福师大2014《复变函数》在线作业1

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福师《复变函数》在线作业一15秋答案

正确答案：B19. A.错误B.正确
正确答案：B20.题面见图片A.错误B.正确
正确答案：A
正确答案：B17. A. B. C. D.
正确答案：B18.下列说法错误的是：f(z)在在原点取值0，单位圆内解析，且单位圆内模都小于1，则（）A. f(z)在任意一点的模小于z的模B.导数在原点取值的模不超过1C.导数在原点也取值为0D.导数在单位圆内也解析
正确答案：C19.如果|z|<1，那么关于下列函数判断正确的是（）A. |e^z|<eB. |sinz|<1C. |cosz|<1D. |tanz|<π
福师《复变函数》在线作业一
一、单选题（共30道试题，共60分。）1. A. B. C. D.
正确答案：D2. A. B. C. D.
正确答案：A3.函数在复平面内为整函数是其为亚纯函数的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件
正确答案：A4. f(x,y)=e^x在复平面上（）A.处处连续B.处处解析C.在原点解析D.在x轴上解析
正确答案：B9. A. B. C. D.
正确答案：A10.对于同一条简单闭曲线，复函数曲线积分的实部（）复函数实部的曲线积分A.相等于B.大于C.小于D.无法判断
正确答案：D11. A. B. C. D.
正确答案：A12. A. B. C. D.
正确答案：D13.下列说法错误的是：解析函数在一点解析，则（）A.则在一个区域内每点都解析B.存在任意阶导数，且导数解析C.可以展开成幂级数D.展开成的幂级数在复平面上处处收敛
正确答案：B2. A.错误B.正确
正确答案：A3. A.错误B.正确
正确答案：A4. A.错误B.正确
正确答案：B5. A.错误B.正确

(完整)《复变函数》练习题

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福师12秋《复变函数》练习题注:1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。

一、单项选择题1．2sin i =（ )A ． B. C ． D ．答案：D2．函数在复平面上（） A ．处处不连续B.处处连续，处处不可导C 。

处处连续，仅在点z =0可导 D.处处连续，仅在点z =0解析答案:C3．设C 是绕点的正向简单闭曲线，则 ( )A ．B ．C ．D ．0答案：C 4．，分别是正向圆周与，则( ）A ．B ．cos2C ．0D ．sin2答案：D二、填空题1()e ei--1()e ei-+1()e e i --1e e-+2()f z z =00z ≠530()C z dz z z =-⎰2iπ3020z iπ502z i π1C 2C 1z =21z -==-+-⎰⎰dz z zi dz z e i c c z212sin 21221ππ2i π1. 设，则________。

考核知识点:复数代值。

2．设是解析函数．若,则______．考核知识点:解析函数的导数.3. 设C 为正向圆周,则。

考核知识点：柯西积分公式.4．幂级数的收敛半径为_________.考核知识点：幂级数的收敛半径。

5. = .考核知识点:复数的乘幂。

提示：6．设为的极点，则____________________．考核的知识点:函数的极点。

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数考题

复变函数考题福师《复变函数》课程练习题作业⼀⼀、判断题（对的⽤T 表⽰，错的⽤F 表⽰）1、如果0()f z '存在，那么()f z 在0z 解析。

（ F ）2、()n Ln z nLnz =。

（ F 3、当且仅当z 为实数时，ze 为实数。

（ F ）4、设()f z u iv =+在区域D 内是解析的，如果u 是实常数，那么()f z 在整个D 内是常数；如果v 是实常数，那么()f z 在D 内也是常数。

（ T ）⼆、填空 1、Re n =；Im n = 。

考核知识点：棣莫佛公式，实部、虚部的定义提⽰：将函数化为复数的三⾓函数形式。

2、设ω是1的n 次根，1ω≠，则211n ωωω-++++= 。

考核知识点：复数的n 次⽅根及等⽐数列求和公式.3、在映射2z ω=下，扇形区域0arg ,14z z π<<<的像区域为。

考核知识点：复数的乘幂运算4、若()()11n n i i +=-，则n = 。

考核知识点：欧拉公式，棣莫佛公式三、计算1、计算下列函数值：1）()n i L e ；2考核知识点：复数对数函数。

提⽰：可以查看视频课件第⼆章第三节初等多值函数。

2、下列函数在复平⾯上何处可导？何处解析？1； 2）()()2222x y x i xy y --+- 。

考核知识点：以上两个函数的可导性，解析性。

提⽰：两个函数的解题思路是相似的，利⽤C-R 条件。

3、函数2322()2f z x y x y i =-+是否为解析函数？求出其导数。

考核知识点：解析函数。

提⽰：利⽤C-R 条件。

4、已知222371(),:3C f z d C x y zζζζζ++=+=-?，求()1f i '+。

考核知识点：柯西积分公式。

提⽰：22371()2(371)C f z d i z z zζζζπζ++==++-? 5、计算积分1）()2311z z dz z z =--?； 2）211sin 41z z dz z π+=?? ???-?； 3）()12121z z e dz z z -=+?； 4）()23132z dzz z -=-?。

福师(2021-2022)《复变函数》在线作业一(1)-辅导资料(答案)

[A]f(z)在任意一点的模小于z的模
[B]导数在原点取值的模不超过1
[C]导数在原点也取值为0
[D]导数在单位圆内也解析
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[C]
28、复函数在单连通域[B]内解析是该函数曲线积分与路径无关的（）
[A]充分条件
[B]必要条件
[C]充要条件
[D]既非充分也非必要条件
[A]可去奇点
[B]极点
[C]本性奇点
[D]零点
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[B]
13、
[A][A]
[B][B]
[C][C]
[D][D]
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[B]
14、
[A][A]
[B][B]
[C][C]
[D][D]提示：认真复源自课本知识302，并完成以上题目提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[C]
29、一个复数列，其实部和虚部均有极限是复数列有极限的（）
[A]充分条件
[B]必要条件
[C]充要条件
[D]既非充分也非必要条件
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[C]
30、
[A][A]
[B][B]
[C][C]
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
19、
[A][A]
[B][B]
[C][C]
[D][D]
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[B]
20、
[A][A]
[B][B]
[C][C]

复变函数第一章参考答案

第一章思考：已知 1212rg()rg rg A z z A z A z =+是否可推出，当12z z z ==时，2rg 2rg A z A z = 成立；左：221rg rg 2A z a z k π=+ ，整数10,1,2,k =±± 其中，随着点z 在z 平面上的位置不同，2rg a z 有如下三种不同的情况：1．arg 22z ππ-<≤时，2rg 2rg a z a z =； 2．arg 2z ππ<≤时，2rg 2rg 2a z a z π=-；3．arg 2z ππ-<≤-时，2rg 2rg 2a z a z π=+；下面仅以 arg 22z ππ-<≤情况为例，进行讨论（仿此，可对其它两种情况进行讨论）：左：21rg 2rg 2A z a z k π=+ ，整数10,1,2,k =±± 右：22rg 2(rg 2)A z a z k π=+ 整数20,1,2,k =±± 如果满足左=右，则应存在：122k k =显然，当1k 给定为奇数时，122k k =不成立，找不到与1k 对应的2k ；所以，不能推出2rg 2rg A z A z = ；当然，更不能推出rg rg n A z nA z = ；例如：z i =，21z =-，21rg rg(1)2,A z A k ππ=-=+222rg 2rg 2(2)42A z A i k k ππππ==+=+，显然，当1k 为奇数时，122k k =不成立，于是2rg 2rg A z A z ≠；练习：当1z =-时，验证2rg 2rg A z A z ≠1z =-，21z =，221rg(1)rg(1)2A a k π-=-+=111[2rg(1)2]2(22)22a k k k ππππππ=--+=-+=2222rg(1)2[rg(1)2]2(2)2(12)A a k k k ππππ-=-+=+=+ 显然，当1k 为偶数时，1212k k =+不成立，于是2rg 2rg A z A z ≠；练习：证明当n 为负整数时，(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+仍然成立；证：当n 为负整数时，取m 为正整数，且n m =-； 1(cos sin )(cos sin )(cos sin )n m m i i i θθθθθθ-+=+=+ cos 0sin 0cos(0)sin(0)cos sin i m i m m i m θθθθ+==-+-+这时，分子、分母两个复数的模都为1，利用两复数之商的辐角关系，cos()sin()cos sin m i m n i n θθθθ=-+-=+ ；证法二：用复数的指数式证当n 为负整数时，取m 为正整数，且n m =-；i z re θ=；m m m i z r e θ=；n n n i z r e θ---=；左端转到右端，右端转到左端，得到n n i n r e z θ= ，即：当n 为负整数时，n n n i z r e θ=仍然成立；内点的集合称为开集，开集不包含边界点；连通的开集称为区域，区域不包含边界点，闭域包含边界点；圆心在原点的单位圆可以用两个参数方程表示为： cos x t =，sin y t =，t ππ-<≤；或者用一个复数形式的方程表示为：cos sin z t i t =+⋅，t ππ-<≤；无洞的区域称为单连通域，有洞的区域称为多连通域；复变函数的定义复变数w 是复变数z 的函数，简称w 是复变函数，记作 ()w f z =；如果对定义域内的每一个复变数z ，有唯一确定的复变数w 与之对应，称()w f z =是单值函数，如：w z =；如果一个复变数z ，对应着两个或两个以上的w 值，称()w f z =是多值函数，如：w =；练习：判断以下函数是单值函数还是多值函数；1．w z = ；2．arg w z = , (0z ≠) ；3．rg w A z = ，(0z ≠) ；映射的概念：映射也称为复变函数的几何解释；在研究一元、二元函数性质时，()y f x =与(,)z f x y =的几何图形给了我们很多直观的帮助，对于复变函数，因为 z x i y =+⋅ ，给定z 值，,x y 便唯一确定；因为 ()w f z = ，给定z 值，w 便有确定的值；如果把()w f z =写成实、虚部的形式，则(,)(,)w u x y i v x y =+⋅ ，w 一旦确定，从而 ,u v 也有确定的值；在几何上，取两张复平面：w 平面和z 平面，从而避免涉及到 x y u --、x y v --两个三维空间，w 平面：w u i v =+⋅ ；z 平面：z x i y =+⋅ ；（在个别情况下，也可将两张复平面重叠成一张平面），这样，就把复变函数()w f z =理解为：从定义域中的点z 到值域中的点w 的映射，w 称为z 的像，z 称为w 的原像；练习：按照映射2w z =，将z 平面的以下曲线，分别映射到w 平面上；1. 222x y -= ；2. 222x y -=- ；3. 1x y ⋅=± ；4. 1x = ； 22u x y =- （1）2v xy = （2）由（1）得：22y x u =- （3）由（2）得：2224v x y =⋅ （4）当把x 作为参数时，设法由（3）、（4）消去y ，将（3）代入（4），得到：2224()v x x u =- （5）把（5）中的x 看作参数，表明u 与v 之间呈抛物线关系，例如 1x =时，24(1)v u =- ；5. 1y = ；22u x y =- （1）2v xy = （2）由（1）得：22x y u =+ （3）由（2）得：2224v x y =⋅ （4）当把y 作为参数时，设法由（3）、（4）消去x ，将（3）代入（4），得到： 2224()v y y u =+ （5）把（5）中的y 看作参数，表明u 与v 之间呈抛物线关系，例如 1y =时，24(1)v u =+ ；练习：在映射2w z =下，求z 平面上以下图形的像：1. 由 2,04r πθ=≤≤ 所围成的区域；2. 圆弧：2,02r πθ=≤≤； 3. 倾角3πθ=的直线，且0z ≠；。

福师大网络教育《复变函数》网络作业答案

复变函数作业一一、判断（对的用T 表示，错的用F 表示） 1、如果0()f z '存在，那么()f z 在0z 解析。

（ F ） 2、()n Ln z nLnz =。

（ F ）3、当且仅当z 为实数时，z e 为实数。

（ F ）4、设()f z u iv =+在区域D 内是解析的，如果u 是实常数，那么()f z 在整个D 内是常数；如果v 是实常数，那么()f z 在D 内也是常数。

（ T ）二、填空1、13Re 2n i ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= ；13Im 2n i ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 。

2、设ω是1的n 次根，1ω≠，则211n ωωω-++++= 0 。

3、在映射2z ω=下，扇形区域0arg ,14z z π<<<的像区域为2πarg 0<<z 。

4、若()()11n ni i +=-，则n = 。

三、计算1、计算下列函数值：1）()n i L e ；234i + 1）、()n i L e 解：主值()ln ln arg i i i e e i e i=+=,()()ln 22,i i Ln e e k i i k i k ππ∴=+=+∈Z234i +解：设3+4i 的平方根是x+yi ，x 、y ∈R ，则有 x 2-y 2=3，且 2xy=4，求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1，故3+4i 的平方根是 2+i ，或-2-i ，故答案为：2+i ，或-2-i2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？ 1；2）()()2222x y x i xy y --+- 。

1；解：因为 f(z)=|z| 当趋于0-时 f(z)=|-1；当趋于0+时 f(z)=|1；右极限不等于左极限。

所以f(z)=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。

2）()()2222x y x i xy y --+- 。

(完整word版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

___《复变函数》在线作业一15秋100分答案

___《复变函数》在线作业一15秋100分答案___《复变函数》在线作业一一、单选题（共30道试题，共60分）1.下列说法正确的是：（D）A。

复数域是实数域的扩张B。

复数域是有理数域的扩张C。

实数域是复数域的扩张D。

有理数域不是复数域的扩张2.下列说法正确的是：（A）A。

复数域上的加法和乘法都是可交换的B。

复数域上的加法和乘法都是不可交换的C。

复数域上的加法可交换，乘法不可交换D。

复数域上的加法不可交换，乘法可交换3.函数在复平面内为整函数是其为亚纯函数的（A）。

A。

充分条件B。

必要条件C。

充要条件D。

既非充分也非必要条件4.f(x,y) = e^x在复平面上（A）。

A。

处处连续B。

处处解析C。

在原点解析D。

在x轴上解析5.复函数在单连通域B内解析是该函数曲线积分与路径无关的（C）。

A。

充分条件B。

必要条件C。

充要条件D。

既非充分也非必要条件6.下列说法正确的是：（B）A。

若f(z)在z0处解析，则f(z)在z0处连续B。

若f(z)在z0处连续，则f(z)在z0处不一定解析C。

若f(z)在z0处不连续，则f(z)在z0处不一定解析D。

若f(z)在z0处不解析，则f(z)在z0处不一定连续7.下列说法正确的是：（D）A。

复数域上的加法和乘法都是可交换的B。

复数域上的加法和乘法都是不可交换的C。

复数域上的加法可交换，乘法不可交换D。

复数域上的加法不可交换，乘法可交换8.若z0是f(z)的m（m为正整数）级极点，则z0是f'(z)/f(z)的（B）。

A。

可去奇点B。

极点C。

本性奇点D。

零点9.下列说法正确的是：（A）A。

复数域上的加法和乘法都满足结合律B。

复数域上的加法和乘法都不满足结合律C。

复数域上的加法满足结合律，乘法不满足结合律D。

复数域上的加法不满足结合律，乘法满足结合律10.对于同一条简单闭曲线，复函数曲线积分的实部（D）。

A。

相等于B。

大于C。

小于D。

无法判断11.下列说法正确的是：（A）A。

复变函数习题第一章答案

（1）
34 3 5 ； z = ( )2 + ( )2 = 2 2 2
5 arg z = − arctan( ) . 3 (3 + 4i )(1 + 2i ) 2 3 + 4i 2 − 5 + 10i 2 (2) z = ( ] =( ) =[ ) 2 2 1 − 2i 5 1 +2
= (−1 + 2i ) 2 = −3 − 4i ，
x + 1 + i ( y − 3) = (1 + i )(5 + 3i ) ，即 x + 1 + i ( y − 3) = 2 + 5i ，
根据复数相等的概念，有
1
x +1 = 2 x =1 ，即 . y − 3 = 8 y = 11
⒊ 将下列复数化为三角式和指数式：（1） − 5i ；（3） 1 + i 3 ；解 (1) （2） − 1 ；（4）
− i 2
π
π
π
.
(2) 这里 x = −1 , y = 0 ,则 z =
(−1) 2 + (0) 2 = 1 ,
从而有 cos θ = −1 , sin θ = 0 ; 得 arg z = π , 则三角式与指数式分别为:
z = [cos(π ) + i sin(π )] , z = e πi .
5
（1） x + y = 4 ；
2 2
（2） y = x ；（4） ( x − 1) + y = 1 ．
2 2
（3） x = 1 ；解
ω=
x 1 y , = 2 −i 2 2 z x +y x + y2

福师《复变函数》在线作业一-0005.FF728675-

题见下
A:A B:B C:C D:D 答案：A A:A B:B C:C D:D 答案：C A:A B:B C:C D:D 答案：B A:A B:B C:C D:D 答案：A
题见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：B A:A B:B C:C D:D 答案：A 关于幂级数的收敛半径，下列说法错误的是（） A:幂级数可能仅仅只在原点收敛 B:可能在复平面上处处收敛 C:求导后导数的收敛半径变小 D:任意阶导数都与原幂级数的收敛半径一致答案：C A:A B:B C:C D:D 答案：D f(x,y)=e^x在复平面上（） A:处处连续 B:处处解析 C:在原点解析 D:在x轴上解析答案：A
大于
C:
小于
D:
无法判断
答案：D
题见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：C A:A B:B C:C D:D 答案：B z0是f(z)的m（m为大于1的正整数）级零点，那么z0是f(z)导数的（） A:可去奇点 B:m-1级零点 C:m-1级极点 D:本性奇点答案：B 关于泰勒级数和洛朗级数的区别，下列说法错误的是（） A:收敛区域形状一定不同 B:泰勒级数能表示的解析函数类型不如洛朗级数广 C:泰勒级数是洛朗级数的特例 D:洛朗级数是泰勒级数的推广答案：A 下列关于辐角的说法错误的是（） A:一个复数的辐角有无穷多个 B:各个辐角之间相差2π的整数倍 C:辐角主值只有一个 D:z^2的辐角主值是z的2倍答案：D A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：A题面见图片 A:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：B题面见图片 A:错误 B:正确答案：A题面见图片 A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B

复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）1、判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

福师《复变函数》在线作业一答卷

C.C
D.D
答案:B
14.{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
15.洛朗级数在收敛圆环内（）
A.处处解析
B.可以逐项求导数
C.可以逐项求积分
D.以上都对
答案:D
16.
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
17.{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
答案:C
22.
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
23.{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
24.{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
25.
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
答案:C
30.
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
二、判断题 (共 20 道试题,共 40 分)
31.题面见图片{图}
答案:错误
32.{图}
答案:正确
33.{图}
答案:正确
34.{图}
答案:错误
18.函数在复平面内为整函数是其为亚纯函数的（）
A.充分条件
B.必要条件

福师《复变函数》模拟试题及答案(二)

《复变函数》试题二选择题1、函数()f z 沿曲线C 可积是()f z 沿曲线C 有界的（）条件A. 充分B. 必要C. 充要D. 以上都不对答案：A2、如果曲线曲线C 为（），则23113C dz iz π=-⎰A. 1z =B. 2z =C. 3z =D. 4z =答案：D3、设区域D 的边界是围线C ，()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，()00,4z D f z π∈=，则()C f d z ςςς=-⎰（）A. 4πB. 18iC. 22i πD.22π答案：C4、设()f z 为有界整函数，C 为1z =，则4zC e dz z ⎰（）42zC e dz z ⎰A. >B. =C. <D. 不能确定答案：C5、在下列个式中可作为某区域D 内解析函数()f z u iv =+的实部(,)u x y 有（）A. 323u x xy =-B. 323u x x y =-C. 323u x x y =+D. 323u x xy =+答案：A6、1n n a ∞=∑收敛是1n n a ∞=∑收敛的（）条件A. 充分B. 必要C. 充要D. 以上都不对答案：B 7、复级数113()2nn i ∞=+∑（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 以上都不是答案：C8、幂级数12nn n z ∞=∑的收敛半径R =（）A. 0B. 1C. 2D.12答案：C9、()f z 在无穷远点去心邻域内的罗朗展式:()nn n f z b z∞=-∞=∑的主要部分为（）A.1()nnn C z a ∞=-∑ B.()nnn C z a ∞=-∑ C.1()nnn C z a -∞-=-∑D 0()n n n C z a ∞-=-∑答案：A 10、z =∞是函数3411z z +的（） A. 可去奇点B. 极点C. 本质奇点D. 非孤立奇点答案：A11、如果曲线曲线C 为（），则4132C dz iz π=-⎰A. 1z =B. 2z =C. 3z =D. 4z =答案：D12、设区域D 的边界是围线C ，()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，()00,2z D f z π∈=，则()0C f d z ςςς=-⎰（）A.2πB.14iC. 2πD. 2i π答案：D13、设()f z 为有界整函数，C 为1z =，则3zC e dz z⎰（）32zC e dz z ⎰A. >B. =C. <D. 不能确定答案：C14、在下列个式中可作为某区域D 内解析函数()f z u iv =+的实部(,)u x y 有（）A. 2u x xy =+B. 22u x xy y =+-C. 22u x xy y =++D. 2u y xy =+答案：B15、复级数11()n n n n n a a ib ∞∞===+∑∑收敛的充要条件是（）A. 0n a →B.1nn a∞=∑收敛C. 实级数1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑皆收敛D. 实级数1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑至少有一个收敛答案：C16、复级数1(34)!nn i n ∞=+∑（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 以上都不是答案：A17、幂级数1!2nn n n z ∞=∑的收敛半径R =（）A. 0B. 1C. 2D.12答案：C18、解析函数()f z 的孤立奇点a 的去心邻域{}K a -的罗朗级数()nnn C z a ∞=-∞-∑的正则部分为（）A.1()nnn C z a ∞=-∑ B.()nnn C z a ∞=-∑ C.1()nnn C z a -∞-=-∑ D.()nnn C z a ∞-=-∑答案：B 19、z =∞是函数2311z z +的（） A. 可去奇点B. 极点C. 本质奇点D. 非孤立奇点答案：A20、幂级数20(1)n n n z ∞=-∑在1<z 内的和函数是（）A.211z - B. 211z + C. 112-z D. 211z+- 答案：B21、设221()z f z z z-=+，则0()z Res f z ==（）A. ∞B. 1-C. 0D. 1答案：B 22、积分2252(1)z z dz z z =-=-⎰（）A. 0B. 4i πC. 4i π-D. 8i π 答案：A23、方程8521560z z z -++=在1z <内有（）个零点A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A24、当（）时，az bw cz d+=+可将上半Z 平面保形变换成下半W 平面 A. 3,1,2,4a b c d ==== B. 4,1,3,2a b c d ==== C. 1,2,3,4a b c d ====D. 3,1,4,2a b c d ====答案：C。