i＝x ，x ∈R ，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1. 3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B ∵a ＋i i ＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a ＝3或a ＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i 1＋2i的值是( ) A ．0B ．1C ．iD ．2i解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i (－i)i＋i ＝2i. 5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i 25， ∵z 1z 2为纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0， ∴a ＝83. 答案：836．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. ∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a . 解：由z 2＋a z ＜0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2 ＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i ＜0， ∴⎩⎨⎧ －m 2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i(a ＋b i) ＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限，∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业复数代数形式的乘除运算

3.2.2复数代数形式的乘除运算课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i (a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝________________.2．复数乘法的运算律对任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝________结合律(z1·z2)·z3＝__________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________3.共轭复数设z＝a＋b i (a，b∈R)，则z＝________叫z的共轭复数．若b≠0，则z叫虚数z的________虚数，且z＋z＝______，z－z＝______，两共轭复数在复平面内所对应点关于________对称．4．复数的除法a＋b ic＋d i＝____________＝____________ (c＋d i≠0)．5．i的乘方设i为虚数单位，则i1＝________，i2＝________，i3＝________，i4＝______.一、选择题1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于()A．4＋2i B．2＋iC．2＋2i D．3＋i2．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1等于( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2 3．设z ＝3＋i ，则1z等于( )A ．3＋iB ．3－i C.310i ＋110 D.310＋110i 4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－346．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12 B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32 D ．a ＝1，b ＝37．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.8．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝__________________________________________________________. 9．若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝______. 三、解答题10．计算：3＋4i4－3i ＋9＋2i.11.已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.能力提升12．复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．答案知识梳理1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 2.3.a －b i 共轭 24.(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i ) (ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 25．i －1 －i 1 作业设计1．A [∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ， ∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2 ＝3＋2i ＋1＝4＋2i.]2．A [z 2－2z z －1＝(1＋i )2－2(1＋i )1＋i －1＝2i －2－2i i＝－2i ＝－2ii2＝2i.]3．D [1z ＝13－i ＝3＋i 10＝310＋i 10.]4．B [∵a1＋i ＋1＋i 2＝a －a i 2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i 为实数，∴1－a 2＝0，∴a ＝1.]5．A [∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i. z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.]6．A [∵1＋2ia ＋b i＝1＋i ，∴a ＋b i ＝1＋2i 1＋i ＝(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3＋i2，∴a ＝32，b ＝12.]7．1解析 ∵a ＋2i i ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. 8．4 解析x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i⇒x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i) ＝(12x ＋15y )＋(12x ＋25y )i ＝12(1＋3i) ⇒⎩⎨⎧12x ＋15y ＝1212x ＋25y ＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4. 9．1解析由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1.10．解3＋4i 4－3i ＋9＋2i ＝(3＋4i )i4i －3i 2＋9＋2i ＝(3＋4i )i3＋4i ＋9＋2i ＝9＋3i.11．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意，得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝|z2＋i|＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入上式，得a ＝±15，b ＝±5，故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．12．A [∵z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．] 13．解方法一 (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i) ＝2－2i ， ∴|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.方法二 |z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|×|1－i|3 ＝1×(2)3＝2 2. (2)∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋2)2＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4. ∴当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2取得最大值 9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.。

[精品]新人教A版选修2-2高中数学3.2.2 复数代数形式的乘除运算过关习题和答案

选修2-2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、选择题1．(2010·安徽理，1)i 是虚数单位，i3＋3i＝( )A.14－312i B.14＋312i C.12＋36i D.12－36i [答案] B [解析]i 3＋3i ＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i)＝3＋3i 12＝14＋312i ，故选B.2．在复平面内，复数z ＝i(1＋2i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B[解析] 考查复数的运算．z ＝－2＋i ，对应点位于第二象限，∴选B.3．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i [答案] D[解析] 本小题主要考查复数的运算．设z ＝b i(b ∈R )，则z ＋21－i ＝2＋b i 1－i ＝2－b 2＋b ＋22i ，∴b ＋22＝0，∴b ＝－2，∴z ＝－2i ，故选D.4．i 是虚数单位，若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15 [答案] B[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算． 1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i5＝－1＋3i ＝a ＋b i ， ∴a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3.5．设z 是复数，a (z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，a (i)＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2 [答案] C[解析] 考查阅读理解能力和复数的概念与运算． ∵a (z )表示使z n ＝1的最小正整数n .又使i n ＝1成立的最小正整数n ＝4，∴a (i)＝4. 6．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则5iz＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2－iD ．－2＋i [答案] A[解析] 考查复数的运算．z ＝－1＋2i ，则5i －1＋2i ＝5i(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i)＝10－5i 5＝2－i.7．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( ) A ．b 2＝3a 2 B ．a 2＝3b 2 C ．b 2＝9a 2 D ．a 2＝9b 2 [答案] A[解析] 本小题主要考查复数的运算． (a ＋b i)3＝a 3＋3a 2b i －3ab 2－b 3i ＝a 3－3ab 2＋(3a 2b －b 3)i ， ∴3a 2b －b 3＝0，∴3a 2＝b 2，故选A.8．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i [答案] D[解析] 本题主要考查复数的运算．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由z ＋z ＝4，z z＝8得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4a 2＋b 2＝8∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝±2∴z ＝2＋2i ，z ＝2－2i 或z ＝2－2i ，z ＝2＋2i ，z z＝2－2i2＋2i＝－i 或zz ＝2＋2i2－2i ＝i.∴z z＝±i，故选D.9．(2010·新课标全国理，2)已知复数z ＝3＋i (1－3i)2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝( )A.14 B.12C ．1D ．2 [答案] A[解析] ∵z ＝3＋i (1－3i)2＝3＋i 1－23i －3＝3＋i－2－23i ＝3＋i －2(1＋3i)＝(3＋i)(1－3i)－2×(1＋3)＝3－3i ＋i ＋3－8＝23－2i －8＝3－i －4，∴z －＝3＋i －4，∴z ·z －＝|z |2＝14，故选A.10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i [答案] A[解析] 由定义得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ＝z (1＋i)＝4＋2i ∴z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.故应选A. 二、填空题11.1＋i 1－i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. [答案] 1[解析] 本小题考查复数的除法运算． ∵1＋i 1－i ＝(1＋i)22＝i ，∴a ＝0，b ＝1. 因此a ＋b ＝1.12．若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________. [答案] 1＋i[解析] 本题主要考查复数的运算． ∵z ＝i(2－z )，∴z ＝2i 1＋i＝1＋i.13．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m 、n 、p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于原复平面内的第________象限．[答案] 二[解析] ∵mx 2－nx ＋p >0(m 、n 、p ∈R )的解集为(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0(－1)＋2＝nm (－1)×2＝p m，即m <0，p >0.故复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第二象限．14．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．[答案] 83[解析] 设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)，∴z 1＝b i(z 2)，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b2＝3b⇒a ＝83.三、解答题 15．计算：(1)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋i 2000＋1＋i 3－i ； (2)1＋i n ＋i 2n ＋…＋i 2000n (n ∈N )．[解析] (1)原式＝－23＋i －i(－23＋i)＋(－i)100＋1＋i 3－i＝i ＋1＋15＋25i ＝65＋75i.(2)当n ＝4k (k ∈N )时，原式＝1＋1＋…＋1 2001＝2001. 当n ≠4k (k ∈N )时，原式＝1－i 2001n 1－i n ＝1－i 2000n ·i n 1－i n ＝1－i n 1－i n＝1.16．已知复数z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ≤2时，求a 的取值范围． [解析] z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i＝(2＋4i)－(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)1＝1－i∵ω＝z ＋ai ＝1－i ＋ai ＝1＋(a －1)i∴ωz ＝1＋(a －1)i 1－i ＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i2∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ＝(2－a )2＋a 22≤ 2∴a 2－2a －2≤0，∴1－3≤a ≤1＋ 3 故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．17．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c ∈R )． (1)求b ，c 的值；(2)试证明1－i 也是方程的根．[解析] (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根 ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0 即b ＋c ＋(2＋b )i ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝02＋b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.(2)由(1)知方程为x 2－2x ＋2＝0 把1－i 代入方程左边得左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立 ∴1－i 也是方程的根．18．已知ω＝z ＋i(z ∈C )，z －2z ＋2是纯虚数，又|ω＋1|2＋|ω－1|2＝16，求ω.[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )∴z －2z ＋2＝(a －2)＋b i (a ＋2)＋b i ＝(a 2＋b 2－4)＋4b i (a ＋2)2＋b 2由z －2z ＋2是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4b ≠0①∴|ω＋1|2＋|ω－1|2＝|z ＋i ＋1|2＋|z ＋i －1|2 ＝|a ＋b i ＋i ＋1|2＋|a ＋b i ＋i －1|2＝|(a ＋1)＋(b ＋1)i|2＋|(a －1)2＋(b ＋1)i|2 ＝(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(a －1)2＋(b ＋1)2 ＝2(a 2＋b 2)＋4＋4b ＝8＋4＋4b ＝12＋4b ＝16， ∴b ＝1，将b＝1代入①得a＝± 3. ∴z＝±3＋i，ω＝±3＋2i.。

2017-2018学年人教A版数学选修2-2课时跟踪检测二十一

课时跟踪检测(二十一) 复数代数形式的乘除运算一、选择题1．(湖南高考)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.2．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1等于( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B 法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i＝2i ＝－2i.3．若i 为虚数单位，如下图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．4．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z －＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ， ∴z －＝2－3i. 5．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )A.14B.12 C ．1D ．2解析：选A ∵z ＝3＋i (1－3i )2＝－3i 2＋i(1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2＝i 1－3i＝i (1＋3i )4＝－34＋i 4，∴z ＝－34－i 4，∴z ·z ＝14. 二、填空题6．(天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以ab ＝2.答案：27．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________.解析：x 1－i ＋y 1－2i＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 5＋⎝⎛⎭⎫x 2＋2y 5i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y＝4.答案：48．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1.答案：1 三、解答题9．计算：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(2)1－3i(3＋i )2.解：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i.(2)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2 ＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.10．已知z 1＝1－i ，z 2＝1－3i ，z 3＝1－2i ，且x z 1－5z 2＝yz 3.(1)求实数x ，y 的值； (2)求z 1·z 2.解：(1)由已知x z 1－5z 2＝yz 3，得x 1－i －51－3i ＝y 1－2i ，即x －12＋x －32i ＝y 5＋2y5i. ∵x ，y ∈R ，∴⎩⎨⎧x －12＝y5，x －32＝2y5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5.(2)由(1)知z 1＝1＋i ，z 2＝1＋3i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(1＋3i) ＝1＋4i ＋3i 2＝－2＋4i.。

2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2学业测评：3.2.2 复数代数形式的乘除运算

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．i 为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2＝(1－i )2(1＋i )2＝－2i2i ＝－1. 【答案】 A2．如图3-2-3，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图3-2-3A ．AB ．BC ．CD ．D【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．【答案】 B3．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12D.14【解析】由z ＝32－a i ，a ∈R ，得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×a i ＋(a i)2＝34－a 2－3a i ，因为z 2＝12－32i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12.【答案】 C4．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) 【导学号：60030082】A.14B.12 C ．1D ．2【解析】 ∵z ＝3＋i(1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2＝i 1－3i ＝i (1＋3i )4＝－34＋i4，∴z ＝－34－i4， ∴z ·z ＝14. 【答案】 A5．已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( ) A ．5 B. 5 C ．3D. 3【解析】 z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i 2＝4＋1＝5，故选A. 【答案】 A 二、填空题6．复数(1＋2i )23－4i 的值是________ .【解析】(1＋2i )23－4i＝－3＋4i 3－4i＝－1.【答案】－17．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于________．【解析】 ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )， ∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i. ∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2. 【答案】－2 8．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵a ＋2ii ＝b ＋i ， ∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ， ∴a ＝－1，b ＝2， ∴a ＋b ＝1. 【答案】 1 三、解答题 9．计算：(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)； (2)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i .【解】 (1)原式＝－1＋i ＋i －i 2－1＋i ＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝1＋i.10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．【解】 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2,4＋a )，其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升]1．(2016·宁夏练习)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22【解析】 A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题； B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．【答案】 D2．已知3－3i ＝z ·(－23i)，那么复数z 在复平面内对应的点应位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵3－3i ＝z ·(－23i)，∴z ＝3－3i－23i ＝(3－3i )(23i )(－23i )(23i )＝6＋63i 12＝12＋32i.∴其对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，在第一象限．【答案】 A 3．若复数z ＝7＋a i2－i的实部为3，则z 的虚部为________．【导学号：60030083】【解析】 z ＝7＋a i 2－i ＝(7＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(14－a )＋(7＋2a )i 5＝14－a 5＋7＋2a5i.由题意知14－a5＝3，∴a ＝－1，∴z ＝3＋i.∴z 的虚部为1. 【答案】 14．已知z 为复数，z －1i 为实数，z1－i 为纯虚数，求复数z .【解】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －1i ＝a －1＋b i i ＝(a －1＋b i)·(－i)＝b －(a －1)i.因为z －1i 为实数，所以a －1＝0，即a ＝1.又因为z1－i ＝(a ＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(a －b )＋(a ＋b )i 2为纯虚数，所以a －b ＝0，且a ＋b ≠0，所以b ＝1. 故复数z ＝1＋i.。

高中数学人教A版选修2-2课时跟踪检测(二十一) 复数代数形式的乘除运算

课时跟踪检测(二十一) 复数代数形式的乘除运算一、选择题1．(辽宁高考)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z 等于( )A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i 解析：选A z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i. 2．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1等于( ) A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B 法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i＝－2i. 法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i＝2i ＝－2i. 3．若i 为虚数单位，如下图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i 的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．4．(安徽高考)设i 是虚数单位， z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( )A ．1＋IB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选A 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i.又∵z ·z i ＋2＝2z ，∴(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，∴a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.5．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A.14B.12 C ．1 D ．2解析：选A ∵z ＝3＋i (1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2＝i 1－3i＝i (1＋3i )4＝－34＋i 4， ∴z ＝－34－i 4， ∴z ·z ＝14. 二、填空题6．若z ＝－1－i 2时，则z 2 014＋z 104＝________. 解析：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i. z 2 014＋z 104＝(－i)1 007＋(－i)52＝(－i)1 004·(－i)3＋1＝1＋i.答案：1＋i7．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________. 解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 5＋⎝⎛⎭⎫x 2＋2y 5i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4. 答案：48．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1.答案：1三、解答题9．计算：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(2)1－3i (3＋i )2.解：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i. (2)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2 ＝－i3＋i ＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.10．已知z 1＝1－i ，z 2＝1－3i ，z 3＝1－2i ，且x z 1－5z 2＝y z 3.(1)求实数x ，y 的值；(2)求z 1·z 2. 解：(1)由已知x z 1－5z 2＝yz 3，得x 1－i －51－3i ＝y 1－2i ，即x －12＋x －32i ＝y5＋2y5i. ∵x ，y ∈R ，∴⎩⎨⎧ x －12＝y5，x －32＝2y5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－5.(2)由(1)知z 1＝1＋i ，z 2＝1＋3i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(1＋3i) ＝1＋4i ＋3i 2＝－2＋4i.。

人教A版数学高二选修2-2课后提升训练复数代数形式的乘除运算

课后提升训练二十三复数代数形式的乘除运算(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·泰安高二检测)i是虚数单位,复数= ( )A.-iB.iC.--iD.-+i 【解析】选A.===-i.【一题多解】选A.===-i.【补偿训练】化简的结果是( )A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i【解析】选C.====2-i.2.复数z=的共轭复数是( )A.+iB.-iC.1-iD.1+i【解析】选B.z====+i,所以=-i.3.(2017·全国丙卷)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由题意知:z=-1-2i.4.若复数z满足(2-i)z=|1+2i|,则z的虚部为( )A. B.i C.1 D.i【解析】选 A.设z=a+bi(a,b∈R),则(2-i)(a+bi)=,所以(2a+b)+(2b-a)i=,由复数相等的条件知所以所以z的虚部为.【一题多解】选A.方法一:将两边同乘以(2+i)得,5z=(2+i),所以z=+i,所以z的虚部为.方法二:z===+i,所以z的虚部为.5.(2017·贵阳高二检测)i为虚数单位,复数z=的共轭复数的模为( )A. B.1 C. D.【解析】选D.z===,所以=+i,所以||==.6.已知复数f(n)=+(n∈N*),则集合{x|x=f(n)}中元素的个数是( )A.4B.3C.2D.无数【解析】选B.因为(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,所以===-i.所以===i.所以f(n)=+=(-i)n+i n.所以当n=4k,k∈N*,f(n)=2;当n=4k-1,k∈N*,f(n)=0;当n=4k-2,k∈N*,f(n)=-2;当n=4k-3,k∈N*,f(n)=0.7.(2017·山东高考)已知i是虚数单位,若复数满足zi=1+i,则z2=( )A.-2iB.2iC.-2D.2【解析】选A.z===1-i,则z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i.8.已知复数z=x+yi,满足|z-1|=x,那么z在复平面对应的点(x,y)的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选 D.因为z=x+yi,满足|z-1|=x,所以|x-1+yi|=x,所以=x,即(x-1)2+y2=x2,所以y2=2x-1.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2015·江苏高考)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为________.【解题指南】首先利用复数相等的概念求出复数z的代数形式,然后利用复数的模的公式计算即可.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),所以z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi,因为z2=3+4i,根据复数相等的定义知解得所以|z|==.答案:10.(2017·天津高二检测)已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值为________.【解析】由(x-2)i-y=-1+i,可得⇒所以x+y=4,所以(1+i)4=-4.答案:-4三、解答题(每小题10分,共20分)11. (2017·银川高二检测)复数z=(1-i)a2-3a+2+i(a∈R),(1)若z=,求|z|.(2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限,求a的范围.【解题指南】(1)将复数z整理为x+yi(x,y∈R)的形式,根据z=,可得实数a的值.再根据模长公式求其模长.(2)根据z在复平面内对应的点在第一象限,可知复数z的实部大于0,同时虚部也大于0.【解析】(1)z=a2-3a+2+(1-a2)i,由z=知,1-a2=0,故a=±1.当a=1时,z=0,|z|=0;当a=-1时,z=6,|z|=6.(2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于0,即即所以-1<a<1.12.已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R).(1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹.(2)求方程实根的取值范围.【解析】(1)设实根为t,则t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R),即(t2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0.根据复数相等的充要条件,得由②得t=y-x,代入①得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.③所以所求的点(x,y)的轨迹方程是(x-1)2+(y+1)2=2,轨迹是以点(1,-1)为圆心,为半径的圆.(2)由③得圆心为(1,-1),半径r=,直线t=y-x与圆有公共点,从而应有≤,即|t+2|≤2,所以-4≤t≤0,故方程实根的取值范围是[-4,0].【方法锦囊】解复数综合应用题的方法(1)转化:复数的加减运算,可以通过运算转化为实数的运算;复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算;复数的除法运算可把分子分母都乘以分母的共轭复数,将分母变为实数,转化为乘法运算.(2)数形结合:利用复数的运算法则和复数的几何意义解综合应用题,具体方法是利用复数的概念,把复数转化为点的坐标或向量,且复数的加减运算的几何意义分别满足平行四边形法则和三角形法则,结合平面几何以及函数的相关知识来解决问题.【能力挑战题】已知复数z1的实部为3,复数z2的虚部为1,且|z1|=5,z1·是实数,求复数z1和z2.【解题指南】设出复数z1=3+bi,z2=a+i(a,b∈R)代入计算即可. 【解析】因为复数z1的实部为3,复数z2的虚部为1,所以设z1=3+bi,z2=a+i(a,b∈R),由|z1|=5可得b=±4,由z1·=3a+b+(ab-3)i是实数,可得ab=3,当b=4时,a=;当b=-4时,a=-,所以或。

高中数学人教A版理科学案选修2-2.3.2.2复数代数形式的乘除运算(含答案)

一、学习目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算二、学生探究过程：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 9. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 10. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 三、新课：１．乘法运算规则：2.乘法运算律：例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)2.例3．计算(12)(34)i i +÷-例4.已知z 是虚数，且z +z 1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数.巩固练习：1.设z =3+i ,则z1等于 A.3+i B.3－i C.101103+i D.i 101103+ 2.aib bia aib bi a +-+-+的值是 A.0B.iC.－iD.13.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数521z z i +的虚部为 A.1B.－1C.iD.－i4.设iyi i x -+-=+1231 (x ∈R,y ∈R),则x =___________,y =___________.答案：1.D 2.A 3.A 4.53 , －59 课后作业：课本第112页习题3. 2 A 组4，5，6B 组1，2高考题选1.（2014安徽理科）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则=⋅+z iz1（） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2 2. （2014大纲）设103iz i=+，则z 的共轭复数为（ D ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i -3.（2014浙江）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（A ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. (2014重庆)在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（A ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【答案】A 【解析】..∴2)2-1(A i i i 选对应第一象限+=5.(2014新课标I).32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i+=---，选D.. 6. (2014广东)已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A7. (2014湖北)i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （） A. 1- B. 1 C. i - D.i8. (2014新课标II)设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（）A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】A.,5-4-1-∴,2-,2212211A z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=9. (2014天津)i 是虚数单位，复数734ii+=+（）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 【答案】A 【解析】.∴-12525-2525)4-3)(7(437A i ii i i i 选，==+=++10. (2014江西) z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，（2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （） B. i +1 B. i --1 C. i +-1 D. i -1 【答案】D 【解析】()2,(,)12211Z Z Z a bi a b R a Z Z i Z b b Z i+==+∈∴=-=∴-=∴=-∴=-Q Q所以选D 。

2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：3.2.2复数代数形式的乘除运算

3．2.2 复数代数形式的乘除运算
填一填
1.复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数的乘法法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律对任意复数 z1、 z2、z3∈C，有
交换律
∴4x2－3(x2＋y2)i＝4－12i，
由复数相等的性质知
Error!
解得Error!或Error!或Error!或Error!
∴Error!或Error!或Error!
或Error!
知识点三
复数代数形式的除法运算
5.已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足(1＋2i)z＝1－i，则复数 z 的虚部为( )
8．已知 a 为实数，复数 z1＝2－i，z2＝a＋i(i 为虚数单位)． (1)若 a＝1，指出 z1＋z2在复平面内对应的点所在的象限；
(2)若 z1·z2 为纯虚数，求 a 的值．解析：(1)因为 a＝1，所以 z1＋z2＝(2－i)＋(1－i)＝3－2i，所以 z1＋z2在复平面内对应的点为(3，－2)，从而 z1＋z2在复平面内对应的点在第四象限．
C．9 D．10
| | |2＋i|＋2i 5＋2i
5＋2i | 5＋2i|
解析：z＝ i ＝ i ，∴|z|＝ i ＝ |i| ＝3，故选 A.
答案：A
5．(1＋i)20－(1－i)20 的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
解析：(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.故选
C.

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 Word版含答案.docx

3.2.2 复数代数形式的乘除运算[学习目标]1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．理解共轭复数的概念． [知识链接]写出下列各小题的计算结果： (1)(a ±b )2＝________； (2)(3a ＋2b )(3a －2b )________； (3)(3a ＋2b )(－a －3b )________． (4)(x －y )÷(x ＋y )________．答案 (1)a 2±2ab ＋b 2 (2)9a 2－4b 2 (3)－3a 2－11ab －6b 2 (4)x －y [预习导引] 1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2．复数乘法的运算律对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.要点一复数乘除法的运算例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.规律方法 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．(2)像3＋4i 和3－4i 这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a ＋b i 和a －b i ，其数值特征为(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.跟踪演练1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. 例2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i. 解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝(1＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝－5＋10i 25＝－15＋25i ；(2)原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.规律方法复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．跟踪演练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i .解 (1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i25＝1－i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )·i－i·i ＝－1－3i.要点二共轭复数及其应用例3 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1， ∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.规律方法本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．跟踪演练3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1. ①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.1．复数－i ＋1i 等于( )A ．－2iB ．12iC ．0D ．2i答案 A解析－i ＋1i ＝－i －i 2i＝－2i ，选A.2．(2013·江西)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i答案 C解析本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算．因为M ∩N ＝{4}，所以z i ＝4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z i ＝－b ＋a i ，由z i ＝4，利用复数相等，得a ＝0，b ＝－4.故选C. 3．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )z 等于( ) A ．1＋3iB ．3＋3iC ．3－iD ．3答案 A解析 (1＋z )·z ＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i ＝1＋3i.4．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43C ．－43D ．－34答案 A解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i. z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.5．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析因为z ＝2－i 2＋i＝(2－i )25＝3－4i5，故复数z 对应的点在第四象限，选D.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.一、基础达标1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1答案 A 解析 z ＝1i＝－i.2．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝1.4．在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析i 1＋i＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝⎛⎭⎫23＋12i ，对应点⎝⎛⎭⎫－32，23＋12在第二象限．5．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．答案 1解析由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－3＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i.6．复数2i－1＋3i 的虚部是________．答案－12解析原式＝2i (－1－3i )1＋3＝23－2i 4＝32－12i ，∴虚部为－12.7．计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2010；(2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解 (1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2010＝2＋2i －2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1005＝i(1＋i)＋⎝⎛⎭⎫1i 1005＝－1＋i ＋(－i)1005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 二、能力提升8．(2013·新课标)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 A解析因为复数z 满足z (1－i)＝2i ，所以z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.9．(2013·山东)若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i 答案 D解析由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝5(2＋i )5＋3＝2＋i ＋3＝5＋i.所以z ＝5－i ，选D.10．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z 等于________．答案－2i解析设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－b ＋(b ＋2)i 2＝2－b 2＋b ＋22i是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.11．(2013·山东聊城期中)已知复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b ∈R )，求a＋b 的值．解由z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ，又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i. 三、探究与创新13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．。