四川大学理论力学第10章第三课时

dLCr M C ( Fi e ) dt
maC =∑Fi
(1) 式中LCr是质点系在质心平动坐标系中对质心 的动量矩,对于非质心平动系无类似结果。 (2) 质点系相对于质心的动量矩定理表明,内力不 能改变质点系相对于质心的动量矩。
(3) 当∑MC(Fie )≡ 0时,质点系对质心的动量矩守恒。
C
x'
x
maC =∑Fi dLC / dt =∑MC (Fi)
将前一式投影于x轴和y轴,后一式投影于Cz' 轴得 此即刚体平面运动微分方程。
y mC Fx mC Fy J M z (F ) x
e
例1. 如图示,质量为m的圆轮 的质心为C,对O的转动惯量 为JO。若轮只滚不滑,已知r、 vO、OC=r/2,求它的动量和对 接触点A的动量矩。
B
JOB = F'T2r －FT1r JO = m1r2/2
B
m1g
(3) 以圆柱D为研究对象,受 力如图。由刚体平面运动微 分方程有
m1aC = F'T1－FD JCD = FD r 式中 JC = m1r2/2
注意到运动学关系:
F'T1
D
aC
FDN C m1g
D
FD
aA = rB = aC rD = aC
C R mg
ma mg FT
1 FT mg 5
B
z'
C y'
y
m=∑mi
LO = rC×mvC + LCr
dLO drC dvC dLCr mvC rC m dt dt dt dt
=0
=∑Fie
=∑ri×Fie =∑(rC+ r'i)×Fie
dLCr r'i Fi e MC (Fi e ) dt
即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于 作用于质点系的外力系对质心的主矩。上述结论 称为质点系相对于质心的动量矩定理。
LC = ∑r'i×(mivC + mivir)
= (∑mi r'i)×vC +∑r'i×mivir
z ri rC O x x'
LC = LCr
即质点系在绝对运动中 对质心的动量矩与它在 相对质心平动坐标系的 相对运动中对质心的动 量矩是相等的。
mi r'i
z'
C y'
y
LCr =∑r'i×mivir
例2. 如图示,质量为m的圆轮的 质心为C,对O的转动惯量为JO。 若轮既滚且滑,已知r、vO、 ω、 OC=r/2,求它的动量和对接触 点A的动量矩。
ω
vO
•C •O
A
r
LO = rC×mvC + LCr
P=m(vO+rω/2)
•
LA =(JO+mr2/2)ω+3mrvO /2
LO = rC×mvC + LCr
习题: 10-14, 10-15, 10-19, 10-21,
解：设圆盘A、B的角加速度分别为O、C，
则
O R h A
J O O FT R J C C FT R
因 所以
J O J C且FT FT
O C
B
C R
由于均从静止开始运动， 所以
P333 11.31
由以上方程即可解出
m2 (sin f cos ) aC g 2m1 m2 m1m2 (sin f cos ) FD g 2(2m1 m2 )
点评:
求解系统的动力学问题时,一种比较直观的办 法就是将系统拆开成单个刚体, 分别列出相应的 动力学微分方程 , 然后联立求解。但是由于内力 的出现,导致未知量的数目增加,这种方法有时会 比较繁琐。
LA=MA(mvC) +JC ω
圆轮既滚且滑,设基点为O,故
vO
• vO C •O
r
A
ω
vCO
vC= vO+ vCO
•
vCO = rω/2
vC = vO+(rω/2)
MA(mvC)=(3mrvO /2)+(3mr2ω/4)
又
JC= JO – mr2/4 LA =(JO+mr2/2)ω+3mrvO /2
2. 质点系相对于质心的动量矩定理
因为
ri = rC + r'i
LO = ∑ri×mivi
LO = ∑(rC + r'i)×mivi
= rC×∑mivi +∑r'i×mivi
z mi ri rC O x x' r'i
LO = rC×mvC + LCr
即质点系对任一点O的动量 矩等于集中于系统质心的动 量对于点O的动量矩加上此 系统对于质心的动量矩。
LO =∑ri×mivi
质点系在定系中相对质 心C的动量矩:
z ri rC O x
mi r'i
z' C y y'
LC =∑r'i×mivi
质点系在质心平动系中 相对质心C的动量矩:
x'
LCr =∑r'i×mivir
vi = ve + vir = vC + vir
因为
vi = vC + vir
LC =∑r'i×mivi
解: 圆轮纯滚,瞬心为A,故有
vC •C vO •O ω r
A
vO / r
vC 3vO / 2
p 3mvO / 2
•
LO = rC×mvC + LCr
又 J O J C mr / 4
2
LA M A (mvC ) J C
J C J O mr2 / 4
LA ( J O 2mr 2 )vO / r
O C
系统动能
O R h
A
1 1 2 1 2 T J O mv J C 2 2 2 2 5 2 mv 8
由动能定理
B C R v
5 2 mv mgh 8 4 a g 5
v vB RC 2R v 2R
8 v gh 5
FT
取C, 由质心运动定理
理论力学
欢 迎 光 临
dLO e M O ( Fi ) dt
dLx M x ( Fi e ) dt dLy e M y ( Fi ) dt dLz e M z ( Fi ) dt
12.4 质点系相对于质心的 动量矩定理
1. 质点系相对于质心的动量矩
质点系相对固定点O的动量矩:
(4) 任意刚体的一般运动可分解为随质心的平动 和绕质心的转动,由质心运动定理和相对于质心的 动量矩定理共可得6个标量方程, 从而完全确定自 由刚体的6个坐标。
3. 刚体平面运动微分方程
设平面图形S在Oxy平面 内运动。取质心C为基点, 质心平动系为Cx'y'z',由质 心运动定理和相对于质心 的动量矩定理可得 y S z' O z y'
例3. 如图示,已知均质圆柱的半径为r,质量为m1, 重物的质量为m2,与水平桌面间的动摩擦系数为f, 试求圆柱质心C的加速度和绳的张力。
aB
B

运动学关系:
C
aC
r
a C = a B + r
解: (1) 以重物B为研究对象, 受力如图。
aB
FT 2
FN
m2g
B
m2 aB = FT 2－F F = m2 g f a C = a B + r
B
O
aC
C
aA
A
B
运动学关系:

aA = rB = aC rD = aCHale Waihona Puke Baidu
m2g
FT2
FA FAN
解: (1) 以重物A为研究对象, 受力如图。
aA
A
m2aA= m2 g sin－FT2－FA FAN－m2 g cos = 0 FA= FAN f
FT1 O F'T2

(2) 以 B 为研究对象。由刚 体定轴转动微分方程可得
m1 m2 ( 2 f ) aC g m1 3m2
m1m2 (1 f ) FT 1 g m1 3m2
例4. 如图示, 半径为r, 质量为m1的B和D均可视 为均质圆柱,且D沿水平面作纯滚动;重物的质量 为m2, 与倾角为的斜面间的动摩擦系数为f, 试 求圆柱D的质心C的加速度和水平面对它的摩擦 力。 D D
F

FT 1
(2) 以圆柱为研究对象。由 刚体平面运动微分方程有
m1g
C
aC
r
m1aC = m1g－FT1 JC = FT1r 而 JC = m1r2/2 FT1=FT 2
aC = aB + r m2 aB = FT 2－F F = m2 g f m1aC = m1g－FT1 JC = FT1r JC = m1r2/2 FT1=FT 2