一个拟线性反应扩散系统的爆破解

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一类反应扩散方程组的解

一类反应扩散方程组的解陈莉敏【摘要】讨论了一类非线性抛物方程组解的性质,利用微分方程上、下解方法证明初值适当大时,解在有限时间上爆破.推广了相关文献的结果.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2011(031)005【总页数】3页(P24-26)【关键词】非线性;反应扩散方程;上、下解;爆破【作者】陈莉敏【作者单位】常州工程职业技术学院基础部,江苏常州213164【正文语种】中文【中图分类】O182.1文献[1]在研究传染病在2种生物之间的相互影响时，建立了一类反应扩散方程组（其中符号的含义见文献[1]），但仅仅考虑了方程组（1）的数值解．文献[2-3]从理论上研究了解的整体存在性与非整体存在性．本文运用微分方程上、下解方法研究解的整体存在性与非整体存在性．考虑特征值问题，该方程组的最小特征值0λ非负，且对应的特征函数ϕ(x)在Ω内大于零．如果β(x)＞0，则λ0＞0；当α(x)＞0时，ϕ(x)在上大于零．记则0＜ϕm≤ϕ(x)≤1．记Q=Ω×(0,∞),表示在Ω中关于x有n阶连续导数且关于t有m阶连续导数的所有函数组成的空间；表示在中关于x有n阶连续导数且关于t有m阶连续导数的所有函数组成的空间；C表示在中连续的所有函数组成的空间．初值函数u0(x),v0(x)∈C．函数称为初边值问题（1）的下解，若它们满足不等式：若不等式均反向，则称为初边值问题的上解．引理[4] 设是方程（1）的上、下解，且，则在上、下解之间存在方程组的唯一解(u, v)，且满足定理1 设δ0＞0,m＞1,ρ，α1为常数，为一实数，且，则存在T0为一有限时间，方程组（1）的下解在上存在，且或至少有一式成立．这里，证明考虑常微分方程初值问题，不难求得此问题的解是显然式（2）也满足因为所以成立．因为所以成立．即所因为g(u)≥δ0u m，所以成立．因此成立．令其中p(t)是正的可微函数，且p(0)=ρ，则由式（7）可知，是方程（1）的下解，因为所以即存在T0为一有限时间，方程组（1）的下解在上存在，且当证明至少有一式成立．用反证法，假设结论不成立，则在上存在M0，使得边值问题的解，选取，使得在上均大于M0+1，但小于某一正数M*，定义函数考虑修改的边值问题由文献[5]可知，问题（8）有唯一解且，所以存在T2≤T1，使得在是原方程（1）的解，且或且(x′,t ′)∈Ω×[0,T2]，这与u(x,t)≤M0,v(x,t)≤M0的事实矛盾，因此(u(x,t),v(x, t ))至少有一分量在QT*上无界，即或至少有一式成立．证毕．【相关文献】[1] Pao C V．On nonlinear reaction-diffusion systems[J]．J Math Anal Appl，1982（87）：165-198[2] CAPASSO V，PAVERI S L，FONTANA．A mathematical model for the 1973 choler epidemic in the European Mediterranean region[J]．Rev Epidem et Sante Publ，1979（27）：121-132[3] CAPASSO V．Asymptotic stability for an Integrodifferential Reaction-DiffusionSystem[J]．Math Anl Appl，1984（103）：575-588[4] Galeone L，Mastroserio C，Montrone M．Asymptotic stability of the numerical solution for integrodifferential reaction-diffusion system[J]．Numerical methods for partial differential equation，1989（5）：79-86[5] Pao C V．Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations[M]．New York：Plenum Press，1992：695-713。

拟线性反应扩散方程组解的整体存在性和爆破

出了重要结果［］１ｏ－９Ｂｂｍｅ＿ｅｅｓＪ和Ｋｓｙ３及ＬｃｙＡ．虑ａｓ．］Ｄ［以ａｅ．考Ａ．
下面我们不加证明地直接给出问题（）比较１的
当初值充分大时，负解必在有限时刻爆破。于解原理。非对
（．阳师范学院数学系，１咸陕西咸阳７２０；．原科技大学应用数学研究所，西太原００２）１００２太山３０４
摘
要：究一类拟线性反应扩散方程组解的整体存在性与爆破问题。一定的条件下，研在运
非线性反应扩散方程组
Ｐ．Ｍ
扩散方程组ｕＡ＝ＰｕｖＡ＝ｑ￣ｔｕｖｅ，广ｕｕｅ，－ ∈Ｏ，。文献ｔ＞０
／Ａ＝，）Ａｕｖｅｔ — ∈ 广ｅ（ △ ＝ ”，）∈
）
（，。）０＋。，（，ｏ）０＋ｏ，
用上下解方法和比较原理通过构造适当的上下解，明了爆破解不但与指数有关，证而且与区域
有关。
关键词：线性；拟反应扩散方程组；下解；上整体存在性；爆破中图分类号：７．９Ｏ１５２文献标识码：Ａ文章编号：６２２１（０８０－０００ｌ７ — ９４２０）２０１— ４
０））ｔ＜ｕ（） ∈ 也）ｏ，。－ｘＰ＜＋ｏｕ（）０他证明了若１＜ｌ２则上述问我们称这样的一组函数（）问题（）下解．类ｏ，ｘ－。ｏ＞＜ｐ＋为１得用

反应扩散方程的行波解与几类方程的多解性的开题报告

反应扩散方程的行波解与几类方程的多解性的开题报告一、研究背景反应扩散方程是生物学、化学、物理学、材料科学等多个领域中常见的数学模型之一。

该方程描述了在空间中扩散物质同时发生反应的行为，其研究具有重要意义。

其中，行波解是反应扩散方程中的一种特殊解，指方程中扰动沿着波前不断向前传播的解。

近年来，行波解在反应扩散方程解析解研究中得到了广泛应用。

另外，很多方程，包括非线性方程、拟线性方程和奇异摄动方程等，具有多解性，对其研究也非常有意义。

二、研究目的本文的研究目的是探讨反应扩散方程的行波解及几类方程的多解性。

具体研究内容包括：1. 分析反应扩散方程的基本形式及性质，并介绍行波解的概念；2. 探究反应扩散方程的行波解的构造方法；3. 研究几类方程的多解性，包括非线性方程、拟线性方程和奇异摄动方程等；4. 说明多解性的出现与方程的特殊性质的关系，并对其物理意义进行解释。

三、研究方法本文采用文献研究和数学分析相结合的方法。

首先，对反应扩散方程及相关的其他方程进行文献综述，了解其现状和研究进展。

然后，对于反应扩散方程的行波解和其他方程的多解性进行数学分析，探究其性质和构造方法，并进行例题分析和数值模拟。

最后，对研究结果进行总结和讨论，提出未来研究的方向。

四、研究意义本文的研究结果有以下几个方面的意义：1. 加深对反应扩散方程和其他一些特殊方程的理解和认识，促进其在实际场景中的应用；2. 发现和探究反应扩散方程的行波解及其他方程的多解性，有助于提高研究者对这些方程性质的认识，并为准确求解提供可能；3. 为进一步研究反应扩散方程及其他方程的特殊解提供思路和方法，开拓研究领域。

具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究

具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究引言反应扩散方程是研究自然界中物质在空间和时间上变化的一个重要数学模型。

其描述了物质在空间中扩散的过程，并包括了化学反应的影响。

在实际应用中，往往存在不同类型的边界条件，不局限于传统的局部边界条件，如Neumann边界条件和Dirichlet边界条件。

本文将研究具有非局部边界条件的反应扩散方程，探讨其解的爆破现象。

一、反应扩散方程反应扩散方程是描述物质扩散过程中发生化学反应的数学模型。

它由扩散项和反应项组成，通常表示为：∂u/∂t = D∇²u + f(u)其中，u是物质浓度或物理量，t为时间，D为扩散系数，f(u)表示反应项。

这个方程描述了物质浓度随时间和空间的变化。

二、非局部边界条件传统的反应扩散方程往往采用Neumann或Dirichlet边界条件，这些条件限制了物质在边界上的流动或浓度。

然而，在某些情况下，需要考虑具有非局部性质的边界条件。

具有非局部边界条件的反应扩散方程可以表示为：∂u/∂t = D∇²u + ∫G(x,y)f(u(y))dy其中，G(x,y)是非局部核函数，表示物质在x点与y点之间的非局部耦合。

三、爆破解现象研究表明，具有非局部边界条件的反应扩散方程的解可能出现爆破现象。

所谓爆破解，指的是在一定条件下，初始状态下的扩散方程解在有限时间内达到无穷大。

这种现象在许多实际应用中都有重要的意义，例如物质的波动传播、生物种群动力学等。

具体而言，爆破解的出现是由于非局部耦合引起的。

非局部核函数的存在使得系统中每个点与其他点之间发生的反应具有全局耦合性，这种耦合性可以使局部扰动在有限时间内传播到整个系统。

当反应项的强度超过一定阈值时，就会出现爆破现象。

四、数值模拟和实验研究为了验证具有非局部边界条件的反应扩散方程的爆破解现象，研究者们进行了数值模拟和实验研究。

在数值模拟中，研究者使用了有限差分法等数值方法，对具体的反应扩散方程进行了求解。

拟线性退化抛物方程组解的整体存在和有限爆破

方向上充分窄，则式（）４的解整体存在；ｉ）（ｉ如果初值充分大，ｉ则式（）４的每个非零解都在有限时刻爆破．
（）ｂ如果ｐ＞ｍｎ（）ｑｉ对任意的ｎ，如果初值充分小，（）式４的解整体存在；ｉ对任意的ｎ，（）（ｉ）式４有解
在有限时刻爆破．献［］文４研究了反应项为幂函数形式的一类由三个方程组成的非线性扩散方程组解的整体存在和有限爆破性质．文献［３究了微分方程数值解在连续铸造中的应用．５研
定理１当ｍｌｌｍ２２ｍ３ ” ＜或＜或＜３
应项和扩散项的指数满足不同条件时，方程组的解具有不同的性质．
关键词：线性，化抛物方程组，体存在，有限爆破拟退整
中图分类号：７．６Ｏ１５２文献标志码：Ａ文章编号：６３４０（０７Ｏ一Ｏ９一Ｏ１７－６２２０）１Ｏ９４
笔者研究下列一类拟线性退化抛物方一 △“ ｌ “ ｌ＋ ” ，一△ ２＋ ” ，一△ ３＋。，ｚ，）ＯＸ（Ｔ）ｅ（ｔＥ０，（）１ｕｘ，）０，（￡一０，ｘ，）０（￡ ∈ ａ × （Ｔ）（￡一ｖｘ，）ｗ（￡一，ｚ，）ｎ０，
式（）以用来描述化学反应中三种反应物的反应变化，传导过程中三种介质燃料混合体的传热情１可热
况或生态系统中三个种群的演化情况．于单个方程［：对１］

求解一类线性反应扩散方程的特解方法

求解一类线性反应扩散方程的特解方法褚洪学;姜同松【摘要】利用基于径向基函数插值的无网格方法中的特解方法(MPS),选取多元二次函数(MQ)与薄板样条模型函数(TPS)作为径向基函数,并通过有限差分和配置点方法进行插值近似,求一类线性反应扩散方程的数值解.同时给出二维线性反应扩散方程与三维线性扩散反应方程的两个例子,取得了比较好的数值结果,说明这种方法的有效性.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(026)002【总页数】6页(P4-9)【关键词】线性反应扩散方程;径向基函数;多元二次函数;薄板样条模型函数;数值解【作者】褚洪学;姜同松【作者单位】山东师范大学数学科学学院,山东济南250014;临沂大学理学院,山东临沂276005;临沂大学理学院,山东临沂276005【正文语种】中文【中图分类】O241.820 引言考虑下列一类线性反应扩散方程其中u表示物理的或生物的物种，α表示是扩散系数，β表示反应系数.Δu是与物种扩散u有关的Laplace算子.反应扩散方程［1－6］是一类重要的抛物型方程，来源于自然界中广泛存在的扩散现象.在数学物理、化学、生物学等许多领域都有广泛的应用，并出现许多研究成果.其中文献［1］中利用紧凑的隐式集成因子的方法给出反应扩散方程的数值解，文献［2，3］中利用有限差分方法来求解反应扩散方程的数值解.有限差分方法是最早用来求解偏微分方程的数值方法，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣.但这些方法都有一定的局限性，只适合于结构网格.近年来，径向基函数法［7，8］，径向基函数配置点方法［9，10］，特解方法（MPS）［11］与基本解法（MFS）［12］等无无网格方法发展迅速［13－17］，特别是在解决一般的偏微分方程时，具有方便、计算精度高等优点，逐渐被广大专家学者所接受.该文将针对文献［1］中出现的线性反应扩散方程，给出一个新的算法.并把利用基于径向基函数插值的无网格配置方法中的特解方法（MPS）取得的结果与文献［1］中的结果进行比较，证明本文的数值结果更精确.1 径向基函数该节给出径向基函数的基本概念，讨论基于径向基函数的插值方法.考虑定义在Ω上的插值多元函数f，其中Ω定义在R1 上，定义在离散集合X＝｛xj｝Nj＝1⊂Ω上的样本价值函数为｛f（xj）｝Nj＝1.我们可利用欧几里的范数将其代换，进行插值近似.令Φ是径向对称的，Φ（x）＝ø（‖x‖），其中ø是径向基函数.则函数f可以被插值其中为实系数.因此，（2）中右半部分可以被插值成如下形式如果矩阵是非奇异的，则线性方程是可解的.下面列举了一些国际通用的径向基函数由于大多数径向基函数是非条件正定的，所以我们需要对方程进行一些处理.为了保证插值问题的唯一性，我们需要在（2）的右面加上一个多项式项，则有.限制条件为其中是Pm－1的一个基且t为Pm－1的维数.令插值条件结合（3）可以写成如下形式其中a＝［a1，…，an］T，b＝［b1，…，bN］T，f＝［f（x1），…，f（xN）］T.2 方法论述该节借助有限差分及径向基函数，给出了方程（1）的无网格方法的特解方法的一种理论模型.函数u（x，y，t）满足如下反应扩散方程初始条件为狄利克雷边界条件为其中u0（x，y）和g（x，y）为已知函数为未知函数.下面对（4）式应用θ－加权方法，dt＝tl＋1－tl令为时间步长.对任意的tl≤t≤tl＋1和0≤θ≤1，u（x，y，t）可以被近似成如下形式u（x，y，t）＝θu（x，y，tl＋1）＋（1－θ）u（x，y，tl），Laplace算子同时作用上式的两边，得到方程（4）的左边应用有限差分方法进行近似，则有将（7）和（8）应用到方程（4），为书写方便，使用符号ul（x，y）＝u（x，y，tl），得到如下方程将相同次幂的函数移到方程的一边得到Δul＋1移到方程的一边，则有假设ul＋1（x，y）是要求的方程（4）的解，则可以将（10）的右半部分设为函数F（x，y），那么（10）转化为一个标准的Poisson方程因此，如果这个虚拟的函数F（x，y）是已知的，在同一边值条件下（10）和（11）等价.假设共有（L－3）插值点，F（x，y）近似于下列式子根据限制条件（3）有如下形式因此，u（x，y，t）近似成如下形式其中Φj（x，y）满足ΔΦ（x，y）＝ø（x，y）.在文中，我们使用两种径向基函数MQ和…，并且可以很容易得到将（12）结合（6）写成矩阵的形式其中由下式得一致地，在Ω内选取p个的配置点和在边界Γ上选取q个的配置点且L＝p＋q，假设p＜（L－3）有个内点，（L－3－p）个边界点，那么（L×L）矩阵A拆分成A＝Ad＋Ab＋Ac，其中用符号LA＝［L aij］标记和A具有相同维数的矩阵，其中＝L aij，1≤i，j≤L，那么将（13）代入（6）并结合矩阵的拆分可以写成如下矩阵的形式其中B＝－θdt（αΔAd＋βAd）＋Ab＋Ae，C＝（1－θ）dt（αΔAd＋βAd），［g］l＝［0…0glp＋1…glL－3000］T.通过上述分析可知，求反应扩散方程（1）的解就归结为求矩阵方程（14）解的问题.注：文中出现的参数θ的取值范围为［0，1］，当θ＝1时，称为：Implicit Euler方法；当θ＝1／2时，称为Crank－Nicolson方法.3 数值例子该节将用上述方法给出两个数值例子，来检验该方法的精确度，说明它的有效性. 例1 考虑二维线性反应扩散方程精确解［1］为初始条件为且边界条件可由精确解（16）得到图1 方程的精确解和数值解表1 c取不同值时以MQ作为径向基函数得到的结果c 0.1 0.3 0.5 0.7 0.8 L∞误差9.121 6×10－4 3.823 4×10－4 1.613 5×10－4 7.108 2×10－5 4.333 8×10－4表2 不同时刻用MQ和TPS作为径向基函数得到的结果T L∞误差 L2误差均方根误差MQ TPS MQ TPS MQ TPS 0.10 4.142 0×10－5 3.960 6×10－6 1.0950×10－4 9.712 6×10－6 6.732 3×10－6 5.971 8×10－7 0.25 5.894 2×10－5 5.307 2×10－6 1.688 7×10－4 1.502 9×10－6 1.038 3×10－5 9.240 4×10－7 0.50 6.732 4×10－5 6.010 7×10－6 2.144 8×10－4 1.890 0×10－5 1.3180×10－5 1.162 1×10－6 0.75 7.012 1×10－5 6.280 9×10－6 2.412 0×10－4 2.110 3×10－5 1.483 0×10－5 1.297 5×10－6 1.00 7.108 2×10－5 6.3665×10－6 2.599 1×10－4 2.256 5×10－5 1.598 1×10－5 1.387 4×10－6在这个例子中，选取t＝0.10，dx＝dy＝0.05π，dt＝0.001，c＝0.7，用 MQ作为径向基函数，在图1中，给出了方程的精确解和数值解的图形，可以看出图形很接近，变化不大.在表1中，选取t＝0.10，dx＝dy＝0.05π，dt＝0.01，给出用MQ作为径向基函数，L∞误差随着c的不同而发生变化，当c＝0.7时，误差最小.在表2中给出了方程用MQ和TPS作为径向基函数的三种误差结果，与文献［1］中的数值结果进行比较，可以看到本文的精确度较高.例2 考虑三维线性反应扩散方程其中Ω＝｛0＜x＜π，0＜y＜π，0＜z＜π｝，n是∂Ω的外法向量.精确解［1］为初始条件为u（x，y，z，0）＝cos（x）＋cos（y）＋cos（z）且边界条件可由精确解（18）得到表3 分别用MQ和TPS作为径向基函数得到的误差结果误差MQ TPS c＝0.2 c＝0.5 c＝0.9 m＝2 m ＝3 L∞误差6.4×10－3 6.2×10－3 5.4×10－3 2.59×10－2 2.51×10－2 L2 误差3.7×10－2 3.44×10－2 3.51×10－2 7.34×10－29.92×10－2均方根误差1.8×10－3 1.7×10－3 1.7×10－3 3.6×10－3 4.8×10－3在表3中，选取t＝0.010，dx＝dy＝0.1π，dt＝0.01，分别用 MQ和TPS作为径向基函数，给出三种误差随c和m的不同而发生变化可以看出误差的变换很小.当选取10×10×10插值点时，与文献［1］中得到误差数值结果进行比较，说明本文的结果较精确.4 结论利用基于径向基函数插值的无网格方法中的特解方法（MPS），选取多元二次函数（MQ）与薄板样条函数（TPS）作为径向基函数，并通过有限差分和配置点方法进行插值近似，求解一类线性反应扩散方程的数值解.同时给出二维线性反应扩散方程与三维线性扩散反应方程的两个例子，取得了比较好的数值结果并进行比较分析，说明这种方法的有效性.参考文献【相关文献】［1］Frederic Qing－nie，Wan Y M，Zhang Yong－tao，et pact integration factor methods in high spatial dimensions［J］.Journal of Computational Physics，2008，227：5 238－5 255.［2］Yang Y，Wang Y M.A finite difference scheme for solving nonlinear reaction－diffusion equations［J］.East China Norma University：Natural Science，2002，4：1－8.［3］Dehghan M.Finite difference procedures for solving aproblem arising in modeling and design of certain optoelectronic devices［J］.Math Comput 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快速扩散的拟线性抛物型方程组解的爆破指标

ｆＵｆ＝ △ ＋ｐ，ｘ￣ＲＮ，ｔ＞０
Ｇｕｏ等在文［２］中研究了
ｊ △ Ｉ＋， ∈ ＞０Ｕ（Ｘ，０）＝铭ｏ（）， ∈ Ⅳ
【ｖ（Ｘ，０）＝ｌｔ０（）， ∈ Ⅳ
（１）
破性与初始值的指标之间的关系。
文［３】研究了１＜ｍ＜时
ｆＵｔ＝Ａｕ＋Ｕｐ，ｘ￣ＲＮ，ｔ＞Ｏ
近年来对于非线性的柯西问题的第二临界指
【Ｕ（Ｘ，０）＝钆０（）， ∈ＲⅣ
标的研究已经引起人们的广泛关注。
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆａｓｔｄｉｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒｐａｒａｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｓｌｏｗｌｙｄｅｃａｙｉｎｉｔｉａｌｄａａ；ｔｂｌｏｗ＿ｕｐ
ａＦａｓｔＤｉｆｕｓｉｏｎＱｕａｓｉｌｉｎｅａｒＰａｒａｂｏｌｉｃＳｙｓｔｅｍ
ＺＨＡＮＧＭｉｎ－ｈｕａ，ＺＥＮＧＹｏｕ－ｄｏｎｇ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＦｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＦｕｚｈｏｕＦｕｊｉｎａ３５０１０８，Ｃｈｉｎａ）

一类局部反应扩散方程组的爆破速率

一类局部反应扩散方程组的爆破速率最近多年来，反应扩散方程组的研究受到越来越多的关注。

它以复杂的模型表达了空间变化的反应传播过程，可以用来比较复杂的物质传播过程，如烟雾、尘埃和流体等。

一类局部反应扩散方程组是非常重要的模型之一，它是描述反应扩散问题的理论基础。

简而言之，一类局部反应扩散方程组是一种非常常见的多媒体反应扩散方程组。

它是根据反应过程的物理原理构建出来的，可以用来描述细分团簇的形成和反应活性物的扩散。

对于任何一类反应扩散方程组，其解的存在性及其特性是一个非常重要的问题，更重要的是探究其爆破速率的稳定性。

因此，本文旨在探究一类局部反应扩散方程组的爆破速率，最终确定其稳定性。

首先，我们定义了一类局部反应扩散方程组，并给出了相应的假设条件。

其次，利用需要的工具，如谱等，我们计算出了爆破速率的解析解和数值解。

最后，我们利用拟合来检验爆破速率的稳定性。

以上是本文的具体内容。

首先，定义了一类局部反应扩散方程组，提出了与反应活性物扩散有关的物理假设条件。

其次，利用数学工具求出了一类局部反应扩散方程组的爆破速率的解析解和数值解。

最后，基于拟合模型研究发现，一类局部反应扩散方程组的爆破速率具有一定的稳定性。

从本文的研究来看，一类局部反应扩散方程组的爆破速率具有一定的稳定性，可以为今后在多媒体反应扩散方面的研究提供理论依据和精确的数据参考。

但是，本文提出的计算方法仍受到假设条件的限制，为了获得更准确的反应率，需要进一步扩展和引入新的假设。

此外，本文仅考虑了一类局部反应扩散方程组的爆破速率，但实际上，爆破速率的变化也受到了因地理位置和温度等外部因素的影响，这些因素的影响也需要进一步研究。

总而言之，一类局部反应扩散方程组的爆破速率的研究已取得了一定的成果，但仍存在许多未解决的问题，在今后的研究中，有很多方面需要进一步研究。

分数阶Laplacian反应扩散方程和Belousov-Zhabotinskii系统的行波解

分数阶Laplacian反应扩散方程和Belousov-Zhabotinskii系统的行波解分数阶Laplacian反应扩散方程和Belousov-Zhabotinskii系统的行波解引言：分数阶微分方程近年来在数学和科学领域中引起了广泛的关注和研究。

与传统的整数阶微分方程相比，分数阶微分方程具有更广泛的应用背景和更具挑战性的数学性质。

在反应扩散系统中，行波解是一种重要的解形式，可以用于描述波动和传播现象。

本文将介绍分数阶Laplacian反应扩散方程和Belousov-Zhabotinskii系统，并研究它们的行波解。

1. 分数阶Laplacian反应扩散方程：分数阶Laplacian反应扩散方程是一类包含分数阶Laplacian 算子和反应项的微分方程。

它的一般形式可以表示为：〖∂^α u(x,t)∂t^α〗=D△^β u(x,t)+f(u(x,t)),其中，〖∂^α u(x,t)∂t^α〗是分数阶导数，D是扩散系数，△^β 是分数阶Laplacian算子，f(u)是反应项。

分数阶Laplacian算子的引入使得方程的数学性质变得更加丰富和复杂。

在分数阶Laplacian算子的作用下，方程的解展现出非局部性和长程记忆效应。

2. Belousov-Zhabotinskii系统：Belousov-Zhabotinskii系统是描述自动化学反应过程的重要模型，具有自发出现周期性振荡和波动现象的特点。

它的一般形式可以表示为：dx/dt=F(x,y,z),dy/dt=G(x,y,z),dz/dt=H(x,y,z),其中，x,y,z 分别是化学物质的浓度变量，F,G,H是非线性函数。

Belousov-Zhabotinskii系统具有更为复杂的行为，如自发的时空分布和波动行为，因此对其行波解的研究具有重要意义。

3. 分数阶Laplacian反应扩散方程的行波解：在分数阶Laplacian反应扩散方程中，研究行波解不仅可以揭示反应扩散系统的波动行为，而且对于模拟和预测实际复杂系统中的反应扩散过程也具有重要意义。

求解一类线性反应扩散方程的特解方法

第２期
褚洪学等：求解一类线性反应扩散方程的特解方法
Ｎ
５
＾
（）一∑口（），
王１
（２）
其中ｒｊ —ＪＩｚ一ｌＪ，｛口）为实系数．因此，（２）中右半部分可以被插值成如下形式
Ａ
（）＝ｆ（ｚ），１ ≤ ≤Ｎ，
如果矩阵
ｆ（，．１１）
Ｏ（ｒｌ）１
Ａ＝｝；ｌ（ｒ１）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｏ（ｒ）Ｉ
是非奇异的，则线性方程 ∑ 口』０（ｒｄ）＝ｆ（ｘｉ），一ｌｌ一ｌｌ，１ ≤ｉ ≤Ｎ是可解的．下面列举了一些国
Ｏ引言
考虑下列一类线性反应扩散方程
一
＋，
（１）
其中表示物理的或生物的物种，ａ表示是扩散系数，表示反应系数． △ 是与物种扩散有关的Ｌａｐｌａｃｅ算子．
反应扩散方程ｒ】是一类重要的抛物型方程，来源于自然界中广泛存在的扩散现象．在数学物理、化学、生物学等许多领域都有广泛的应用，并出现许多研究成果．其中文献［１］中利用紧凑的隐式集成因子的
Ｊｕｎ．２Ｏｌ３
求解一类线性反应扩散方程的特解方法
褚洪学姜同松
（１．山东师范大学数学科学学院，山东济南２５００１４；２．临沂大学理学院，山东临沂２７６００５）

一种线源扩散模型的建立及算法实现

动力学规律拟合，分别求得普通零价铁和纳米铁与
酸性红Ｂ反应的表观速率常数和表观活化能，结果
见表１。
铁普通铁纳米铁
表１纳米铁与普通零价铁的脱色效果比较
２０ｍｉｎ脱色率（％）速率常数（ｍｉｎ－１）活化能（ｋＪ／ｍｏｌ）
４１．８
０．０２２
７３．５５
９１．７
０．１２６
２５．６８
由表１可见，在相同条件下，纳米铁对酸性红Ｂ的降解效率和降解速率明显高于普通铁粉。纳米铁对
高计算效率，只计算在接受点±３"ｙ范围内的子单元的贡献。
基金项目：广东省科技厅智能交通重大专项项目（４２０２００７）作者简介：刘永红（１９７８－），女，在读博士生，从事交通环境仿真与评估的研究，（电话）０２０－８４１１４２１２（电子信箱）ｌｉｕ＿ｉｔｓ＠１６３．ｃｏｍ。
１４
于道路两侧的天河体育中心的污染物Ｃｏ浓度。天河北路位于天河区，呈东西走向，路宽２７ｍ，坐标位置为（１２０４３．００，１００１０．００），（１５１７１．００，１００９９．００）。车流量为７：００～１９：００，共１２ｈ的数据，平均车速３５ｋｍ／ｈ，排放因子可参阅文献［７］；气象参数：风速２．８ｍ／ｓ，风向３０度，大气稳定度：Ａ级，接受点坐标：（１３０８５ｍ，９５００ｍ，３０ｍ）。２．２结果分析
１３
第２９卷第１０期２００６年１０月
由于在有限长线源两端的子单元排放强度线性
减小，因此，子单元的排放强度由ＱＥ·ＷＴ（ＷＴ为权重
因子，ＱＥ为线源排放强度）来确定。

一类反应扩散方程组解的一致爆破模式

一类反应扩散方程组解的一致爆破模式
一类反应扩散方程组解的一致爆破模式，是一种特殊的分数阶扩
散方程的解，它有一个基本的思想：所有的方程组均被解作一类函数，将其展开为各种可以被连续解的小份曲线。

该模式最早于20世纪60年代由英国数学家J.A.T Leckis提出，
也称为Leckis-Murray模型或Leckis模型。

1、Leckis模型的基本思想
Leckis模型的基本思想是，可以通过用一类函数F(x)来解决方程组的
问题。

该函数可以通过一系列的连续的小份解，每部分解可以用一个
不同的参数表示，在此思想的基础上，Leckis模型可以将所有的方程
组放在一类函数F(x)上解决，从而得到一种有效的方法来解决多阶反
应扩散方程组。

2、Leckis模型的解决方案
Leckis模型的基本解决方案是使用曲率扩散方法，即使用一类函数
F(x)来解决方程组，并用有限元方法将其展开成一系列的小份曲线。

Leckis模型的主要思想是：对于每一个空间维数，用参数化方法
对小份曲线上的结点位置进行参数化，即将每一个结点位置按一定的
规则进行参数化。

最后，在建立好参数化方程组之后，可以使用数值方法解决该方
程组，最终得到一致爆破模式的解决方案。

3、Leckis模型的应用
Leckis模型已经广泛应用于生命科学、物理学及工程领域中各种反应
扩散的模型的建模，如表面反向转换、介观流体力学、反应力学和分
子动力学模型。

它提供了一种更有效的近似方法，可以将多维的复杂
的扩散方程转换成维数较低的模型，从而降低计算量，提高模型的求
解速度。

一类退化反应扩散系统解的整体存在与有限爆破

ｒｔｕ＝△ｕ＋Ｖｅ
２＝ｖ＋ｐｘＱｔ【ＡＷＢ ∈，０啦２ｖｔｅ＞
ｗ：△ｗｍ＋ｖ
（１）
考虑研究该系统解的整体存在与有限爆破。
２主要结论及其证明
初值条件
，（，）＝ｕ（）ｕｘ００ｘ
ＸＵＺｎ —ｕＬｅ－ｅＪＡＧＤ — ｎＣ０Ｘｕｍｅ。ｈｎｍｉＩｏｇｈ，Ｉｎｊ，Ｎｅｍｉ，Ａｉ— ｉＷＵＣｕ — ｅＲｉＩ
（ｏｌｅｏｃｅｃ，ＡＱｎｄｏ２６０ＣｉａＣｌｇｆｉｎｅＱＵ，ｉｇａｔｏｕｎｈｅＳｏｕｔｏｓｏＫｉｆｏｌＥｘｓｅｃｎｄＦｉｉｅＢｌｗｐｏｔｌｉｎｆＡｎｄｏＤｅｅｅａｅＲｅｃｉｎ —ｄｉｕｉｎＳｓｅｇｎｒｔａｔｏ．ｆｓｏｙｔｍ
修宗湖，一类退化反应圹散系统解的整体存在与有限等：爆破
在这里，ｋ足够大满足下面条件：令
２Ｉ（
【Ｉ其中
的解：
１
ｌ
其中ＱｃＲ（ “ｎ＞１具有光滑边界ａｕ（））Ｑ，。ｘ，
ｖ（）Ｗ（）非负光滑函数，数ｍ ≥１Ｐ＞（。ｘ，。ｘ为参ｉ，ｉ０ｉ
：１２３；ｔｐ， ∈Ｒ。，，）Ｏ，
一
类退化反应扩散系统解的整体存在与有限爆破
修宗湖，李仁杰，姜德民，曹秀梅，吴春妹
（青岛农业大学理学院，山东青岛２６０６１９）

具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破分析的开题报告

具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破分析的开题报告
题目：具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破分析
研究背景和意义：
扩散方程以及非线性扩散方程在许多领域都有广泛的应用，如物理学、化学、生物学等领域。

在实际应用中，我们常常需要考虑复杂的边界条件和耦合条件，例如非线性耦合边界流的扩散系统。

这种情况下，边界条件的不同和耦合条件的不同都可能导致系统的稳定性和运动特性的变化，因此对于这种情况的研究显得尤为重要。

研究内容和方法：
本研究将重点对具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破分析进行研究，主要研究内容包括以下四个方面：
1. 定义具有非线性耦合边界流的扩散系统及其数学模型。

2. 建立系统的稳定性分析模型，探究系统的稳定性条件。

3. 建立系统的动力学分析模型，探究系统的运动特性。

4. 分析系统的爆破现象及其产生机制。

本研究主要采用数学分析、数值模拟等方法来研究具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破问题。

研究成果和展望：
本研究对于深入理解具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破问题以及探究其产生和演化机制具有重要意义。

通过对系统的动力学行为进行分析，可以揭示系统在不同边界和耦合条件下的稳定性、运动特性和爆破现象，对于实际应用也具有一定的指导意义。

因此，本研究在理论和应用上都具有重要的意义。

展望未来，我们还可以进一步加强在具有非线性耦合边界流的扩散系统的爆破分析方面的研究，深入探究系统的动力学行为，发掘系统的更多性质和特性，在更多领域拓展其应用。

奇异摄动拟线性对流扩散问题的区域分解方法

这里初值 V ( 0) ( x m ), m = 1, Λ , M − 1 是预先给定的.
( n) 算法 10 - 14 可以进行并行计算 .在每一个迭代步 n 上解 v m ( x), m = 1,Λ , M 的 M 个方程 10 (n ) 和解 z m ( x ), m = 1,Λ , M − 1 的 M − 1 个方程
中图分类号 O175
１引言
考虑守恒的奇异摄动拟线性对流扩散问题
Tu ≡ −εu ′′ − b( x , u )′ + c ( x, u ) = 0 , u (0) = u (1) = 0 ,
∗ ∗ 存在常数 β , β , γ 和 γ 以至于 b( x, u ) 和 c ( x , u ) 满足
s
即如果网格函数 {ri }
{t i } 满足 r0 ≤ t 0 , rN∗ ≤ t N ∗ 和
17 18 的解那么可得出如 19
h
L1ri ≤ L1t i , i = 1,Λ , N ∗ − 1 那么对于 i = 0,1,Λ , N ∗ 都有 ri ≤ t i .
引理２如果网格函数 w( x) 和 Φ ( x ), s = 1,2 分别是方程下估计 16 和
Ω m = ( x m −1 , x m ), Ω m ∩ Ω m +1 = x m , x 0 = 0, x M = 1 .
另外考虑 M − 1 个交界区域 ω m
b m
m = 1, Λ , M − 1
e b e ωm = (x , xm ),ω m−1 ∩ ω m = φ , x m < xm < xm .
万方数据
第 2 期岑仲迪
奇异摄动拟线性对流扩散问题的区域分解方法 39

反应扩散方程解的爆破性研究

反应扩散方程解的爆破性研究通常,我们把符合下述形式的方程(?)u/(?)/t= D(x,u)Δu +f(x,u,gradu),((x,t)∈Ω× R+)(0-1)称为反应扩散方程,其中,Ω(?)Rn,n,m ≥ 1,x =(x1,...,xn),u =(u1,...,um),Δu =(Δu1,...,Δum),gradu=(gradu1,...,gradum),D(x,u)=(dij(x,u))(i,j =1,2,...,m),式(0-1)中的D和f也可以与时间t相关,式(0-1)中的D(x,u)Δu也可以是非线性的椭圆算子,该式的边界满足线性的条件,我们也可以研究非线性的边界条件,等等。

在现实生活中,针对以上方程,可以根据不同的需求,来研究其初值问题,即Ω(?)Rn,且满足初始条件u(x,0)=u0(x),x∈Rn;也可以根据需要来研究各种不同的边值问题:若Ω(?)Rn是一个有界的区域,(?)Ω为区域Ω的边界,在边界上函数满足u =g(x,t),(x,t)∈(?)Ω×R+,此时我们称函数满足狄利克雷边界条件;或者若其偏导数在边界上满足(?)u/(?)t=g(x,t),(x,t)∈(?)Ω×R+,此时我们称函数的边界满足黎曼边界条件。

这两种边界条件下的反应扩散方程是目前讨论最多的情况。

反应扩散方程模型的提出具有很强的实际意义:目前实际生活中遇到的一些问题尤其是在物理、化学等领域的研究中遇到的很多实际问题往往都需要建立模型来解决,这些由实际问题建立的模型大部分都能满足反应扩散方程的条件要求,由此对于反应扩散方程的研究对解决现实生活中的问题显得尤为重要。

目前,各位科研工作者围绕着反应扩散方程解的研究中涉及最多的就是在不同的初边值条件下,含有时间积分和含有空间积分的扩散方程解的全局性质和爆破性质的问题。

扩散方程解的全局性和爆破性具有很强的研究价值。

在物理、化学、生物学系统中,其实际问题所对应的非线性扩散方程的全局解意味着该系统处于稳定状态,而爆破解则对应着整个系统的不稳定状态,更进一步,解爆破速率能显示系统不稳定的变化速率。

一类反应扩散方程正解的爆破

妨取ｗ）Ｒ满足ｌ（ｘ１（＞ｘＯ，ｘ＝．）ｗｄ
另ｐ』ｘｘ』ｗ｝（÷＝外（，＝ｕｗｘ＋１ｆｕ）（＝｝ｄ）
≤Ｊ￣ｘ（ｗ）（用踟ｒ等）（ｕｄＪｄ）利Ｈｄ不式ｗ）ｘｅ
＝
（２存＞。（Ｉ。 ≥ 且Ｊｗｙ＞Ａ）在ｐ１ｘｘ取使ｆ ≥ ｌ）Ｐ０（ａ，ｓ．
维普资讯
第１第期２７２２（０）卷０
口．拒音高亍午
Ｖ１．０）ｏ２ｏ（ｏ．Ｎ２７１２
一
类反应扩散方程正解的爆破
李永军臧子龙
（兰州城市学院，甘肃兰州７０７）３００
摘
要：用一般的比较方法。采对非齐次的Ｄｒｈｔｉｃｌ边界条件下的反应扩散方程Ｕ一Ａｕｆ）ｉｅ＝Ｃ古典解的生存ｕ
ｂｘ１Ｕｎ）
反应扩散方程解的存在性一直受到人们普遍关注。这方
面已经有非常深入的研究。主要有Ｇｌｋ方法【算子半群ａｒｉｅｎｌ】。
方法ｂ变分方法＇ｌ。等非线性方法。用这些方法可得出许多利方程解的存在性及其解的正则性，同样对解是否爆破也值得关注．作者通过构造一个比较函数，讨论反应扩散方程
（３ｕ【）（）Ｕ上满足ｕｘ）。Ｕ）ｒＡ）ｏ１１在Ｔ，是（１ｒｎｃ）， ∈ｃ（的古
典解．其中ｃＴ，）在ｕ上关于变量ｔ表示连续可微，于变量关ｘ二次连续可微函数全体。表示在上连续函数的全体．ｃ２主要结果及其证明定义：ｕｘ）问题（）设（Ｉ，是１的一个古典解。ｕｘ）破称（Ｉ，是爆的。若存在常数Ｔ＞。０使得ｔａｕｘ）∞．ｉｘ（Ｉｍｍ，＝

带有爆破现象的反应扩散方程的移动网格方法

ｍａｚｕｚｔ ≈ （ｘ ∈ （，）Ｔ—ｔ一，）当ｔ÷ ， —
这里盯＞０他们成功地运用了维数分析来决定网格方程中的控制函数．，本文考虑另外一个方程
ｔｚ＝札ｚ＋ｅ， “ （）８它是（）７的极限形式（０．ｐ）这是一个重要的方程，已经被许多数学家所关注（比如，９和［］正［１）】２．￣［１Ｄ２１中指出的那样，这个方程的数值模拟Ｌｔ＋ｕ要困难得多．Ｌ＝“ ｕｐ虽然［和［】９１中已经用］２移动网格方法来研究过这个问题了，但是他们分别是从不同的观点来考虑这个问题的．［中，在９］作者用维数不变来决定选取控制函数Ｍ＝ｅ， “ 这个结果是我们的一个特殊形式．［】作者在１中，２
文献标识码：Ａ
文章编号：００４２（０００—４１１１０—４４２１）４０１—２
口
科学和工程中的很多现象都可以由一类偏微分方程来模拟，这类方程的解在有限时间内会产生局部奇异性．其中的一个例子在燃烧理论中经常可以看到，就是带有爆炸现象的非线性反
应扩散方程［．１本文考虑一个经典的爆炸问题［１】２它的微分方程的形式如下：】Ｕ＝Ｕ＋，ｕ，ｔ（）
高校应用数学学报
２１，５４：１—２００２（）４１２４
带有爆破现象的反应扩散方程的移动网格方法
祝汉灿，梁克维
（大学数学系，浙江杭州３０２）浙江１０７
摘要：研究了带有指数非线性项的反应扩散方程的数值解．针对方程在有限时间内会变得非常奇异，出了移动网格方法和维数分析方法来解该方程．值结果验证了提数当移动网格方程具有等分布占优这个性质的时候，移动网格方法求解方程非常有效另外，数值结果同样显示了等分布占优不是一个必要条件．关键词：移动网格方法；爆炸现象；反应扩散方程；维数分析；等分布占优中图分类号：４Ｏ２１