椭球面单叶双曲面和双叶双曲面椭圆抛物面和双曲抛物面圆柱螺线共22页文档
MATLAB中常见空间曲线和曲面
y
b
sin
sin
z c cos
0 2 0
例：取 a=3, b=3, c=1
>> ezsurf('3*sin(u)*cos(v)', ... '3*sin(u)*sin(v)','1*cos(u)', ... [0,pi,0,2*pi]);
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单叶双曲面的绘制
x a sec cos
>> ezplot3('2*t*cos(t)','2*t*sin(t)', ... 't.^2/3', [0,50]);
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上机作业
自己动手 试用 surf 绘制椭球面、单叶和双叶双曲面。 试用 plot3 绘制三类螺线。
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感谢您的观赏！
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自动截取坐标轴显示范围
第12页/共20页
双叶双曲面的绘制
x a tan cosyLeabharlann btansin
z c sec
0 2 / 2 3 / 2, / 2
例：取 a=3, b=4, c=5
>> ezsurf('3*tan(u)*cos(v)', ... '3*tan(u)*sin(v)','5*sec(u)', ... [-pi/2,3*pi/2,0,2*pi]);
>> ezplot3('2*t*cos(t)','2*t*sin(t)', ... '3*t', [0,50]);
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空间解析几何-第3章-常见的曲面2
截线为双曲线
y = h
y
x
z
o
③当 时
截线为直线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
(0 , b , 0)
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
③当 时
截线为直线
②当 时
①当 时
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0）， （0，±b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0， 代入得x,y轴上的截距为: ， ； 在z轴上没有截距.
*
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
本章主要内容
柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面
x
y
z
o
2°用y = 0 截曲面
3°用x = 0 截曲面
1°用z = 0 截曲面
x
z
y
O
4.主截线
Cx＝0
Cy＝0
两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向
————其为点（0，0，0）
————xoz 面上的抛物线
主抛物线
———— yoz 面上的抛物线
有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向
单叶双曲面 双叶双曲面
x
y
o
z
x
y
o
z
单叶双曲面
高等数学(下)知识点总结
主要公式总结第八章 空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z by a x =+ 2）椭球面：1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 5）椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x6） 抛物柱面：ay x =2（二） 平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000CB A DCz By Ax d +++++=（三） 空间直线及其方程1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x 3、两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ；⇔∏⊥L pC nB mA ==第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→2、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 ；y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(00000003、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。
常见的二次曲面
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 Βιβλιοθήκη 2 2 2 1 2 , a b c z h.
河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
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67
图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
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68
图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
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40
图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
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35
图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
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36
图7：
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37
图7：
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38
图7：
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39
图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
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9
椭圆抛物面的图形
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双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
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双曲抛物面（马鞍面） 图形
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常见的二次曲面
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截 痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴， 虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c
《双叶双曲面》课件
艺术创作中的应用
在艺术创作中，双叶双曲面结构可以 用于雕塑、绘画、装置艺术等领域。
双叶双曲面结构能够创造出独特的视 觉效果和艺术形象，为艺术家提供更 多的创作灵感和表现形式。
THANK YOU
双叶双曲面在飞机和航天 器的机翼、尾翼设计中得 到应用，能够提供优良的 气动性能。
流体动力学研究
双叶双曲面结构在流体动 力学中用于模拟流体流动 和湍流等现象，有助于优 化流体机械的性能。
数学其他领域中的应用
1 2 3
拓扑学
双叶双曲面是拓扑学中重要的研究对象，其结构 特性对于理解三维空间的几何性质具有重要意义 。
01
双叶双曲面与旋转双曲面、单叶 双曲面等其他几何形状存在联系 ，可以通过坐标变换和几何变换 进行相互转换。
02
双叶双曲面与球面、平面、椭球 面等其他几何形状也存在联系， 可以通过投影和变换进行相互转 换。
双曲面的分类
根据定义方式，双曲面可以分为两类：旋转双曲面和直角双 曲面。旋转双曲面是指以一个固定点为中心，旋转形成的曲 面；直角双曲面是指以两个相互垂直的平面为边界，形成的 曲面。
根据几何特性，双曲面还可以分为单叶双曲面和双叶双曲面 。单叶双曲面是指只有一个叶面的双曲面；双叶双曲面是指 有两个叶面的双曲面。
双曲面的历史与发展
双曲面的概念起源于17世纪，随着数学和物理学的发展， 双曲面的应用越来越广泛。在数学领域，双曲面是微分几 何学的重要研究对象之一，其性质和结构被广泛应用于数 学分析、微分方程等领域。
通过编程语言，如Python、MATLAB等， 可以绘制双叶双曲面。这些语言提供了强大 的数学库和绘图函数，允许用户通过编写代 码来生成双叶双曲面的图形。编程方法提供 了高度的灵活性和定制性，可以绘制各种形 状和大小的双叶双曲面，并且方便地调整和
单叶双曲面与双曲抛物面
对于给定的u,
(3)表示什么曲线? (3)与(2)等价吗?
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
直线
(3) 不等价!
x2 y2 z2 2 2 1, 2 a b c
(1) （2）
这是因为
z x 0, a c y 0; 1 b
z x 0, a c y 0. 1 b
u族直线满足于
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
（4.7Hale Waihona Puke 4）分别称为u族和v族直母线.
双曲抛物面是直纹面
x2 y 2 2 2z 2 a b
含两族直母线
也有下面的推论：
推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母 线中各有一条直母线通过这一点. 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上 有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面 的一些性质： 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共 面而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交.
(3)
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
z x a c 0, （4） 1 y 0; z x b a c 0, 与 y 0. 1 b
（4）/
也就是说
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
满足于
x y z 2 2 1, 2 a b c
2
2
2
（1）
反过来，设 ( x0 , y0 , z0 )是曲面(1)上的点.
环面·椭球面·单叶双曲面·双叶双曲面
§4.2 双曲面
2 2 2
a=b ?
x y z 2 2 1 (a , b, c 0) 1.单叶双曲面 2 a b c 旋转单叶双曲面 (1)对称性 : 三个对称平面 (坐标面 ),
三条对称轴 (坐标轴 ), 一个对称中心 (原点 ). x2 y2 z2 2 2 1 1 ( 2 )范围 : 2 a b c ( 3 )顶点 : 与对称轴交于 ( a ,0,0 ), ( 0, b ,0 ).
椭球面的几种特殊情况：
x2 y2 z2 (1) a b, 2 2 2 1, 旋转椭球面 a a c
x2 z2 2 2 1 (由椭圆 a 绕z轴旋转而成 ) c y0
( 2) a b c R, 为球面 x 2 y 2 z 2 R 2
x
2 2 2
z
c
o
b
y
a
椭球面与三个坐标面的交线为椭圆
x2 z2 x2 y2 2 2 1 2 2 1 , , a c b a y 0 z 0 椭球面与平面z=h的交线为椭圆
y2 z2 2 2 1 , c b x 0
y2 x2 2 1 2 a b 2 2 2 2 ( h c) ( ) ( ) c h c h 2 2 c c z h 同理与平面y=m和x=n的交线也为椭圆
( 4 )截口 :
单叶双曲面
z
x y z 2 2 1 2 a b c ( a , b, c 0)
截痕法 用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
2
2
2
c
a o b
y
x
2.双叶双曲面
2 2 2
高等数学(解析几何)图形
P M
Sz
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y2 , z) 0.
x
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
图形
28 作出曲面x2 y 2 a， 2 x2 z 2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体 图形
29 作出曲面 z 1 x2 y2 和 x2 y2 z 1 所围立体图形 30 平面 x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图形
的截口椭圆任意接近，即： x
双曲面和锥面任意接近。
z
o
y
20. 单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
含两个直母线系
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。
21. 双曲抛物面是直纹面
x2 y2 z
a2 b2
含两个直母线系
22. 一般锥面
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的若：F (tx, ty, tz) t n F ( x, y, z). t是任意数
曲面S外的每一点都不满足方程
6. 一般柱面 F(y,
z)=0
(不含x)
z 准线
单叶和双叶双曲面方程
单叶和双叶双曲面方程
一、引言
单叶和双叶双曲面是常见的曲面，它们在数学、物理等领域中都有广
泛的应用。
在本文中，我们将介绍单叶和双叶双曲面的方程及其性质。
二、单叶双曲面
1. 定义
单叶双曲面是一种具有对称轴的曲面，其形状类似于一个打开的抛物线。
它可以由以下方程表示：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) - (z^2/c^2) = 1
其中，a、b、c为正实数。
2. 性质
（1）对称轴：单叶双曲面有两个互相垂直的对称轴，分别与x轴和y 轴重合。
（2）渐近线：单叶双曲面有四条渐近线，分别为x=±a和y=±b。
（3）截痕：单叶双曲面与平面交线为椭圆或超越函数。
三、双叶双曲面
1. 定义
双叶双曲面是一种没有对称轴的曲面，其形状类似于两个相互交错的
抛物线。
它可以由以下方程表示：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) - (z^2/c^2) = -1
其中，a、b、c为正实数。
2. 性质
（1）渐近线：双叶双曲面有四条渐近线，分别为x=±a和y=±b。
（2）截痕：双叶双曲面与平面交线为两个相交的椭圆或超越函数。
（3）曲率：在任何一点处，双叶双曲面的主曲率半径相等，即具有恒定的高斯曲率。
四、总结
单叶和双叶双曲面是常见的曲面，它们在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
单叶和双叶双曲面的方程及其性质不仅可以帮助我们更好地理解这些曲面，还可以应用于相关问题的求解。
椭球面----双曲面---抛物面
椭球面 双曲面 抛物面§7.9 二次曲面三元二次方程所表示的曲面称着二次曲面。
相应地，将平面叫做一次曲面。
一般的三元方程F x y z (,,)=0所表示的曲面形状，已难以用描点法得到，那未怎样了解它的形状呢?利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线( 即截痕 )的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
下面，我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。
一、椭球面由方程x a y b z c 2222221++=(1)所表示的曲面叫做椭球面。
1、由(1)可知： 这表明：椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内，这长方体的六个面的方程为 其中常数 a b c ,,叫做椭球面的半轴。
2、为了进一步了解这一曲面的形状， 先求出它与三个坐标面的交线 这些交线都是椭圆。
3、用平行于xoy 坐标面的平面z z z c =≤11()去截椭球面，其截痕(即交线)为这是位于平面 z z =1内的椭圆，它的两个半轴分别等于 a c c z 212-与b c c z 212-，其椭圆中心均在z 轴上，当z 1由0渐增大到c 时， 椭圆的截面由大到小，最后缩成一点。
4、以平面 y y y b =≤11()或 x x x a =≤11()去截椭球面分别可得与上述类似的结果。
综上讨论知：椭球面(1)的形状如图所示。
5、特别地，若a b =，而a c ≠，则 (1) 变为这一曲面是xoz 坐标面上的椭圆 x a z c 22221+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面，因此，称此曲面为旋转椭球面。
它与一般椭球面不同之处在于 如用平面z z z c =≤11()与旋转椭球面相截时，所得的截痕是圆心在z 轴上的圆 其半径为a c c z 212-。
6、若 a b c ==，那未(1)变成这是球心在原点，半径为a 的球面。
二、抛物面由方程x p y q z p q 2222+=()与同号(2) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面。
椭球双曲抛物面PPT课件
微分几何
§4.4 椭球面 §4.5 双曲曲பைடு நூலகம்§4.6 抛物面
微分几何课程建设组
第1页/共9页
4.4 椭球
面
x
2
y2
z2
1
a2 b2 c2
平行截割法
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
z
c
o a
x
第2页/共9页
by
4.6 椭圆抛物面
x2 y2
p2
q2
2z
z
平行截割法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
x
第3页/共9页
4.6 椭圆抛物面
第9页/共9页
z
z
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
第6页/共9页
4.6 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
p2
q2
z
z
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
第7页/共9页
4.5 双曲面的渐进锥
面
双叶： x 2 y 2 z 2 1
a2 b2 c2
x2 y2
p2
q2
2z
z
平行截割法
用z = a截曲面
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
空间解析几何-第3章 常见的曲面2
单叶双曲面 双叶双曲面
抛物面
椭圆抛物面 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
x2 y 2 h2 2 2 1＋ 2 , Cz h： b c 椭圆 a z h.
z
O x y
结论：单叶双曲面可看作由一 个椭圆的变动（大小位置都改 变）而产生，该椭圆在变动中， 保持所在平面与xOy 面平行， 且两对顶点分别在两定双曲线 上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与 z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点. （2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的 截距，而在x,y轴上无截距.
z
x
o
y
3 图形范围
x2 y 2 z2 2 1 2 2 a b c
，易知
所以曲面分成两叶，一叶在 z c 的上方，另一叶在 z c 平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。
z
此时的单叶双曲面是双曲线
y2 z2 1, : b2 c2 x 0
o
b
y
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的 x .
单叶旋转双曲面
例 用一组平行平面 z h （ h 为任意实数）截割单叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 a b 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹. 2 a b c
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
单叶双曲面与双曲抛物面
（4.7-1） 4.7-
与
（4.7-2） 4.7-
推论1 推论1
对于单叶双曲面上的点， 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线 Back
通过这点. 通过这点.
三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 y2 2 = 2z 2 a b (a, b > 0 )
总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一 总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一 同族
例题
例1 求过单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + = 1 上的点 ( 6, 2,8 ) 的直母线的方程. 的直母线的方程. 9 4 16
x2 y2 z 2 两族直母线方程为 方程为： 分析: 分析: 单叶双曲面 + = 1 的两族直母线方程为： 9 4 16
例(教材P153) 教材P153)
x 求直线 Γ： = y = z 1 绕直线 l : x = y = z 旋转所 2 1 0 得的旋转曲面的方程. 得的旋转曲面的方程.
单叶旋转双曲面
Back
直纹曲面模型
直纹曲面模型
二、单叶双曲面是直纹曲面
单叶双曲面
x2 y2 z2 + 2 2 =1 2 a b c ( a, b, c > 0)
x y a + b = 2u, (u ∈ R ) u x y = z , a b x y a b = 2v, (v ∈ R) . x y v + = z , a b
（4.7-3） 4.7-
与
（4.7-4） 4.7-
对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该 对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
高等数学7.9 二次曲面
这是平面zz 1内的椭圆，
其中心在z轴上．
以平面yy1(| y1| b)， 或xx1(| x1| a)去截椭球 面，分别可得与上述类 似的结果．
椭球面与平面的交线： 椭球面与三个坐标面的交线分别为 x2 y2 y2 z2 x2 z 2 2 2 1, 2 2 1, 2 2 1, a b b c a c z 0; x 0; y 0. 这些交线都是椭圆．
椭球面与平面zz 1(| z 1|<c)的交线
截痕是圆
x 2 y 2 2 pz1 , z z1.
双曲抛物面： 由方程
x2 y2 z (p与q同号) 2 p 2q
所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．
三、双曲面
单叶双曲面：
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面． a b c
§7．9 二次曲面
一、椭球面
二次曲面、截痕法 椭球面、椭球面与平面的交线、 特殊的椭球面
二、抛物面
椭圆抛物面、椭圆抛物面与平面的交线 旋转抛物面、双曲抛物面
三、双曲面
单叶双曲面、单叶双曲面与平面的交线 双叶双曲面
一、椭球面
二次曲面：
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．
截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状．这种方法 叫做截痕法．
二、抛物面
x2 y2 z (p q>0) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面． 由方程 2 p 2q