高三数学总复习知能达标训练第三章

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高中数学第3章3.2.3知能优化训练湘教选修1-1

知能优化训练[学生用书 P 33]1．(2011年安丘高二检测)下列求导运算正确的是( )A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x·log a eD ．(x 2·cos x )′＝－2x sin x解析：选B.A 错误，因为(x ＋1x )′＝(x )′＋(1x )′＝1－1x2；B 正确；C 错误，因为(3x )′＝3xln3；D 错误，因为(x 2·cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2．(2011年高考重庆卷)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x解析：选A.y ′＝－3x 2＋6x ，当x ＝1时，切线的斜率k ＝－3×12＋6×1＝3，故切线方程为y －2＝3(x －1)，即y ＝3x －1，故选A.3．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．－sin x x2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos xx 2D ．－x cos x ＋cos xx 2解析：选C.y ′＝(cos x x )′＝cos x ′x －x ′cos xx 2＝－x sin x －cos x x 2.4．y ＝2cos x ＋13sin x －3x 2，则y ′＝________.解析：y ′＝(2cos x ＋13sin x －3x 2)′＝(2cos x )′＋(13sin x )′－(3x 2)′＝－2sin x ＋13cos x－23x －13. 答案：13cos x －2sin x －233x一、选择题1．(2011年高考山东卷)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C.y ′＝3x 2，所以过P (1,12)的切线的斜率k ＝3，切线方程为3x －y ＋9＝0，故其与y 轴交点为(0,9)，故选C.2．对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3，∴f (x )＝x 4＋c (c 为常数)， ∵f (1)＝1＋c ＝－1， ∴c ＝－2，∴f (x )＝x 4－2. 3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋32B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋32D.3x 2＋6x x ＋32解析：选A.y ′＝(x 2x ＋3)′＝x 2′x ＋3－x 2·x ＋3′x ＋32＝2x x ＋3－x 2x ＋32＝x 2＋6x x ＋32.4．(2011年高考湖南卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12C ．－22D.22解析：选B.y ′＝cos 2x ＋sin 2x sin x ＋cos x 2＝11＋sin 2x ，故切线斜率k ＝y ′|x ＝π4＝12，选B.5．设曲线y ＝x n ＋1－2(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2011x 1＋log 2011x 2＋…＋log 2011x 2010的值为( ) A ．－log 20112010 B ．－1 C ．log 20112010－1 D ．1解析：选B.由y ＝x n ＋1，得y ′＝(n ＋1)x n，则在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)·(x －1)，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴log 2011x 1＋log 2011x 2＋…＋log 2011x 2010＝log 2011(x 1·x 2·…·x 2010)＝log 2011(12×23×34×…×20102011)＝log 201112011＝－1，故选B.6．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题7．令f (x )＝x 2·e x，则f ′(x )等于________．解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x)′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)．答案：e x (2x ＋x 2)8．一物体的运动方程是s (t )＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s ′(t )＝－1t 2，∴s ′(3)＝－132＝－19.答案：－199．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， f ′(0)＝－b ＝1得b ＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －1 三、解答题10．求下列函数的导数． (1)y ＝sin 4x4＋cos 4x4；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)；(3)y ＝－sin x2(1－2cos 2x4)．解：(1)∵y ＝sin 4x4＋cos 4x4＝(sin 2x4＋cos 2x4)2－2sin 2x4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .(2)∵y ＝x ·1x －x ＋1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x (1＋1x )．(3)∵y ＝－sin x2(1－2cos 2x4)＝－sin x 2[1－(1＋cos x2)] ＝sin x 2·cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝12cos x .11．设f (x )＝a ·e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ·e x＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ·e x＋b x，根据题意应有⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a e ＋b ＝e f ′－1＝a e －b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.12．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )、f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得： x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0 要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。

2021年高考数学第三章第4课时简单的三角恒等变换知能演练轻松闯关新人教A版

2021年高考数学第三章第4课时简单的三角恒等变换知能演练轻松闯关新人教A 版1.sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A ．2B ．22C ． 2D ．12解析：选D ．sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.2．若sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝( ) A ．225B ．－225C ．425D ．－425解析：选A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos α·sin π4－22cosα＝45×22＝225. 3．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A ．π4B ．3π4C ．π3D ．π6解析：选A．tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－tan B＋tan C1－tan Btan C＝－－2＋131－（－2）×13＝1.故A＝π4.4.sin（180°＋2α）1＋cos 2α·cos2αcos（90°＋α）等于( )A．－sin αB．－cos αC．sin αD．cos α解析：选D．原式＝（－sin 2α）·cos2α（1＋cos 2α）·（－sin α）＝2sin α·cos α·cos2α2cos2α·sin α＝cos α.5．(xx·浙江杭州调研)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2＜α＜0，则2sin2α＋sin 2αcos（α－π4）＝( )A．－255B．－3510C．－31010D．255解析：选A．由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－10 10.6．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2＜cos α2，则cos α2＝________．解析：∵α是第二象限角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2＜cos α2，∴α2为第三象限角，∴cos α2＜0.∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－557．若sin x ＋cos x sin x －cos x＝3，tan(x －y )＝2，则tan(y －2x )＝________．解析：由sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，得tan x ＋1tan x －1＝3，即tan x ＝2.则tan(y －x )＝－tan(x －y )＝－2，∴tan(y －2x )＝tan （y －x ）－tan x 1＋tan （y －x ）tan x ＝－2－21－4＝43.答案：438.2cos 5°－sin 25°sin 65°的值为________．解析：2cos 5°－sin 25°sin 65°＝2co s 5°－sin（30°－5°）sin 65°＝2cos 5°－12cos 5°＋32sin 5°cos 25°＝32sin 5°＋32cos 5°cos 25°＝3（sin 30°sin 5°＋cos 30°cos 5°）cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝ 3.答案：39．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈(0，π2)，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.∵α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.10．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.解：原式＝2cos210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos25°－sin25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin（30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.[能力提升]1．tan 70°·cos 10°(3t an 20°－1)等于( ) A．1 B．2C．－1 D．－2＝sin 70°cos 70°·cos 10°(3·sin 20°cos 20°－1)＝cos 20°cos 10°sin 20°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 10°·2sin（20°－30°）sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1.2．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －b C ．若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解析：选D ．依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝________．解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，即2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22（sin α＋cos α）（sin α＋cos α）2＋（－sin 2α＋cos 2α）＝268. 答案：2684．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________．解析：∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝1 2，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2.∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1－cos2（α－β）＝－7 4 .∴tan(α－β)＝sin（α－β）cos（α－β）＝－73.答案：－7 35．已知函数f(x)＝1－2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4cos x.(1)求函数f(x)的定义域；(2)设α是第四象限角，且tan α＝－43，求f(α)的值．解：(1)函数f (x )要有意义，需满足cos x ≠0，解得x ≠π2＋kπ，k ∈Z ，即f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π2＋kπ，k ∈Z . (2)∵f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2xcos x＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )，由tan α＝－43得sin α＝－43cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝925.∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－45，∴f (α)＝2(cos α－sin α)＝145. 6．(选做题)已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值；(2)求β的值．解：(1)∵tanα2＝12， ∴tan α＝2tanα21－tan 2 α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，由⎩⎨⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45(sin α＝－45舍去)．(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，又0＜α＜π2＜β＜π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2（β－α）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝7210，于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22.精品文档实用文档又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.28397 6EED 滭35625 8B29 謩d 20529 5031 倱39921 9BF1 鯱j,39113 98C9 飉4634732 87AC 螬36796 8FBC 込uD。

高中数学第3章3.1.3知能优化训练苏教版必修4

1.tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°＝__________.解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3.答案： 32．tan75°＋tan15°＝__________.解析：tan75°＋tan15°＝tan(45°＋30°)＋tan(45°－30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＋tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1＋331－1×33＋1－331＋1×33＝(2＋3)＋(2－3)＝4.答案：43.1－tan15°1＋tan15°的值为__________．解析：原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.答案：334．tan18°＋tan42°＋3tan18°tan42°＝__________.解析：tan60°＝tan(18°＋42°)＝tan18°＋tan42°1－tan18°tan42°，所以tan18°＋tan42°＝tan60°(1－tan18°tan42°)，tan18°＋tan42°＋3tan18°tan42°＝tan60°(1－tan18°tan42°)＋3tan18°tan42°＝ 3.答案： 3一、填空题1．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于__________．解析：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴4＝21－x，x＝12.答案：122．在△ABC中，tan A＋tan B＋3＝3tan A tan B，则C等于__________．解析：A＋B＋C＝π，tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B＝3tan A tan B－11－tan A tan B＝－3，∴tan C ＝3，C＝π3.答案：π33．化简tanα＋β－tanα－tanβtanαtanα＋β的结果为__________．解析：原式＝tan α＋β－tan α＋tan βtan α·tan α＋β ＝tan α＋β－1－tan αtan β·tan α＋βtan α·tan α＋β＝tan β. 答案：tan β4．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是__________．解析：∵α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝25－141＋25×14＝3202220＝322. 答案：3225．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且β∈(0，π)，则β的值为__________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4. 答案：π46．若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos(A ＋B )＝________.解析：由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝k π＋34π，k ∈Z ，所以cos(A ＋B )＝±22. 答案：±227．已知tan(α＋β)＝13，tan β＝14，则tan α的值应是________．解析：tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋βtan β＝13－141＋13×14＝113. 答案：1138．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为__________．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝2，得tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12×13＋1＝23. 答案：23二、解答题9．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α，tan2β.解：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan α＋β＋tan α－β1－tan α＋βtan α－β＝3＋51－3×5＝－47， tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tan α＋β－tan α－β1＋tan α＋βtan α－β＝3－51＋3×5＝－18. 10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β的值．解：由题意，有⎩⎨⎧ tan α＋tan β＝－33tan αtan β＝4，tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β∈(－π，0)．又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. 在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3，所以α＋β＝－2π3. 11．已知tan A 与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－A ＋π4是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的解，若3tan A ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ，求p 和q 的值．解：设t ＝tan A ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝1－tan A 1＋tan A ＝1－t 1＋t，由3tan A ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ，得3t ＝21－t 1＋t ，解得t ＝13或t ＝－2. 当t ＝13时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝1－t 1＋t ＝12， p ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan A ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝－56， q ＝tan A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝13×12＝16；当t ＝－2时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝1－t 1＋t＝－3，p ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan A ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝5， q ＝tan A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝6. 所以p ，q 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝－56，q ＝16或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝5，q ＝6.。

高中数学第3章3.2.1知能优化训练新人教A版选修12

1．已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( )A ．0B ．6iC ．6D ．6－6i解析：选D.z ＝(3－3i)－(3i －3)＝6－6i.2．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i解析：选C.OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是5－4i ＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i ＝0.3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由z ＝z 2－z 1＝1＋2i －(2＋i)＝(1－2)＋(2－1)i ＝－1＋i ，因此，复数z ＝z 2－z 1对应的点为(－1,1)，在第二象限．4．若OA →、OB →对应的复数分别为7＋i 、3－2i ，则|AB →|＝______.解析：AB →对应的复数为3－2i －(7＋i)＝－4－3i ，∴|AB →|＝－42＋－32＝5.答案：5一、选择题1．已知复数z 1＝1＋7i ，z 2＝－2－4i ，则z 1＋z 2等于( )A ．－1＋3iB ．－1＋11iC ．3＋3iD ．3＋11i解析：选A.原式＝(1－2)＋(7－4)i ＝－1＋3i.2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数，∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，z ＝3i.3．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，若z 1＋z 2为纯虚数，则有( )A ．a －c ＝0且b －d ≠0B ．a －c ＝0且b ＋d ≠0C ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0D ．a ＋c ≠0且b ＋d ＝0解析：选C.∵z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 为纯虚数，∴a ＋c ＝0，b ＋d ≠0.4．|(3＋2i)－(1＋i)|表示( )A ．点(3,2)与点(1,1)之间的距离B ．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离C ．点(3,2)到原点的距离D ．以上都不对解析：选A.由减法的几何意义可知．5．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )A ．－1B ．3C.12 D ．－1或3 解析：选C.z ＝(2m 2＋m －1)＋(－m 2＋2m ＋3)i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －1＝0，－m 2＋2m ＋3≠0，解得m ＝12(m ＝－1不合题意，舍去)． 6．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝x －22＋y －22表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.二、填空题7．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________．解析：AB →表示OB →－OA →对应的复数，由－2－5i －(4＋3i)＝－6－8i ，知AB →对应的复数是－6－8i.答案：－6－8i8．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则z 1＝________.解析：两式相加得2z 1＝8＋2i ，∴z 1＝4＋i.答案：4＋i9．计算(－1＋2i)＋(i ＋i 2)－|1＋2i|＝________.解析：原式＝－1＋2i ＋i －1－5＝－2－5＋3i.答案：－2－5＋3i三、解答题10．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2008＋2009i)＋(2009－2010i)．解：原式＝(1－2＋3－4＋…－2008＋2009)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2009－2010)i ＝(2009－1004)＋(1004－2010)i＝1005－1006i.11．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i.(1)求z 1－z 2；(2)在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．解：(1)由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i ；(2)在复平面内作复数z 1－z 2所对应的向量，如图中所示OZ →.12．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i.∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，于是|z |＝2－|z |2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2.∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i.。

高中数学第3章3.3.2第2课时知能优化训练新人教B版选修11

1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( )A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值解析：选D.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．解析：由y ′＝12x 2－16x ＝0，得x ＝0或x ＝43. 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝43时，y ＝－12827；当x ＝－2时，y ＝－64；当x ＝2时，y ＝0.比较可知y max ＝0，y min ＝－64.答案：－64 04．已知函数f (x )＝13x 3－4x . (1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) ↗ 163 ↘ －163↗ 从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为3；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－163. (2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＝3， f (4)＝13×43－4×4＝163，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是163，最小值是－163.一、选择题1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4，∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0，故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：选C.f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.3．函数y ＝ln x x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．eC ．e 2 D.103解析：选A.令y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x2＝0. 解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e. 4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1解析：选C.因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π，故选C.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3，－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32 B.12C ．－12 D.12或－32解析：选C.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．二、填空题7．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上有最小值是________．解析：f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－1(舍去)，比较f (0)，f (2)，f (3)可得函数的最小值为f (2)＝－15.答案：－158．函数y ＝x e x 的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e. 答案：－1e9．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2. 由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]三、解答题10．试求f (x )＝(x 2－3)e x 的最值．解：函数的定义域为R ，且f ′(x )＝e x (x 2＋2x －3)令f ′(x )＞0，得x ＞1或x ＜－3；令f ′(x )＜0得－3＜x ＜1.所以函数f (x )在(－∞ ，－3)和(1，＋∞)上递增，在(－3,1)上递减，因此函数f (x )在x ＝－3处取得极大值，极大值为f (－3)＝6e －3，在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝－2e.又由f (x )＞0，得x ＞3或x ＜－3；由f (x )＜0，得－3＜x ＜3，所以函数的大致图象如图．从函数图象可知函数f (x )的最小值就是函数的极小值f (1)＝－2e ，而函数无最大值．11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求：(1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )在x ＝2处有极值，∴f ′(2)＝0.∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∴3×4＋4a ＝0，∴a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) －2 ↗ 2 ↘ －2 ↗ 2 从上表可知f (x )在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值．解：(1)令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤32x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)．∵x ≥1，∴a ＝3时亦符合题意，∴a ≤3.(2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0，即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9.又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.。

高中数学第3章3.3.2知能优化训练湘教版选修11

[学生用书 P 33]1．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( ) A ．必有f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 答案：A2．下列函数存在极值的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 3解析：选B.A 中f ′(x )＝－1x2，令f ′(x )＝0无解，且f (x )为双曲线．∴A 中函数无极值．B中f ′(x )＝1－e x，令f ′(x )＝0可得x ＝0.当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时， f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1.C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y ＝f (x )无极值．D 也无极值．故选B.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如题图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．解析：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，取得极大值a ＋4 2. 答案：a ＋4 2一、选择题1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．故选B.2．函数f (x )＝x ＋1x在x ＞0时有( )A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在解析：选A.令f ′(x )＝1－1x2＝0，得x ＝±1，∵x ＞0，∴x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴在x ＞0时，函数f (x )有极小值．3．下列四个函数：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝|x |；④y ＝2x.在x ＝0处取得极小值的函数是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③解析：选B.作出函数的大致图象，由图象可分析出结论；也可以用排除法，因为①④是单调函数，无极值，即可排除A 、C 、D ，故应选B.4．函数f (x )的定义在区间[a ，b ]上，其导函数的图象如图所示，则在[a ，b ]上函数f (x )的极值点个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．7解析：选C.图象与x 轴有6个交点，即使得导数值为0的点有6个，故函数有6个极值点．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析：选A .y ′＝e x ＋a ，令y ′＝0得e x＝－a ，即x ＝ln(－a )＞0，所以a ＜－1.6．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )＞0，则下列结论中正确的为( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点解析：选D.由题意，得x ＞－1，f ′(x )＞0或x ＜－1，f ′(x )＜0，但函数f (x )在x ＝－1处未必连续，即x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点，故选D. 二、填空题7．函数y ＝x ·2x取极小值时x 等于________．解析：y ′＝2x ＋x ·2x ln2＝2x(1＋x ·ln2)＝0.∴x ＝－1ln2.当x ＞－1ln2时，f ′(x )＞0，函数递增；当x ＜－1ln2时，f ′(x )＜0，函数递减．∴函数在x ＝－1ln2时取得极小值．答案：－1ln28．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：x ＝2是f (x )的极大值点，∵f (x )＝x (x 2－2cx ＋c 2)∴f ′(x )＝x (2x －2c )＋x 2－2cx ＋c 2＝3x 2－4cx ＋c 2，∴f ′(2)＝c 2－8c ＋12＝0.∴c ＝2或c ＝6.当c ＝2时，f (x )在x ＝2处只能取极小值．不能取极大值，∴c ＝6. 答案：69．当a 为________时，函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)没有极值点．解析：由已知可得f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1]，若函数不存在极值点，则在方程f ′(x )＝0即x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0中，有Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a ≤0，解之得0≤a ≤4. 答案：0≤a ≤4 三、解答题10．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝ln xx.解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x －9.解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.当x且极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln x x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx2，令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x 单调递增单调递减故当x ＝e 时函数取得极大值，且极大值为f (e)＝e.11．如果函数f (x )＝ax 5－bx 3＋c (a ≠0)在x ＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a ，b ，c 的值．解：f ′(x )＝5ax 4－3bx 2.令f ′(x )＝0，即5ax 4－3bx 2＝0，x 2(5ax 2－3b )＝0.∵x ＝±1是极值点，∴5a (±1)2－3b ＝0.又x 2＝0，∴可疑点为x ＝0，x ＝±1.若a >0，f ′(x )＝5ax 2(x 2－1)．由上表可知，当x ＝－1时，f (x )有极大值；当x ＝1时，f (x )有极小值． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋c ＝4a －b ＋c ＝05a ＝3b⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2b ＝a ＋2b ＝53a⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＝3，b ＝5若a <0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2.12．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解：∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋2m 3＋2m 3－4＝－2，∴m ＝1.。

高中数学第3章3.1.3知能优化训练新人教B版必修4

1．与1－tan21°1＋tan21°相等的是( )A ．tan66°B ．tan24°C ．tan42° D．tan21°解析：选B.原式＝tan45°－tan21°1＋tan45°tan21°＝tan(45°－21°)＝tan24°.2．已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )A.1318B.1322C.322D.318解析：选C.tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝25－141＋25×14＝322.3．tan10°tan20°＋3(tan10°＋tan20°)等于( ) A.13B ．1C. 3D. 6解析：选 B.原式＝tan10°tan20°＋3(1－tan10°tan20°)·tan(10°＋20°)＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.4.sin15°－cos15°sin15°＋cos15°＝______. 解析：sin15°－cos15°sin15°＋cos15°＝tan15°－1tan15°＋1＝ta n15°－tan45°1＋tan15°tan45°＝tan(15°－45°)＝tan(－30°)＝－33. 答案：－33一、选择题1．已知sin α＝12，α是第二象限的角，且 tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( )A ．－ 3B. 3C ．－33D.33 解析：选C.∵sin α＝12，α为第二象限的角，∴cos α＝－32，∴tan α＝－33. ∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝－3－⎝⎛⎭⎪⎫－331＋－3×⎝⎛⎭⎪⎫－33＝－2332＝－33.2．若tan28°·tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝( )A.3mB.3(1－m)C.3(m－1)D.3(m＋1)解析：选B.tan(28°＋32°)＝tan60°＝tan28°＋tan32°1－tan28°tan32°＝tan28°＋tan32°1－m＝3，∴tan28°＋tan32°＝3(1－m)．3.tan105°－31＋3·tan105°的值为( )A．－1 B．1C．－ 3 D.33解析：选B.原式＝tan105°－tan60°1＋tan60°tan105°＝tan(105°－60°)＝tan45°＝1.4．锐角△ABC中，tan A·tan B的值( )A．不小于1 B．小于1C．等于1 D．大于1解析：选D.由于△ABC为锐角三角形，∴tan A、tan B、tan C均为正数．∴tan C＞0，∴tan[180°－(A＋B)]＞0，∴tan(A＋B)＜0，即tan A＋tan B1－tan A tan B＜0，而tan A＞0，tan B＞0，∴1－tan A tan B＜0，即tan A tan B＞1.5．已知α＋β＝34π，则(1－tanα)(1－tanβ)＝( )A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选A.－1＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ.∴tanα＋tanβ＝－1＋tanα·tanβ.∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2.6．如图，由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ等于( )A.π4B.π2C.3π4D．π解析：选B.易知tan α＝13，tan β＝12.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，由题意α＋β＝π4，∴α＋β＋γ＝π2. 二、填空题7．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝________.解析：由题意得2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z∴4k π＋2π＜2α＜4k π＋3π，∴sin2α＞0，∴sin2α＝1－cos 22α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4·tan2α＝1－431－－43＝－1373＝－17.答案：－178．(2011年济宁高一检测)若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________. 解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan α·tan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan α·tan β－1⇒tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－1.即tan(α＋β)＝－1∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z .答案：k π－π4，k ∈Z9．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，那么sin α＋βsin π2＋α＋β＝________.解析：由已知得，tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3，原式＝sin α＋βcos α＋β＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝34.答案：34三、解答题10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，求： (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；(2)tan(α＋β)．解：(1)tan(α＋β－π4)＝tan[⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3]＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2·22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－π4)＋π4]＝tan α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·ta n π4＝－2＋11－－2×1＝22－3.11．证明：sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明：左边＝sin 2α＋β－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋α＋β－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋βcos α－cos α＋βsin αsin α＝sin α＋β－αsin α＝sin βsin α＝右边，∴命题成立．12．是否存在锐角α和β，使得下列两式(1)α＋2β＝23π；(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立．解：假设存在符合题意的锐角α和β，由(1)知：α2＋β＝π3，∴tan(α2＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3.由(2)知tan α2tan β＝2－3，∴tan α2＋tan β＝3－3，∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根，得x 1＝1，x 2＝2－ 3. ∵0＜α＜π2，0＜tan α2＜1，∴tan α2≠1，∴tan α2＝2－3，tan β＝1. 又∵0＜β＜π2，∴β＝π4代入(1)得α＝π6，∴存在锐角α＝π6，β＝π4，使(1)(2)同时成立．。

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【优化方案】2013年高考数学总复习第三章第1课时知能演练+轻松闯关文 1．(2012·朝阳调研)若<α0，sin α<0，数形结合． 2．若α是第三象限角，则y＝＋的值为( ) A．0 B．2 C．－2 D．2或－2 解析：选A.α是第三象限角，是第二或第四象限角．当为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0；当为第四象限角时，y＝－1＋1＝0.y＝0. 3．(2011·高考江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________. 解析：因为sin θ＝＝－，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8. 答案：－8 4．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t[0,60]．解析：经过t(s)秒针转了弧度，＝5·sin，d＝10sin. 答案：10sin 5．(2012·广州调研)若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．解析：由－<α<，－<－β<，α<β可得α－β(－π，0)．答案：(－π，0) 一、选择题 1．下列各角中，角的终边过点P(－，1)的是( ) A．－ B. C. D. 答案：C 2．已知cosθ·tanθ<0，那么角θ是( ) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角解析：选C.法一：cosθ·tanθ＝sinθ<0，cosθ≠0， θ为第三或第四象限角，故选C. 法二：由cosθ·tanθ0. ∴＝，m＝±. m>0，m＝. 5. 如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为( ) 解析：选C.如图，取AP的中点为D，设DOA＝θ，则d＝2Rsinθ＝2sinθ，l＝2θR＝2θ， d＝2sin，故选C. 二、填空题 6．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是________．解析：当α、β的终边重合时， β＝α＋k·2π，kZ. 当α、β的终边互为反向延长线时， β＝π＋α＋k·2π＝α＋(2k＋1)π，kZ. 综上，β＝α＋kπ，kZ. 答案：β＝α＋kπ，kZ 7．已知角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)上，则－＝________. 解析：因为角α的终边落在直线y＝－3x(x0，cosα<0，故－＝－＝1＋1＝2. 答案：2 8. 如图所示，已知x轴上一点A(1，0)按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ角(0<θ≤π)，经过2秒钟点A在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角θ的弧度数为________．解析：根据题意，角θ满足0<θ≤π，2θ的终边在第三象限，14θ的终边与OA重合． 2kπ＋π<2θ<2kπ＋，kZ,14θ＝2nπ，nZ，由和可知，θ(，)，代入，有<<，得4≤n≤5， n＝4或5，θ＝或. 答案：或三、解答题 9．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ的值．解：θ的终边过点(x，－1)(x≠0)， tanθ＝－，又tanθ＝－x， x2＝1，x＝±1. 当x＝1时，sinθ＝－，cosθ＝；当x＝－1时，sinθ＝－，cosθ＝－. 10．已知α＝. (1)写出所有与α终边相同的角； (2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角； (3)若角β与α终边相同，则是第几象限的角？解：(1)所有与α终边相同的角可表示为 {θ|θ＝2kπ＋，kZ}． (2)由(1)，令－4π<2kπ＋<2π(kZ)，则有－2－<k<1－. 又k∈Z，取k＝－2，－1,0. 故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－、－、. (3)由(1)有β＝2kπ＋(kZ)，则＝kπ＋(kZ)．是第一、三象限的角． 11．(探究选做)(1)确定的符号； (2)已知α(0，π)，且sinα＋cosα＝m(0<m0，tan5<0，cos80. (2)若0<αOP＝1. 若α＝，则sinα＋cosα＝1. 由已知0<m0. 高考学习网：高考学习网：。

【优化方案】2020高中数学第3章34知能优化训练苏教版必修3

1．从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么以下事件中互斥而不对峙的是________．①起码有 1 个白球，都是白球；②起码有 1 个白球，起码有 1 个红球；③恰有 1 个白球，恰有 2 个白球； ④起码有 1 个白球，都是红球．分析：恰有 1 个白球，是指一白一红，它们对峙面是2 个白球或2 个红球．答案：③ 2．假如事件 A 、B 互斥，记 A 、 B 分别为事件 A 、B 的对峙事件，那么以下命题正确的是________．① ＋ B 是必定事件② A ＋B 是必定事件A③ A 与 B 必定互斥 ④ A 与 B 必定不互斥分析：用 Venn 图解决此类问题较为直观，如右图所示，A ＋B 是必然事件．答案：②3．某篮球运动员投篮命中率为0.85 ，则其投篮不中的概率是________．分析：该篮球运动员投篮命中与未命中恰巧为两个对峙事件，故可用P (A )＋P (B )＝1 求之， “设投篮命中”为事件 A ，则P ( A ) ＝0.85 ，则“未命中”为事件B ，因为P ( A )＋P ( B )＝ 1，因此 P ( B ) ＝ 1－ P ( A ) ＝ 0.15.因此该运动员投篮未中的概率为0.15.答案： 0.154．某产品分甲、乙、丙三级，此中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为 0.03 ，出现丙级品的概率为 0.01 ，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为 ________．分析：记事件 A ＝ { 甲级品 } ，B ＝ { 乙级品 } ， C ＝ { 丙级品 } ，事件 A 、 B 、 C 相互互斥，且A 与 (B ＋C ) 是对峙事件，因此 P ( A ) ＝ 1－P ( B ＋ C ) ＝ 1－ P ( B ) － P ( C ) ＝1－ 0.03 － 0.01 ＝ 0.96.答案： 0.96一、填空题 1．从一批产品中拿出三件产品，设A 为“三件产品都是正品”， B为“三件产品都是次品”， C 为“三件产品不都是次品”，此中互斥的两个事件是________________________________________________________________________ ．分析： C 包含 A ，因此 A 与 B 、 B 与 C 互斥．答案： A 与 B ，B 与 C 2． (2020 年苏州高一检测 ) 同时掷 3 枚硬币，那么下边两个事件中是对峙事件的是 ________．(1) 起码有 1 个正面和最多有 1 个正面；(2) 最多 1 个正面和恰巧 2 个正面；(3) 不多于 1 个正面和起码有 2 个正面；(4) 起码有 2 个正面和恰巧有 1 个正面．分析： (1) 不互斥， (2) 互斥但不对峙， (4) 互斥但不对峙．答案： (3)3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 40%，甲不输的概率为 90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为 ________．分析：设 A ＝ { 甲获胜 } ，B ＝ { 甲不输 } ， C ＝{ 甲、乙和棋 } ，则 A 、 C 互斥，且 B ＝A ＋ C ，因此 P ( B )＝P ( A ＋C )＝P ( A ) ＋P ( C ) ，即 P ( C ) ＝P ( B ) －P ( A ) ＝50%.答案： 50%4．以下四种说法：①对峙事件必定是互斥事件；②若，为两个事件，则 (＋)＝() ＋ ( ) ；ABP A B P AP B③若事件 A ， B ， C 相互互斥，则 P ( A ) ＋P ( B ) ＋P ( C ) ＝1； ④若事件 A ， B 知足 P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 1，则 A ， B 是对峙事件．此中错误的个数为 ________．分析：②中 A ， B 为互斥事件，才有 P ( A ＋B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ，③ P ( A ) ＋P ( B ) ＋P ( C ) 未必等于 1；④可能，毫没关系，∴②③④均错．A B答案： 35．同时投掷两枚骰子，没有 5 点或 6 点的概率为 45 点或6 点的概率是 9，则起码有一个 ________．分析：记“没有 5点或 6 点”的事件为，则 ( ) ＝ 4，“起码有一个 5点或 6点”的A P A 9事件为 .因 ∩＝?，＋ B 为必定事件，因此 A 与 B 是对峙事件，BA BA4 5则 P ( B ) ＝1－P (A ) ＝ 1－＝ .9 95故起码有一个 5 点或 6 点的概率为 9.5 答案： 96．某射手在一次射击中，射中 10 环、 9 环、 8 环的概率分别为 0.2 、0.3 、 0.1 ，则此射手在一次射击中不超出 8 环的概率为 ________．分析： P ＝ 1－ (0.2 ＋ 0.3) ＝ 0.5. 答案： 0.5 7．从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲竞赛，所选 3 人中起码有 1 名女生的概率为 4，那么所选 3 人中都是男生的概率为 ________． 5分析：设＝ {3 人中起码有 1 名女生 } ，＝ {3 人都为男生 } ，则A 与B 为对峙事件，所AB1以 P ( B ) ＝1－P ( A ) ＝ . 51答案：58. 如下图，靶子由一此中心圆面Ⅰ和两个齐心圆环Ⅱ、Ⅲ组成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 的概率分别为 0.35 、 0.30 、0.25 ，则不中靶的概率是________．分析：“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件，“不中靶”为事件，则、、C 互斥，故射手中靶的概率为C D A BP ( A ＋B ＋C ) ＝ P ( A ) ＋P ( B )＋P ( C )＝ 0.35 ＋ 0.30 ＋ 0.25＝ 0.90.因为中靶和不中靶是对峙事件，故不中靶的概率为 P ( D ) ＝1－ P ( A ＋B ＋ C )＝ 1－ 0.90 ＝ 0.10. 答案： 0.109．我国已经正式加入WTO ，包含汽车在内的入口商品将最多在 5 年内把关税所有降低到世贸组织所要求的水平，此中有 21%的入口商品恰巧 5 年关税达到要求， 18%的入口商品恰巧 4年关税达到要求，其他的入口商品将在 3 年或 3 年内关税达到要求，求入口商品在不超出 4 年的时间内关税达到要求的概率是________．分析：记“入口商品在不超出 4 年的时间内关税达到要求”为事件M，其对峙事件N为“入口商品恰巧 5 年关税达到要求”，因此P( M)＝1－ P( N)＝1－0.21＝0.79，即入口商品在不超出 4 年的时间内关税达到要求的概率是0.79.答案： 0.79二、解答题10．某县城有甲、乙两种报纸供居民定阅，记事件 A 为“只订甲报”，事件B为“起码订一种报”，事件 C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断以下事件是否是互斥事件？假如是，再判断它们是否是对峙事件．(1)A与 C；(2) B与 E；(3) B与 D；(4)B与 C；(5) C与 E.解： (1) 因为事件“至多订一种报”可能只订甲报，即事件 A 与事件 C 有可能同时发C生，故 A 与 C不是互斥事件．(2) 事件B“起码订一种报”与事件E“一种报也不订”是不行能同时发生的，故事件 B 与事件 E 是互斥事件，因为事件B发生可致使事件 E 必不发生，且事件 E 发生会致使事件 B 必定不发生，故事件 B 与事件E是对峙事件．(3)事件 B“起码订一种报”中有这些可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”．事件D“不订甲报”中包含“只订乙报”，因此事件 B 和D可能同时发生，故B与 D不是互斥事件．(4)事件 B“起码订一种报”中有这些可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”．事件 C“至多订一种报”中有这些可能：“甲、乙两种报都不订”，“只订甲报”，“只订乙报”，因为这两个事件可能同时发生，故B与 C不是互斥事件．(5) 由 (4) 的剖析可知，事件E“一种报也不订”只是是事件C的一种可能，事件C与事件 E 可能同时发生，故事件C与 E 不是互斥事件．11．同时投掷两枚质地平均的骰子( 各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，计算：(1)向上的数同样的概率；(2)向上的数之积为偶数的概率．解： (1) 每掷一枚骰子都有 6 种状况，因此同时掷两枚骰子总的结果数为6×6＝6 136( 种 ) ．向上的数同样的结果有 6 种，故其概率为P( A)＝36＝6.(2)向上的数之积为偶数的状况比许多，能够先考虑其对峙事件，即向上的数之积为奇数．向上的数之积为奇数的基本领件有(1,1) ，(1,3) ，(1,5) ，(3,1) ，(3,3) ，(3,5) ，(5,1) ，(5,3) ， (5,5) 共 9 个，故向上的数之积为奇数的概率为( ) ＝9 ＝ 1 .依据对峙事件的性质P B 36 41 3知，向上的数之积为偶数的概率为P( B )＝1－P( B)＝1－4＝4.12．在数学考试中，小明的成绩在 90 分以上的概率是0.18 ，在 80～ 90 分的概率是0.51 ，在 70～ 79 分的概率是 0.15 ，在60～ 69 分的概率是 0.09 ，计算小明在数学考试中获得80 分以上成绩的概率和小明考试及格( 许多于 60 分 ) 的概率．解：依据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，记B＝“考试成绩在 90 分以上”，＝“考试成绩在 80～ 90 分”，＝“考试成绩在70～ 79 分”，＝“考C D E试成绩在 60～ 69 分”．记事件 A＝“考试成绩在80 分以上”，因为事件、为互斥事件．B C由互斥事件的概率加法公式可知，()＝(＋)＝()＋()PA PBC P B P C＝0.18 ＋ 0.51 ＝0.69.记事件 F＝“小明考试及格”．因为 B、 C、 D、E 两两互斥，由互斥事件的概率加法公式应有P( F)＝P( B＋ C＋D＋ E)＝P( B)＋P( C)＋P( D)＋P(E)＝0.18 ＋ 0.51 ＋0.15 ＋ 0.09 ＝ 0.93.。

高中数学第3章3.1.1知能优化训练

1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C.log 5(x －1)＝0，解得x ＝2，∴函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是x ＝2，故选C.2x ( )A.(－1,0) C ．(1,2) D ．(2,3)解析：选C.设f (x )＝e x－x －2，∵f (1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f (2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f (1)f (2)＜0，由根的存在性定理知，方程e x －x －2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.3．(2017年高考福建卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x ＞0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2，故选C.4．已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________．解析：由f (x )＝x 2－1，得y ＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴由x 2－2x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝2，因此，函数f (x －1)的零点是0和2.答案：0和21．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，－12C ．0，12D ．2，12解析：选B.由题意知2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，使g (x )＝0，则x ＝0或－12.2．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥1 解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1.3．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)解析：选B.∵f (2)＝ln2－1＜0，f (3)＝ln3－23＞0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )在(2,3)内有零点． 4．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1 (x ≤0)x －1 (x ＞0)D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)x －1 (x ＜0)解析：选D.令y ＝0，得A 和C 中函数的零点均为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；只有D 中函数无零点．5．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2＋2的交点个数．6．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B.设f (x )＝x 3－(12)x －2，则f (0)＝0－(12)－2<0；f (1)＝1－(12)－1<0；f (2)＝23－(12)0>0.∴函数f (x )的零点在(1,2)上．7．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．解析：设方程f (x )＝0的另一根为x ，由根与系数的关系，得1＋x ＝－2aa＝－2，故x ＝－3，即另一个零点为－3. 答案：－3 8．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f (－1)·f (1)≤0，即(－5a ＋1)·(a ＋1)≤0，(5a －1)(a ＋1)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －1≥0a ＋1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧5a －1≤0，a ＋1≤0，解得a ≥15或a ≤－1.答案：a ≥15或a ≤－1.9．下列说法正确的有________：①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点．③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点．解析：①错，如图．②错，应有三个零点．③对，奇、偶数图象与x 轴的交点关于原点对称，其和为0.④设u (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x 轴相切，图象与x 轴有三个交点．∴a ＝1.答案：③④10．若方程x 2－2ax ＋a ＝0在(0,1)恰有一个解，求a 的取值范围．解：设f (x )＝x 2－2ax ＋a . 由题意知：f (0)·f (1)＜0，即a (1－a )＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况． ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，1－a ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＞0， ∴a ＜0或a ＞1.11．判断方程log 2x ＋x 2＝0在区间[12，1]内有没有实数根？为什么？解：设f (x )＝log 2x ＋x 2，∵f (12)＝log 212＋(12)2＝－1＋14＝－34＜0，f (1)＝log 21＋1＝1＞0，∴f (12)·f (1)＜0，函数f (x )＝log 2x ＋x 2的图象在区间[12，1]上是连续的，因此，f (x )在区间[12，1]内有零点，即方程log 2x ＋x 2＝0在区间[12，1]内有实根．12．已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时， (1)方程有一正一负两根； (2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1. 解：(1)因为方程有一正一负两根，所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧a －1a ＜0Δ＝12a ＋4＞0，解得0＜a ＜1.即当0＜a ＜1时，方程有一正一负两根．(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(1)(2)所示，所以必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＞0a ＋1a ＞1f (1)＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＞0a ＋1a ＞1f (1)＜0，不等式组无解．所以不存在实数a ，使方程的两根都大于1.法二：设方程的两根分别为x 1，x 2，由方程的两根都大于1，得x 1－1＞0，x 2－1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x 1－1)(x 2－1)＞0(x 1－1)＋(x 2－1)＞0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＞0x 1＋x 2＞2. 所以⎩⎨⎧a －1a －2(a ＋1)a＋1＞02(a ＋1)a ＞2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0a ＞0，不等式组无解．即不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(3)(4)所示，所以必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0f (1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0f (1)＞0，解得a ＞0.∴即当a ＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.。

2022年高三数学一轮复习第三章第4课时知能演练轻松闯关新人教版

2022年高三数学一轮复习第三章第4课时知能演练轻松闯关新人教版1．已知co2θ＝错误!，则in4θ＋co4θ的值为D．－1解析：选θ＋co4θ＝in2θ＋co2θ2－2in2θco2θ＝1－错误!in22θ＝1－错误!1－co22θ＝错误!2．2022·绵阳调研已知α是锐角，且in错误!＋α＝错误!，则in错误!＋π的值等于B．－错误!D．－错误!解析：错误!＋α＝错误!，得coα＝错误!，又α为锐角，∴in错误!＋π＝－in错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!3．化简错误!＝A．－2 B．－错误!C．－1 D．1解析：选＝错误!＝错误!＝－4．已知coα＋β＋coα－β＝错误!，inα＋β＋inα－β＝错误!求：1tanα；2错误!解：1由已知得2coαcoβ＝错误!①2inαcoβ＝错误!②②÷①得，tanα＝错误!2原式＝错误!＝错误!，由1得tanα＝错误!，代入上式得错误!＝错误!＝－错误!一、选择题1．在△ABC中，若co2B＋3co A＋C＋2＝0，则in B的值是D．1解析：＋3co A＋C＋2＝0，得2co2B－3co B＋1＝0，所以co B＝错误!，或co B＝1舍去，∴in B＝错误!2．已知tanα＝－错误!，且－错误!＜α＜0，则错误!＝A．－错误!B．－错误!C．－错误!解析：α＝－错误!，又－错误!＜α＜0，所以inα＝－错误!故错误!＝错误!＝2错误!inα＝－错误!3．2022·宜昌调研已知角A为△ABC的内角，且in2A＝－错误!，则in A－co A＝B．－错误!C．－错误!解析：选A∵A为△ABC的内角且in2A＝2in A co A＝－错误!＜0，∴in A＞0，co A＜0，∴in A－co A＞0又in A－co A2＝1－2in A co A＝错误!，∴in A－co A＝错误!4．2022·高考课标全国卷若coα＝－错误!，α是第三象限的角，则错误!＝A．－错误!C．2 D．－2解析：选A∵α是第三象限角，coα＝－错误!，∴inα＝－错误!∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!＝错误!＝－错误!5．tan70°·co10°错误!tan20°－1等于A．1 B．2C．－1 D．－2解析：选°·co10°错误!tan20°－1＝错误!·co10°错误!·错误!－1＝错误!·错误!＝错误!＝错误!＝－1二、填空题6．若coα＋β＝错误!，coα－β＝错误!，则tanα·tanβ＝________解析：∵coα＋β＝coαcoβ－inαinβ＝错误!，①coα－β＝coαcoβ＋inαinβ＝错误!②由①②解得coαcoβ＝错误!，inαinβ＝错误!，则tanαtanβ＝错误!＝错误!答案：错误!7．已知in22－错误!＝错误!，则in4＝________解析：in2错误!＝错误!＝错误!－错误!in4＝错误!，∴in4＝错误!答案：错误!8．若α＝20°，β＝25°，则1＋tanα1＋tanβ的值为________．解析：由tanα＋β＝错误!＝tan45°＝1可得tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1，所以1＋tanα1＋tanβ＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2答案：2三、解答题9．2022·荆州质检已知向量a＝inθ，2，b＝coθ，1，且a∥b，其中θ∈错误! 1求inθ和coθ的值；2若inθ－ω＝错误!，0＜ω＜错误!，求coω的值．解：1∵a＝inθ，2，b＝coθ，1，且a∥b，∴错误!＝错误!，即inθ＝2coθ又∵in2θ＋co2θ＝1，θ∈错误!，∴inθ＝错误!，coθ＝错误!2∵0＜ω＜错误!，0＜θ＜错误!，∴－错误!<θ－ω<错误!∵inθ－ω＝错误!，∴coθ－ω＝错误!＝错误!∴coω＝co[θ－θ－ω]＝coθcoθ－ω＋inθinθ－ω＝错误!10．已知coα＝错误!，coα－β＝错误!，且0<β<α<错误!1求tan2α的值；2求β解：1由coα＝错误!，0<α<错误!，得inα＝错误!＝错误!＝错误!∴tanα＝错误!＝错误!×错误!＝4错误!于是tan2α＝错误!＝错误!＝－错误!2由0<β<α<错误!，得0<α－β<错误!又∵coα－β＝错误!，∴inα－β＝错误!＝错误!＝错误!由β＝α－α－β，得coβ＝co[α－α－β]＝coαcoα－β＋inαinα－β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!∴β＝错误!11．已知tanπ＋α＝－错误!，tanα＋β＝错误!1求tanα＋β的值；2求tanβ的值．解：1∵tanπ＋α＝－错误!，∴tanα＝－错误!∵tanα＋β＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!2tanβ＝tan[α＋β－β]＝错误!＝错误!＝错误!。

高中数学第3章§2.3知能优化训练北师大版必修3

1．在一对事件A ，B 中，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，那么A 和B ( ) A ．是互斥事件，不是对立事件 B ．是对立事件，但不是互斥事件 C ．是互斥事件，也是对立事件D ．既不是对立事件，也不是互斥事件解析：选C.A 、B 不能同时发生，故是互斥事件．又A 必然发生，所以A 、B 既是互斥事件又是对立事件．2．从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中红球和绿球都多于2个)，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个红球，至少有一个绿球B ．恰有一个红球，恰有两个绿球C ．至少有一个红球，都是红球D ．至少有一个红球，都是绿球解析：选B.对于A ，至少有一个红球，而另一个也可能是绿球；至少有一个绿球，而另一个也可能是红球，则这两个事件会同时发生，所以它们不是互斥事件．对于B ，恰有一个红球，则另一个是绿球，所以若前者发生则后者不发生，若后者发生则前者不发生，即为互斥事件，而任取两个球，还有两个都是红球的情形，故B 不是对立事件．对于C ，至少有一个红球，若另一个也为红球，则显然C 不是互斥事件．对于D ，若前者发生，则后者不会发生，若后者发生，则前者不会发生，因而，两事件是互斥事件，但任取两个球有三种情况：2红，2绿，1红1绿，则D 中两事件必有一个发生，即为对立事件．故选B.3．(2011年安丘质检)现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C.记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的并．∴P (B ＋D ＋E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.4．事件A 、B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________.解析：因为事件A 、B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又因为P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35，所以P (A )＝25，所以P (A )＝1－P (A )＝1－25＝35.答案：35一、选择题1．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②A 、B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；③若事件A 、B 、C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1；④事件A 、B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A 、B 是对立事件．其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选D.所给的四种说法中：①是正确的，②成立需A 与B 互斥，③中可能还会涉及其他事件，④中两个事件可能并不是在一个试验中获得的，故④不正确．2．从1,2，…，9中任取两个数，①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个偶数和两个都是偶数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③解析：选C.①在所取的两个数中，恰有一个偶数指的是选出一个偶数和一个奇数，与恰有一个奇数是同一事件，不是对立事件；②在所取的两个数中，至少有一个偶数指的是选出的一个是奇数，另一个是偶数，或者两个都是偶数，它和两个都是偶数可同时发生，它们不是互斥事件，故不是对立事件；③在所取的两个数中，至少有一个奇数指的是选出的一个是奇数，另一个是偶数，或者两个都是奇数，它和两个都是偶数是不可能同时发生且必有一个发生的事件．因此是对立事件；④在所取的两个数中，至少有一个奇数指一个奇数、一个偶数或两个都是奇数，它与至少有一个偶数可能同时发生，它们不是互斥事件，更不是对立事件．故选C.3．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件，抽到正品的概率为( )A ．0.09B ．0.97C ．0.99D ．0.96解析：选C.设抽到甲级品记为事件A ，抽到乙级品记为事件B ，抽到丙级品记为事件C ，因为该产品只分甲、乙、丙三级，所以P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，∴P (A )＋P (B )＝1－P (C )＝1－0.01＝0.99，即抽查一件产品抽到正品的概率为0.99，故选C.4．将一枚质地均匀的骰子掷一次，出现点数不小于3点的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.14解析：选C.掷一枚质地均匀的骰子一次，每个点数出现的概率为16，且每个点出现的事件为互斥事件．不小于3点的点数包括点数3,4,5,6，故所求事件概率为P ＝16＋16＋16＋16＝23.故选C.5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%解析：选D.甲不输包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.6100<T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2010年空气质量达到良或优的概率为( )A.35B.1180 C.119 D.56 解析：选A.良与优是彼此互斥的，故空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.二、填空题7．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：甲夺得冠军与乙夺得冠军不可能同时发生，因此它们是互斥事件，故所求的概率为14＋37＝1928. 答案：19288．先后抛掷两枚均匀的骰子，掷出的点数之和小于10的概率为________．解析：抛掷两枚骰子共有36种等可能的结果，其中掷出的点数之和大于或等于10的有(4,6)，(5,5)，(6,4)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共6种，所以掷出的点数之和大于或等于10的概率为636＝16，所以掷出的点数之和小于10的概率为1－16＝56.答案：569．两个人射击，甲射击一次，中靶概率是P 1，乙射击一次，中靶概率是P 2，已知1P 1，1P 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，且P 1满足方程P 21－P 1＋14＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．解析：由P 21－P 1＋14＝0，得P 1＝12，因为1P 1，1P 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，所以1P 1·1P 2＝6，所以P 2＝13，因此甲射击一次，不中靶概率为1－12＝12，乙射击一次，不中靶概率为1－13＝23. 答案：12 23三、解答题10.(2011年南京质检)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P (A )＝1220＝35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率为P (B )＝1－P (B )＝1－220＝910.(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记事件“排队人数为0人”、“排队人数为1人”、“排队人数为2人”、“排队人数为3人”、“排队人数为4人”、“排队人数为5人及以上”分别为事件A，B，C，D，E，F，则它们彼此互斥．(1)至多2人排队等候的概率是：P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)至少3人排队等候的概率是：P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.12．(2011年吉林检测)冰箱里有5袋牛奶，其中有两袋已经过期，小明随机取出两袋，求：(1)恰好两袋都已过期的概率；(2)拿到过期牛奶的概率．解：给每袋牛奶编号：没过期的分别记作：1、2、3号，过期的两袋记作：4、5号．取两袋牛奶的所有基本事件有：(1,2)、(1,3)(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)10种，每种基本事件发生的可能性相同．(1)设“恰好两袋都过期”为事件A，则P(A)＝110.(2)设“恰有一袋过期”为事件B，则事件B包含：(1,4)、(1,5)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)6种基本事件，所以P(B)＝610.“取到过期牛奶”＝A＋B，又因为A、B互斥，所以取到过期牛奶的概率为710 .。

2022年高考数学总复习第三章第2课时知能演练+轻松闯关文

【优化方案】2022年高考数学总复习第三章第2课时知能演练轻松闯关文1．2022·高考课标全国卷已知角θ的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线＝2上，则co 2θ＝A．－错误!B．－错误!解析：错误!为角θ终边上任意一点，则co θ＝错误!当t>0时，co θ＝错误!；当t则f－错误!的值为________．解析：由已知得：f－错误!＝f－错误!＋1＝f错误!＋2＝－co错误!＋2＝错误!答案：错误!5．2022·高考大纲全国卷已知α∈错误!，tan α＝2，则co α＝__________解析：∵tan α＝2，∴错误!＝2，∴in α＝2co α又in2α＋co2α＝1，∴错误!2＋co2α＝1，∴co2α＝错误!又∵α∈错误!，∴co α＝－错误!答案：－错误!一、选择题1．已知inα＝错误!，α∈错误!，错误!，则coπ－α＝A．－错误!B．－错误!解析：选D由诱导公式，得coπ－α＝－coα∵co2α＝1－in2α＝1－错误!＝错误!，又inα>0且α∈错误!，错误!，∴coα＝－错误!，∴coπ－α＝错误!2．2022·高考上海卷“＝2π＋错误!∈Z”是“tan＝1”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选2π＋错误!＝tan错误!＝1∈Z；反之tan＝1，则＝π＋错误!∈Z．所以“＝2π＋错误!∈Z”是“tan＝1”的充分不必要条件．3．已知α∈错误!，错误!，tanα－7π＝－错误!，则inα＋coα的值为A．±错误!B．－错误!D．－错误!解析：选α－7π＝tanα＝－错误!，∴α∈错误!，π，inα＝错误!，coα＝－错误!，∴inα＋coα＝－错误!故选B4．若α为三角形的一个内角，且inα＋coα＝错误!，则这个三角形是A．正三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：选D∵inα＋coα2＝1＋2inαcoα＝错误!，∴inαcoα＝－错误!0，co错误!<0∴α在第四象限，由tanα＝－错误!，得α的最小正值为错误!π答案：错误!π三、解答题9．2022·东营质检已知inα－3π＝2coα－4π，求错误!的值．解：∵inα－3π＝2coα－4π，∴－inα＝2coα，即inα＝－2coα∴原式＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!10．已知inπ－α·co－8π－α＝错误!，且α∈错误!，错误!，试求inα和coα的值．解：由inπ－α·co－8π－α＝错误!，得inα·coα＝错误!，∴inα＋coα2＝1＋2inαcoα＝1＋错误!＝错误!inα－coα2＝1－2inαcoα＝1－错误!＝错误!又α∈错误!，错误!，∴inα＋coα＝错误!，inα－coα＝错误!，∴inα＝错误!，coα＝错误!11．探究选做是否存在α∈－错误!，错误!，β∈0，π，使等式in3π－α＝错误!co 错误!－β，错误!co－α＝－错误!coπ＋β同时成立若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在α、β使得等式成立，即有错误!由诱导公式可得错误!③2＋④2得in2α＋3co2α＝2，∴co2α＝错误!又∵α∈－错误!，错误!，∴α＝错误!或α＝－错误!将α＝错误!代入④得coβ＝错误!又β∈0，π，∴β＝错误!，代入③可知符合．将α＝－错误!代入④得coβ＝错误!又β∈0，π，∴β＝错误!，代入③可知不符合．综上可知，存在α＝错误!，β＝错误!满足条件．。

高三数学总复习知能达标训练第三章

高中数学 第3章3.2.3知能优化训练 湘教选修1-1

2021年高考数学 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换知能演练轻松闯关 新人教A版

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