江西省南昌市高三第三次考数学( 理科 )试题

江西省南昌市高三第三次模拟考试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回． 参考公式：圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长．第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知2(1)z m mi =-+在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ． (1,1)- B ．(1,0)- C ．(,1)-∞ D ． (0,1)2．已知集合{|05}A x R x =∈<≤，2{|log 2}B x R x =∈<，则()A C B Z =I （ ） A ．{4} B ．{5} C ．[45]， D ．{45}，3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n 粒，若这批米合格，则n 不超过（ ） A ．6粒 B ．7粒 C ．8粒 D ．9粒 4．已知332333233332612201+2=()1+2+3=()1+2+3+4=()222L ，，，，若333331+2+3+4++=3025n L ，则n =（ ）A ．8B ． 9C ．10D ．11 5．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数sin()2xxf xe的图象的大致形状是（）422612n sin360°是结束输出ns ≥3.10n=2nn=开始7．已知直线:=-l y kx k 与抛物线C ：24=y x 及其准线分别交于,M N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM MN =u u u u r u u u u r，则实数k 等于（）A ．B ．1±C ．D ．2± 8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B ．2C ．1D9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）A ．12B ．24C ．36D ．48 10．已知函数'()f x 是函数()f x 的导函数，1(1)f e =，对任意实数都有()()0f x f x '->，则不等式2()x f x e-<的解集为（ ）A. (,)e -∞ B ．(1,)+∞ C. (1,)e D ．(,)e +∞11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．72 B ．48 C ．24 D ．1612．函数2231119()cos(2)4cos 2([,])331212f x x x x x ππππ=-+--∈--所有零点之和为（ ） A ．3π2 B ．43π C ． π2 D ． 83π第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知6(1)(1)x ax -+展开式中含2x 项的系数为0，则正实数a = .14.已知向量(,),(1,2)a m n b ==-r r，若||(0)a a b λλ==<r r r，则m n -= .15.对任意[1,5]k ∈，直线:1l y kx k =--都与平面区域620x a x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩有公共点，则实数a 的最大值是 .16.定义域为R 的函数()f x 满足(+3)=2()f x f x ，当[1,2)x ∈-时，2|1|,[1,0)()=1(),[0,2)2x x x x f x x -⎧+∈-⎪⎨-∈⎪⎩ ．若存在[4,1)x ∈--，使得不等式234()t t f x -≥成立，则实数t 的取值范围是 ． 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足2312232222n n a a a a n n ++++=+L （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(1)2n nn a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分) 为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为110. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望.19．(本小题满分12分) 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为平行四边形，平面⊥PAB 平面ABCD ，PC PB =,︒=∠45ABC ，点E 是线段PA 上靠近点A （Ⅰ）求证:AB PC ⊥；（Ⅱ）若PAB ∆是边长为2的等边三角形， 求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值.20．(本小题满分12分) 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N （Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()axf x ebx =+(0)a <在点(0,(0))f 处的切线方程为51y x =+,且(1)(1)12f f '+=.（Ⅰ）求函数()y f x =的极值；（Ⅱ）若2()3f x x >+在[1,]x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2xxy y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线C '上任一点，求224x y -的最小值，并求相应点M 的直角坐标.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|23||1|.f x x x =++- （Ⅰ）解不等式()4f x >；（Ⅱ）若存在3[,1]2x ∈-使不等式1()a f x +>成立，求实数a 的取值范围．NCS20170607项目第三次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．25; 14. 6-; 15. 2; 16. (,1][2,)-∞+∞U 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）2312232222n n a a a a n n ++++=+L ……①， ∴当2n ≥时，23112231(1)12222n n a a a a n n --++++=-+-L ② ①-②得2(2)2n na n n =≥，∴12(2)n n a n n +=⋅≥. …………5分 又∵当1n =时，1112a =+， ∴14a =，∴12n n a n +=⋅. …………6分 （Ⅱ）(1)(2)2n n nn a b n -==-,1231(2)2(2)3(2)(2)n n S n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-L ……③ 2341(2)1(2)2(2)3(2)(1)(2)+(2)n n n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯--L ……④∴234112[1(2)]3(2)+(2)(2)(2)(2)(2)(2)3n n n n n S n n ++---=--+-+-++---=--L∴1(31)(2)29n n n S ++-+=-. …………12分18.【解析】（Ⅰ）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为110. 即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为110， …………2分 ∴311(1)5410p ⨯⨯-=， ∴13p =. …………6分（Ⅱ）依题意丙得分X可以为0,3,6,丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23…………7分111(0)4312P X==⨯=,31125(3)434312P X==⨯+⨯=,326(6)4312P X==⨯=…………10分∴1()0361212124E X=⨯+⨯+⨯=. …………12分19.【解析】（Ⅰ）作PO AB⊥于O……①,连接OC，∵平面⊥PAB平面ABCD，且PAB ABCD AB=I面面，∴PO⊥面ABCD. (2)分∵PCPB=，∴POB POC∆≅∆,∴OB OC=，又∵︒=∠45ABC，∴OC AB⊥……②又PO CO O=I,由①②，得AB⊥面POC，又PC⊂面POC，∴AB PC⊥. ………6分（Ⅱ）∵PAB∆是边长为2的等边三角形，∴1PO OA OB OC====如图建立空间坐标系，(1,0,0)P-设面PBC的法向量为(,,)n x y z=r，(1,0,(1,1,0)PB BC==-u u u r u u u rn PB xn BC x y⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r u u u rr u u u r，令x=n=r11(33AP AE AP===u u u r u u u r u u u r，(1,1,0)CB DA==-u u u r u u u r4(,33DE DA AE=+=-u u u r u u u r u u u r，设DE与面PBC所成角为θsin|cos,|7||||n DEn DEn DEθ-+⋅====r u u u rr u u u rr u u u r∴直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值7. …………12分 20.【解析】（Ⅰ）设直线l 上任意一点(,)P x y 关于直线1y x =+对称点为000(,)P x y 直线l 与直线1l 的交点为(0,1)，∴11:1,:1l y kx l y k x =+=+01011,y y k k x x --==，由00122y y x x ++=+ 得002y y x x +=++……..① 由1y y x x -=--得00y y x x -=-…….②， 由①②得 0011y x y x =+⎧⎨=+⎩0000100()1(1)(1)(2)11yy y y x x x x kk xx xx -++++-+++===. …………6分（Ⅱ）设点1122(,),(,)M x y N x y ，由12211114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2211(41)80k x kx ++=， ∴2841M kx k -=+，∴221441M k y k -=+.同理：122188414N k k x k k --==++，221221144414N k k y k k--==++ …………8分 224222222144881414888(33)3414M N MNM N k k y y k k k k k k k x x k k k k k-----+++====------++ …………9分 :()M MN M MN y y k x x -=-，∴22221418()41341k k ky x k k k -+--=--++即：22222218(1)141533(41)4133k k k k y x x k k k k ++-+=--+=--++ …………11分 ∴当k 变化时，直线MN 过定点5(0,)3-. …………12分21.【解析】（Ⅰ）()axf x e bx =+，那么'()ax f x ae b =+ 由'(0)5(1)'(1)12f f f =⎧⎨+=⎩，得512a a ab ae b b e +=⎧⎨+++=⎩，化简得(2)(1)0a e a -+= 由0a <得1,6a b =-=，∴()6x f x ex -=+ …………3分 即'()60x f x e -=-+=，得ln6x =-，∴()f x 在(,ln 6)-∞-单调递减，在(ln 6,)-+∞单调递增，∴ln6()(ln6)6ln666ln6f x f e =-=-=-极小值，无极大值. …………5分（Ⅱ）2()3f x x >+在[]1,x m ∈上恒成立，等价于2630x e x x --+->在[]1,x m ∈上恒成立. 设2()63x g x e x x -=-+-，则'()26x g x e x -=--+设()'()26x h x g x e x -==--+，则'()2x h x e -=-， …………6分∵1x m ≤≤，有'()0h x <， ∴()h x 在区间[]1,m 上是减函数，又∵123(1)40,(2)20,(3)0h e h e h e ---=->=->=-<，∴存在0(2,3)x ∈，使得00()'()0h x g x ==，当01x x ≤<时，有'()0g x >，当0x x >时，有'()0g x <.∴()y g x =在区间[]01,x 上递增，在区间0(,)x m 上递减，又∵123(1)20,(2)5>0,(3)6>0,g e g e g e ---=+>=+=+456(4)5>0,(5)20,(6)30.g e g e g e ---=+=+>=-<∴当15x ≤≤时，恒有()0g x >；当6x ≥时，恒有()0g x <；∴使命题成立的正整数m 的最大值为5. …………12分22.【解析】（I ）由 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）得曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+= 得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. …………4分（Ⅱ）22(1)1x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '的直角坐标方程为2214x y +=，设(2cos ,sin )M αα，则2222cos cos sin 4x y a a αα-=--cos222cos(2)3a παα=-=+ …………7分 当3k παπ=+时，224x y -的最小值为2-， 此时点M的坐标为(1,2或(1,2--. …………10分 23.【解析】（Ⅰ）()|23||1|.f x x x =++-33223()412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， ∴3311()42232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或211x x x ⇔<-<≤>或0或. 综上，不等式()4f x >的解集为(,2)(0,)-∞-+∞U . …………5分 （Ⅱ）存在3[,1]2x ∈-使不等式1()a f x +>成立min 1(())a f x ⇔+> 由（Ⅰ）得，3[,1]2x ∈-时，()4f x x =+，()4f x x =+时，min 5(())2f x = ∴512a +>， ∴32a >，∴实数a 的取值范围为3+2∞（，）. …………10分。