2015届高考数学大一轮复习课时训练69 数学归纳法理苏教版

合集下载

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第九节数学归纳法理

第九节数学归纳法知识梳理数学归纳法：对于某些与正整数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1，n 0＝2等)时结论正确；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确．用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．基础自测1．(2013·深圳月考)用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n ≤4时，2n >n 2＋1不成立，n ≥5时，2n >n 2＋1成立，所以取n 0＝5. 答案：C2．下列代数式中(其中k ∈N *)，能被9整除的是( )A ．6＋6×7kB ．2＋7k －1C ．3 (2＋7k )D ．2(2＋7k ＋1)解析：(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36，这就说明，当k ＝n ＋1时命题也成立．故选C.答案：C3．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n24．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析：a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，猜想a n ＝1n －n ＋.答案：a n ＝1n －n ＋1．已知f (x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x .(1)若x ≥1时，证明：f (x )≥ln x ；(2)证明：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)＋nn ＋(n ≥1)．证明：(1)设g (x )＝f (x )－ln x ＝x 2－12x －ln x (x ≥1)，则g ′(x )＝12x 2－1x ＋12＝x 2－2x ＋12x2＝x －22x≥0(x ≥1)，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，即当x ≥1时，g (x )≥g (1)＝0，即f (x )≥ln x .(2)(法一)由(1)有f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x (x ≥1)，且当x ＞1时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＞ln x .令x ＝k ＋1k ，有ln k ＋1k ＜12k ＋1k －k k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋1，即ln(k ＋1)－ln k ＜12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1，k ＝1,2,3，…，n .将上述n 个不等式依次相加，得ln(n ＋1)＜12＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋.整理得1＋12＋13＋…＋1n ＞ln(n ＋1)＋nn ＋.(法二)用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋14＜1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k ＞ln(k ＋1)＋k k ＋. 那么n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋1)＋k k ＋＋1k ＋1＝ln(k ＋1)＋k ＋2k ＋. 由(1)有f (x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x (x ≥1)．令x ＝k ＋2k ＋1，得12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1－k ＋1k ＋2≥ln k ＋2k ＋1＝ ln(k ＋2)－ln(k ＋1)．∴ln(k ＋1)＋k ＋2k ＋≥ln(k ＋2)＋k ＋1k ＋.∴1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋2)＋k ＋1k ＋.这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)，(2)，可知不等式对任何n ∈N *都成立．2．(2012·大纲全国卷)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x x ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．(1)证明：因为f (4)＝42－8－3＝5，故点P (4,5)在函数f (x )的图象上，故由所给出的两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))可知，直线PQ n 斜率一定存在. 故有直线PQ n 的直线方程为y －5＝f x n －5x n －4·(x －4)．令y ＝0，可求得－5＝x 2n －2x n －8x n －4·(x －4)⇔－5x n ＋2＝x －4⇔x ＝4x n ＋3x n ＋2.所以x n ＋1＝4x n ＋3x n ＋2.下面用数学归纳法证明2≤x n <3. ①当n ＝1时，x 1＝2，满足2≤x 1<3.②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，2≤x k <3成立，则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝4x k ＋3x k ＋2＝4－5x k ＋2，由2≤x k <3⇔x k ＋2<5⇔1<5x k ＋2≤54⇔2<114≤4－5x k ＋2<3即2≤x k ＋1<3也成立．综上可知，2≤x n <3对任意正整数恒成立．下面证明x n <x n ＋1：由x n ＋1－x n ＝4x n ＋3x n ＋2－x n ＝4x n ＋3－x 2n －2x n x n ＋2＝－x n －2＋4x n ＋2，由2≤x n <3⇒0<－(x n －1)2＋4≤3，故有x n ＋1－x n >0，即x n <x n ＋1.综合①②可知，2≤x n <x n ＋1<3恒成立．(2)解析：由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n.设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列．因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1(n ∈N *)．1．观察下表：设第n 行的各数之和为S n ，则S n ＝______________.解析：第一行，1＝12，第二行，2＋3＋4＝9＝32，第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，归纳：第n 行的各数之和S n ＝(2n －1)2.答案：(2n －1)22．(2013·揭阳一模改编)已知函数f (x )＝ax1＋xa (x >0，a 为常数)，数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)当a ＝1时，求数列{a n }的通项公式；(2)在(1)的条件下，证明对∀n ∈N *有：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝n n ＋n ＋n ＋.(1)解析：当a ＝1时，a n ＋1＝f (a n )＝a n1＋a n ，两边取倒数，得1a n ＋1－1a n ＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝2为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝n ＋1，a n ＝1n ＋1，n ∈N *. (2)证明：(法一)由(1)知a n ＝1n ＋1，故对k ＝1,2,3，…，a k a k ＋1a k ＋2＝1k ＋k ＋k ＋＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋k ＋－1k ＋k ＋所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3－13×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×4－14×5＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋n ＋－1n ＋n ＋＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3－1n ＋n ＋＝n n ＋n ＋n ＋.(法二)①当n ＝1时，等式左边＝12×3×4＝124，等式右边＝1×＋＋＋＝124，左边＝右边，等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9即a 1a2a3＋a2a3a4＋…＋a k a k＋1a k＋2＝k k＋k＋k＋，则当n＝k＋1时，a1a2a3＋a2a3a4＋…＋a k a k＋1a k＋2＋a k＋1a k＋2a k＋3＝k k＋k ＋k＋＋1k＋k＋k＋＝k k＋k＋＋121k＋k＋k＋＝k3＋9k2＋20k＋12k＋k＋k＋＝k2k＋＋k＋k＋k＋k＋k＋＝k＋k＋k＋k＋k＋k＋＝k＋k＋＋5]k＋＋k＋＋3].这就是说当n＝k＋1时，等式成立，综①②知对于∀n∈N*有：a1a2a3＋a2a3a4＋…＋a n a n＋1a n＋2＝n n＋512n＋2n＋3.。

2015届高考数学大一轮复习课时训练59 算法初步理苏教版

课时跟踪检测(五十九)算法初步1．(2014·某某模拟)在如图所示的流程图中，输入A＝192，B＝22，则输出的结果是________．2．当a＝1，b＝3时，执行完如图的一段程序后x的值是________．IFa<bTHENx←a＋b ELSEx←a－b ENDIF I←1While I<8S←2×I＋3I←I＋2 EndWhile Print S第2题图第3题图3．图中的算法伪代码运行后，输出的S为________．4．按如图所示的流程图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是________．第4题图第5题图5．(2013·东城模拟)某算法流程图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值为________．6．(2014·某某调研)已知实数x∈[1,9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为________．7．(2014·某某摸底)已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束输出的结果为________．第6题图第7题图8．(2013·某某第三次调研)执行如图所示的流程图，若输出的k＝5，则输入的整数p的最大值为________．第8题图第9题图9．(2014·某某模拟)按如图所示的流程图运算，若输入x＝20，则输出的k＝________.10．(2013·某某高考)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．11．(2014·某某八校联考)执行如图所示的流程图，输出的S的值为________．12．(2014·某某模拟)执行如图所示的流程图，输出的结果是________．第10题图第11题图第12题图答案1．解析：输入后依次得到：C ＝16，A ＝22，B ＝16；C ＝6，A ＝16，B ＝6；C ＝4，A ＝6，B ＝4；C ＝2，A ＝4，B ＝2；C ＝0，A ＝2，B ＝0.故输出的结果为2.答案：22．解析：∵a <b .∴x ＝a ＋b ＝1＋3＝4.答案：43．解析：当I ＝1时，S ＝5；当I ＝3时，S ＝9；当I ＝5时，S ＝13；当I ＝7时，S ＝17；当I ＝9时退出循环，故输出的S 为17.答案：174．解析：按框图所示程序运行可得S ＝1，A ＝1；S ＝3，A ＝2；S ＝7，A ＝3；S ＝15，A ＝4；S ＝31，A ＝5；S ＝63，A ＝6.此时输出S ，故M 为6.答案：65．解析：依题意得，题中的流程图是在计算函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f (x －2)，x >0，的函数值．当输入的x 值是5时，f (5)＝f (3)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12，故输出的y 值是12. 答案：126．解析：n ＝1,3≤2x ＋1≤19；n ＝2,7≤2x ＋1≤39；n ＝3,15≤2x ＋1≤79，∴输出x ∈[15,79]，所以55≤x ≤79的概率为P ＝79－5579－15＝2464＝38. 答案：387．解析：当n ＝1时，x ＝1，y ＝1；当n ＝3时，x ＝3×1＝3，y ＝1－2＝－1；当n ＝5时，x ＝3×3＝9，y ＝－1－2＝－3，结束循环．故输出的结果为9，－3.答案：9，－38．解析：由流程图可知：①S ＝0，k ＝1；②S ＝1，k ＝2；③S ＝3，k ＝3；④S ＝7，k ＝4；⑤S ＝15，k ＝5.第⑤步后k 输出，此时S ＝15≥p ，则p 的最大值为15. 答案：159．解析：由题意，得x ＝20，k ＝0；k ＝1，x ＝39；k ＝2，x ＝77；k ＝3，x ＝153，循环终止，输出的k ＝3.答案：310．解析：第一次循环得，a ＝1＋2＝3，第二次循环得，a ＝3＋2＝5，第三次循环得，a ＝5＋2＝7，第四次循环得，a ＝7＋2＝9，此时退出循环，输出结果a ＝9.答案：911．解析：S ＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3＋…＋sin 2013×π3＝(sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3)×335＋sin 1×π3＋sin 2×π3＋ sin3×π3＝ 3. 答案： 312．解析：共循环2013次，由裂项求和得S ＝11×2＋12×3＋…＋12013×2014＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12013－12014)＝1－12014＝20132014. 答案：20132014。

2015届高考数学总复习第六章第九节数学归纳法课时精练理

第九节数学归纳法1．(2013·福建三明模拟)某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (n ∈N *，k ≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，则( )A ．n ＝4时该命题成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝6时该命题不成立解析：因为“当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，该命题成立，则一定能推出当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故可得n ＝5时该命题不成立，则一定有n ＝4时，该命题也不成立．故选C.答案：C2．若f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋16n －1(n ∈N *)，则f (1)为( )A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案解析：注意f (n )的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n －1的自然数，故f (1)＝1＋12＋13＋14＋15.故选C.答案：C3．(2013·杭州质检)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对解析：当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了1k ＋1，故选C 项．答案：C4．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N ，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6解析：∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1, 2时，由上得证，设n ＝k (k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)．∴f (k ＋1)能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36.故选C. 答案：C5．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的关于k 的表达式为________．解析：n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.比较上述两个式子，n ＝k ＋1时，等式的左边是在假设n ＝k 时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)26．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.解析：由(S 1－1)2＝S 21，得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得：S 2＝23；由 (S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得：S 3＝34.猜想：S n ＝nn ＋1.答案：nn ＋17．平面内有n (n ≥2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，利用数学归纳法证明线段的条数为f (n )，则由n ＝k 到n ＝k ＋1增加的线段数是________．解析：增加一条直线，该直线被原来的k 条直线分出k －1段线段，而原来的k 条线段中的每一条，都多出1条线段，因此增加了k －1＋k ＝2k －1条．答案：2k －18．设曲线y ＝ax 33＋12bx 2＋cx 在点A (x ，y )处的切线斜率为k (x )，且k (－1)＝0.对一切实数x ，不等式x ≤k (x )≤12(x 2＋1)恒成立(a ≠0)．(1)求k (1)的值；(2)求函数k (x )的表达式；(3)求证：1k ＋1k ＋…＋1k n ＞2nn ＋2.(1)解析：由x ≤k (x )≤12(x 2＋1)得1≤k (1)≤1，所以k (1)＝1.(2)解析：k (x )＝y ′＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由k (1)＝1，k (－1)＝0得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝0 ⇒a ＋c ＝12，b ＝12.又x ≤k (x )≤12(x 2＋1)对x ∈R 恒成立，则由x ≤k (x )恒成立，得ax 2－12x ＋c ≥0(a ≠0)恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝14－4ac ≤0，a ＋c ＝12⇒a ＝c ＝14.同理由k (x )≤12(x 2＋1)恒成立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a x 2－12x ＋12－c ≥0恒成立，也可得a ＝c ＝14.综上所述，a ＝c ＝14，b ＝12，所以k (x )＝14x 2＋12x ＋14.(3)证明：(法一：分析法)k (n )＝n 2＋2n ＋14＝n ＋24⇒1k n ＝4n ＋2，要证原不等式成立，即证122＋132＋…＋1(n ＋1)2>n2n ＋4，因为1(n ＋1)2>1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以122＋132＋…＋1n ＋2>12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4，所以1k (1)＋1k (2)＋…＋1k (n )>2n n ＋2.(法二：数学归纳法)由k (n )＝n 2＋2n ＋14＝n ＋24⇒1k (n )＝4n ＋2，①当n ＝1时，左边＝1，右边＝23，左边>右边，所以n ＝1时，不等式成立；②假设当n ＝m 时，不等式成立，即1k (1)＋1k (2)＋…＋1k (m )>2mm ＋2.当n ＝m ＋1时，左边＝1k (1)＋1k (2)＋…＋1k (m )＋1k (m ＋1)>2m m ＋2＋4(m ＋2)2＝2m 2＋4m ＋4m ＋2，由于2m 2＋4m ＋4m ＋2－m ＋m ＋3＝4(m ＋2)2(m ＋3)>0，所以1k (1)＋1k (2)＋…＋1k (2)＋1k (m ＋1)>2(m ＋1)(m ＋1)＋2，即当n ＝m ＋1时，不等式也成立．综合①②可知，1k (1)＋1k (2)＋…＋1k (n )>2nn ＋2.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N * ，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．(1)解析：因为对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上，所以得S n ＝b n＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32×54×76×…×2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32×54×76×…×2n ＋12n＞n ＋1 成立．①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32＞2，所以不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32×54×76×…×2k ＋12k＞k ＋1 成立．则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32×54×76×…×2k ＋12k×2k ＋32k ＋2＞k ＋1·2k ＋32k ＋2＝k ＋24(k ＋1)＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)＞(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式恒成立．10．(2013·山东模拟)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．解析：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1.因为a n >0，所以a 1＝1，由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1.又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时猜想成立，即a k ＝k －k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即 a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时猜想成立．由①②知，a n ＝n －n －1(n ∈N *)．。

2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练6-7《数学归纳法》

1. [2014·深圳段考]用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A. 2B. 3C. 5D. 6答案：C2. [2014·深圳检测]对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，k＋2＋k＋＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋＋k＋＝k ＋2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案：D3．[2014·石家庄质检]用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N*)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N*)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N*)D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2是正确(其中k∈N*)答案：B4．[2014·三明质检]利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了( ) A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项解析：∵f(k＋1)－f(k)＝12k ＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k－1.∴增加了2k项．答案：D5. [2014·南京模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.解析：由(S 1－1)2＝S 21得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝34.猜想：S n ＝nn ＋1.答案：nn ＋1。

2015届高考苏教版数学(理)大一轮复习配套课件：第5章第5节数列的综合应用

aa22≤＋q1≤≤aq22＋≤1a，2＋2，
即解得
3 3≤q≤
3，故q的最小值为
3 3.
q3≥a2＋2，
法二： a6＝a2＋2≥3，即 a6 的最小值为 3.又 a6≤a7，所以
a7 的最小值为 3 即 q3≥3，解得 a≥ 3 3.故 q 的最小值为3 3.
3
[答案] 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
“课下提升考能”见“课时跟踪检测（三十三）”(进入电子文档)
[解析] 因为 a1，a3，a5，a7 成公比为 q 的等比数列，又 a1＝1，所以 a3＝q，a5＝q2，a7＝q3.因为 a2，a4，a6 成公差为 1 的等差数列，所以 a4＝a2＋1，a6＝a2＋2.
法一：因为 1＝a1≤a2≤…≤a7，
1≤a2≤a3≤a4，所以a4≤a5≤a6，
a7≥a6，
答案：(－19，－117)
∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2. ∴bn＝2n－1(n∈N*)． (2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1. Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(21＋22＋…＋2n)－n＝211－－22n－n. 所以 Tn＝2n＋1－2－n.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
解：(1)证明：∵bn＝log2an， ∴bn＋1－bn＝log2aan＋n 1＝log2q 为常数， ∴数列{bn}为等差数列且公差 d＝log2q.

2015高考数学(理)一轮题组训练：14-4数学归纳法及其应用

第4讲数学归纳法及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为________．解析左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，即左边为1＋2＋22＋23.答案1＋2＋22＋232．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是________．①若f(1)<1成立，则f(10)<100成立②若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立③若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立④若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析①，②的答案与题设中不等号方向不同，故①，②错；选项③中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；选项④符合题意．答案④3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为____________________．解析由条件知，当n＝k时，等式1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，∴当n＝k ＋1时，等式1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.答案1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－14．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上的项为________________．解析∵当n＝k时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，当n＝k＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2.答案12k＋1－12k＋25．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)多边形的对角线的条数f(n＋1)为________．解析f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.答案f(n)＋n－16．(2014·扬州质检)设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n－1(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)＝________.解析∵f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n－1，∴f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2.∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案13n＋13n＋1＋13n＋27．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n>1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．解析由n＝k(k>1)到n＝k＋1时，不等式左端增加的项为12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1共增加(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项．答案2k8．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．解析因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1.答案2k＋1二、解答题9．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，则左边＝右边，∴当n ＝1时，原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2. ∴n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)、(2)知对任意n ∈N *有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2.10．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．(1)解由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13， ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k ＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①、②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，则对上述证法的判断正确的是________． ①过程全部正确 ②n ＝1验得不正确 ③归纳假设不正确 ④从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析在n ＝k ＋1时，没用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．∴从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确．答案 ④2．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N *)能被8整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为________________．解析 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34·34k ＋1＋52·52k ＋1＝(56＋25)·34k ＋1＋52·52k ＋1＝56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)．答案 56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)3．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示)．解析f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝12(n＋1)(n－2)．答案512(n＋1)(n－2)二、解答题4．空间内有n(n∈N*)个不重合的平面，设这n个平面最多将空间分成a n(n∈N*)个部分．(1)求a1，a2，a3，a4；(2)写出a n关于n(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明．解(1)a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝15.(2)a n＝16(n3＋5n＋6)．证明如下：当n＝1时显然成立，设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即a k＝16(k3＋5k＋6)，则当n＝k＋1时，再添上第k＋1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得k条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k条交线可以把第k＋1个平面最多分成12[(k＋1)2－(k＋1)＋2]个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了12[(k＋1)2－(k＋1)＋2]个，∴a k＋1＝a k＋12[(k＋1)2－(k＋1)＋2]＝16(k3＋5k＋6)＋12[(k＋1)2－(k＋1)＋2]＝16[(k＋1)3＋5(k＋1)＋6]，即当n＝k＋1时，结论也成立．综上，对∀n∈N*，a n＝16(n3＋5n＋6).。

2015届高考数学(理)一轮复习单元卷：集合(苏教版)

集合第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·苏州暑假调查)已知集合U ＝{0,1,2,3,4}，M ＝{0,4}，N ＝{2，4}，则∁U (M ∪N )＝________.2．设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于________．3．(2013·新课标卷Ⅰ改编)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则A ∪B ________.4．(2013·南通一模)集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝e x ，x ∈A }，则A ∩B ＝________.5．(2014·无锡期末)已知集合A ＝{－1,2,2m －1}，B ＝{2，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.6．已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a －2)(a 2－3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有________个．7．(2014·江西七校联考)若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为________．8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝________.9．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________. 10．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.12．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．第Ⅱ组：重点选做题1．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，求实数a 的取值范围．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(x ＋2)>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．答案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：由题意得M ∪N ＝{0,2,4}，所以∁U (M ∪N )＝{1,3}．答案：{1,3}2．解析：由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．答案：{2,4}3．解析：集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .答案：R4．解析：∵B 中x ∈A ，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e ，1，e ， ∴A ∩B ＝{1}．答案：{1}5．解析：因为B ⊆A ，且m 2≠－1，所以m 2＝2m －1，即m ＝1.答案：16．解析：|a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．答案：27．解析：依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．答案：(6,9]8．解析：由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．答案：(0,1]9．解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1；n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1；n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}．答案：{0}10．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案：(－∞，1]11．解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12. 答案：0,1，－1212．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7第Ⅱ组：重点选做题1．解：A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎨⎧ a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43. 故实数a 的取值范围为34，432．解：(1)解不等式log 12(x ＋2)>－3得：－2<x <6.①解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5.②由①②求交集得－2<x ≤5，即集合A ＝(－2,5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5解得2≤m ≤3，故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。

2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：12.5数学归纳法

• 1．数学归纳法的应用 • (1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证
明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，验算 n ＝ n0 的 n0 不一定为 1 ，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．
• 数学归纳法 • 一般地，证明一个与正整数 n有关的命题，可按下列步骤
进行：
• (1)(归纳奠基)证明当n 时命题成立； *) 取第一个值n0(n ∈ N 0 • (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 • 时命题也成立．
n＝k＋1
• 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有
第5课时
数学归纳法(理科)
• (一)考纲点击 • 1．了解数学归纳法的原理； • 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
• (二)命题趋势 • 1．从考查内容看，本考点主要考查数学归纳法的原理和
证题步骤，一般不单独命题．
• 2．从考查形式看，题型一般为解答题，常与不等式、数
列等结合在一起命题，难度中上，考查归纳 — 猜想 — 证明的推理证明方法．
• (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1
时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
• 2．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计
算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写．
猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

2015届高考数学总复习第六章第九节数学归纳法课件理

设要用到，结论写明莫忘掉．
变式探究
2．用数学归纳法证明：对任意的n∈N*， 1 n ＋＝ . 2n－12n＋1 2n＋1 1 1 ＋＋„ 1×3 3×5
1 1 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝， 1 ×3 3 1 1 右边＝＝，左边＝右边，等式成立． 2×1＋1 3
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立， 1 1 1 k 即有＋＋„＋＝， 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋1 1 1 则当n＝k＋1时，＋＋„ 1×3 3×5 1 1 ＋＋ 2k－12k＋1 2k＋12k＋3 k2k＋3＋1 k 1 ＝＋＝ 2k＋1 2k＋12k＋3 2k＋12k＋3 2k2＋3k＋1 k＋1 k＋1 ＝＝＝， 2k＋12k＋3 2k＋3 2k＋1＋1
π (k－1)· 4＋x π (k－1)· 4＋x
π (k－1)· 4＋x
π (k＋1－1)· 4＋x，猜想也正确．
*
由①，②知对任何n∈N
π ，an＝tan4n－1＋x都正确．
用数学归纳法证明恒等式【例 2】用数学归纳法证明： 12 ＋ 22 ＋ … ＋ n2 ＝
②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即有ak＝k(k＋1)，
则当n＝k＋1时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)，
2 得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，即a 2 k＋1 －2(k ＋k＋
1)ak ＋ 1 ＋ [k(k － 1)]· [(k ＋ 1)(k ＋ 2)] ＝ 0 ，解得 ak ＋ 1 ＝ (k ＋ 1)(k ＋ 2)(ak＋1＝k(k－1)＜ak不合题意，舍去)，即当n＝k＋1时，命题也成立．由①②可知，命题成立．

2015高考数学(苏教版,理)一轮学案30 数列的通项与求和

学案30数列的通项与求和导学目标：1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和。

2。

能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理1．求数列的通项（1)数列前n项和S n与通项a n的关系：a n＝错误!(2）当已知数列{a n}中,满足a n＋1－a n＝f(n），且f(1）＋f(2)＋…＋f（n）可求,则可用________求数列的通项a n，常利用恒等式a n＝a1＋（a2－a1)＋(a3－a2）＋…＋（a n－a n－1)．(3）当已知数列｛a n｝中，满足错误!＝f（n)，且f（1）·f(2)·…·f(n）可求，则可用________求数列的通项a n，常利用恒等式a n＝a1·错误!·错误!·…·错误!.(4)作新数列法:对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．（5)归纳、猜想、证明法．2．求数列的前n项的和（1)公式法①等差数列前n项和S n＝____________＝________________，推导方法：____________；②等比数列前n项和S n＝错误!推导方法：乘公比，错位相减法．③常见数列的前n项和：a．1＋2＋3＋…＋n＝________;b．2＋4＋6＋…＋2n＝________；c．1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝________；d．12＋22＋32＋…＋n2＝________；e．13＋23＋33＋…＋n3＝____________.（2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．（3）拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的拆项公式有：①错误!＝错误!－错误!；②错误!＝错误!错误!；③错误!＝错误!－错误!。

(4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加:例如，等差数列前n项和公式的推导．自我检测1．(原创题)已知数列{a n}的前n项的乘积为T n＝3n2(n∈N＊)，则数列｛a n｝的前n项的和为________．2．设｛a n}是公比为q的等比数列,S n是其前n项和，若｛S n}是等差数列，则q＝________.3．已知等比数列{a n}的公比为4，且a1＋a2＝20，故b n＝log2a n，则b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝________.4．（2010·天津高三十校联考）已知数列｛a n｝的通项公式a n ＝log2错误!(n∈N*),设｛a n｝的前n项的和为S n，则使S n〈－5成立的自然数n的最小值为________．5．（2010·北京海淀期末练习)设关于x的不等式x2－x<2nx （n∈N*）的解集中整数的个数为a n,数列｛a n}的前n项和为S n，则S100的值为________．6．数列1,4错误!，7错误!,10错误!，…前10项的和为________．探究点一求通项公式例1 已知数列｛a n}满足a n＋1＝错误!，a1＝2，求数列｛a n}的通项公式．变式迁移1 设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1＝1,S n＋1＝4a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－2a n，证明数列｛b n}是等比数列;(2）求数列｛a n｝的通项公式．探究点二裂项相消法求和例2 已知数列｛a n}，S n是其前n项和,且a n＝7S n－1＋2（n≥2),a1＝2.(1）求数列｛a n｝的通项公式；(2)设b n＝错误!，T n是数列｛b n｝的前n项和,求使得T n〈错误!对所有n∈N＊都成立的最小正整数m.变式迁移2 求数列1，错误!,错误!，…,错误!，…的前n项和．探究点三错位相减法求和例3 已知数列｛a n｝是首项、公比都为q(q>0且q≠1）的等比数列,b n＝a n log4a n（n∈N*)．（1)当q＝5时,求数列｛b n｝的前n项和S n；（2）当q＝错误!时,若b n〈b n＋1，求n的最小值．变式迁移3 求和S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!。

2015届高考数学一轮总复习 11-4数学归纳法

2015届高考数学一轮总复习 11-4数学归纳法基础巩固强化一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B. 2．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立[答案] C[解析] ∵“若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故若n ＝4时命题成立，则n ＝5时命题也应成立，现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时，命题也不成立．[点评] 可用逆否法判断．3．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 2[答案] D[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12，∴选D.4．(2013·安徽黄山联考)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)[答案] B[解析] ∵n ＝k 为偶数，∴下一个偶数应为n ＝k ＋2，故选B.5．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－2 B．a n＝n2C．a n＝3n－1D．a n＝4n－3[答案] B[解析]a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.二、填空题6．如果不等式2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立，则n0的最小值为________．[答案] 5[解析]当n＝1时，2>2不成立，当n＝2时，4>5不成立．当n＝3时，8>10不成立当n＝4时，16>17不成立当n＝5时，32>26成立当n＝6时，64>37成立，由此猜测n0应取5.7．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝n(3n＋1)2(n∈N*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时等式左边的差等于________．[答案]3k＋2[解析][(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[(k＋1)＋(k＋1)]－[(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)]＝[(k＋1)＋k]＋[(k＋1)＋(k＋1)]－(k＋1)＝3k＋2.8．(2012·温州一模)已知n∈N*，设平面上的n个椭圆最多能把平面分成a n部分，则a1＝2，a2＝6，a3＝14，a4＝26，…，则a n＝________.[答案]2n2－2n＋2[解析]观察规律可知a n－a n－1＝(n－1)×4，利用累加法可得a n＝2n2－2n＋2.9．(2012·长春模拟)如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，…)，则第n －2(n≥3，n∈N*)个图形共有________个顶点．[答案]n(n＋1)[解析]当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)，当n ＝2时，顶点共有4×5＝20(个)，当n ＝3时，顶点共有5×6＝30(个)，当n ＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n －2图形共有顶点(n －2＋2)(n －2＋3)＝n (n ＋1)个．三、解答题10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． [解析] ∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，及a 2≥(a 1＋1)2－1得，a 2≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n －1.即1＋a n ≥2n .∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n <1. 能力拓展提升11.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．[解析] (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为(13，13)． ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．12．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．[解析] (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3，因为12(k ＋1)2－[12k 2－1(k ＋1)3]＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0，所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．13．(2013·南京一模)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝1，当n ∈N *时，a n ＋2＝a n ＋1＋a n .求证：数列{a n }的第4m ＋1项(m ∈N *)能被3整除．[证明] (1)当m ＝1时，a 4m ＋1＝a 5＝a 4＋a 3＝(a 3＋a 2)＋(a 2＋a 1)＝(a 2＋a 1)＋2a 2＋a 1＝3a 2＋2a 1＝3＋0＝3.即当m ＝1时，第4m ＋1项能被3整除．故命题成立．(2)假设当m ＝k 时，a 4k ＋1能被3整除，则当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1＝a 4k ＋5＝a 4k ＋4＋a 4k ＋3＝2a 4k ＋3＋a 4k ＋2＝2(a 4k ＋2＋a 4k ＋1)＋a 4k ＋2＝3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1.显然，3a 4k ＋2能被3整除，又由假设知a 4k ＋1能被3整除．∴3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1能被3整除．即当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于n ∈N *，数列{a n }中的第4m ＋1项能被3整除．14．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2. [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1， ∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2 ＝(－1)k －1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2， ∴n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)得对任意n ∈N ＋有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2 ＝(－1)n －1n (n ＋1)2.考纲要求1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．补充说明1．归纳法归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分对象具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳．由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法．2．归纳、猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，即“归纳—猜想—证明”．这是我们归纳探究一些有规律性问题的一般步骤．3．在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需要进行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不能放缩过了头．备选习题1．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k2＋k<k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]上述证明过程中，在由n＝k变化到n＝k＋1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选D.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A ．190B ．715C ．725D ．385[答案] B[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n 6. 当n ＝10时，总数为715.3．(2013·九江模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n ∈N *)．(1)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．(2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2).[解析] (1)分别令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＝a 21＋1，2(a 1＋a 2)＝a 22＋2，2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 23＋3.∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3.猜想：a n ＝n .由2S n ＝a 2n ＋n .①可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)．②①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1.(ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2.(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝2a k ＋1＋a 2k －1＝2a k ＋1＋k 2－1⇒[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0，∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0，∴a k ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时也成立．∴a n ＝n (n ≥2)．显然n ＝1时，也成立，故对于一切n ∈N *，均有a n ＝n .(2)要证nx ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)，只要证nx ＋1＋2(nx ＋1)(ny ＋1)＋ny ＋1≤2(n ＋2)．即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋n (x ＋y )＋1≤2(n ＋2)，将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2，即只要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2，即4xy ≤1.∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴xy ≤x ＋y 2＝12，即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立． [失误与防范] 证明不等式时，不能利用x ＋y ＝1作代换，找不到思路是解答本题中常出现的失误．证题时要注意把题设条件(特别是隐含条件)都找出来，当证题思路打不通时，看看有没有没用上的条件．4．(2013·北京房山摸底)已知曲线C ：y 2＝2x (y ≥0)，A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A n (x n ，y n )，…是曲线C 上的点，且满足0<x 1<x 2<…<x n <…，一列点B i (a i,0)(i ＝1,2，…)在x 轴上，且△B i －1A i B i (B 0是坐标原点)是以A i 为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求A 1，B 1的坐标；(2)求数列{y n }的通项公式；(3)令b i ＝1a i ，c i ＝(2)－y i 2，是否存在正整数N ，当n ≥N 时，都有∑i ＝1n b i <∑i ＋1n c i ，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵△B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形，∴直线B 0A 1的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2x ，y >0，得x 1＝y 1＝2，即点A 1的坐标为(2,2)，进而得B 1(4,0)． (2)根据△B n －1A n B n 和△B n A n ＋1B n ＋1分别是以A n 和A n ＋1为直角顶点的等腰直角三角形可得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝x n ＋y n ，a n ＝x n ＋1－y n ＋1，即x n ＋y n ＝x n ＋1－y n ＋1.(*)∵A n 和A n ＋1均在曲线C ：y 2＝2x (y ≥0)上，∴y 2n ＝2x n ，y 2n ＋1＝2x n ＋1.∴x n ＝y 2n 2，x n ＋1＝y 2n ＋12，代入(*)式得y 2n ＋1－y 2n ＝2(y n ＋1＋y n )． ∴y n ＋1－y n ＝2(n ∈N *)．∴数列{y n }是以y 1＝2为首项，2为公差的等差数列．∴其通项公式为y n ＝2n (n ∈N *)．(3)由(2)可知，x n ＝y 2n 2＝2n 2， ∴a n ＝x n ＋y n ＝2n (n ＋1)．∴b i ＝12i (i ＋1)，c i ＝(2)－y i 2＝12i ＋1， ∴∑i ＝1n b i ＝12(1×2)＋12(2×3)＋…＋12n (n ＋1) ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝12(1－1n ＋1)， ∑i ＝1n c i ＝122＋123＋…＋12n ＋1＝14(1－12n )1－12 ＝12(1－12n )． ∑i ＝1n b i －∑i ＝1n c i ＝12(1－1n ＋1)－12(1－12n )＝12(12n －1n ＋1)＝n ＋1－2n 2n ＋1(n ＋1). 当n ＝1时，b 1＝c 1不符合题意，当n ＝2时b 2<c 2符合题意，当n ＝3时，b 3<c 3，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数都有∑i ＝1n b i <∑i ＝1nc i ，(*)观察知，欲证(*)式成立，只需证明n ≥2时，n ＋1≤2n .以下用数学归纳法证明，①当n ＝2时，左边＝3，右边＝4，左边<右边；②假设n ＝k (k ≥2)时，k ＋1<2k ，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋1<2k ＋1<2k ＋2k ＝2k ＋1＝右边． ∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n ＋1<2n ，即∑i ＝1n b i <∑i ＝1nc i 成立．综上，满足题意的n 的最小值为2.5．已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1；(2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论． [解析] (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n .∵在数列{a n }中a n >0，∴a n ＋1>0，∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1.(2)解法1：由(1)知0<a n <1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎫a 1－122＋14≤14<12，由此猜想：a n <1n. 下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确．①当n ＝2时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N )时，有a k <1k ≤12成立．那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝⎛⎭⎫a k －122＋14<－⎝⎛⎭⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n <1n. 解法2：由a 2n ≤a n －a n ＋1，得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )，∵0<a k <1，∴1a k ＋1≥1a k (1－a k )＝1a k ＋11－a k， ∴1a k ＋1－1a k ≥11－a k >1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得：1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1， ∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上． (1)求a 1、a 2、a 3的值，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7，a 8，a 9，a 10)；(a 11)，(a 12，a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17，a 18，a 19，a 20)；(a 21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5＋b 100的值．[分析] (1)将点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 代入函数f (x )＝x ＋a n 2x中，通过整理得到S n 与a n 的关系，则a 1，a 2，a 3可求；(2)通过观察发现b 100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b 100.[解析] (1)∵点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上， ∴S n n ＝n ＋a n 2n ，∴S n ＝n 2＋12a n .11 令n ＝1得，a 1＝1＋12a 1，∴a 1＝2；令n ＝2得，a 1＋a 2＝4＋12a 2，∴a 2＝4；令n ＝3得，a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，∴a 3＝6. 由此猜想：a n ＝2n .用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝2k 成立，则当n ＝k ＋1时，注意到S n ＝n 2＋12a n (n ∈N *)，故S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，S k ＝k 2＋12a k . 两式相减得，a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k . 由归纳假设得，a k ＝2k ，故a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)．这说明n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．(2)因为a n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b 100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b 100＝68＋24×80＝1988，又b 5＝22，所以b 5＋b 100＝2010.[点评] 由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1或S k 与S k ＋1间的关系，使命题得证．。

2015届高考数学大一轮复习讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第五章数列理苏教版

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法对应学生用书P671．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1．数列是按一定“次序〞排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数〞有关，而且还与这些“数〞的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[试一试]1．数列{a n}的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n}的一个通项公式为________．答案：a n＝2n－1(n∈N*)2．数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，那么a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：541．辨明数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．2．明确a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2.[练一练]1．(2013·某某、某某二模)数列{a n }的通项为a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2.假设将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{}，那么c 9的值是________．解析：法一：由a n ＝7n ＋2，b n ＝n 2列出部分项得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，b 3＝9，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 4＝16，⎩⎪⎨⎪⎧a 14＝100，b 10＝100，⎩⎪⎨⎪⎧a 17＝121，b 11＝121，⎩⎪⎨⎪⎧a 41＝289，b 17＝289，⎩⎪⎨⎪⎧a 46＝324，b 18＝324，易发现在数列{b n }中符合条件的数呈周期变化，且周期为7.每个周期内第3,4个数符合题意，故c 9在第5个周期的第3个数，即c 9＝(4×7＋3)2＝312＝961.法二：令a n ＝b m ，那么7n ＋2＝m 2，即7(n －1)＝(m －3)(m ＋3)．易知m ＋3或m －3是7的整数倍，所以当m ＝3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…时满足等式，故c 9＝312＝961.答案：9612．(2014·苏锡常镇调研)设u (n )表示正整数n 的个位数，a n ＝u (n 2)－u (n )，那么数列{a n }的前2 014项和等于________．解析：因为n 与n ＋10的个位数字相同且周期为10，又a 1＝0，a 2＝4－2＝2，a 3＝9－3＝6，a 4＝6－4＝2，a 5＝5－5＝0，a 6＝6－6＝0，a 7＝9－7＝2，a 8＝4－8＝－4，a 9＝1－9＝－8，a 10＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，即a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10.答案：10 对应学生用书P67考点一由数列的前几项求数列的通项公式1.(2014·某某二模)将正偶数按如下所示的规律排列：2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 …那么第n (n ≥4)行从左向右的第4个数为________．解析：从数表可知，所有的数是由偶数组成的，第n 行有n 个偶数，从而前n －1行有1＋2＋…＋(n －1)＝n n －12个偶数，第(n ≥4)行从左向右的第4个数是第n n －12＋4个偶数，所以是n 2－n ＋8.答案：n 2－n ＋82．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N *)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n×1n n ＋1.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n－1.[备课札记][类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般〞的思想．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n[a n n S n a n (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .[解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[备课札记][类题通法]数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，那么可以把数列的通项公式合写；如果不符合，那么应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[针对训练]各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)·(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n＝3n －1.考点三由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，归纳起来常见的命题角度有：1形如a n ＋1＝a n f n ，求a n ； 2形如a n ＋1＝a n ＋f n ，求a n ； 3形如a n ＋1＝Aa n ＋BA ≠0且A ≠1，求a n .角度一形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n 1．数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 即a n a n －1＝n ＋1n －1.∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n －2a n －3·a n －1a n －2·a na n －1＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n n ＋12(n ≥2)当n ＝1时，a 1＝1.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.角度二形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n 2．a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求a n . 解：∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.角度三形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n 3．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求a n . 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.[备课札记][类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，假设递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，那么可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项．对应学生用书P69[课堂练通考点]1．(2014·苏北四市质检)在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，那么a 2 014＝________.解析：由题意，该数列除前2项外，从第3项往后是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 4＝8.答案：82．(2013·某某三调)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6， x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n∈N *，且数列{a n }是递增数列，那么实数a 的取值X 围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f 8>f 7，解得a ∈(2,3)．答案(2,3)3．数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，那么a 8＝________. 解析：令s ＝t ＝2，那么a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，那么a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：84．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }前n 项的和，那么S 2 013＝____________.解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0.所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.答案：－1 0055．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)． ∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·某某二调)数列{a n }满足a n ＋a n －1＝12(n ∈N *)，a 1＝1，S n 是{a n }的前n 项和，那么S 21＝________.解析：这个数列为“等和数列〞，分别计算数列的前几项可以发现该数列为周期数列，周期为2.故S 21＝(1－12)×10＋1＝6.答案：62．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，那么a 2等于________．解析：由题可知S n ＝2(a n －1)，所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4. 答案：43．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，那么T 2 013的值为________．解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 013＝(－1)671＝－1.答案：－14．假设数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，那么数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为________．解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 答案：75．数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，那么满足a n n≤2的正整数n 的集合为________．解析：因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ＝1,2,3,4. 答案：{1,2,3,4}6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.答案：107．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，那么数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥28．数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n－1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n＋3，两式相减得a n ＝3n.答案：3n9．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，那么a 2 014＝________.解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝1.答案：110．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，那么有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·某某期末)在数列{a n }中，a 1＝6且a n －a n －1＝a n －1n＋n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，那么这个数列的通项公式a n ＝________.解析：法一：由题意得a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，a 4＝30，…由此猜想出a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．法二：由题意得a n n ＋1＝a n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，故a nn ＋1＝3＋1·(n －1)＝n ＋2，故a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．答案：(n ＋1)(n ＋2)2.创新题数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2a n 为偶数，a n －2n a n 为奇数.假设a 3＝1，那么a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5；当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)；当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,103．(2013·某某一模)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，对任意正整数n ，m (n >m )满足a 2n －a 2m ＝a n －m a n ＋m ，那么a 119＝________.解析：法一：采用特殊值法求出a 3，a 4，a 5，a 6分别为－1,0,1,0，由不完全归纳法得出a n 的周期为4，所以a 119＝a 29×4＋3＝－1.法二：令m ＝2，得a 2n －a 22＝a n －2·a n ＋2，即a 2n ＝a n －2·a n ＋2，所以奇数项成等比数列，偶数项均为0.再令m ＝1，得a 2n －a 21＝a n －1·a n ＋1，当n 为奇数时，a 2n ＝a 21；当n 为偶数时，a n －1·a n ＋1＝－1，故a 1＝－a 3＝a 5＝－a 7＝…，因此a n 的周期为4，所以a 119＝a 29×4＋3＝－1.答案：－14．(2013·某某期末)假设数列{a n }满足a 1为大于1的常数，a n ＋1－1＝a n (a n －1)(n ∈N *)，且1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝2，那么a 2 013－4a 1的最小值为________．解析：因为a 1>1，易知对所有的n ∈N *，a n >1，对a n ＋1－1＝a n (a n －1)两边取倒数得1a n ＋1－1＝1a na n －1＝1a n －1－1a n ，所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝1a 1－1－1a 2 013－1＝2.整理得a 2 013＝2－a 13－2a 1(由a 2 013>1得1<a 1<32)，所以a 2 013－4a 1＝2(3－2a 1)＋123－2a 1－112≥223－2a 1·123－2a 1－112＝－72，当且仅当a 1＝54时取等号．故a 2 013－4a 1的最小值为－72.答案：－72第二节等差数列及其前n 项和对应学生用书P691．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.1．要注意概念中的“从第2项起〞．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． [试一试]1．在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝16，那么该数列前11项和S 11＝________. 解析：∵a 4＋a 8＝16， ∴a 6＝8，∴S 11＝11a 6＝88. 答案：882．(2013·某某高考){a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，假设a 1，a 2，a 5成等比数列，那么S 8＝________.解析：因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64.答案：641．等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 2．活用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)假设{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，那么a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)假设{a n }是等差数列，公差为d ，那么a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. 3．用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解． [练一练]1．(2014·某某摸底)等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝10，那么该数列的前9项和S 9＝________.解析：由题知，S 9＝9a 1＋a 92＝9a 3＋a 72＝45.答案：452．(2014·某某、某某一模)在等差数列{a n }中，假设a 3＋a 5＋a 7＝9，那么其前9项和S 9的值为________．解析：由题知a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝9，那么a 5＝3，所以S 9＝9a 5＝27. 答案：27 对应学生用书P70考点一等差数列的基本运算1.(2013·新课标卷Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S m －1＝－2，S m ＝0，S m＋1＝3，那么m ＝________.解析：根据条件，得到a m 和a m ＋1，再根据等差数列的定义得到公差d ，最后建立关于a 1和m 的方程组求解．由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋m －1d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m m －1d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5.答案：52．(2014·某某调研)在等差数列{a n }中，假设a 1＋a 2＝4，a 9＋a 10＝36，那么S 10＝________. 解析：法一：由于a 1＋a 2＋a 9＋a 10＝2(a 1＋a 10)＝40，故a 1＋a 10＝20，从而S 10＝10a 1＋a 102＝100.法二：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，2a 1＋17d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，从而S 10＝10a 1＋10×9d2＝100.答案：1003．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解：(1)由题意可设等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25化简得2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可知a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝a m ＋2－4a m ＋2－2a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，那么8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2＝2m －3为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，解得m ＝1或2. 经检验，符合题意的正整数m ＝2. [备课札记][类题通法]1．等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程组解决问题的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示和未知是常用方法．考点二等差数列的判断与证明[典例] 数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求S n 和a n .[解] (1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① ∴S n (1＋2S n －1)＝S n －1.由上式知假设S n －1≠0，那么S n ≠0. ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)，由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2. (2)∵1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝1a 1＋2(n －1)，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.[备课札记]假设将条件改为“a 1＝2，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)〞，如何求解.解：(1)∵S n ＝n －12S n －1＋1，∴1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2.∴1S n －1S n －1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，即S n ＝12n －32. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1，－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72n ≥2.[类题通法]1．解答题判断等差数列，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2〞，否那么n ＝1时，a 0无定义．[针对训练]在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)， ∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13. (2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3] ＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．考点三等差数列的性质及最值[典例] n 1352＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，那么使得S n 达到最大时n ＝________.(2)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，假设a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，那么a 5＋b 5＝________. [解析] (1)a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，那么{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.(2)设两等差数列组成的和数列为{}，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，那么c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.[答案] (1)20 (2)35 [备课札记][类题通法] 1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，那么 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[针对训练]1．设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，假设S 6＝5a 1＋10d ，那么S n 取最大值时，n ＝________.解析：由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大．答案：5或62．(2013·某某高考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝10，那么3a 5＋a 7＝________.解析：因为a 3＋a 8＝10，所以3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20. 答案：20 对应学生用书P71[课堂练通考点]1．(2013·某某、某某二模)设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和．假设a 21＋a 22＝a 23＋a 24，S 5＝5，那么a 7的值是________．解析：设数列{a n }的公差为d .由a 21＋a 22＝a 23＋a 24得a 21＋(a 1＋d )2＝(a 1＋2d )2＋(a 1＋3d )2，即8a 1d ＋12d 2＝0.因为d ≠0，所以a 1＝－32d .又由S 5＝5a 3＝5得a 3＝1，所以a 1＋2d ＝1，解得a 1＝－3，d ＝2，故－3＋(7－1)×2＝9.答案：92．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，那么使a n >0的最小正整数n 的值是________．解析：∵a 11－a 8＝3d ＝3，∴d ＝1，∵S 11－S 8＝a 11＋a 10＋a 9＝3a 1＋27d ＝3， ∴a 1＝－8，∴a n ＝－8＋(n －1)>0，解得n >9，因此使a n >0的最小正整数n 的值是10. 答案：103．数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，那么k ＝________. 解析：a 7－a 5＝2d ＝4，那么d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：34．一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，那么此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n a 1＋a n2，∴210＝70n2，∴n ＝6.答案：65．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得：a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )． ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝2n －1. [课下提升考能] 第一卷：夯基保分卷1．(2014·某某模拟)在等差数列{a n }中，假设a 3＋a 9＋a 27＝12，那么a 13＝________. 解析：等差数列{a n }中，由a 3＋a 9＋a 27＝12得3a 13＝12，所以a 13＝4. 答案：42．等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，那么n 的值为________．解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10. 答案：103．(2014·某某月考)等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，那么其公差为________．解析：由a 4＋a 6＝10，得2a 5＝10，所以a 5＝5.由S 5＝5a 3＝5，得a 3＝1，所以d ＝a 5－a 32＝5－12＝2. 答案：24．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，假设S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，那么正整数k 构成的集合为________．解析：在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝10a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6. 答案：{5,6}5．(2013·某某二模)设等差数列{a n }的公差为正数，假设a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，那么a 11＋a 12＋a 13＝________.解析：由条件可知，a 2＝5，从而a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16，得a 1＝2，a 3＝8，公差为3，所以a 11＋a 12＋a 13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.答案：1056．(2013·某某质检)设s ，t 为正整数，两条直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0与l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n ≥2)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，那么x n －y n ＝________(用s ，t ，n 表示)．解析：法一：点(x n ，y n )满足⎩⎪⎨⎪⎧tx ＋x n －1y ＝tx n －1，t2sx －y ＝0，得到x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1，所以x n －y n ＝2s －t x n －12s ＋x n －1.点(x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧t2s x ＋y －t ＝0，t2s x －y ＝0，解得x 1＝s ，y 1＝t 2，所以x 2＝23s ，y 2＝t 3；x 3＝12s ，y 3＝14t ；x 4＝25s ，y 4＝15t ，…猜想：x n ＝2s n ＋1，y n ＝tn ＋1. 所以x n －y n ＝2s n ＋1－t n ＋1＝2s －tn ＋1. 法二：由法一知x 1＝s ，y 1＝t 2，x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1由2sx n ＋x n x n －1＝2sx n －1可化为2s x n －2s x n －1＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫2s x n 是以2sx 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以2s x n ＝2＋(n －1)，得x n ＝2s n ＋1，将其代入y n 得y n ＝t n ＋1，故x n －y n ＝2s －t n ＋1.答案：2s －t n ＋17．(2013·某某二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设S 3S 7＝13，那么S 6S 7＝________.解析：由S 3＝3a 2，S 7＝7a 4，S 3S 7＝13得9a 2＝7a 4＝7(a 2＋2d )，即a 2＝7d ，所以a 3＝8d ，a 4＝9d ，从而S 6＝3(a 3＋a 4)＝51d ，S 7＝7a 4＝63d ，故结果为1721.答案：17218．(2013·某某期末)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，那么正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1，n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k－6)<22，所以7.5<k <9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：89．(2013·苏锡常镇、某某、某某六市调研(二))等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求满足S n －2a n －20>0的所有正整数n 的集合．解：(1)由a 3＝a 27得a 1＋2d ＝(a 1＋6d )2.① 由a 2＝a 4＋a 6得a 1＋d ＝2a 1＋8d ，即a 1＝－7d .② 将②代入①得－5d ＝d 2.所以d ＝－5或d ＝0(不符合题意．舍去)．那么a 1＝35.所以a n ＝35＋(n －1)(－5)＝－5n ＋40. (2)S n ＝35－5n ＋40n 2＝n75－5n2. 不等式S n －2a n －20>0，即n 75－5n2－2(－5n ＋40)－20>0，整理得n 2－19n ＋40<0.所以19－2012<n <19＋2012.因为n ∈N *，那么19－142≤n ≤19＋142，即52≤n ≤332. 所以所求n 的集合为{3,4，…，16}．10．(2014·某某学情调研)数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *.(1)假设数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．解：(1)在S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3及a 1＝a 得(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2.因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a . 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3. 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n n ＋12，S n －1＝3nn －12满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1.所以a ＝3.(2)由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ，故(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n .因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2(n ≥2)，① 所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2②②－①得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3(n ≥2)．③ 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9.④ ④－③得a n ＋2－a n ＝6(n ≥2)，即数列a 2，a 4，a 6，…及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列．因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝13n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，要使数列{a n }是递增数列，须有a 1<a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n <a n ＋1，且当n 为偶数时，a n <a n ＋1，即⎩⎨⎧a <12－2a ，3n ＋2a －6<3n ＋1－2a ＋6n 为大于或等于3的奇数，3n －2a ＋6<3n ＋1＋2a －6n 为偶数，解得94<a <154.所以集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |94<a <154，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第二卷：提能增分卷1．(2013·苏锡常镇、某某、某某六市调研(二))设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，那么a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.解析：因为{a n }，{b n }是等差数列，故b 3＋b 18＝b 6＋b 15，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 3＋b 18＝a 1＋a 20b 1＋b 20＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 答案：41782．(2014·某某二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1a n}的前n 项和为S n ，假设S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，那么正整数m 的最小值为________．解析：由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列{1a n}的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.原不等式可化为14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1≤m 15，记f (n )＝14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1.因为f (n ＋1)－f (n )＝18n ＋9－14n ＋1<0，故f (n )为单调递减数列，从而f (n )max ＝f (1)＝15＋19＝1445.由条件得m 15≥1445，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案：53．(2014·某某一模)数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n a n －a 12.(1)求a 1；(2)求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； (3)设lg b n ＝a n ＋13n，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？假设存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；假设不存在，请说明理由．解：(1)令n ＝1，那么a 1＝S 1＝1a 1－a 12＝0. (2)证明：由S n ＝n a n －a 12，即S n ＝na n2，①得S n ＋1＝n ＋1a n ＋12.②②－①得(n －1)a n ＋1＝na n ，③ 于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1.④ ④－③得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n ＝n －1.(3)假设存在正整数数组(p ，q )使b 1，b p ，b q 成等比数列，那么lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q 3q .所以q ＝3q (2p 3p －13)．(*) 易知(p ，q )＝(2,3)为方程(*)的一组解．当p ≥3，且p ∈N *时，2p ＋13p ＋1－2p 3p ＝2－4p3p ＋1<0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列，于是2p 3p －13≤2×333－13<0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p ，q )＝(2,3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列．4．(2013·某某、某某二模)数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k (k 为常数)．(1)假设k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； (2)假设k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值；(3)a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n ∈N *都成立？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中，令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2，即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a 1>0，所以a 3－2a 2＋a 1＝0，即a 2－a 1＝a 3－a 2.故a 1，a 2，a 3成等差数列． (2)当k ＝0时，a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *.因为数列{a n }的各项都为正数，所以数列{a n }是等比数列．设公比为q (q >0)．因为a 2，a 4，a 5成等差数列，所以a 2＋a 5＝2a 4，即a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 3.因为a 1>0，q >0，所以q 3－2q 2＋1＝0. 解得q ＝1或q ＝1＋52(负根舍去)．所以a 2a 1＝q ＝1或a 2a 1＝q ＝1＋52.(3)存在常数λ＝a 2＋b 2－k ab，使a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1.证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋k ，n ≥2，n ∈N *.所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1，即a n a n ＋2＋a 2n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1.(*) 由于a n >0，(*)式两边同除以a n a n ＋1 得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n. 所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2，即当n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1. 因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－ka .所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－k a b ＝a 2＋b 2－kab.所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－k ab.第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P711．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．[试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的和为________．解析：设5个正数的公比为q (q >0)，所以q 4＝91＝9，即q ＝3，那么中间3个数的和为q ＋q 2＋q 3＝3＋3＋33＝3＋4 3.答案：3＋4 32．(2014·某某摸底)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3＝18，S 3＝26，那么{a n }的公比q ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝18，a 1＋a 2＋a 3＝26，q >0得18q 2＋18q＝8，即4q 2－9q －9＝0.所以(4q ＋3)(q －3)＝0.因为q >0，所以q ＝3.答案：31．等比数列的三种判定方法 (1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)假设m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，那么a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)假设数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，那么{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出假设干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．[练一练]1．(2010·某某高考)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.假设a 1＝16，那么a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：切线斜率k ＝2a k ，切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，即y ＝2a k x －a 2k ，令y ＝0，得x ＝a k2＝a k ＋1，所以{a n }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，所以a n ＝(12)n －5，故a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：212．数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，那么在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有________个．答案：3 对应学生用书P72考点一等比数列的基本运算1.(2013·某某三调)在等比数列{a n }中，假设a 2＝－2，a 6＝－32，那么a 4＝________. 解析：由a 6a 2＝q 4＝16，那么q 2＝4，所以有a 4＝a 2q 2＝－8. 答案：－82．(2014·某某模拟)等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，那么a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.解析：因为{a n }为等比数列，故a 1a 4＝a 2a 3＝8，与a 1＋a 4＝9联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.又q >1，故a 1＝1，a 4＝8，从而q ＝2，故a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝q 2＝4.答案：43．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 11－q n1－q，所以错误!由②式得1－q 4＝5(1－q 2)，即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0. 因为q <1，所以q ＝－1，或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2，通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12×(－2)n －1.。

苏教版高考一轮数学理数学归纳法一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word版含答案

数学归纳法分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在进行第二步证明时，给出四种证法．①假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； ②假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立； ③假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； ④假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立．正确证法的序号是________．解析 ①②③中，k ＋1不一定表示奇数，只有④中k 为奇数，k ＋2为奇数．答案 ④2．用数学归纳证明：对任意的n ∈N *,34n ＋2＋52n ＋1能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1可变形为________．答案 34(34k ＋2＋52k ＋1)－52k ＋1×563．(2010·寿光一中模拟)若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n －7)3n＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________.解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 64．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开的式子是________．解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．答案 (k ＋3)35．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)26．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·苏中三市调研)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝2a n a n ＋1(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明：不等式0<a n <a n ＋1对于任意的n ∈N *都成立． (1)解由题意，得a 2＝23，a 3＝45.(2)证明 ①当n ＝1时，由(1)，知0<a 1<a 2，即不等式成立． ②设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1>0. 而a k ＋2－a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1＋1－2a k a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1－2a k a k ＋1＋1a k ＋1＋1a k ＋1＝2a k ＋1－a ka k ＋1＋1a k ＋1>0，∴0<a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②，得不等式0<a n <a n ＋1对于任意n ∈N *成立．8．(2011·盐城调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－a 2n ＋pa n (p ∈R )，且a 1∈(0,2)，试猜想p 的最小值，使得a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立，并给出证明．证明当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )．因为a 1∈(0,2)，所以欲使a 2∈(0,2)恒成立，则要⎩⎪⎨⎪⎧p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p ≤22，由此猜想p 的最小值为2. 因为p ≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立．现用数学归纳法证明： ①当n ＝1时结论显然成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0,2)，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )，一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＞0成立，另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1＜2，所以a k ＋1∈(0,2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②可知，猜想成立，即p 的最小值为2.分层训练B 级创新能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析右边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案 82．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k 当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案12k ＋1－12k ＋23．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4，即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝12n －12n ＋1.答案 a n ＝12n －12n ＋14．已知S n ＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2，当n 分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________.解析当n ＝1时，S 1＝12＝1＝(－1)1－1·1×1＋12 当n ＝2时，S 2＝12－22＝－3＝(－1)2－1·2×2＋12 当n ＝3时，S 3＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·3×3＋12当n ＝4时，S 4＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·4×4＋12∴猜想S n ＝(－1)n －1·n n ＋12.答案 1，－3,6，－10 (－1)n －1·n n ＋125．(2010·全国卷)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围．解 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. ①当n ＝1时， a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1.故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n ＞a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解，所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜…＜13n (α－1)．所以α－a n ＋1＜13n (α－1)，当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾．因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤2，103.6．(2012·扬州中学最后冲刺)已知在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．(1)证明由a 2n ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －a 2n . 因为在数列{a n }中，a n ＞0，所以a n ＋1＞0.所以a n －a 2n ＞0.所以0＜a n ＜1. 故数列{a n }中的任意一项都小于1. (2)解由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12，由此猜想：a n ＜1n(n ≥2)，下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N )时，假设猜想正确，即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1，故当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n.。

2015届高考苏教版数学(理)大一轮一模考前专项训练：多题一法专项训练3 待定系数法]

多题一法专项训练(三)　待定系数法一、填空题1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点(－，－3)，则双曲线的方程为________．解析：设所求的双曲线方程为y2－4x2＝k，因为双曲线过点(－，－3)，所以(－3)2－4(－)2＝k，得k＝1，所以双曲线的方程为－＋y2＝1.答案：y2－＝12．在等差数列{a n}中，a1＝1，a4＝10，若a k＝148，则k等于________．解析：设等差数列的公差为d，∵a1＝1，a4＝10，∴d＝3.∴148＝1＋3(k－1)，∴k＝50.答案：503．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于________．解析：∵x<1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax，∴4a＝4＋2a，解得a＝2.答案：24．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为________．解析：由得a＝－3，b＝－2.∴ab＝6.答案：65．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，当(λm＋n)⊥(2n＋m)时，实数λ的值为________．解析：由已知得|m|＝，|n|＝，m·n＝11，∵(λm＋n)⊥(2n＋m)，∴(λm＋n)·(2n＋m)＝λm2＋(2λ＋1)m·n＋2n2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－.答案：－6．已知函数f(x)＝A cos(ωx＋φ)的图像如图所示，f＝－，则f(0)＝________.解析：由题意可知，此函数的周期T＝2(－)＝，故＝，∴ω＝3，f(x)＝A cos(3x＋φ)．f＝A cos＝A sin φ＝－.又由题图可知f＝A cos＝0，∴f(0)＝A cos φ＝.答案：7．设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.解析：因为f(－x)＝－x(e－x＋a e x)，f(x)是偶函数，所以－x(e－x＋a e x)＝x(e x＋a e－x)，e x＋a e－x＋e－x＋a e x＝0，(1＋a)e x＋(1＋a)e－x＝0，(1＋a)(e x＋e－x)＝0，所以1＋a＝0，即a＝－1.答案：－18．已知圆经过原点，圆心在第三象限且在直线y＝x上，若圆在y轴上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．解析：依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝2a2，令x＝0，得(y－a)2＝a2，此时在y轴上截得的弦长为2|a|，由已知得2|a|＝2，故a＝±1，由圆心在第三象限，得a＝－1，于是，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.答案：(x＋1)2＋(y＋1)2＝29．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－)2＋y2＝4相切，则该双曲线的离心率等于________．解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，∵渐近线与圆(x－)2＋y2＝4相切，∴＝2，∴b2＝4a2，c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2.e＝＝.答案：10．设a是实数，且＋是实数，则a＝________.解析：由＋＝＝是实数得，a＋1＝0，a＝－1.答案：－1二、解答题11．设{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a＋a ＝a＋a，S7＝7.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)试求所有的正整数m，使得为数列{a n}中的项．解：(1)由题意，设等差数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d，d≠0.由a＋a＝a＋a知2a1＋5d＝0.①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{a n}的通项公式a n＝2n－7，S n＝na1＋d＝n2－6n.(2)因为＝＝a m＋2－6＋为数列{a n}中的项，故为整数．又由(1)知a m为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.＋2经检验，符合题意的正整数只有m＝2.12．一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．解：如图所示，设动圆半径为R，已知圆的圆心分别为O1，O2，将两圆方程分别配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，故O1(－3,0)，r1＝2；O2(3,0)，r2＝10.当⊙M与⊙O1外切时，有|O1M|＝R＋2，①当⊙M与⊙O2内切时，有|O2M|＝10－R，②将①②两式的两边分别相加，得|O1M|＋|O2M|＝12，又|O1O2|＝6，所以|O1M|＋|O2M|>|O1O2|，由椭圆的定义可知，动圆圆心M的轨迹是一个以O1，O2为焦点，长轴长为12的椭圆．设其方程为＋＝1(a>b>0)，则有解得故椭圆方程为＋＝1.所以动圆圆心的轨迹方程是＋＝1，其轨迹是一个以O1(－3,0)，O2(3,0)为焦点，长轴长为12的椭圆．13．(2014·武汉模拟)已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在y轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x0－14y－2－21(1)求C1，C2的标准方程；(2)设斜率不为0的动直线l与C1有且只有一个公共点P，且与C2的准线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设C1，C2的标准方程分别为：＋＝1(a>b>0)，x2＝2py.将点(－1，)和(4,1)代入抛物线方程中得到的解相同，∴2p＝16，∴点(0，－2)和(，－2)在椭圆上，代入椭圆方程得a＝2，b＝2，故C1，C2的标准方程分别为＋＝1，x2＝16y.(2)设直线l的方程为x＝my＋n，将其代入＋＝1中，消去x并化简整理得，(1＋2m2)y2＋4mny＋2n2－8＝0.∵直线l与C1相切，∴Δ＝16m2n2－4(1＋2m2)(2n2－8)＝0，∴n2＝4(1＋2m2)，设切点P(x0，y0)，则y0＝－＝－，x0＝my0＋n＝＝.又直线l与C2的准线y＝－4的交点为Q(n－4m，－4)，∴以PQ为直径的圆的方程为(x－)(x－n＋4m)＋(y＋)(y＋4)＝0，化简并整理得x2－x＋(4m－n)x＋(y＋2)＋(y＋2)2＝0，故存在定点M(0，－2)符合题意．。

【创新设计】2015高考数学(苏教理)一轮配套课件14-4数学归纳法及其应用

n＝k(k≥2 且 k 为偶数)
时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝k＋2 时等式成立． (√) (6)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一项． (×)
[感悟·提升]
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤 (1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，如(4)，检验n的值从n ＝3开始，因此(1)不正确．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成
立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法，
如(3).
考点一
用数学归纳法证明等式
【例1】 (2012·天津卷改编)已知等差数列{an}的公差为3，其前
n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为2，且a1＝b1＝2. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．
＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)
＝ak＋1b1＋qTk ＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)
＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24
＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．由①、②可知，对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．
＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．这就是说当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)、(2)知，对n∈N*，原等式成立．

【创新设计】2015届高考数学一轮总复习能力提升练解析几何理苏教版

能力提升练——解析几何(建议用时：90分钟)一、填空题1．(2014·某某省实验中学诊断)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于________．解析因为直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，所以－(a ＋2)≠0，所以3x －(a ＋2)y ＋1＝0的斜截式方程为y ＝3a ＋2x ＋1a ＋2，由两直线平行，得3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或a ＝－3. 答案 1或－32．(2014·某某模拟)椭圆x 216＋y 29＝1的焦距为________．解析由题意知a 2＝16，b 2＝9，所以c 2＝a 2－b 2＝16－9＝7，所以c ＝7，即焦距为2c ＝27. 答案 273．(2014·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．解析圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，弦AB 的长l ＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3. 答案 2 34．(2014·某某一模)已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是________________．解析设圆心坐标为C (a,0)，则|AC |＝|BC |，即a －52＋22＝a ＋12＋42，解得a＝1，所以半径r ＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C 的方程是(x －1)2＋y 2＝20.答案 (x －1)2＋y 2＝205．(2014·某某模拟)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c ＝5，又a 2＋9＝c 2＝25，所以a 2＝16，a ＝4，所以离心率为e ＝c a ＝54.答案 546．(2014·某某一模)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点在直线x －2y －2＝0上，则该抛物线的准线方程为________．解析抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，代入直线x －2y －2＝0方程，得p2－2＝0，即p ＝4，所以抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－42＝－2.答案 x ＝－27．(2014·某某模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是______________．解析双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，即2x －2y ＝0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r ＝|32|22＋22＝326＝33＝ 3.所以圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3. 答案 (x －3)2＋y 2＝38．(2014·某某一模)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由p2＝2，得p ＝4.答案 49．(2014·某某模拟)已知两点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“R 型直线”．给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1，其中为“R 型直线”的是________．解析由题意可知，点P 的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a ＝6，a ＝3，c ＝5，所以b2＝c 2－a 2＝16.所以双曲线方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)．显然当直线y ＝x ＋1与y ＝2和双曲线的右支有交点，所以为“R 型直线”的是①②. 答案 ①②10．(2014·某某一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．解析依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1. 答案2＋111．(2014·某某一模)已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是________．解析由抛物线定义知，y P ＋1＝5，即y P ＝4，所以有x 2P ＝16，解得x P ＝±4. 答案 ±412．(2013·某某卷)设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．解析设D 在AB 上，且CD ⊥AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°，所以有CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，所以有C (1，1)，把C (1,1)代入椭圆的标准方程得1a 2＋1b2＝1，a 2＝b 2＋c 2且2a ＝4，解得，b 2＝43，c 2＝83，则2c ＝43 6.答案436 13．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则M 到x 轴的距离为________．解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |＝2，m 2＋n 2＝12，可得mn ＝4.由△MF 1F 2的面积可得M 到x 轴的距离为423＝233.答案23314．(2014·某某二模)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________．解析抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，由题意知 b2－－c c －b2＝53，c ＝2b ，所以c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，即4a 2＝3c 2，所以2a ＝3c ，所以e ＝c a＝23＝233. 答案233二、解答题15．(2013·某某卷改编)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程．解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ，则|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.16．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1)设圆P 的半径为r ，则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ，∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)由(1)知2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)．圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的倾斜角为90°，方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②当l 的倾斜角不为90°，设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k2＝1，|2k ＋b |1＋k 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝24，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24，b ＝－ 2.∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝24x ＋2，化简得7x 2＋8x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187.17．(2014·东北三校联考)如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．解 (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4.(2)设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2， ∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2， ∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(2013·某某卷)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程．解 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则－c2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22，得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP ′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0，即(x 1－x 0)2－y 21＝0. 由椭圆方程及x 1＝2x 0，得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0，解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263.从而|QP |2＝8－x 20＝163. 故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2632＋y 2＝163.。

2015届高考数学大一轮复习 课时训练69 数学归纳法 理 苏教版

2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第九节数学归纳法 理

2015届高考数学大一轮复习 课时训练59 算法初步 理 苏教版

2015届高考数学总复习 第六章 第九节数学归纳法课时精练 理