信息论复习资料
信息论基础总复习
2. 编码器 编码器是将消息变成适合于 信道传送的信号的设备。
信源编码器，提高传输效率
编码器
信道编码器，提高传输可靠性
3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介。
4. 译码器 译码是编码的逆变换，分为 信道译码和信源译码。
5. 信宿 信宿是消息的接收者。
1.3 离散信源及其数学模型
信源是产生消息的源，根据X的不同情况，信源可分为以下
条件互信息
I(X ;Y|Z ) x y z p (x) ylo zp p (g (x x||z y z ))
I(X ;Y |Z ) H (X |Z ) H (X |Y )Z
I(X;Y)ZI(X;Y)I(X;Z|Y) I(X;Z)I(X;Y|Z)
连续随机变量的互信息
I(X;Y) 0 I (X ;Y ) I (Y; X ) I (X ;Y | Z) I (Y; X | Z) I(X;Z) I(X;Y) I (XY; Z) I (X ; Z) I (Y; Z | X )
说明: R（D）也称率失真函数。
对于离散无记忆信源，R（D）函数可写成
R (D )p m i jpDi n i1n jm 1p(xi)p(yj/xi)lop(p g y (jy/jx )i)
输入 xX
信道模型
输入 y Y
转移概率矩阵
p(y/ x)
图5-1-2 信道模型
5.1.2 信道容量
• 1．如何刻画DMC信道的容量 考虑一个DMC信道，其输入字符集是X={x0， x1，…，xq-1}，输出字符集是Y={y0,y1，…， yQ-1}，转移概率P（yj／xi）. 若给定信道的转 移概率和对应于输入符号的概率分布p（xi）, 则 DMC信道容量C为
• 这个表达式平均错误译码概率的最小值， 是把每一个yj对应的后验概率排除后再连 续求和。
信息论复习资料
8、 解释最小错误概率译码准则，最大似然译码准则和最小距离译码准则，说明三者的关系。 答：最小错误概率译码准则下，将接收序列译为后验概率最大时所对应的码字。 最大似然译码准则下，将接收 序列译为信道传递概率最大时所对应的码字。 最小距离译码准则下，将接收序列译为与其距离最小的码字。 三者关系为：输入为等概率分布时，最大似然译码准则等效于最小错误概率译码准则。在二元对称无记忆信道 中，最小距离译码准则等效于最大似然译码准则。 9、 保真度准则为：平均失真度不大于允许的失真度。 10、限失真信源编码：有失真信源编码的中心任务，在允许的失真范围内把编码的信息率压缩到最小。
4、线性分组码不具有的性质是（C）
1 / 2 1 / 4 [P XY ] 1 / 12 1 / 6
； [ PY ] [7 / 12 5 / 12] ；
； H (Y ) 7 / 12 log 2 (12 / 7) 5 / 12 log 2 (12 / 5)
I ( X ; Y ) H (Y ) H (Y | X )
对应的剩余度为
1 1
H1 0.811 1 0.189 H0 1 1 1 1 log log 2 2 2 2 H2 0.681 1 0.319 H0 1 1 1 1 log log 2 2 2 2
H ( p1 , p2 , , pL 1 , pL ) pL H (
并说明等式的物理意义
q q1 q2 , , , m ) pL p L pL
14、一阶齐次马尔可夫信源消息集
X∈｛ａ１,ａ２,ａ３｝ ，状态集Ｓ∈｛Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３｝且令 Si=ai，
1 4 1 4 1 2 P(aj / S i ) 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 0
信息论复习
0
③ 确定性
④ 扩展性 ⑤ 极值性 ⑥ 可加性
H ( p1 , p 2 , ..., p q ) H (1 / q ,1 / q , ...,1 / q ) log q
***********
H（XY）= H（X）+ H（Y）*******
H ( p 1 , p 2 , , p n 1 , q 1 , q 2 , , q m ) q1 pn , q2 pn , , qm pn )
⑦ 强可加性 H(XY)=H(X)+H(Y/X) *******
⑧ 递增性
⑨ 上凸性
3.平均互信息（ ***** *******课后习题3.3，6.1求输入符号 概率分别为1/4, 1/2, 1/4 时平均互信息和信道容量）
I ( X ;Y )
P ( xy ) log
X ,Y
P(x y) P (x)
X ,Y
P ( xy ) log
P ( xy ) P (x)P ( y)
( b1b1b1b1 b1 ) 1
( b1b1b1b1 b 2 ) 2
XN
(ar ar ar ar ar ) r N
P ( h / k )
(bs bs bs bs bs ) s N
YN
kn P ( h / k ) P ( b h b h b h a k a k a k )
6.马尔可夫信源及其信息熵（*****） （1）马尔可夫信源的定义******（特别是M阶马尔可夫信源 若一个信源满足下面两个条件，则称为马尔可夫信源： ① 某一时刻信源输出的符号的概率只与当前所处的 状态有关，而与以前的状态无关； ② 信源的下一个状态由当前状态和下一刻的输出唯 一确定。 （2）时齐遍历马尔可夫信源的信息熵（***********） H Q ( E ) H ( X | E ) Q ( E ) P ( a | E ) lo g P ( a | E )
信息论 总复习 new
27
3 哈夫曼编码
Wuhan University
a.将信源符号按概率从大到小的顺序排列，令
b.给两个概率最小的信源符号p(xn-1)和p(xn)各分配
一个码位0和1，将这两个符号合并成一个新符号，其
概率之和作为新符号的概率，得到(n－1)个符号。
c.将缩减信源符号按概率排列，重复步骤a,b。直至缩 减信源只剩两个符号为止。
译码错误概率 pe
P eP r[|I(L uL)H(U)|]L I22
I(ak)的方差
信源序列中每个符号含 有信息量的算术平均值
I(ak)的数学期望
2 I
L 2
契比雪夫不等式的右边是理论上的误码率的上限，
必须小于给定的误码率才能保证到达编码性能要求
24
定长编码定理
Wuhan University
其中差错率满足如下式子
Def. 可达速率：对于给定的信源和编码速率R及 任意δ>0，若存在L0、ξ()、D()，使当码长 L>L0时，Pe< δ ，就称R是可达的，否则R是 不可达的。
22
Wuhan University
Th. 若R>H(U)，则R是可达的；若R<H(U)，则R是 不可达的。
• 对于给定的离散无记忆信源，若D元码的速率R超 过信源的熵，即NlogD/L ≥H（U）+ε，则存在 编码方法，当L足够大时能使译码错误概率任意小 。
离散信源的无失真编码实质上是一种统计匹配编 码。信息论指出信源中的统计多余度主要决定于以 下两个主要因素：
一是消息概率分布的非均匀性，另一个是消息间 的相关性。对无记忆信源主要决定于概率分布的非 均匀性，但是，对于有记忆信源，两者都起作用， 且后者相关性更加重要。
信息论总结与复习
i 1 k 1
i 1
k 1
结论：N阶马氏信源稳态信息熵(即极限熵)等于N+1阶条件熵。
H lN iN 1 m H (X 1 X 2 X N 1 X N ) H (X N 1 |X 1 X 2 X N )
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
[例1] 已知二阶马尔可夫信源的条件概率：
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
（4）序列信息熵的性质：
《1》条件熵不大于无条件熵，强条件熵不大于弱
条件熵：H(X1) ≥ H(X2|X1) ≥ H(X3|X1X2) ≥ …
…… ≥H (XN|X1X2……XN-1)
《2》条件熵不大于同阶的平均符号熵:
HN ≥H (XN|X1X2……XN-1)
[例3]求对称信道
P00..32
0.3 0.2
0.2 0.3
00..23的信道容量。
解：C =log4-H(0.2,0.3,0.2,0.3)
=2+(0.2log0.2+0.3log0.3)×2 = 0.03 bit/符号；
第二部分、无失真信源编码
2.1 信源编码理论
第二部分、无失真信源编码
1.1 信源编码理论:
稳态方程组是：
QQ((EE32
) )
0.2Q(E1 0.6Q(E2
) )
0.6Q(E3 ) 0.2Q(E4 )
Q(E4 ) 0.4Q(E2 ) 0.8Q(E4 )
Q(E1) Q(E2 ) Q(E3 ) Q(E4 ) 1
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
可解得：
Q (E1 )
[例5] 以下哪些编码一定不是惟一可译码？写出每 种编码克拉夫特不等式的计算结果。
信息论 总复习
等概率分布
设 B {b1，b2 , , bs } 等概率分布, 应由P ( x )保证
（3）对称离散信道容量
当 P( x) 等概率分布时
' C log s H ( p1'，p2， ，ps' ) bit / 符号
（4）准对称离散信道容量
C log r H ( p ，p ， ，p )
3、有噪信道编码定理 定理6.5 有噪信道编码逆定理
设离散无记忆信道 [ X , P ( y | x ), Y ], 其 信道容量为C。当信息传输率 R>C , 则无论码长n多长，总也找不到一种 编码（M 2nR，n) ，使译码错误概率任 意小。
第9章信道的纠错编码
1、线性分组码 生成矩阵G、校验矩阵H、伴随式译码 2、循环码
2、最大似然译码准则
则选择译码函数 F (b ) a 的条件应满足
j
P ( b j | a) P ( b j | a i )
PE P(ai )P
X
(i ) e
3、有噪信道编码定理 定理6.4 （有噪信道编码定理） P 设离散无记忆信道 [ X , P ( y | x ), Y ] ，( y | x ) 为其信道传递概率，其信道容量为C。当 信息传输率R<C 时；只要码长n足够长， M ( 2 nR ) 总可以在输入符号集中找到 ( 2 nR , n) 和相应的 个码字组成的一组码 译码规则，使译码的错误概率任意 小 ( PE 0) 。
N
称 H 为平稳信源的极限熵或熵率。
第三章离散信道及其信道容量
1、单符号离散信道的数学模型 a1 b1 a2 b2
X
ar
P (b j | a i )
信息论基础复习提纲
第一章 绪论1、什么是信息？香农对于信息是如何定义的。
答：信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述(Information is a measure of one's freedom of choice when one selects a message )。
2、简述通信系统模型的组成及各部分的含义。
答：（1）、信源：信源是产生消息的源。
信源产生信息的速率---熵率。
（2）、编码器：编码器是将消息变成适合于信道传送的信号的设备。
包括信源编码器（提高传输效率）、信道编码器（提高传输可靠性）、调制器。
（3）、信道：信道是信息传输和存储的媒介。
（4）、译码器：译码是编码的逆变换，分为信道译码和信源译码。
（5）、信宿：信宿是消息的接收者（人或机器）。
3、简述香农信息论的核心及其特点。
答：（1）、香农信息论的核心：在通信系统中采用适当的编码后能够实现高效率和高可靠性的信息传输，并得出了信源编码定理和信道编码定理。
（2）、特点：①、以概率论、随机过程为基本研究工具。
②、研究的是通信系统的整个过程，而不是单个环节，并以编、译码器为重点。
③、关心的是最优系统的性能和怎样达到这个性能（并不具体设计系统）。
④、要求信源为随机过程，不研究信宿。
第二章 信息的度量2.1 自信息和互信息1、自信息（量）：（1）、定义：一个事件（消息）本身所包含的信息量，它是由事件的不确定性决定的。
某个消息i x 出现的不确定性的大小定义为自信息，用这个消息出现的概率的对数的负值来表示： （2）、性质：①、()i x I是()i x p 的严格递减函数。
当()()21x p x p <时()()21x I x I >概率越小，事件发生的不确定性越大，事件发生以后所包含的自信息量越大。
()()()i i i x p x p x I 1loglog =-=②、极限情况下，当()0=i x p 时()∞→i x I ；当()1=i x p 时，()0→i x I 。
信息论复习提纲
信道传递概率可以用信道矩阵来表示：
x1 x2 P xr
y1 p( y1 | x1 ) p( y | x ) 1 2 p( y1 | xr )
y2 p( y2 | x1 )
p( y2 | x2 ) p( y2 | xr )
ys p( ys | x1 ) 1 p( ys | x2 ) p( ys | xr )
i
第四章：信道及信道容量
二、离散单符号信道及其信道容量
1.离散单符号信道的数学模型（续14）
例3：求二元删除信道的 H ( X )、H (Y )、H ( X | Y )和I ( X ;Y ) 。
已知
1 3 PX 4 4
1 1 2 2 0 P 1 2 0 3 3
3. 后验概率（后向概率）: 贝叶斯公式
p ( xi | y j ) p ( xi y j ) p( y j ) p ( xi ) p ( y j | xi )
p( x ) p( y
i 1 i
r
j
| xi )
（i =1，2，…，r;j =1，2，…，s）
且
p ( xi | y j ) 1
Y y2
ys
i 1, 2,..., r ; j 1, 2,..., s
满足： （1）0≤ p(yj|xi) ≤ 1 (i=1,2,…,r；j=1,2,…,s) （2）
p( y j | xi ) 1
j 1
s
(i=1,2,…,r)
第四章：信道及信道容量
二、离散单符号信道及其信道容量
1.离散单符号信道的数学模型（续2）
r s
第四章：信道及信道容量
信息论总复习
I□离散信源的不肯定程度表示某些随机事件是否会发生。
2□离散信源的不肯定性表示信源某时刻发不发送信源符号不能肯定。
3□离散信源的不肯定性表示信源某时刻发送某个信源符号的概率大小不能肯定。
4□离散信源的不肯定性表示信源某时刻发送哪个信源符号是不能绝对肯定的。
5□离散信源的不肯定程度表示某些随机事件是否会发生的难易程度。
6□不肯定程度仅与离散信源概率空间的状态数有关。
7□不肯定程度仅与离散信源概率空间的概率分布有关。
8□不肯定程度与离散信源概率空间的状态数及概率分布有关。
9□离散信源概率空间的概率分布差别越大时不肯定程度也越大。
10□离散信源概率空间的概率分布差别越小时不肯定程度就越大。
II□离散信源概率空间的概率分布为等概时不肯定程度最大。
12 □不肯定度用取对数的度量方法是因为不这样定义是错的。
13□不肯定度用取对数的度量方法是因为其符合人对信息量的直观理解。
14 □信息的多少定义为信息量。
15□信息量定义为不肯定程度的减小量。
16□先验概率分布和后验概率分布分别表示信源发送消息前后的概率分布。
17□先验概率分布和后验概率分布分别表示收信者收到消息前后的概率分布。
18 □信源输出所有消息的量叫做信源熵。
19□信源输出一个消息所提供的信息量叫做信源熵。
20□信源输出所有消息所提供的总的信息量叫做信源熵。
21口信源输出一个消息所提供的平均信息量叫做信源熵。
22口信源的不肯定度叫做信源熵。
23□离散信源熵不可能为负数。
24□信源如发送错误消息则其输出的熵为负数。
25□二元联合信源的共熵一定小于每个单独信源熵的和。
26□二元联合信源的共熵小于或等于每个单独信源熵的和。
27□二元联合信源的共熵有可能等于每个单独信源熵的和。
28□—个离散信源输出的符号前后无相关性时表示该信源无剩余。
29□—个离散信源输出的符号前后有相关性时其熵将减少。
30□—个离散信源输出的符号前后有相关性时表示该信源有剩余。
31□条件熵永远小于无条件熵。
信息论期末复习
i 1 求出p(ai ) 求出p(a ) 若 p(a ) 0则C就是所求的信道容量，否则重新计算 i i 求出p(a i )
i 1
a) 由p1(b j ) 1 p(ai ) p(/b j i / ai ) i i
n
n
求出p(ai )
22
离散无记忆扩展信道及其信道容量
23
若输入符号的先验概率非等概率分布，则采用最小错误概 率准则可以使平均错误概率达到最小。
译码函数的选择方法：计算信道的联合概率矩阵，F(bj)应该译成 联合概率矩阵第j列概率最大的那个元素对应的信源符号。 平均错误概率的计算方法：按列计算，即把联合概率矩阵每列的 错误概率相加，再对各列相加。
51Leabharlann 诺不等式29按噪声的统计特性
高斯信道 白噪声信道 高斯白噪声信道 有色噪声信道 乘性信道 加性信道
按噪声对信号的作用
30
连续信道与波形信道的信息传输率
基本连续信道的平均互信息
连续信道平均互信息的特性
31
32
连续信道与波形信道的信道容量
单符号高斯加性信道的信道容量
限带高斯白噪声加性波形信道的信道容量
独立并联信道及其信道容量
数据处理定理、信息不增性原理
24
信源与信道的匹配
25
第四章 波形信源与波形信道
连续信源的差熵
26
两种特殊连续信源的差熵
均匀分布
高斯分布
27
差熵的性质
28
具有最大差熵的连续信源
信息论-复习资料(傅祖芸版本)
即：传递信息，消除不确定性。
31
2.2.2 信息熵
对一个信源发出不同消息所含有的信息量也不同。所以 自信息I(ai)是一个随机变量，不能用它来作为整个信源 的信息测度。
信息熵：自信息的数学期望，平均自信息量Hr(X)：
Hr (X ) Elogr
1 p(ai
)
q i 1
p(ai
26
2.2 离散信源的信息熵
基本的离散信源： 输出单符号消息，且这些消息间两两互不相容。用一
维随机变量X来描述信源的输出，其数学模型可抽象为:
X P(x)
a1 P(a1
)
a2 P(a2 )
a3 P(a3 )
... ... ... ...
aq
P(aq )
q
P(ai ) 1
i 1
问题：这样的信源能输出多少信息? 每个消息的出现携带多少信息量?
... ... ... ...
aq P(aq )
▪概率空间能表征离散信源的统计特性，因此也称概率空
间为信源空间。
21
2、随机矢量描述的信源
1）平稳信源
特点:
信源输出的消息由一符号序列所组成。 可用N维随机矢量 X＝(X1,X2,…,XN)描述，且随机矢量 X的各维概率分布都与时间起点无关 。
离散平稳信源：每个随机变量Xi (i＝1,2,…,N)是取值离 散的随机变量。
（下标1-N为时间标志）
N
P(X) P( X1X 2 X N ) P( Xi )
i 1
若各随机变量Xi取值同样符号集A:{a1,a2,…,aq}，则
N
P(x i ) P(ai1ai2 ,..., aiN ) P(aik ), ik (1,2,..., q) k 1
信息论复习
第三章
重点内容： 平均互信息量的定义和计算；几种特殊的单符号离散信道容量 的计算；一般信道的信道容量的计算方法；独立并联信道容量； 信源与信道的匹配。 难点内容： 信道损失、噪声熵和平均信息量的物理意义及其相互关系；一 般离散信道的信道容量的计算(侧重于思路的理解)；信源与信 道匹配的含义。 典型题型: Ø 已知信源的先验概率和信道的转移概率,计算信源熵\信道损 失和平均互信息量; Ø 典型信道的信道容量;
第4-6章 习题讲解
第四章
重点内容： 唯一可译码和即时码的概念；码树和克拉夫特不等式；香农码、 霍夫曼码和费诺码的编码方法。 难点内容： 无失真变长编码定理的理解 典型题型: Ø 已知信源的概率空间,采用霍夫曼编码或费诺编码,并计算平 均码长和编码效率.
第六章
1、熟悉失真函数的几种定义方法，特别是汉明失真；熟悉失 真矩阵的表示方法；能计算单符号的平均失真和信源序列的平 均失真；理解保真度准则； 2、理解信息率失真函数的含义及其性质；能计算r元离散对称 信源、高斯信源的信息率失真函数； 3、理解限失真信源编码定理。 重点内容： 失真函数、失真矩阵和平均失真；信息率失真函数的定义和性 质、几种常见信源的信息率失真函数的计算。 难点内容： 信息率失真函数的定义域以及其它性质；限失真信源编码定理。 典型题型： Ø 计算平均失真； Ø 计算常见信源的信息率失真函数；
《信息论》复习
第二章
1、熟悉单符号离散信源的数学模型； 2、信息的度量和信源熵 （1）掌握自信息量、联合自信息量和条件自信息量的计算和性质； （2）掌握信息熵、信道疑义度、噪声熵和联合熵的计算； 3、掌握信源熵的基本性质和定理。 4、熟悉离散无记忆的扩展信源的描述方式；掌握扩展信源熵的计算方法； 5、离散平稳信源 （1）理解离散平稳信源的数学定义； （2）掌握二维离散平稳信源熵的计算方法； （3）理解离散平稳信源的几个性质，特别是极限熵的定义式和处理方法； 6、马尔可夫信源 （1）理解马尔可夫信源的定义，熟悉数学模型和状态转移图；(课外阅读 随机过程关于” 马尔可夫信源”的介绍) （2）掌握马尔可夫信源熵的计算方法；(总结解题步骤) 7、理解信源的相关性和剩余度。
信息论期末复习
第二章 信源熵一、自信息量1. 定义：一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，简称自信息。
定 义为其发生概率对数的负值。
若随机事件发生i a 的概率为)(i a p ，那么它的自信 息量为：)(log )(2i i a p a I -= （bit ）2. 性质：在事件发生前，)(i a I 表示该事件发生的不确定性。
在事件发生后，)(i a I 表示事件发生所提供的信息量。
二、信源熵1. 定义： 已知单符号离散无记忆信源的数学模型我们定义信源各个离散消息的自信息量的数学期望为信源的平均信息量，一般称为信源的平均信息量： )(log )(])(1[log )]([)( 212i ni i i i a p a p a p E a I E X H ∑=-=== 2. 信源熵与平均自信息量之间的区别两者在数值上是相等的，但含义不同。
信源熵表征信源的平均不确定度，平均自信息量是消除不确定度所需要的信息的度量。
信源一定，不管它是否输出离散消息，只要这些离散消息具有一定的概率特性，必有信源的熵值，该熵值在总体平均的意义上才有意义，因而是一个确定值， 。
在离散信源的情况下，信源熵的值是有限的。
而信息量只有当信源输出离散消息并被接收后，才有意义，这就是给予接收者的信息度量。
3. 最大离散熵定理：信源X 中包含n 个不同离散消息时，信源熵H(X)有： n X H 2log )(≤当且仅当X 中各个消息出现的概率全相等时，上式取等号。
4. 扩展信源的信源熵：N 次扩展信源的信源熵：)()(X NH X H N=)(,),(,),(),( , , , ,,)( 2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n i n i a p a p a p a p a a a a X P X三、平均互信息量 1. 定义：互信息),,2,1;,,2,1()/()()()(log );(2m j n i b a I a I a p b a p b a I j i i i j i j i ==-==在联合概率空间中的统计平均值。
信息论复习
3.平均互信息量和各种熵具有的性质。
4.本章介绍的一个重要定理：
极大熵定理
5.常用的概率关系： 6、离散信源
• 离散无记忆信源及离散无记忆信源的扩展信源 • 离散平稳信源的基本概念 • 离散平稳序列信源的特性 • 有记忆信源的联合熵、条件熵、极限熵、平均符号熵 等
• 了解马尔可夫信源，稳态分布存在定理
对I(xi ；yj)求统计均值，得到平均互信息量
I ( X ; Y ) p( xi y j )I ( xi ; y j )
XY
I (X;Y) = H (X) – H (X︱Y) = H (Y) – H (Y︱X)= H(X)+ H(Y)- H(XY)
(6)在给定yj条件下，xi的条件自信息量为I(xi/yj)，X 集合的条 件熵H（X/yj）
４．本章讨论在不允许失真前提下对信源的编码，分为两种情况， 等长编码和变长编码。等长编码定理和变长编码定理分别给出了这 两种情况，在无失真和码长尽可能短这两个约束条件下的平均码长 的上界和下界。 等长编码定理 记H（X）为单符号信源熵，L为扩展信源输出 序列长度， n 为码字长度， r 为码符号集元素个数，当满足条 件 n H X ，则L →∞时，可使译码差错pe <δ (ε 、δ 为 L log r n H X 无穷小量)；反之，当 时，则不可能实现无差错编 L log r 码。 变长编码定理(Shannon第一定理) 记H（X）为单符号信源熵，L为扩展信源输出的序列长度，n 为信 源每个符号所对应的平均码字数，r为码符号集元素个数，则对信源 进行编码，总可以找到一种惟一可译码，使码长满足
本章介绍了常见的三种变长码的编码方法：香农编码法、Fano编码 法和霍夫曼编码法。对于同一信源的编码，三种方法中，以霍夫曼 编码的编码效率最高。香农编码法没有太多实用价值，但它在证明 变长编码定理时起了重要作用，Fano编码法是遵照变长编码定理 （香农第一定理）的指导思想导出的一种编码方法。 霍夫曼编码步骤：
《信息论》复习资料
《信息论》复习资料信息论导论参考资料第⼀章概论●在认识论层次研究信息时，把只考虑到形式因素的部分称为语法信息，把只考虑到含义因素的部分称为语义信息；把只考虑到效⽤因素的部分称为语⽤信息。
⽬前，信息论中主要研究语法信息●归纳起来，⾹农信息论的研究内容包括： 1) 信息熵、信道容量和信息率失真函数2) ⽆失真信源编码定理、信道编码定理和保真度准则下的信源编码定理 3) 信源编码、信道编码理论与⽅法●⼀般认为，⼀般信息论的研究内容除⾹农信息论的研究内容外，还包括维纳的微弱信号检测理论：包括噪声理论、信号滤波与预测、统计检测与估计理论、调制理论等。
信息科学以信息为研究对象，信息科学以信息运动规律为研究内容，信息运动包括获取、传递、存储、处理和施⽤等环节。
消息、信息、信号●消息是由图像、声⾳、⽂字、数字等符号组成的序列。
●承载消息的载体称为信号●信息是通信系统传输和处理的对象，泛指消息和信号的具体内容和意义. ●三者关系：通信系统传输的是信号，信号承载着消息，消息中的不确定成分是信息。
第⼆章离散信源及离散熵●单符号离散信源的数学模型：1212()()()()n n x x x X P x P x P x P X = ⾃信息量：()log ()i x i I x P x =-，是⽆量纲的，⼀般根据对数的底来定义单位：当对数底为2时，⾃信息量的单位为⽐特(bit,binary unit)；对数底为e 时，其单位为奈特(nat,nature unit)；对数底为10时，其单位为哈特(Hart, Hartley)⾃信息量性质：I(x i )是随机量；I(x i )是⾮负值；I(x i )是P(x i )的单调递减函数。
●单符号离散信源的离散熵：1()[()]()()ni i i i H X E I x P x lbP x ===-∑，单位是⽐特/符号(bit/symbol)。
离散熵的性质和定理：H(X)的⾮负性；H(X)的上凸性；最⼤离散熵定理：()H X lbn ≤(证明)●如果除概率分布相同外，直到N 维的各维联合概率分布也都与时间起点⽆关，即：111111()()()()()()k l k k l l k k k N l l l N P X P X P X X P X X P X X X P X X X ++++-++-===则称该多符号离散信源为N 维离散平稳信源。
信息论复习知识点
信息论复习知识点本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
3、最大熵值为。
4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。
6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。
7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。
8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。
按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。
人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。
信息的可度量性是建立信息论的基础。
统计度量是信息度量最常用的方法。
熵是香农信息论最基本最重要的概念。
事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。
12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。
16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
判断30名词解释4*5计算3道20分第一章1、自信息和互信息P6 公式2、信道P9 概念第二章1、离散平稳信源P18概念2、离散无记忆信源P19概念3、时齐马尔可夫信源P20概念4、自信息P22概念5、信息熵P25概念6、信息熵的基本性质P281)对称性2)确定性3)非负性4)扩展性5)可加性6)强可加性7)递增性8)极值性9)上凸性7、联合熵条件熵P42公式P43例题8、马尔克夫信源P54公式P55例题9、信源剩余度P5810、熵的相对率信源剩余度P5811、课后作业：2、4、13、21、22第三章1、有记忆信道P73概念2、二元对称信道BSC P743、前向概率、后向概率、先验概率、后验概率P764、条件熵信道疑义度、平均互信息P775、平均互信息、联合熵、信道疑义度、噪声熵计算公式P786、损失熵噪声熵 P797、平均互信息的特性P821)非负性2)极值性3)交互性4)凸状性8、信息传输率R P869、无噪无损信道P87概念10、有噪无损信道P88概念11、对称离散信道 P89概念12、对称离散信道的信道容量P90公式张亚威2012/06/20张亚威2012/06/2116、 数据处理定理 P113定理 17、 信道剩余度 P118公式 18、 课后作业：1、 3、 9第五章1、 编码：实质上是对信源的原始符号按一定的数学规则进行的一种变换。
2、 等长码 P172概念3、 等长信源编码定理 P1784、 编码效率 P1805、 克拉夫特不等式 P1846、 香农第一定理 P1917、 码的剩余度 P194第六章1、 最大后验概率准则 最小错误概率准则 P2002、 最大似然译码准则 P2013、 费诺不等式 P2024、 信息传输率（码率） P2055、 香农第二定理 P2156、 课后习题 3、第八章1、 霍夫曼码 最佳码 P2732、 费诺码 P2793、 课后习题 11、第八章1、 编码原则 译码原则 P3072、 定理9.1 P3133、 分组码的码率 P314公式4、 课后习题 3、一、 填空题1、 在现代通信系统中，信源编码主要用于解决信息传输中的 有效性 ，信道编码主要用于解决信息传输中的 可靠性 ，加密编码主要用于解决信息传输中的 安全性 。
2、 采用m 进制编码的码字长度为K i ，码字个数为n ，则克劳夫特不等式为11≤∑=-ni K i m ， 它是判断 唯一可译码存在 的充要条件。
3、 差错控制的基本方式大致可以分为 前向纠错 、 反馈重发 和 混合纠错 。
4、 如果所有码字都配置在二进制码树的叶节点，则该码字为 唯一可译码 。
5、 某离散无记忆信源X ，其符号个数为n ，则当信源符号呈 等概_____分布情况下，信源熵取最大值___log （n ） 。
6、 信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。
7、 信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。
8、 三进制信源的最小熵为0，最大熵为32log bit/符号。
张亚威 2012/06/20根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。
12、 根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。
13、 连续信源的绝对熵为 无穷大。
（或()()lg lim lg p x p x dx +∞-∞∆→∞--∆⎰）14、 离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，编码效率最大可以达到 1 。
15、 无记忆信源是指 信源先后发生的符号彼此统计独立 。
16、 离散无记忆信源在进行无失真变长编码时，码字长度是变化的。
根据信源符号的统计特性，对概率大的符号用 短 码，对概率小的符号用 长 码，这样平均码长就可以降低，从而提高 有效性(传输速率或编码效率) 。
17、 为了提高系统的有效性可以采用 信源编码 ，为了提高系统的可靠性可以采用 信道编码 。
18、 八进制信源的最小熵为 0 ，最大熵为 3bit/符号 。
19、 即时码是指 任一码字都不是其它码字的前缀 。
20、 一个事件发生的概率为0.125，则自信息量为 3bit/符号 。
21、 信源的剩余度主要来自两个方面，一是 信源符号间的相关性 ，二是 信源符号概率分布的不均匀性 。
22、 m 阶马尔可夫信源的记忆长度为 m+1 ，信源可以有 q m 个不同的状态。
23、 同时扔出一对均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为2”所获得的信息量为 lg36=5.17比特，当得知“面朝上点数之和为8”所获得的信息量为 lg36/5=2.85 比特。
二、 判断题1、 信息就是一种消息。
（ ⨯ ）2、 信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。
（ √ ）3、 概率大的事件自信息量大。
（ ⨯ ）4、 互信息量可正、可负亦可为零。
（ √ ）5、 信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。
（ ⨯ ）6、 对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。
（ √ ）7、 非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。
（ ⨯ ）8、 信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。
（ √ ）9、 信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D 的上凸函数. ( ⨯ )三、 名词解析题1. 什么是平均自信息（信息熵）？什么是平均互信息？比较一下两个概念的异同之处。
答：平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息为表示从Y 获得的关于每个X 的平均信息量，也表示发X 前后Y 的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2. 解释最小错误概率译码准则，最大似然译码准则和最小距离译码准则，说明三者的关系。
答：最小错误概率译码准则下，将接收序列译为后验概率最大时所对应的码字。
最大似然译码准则下，将接收序列译为信道传递概率最大时所对应的码字。
最小距离译码准则下，将接收序列译为与其距离最小的码字。
三者关系为：输入为等概率分布时，最大似然译码准则等效于最小错误概率译码准则。
在二元对称无记忆信道中，最小距离译码准则等效于最大似然译码准则。
张亚威2012/06/21最大值为信道容量。
四、 计算题1、 设有一批电阻，按阻值分70%是2k Ω，30%是5k Ω；按功耗分64%是1/8W ，36%是1/4W 。
现已知2kΩ电阻中80%是1/8W ，假如得知5k Ω电阻的功耗为1/4W ，问获得多少信息量。
解：根据题意有⎥⎦⎤⎢⎣⎡===3.07.05221k r k r R ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡===36.064.04/128/11w w W ，8.0)1/1(=r w p 由15/4)2/1()2/1()2()1/1()1()1(=⇒+=r w p r w p r p r w p r p w p 所以15/11)2/1(1)2/2(=-=r w p r w p得知5k Ω电阻的功耗为1/4W ，获得的自信息量为=-))2/2((r w p lb 0.448bit2、 已知6符号离散信源的出现概率为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321321161814121654321a a a a a a ，试计算它的熵、Huffman 编码和费诺编码的码字、平均码长及编码效率。
解：该离散信源的熵为323213232116161881441221)()(61lb lb lb lb lb lb p lb p x H i i i +++++=-=∑= =1.933 bit/符号Huffman 编码为：a 1 0.5 a 2 0.25 a 3 0.125 a 4 0.0625 a 5 0.03125 a 6 0.031250.06250.1250.250.51.01111 00 00 01符号 概率 码字 1 01001 0001 00001 00000平均码长符号码元/933.15*3215*3214*1613*812*411*21=+++++=l 编码效率为%100)(==lx H η张亚威 2012/06/20平均码长符号码元/933.15*325*324*163*82*41*2=+++++=l编码效率为%100)(==lx H η3、 在图片传输中，每帧约有2 106个像素，为了能很好地重现图像，每像素能分256个亮度电平，并假设亮度电平等概分布。
试计算每分钟传送两帧图片所需信道的带宽（信噪功率比为30dB ）。
解：每个像素点对应的熵8256log log 22===n H bit/点2帧图片的信息量bit H N I 7610*2.38*10*2*2**2===单位时间需要的信道容量sbit t I C t /10*3.56010*2.357===4、 由香农信道容量公式HzSNR C W SNR W C t t 4252210*35.5)10001(log 10*3.5)1(log )1(log ≈+=+=⇒+=(10分)设离散无记忆信源的概率空间为120.80.2X x x P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为[]12,Y y y =，信道传输概率如下图所示。
1x 2x 1y 2y(1)计算信源X 中事件1x 包含的自信息量； (2)计算信源X 的信息熵； (3)计算信道疑义度()|H X Y ； (4)计算噪声熵()|H Y X ；(5)计算收到消息Y 后获得的平均互信息量。
解：(1) ()1log0.80.3220.09690.223I x bit hart nat =-===张亚威 2012/06/21联合分布：()2231,,,31520201.4040.9730.423H XY H bit nat hart ⎛⎫= ⎪⎝⎭===符号()()49/60,11/600.6870.4760.207H Y H bit nat hart ====符号 ()()()|0.7170.4970.216H X Y H XY H Y bit nat hart =-===符号(4) ()()()|0.6820.4730.205H Y X H XY H X bit nat hart =-===符号 (5) ()()();|0.005040.003490.00152I X Y H X H X Y bit nat hart =-===符号符号符号5、 已知信源12345S P 0.250.20.20.20.15s s s s s ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（4分） （2）计算平均码长—L ；（4分） （3）计算编码信息率R '；（4分）（4）计算编码后信息传输率R ；（2分） （5）计算编码效率η。