多元函数的极值及其求法

第八节 多元函数的极值及其求法要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。

重点：二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，拉格朗日乘数法求最值实际问题。

难点：求最值实际问题建立模型，充分性判别法的证明。

作业：习题8－8（71P ）3,5,8,9,10问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题．一．多元函数的极值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ．从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件．定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ．证明 不妨设函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值，依定义，在该点的邻域上均有),(),(00y x f y x f <，),(),(00y x y x ≠ 成立．特别地，取0y y =而0x x ≠的点，有000(,)(,)f x y f x y <也有成立．这表明一元函数),(0y x f 在0x x =处取得极大值，因而必有 0),(00=y x f x ． 类似地可证 0),(00=y x f y ． 几何解释若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-是平行于xoy 坐标面的平面0z z =．类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x ，求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(y x f z =的驻点．注意1．驻点不一定是极值点，如xy z =在)0,0(点． 怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题．定理2（充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，令 A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则（1）当02>-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值，且当0<A 时，有极大值00(,)f x y ，当0>A 时，有极小值00(,)f x y ；（2）当02<-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 没有极值；（3）当02=-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论．求函数),(y x f z =极值的步骤：（1）解方程组0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，求得一切实数解，即可求得一切驻点),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯；（2）对于每一个驻点),(i i y x (1,2,)i n =，求出二阶偏导数的值C B A ,,；（3）确定2B AC -的符号，按定理2的结论判定),(i i y x f 是否是极值，是极大值还是极小值；（4）考察函数),(y x f 是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点．例3．考察22y x z +-=是否有极值．解 因为22yx x xz +-=∂∂，22yx y yz +=∂∂在0,0==y x 处导数不存在，但是对所有的)0,0(),(≠y x ，均有0)0,0(),(=<f y x f ，所以函数在)0,0(点取得极大值．注意2．极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样？ 例4．求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值．解 先解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=063096322y y f x x f y x ，求得驻点为)2,3(),0,3(),2,1(),0,1(--， 再求出二阶偏导函数66+=x f xx ，0=xy f ，66+-y f yy ．在点)0,1(处，0726122>=⨯=-B AC ，又0>A ，所以函数在点)0,1(处有极小值为5)0,1(-=f ；在点)2,1(处，0722<-=-B AC ，所以)2,1(f 不是极值； 在点)0,3(-处，0722<-=-B AC ，所以)0,3(-f 不是极值；在点)2,3(-处，0722>=-B AC ，又0<A ，所以函数在点)2,3(-处有极大值为31)2,3(=-f ．二．函数的最大值与最小值求最值方法：⑴ 将函数),(y x f 在区域D 内的全部极值点求出；⑵ 求出),(y x f 在D 边界上的最值；即分别求一元函数1(,())f x x ϕ，2(,())f x x ϕ的最值；⑶ 将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值． 实际问题求最值根据问题的性质，知道函数),(y x f 的最值一定在区域D 的内部取得，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最值． 例4．求把一个正数a 分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大．解 设y x ,分别为前两个正数，第三个正数为y x a --，问题为求函数 )(y x a xy u --=在区域D ：0>x ，0>y ，a y x <+内的最大值．因为)2()(y x a y xy y x a y x u --=---=∂∂，)2(x y a x yu--=∂∂， 解方程组⎩⎨⎧=--=--0202x y a y x a ，得3a x =，3ay =．由实际问题可知，函数必在D 内取得最大值，而在区域D 内部只有唯一的驻点，则函数必在该点处取得最大值，即把a 分成三等份，乘积3)3(a最大．另外还可得出，若令y x a z --=，则 33)3()3(z y x a xyz u ++=≤=即33z y x xyz ++≤．三个数的几何平均值不大于算术平均值．例5．由一宽为cm 24的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解 设折起来的边长为xcm ，倾斜角为α，那么梯形断面的下底长为x 224-，上底长为αcos 2224x x +-，高为αsin x ，则断面面积 ααsin )224cos 2224(21x x x x A ⋅-++-= 即ααααcos sin sin 2sin 2422x x x A +-=，D ：120<<x ，02πα<≤，下面是求二元函数),(αx A 在区域D ：120<<x ，02πα<≤上取得最大值的点),(αx ．令 ⎩⎨⎧=-+-==+-=0)sin (cos cos 2cos 240cos sin 2sin 4sin 242222αααααααααx x x A x x A x由于0sin ≠α，0≠x 上式为2122cos 0(1)24cos 2cos (2cos 1)0(2)x x x x αααα-+=⎧⎨-+-=⎩将212cos x x α-=代入（2）式得8x =，再求出1cos 2α=，则有0603==πα，于是方程组的解是0603==πα，cm x 8=．在考虑边界，当2πα=时，函数2224x x A -=为x 的一元函数，求最值点，由0424=-='x A x，得 6=x ． 所以722sin622sin624)2,6(2=⨯-⨯=πππA ，833483cos 3sin 83sin 823sin 824)3,8(22≈=+⨯-⨯=πππππA ．根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域D ：120<<x ，20πα<<内取得，通过计算得知2πα=时的函数值比060=α，cm x 8=时函数值为小，又函数在D 内只有一个驻点，因此可以断定，当cm x 8=，060=α时，就能使断面的面积最大．三．条件极值，拉格朗日乘数法引例 求函数22y x z +=的极值．该问题就是求函数在它定义域内的极值，前面求过在)0,0(取得极小值；若求函数22y x z +=在条件1=+y x 下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定义域上求极值，而只能在定义域的一部分1=+y x 的直线上求极值，前者只要求变量在定义域内变化，而没有其他附加条件称为无条件极值，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值．如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出x y -=1，代入22y x z +=中，得122)1(222+-=-+=x x x x z 成为一元函数极值问题，令024=-='x z x ，得21=x ，求出极值为21)21,21(=z ． 但是在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单，我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可不必先把问题化为无条件极值的问题，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数取得极值的必要条件．求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下取得极值的必要条件．若函数),(y x f z =在00(,)x y 取得所求的极值，那么首先有00(,)0x y ϕ=．假定在00(,)x y 的某一邻域内函数),(y x f z =与均有连续的一阶偏导数，且00(,)0y x y ϕ≠． 有隐函数存在定理可知，方程0),(=y x ϕ确定一个单值可导且具有连续导数的函数()y x ψ=，将其代入函数),(y x f z =中，得到一个变量的函数(,())z f x x ψ=于是函数),(y x f z =在00(,)x y 取得所求的极值，也就是相当于一元函数(,())z f x x ψ=在0x x =取得极值．由一元函数取得极值的必要条件知道000000(,)(,)0x y x x x x dz dyf x y f x y dx dx ===+=，而方程0),(=y x ϕ所确定的隐函数的导数为0000(,)(,)x x x y x y dydxx y ϕϕ==-．将上式代入00000(,)(,)0x y x x dyf x y f x y dx =+=中，得00000000(,)(,)(,)0(,)x x y y x y f x y f x y x y ϕϕ-=，因此函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下取得极值的必要条件为0000000000(,)(,)(,)0(,)(,)0x x y y x y f x y f x y x y x y ϕϕϕ⎧-=⎪⎨⎪=⎩．为了计算方便起见，我们令0000(,)(,)y y f x y x y λϕ=-，则上述必要条件变为0000000000(,)(,)0(,)(,)0(,)0x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩， 容易看出，上式中的前两式的左端正是函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=的两个一阶偏导数在00(,)x y 的值，其中λ是一个待定常数．拉格朗日乘数法求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能的极值点． ⑴ 构成辅助函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=，（λ为常数） ⑵ 求函数F 对x ，对y 的偏导数，并使之为零，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 得λ,,y x ，其中y x ,就是函数在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点的坐标；⑶ 如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定．拉格朗日乘数法推广 求函数),,,(t z y x f u =在条件(,,,)0x y z t ϕ=，(,,,)0x y z t ψ=下的可能的极值点． 构成辅助函数12(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)F x y z t f x y z t x y z t x y z t λϕλψ=++其中21,λλ为常数，求函数F 对z y x ,,的偏导数，并使之为零，解方程组1212121200(,,,)0(,,,)0x x x y yy z z z t t t f f f f x y z t x y z t λϕλψλϕλψλϕλψλϕλψϕψ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎪⎨++=⎪⎪=⎪=⎪⎩得z y x ,,就是函数),,,(t z y x f u =在条件(,,,)0x y z t ϕ=，(,,,)0x y z t ψ=下的极值点． 注意：一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出,,x y z 之间的关系，然后再将其代入到条件中，即可以求出可能的极值点．例6.求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积． 解 设长方体的三棱长分别为z y x ,,，则问题是在条件0222),,(2=-++=a xz yz xy z y x ϕ下，求函数xyz v = )0,0,0(>>>z y x 的最大值．构成辅助函数)222(),,(2a xz yz xy xyz z y x F -+++=λ， 求函数F 对z y x ,,偏导数，使其为0，得到方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=++=++=++02220)(20)(20)(22a xz yz xy y x xy z x xz z y yz λλλ)4()3()2()1(由)1()2(，得 z y z x y x ++=， 由 )2()3( ， 得 z x y x z y ++=， 即有， ()(),x y zy x z x y +=+= ，()(),y x z z x y y z +=+=， 可得z y x ==，将其代入方程02222=-++a xz yz xy 中，得a z y x 66===． 这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处取得，即在表面积为2a 的长方体中，以棱长为a 66的正方体的体积为最大，最大体积为3366a v =． 例7．试在球面2224x y z ++=上求出与点(3,1,1)-距离最近和最远的点． 解 设(,,)M x y z 为球面上任意一点，则到点(3,1,1)-距离为d =但是，如果考虑2d ，则应与d 有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取 2222(,,)(3)(1)(1)f x y z d x y z ==-+-++，又因为点(,,)M x y z 在球面上，附加条件为222(,,)40x y z x y z ϕ=++-=．构成辅助函数(,,)F x y z 222(3)(1)(1)x y z =-+-++222(4)x y z λ+++-． 求函数F 对z y x ,,偏导数，使其为0，得到方程组2222(3)202(1)202(1)204x x y y z z x y z λλλ-+=⎧⎪-+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩)4()3()2()1(从前三个方程中可以看出,,x y z 均不等于零（否则方程两端不等），以λ作为过渡，把这三个方程联系起来，有 311x y z x y z λ--+-===或311x y z--==， 故3,x z y z =-=-，将其代入2224x y z ++=中，得 222(3)()4z z z -+-+=，求出z =，再代入到3,x z y z =-=-中，即可得 11x =，11y =，从而得两点(，， 对照表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，所以最近点为，最远点为(．思考题1．若二元函数),(y x f z =在某区域内连续且有唯一的极值点，那么这个点就是函数在该区域上的最大值点或最小值点吗？2．利用拉格朗日乘数法求函数),,(z y x f u =在条件0),,(,0),,(==z y x z y x ψϕ下极值的方法是怎样的？仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。