【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：7-3 第3课时空间点、直线、平面之间的位置关系]

合集下载

【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：6-4 第4课时基本不等式]

A 组基础演练1．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b解析：∵0＜a ＜b ，∴a ＜a ＋b2＜b ，A 、C 错误； ab －a ＝a (b －a )＞0，即ab ＞a ，D 错误，故选B. 答案：B2．(2014·青岛模拟)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.14 B ．4 C.12D ．2解析：由4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，又a ＞0，b ＞0，所以1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．答案：C3．(2014·泰安模拟)设0＜x ＜2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为( )A ．2 B.22C. 3D. 2解析：∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号． ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值是 2.答案：D4．(2014·曲靖模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．解析：由题意得点A 的坐标为(－2，－1)， ∴2m ＋n ＝1，∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn ≥4＋2n m ·4m n ＝8.当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号，故1m ＋2n 的最小值为8. 答案：85．当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案：16．(2014·四平模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析：依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎨⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4. 答案：47．(2014·太原二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)＞g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞8．(1)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值； (2)已知a ＞b ＞0，求a 2＋16b (a －b )的最小值．解：(1)由x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＋6＝xy ，得 xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy ＞0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.(2)∵a ＞b ＞0，∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a24，当且仅当a ＝2b 时等号成立． ∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b (a －b )取得最小值16.9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ； ca b ＋ab c ≥2ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . B 组能力突破1．(2014·东营模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0y ≥0，若目标函数z ＝ax＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为6，则4a ＋6b 的最小值为( )A.256B.253C.506D.503解析：点(x ，y )所满足的可行域如图中阴影部分所示．根据目标函数所表示的直线的斜率是负值可知目标函数只在点A 处取得最大值，故实数a ，b 满足4a ＋6b ＝6，即2a ＋3b ＝3，从而4a ＋6b ＝ 13(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋6b ＝ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫26＋12b a ＋12a b ≥13(26＋24)＝503，当且仅当a ＝b 时取等号．从而4a ＋6b 的最小值为50 3.答案：D2．如果0＜a＜b＜1，P＝log 12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是() A．P＞Q＞M B．Q＞P＞MC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P解析：因为P＝log 12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)，所以只需比较a＋b2，ab，a＋b的大小，显然a＋b2＞ab.又因为a＋b2＜a＋b(因为a＋b＞(a＋b)24，也就是a＋b4＜1)，所以a＋b＞a＋b2＞ab，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q＞P＞M. 答案：B3．(2013·天津)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．解析：∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1.当且仅当b4|a|＝|a|b且a＜0，即b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．答案：－24．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809 ≥2900x ·9x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90 ＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)．令f (x )＝x ＋100x (x ≥35)，x 2＞x 1＞35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 2－x 1)(100－x 1x 2)x 1x 2.∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0,100－x 1x 2＜0，故f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x ，当x ≥35时为增函数．则当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2＜10 989.因此该厂应接受此优惠条件．。

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件7-2 第2课时空间几何体的表面积和体积

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积圆柱 S 侧＝2πrh 体积 V＝Sh＝πr2h 1 1 2 V＝3Sh＝3πr h 1 2 2 2 ＝ πr l －r 3
圆锥
S 侧＝πrl
1 V＝ (S 上＋S 下＋ 3 圆台 S 侧＝π(r1＋r2)l S上S下)h 1 2 2 ＝3π(r1＋r2＋r1r2)h 直棱柱正棱锥 S 侧＝Ch′ 1 S 侧＝2Ch′ (h′为斜高) V＝Sh 1 V＝ Sh 3
∴2πr＝πl ∴l＝2r
表面积为πr2＋πr·l＝3πr2＝3π. r＝1. 答案：2
1．几何体的侧面积和全面积几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆
S 四边形 ABB1A1＝2×10＝20， S 四边形 DCC1D1＝(3＋2＋3)×10＝80， 1 S 四边形 ABCD＝S 四边形 A1B1C1D1＝ ×(2＋8)×4＝20， 2 S 四边形 AA1D1D＝S 四边形 BB1C1C＝10×5＝50， ∴表面积＝20＋80＋2×20＋2×50＝240.
图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，
利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．
3．有关球的组合体的两种位置：内切和外接如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方
体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶
点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题．

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件7-8 第8课时立体几何中的向量方法(Ⅱ)

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
【解】法一：(1)因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD.又 AD⊥ CD，所以 CD⊥平面 PAD，从而 CD⊥PD. 因为 PD＝ 22＋2 22＝2 3， CD＝2， 1 所以三角形 PCD 的面积为 ×2×2 3＝2 3. 2
(2)如图(1)，取 PB 中点 F，连接 EF、 AF，则 EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角．在△AEF 中，由 EF＝ 2， π AF＝ 2，AE＝2 知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF＝4. π 因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是4.
补． 2．求点到平面距离的方法：(1)垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；(2)等体积法，转化为求三棱锥的高；(3)等价转移法；(4)法向量法．
题型一
求异面直线锥 P－ABCD中，底面ABCD
是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD ＝2， PA＝2.求： (1)三角形PCD的面积；
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60° . 答案：D
(3)求二面角的大小 1° 如图①，AB、CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直 → → 线，则二面角的大小 θ＝〈AB，CD〉．
2°如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α， β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－
cos〈n1，n2〉．
对点演练 (1)(教材改编)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，
n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 A．45° C．45° 或 135° B．135° D．90° ( )

【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：7-7 第7课时立体几何中的向量方法(Ⅰ)]

A 组基础演练1．平面α的一个法向量为n ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为m ＝(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合解析：∵m ·n ＝2－2＝0，∴m ⊥n ，∴平面α⊥平面β. 答案：C2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2解析：∵α∥β，∴两平面的法向量平行， ∴1－2＝2－4＝－2k ，∴k ＝4. 答案：C3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33解析：AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，经验证只有选项D 中的向量同时垂直于向量AB →和AC →，即为平面ABC 的一个单位法向量．答案：D4．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对解析：以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ，依题意，可得，D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM . 答案：C5．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)， b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________. 解析：∵a ·b ＝x －2＋6＝0，∴x ＝－4. 答案：－46．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、 B (8，－1,4)确定的平面上，则a ＝________.解析：P A →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB →(x 、y ∈R )，则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，∴⎩⎨⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.答案：167．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C的位置关系是________．解析：∵正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a3， ∴MB →＝23A 1B →，CN →＝23CA →，∴MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA →＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →) ＝23B 1B →＋13B 1C 1→.又∵CD →是平面B 1BCC 1的法向量， ∴MN →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23B 1B →＋13B 1C 1→·CD →＝0，∴MN →⊥CD →.又∵MN ⊄平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 答案：平行8．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形． ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12.设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0，即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， ∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD . (2)法一：∵P (0,0,1)， ∴PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0， ∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ， ∴PD ⊥平面ABE . 法二：AB →＝(1,0,0)， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)． ∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n . ∵PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .9．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.求证：(1)EF ∥平面P AB ； (2)平面P AD ⊥平面PDC .证明：(1)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0)． ∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，即EF ∥AB ，又AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ，∴EF ∥平面P AB . (2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面P AD .∵DC ⊂平面PDC ，∴平面P AD ⊥平面PDC .B 组能力突破1．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO 、AM 的位置关系是()A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2,1,2)，NO →＝(－1,0，－2)，AM →＝(－2,0,1)，NO →·AM →＝0，则直线NO 、AM 的位置关系是异面垂直．答案：C2．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上．当∠APC 最大时，三棱锥P —ABC 的体积为( )A.124B.118C.19D.112解析：以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系，设BP →＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP→|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.答案：B3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：14．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC .(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：如图，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， (1)则AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)．由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在点M 满足题意，由(1)知，A 坐标为(0，－3,0)，AP →＝(0,3,4)，设AM →＝tAP →，AM →＝(0,3t,4t )，(0＜t ＜1)，则M 点坐标为(0,3t －3,4t )，∴BM →＝(－4,3t －5,4t )，令BM →·AP →＝0，得9t －15＋16t ＝0，∴t ＝35，此时BM ⊥AP ，又由(1)知BC ⊥AP ，且BM ∩BC ＝B ，∴AP ⊥平面BMC ，又AP ⊂平面AMC ，∴平面BMC ⊥平面AMC ，此时AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，|AM →|＝3，故存在线段AP 上的点M ，使平面AMC ⊥平面BMC ，且AM 的长为3.。

2015届高考数学(理)一轮讲义：一轮复习综合验收题精讲(二) 精品讲义

一轮复习综合验收题精讲(二)主讲教师：王春辉北京数学特级教师选择题注：本讲课程内容较多，故有些题目不在课堂中讲解，没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照详解进行自测. 题一：计算120x dx =⎰（）． (A)2(B) 1(C)13(D)14题二：圆1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）的极坐标方程是（）． (A)cos ρθ= (B) 2cos ρθ= (C)sin ρθ= (D) 2sin ρθ=题三：若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（）． (A)3- (B) 13- (C) 3 (D)13题四：下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出 //AB 平面MNP 的图形的序号是（）．(A) ①、③ (B) ①、④ (C) ②、③ (D) ②、④题五：已知向量a 1),=b (0,1),=-c (,k =．若a 2-b 与c 共线，则k =（）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4题六：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）．（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0（C ）丙地：中位数为2，众数为3 （D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3题七：ABC ∆中，3||=→AB ，1||=→BC ， =→B AC cos ||A BC cos ||→，则=⋅→→BC AB （）．(A)23-或1- (B) 32或1 (C) 23-或2- (D)23或2题八：在ABC ∆中，3,2==AC AB ，D 是边BC 的中点，则=⋅→→BC AD ( )． (A) 5 (B) 25 (C) 23(D) 4题九：函数)(x f )(log 3ax x a -=)1,0(≠>a a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（）．(A))1,41[ (B))1,43[ (C)),49(+∞ (D))49,1(题十：设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,3)C t +，(,3)D t ()t ∈R ．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（）．（A ）}9,8,6{（B ）}9,8,7{（C ）}8,7,6{（D ）}9,8,7{填空题题一：设不等式组2220x y a x y -⎧⎪⎨⎪+-≥⎩≤≤≤≤0(0)a >确定的平面区域为U ．在区域U 内任取一个点(,)M s t ，已知s t +的最大值为4，则此点到坐标原点的距离不大于2的概率是 .题二：直线1:2)l y x =-关于直线:l y kx =对称的直线2l 与x 轴平行，则k = ．题三：中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日）的对角线走．例如马从方格中心点O 走一步，会有8种走法．则从图中点A 走到点B ，最少需______步，按最少的步数走，共有______种走法．题四：把函数:(1,2,,)k f k i k n →=称为1,2,,n 这n 个整数的一个“置换”，记作：⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i i i n ,,,,2,121，其中},,2,1{n ={n i i i ,,,21 }．置换f 与g 的积（记作g f ）仍为置换，且)]([)(k g f k g f = ，n k ,,2,1 =．（1）1,2,,n 这n 个整数的不同“置换”共个；（2）求置换的积：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= ．解答题题一：(理)在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===.（1）求直线1AC 和11A B 所成角的大小；（2）求直线1AC 和平面11ABB A 所成角的大小.题二：(文)已知：点P 到定点)0,1(-M 、)0,1(N 的距离之比为2．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．题三：某村子有1000人，因附近工厂有毒物质泄漏，现要对每个人的血液进行化验。

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件2-1 第1课时函数及其表示

第1课时函数及其表示
(一)考纲点击
1．了解构成函数的要素，了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单的应用．
(二)命题趋势
1 ．以考查函数的三要素和表示法为主，同时函数的图象、
分段函数也是考查的热点． 2 ．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是函数的表达式，对以后研究函数的性质、应用有很重要的作用．
2 2 13 解析：f(3)＝3，f(f(3))＝f(3)＝ 9 . 答案：D
1．两个函数的定义域和对应关系相同时，它们就是同一 (相
等)函数，否则，它们就不相同．
2 ．函数解析式的求法主要有：待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法．
3．求分段函数应注意的问题：
在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集． 4 ．在求函数的定义域时，一定要注意：①分式的分母不能为 0 ；②偶次根式的被开方数大于或等于 0 ；③ 0 的 0 次方
x
1 f(x)的定义域为2，2.
【解析】
|x| 对于 (1) ，由于函数 f(x) ＝的定义域为 {x|x ∈ R ，且 x
1，x≥0， g(x)＝－1，x＜0
x≠0}，而函数
的定义域是 R，所以二者不是
同一函数；对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义域的值，则直线 x＝ 1 与 y＝f(x)的图象没有交点，如果 x＝1 是 y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象只有一个交点，即 y ＝f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点；

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件x4-4-2 第2课时参数方程

(2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和
g(t)的值域，即x和y的取值范围．
3 ．将普通方程化为参数方程，必须结合参数的几何意义把坐标用参数表示．
(参数 θ
∈[0,2π))，则圆心 C 到直线 l 的距离是________
解析：直线 l 的普通方程为 x－y＋1＝0，圆 C 的方程为(x－1)2＋ y2＝1，其圆心坐标为(1,0)， |1－0＋1| ∴圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为 d＝＝ 2. 2 答案： 2
3．椭圆的参数方程
x＝acos φ， x2 y2 (1)椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的参数方程是其中 φ y＝bsin φ，
是参数．
x＝bcos φ， x2 y2 (2)椭圆b2＋a2＝1(a＞b＞0)的参数方程为其中 φ y＝asin φ，
是参数．
对点演练
x＝5cos θ， ( 教材习题改编 )曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数 )的左焦点的坐标是
________． x 5＝cos θ，解析：曲线方程化为 y＝sin θ， 3 (－4,0)．答案：(－4,0) x2 y2 ∴ ＋＝1，其左焦点坐标为 25 9
1 1 ＝＋ cos 2θ＝cos2θ， 2 2 1 yp＝2sin 2θ＝sin θcos θ(θ 为参数)．【答案】 (1)m＞10 或 m＜0
2 x＝cos θ (2) y＝sin θcos
θ
(θ 为参数)
【归纳提升】 1.消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件6-2 第2课时一元二次不等式及其解法

4．简单的分式不等式的解法 fx (1) ＞0⇔f(x)· g(x)＞0； gx fx ≤0⇔f(x)· g(x)≤0 且 g(x)≠0. gx
fx＞0， fx＜0， fx fx≤0， fx (2) ＞0⇔ 或 ≤0⇔ gx gx＞0， gx＜0， gx gx＞0， fx≥0，或 gx＜0.
，则
ab 等于 ( )
A．－28 C．28
B．－26 D．26
1 b －2＋4＝－a 解析：由已知得－2×1＝－2 4 a ∴a＝4，b＝7，∴ab＝28. 答案：C
，
(2)已知不等式 x2－2x＋k2－1＞0 对一切实数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围为________．解析：由题意，知 Δ＝4－4×1×(k2－1)＜0，即 k2＞2，∴k＞ 2或 k＜－ 2. 答案：(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
题型一一元二次不等式的解法已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
【解】 (1)因为不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1 或 x＞b}，所以 x1＝1 与 x2＝b 是方程 ax2－3x＋2＝0 的两个实数根， b＞1 且 a＞0.由根与系数的关系， 3 1＋b＝a，得 1×b＝2. a
x－2 1 1 解析：由＜1 得 1－＞0，即＞0，解得 x＜1，或 x x－1 x－1 x－1 ＞2. 答案：C
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关
系如下表：
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象

高考数学一轮复习全套课时作业7-2空间点线面的位置关系

题组层级快练7.2空间点线面的位置关系一、单项选择题1．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是()A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α2．下列各图是正方体和正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()3．将下面的平面图形(图中每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是()A ．①②B ．②④C ．①④D ．①③4．空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为()A ．1B ．4C ．7D ．85.如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.456．(2020·江西景德镇模拟)将图①中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是()A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直7．(2020·广西钦州质检)在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，AD ＝6，BC ＝4，EF ＝2，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为()A.34B.56C.910D.11128.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是()A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行9．(2021·吉林长春模拟)已知直线a 和平面α，β有如下关系：①α⊥β；②α∥β；③a ⊥β；④a ∥α.则下列命题为真命题的是()A ．①③⇒④B ．①④⇒③C ．③④⇒①D ．②③⇒④10．(2021·福建三明质检)已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，PA ＝2，E 为BC 的中点，则异面直线AE 与PD 所成的角为()A.π6B.π4C.π3D ．π11．(2021·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是()A.0，π2B.0，π2C.0，π3D.0，π312．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，PA ＝23，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是()A.18B.16C.14D.13二、多项选择题13．(2021·山东烟台二模)已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，则()A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β14.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确是()A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 不共面15．(2021·广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个结论，其中正确的是()A ．AF ⊥GCB ．BD 与GC 为异面直线且夹角为60°C ．BD ∥MND ．BG 与平面ABCD 所成的角为45°16.(2021·江西莲塘一中、临川二中联考)如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当CQ ＝1时，S 的面积为________．17.如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？7.2空间点线面的位置关系参考答案1．答案D解析b 与α相交或b ⊂α或b ∥α都可以．2．答案D解析在A 中，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在B 中，P ，Q ，R ，S 四点共面，如图所示，证明如下：取BC 中点N ，可证PS ，NR 交于直线B 1C 1上一点E ，∴P ，N ，R ，S 四点共面，设为α.可证PS ∥QN ，∴P ，Q ，N ，S 四点共面，设为β.∵α，β都经过P ，N ，S 三点，∴α与β重合，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在C 中，易证PQ ∥SR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在D 中，∵QR ⊂平面ABC ，PS ∩平面ABC ＝P 且P ∉QR ，∴直线PS 与QR 为异面直线．∴P ，Q ，R ，S 四点不共面．3．答案C解析图②翻折后点N 与点Q 重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行．故选C.4．答案C解析当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图．当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个．5.答案D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角(或其补角)．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.6．答案C解析在题图①中，AD ⊥BC ，故在题图②中，AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，又因为BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，D 不在BC 上，所以AD ⊥BC ，且AD 与BC 异面，故选C.7．答案D解析本题考查异面直线所成角的余弦值．取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，EG ∥AD ，则∠EGF 为异面直线AD 与BC 所成的角(或补角)．因为FG ＝12BC ＝2，EG ＝12AD ＝3，所以cos ∠EGF ＝4＋9－22×2×3＝1112，故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为1112.8.答案D解析如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，所以MN 与CC 1垂直，故A 正确；因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ，所以MN 与AC 垂直，故B 正确；因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．9．答案C解析本题考查空间中有关线面位置关系的命题真假的判断．由①③可知，a ∥α或a ⊂α，A 错误；由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错误；过直线a 作平面γ，使得γ∩α＝b ，∵a ∥α，∴a ∥b.∵a ⊥β，∴b ⊥β.∵b ⊂α，∴α⊥β，C 正确；由②③可知，a ⊥α，D 错误．10．答案C解析本题考查异面直线所成角的大小．分别取AD ，PA 的中点F ，G ，连接CF ，AC ，FG ，CG.∵四边形ABCD 为矩形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∴AF 綊EC ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴CF ∥AE.∵F ，G 分别为AD ，PA 的中点，∴FG ∥PD.∴异面直线PD 与AE 所成角即为∠CFG(或其补角)．∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC.∴CG ＝AG 2＋AC 2＝1＋1＋4＝ 6.又CF ＝1＋1＝2，FG ＝1＋1＝2，∴cos ∠CFG ＝CF 2＋FG 2－CG 22CF ·FG ＝2＋2－62×2×2＝－12，∴∠CFG ＝2π3，即异面直线AE 与PD 所成的角为π3，故选C.11．答案D解析当点P 与点D 1重合时，CP ∥BA 1，所成角为0；当点P 与A 点重合时，CA ∥A 1C 1，连接BC 1，△A 1BC 1为正三角形，所成角为π3，又由于异面直线所成角为，π2，所以选D.12．答案A解析分别取PA ，PB ，BC 的中点E ，F ，G ，连接EF ，EG ，FG ，GA ，PG ，如图所示，由PB ＝PC ＝AB＝AC ＝BC ＝4可得PG ＝AG ＝32BC ＝23，所以EG ⊥PA ，在△GPA 中，PG ＝AG ＝PA ＝23，可得EG ＝3，由中位线的性质可得EF ∥AB 且EF ＝12AB ＝2，FG ∥PC 且FG ＝12PC ＝2，所以∠GFE 或其补角即为异面直线PC 与AB 所成角，在△GFE 中，cos ∠GFE ＝GF 2＋EF 2－GE 22GF ·EF ＝4＋4－92×2×2＝－18，所以异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为18.故选A.13．答案BC解析本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m 和n 平行、相交或异面，故A 错误；若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，由线面、面面垂直的性质可知m ⊥n ，故B 正确；若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，又n ⊥β，所以α∥β，故C 正确；若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β或m ⊂β，故D 错误．故选BC.14.答案AD解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．又BB1与平面AB1D1仅有B1一个交点，所以B与B1，O，M不共面．15．答案AB解析将平面展开图还原成正方体，如图所示．对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；对于B，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD 与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故B正确；对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；对于D，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故D错误．综上可得A、B正确．16.答案62解析当CQ＝1时，Q与C1重合．如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，PF＝2，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APC1F，∴其面积为12AC1·PF＝12×3×2＝62.17.答案(1)略(2)共面，证明略解析(1)证明：∵G，H分别为FA，FD的中点，∴GH綊12AD.又∵BC綊12AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是FA的中点，得BE綊GF.所以EF綊BG.由(1)知，BG綊CH，所以EF綊CH.所以EC∥FH.所以C，D，F，E四点共面．。

【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：4-2 第2课时平面向量基本定理及坐标表示]

A 组基础演练1．(2013·辽宁)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：∵A (1,3)，B (4，－1)， ∴AB →＝(3，－4)，又∵|AB →|＝5，∴与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.故选A.答案：A2．(2013·陕西)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0 解析：因为a ∥b ，所以m 2＝2，解得m ＝－2或m ＝2，故选C. 答案：C3．非零不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：P A →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎨⎧x ＝2＋2λy ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A.答案：A4．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③解析：①中e 1与e 2不共线．②中e 2＝2e 1，③中e 1＝4e 2，是共线向量．答案：A5．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案：126．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12. 答案：127．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.解析：∵OC ＝23OA →＋13OB →，∴OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)， ∴AC →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13.答案：138．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？解：若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若向量k a ＋b 与向量a －3b 共线，则必有(k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )．即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k 存在．9．如图所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →. 解：因为AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，所以由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得 (AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0，所以AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又因为A ，N ，B 三点共线，C ，M ，N 三点共线，由平面向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，所以λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.所以(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0，所以⎩⎨⎧λ＝－2，μ＝－1. 所以CM →＝－NM →＝MN →，CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .B 组能力突破1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．答案：B2．(2013·湖北襄樊二模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c ＞b ＞a ，若向量m ＝(a －b,1)和n ＝(b －c,1)平行，且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，则b ＝( )A.1＋32 B ．2 C ．4D ．2＋ 3解析：由向量m ＝(a －b,1)和n ＝(b －c,1)平行知a ＋c ＝2b ①，由12ac sin B ＝32⇒ac ＝154②，由c ＞b ＞a 知∠B 为锐角，由cos B ＝35⇒a 2＋c 2－b 22ac ＝35③，联立①②③得b ＝2. 答案：B3．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．解析：AB →＝OB →－OA →＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1) BC →＝OC →－OB →＝(5－m ，－3－m )－(6，－3) ＝(－1－m ，－m )若AB →∥BC →，∴3m ＝－1－m ，m ＝12 ∴当m ≠12时，A 、B 、C 不共线．答案：m ≠124．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB →＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3,5)，求点C 的坐标； (2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 坐标为(x 0，y 0)，又AC →＝AD →＋AB →＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C 的坐标为(10,6)．(2)由三角形相似，不难得出PC →＝2MP →.设P (x ，y )，则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)， AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP → ＝12AB →＋3⎝⎛⎭⎪⎫AP →－12AB →＝3AP →－AB →＝(3x －3,3y －3)－(6,0) ＝(3x －9,3y －3)，∵|AB →|＝|AD →|，∴▱ABCD 为菱形，∴BD →⊥AC →.∴BP →⊥AC →，即(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0. (x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0， ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)． ∴(x －5)2＋(y －1)2＝4(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点．。

【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：7-6 第6课时空间向量及其运算(理)]

A 组基础演练1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；③已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故②不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋x c ，若三个向量共面，则不能表示空间任意向量，故③不正确，综上可知三个命题中正确的个数为0，故选A. 答案：A2．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c解析：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →) ＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 答案：A3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则()A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 与A 1D 、AC 都垂直 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面解析：设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1,1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC . 答案：B4．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以|PC →|＝12. 答案：C5．如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，a 2.∴DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，∵cos 〈DP →，AE →〉＝33，∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．答案：(1,1,1)6．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c7．已知O 是空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________.解析：∵A 、B 、C 、D 四点共面，∴OA →＝mOB →＋nOC →＋pOD →，且m ＋n ＋p ＝1，由已知得OA →＝－2xOB →－3yOC →－4zOD →， ∴(－2x )＋(－3y )＋(－4z )＝1， ∴2x ＋3y ＋4z ＝－1.答案：－18．如图，在四棱锥M —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB 、AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ＝AB →，b ＝AD →，c ＝AM →，试以a ，b ，c 为基向量表示出向量BN →，并求BN 的长．解析：∵BN →＝BC →＋CN →＝AD →＋12CM →＝AD →＋12(AM →－AC →)＝AD →＋12[AM →－(AD →＋AB →)] ＝－12AB →＋12AD →＋12AM →， ∴BN →＝－12a ＋12b ＋12c ， |BN →|2＝BN →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c 2＝14(a 2＋b 2＋c 2－2a ·b －2a ·c ＋2b ·c ) ＝174，∴|BN →|＝172，即BN 的长为172.答案：1729．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．解：(1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)．k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(2)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.B 组能力突破1．已知A (9，－3,4)，B (9,2,1)两点，则与线段AB 平行的坐标平面是( )A ．xOyB ．xOzC ．yOzD ．xOy 或yOz解析：∵AB →＝(0,5，－3)， ∴线段AB 平行于yOz 平面．答案：C2．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos〈OA →，BC →〉的值为( )A ．0 B.12 C.32 D.22解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |＝－12|a ||b |＝0， ∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案：A3．如图所示，已知二面角α－l －β的平面角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以|AD →|＝3－2cos θ，即AD 的长为3－2cos θ. 答案：3－2cos θ4．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．解：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)解：∵AC ′→＝－a ＋c ， |AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件7-5 第5课时直线、平面垂直的判定与性质

解析：易知A1C1⊥平面BB1D1D. 又B1O⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O. 答案：D
(2)如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：由线面垂直知，题图中直角三角
形为4个．
答案：4
2．(理科)斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行．
对点演练 (1)(2014·厦门模拟)如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底
面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是
( A．A1D C．A1D1 B．AA1 D．A1C1 )
第5课时直线、平面垂直的判定与性质
(一)考纲点击以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空
间中线面垂直的判定定理与有关性质．
(二)命题趋势 1．(理科)从考查内容看，高考对本考点重点考查线线垂直、线面垂直和面面垂直的判定和性质以及线面角、二面角的求法． 2．(理科)从考查形式看，主要以解答题为主，且常将位置关系的证明与角的求法结合在一起命题，综合考查学生的逻辑推理能力和运算能力． 1．(文科)从考查内容看，高考对本考点重点考查垂直关系的命题的判定，考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质； 2．(文科)从考查形式来看，主、客观题均有，常以解答题形式考查平行和垂直的综合应用．
成的角．
对点演练
(理科)(教材习题改编)如图，已知六棱锥
P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正确的有________． ①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件7-1 第1课时空间几何体的结构及其三视图和直观图

转
圆台可由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底
体圆台中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．球球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.
对点演练
(教材改编)下列说法正确的是
( A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 )
面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形． (2) 在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
(3) 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的
正前方、左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．
3．对斜二测画法的认识及直观图的画法 (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变，平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系： 2 S 直观图＝ 4 S 原图形， S 原图形＝2 2S 直观图．
题型一
空间几何体的结构特征设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．共中真命题的序号是________．
题①是正确
的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，
(二)命题趋势 1 ．从考查内容看，主要侧重于对柱、锥、台、球及简单组
合体的结构特征及性质的考查，特别是常见几何体及简
单组合体的三视图，更是高考的重点和热点，几乎年年考． 2 ．从考查形式看，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中，难度不大，属中低档题．

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件1-1 第1课时集合的概念与运算

3．集合的基本运算
(1) 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2) 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．
(二)命题趋势
1 ．本节是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，一般属于中低档题．
第1课时集合的概念与运算
(一)考纲点击
1．集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体环境中，了解全集与空集的含义．
针对训练 1 ． (1) 设 P 、 Q 为两个非空实数集合，定义集合 P ＋ Q ＝ {a ＋ b|a∈P ， b∈Q} ，若 P ＝ {0,2,5} ， Q ＝ {1,2,6} ，则 P ＋ Q 中
元素的个数为
A．9 C．7 B．8 D．6
(
)
(2)(2013·江西)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝ ( )
②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1；
③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0. 综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个，故选C.
(2)由 M＝N 知，
n＝1， log2n＝m m＝0， ∴ n＝1 n＝m，或 log2n＝1， m＝2，或 n＝2，
文字语言
集合A与集合B中的所
符号语言
有元素都相同
A中任意一个元素均为

【核按钮】2015高考新课标数学(理)课时作业：3章导数]

A．无极大值点，有三个极小值点 B．有两个极大值点，一个极小值点 C．有一个极大值点，两个极小值点 D．有三个极大值点，无极小值点解：f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：＋－＋ f ′(x) － 0 0 0 f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ f(x)有一个极大值点，两个极小值点．故选 C. x－a 8.已知 x＝2 是函数 f(x)＝ 2 的一个极值点，则 x a 的值为( ) 4 2 A．2 B． C． D．1 3 3 2 2 x －2x（x－a）－x ＋2ax 解：f ′(x)＝＝ x4 x4 －x＋2a ＝， x3 ∵f ′(2)＝0，∴－2＋2a＝0，a＝1.故选 D. 福建改编)如图，曲线 y＝ x与直线 y＝x 9.(2012· 所围成的封闭图形的面积是( )
2
选 B. 3.已知函数 f(x)＝lnx－x，则函数 f(x)的单调减区间是( ) A．(－∞，1) B．(0，1) C．(－∞，0)，(1，＋∞) D．(1，＋∞) 1－x 1 解：f ′(x)＝－1＝，x＞0. x x 令 f ′(x)＜0，解得 x∈(1，＋∞)，故选 D. x＋1 4. 曲线 y ＝在点 (3 ， 2) 处的切线斜率等于 x－1 ( ) 1 1 A．2 B. C．－ D．－2 2 2 x＋1 x－1＋2 2 解：∵y＝＝＝1 ＋， x－1 x－1 x－1 2 1 ∴y ′＝－，∴y ′|x＝3＝－ .故选 C. 2 （x－1）2 3 2 5.曲线 y＝x －3x ＋1 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－3x＋3 D．y＝4x－5 解：∵y ′＝3x2－6x，y ′|x＝1＝－3，且点(1，－1) 在曲线上．∴切线方程为 y＋1＝－3(x－1)，即 y＝－3x＋2.故选 B. 6.已知函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x)＝x2＋2xf ′(2)，则 f(－1)与 f(1)的大小关系为( ) A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)＞f(1) C．f(－1)＜f(1) D．以上答案都不对解：∵f ′(x)＝2x＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，得 f ′(2)＝－4， ∴f(x)＝x2－8x， ∴f(－1)＝9，f(1)＝－7，f(－1)＞f(1)．故选 B. 7.函数 f(x)的定义域为 R，其导函数 f ′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)( )

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件12-3 第3课时合情推理与演绎推理

(2)(2014· 江西八所重点高中模拟 ) 半径为 r 的圆的面积 S(r) ＝
π·r2 ，周长 C(r) ＝ 2π·r ，若将 r 看作 (0 ，＋ ∞ ) 上的变量，则
时，过原点作倾斜角为 30°的直线与⊙ Mn 交于 An ， Bn. 考
察下列论断：
当 n＝1 时， |A1B1|＝2；当 n＝2 时， |A2B2|＝ 15；当 n＝3 时， |A3B3| 35×42＋23－1 ＝；当 n＝4 时，|A4B4|＝________；当 n＝5 时， 3 35×44＋25－1 |A5B5|＝；……，则推测一个一般的结论：对于 n 3 ∈N*，|AnBn|＝________________.
(2)归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进
一步证明，一般地，考查的个体越多，归纳的结论可靠性越
大．因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论．
针对训练 1．(2013·陕西)观察下列等式 (1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(2)“三段论”可以表示为 ①大前提：M是P；
②小前提：S是M；
③结论：S是P.
对点演练
推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③
三角形不是矩形”中的小前提是 ( A．① C．③ B．② D．①和② )
答案：C
1．合情推理的过程
2．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一
中归纳推理与数列结合的问题是考查的热点． 2 ．从考查形式看，三种题型都可能出现，常以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答题的形式考查演绎推理，题目多属中低档题．

2015届《高考领航》高考生物(苏教版)新一轮总复习高考演练：必修1 第3章第3节物质的跨膜运输

1．(2013·高考江苏卷)右图为研究渗透作用的实验装置，请回答下列问题：(1)漏斗内溶液(S1)和漏斗外溶液(S2)为两种不同浓度的蔗糖溶液，漏斗内外起始液面一致。

渗透平衡时的液面差为Δh，此时S1和S2浓度大小关系为________。

(2)图中半透膜模拟的是成熟植物细胞中的________，两者在物质透过功能上的差异是________。

(3)为进一步探究两种膜的特性，某兴趣小组做了以下实验。

实验材料：紫色洋葱。

实验器具：如图所示的渗透装置(不含溶液)，光学显微镜，载玻片，盖玻片，镊子，刀片，吸水纸，擦镜纸，滴管，记号笔等。

实验试剂：蒸馏水，质量浓度为0.3 g/mL的蔗糖溶液和与其等渗的KNO3溶液。

部分实验步骤和结果如下：①选两套渗透装置，标上代号X和Y。

在两个烧杯里均加入一定量的蒸馏水，分别在装置X和Y的漏斗内加入适量的蔗糖溶液和KNO3溶液，均调节漏斗内外液面高度一致。

渗透平衡时出现液面差的装置有________(填代号)。

②选两片洁净的载玻片，________，在载玻片中央分别滴加________，制作洋葱鳞片叶外表皮临时装片并分别观察装片中细胞的初始状态。

③观察临时装片中浸润在所提供的蔗糖溶液和KNO3溶液中的洋葱鳞片叶外表皮细胞发生的变化，两者都能出现的现象是________。

(4)上述实验中最能体现两种膜功能差异的实验现象是________。

解析：(1)漏斗内液面升高，说明漏斗外的水分子渗透进入漏斗内，故漏斗内溶液浓度较高，即S1＞S2。

达到平衡时，理论上两侧溶液的浓度相等，但因液面高的一侧水的压强大，会阻止溶剂由低浓度一侧向高浓度一侧扩散，故两者的浓度关系仍是S1＞S2。

(2) 图中半透膜模拟的是成熟植物细胞的原生质层。

物质通过半透膜的原理是分子直径小于半透膜的孔径，而原生质层是选择透过性膜，其上具有载体蛋白，通过半透膜的物质只能由高浓度向低浓度运输，而原生质层可以完成逆浓度梯度的主动运输。

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件8-7 第7课时抛物线

(2)①由于 A(－1,1)，F(1,0)，P 是抛物线上的任意一点，则|AP|＋ |PF|≥|AF|＝ 22＋1＝ 5，从而知点 P 到 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和的最小值为 5，所以点 P 到 A(－1,1)的距离与 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值也为 5.
②如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥||P1B|＋|P1Q||
＝|BQ|＝4，即最小值为4.
【答案】 (1)C (2)① ②4
【归纳提升】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵
②若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|＋|PF|的最小值．
x y 【解析】 (1)直线 MF 的方程为＋＝1，即 x＋2y－2＝0.设直线 2 1 1 MF 的倾斜角为 α，则 tan α＝－ .由抛物线的定义得|MF|＝|MQ|. 2 |MF| |MQ| 1 所以|MN|＝|MN|＝sin α＝ .故选 C. 5
动圆与直线x＋1＝0相切，O′到直线x＋1＝0的距离为r.
所以 O′到(2,0)的距离与到直线 x＝－2 的距离相等，故 O′的轨迹是以(2,0)为焦点，直线 x＝－2 为准线的抛物线，其方程为 y2＝ 8x. 法二：设动圆圆心坐标为 O′(x，y)，动圆半径为 r，
|OO′|＝r＋1 据题意有 x－－1＝r
(2)抛物线 y2＝8x 上到焦点的距离等于 6 的点的坐标是________．解析：坐标(x0，y0)， 4 x0＋＝6，x0＝6－2＝4. 2
2 y0 ＝32，∴y＝± 4 2.
答案：(4，± 4 2)

【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：7-3 第3课时 空间点、直线、平面之间的位置关系]

【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：6-4 第4课时 基本不等式]

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件7-2 第2课时 空间几何体的表面积和体积

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件7-8 第8课时 立体几何中的向量方法(Ⅱ)

【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：7-7 第7课时 立体几何中的向量方法(Ⅰ)]

2015届高考数学(理)一轮讲义：一轮复习综合验收题精讲(二) 精品讲义

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件2-1 第1课时 函数及其表示

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件x4-4-2 第2课时 参数方程

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件6-2 第2课时 一元二次不等式及其解法

高考数学一轮复习全套课时作业7-2空间点线面的位置关系

【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：4-2 第2课时 平面向量基本定理及坐标表示]

【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：7-6 第6课时 空间向量及其运算(理)]

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件7-5 第5课时 直线、平面垂直的判定与性质

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件7-1 第1课时 空间几何体的结构及其三视图和直观图

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件1-1 第1课时 集合的概念与运算

【核按钮】2015高考新课标数学(理)课时作业：3章 导数]

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件12-3 第3课时 合情推理与演绎推理

2015届《高考领航》高考生物(苏教版)新一轮总复习高考演练：必修1 第3章 第3节 物质的跨膜运输

【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件8-7 第7课时 抛物线