浙江省部分重点中学-度高一数学第一学期联考试题

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浙江省杭州市重点中学联考2021-2021学年高一上学期期末数学试卷

浙江省杭州市重点中学联考2021-2021学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）设全集U是实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A． {x|��2＜x＜1} B． {x|��2＜x＜2} 2．（4分）cos（��2040°）=（）A．3．（4分）若sinα=��，cosα=，则下列各点在角α终边上的是（）A．（��4，3） B．（3，��4） 4．（4分）函数f（x）=x+sinx，x∈R（）A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数5．（4分）已知a=（） A． a＞b＞c，b=log6，c=B． c＞a＞bC．（4，��3）D．（��3，4）B．C． {x|1＜x＜2}D． {x|x＜2}C． D．，则a，b，c的大小关系是（） C． a＞c＞bD． c＞b＞a6．（4分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜图象，只需将g（x）=sin （ωx）的图象（））的部分函数图象如图所示，为了得到函数f（x）的A．向右平移 C．向左平移个单位长度个单位长度B．向右平移D．向左平移个单位长度个单位长度7．（4分）已知函数f（x）=，则y=f��4的零点为（）A．B．xC． D．8．（4分）函数f（x）=log2|2��1|的图象大致是（）A．B． C． D．9．（4分）已知函数f（x）=，g（x）=asin（x+）��2a+2（a＞0），给出下列结论，其中所有正确的结论的序号是（）①直线x=3是函数g（x）的一条对称轴；②函数f（x）的值域为；③若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是；④对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在内恒有解． A．①② B．①②③ C．①③④22D．①②④10．（4分）若函数f（x）=（x+mx+n）（1��x）的图象关于直线x=2对称，则f （x）的最大值是（）A． 16 B． 14 C． 15 D． 18二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 11．（4分）求值：12．（4分）函数f（x）=lg（x+2）+13．（4分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为14．（4分）已知α是第二象限角，sinα=，则cos（π��α）=．，则这条弧所在的扇形面积为cm．2+（��）++=．的定义域为_．15．（4分）已知偶函数f（x）在（��∞，0]上满足：当x1，x2∈（��∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x��1）＜f（x）的解集为．16．（4分）函数y=sinx+2cosx在区间上的最小值为��，则θ的取值范围是．17．（4分）若任意的实数a≤��1，恒有a?2��b��3a≥0成立，则实数b的取值范围为．三、解答题：共4大题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．2218．（12分）已知集合A={x|x��8x+15=0}，B={x|x��ax��b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若??B?A，求实数a，b的值．19．（12分）（1）已知tanθ=2，求（2）已知��20．（14分）已知函数f（x）=Asin（wx+值为4，（1）求A的值；（2）求函数f（x）在上的单调递增区间．21．（14分）已知函数f（x）=x��1，g（x）=x+1．（1）若当x∈R时，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，求实数λ的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在区间x∈上的最大值．2b2的值；＜x＜，sinx+cosx=，求tanx的值．）（A＞0，w＞0）的最小正周期为π，且x∈时，f（x）的最大浙江省杭州市重点中学联考2021-2021学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）设全集U是实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A． {x|��2＜x＜1} B． {x|��2＜x＜2} C． {x|1＜x＜2} D．{x|x＜2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．分析：解不等式求得集合M、N，根据Venn图阴影表示集合（CuN）∩M，再进行集合运算．解答：解：∵M={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤��2} N={x|1＜x＜3}∵阴影部分表示集合（CuN）∩M，∴阴影部分表示的集合是（1，2）．故选C点评：本题考查Venn图表达集合的关系及集合运算，属于基础题． 2．（4分）cos（��2040°）=（） A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式先利用偶函数的性质化简，角度变形后利用诱导公式计算即可得到结果．解答：解：原式=cos2040°=cos（6×360°��120°）=cos120°=��，故选：B．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．（4分）若sinα=��，cosα=，则下列各点在角α终边上的是（）A．（��4，3） B．（3，��4） C．（4，��3） D．（��3，4）考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由题意和任意角的三角函数的定义，求出角α终边上的点的坐标形式，再选择正确的答案．解答：解：由题意得sinα=��，cosα=，因为sinα=，cosα=，所以r=5k，x=3k，y=��4k，（k＞0）所以在角α终边上的点是（3k，��4k），当k=1时，此点的坐标是（3，��4），故选：B．点评：本题考查任意角的三角函数的定义的逆用，属于基础题． 4．（4分）函数f（x）=x+sinx，x∈R（） A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用奇偶性的定义，首先求出定义域，再计算f（��x），与f（x）比较，即可得到奇偶性．解答：解：函数f（x）=x+sinx的定义域为R， f（��x）=��x+sin（��x）=��x��sinx=��f（x），则f（x）为奇函数．故选：A．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知a=（），b=log6，c=，则a，b，c的大小关系是（） C． a＞c＞bD．c＞b＞aA． a＞b＞c B． c＞a＞b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性可得：0＜a=（）=，b=log6＜0，c=＞=，即可得出．解答：解：∵0＜a=（）=，b=log6＜0，c=＞=，∴c＞a＞b．故选：B．点评：本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．6．（4分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜图象，只需将g（x）=sin （ωx）的图象（））的部分函数图象如图所示，为了得到函数f（x）的A．向右平移 C．向左平移个单位长度个单位长度B．向右平移D．向左平移个单位长度个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高一数学上学期期中联考试题含解析 (1)

【详解】令，则在上单调递减，
因为，所以，即，
因为，令，则在上单调递减，
所以， ,
所以 , ，，
所以
故选：A.
【点睛】本题考查比较对数值的大小，关键在于根据对数函数的单调得出各对数值的符号，尤其是与中介值“0”和“1”的大小关系,属于中档题.
8.设函数，则使得的的取值范围是（）
，，
,
当，即时，在区间上为减函数，
，，
，
当，即时，在区间上为减函数,在区间上为增函数，
, ，；
当，即时，在区间上为减函数,在区间上为增函数,
，，。
综上所述: 的最小值是。
故答案为：。
【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．
当时,函数为增函数,取时，函数值
,又，所以，
故A选项符合题意，B选项也符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查函数图象的识别，分类讨论，属于基础题。
7。设 ,则之间的大小关系是（）
A。 B.
C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性和的范围,可判断出，，，从而得选项。
对C: 在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C选项不正确；
对D：在定义域上递减，不能构造“同族函数”,故D选项不正确.
故选:B.
【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”,考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题。
10。已知函数在区间的最大值为2，则的值为（）
【详解】(1）当时， , ,

2022-2023学年浙江省重点中学数学高一上期末联考试题含解析

考点：函数的奇偶性的应用；函数的表达式
9、A
【解析】方法一：
当且时，由，得，
令，则是周期为的函数，
所以，
当时，由得，，
又是偶函数，所以，
所以，
所以，所以．选A
方法二：
当时，由得，，即，
同理，
所以
又当时，由 ,得，
因为是偶函数，
所以，
所以．选A
点睛：解决抽象函数问题的两个注意点：
1、C
【解析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.
【详解】命题：“ ， ”是全称命题，
它的否定是特称命题：，，
故选：C
2、C
【解析】当时，；
当时，；
所以，
易知，在单调递增，在单调递增，
且时，，时，，
则在上单调递增，
所以得：，解得，故选C
【详解】
，（其中，），
将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，得到
，
∴ ，，解得，故选D.
5、D
【解析】A中，有可能，故A错误；B中，显然可能与斜交，故B错误；C中，有可能，故C错误；D中，由得，，又所以，故D正确.
6、D
【解析】利用向量的平行四边形法则求解即可
【详解】
（2）分析可知函数在上为增函数，可求得，根据已知条件得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由于为奇函数，且定义域为，则，
因为，所以，，
所以，恒成立，所以，，即 .
由于，，
是偶函数，

浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试题含答案

浙江省四校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试题（自编供学生使用）（考试时间：120分钟试卷总分：150分）（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知集合{2},{1}A x x B x x =>=<∣∣，则()()A B ⋂=R R 痧（）A．∅B．{12}xx <<∣C．{}12xx ≤≤∣D．R2．已知集合{|(38)(2)0}A x x x =-+<{|13}B x x =∈-Z ≤≤，则集合A B ⋂中的元素个数为A．2B．3C．4D．53．命题“,sin 0R αα∃∈=”的否定是（）A．,sin 0R αα∃∈≠B．,sin 0R αα∀∈≠C．,sin 0R αα∀∈<D．,sin 0R αα∀∈>4．已知,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是A．若a b >,则a c b c ->-B．若a b >，则a b c c>C．若ac bc <，则a b<D．若a b >，则22ac bc >5．命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（）A．)(222⎡⎤∞⋃-∞⎣⎦，+，B．2⎡⎣-22，C．)2⎡∞⎣，D．(2-∞，6．关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且2115x x -=，则a 的值为（）A．152B．152±C．52D．52±7．已知2(0,0)a b ab a b +=>>，下列说法正确的是（）A．ab 的最大值为8B．1212a b +--的最小值为2C．a b +有最小值32D．2224a a b b -+-有最大值48．给定集合A ，若对于任意a 、b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{}4,2,0,2,4A =--为闭集合；②集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合；③若集合1A 、2A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、多选题（本大题共3小题，共18分）9．下列命题中为真命题的是（）A．若0xy =，则0x y +=B．若a b >，则a c b c +>+C．菱形的对角线互相垂直D．若,a b 是无理数，则a b +是无理数10．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．B．在b 克盐水中含有a 克盐(0)b a >>，再加入n 克盐，全部溶解，则盐水变咸了．C．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率为2a b+．D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第二种方式购买一定更实惠．11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()f x 的结论中，正确的是（）A．函数()f x 满足：()()f x f x -=B．函数()f x 的值域是[]0,1C．对于任意的x ∈R ，都有()()1f f x =D．在()f x 图象上不存在不同的三个点、、A B C ，使得ABC V 为等边三角形三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．命题“π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x ≥”的否定为．13．学校举办秋季运动会时，高一（1）班共有26名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的有人；同时参加田赛和径赛的有人．14．甲、乙两地相距240km，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为16400v 3元.为使全程运输成本最小，汽车应以km/h 的速度行驶.四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．用一段长为16m 的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长度大于16m ），矩形的长宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值？16．已知2:280p x x --≤，()22:200q x mx m m +-≤>，.（1）当1m =时，若命题“p q ∧”为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.17．某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图所示），大棚占地面积为S 平方米，其中:1:2a b =.(1)试用x 表示S ，并标明x 的取值范围；(2)求S 的最大值，并求出S 取最大值时x 的值.18．已知函数()f x =的定义域为集合A ，{}B xx a =<∣．(1)求集合A ；(2)若全集{|4}U x x =≤，1a =-，求()U A B ð；(3)若A B A = ，求a 的取值范围．19．已知函数()2f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R ）有最小值4-，且()0f x <的解集为{}13x x -<<．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若对于任意的()1,x ∈+∞，不等式()6f x mx m >--恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案：题号12345678910答案C CBABDBBBCABD题号11答案AC1．C【分析】求出集合,A B 的补集，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】由于{2},{1}A x x B x x =>=<∣∣，故{|2},{|1}A x x B x x =≤=≥R R 痧,所以()()A B ⋂=R R 痧{}12xx ≤≤∣，故选：C 2．C【详解】依题意，()(){}8|3820|23A x x x x x ⎧⎫=-+<=-<<⎨⎬⎩⎭，{|13}B x Z x =∈-≤≤{}1,0,1,2,3=-，A B ⋂{}1,0,1,2=-,有4个元素，故选C.3．B【分析】原命题为存在性量词命题，按规则可写出其否定.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠，故选：B.4．A【分析】由不等式的性质可判断A；取特值0c =，可判断BD；取0c <，结合不等式的性质判断C.【详解】对于A，利用不等式的性质可判断A 正确；对于BD，取0c =时，可知B 和D 均错误；对于C，当0c <时，若ac bc <，则a b >，故C 错误．故选：A 5．B【解析】特称命题为假命题，等价于其否定为真命题,利用判别式，即可确定实数a 的取值范围.【详解】“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，等价于“2,2390x R x ax ∀∈-+≥”为真命题,所以()2=3890a ∆-⨯≤所以a ⎡∈⎣，则实数a 的取值范围为⎡⎣.故选：B.6．D【分析】根据22112122(())4x x x x x x -=+-以及韦达定理即可求解.【详解】因为关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,,x x 12,x x ∴是方程22280x ax a --=的两个不同的实数根，且224320a a ∆=+>，212122,8x x a x x a ∴+==-，2115x x -= ，()22221212154432x x x x a a ∴=+-=+，221536a =，解得52a =±故选：D.7．B【分析】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知8ab ≥，所以A 错误；将原式化成()()122a b --=，即可得()12112121a ab a +=+-≥---，即B 正确；不等式变形可得211ba+=，利用基本不等式中“1”的妙用可知3a b +≥+，C 错误；将式子配方可得222224(1)(2)5a a b b a b -+-=-+--，再利用基本不等式可得其有最小值1-，无最大值，D 错误.【详解】对于A 选项，2ab a b =+≥≥8ab ≥，当且仅当2,4a b ==时等号成立，故ab 的最小值为8，A 错误；对于B 选项，原式化为()()2122,01a ab b a --==>-，故10a ->；02ba b =>-，故20b ->；所以()12112121a ab a +=+-≥---，当且仅当2,4a b ==时等号成立，B 正确；对于C 选项，原式化为211ba +=，故()212123a a b a b b a ba b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当1,2a b =+=+C 错误；对于D 选项，()()222224(1)(2)521251a a b b a b a b -+-=-+--≥---=-，当且仅当12a b ==+1-，D 错误．故选：B 8．B【解析】取2a =，4b =-，利用闭集合的定义可判断①的正误；利用闭集合的定义可判断②的正误；取{}13,A n n k k Z ==∈，{}22,A m m t t Z ==∈，利用特殊值法可判断③的正误.由此可得出合适的选项.【详解】对于命题①，取2a =，4b =-，则6a b A -=∉，则集合{}4,2,0,2,4A =--不是闭集合，①错误；对于命题②，任取1n 、2n A ∈，则存在1k 、2k Z ∈，使得113n k =，223n k =，且12k k Z +∈，12k k Z -∈，所以，()12123n n k k A +=+∈，()12123n n k k A -=-∈，所以，集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合，②正确；对于命题③，若集合1A 、2A 为闭集合，取{}13,A n n k k Z ==∈，{}22,A m m t t Z ==∈，则{123A A x x k ⋃==或}2,x k k Z =∈，取13A ∈，22A ∈，则()12325A A +=∉⋃，()12321A A -=∉⋃，所以，集合12A A ⋃不是闭集合，③错误.因此，正确的结论个数为1.故选：B.9．BC【分析】对于A，由0xy =得0x =或0y =即可判断；对于B，由不等式性质即可判断；对于C，由菱形性质即可判断；对于D，举反例如a b ==【详解】对于A，若0xy =，则0x =或0y =，故x y +不一定为0，故A 错误；对于B，若a b >，则由不等式性质a c b c +>+，故B 正确；对于C，由菱形性质可知菱形的对角线互相垂直，故C 正确；对于D，若,a b 是无理数，则a b +不一定是无理数，如a b ==0a b +=是有理数，故D 错误.故选：BC.10．ABD【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断.【详解】对于选项A：设周长为0l >，则圆的面积为22π2π4πl l S ⎛⎫== ⎪⎝⎭圆，正方形的面积为22416l l S ⎛⎫==⎪⎝⎭正方形，因为211,04π16l >>，可得224π16l l >，即S S >圆正方形，故A 正确；对于选项B：原盐水的浓度为a b ，加入0n >克盐，盐水的浓度为a n b n++，则()()n b a a n a b n b b b n -+-=++，因为0,0b a n >>>，可得0,0b a b n ->+>，所以()()0n b a a n a b n b b b n -+-=>++，即a n ab n b+>+，故B 正确；对于选项C：设这两年的平均增长率为x ，则()()()2111A a b A x ++=+，可得1x ，因为()()111122a b a bx ++++=≤=+，即2a b x +≤，当且仅当11a b +=+，即a b =时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于2a b+，故C 错误；对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p 元/kg，购kg n ，第二次购物时的价格为2p 元/kg，购kg n ，两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=；若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1kg mp 物品，第二次仍花m 元钱，能购2kg m p 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++.比较两次购的平均价格：()()()()22121212121212121212124220112222p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +--++-=-==≥++++，当且仅当12p p =时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，故D 正确；故选：ABD.11．AC【分析】利用R 1,Q ()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对选项A，B 和C 逐一分析判断，即可得出选项A，B 和C的正误，选项D，通过取特殊点()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，即可求解.【详解】由于R 1,Q()0,Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对于选项A，设任意x ∈Q ，则()(),1x f x f x -∈-==Q ；设任意Q x ∈R ð，则()()Q,0x f x f x -∈-==R ð，总之，对于任意实数()(),x f x f x -=恒成立，所以选项A 正确，对于选项B，()f x 的值域为{}0,1，又{}[]0,10,1≠，所以选项B 错误，对于选项C，当x ∈Q ，则()()()()1,11f x f f x f ===，当Q x ∈R ð，则()()()()0,01f x f f x f ===，所以选项C 正确，对于选项D，取()0,1,,0,33A B C ⎫⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时AB AC BC ===ABC V 为等边三角形，所以选项D 错误，故选：AC．12．π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得答案.【详解】命题“π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎣⎦，sin 0x ≥”为全称命题，它的否定为特称命题，即π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <；故答案为：π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <13．62【详解】设只参加游泳比赛有x 人，则12336x -=+=，得6x =．不参加游泳的人为261214-=，参加田赛未参加游泳的人为936-=人，参加径赛未参加游泳的人为13310-=人，则同时参加田赛和径赛的人为106142+-=人．14．80【分析】根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为316400v 元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值．【详解】解：设全程运输成本为y 元，由题意，得3224011601(160)240()64006400y v v v v =+=，0v >，21602240()6400y v v '=-+．令0y '=，得80v =．当80v >时，0'>y ；当080v <<时，0'<y ．所以函数3224011601(160)240()64006400y v v v =+=+在()0,80上递减，在()80,+∞上递增，所以80v =km/h 时，720min y =．故答案为：80.15．长为8宽为4时，菜地面积最大，最大值为32【解析】设菜地长为x ，得162x S x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合基本不等式可求最值【详解】如图，设菜地长为x ，()016x ∈,，则()1611622x S x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，结合基本不等式可知，0160x x >->,，则()()21616642x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当8x =时，取到最大值，故()116322S x x =-≤，此时长为8，宽为16842-=，菜地面积最大值为3216．（1）21x -≤≤；（2）4≥m .【解析】（1）求出两个命题为真命题时的解集，然后利用p q ∧为真，求解x 的取值范围．（2）依题意可得p q q ⇒，推不出p ，即可得到不等式组224m m -≤⎧⎨≥⎩，解得即可【详解】解：∵2:280P x x --≤，∴24x -≤≤∵22:20q x mx m +-≤，0m >，∴2m x m -≤≤（1）当1m =时，:21q x -≤≤∵p q ∧为真命题，∴p 真且q 真即2421x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，∴21x -≤≤（2）设集合{}|24A x x =-≤≤，{}2|m x m B x -=≤≤若p 是q 的充分不必要条件，则AB∴只需满足224m m -≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立得4≥m 17．(1)()4800180833600S x x x=--<<；(2)S 的最大值为1568，此时40x =.【分析】（1）先由题意得1800,2,333xy b a y a b a ===++=+且3,3x y >>，再结合图形即可求解所求S ；（2）由（1）结合基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意可得1800,2,333xy b a y a b a ===++=+且3,3x y >>，所以33y a -=，18003600y x x=>⇒<，所以由图()()()()()3322223383823x y S a b a a a x x x x x --=+⨯⨯=+⋅==⋅-----()()()180034800600180831383836003x x x x x x x -⎛⎫=⋅=⋅=-----<<⎪⎝⎭.（2）由（1）()4800180833600S x x x=--<<，所以4800180818082180824015683S x x ⎛⎫=-≤--=+ ⎪⎝⎭，当且仅当48003x x=即40x =时等号成立，所以S 的最大值为1568，此时40x =.18．(1)(2,3]-；(2)[1,3]-；(3)(3,)+∞﹒【分析】(1)求出使f (x )有意义的x 的范围即可；(2)先计算U B ð，再按交集的运算法则计算即可；(3)A B A A B ⋂=⇒⊆，据此即可求解a 的范围﹒【详解】（1）3020x x -≥⎧⎨+>⎩32x x ≤⎧⎨>-⎩，23x ∴-<≤，(2,3]A ∴=-；（2）当1a =-时，()B =-∞，-1，[1,4]U B ∴=-ð，()[1,3]U A B ∴⋂=-ð；（3）A B A =Q I ，A B ∴⊆，3a ∴>，∴a 的求值范围是(3,)+∞．19．(1)2()23f x x x =--(2)m <【分析】（1）根据韦达定理列出方程组解出即可；（2）分离参数得()2122111x m x x x -+∴<=-+--，1x >，利用基本不等式求出右边最值即可.【详解】（1）令()0f x =，则1,2-为方程20ax bx c ++=的两根，则0a ≠，则由题有244423ac b a b a c a ⎧-=-⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，2()23f x x x ∴=--.（2）由（1）得对()1,x ∀∈+∞，2236x x mx m -->--，即()2231x x m x -+>-，1x >Q ，10x ∴->，()2122111x m x x x -+∴<=-+--，令()211h x x x =-+-，1x >，则()211h x x x =-+≥=-当且仅当211x x-=-，即1x =+时等号成立，故()minh x =m <.。

2022-2023学年浙江省浙东北联盟高一数学第一学期期末联考试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．若 2.52=a ,12log 2.5b =, 2.512⎛⎫= ⎪⎝⎭c ,则a ,b ,c 之间的大小关系是( ) A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c 2．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（）A.98B.99C.99.5D.1003．函数cos(3)4y x π=-的单调递减区间是（） A.252123123k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈） B.2243123k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈） C.5221212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈） D.22412k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈） 4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)e sin ()e 1x x x f x =-+在区间ππ(-,)22上的图象的大致形状是（） A. B.C. D.5．如图是一算法的程序框图，若输出结果为720S =，则在判断框中应填入的条件是（）A.6?k ≤B.7?k ≤C.8?k ≤D.9?k <6．下列说法错误的是（）A.球体是旋转体B.圆柱的母线垂直于其底面C.斜棱柱的侧面中没有矩形D.用正棱锥截得的棱台叫做正棱台 7．直线0ax by c经过第一、二、四象限，则a 、b 、c 应满足（） A.0,0ab bc ><B.0,0ab bc <<C.0,0ab bc >>D.0,0ab bc <>8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆中，232BA BC AC ===，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为A.122πB.22πC.12πD.20π9．下列函数中，以π为最小正周期且在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数的函数是（） A.sin 2y x =B.cos2x y =-C.sin y x =-D.tan 2y x = 10．如图是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么该班身高在(170,190]区间内的学生人数为A.20B.25C.30D.4511．设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（） A.103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B.143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}45x x ≤<D.{}05x x <≤ 12．下列各角中，与600-︒终边相同的角为（）A.120-︒B.160°C.240-︒D.360°二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是__________14．若()11tan sin tan sin 022x x x x k +---≥在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则k 的取值范围是______. 15．经过原点并且与直线20x y +-=相切于点()2,0的圆的标准方程是__________16．东方设计中的 “白银比例” 是2“黄金比例)51:2”，传达出一种独特的东方审美观．折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）．设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为1S ，折扇纸面面积为2S ，当12:1:2S S =时，扇面看上去较为美观，那么原扇形半径与剪下小扇形半径之比的平方为________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x 件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80件时，21()103C x x x =+（万元）.当年产量不小于80件时，10000()511450C x x x=+-（万元）.每件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （件）的函数解析式；（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？18．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥（1）当2a =时，求()R A B ⋃；（2）若R A B ⊆，求a 的取值范围19．已知函数()32f x x=+ （1）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义法证明你的结论；（2）若[]2,7x ∈，求函数的最大值和最小值.20．已知函数()f x 21ax b x +=+是定义域为[]1,1-上的奇函数，且1(1)2f = （1）求()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在[]1,1-上增函数.21．已知函数()sin(4)cos(4)36f x x x ππ=++- （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若()f x 在区间[]0,m 上存在唯一的最小值为-2，求实数m 的取值范围 22．已知函数()233sin cos f x x x x =+（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的取值范围参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、C【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【详解】∵a=22.5＞1，12log 2.5b =＜0， 2.51012c ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭（，）， ∴a＞c ＞b ，故选C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2、C【解析】根据分位数的定义即可求得答案.【详解】这组数据的60%分位数是9910099.52+=. 3、A【解析】根据余弦函数单调性，解得到答案. 【详解】解：cos 3cos 344ππy x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令π2π32ππ4k x k ≤-≤+，k Z ∈，解得π2π5π2π123123k k x +≤≤+，k Z ∈，故函数的单调递减区间为252123123k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈；故选：A.4、A【解析】先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案.【详解】因为()(1)e sin e s (1)in ()()e 1e 1x x x x x x f x f x ----===++--，所以()f x 在区间ππ(-,)22上是偶函数，故排除B ，D ，又11(1)e sin1(1)0e 1f =->+，故选：A【点睛】本题主要考查函数的性质确定函数的图象，属于基础题.5、B【解析】依次执行循坏结构，验证输出结果即可.【详解】根据程序框图，运行结构如下：第一次循环10S =，9k =，第二次循环90S =，8k ，第三次循环720S =，7k =，此时退出循环，故应填：7?k ≤.故选：B.6、C【解析】利用空间几何体的结构特征可得.【详解】由旋转体的概念可知，球体是旋转体，故A 正确；圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于其底面，故B 正确；斜棱柱的侧面中可能有矩形，故C 错误；用正棱锥截得的棱台叫做正棱台，故D 正确.故选：C.7、A 【解析】根据直线经过第一、二、四象限判断出0,0a c b b-<->即可得到结论. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为a c y x b b =--， ∵直线经过第一、二、四象限， ∴0,0a c b b-<->， ∴0ab >且0bc <故选：A.8、B【解析】由题意，求AC 长，即可求ABC ∆外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P ABC-的外接球的表面积.【详解】由题意ABC ∆中，BA BC AC ==，222BA BC AC ∴+=，AC =则ABC ∆是等腰直角三角形，PA ⊥平面ABC 可得PA AC ⊥，PA BC ⊥，BC ⊥平面PAB ，BC PB ⊥，则PC 的中点为球心设ABC ∆外接圆半径为r，则2r AC ==2r ∴=设球心到平面ABC 的距离为d ，则2PA d = 1d ∴=，由勾股定理得222R r d =+，2112R ∴= 则三棱锥P ABC -的外接球的表面积2422S R ππ==故选：B【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，利用球的对称性确定球心到平面的距离，培养空间感知能力，中等题型.9、B【解析】对四个选项依次判断最小正周期及单调区间,即可判断.【详解】对于A, sin 2y x =,最小正周期为22T ππ==,单调递增区间为222,22ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ,即,44ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ,在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内不单调,所以A 错误; 对于B, cos2x y =-的最小正周期为22T ππ==,单调递增区间为222,k x k k Z πππ≤≤+∈,即,2πππ≤≤+∈k x k k Z ,在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增,所以B 正确; 对于C, sin y x =-的最小正周期为221T ππ==,所以C 错误; 对于D, tan 2y x =的最小正周期为2T π=,所以D 错误.综上可知,正确的为B故选:B 【点睛】本题考查了函数的最小正周期及单调区间的判断,根据函数性质判断即可,属于基础题.10、C【解析】身高在(170,190]区间内的频率为(0.050.01)100.6+⨯=∴ 人数为0.65030⨯= ，选C.点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比. 11、B【解析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12、C【解析】由终边相同角的定义判断【详解】与600-︒终边相同角为()360600k k ⋅︒-︒∈Z ，而1k =时，360240240︒-︒=-︒，其它选项都不存在整数k ，使之成立故选：C二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，先放缩变换，再平移变换，从而可得答案【详解】将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数1sin2y x =的图象；再将1sin 2y x =的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是1sin sin 2326x y x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故答案为：πsin 26x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ 14、(],1-∞- 【解析】首先参变分离得到()11tan sin tan sin 22k x x x x ≤+--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，接着分段求出函数的最小值，最后给出k 的取值范围即可. 【详解】因为()11tan sin tan sin 022x x x x k +---≥在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()11tan sin tan sin 22k x x x x ≤+--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan 0,sin 0x x ≤≥，所以tan sin sin tan x x x x -=-，所以()()1111tan sin tan sin tan sin (sin tan )tan 2222x x x x x x x x x +--=+--=，所以()min tan 1k x ≤=-；当5,4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，tan 0,sin 0x x ><，所以tan sin tan sin x x x x -=-，所以()()1111tan sin tan sin tan sin (tan sin )sin 2222x x x x x x x x x +--=+--=，所以()minsin k x ≤=；综上：k 的取值范围为(],1-∞-.故答案为：(],1-∞-.【点睛】本题是含参数的不等式恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . 15、()()22112x y -++=【解析】设圆心坐标(,)a b ，则222a b r +=，222(2)a b r -+=，12b a =-，根据这三个方程组可以计算得：1,1,a b r ==-=22(1)(1)2x y -++=点睛：设出圆心与半径，根据题意列出方程组，解出圆心和半径即可161##1【解析】设原扇形半径为x ，剪下小扇形半径为y ，AOB α∠=，由已知利用扇形的面积公式即可求解原扇形半径与剪下小扇形半径之比【详解】解：由题意，如图所示，设原扇形半径为x ，剪下小扇形半径为y ，AOB α∠=，则小扇形纸面面积2112S y α=，折扇纸面面积2221122x y S αα=-，由于12:S S =222111222y x y ααα=-，可得221x y =，1故答案为：21+三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（1）2140250? (080)3(){100001200?(80)x x x L x x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭；（2）年产量为100件时，利润最大为1000万元. 【解析】（1）实际应用题首先要根据题意，建立数学模型，即建立函数关系式，这里，要用分类讨论的思想，建立分段函数表达式；（2）根据建立的函数关系解模，即运用数学知识求函数的最值，这里第一段，运用的是二次函数求最值，而第二段，则可运用基本不等式求最值，然后再作比较，确定最终的结果，最后要回到实际问题作答. 试题解析：解：（1）当080x <<时，21()50()25050102503L x x C x x x x =--=---21402503x x =-+-；当80x ≥时，10000()50()25050511450250L x x C x x x x =--=--+-100001200x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2140250? (080)3(){100001200?(80)x x x L x x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭. （2）当080x <<时，211()40250(60)95033L x x x x =-+-=--+ 此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)950L =万元.当80x ≥时， 1000010000()12001200212002001000L x x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅=-= ⎪⎝⎭ 此时，当10000x x=时，即100x =时，()L x 取得最大值(100)1000L =万元，1000950> 所以年产量为100件时，利润最大为1000万元.考点：函数、不等式的实际应用.18、（1）(){}44R A B x x ⋃=-<<（2）3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】（1）解一元二次不等式求得集合B ，由补集和并集的定义可运算求得结果；（2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.【小问1详解】由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}43R B x x =-<<，(){}44R A B x x ⋃=-<<.【小问2详解】R A B ⊆，当0a ≤时，A =∅，符合题意，当0a >时，由23a ≤，得302a <≤，故a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 19、（1）减函数，证明见解析（2）72，177 【解析】（1）根据定义法证明函数单调性即可求解；（2）根据（1）中的单调性求解最值即可.【小问1详解】任取1x ，2x ，且120x x << 则()()()21121212123333322x x f x f x x x x x x x -⎛⎫-=+-+=-= ⎪⎝⎭ - 因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以3()=2f x x+在区间()0,∞+上是减函数【小问2详解】因为函数3()=2f x x+在区间[]2,7上是减函数，所以()max 7()=22f x f =，()min 17()=77f x f =. 20、（1）2()1x f x x=+；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用奇函数可求b ，然后利用1(1)2f =可求a ，从而可得解析式；（2）先设量，作差，变形，然后判定符号，可得单调性.【详解】（1）因为2()1ax b f x x+=+为奇函数，所以(0)0f =，即0b =；因为1(1)2f =，所以122a b +=，即1a =；所以2()1x f x x =+. 2()()1x f x f x x --==-∴+2()1x f x x=+为奇函数综上，2()1x f x x =+ （2）证明：任取[]12,1,1x x ∈-，设12x x <，()()()()()()()()22122112121212222222121212111()()111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++；因为12x x <，[]12,1,1x x ∈-，所以120x x -<，1210x x ->，所以12()()f x f x <，故()f x 在[]1,1-上是增函数.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解和单调性的证明，明确函数单调性的证明步骤是求解的关键，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.21、（1）2T π=,5,,Z 242242k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）719[,)2424ππ 【解析】（1）用诱导公式将函数化为sin()y A x ωϕ=+，然后可解；（2）根据m 介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解.【小问1详解】()sin(4)cos(4)sin(4)cos[(4)]2sin(4)363323f x x x x x x ππππππ=++-=+++-=+ 所以()f x 的最小正周期242T ππ==，由242,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得5,242242x k k k Z ππππ≤≤-++∈，所以()f x 的单调递增区间为5,,Z 242242k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【小问2详解】令4232x k πππ+=-+，得5,242k x k Z ππ=-+∈ 因为()f x 在区间[]0,m 上存在唯一的最小值为-2，所以，5524224m ππππ-+≤<-+，即7192424m ππ≤< 所以实数m 的取值范围是719[,)2424ππ. 22、（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【解析】（1）利用降幂公式与辅助角公式将()f x 化简，在利用正弦函数的单调性质即可求得函数()f x 的单调递增区间；（2）由x 的取值范围，求出23x π+的范围，利用正弦函数的单调性即可求得函数()f x 的取值范围【详解】解：（1）因为()2sin cos 2f x x x x =+-1cos 21sin 222x x +⎫+⎪⎭12sin 22x x =+ sin(2)3x π=+ 由222232k x k πππππ-+++，k Z ∈，解得51212k x k ππππ-++，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， ∴当232x ππ+=即12x π=时()max 1f x =，当5236x ππ+=即4x π=时()min 12f x =， ∴1()12f x ，即()1,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

浙江省温州十校联合体2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题(含解析)

2023学年第一学期温州十校联合体期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}11,1,0,1|A x x B =-<<=-，则A B = （）A ．{}|1x x +≥”的否定是（）A ．0,10x x ∃≤++<C ．0,10x x ∃≤+≥D ．0,10x x ∀>+<3．已知定义在R 上的幂函数()f x ，则()()01f f -=（）A ．0B ．1-C ．1D ．不确定4．已知0.30.20.010.30.32,---===,a b c ，则下列正确的是（）A ．c b a<”的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．02a <C ．0a ≤或2a ≥D ．12a <<7．已知x ，y 满足22303220x a x y a -=⎧⎨++=⎩则²²x y +的取值范围是（）A．()12f=1．B【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】集合{}{}11,1,0,1|A x x B =-<<=-，所以{0}A B = .故选：B 2．B【分析】利用全称量词命题的否定写出结论，即可判断得解.【详解】命题“0,10x x ∀>+≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“0,10x x ∀>+≥”的否定是：0,10x x ∃>+<.故选：B 3．B【分析】根据常见幂函数的图象特点求解即可.【详解】由题意函数()f x 过点()0,0，()1,1，所以()()01011f f -=-=-.故选：B.4．A【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.【详解】因为0.3x y =在R 上单调递减，且0.30.20-<-<，可得0.300.20.30.30.31-->=>，即1a b >>，又因为2x y =在R 上单调递增，且0.010-<，可得0.010221-<==c ，所以c b a <<.故选：A.5．C【分析】根据一元一次方程的特点即可得到答案.【详解】由题意得02a b c c +-=⎧⎨=⎩，则2a b +=，所以4a b c ++=，故选：C.6．C由()f x 在(,)m n 既有最大值，又有最小值，得所以n m -的最大值为3.故答案为：317．(1){}1A B x x ⋃=≤-。

浙江省“浙南名校联盟”2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题含解析

2024-2025学年浙江省“浙南名校联盟”高一上期中联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{|31}A x x =-<<，2{|4}B x x =<，则A B = （）A.{}1,0- B.{}2,1,0,1--C.{|21}x x -<< D.{|32}x x -<<【答案】D 【解析】【分析】先化简集合B ，再求出两集合的并集即可．【详解】由2{|4}{|22}B x x x x =<=-<<，{|31}A x x =-<<，得{|32}A B x x =-<< .故选：D.2.要建造一个容积为31200m ，深为6m 的长方形无盖蓄水池，池壁的造价为95元2/m ，池底的造价为135元2/m ，问水池总造价最低时，水池的长a 与宽b 分别为（）A.a =，b = B.10a =，20b =C.20a =，10b = D.15a =，15b =【答案】A 【解析】【分析】设水池的长为a m ，宽为b m ，总造价为z 元；从而可得12002006ab ==，()95226135z a b ab =+⨯+⨯，结合基本不等式求最值即得.【详解】设水池的长为a m ，宽为b m ；总造价为z 元；则12002006ab ==，故200b a=；95(22)61351140()27000z a b ab a b =+⨯+⨯=++11402700027000≥⨯=+当且仅当a =b =.故选：A.3.若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.a b c >>B.b c a >>C.c b a >>D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性可得出a 、b 的大小关系，利用幂函数13y x =在欧 ∞上的单调性可得出b 、c 的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在上为减函数，故21331133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又13y x =在欧 ∞上为增函数，故11332133⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c b >，故c b a >>.故选：C.4.已知函数()2f x 的定义域为[]0,4，则()31xf -的定义域为（）A.[]0,8 B.[]0,2C.[]0,80 D.80,31⎡⎤-⎣⎦【答案】B 【解析】【详解】先由题意求出()f x 的定义域，进而可求()31xf -的定义域.【解答】因为函数()2f x 的定义域为[]0,4，由[]0,4x ∈，可得[]20,8x ∈，即()f x 的定义域为[]0,8，对于函数()31xf -，需使0318x ≤-≤，解得[]0,2x ∈，故()31xf -的定义域为[]0,2.故选：B.5.“2R,10x ax ax ∃∈-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A.()0,4 B.[)0,4 C.[]0,4 D.(]0,4【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题及其否定形式的真假结合二次不等式恒成立问题计算即可.【详解】由特称命题的否定形式及真假可知：“2R,10x ax ax ∃∈-+≤”为假则其否定形式“2R,10x ax ax ∀∈-+>”为真命题，显然当0a =时符合题意，当0a ≠时，由一元二次不等式的恒成立问题得2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解之得()0,4a ∈，综上可得[)0,4a ∈.故选：B6.“幂函数()()211m f x m m x-=--在()0,∞+单调递减”是“1m =-”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，再根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】若()f x 为幂函数，则211m m --=，解得1m =-或2m =，因当1m =-时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，符合题意；当2m =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增，不合题意.故由“幂函数()()211m f x m m x-=--在()0,∞+单调递减”当且仅当“1m =-”成立，即“幂函数()()211m f x m m x-=--在()0,∞+单调递减”是“1m =-”的充要条件．故选：B .7.已知()34122x xf x x m -=+-⋅，123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2-B.4- C.6- D.4【答案】C 【解析】【分析】由已知求得13313121432mm ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⋅，代入计算，即可得13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】由题意，得13313114122332f m -⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅，则113333113314112143322m m m -⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅，注意到11113333331133114122213322，m m m m m ----⎛⎫⎛⎫-=-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅则113333113311411212242633322f mm m ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=--+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅.故选：C8.()2269,01,1(),1,2x x x x m x f x x -+⎧-+≤≤⎪=⎨>⎪⎩若()f x 的最大值为()3f ，则m 的取值范围为（）A.3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.53,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】先求出()()max 31f x f ==，得当01x ≤≤时，21x x m -+≤恒成立，分离参数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】当1x >时，()()2236911()22x xx f x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，()23y x =-在()1,3递减，在()3,+∞递增，则当1x >时，()f x 在()1,3递增，在()3,+∞递减，故当1x >时，()()max 31f x f ==，则当01x ≤≤时，21x x m -+≤恒成立，则当01x ≤≤时，2211x x m x x -+-≤≤-++恒成立，又当01x ≤≤时，2213124x x x ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭，则当12x =时，()2max314x x -+-=-；当01x ≤≤时，2215124x x x ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，且当0x =时，211x x -++=；当1x =时，211x x -++=则当0x =时，()2min11x x -++=，故m 的取值范围为3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：A二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论错误的是（）A.若()()12f f <，则()f x 在[]1,2上单调递增B.()223f x x x =+-在[)0,+∞上单调递增C.()1f x x=在定义域内单调递减D.若()224,1,3,1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨+->⎪⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围为(]3,1--【答案】ACD 【解析】【分析】由单调性的定义可得A 错误；由二次函数的性质可得B 正确；由单调函数的规定可得C 错误；由分段函数的单调性结合二次函数和分式型函数的性质可得D 错误；【详解】对于A 、不符合任意性，故A 错误；对于B 、()()222314f x x x x =+-=+-，在()1,-∞递增，故B 正确；对于C 、()1f x x=在(),0-∞和()0,∞+递减，不能说在定义域内单调递减，故C 错误；对于D 、由题意，得2130312141a a a a ⎧⎪-≥⎪+>⎨⎪+⎪--⨯-≤-⎩，解得21a -≤≤-，故D 错误；故选：ACD.10.已知,0a b >，22a b ab ++=，则下列结论正确的是（）A.ab的最大值为6- B.2a b +的最大值为4-C.1112+++a b 的最小值为1 D.411a b++的最小值为4【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，B ，直接利用基本不等式即可求解；对于C ，由题设等式可得22ba b-=+，代入消元后根据对勾函数的性质可判断；对于D ，代入消元后根据基本不等式即可判断.【详解】对于A，由22a b ab ab =++≥，可得20ab +-≤，即得220-++≤，因,0a b >，解得02≤，故6ab ≤-2b a =时等号成立，由222a b a b ab =⎧⎨++=⎩，可得12a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，故当且仅当1a =-，2b =时，ab取得最大值为6-，故A 正确；对于B ，因122222a b ab a b +=-=-⋅⋅2122()22a b +≥-⋅，当且仅当2b a =时等号成立，令20t a b =+>，代入上式，可得21224t t ≥-⋅，即28160t t +-≥，解得4t ≥-，故当且仅当1a =-，2b =时，2a b +取得最小值为4-，故B 错误；对于C ，由22a b ab ++=，可得22ba b-=+，由0a >，可得02<+=++，即C 错误；对于D ，4141122112b b a b b b b+=+=++-+++24≥+=，当且仅当1b =，13a =时等号成立，故411a b++的最小值为4，故D 正确.故选：AD .11.存在函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有（）A.()2222f x x x x -=+ B.()2212f x x x +=+-C.()2e e2x xf xx--=- D.()e23xxf =+【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，令0x =与2x =即可判断；对于B ，配方、换元即可判断；对于C ，换元，根据函数的单调性及函数的定义即可判断；对于D ，换元即可判断.【详解】对于A ，令0x =，可得()00f =；令2x =，可得()08f =，矛盾，故A 错误；对于B ，()22221111x x x x +=+-=+-，所以()21112fx x +-=+-.令211t x =+-，则)11x t +=≥-，所以()()21f t t =≥-，所以()()21f x x =≥-，故B 正确；对于C ，设e e x x t -=-，e =x m ，则1=-t m m，e x m = 是增函数，x 与m 一一对应，又1(0)t m m m=->也是增函数，m 与t 也是一一对应，x ∴与t 为一一对应，同时22y x x =-符合函数定义，故C 正确；对于D ，令()e 0xt t =>，则ln x t =，所以()()ln 230t f t t =+>，所以()()ln 230x f x x =+>，故D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.log 2lg 2lg2lg5lg52++⋅++的值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用对数、指数运算性质即可求解.【详解】原式()2lg2lg2lg5lg5=+⋅++2lg 2lg5213=++=+=故答案为：313.()122f x x x =-+-，则不等式()32f x ≤的解集为__________.【答案】313,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分类讨论去绝对值，求解即可.【详解】当1x <时，()()12253f x x x x =-+-=-，由()32f x ≤，可得3532x -≤，解得76x ≥，故x 不存在；当12x ≤≤时，()()1223f x x x x =-+-=-，由()32f x ≤，可得332x -≤，解得32x ≥，故322x ≤≤；当2x >时，()()12235f x x x x =-+-=-，由()32f x ≤，可得3352x -≤，解得136≤x ，故1326x <≤，综上，31326x ≤≤，故答案为：313,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.已知a ，b ，0c >，1b c +=，则4b ca abc bc+++的最小值为__________.【答案】5【解析】【分析】由基本不等式得41b c a abc bc ++≥-+，再结合已知利用基本不等式求出4b c bc +的最小值可得解.【详解】()()4411111b c b ca a abc bc bc a +++=++-≥=++①，当且仅当24(1)b ca bc++=时取等号，()441414559b c b c b c bc c b c b c b +⎛⎫=+=++=++≥= ⎪⎝⎭，即49b c bc +≥②，当且仅当4b cc b=时，即13b =，23c =时取等号，将②式代入①式得412315b c a abc bc ++≥-=⨯-=+，当且仅当2a =，13b =，23c =时取等号.故答案为：5.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知(]71,21,{|1}5A a aB x x =+-=≤--.（1）若3a =，{|25}U x x =-<≤，求()U A B ⋂ð；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求a 的取值范围.【答案】（1）(){|245}U A B x x x ⋂=-<≤=或ð（2）()2,3【解析】【分析】（1）根据不等式求出集合B ，然后依据集合的运算求出结果即可；（2）根据已知命题q 是命题p 的必要不充分条件可得集合关系，进而求出结果【小问1详解】2{|0}{|25}5x B x x x x +=≤=-≤<-；当3a =时，(]4,5{|45}A A B x x =∴=<< (){|245}U A B x x x ∴=-<≤= 或ð.【小问2详解】由题意得AB ,则121,215,12a a a a +<-⎧⎪-<⎨⎪+≥-⎩即233a a a >⎧⎪<⎨⎪≥-⎩,得23a <<.故a 的取值范围是()2,3.16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32xf x x =+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求不等式()3f x >的解集；（3）R a ∈，解关于x 的不等式()()2220f ax ax f x +++>.【答案】（1）332,0()0,0,2,0x x x x f x x x x -⎧+>⎪==⎨⎪-<⎩（2）()1,+∞（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()32xf x x =+，可求0x <时的解析式；（2）结合函数单调性进行求解即可；（3）()()2220f ax ax f x +++>等价于()()222.f ax ax f x +>--又()f x 在R 上单调递增，所以222ax ax x +>--，即()2220ax a x +++>，然后解不等式即可.【小问1详解】当0x =时，()0f x =.当0x <时，0x ->，()33()22xx f x x x ---=-+=-+，所以()32x f x x -=-.332,0()0,0,2,0x x x x f x x x x -⎧+>⎪∴==⎨⎪-<⎩【小问2详解】由题意得当0x >时，()f x 单调递增且()1f x >，()00f =，在[)0,∞+上单调递增，又()f x 为奇函数，在R 上单调递增，()()31f x f >= .1x ∴>即()3f x >的解集为欧 ∞.【小问3详解】()()2220f ax ax f x +++>等价于()()222f ax ax f x +>--.又()f x 在R 上单调递增，222ax ax x ∴+>--，即()2220ax a x +++>.①当0a =时，220x +>，解得1x >-，∴原不等式解集为()1,∞-+；②当0a <时，原不等式可化为()210x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，解得21x a-<<-，∴原不等式解集为21,a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.③当0a >时，原不等式可化为()210x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，()2i 1a-=-时，即2a =时，原不等式解集为()(),11,∞∞--⋃-+；()2ii 1a ->-时，即2a >时，原不等式解集为()2,1,a ∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭；()2iii 1a -<-时，即2a <时，原不等式解集为()2,1,a ∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭；17.温州市初中毕业生体育学业测试项目中，耐力类（男生1000米/女生800米）为必考项目.现一体重为50kg 的小明准备做四分钟的跑步训练，其分为两个阶段，第一阶段为前一分钟的稳定阶段，第二阶段为后三分钟的疲劳阶段.假设小明稳定阶段做速度为16m /v s =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力111160Q t v =⨯△（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段变为22630t v =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间），由于速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力222260t v Q t ⨯=+△.假定小明可用于跑步消耗的初始体力为0700kJ Q =，不考虑其他因素，所用时间为t （单位s ），请回答下列问题：（1）写出小明剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）小明在四分钟内何时体力达到最低，最低值是多少；（3）小明在三分整时，恰好跑完840米，若此时他准备做匀速冲刺阶段，此阶段每千克体重消耗体力33333)11(400200Q v v t =+）△（（3t 表示该阶段所用时间），问在保证体力未消耗完的前提下，小明能否在3分40前跑完一千米？【答案】（1）()7005,060,48050100,6024030t t Q t t t t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）第120秒时，体力为最小值300kJ（3）不能【解析】【分析】（1）分类讨论当060t ≤≤时，当60240t <≤时，得到解析式；（2）当060t ≤≤时，()Q t 为一次函数且单调递减，当60240t <≤时，结合基本不等式求解；（3）当180t =时，此时()10003Q t =要使在三分四十前到达，需要34v ≥，求解即可.【小问1详解】当060t ≤≤时，()670050700560Q t t t =-⋅⋅=-.当60240t <≤时，()()60606480304005050100606030t t t Q t t t-⎛⎫-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅=⋅- ⎪-+⎝⎭.综上()7005,060,48050100,6024030t t Q t t t t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当060t ≤≤时，()Q t 为一次函数且单调递减，∴此过程()min ()60400Q t Q ==，当60240t <≤时，()480501005010030030t Q t t ⎛⎫=⋅+-≥⋅=⎪⎝⎭，当且仅当48030t t =，即120t =时取“=”.由于300400<，第120秒时，体力最小值为300kJ【小问3详解】当180t =时，此时()480180100050100180303Q t ⎛⎫=⋅+-=⎪⎝⎭.冲刺时，体力消耗量为33331150(()4002)00v v t ⋅+32333311160(()20()4084)v v v v =+⋅=+，要使在三分四十前到达，需要34v ≥，23100020()403603v ∴+≥>，所以小明不能在3分40前跑完一千米.18.已知()122x x a f x b++=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若()f x 的定义域为R ，判断()f x 的单调性并证明；（3）在第二问的条件下，()22g x x mx =-，对任意的1R x ∈，存在[]20,4x ∈，使得()()12f x g x =，求m 的取值范围.【答案】（1）2a =-，1b =或2a =，1b =-（2）()f x 在R 上单调递增，证明见解析（3）74⎤⎥⎦【解析】【分析】（1）直接根据奇函数的定义求解即可；（2）利用作差法来证明函数的单调性；（3）先记1R x ∈时，()1f x 的值域为A ，[]20,4x ∈时，()2g x 的值域为B ，然后得出A B ⊆，再求出()2,2A =-，得到max ()2g x ≥，min ()2g x ≤-，对m 进行分类讨论即可求出m 的取值范围.【小问1详解】由题意得()00f =或()0f 不存在，①当()00f =时，()2001a f b +==+，2a =-，()1222x x f x b+-=+，又()()11f f =--，即4212122b b --=-++，1b ∴=，经检验()12221x x f x +-=+为奇函数，2a ∴=-，1b =满足条件；②当()0f 不存在时，1b =-，()1221x x f x a ++-=，又()()11f f =--，即1412211a a ++=---，2a ∴=，经检验()12221x x f x ++=-为奇函数，2a ∴=，1b =-满足条件；【小问2详解】()f x 定义域为R ，()12221x x f x +-∴=+，任取1x ，2R x ∈，12x x <，()()1212121112222222212121212121x x x x x x f x f x ++--⎛⎫⎛⎫-=-=⋅--- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()122112112244021212121x x x x x x -⎛⎫=-=⋅< ⎪++++⎝⎭，()()()12,f x f x f x ∴<∴在R 上单调递增；【小问3详解】记1R x ∈时，()1f x 的值域为A ，[]20,4x ∈时，()2g x 的值域为B ，由题意得A B ⊆，令21(1)xt t =+>，则()()()121222422,221x x t f x t t +---===-∈-+，()2,2A ∴=-，又A B ⊆，max ()2g x ∴≥，min () 2.g x ≤-①当2m ≥时，()()max 00g x g ==不符合题意，②当02m ≤<，()max ()41682g x g m ==-≥，()2min ()2g x g m m ==-≤-，即21682202m m m -≥⎧⎪-≤-⎨⎪≤<⎩，74m ≤≤，③当0m <时，()min ()002g x g ==≤-不成立，综上所述：m的取值范围为74⎤⎥⎦.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由集合间的包含关系对m 进行分类讨论.19.设k 是正整数，A 是*N 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的任意两个元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,4,5B =，{}1,5,6C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1211,,,1,2,,20A a a a =⊆ ，证明A 不可能具有性质()5P ；（3）若集合{}1,2,,1000A ⊆ 且具有性质()4P 和()7P ，求A 中元素个数的最大值.【答案】（1）{}1,2,4,5B =不具有性质()2P ，{}1,5,6C =具有性质()2P ，理由见解析（2）证明见解析（3）455个.【解析】【分析】（1）根据定义判断,B C 是否具有性质()2P 即可；（2）将集合{}1,2,,20 中的元素分为10个集合，进行求解即可；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，然后求出集合A 中共有455个元素，即可.【小问1详解】422-= ，B ∴不具有性质()2P .512-≠ ，612-≠，652-≠，C ∴具有性质()2P ；【小问2详解】将集合{}1,2,,20 中的元素分为如下10个集合，{}1,6，{}2,7，{}3,8，{}4,9，{}5,10，{}11,16，{}12,17，{}13,18，{}14,19，{}15,20.所以从集合{}1,2,,20 中取11个元素，那么这10个集合至少有一个集合要选2个数，存在两个元素其差为5，A ∴不可能具有性质()5P ；【小问3详解】先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3…，11为例.将这11个数分为{}1,8，{}2,9，{}3,10，{}4,11，{}5，{}6，{}77个集合，①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{}4,11只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{}1,8只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3…11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{}1,8，{}2,9，{}3,10，{}4,11每个集合至多选1个元素，故1，2，3…，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为1000901110=⨯+，则把每11个连续自然数分组，前90组每组至多选取5项；从991开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有915455⨯=个.给出如下选取方法：从1，2，3…，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造90次.此时集合A 的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；；2014，2017，2019，2020，2022，991，994，996，997，999共455个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A 的元素最多有455个.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点在于根据集合新定义对集合A的中元素进行分类，可先取其中连续11项进行讨论较为简单.。

浙江省部分重点中学高一数学第一学期联考试题

浙江省部分重点中学高一数学第一学期联考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把正确选项写在答题卡中相应的题号下。

1．全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－x <0}，B ＝{x |1x≤1}，则 A ．A C U BB ．C U B AC ．A ＝C U BD ．（C U A ）∪B ＝R2．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f （x ）＝x 2＋2（a －1）x ＋2在区间（－∞，4）上是减函数，则A ．a ≥3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a ＝－34．2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷的结果是A ．6aB ．－aC ．－9aD ．9a5．函数y1（x ≥1）的反函数是A ．y ＝x 2－2x ＋2（x <1） B ．y ＝x 2－2x ＋2（x ≥1） C ．y ＝x 2－2x （x <1）D ．y ＝x 2－2x （x ≥1）6．f （x ）＝1221(0)(0)x x xx -⎧-≤⎪⎨⎪>⎩若f （x 0）>1，则x 0的取值范围是A ．（－1，1）B ．（－1，＋∞）C ．（－∞，－2）∪（0，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）7．函数y ＝a x（a >0且a ≠1），在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a，则a 的值为 ≠ ⊂ ≠ ⊂A ．12B ．32C ．23或2 D ．12或328．若不等式5－x >7|x ＋1|与不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则a 、b 的值分别是A ．a ＝－4，b ＝－9B ．a ＝－1，b ＝9C ．a ＝－8，b ＝－10D ．a ＝－1，b ＝29．已知函数f （x ）的图象过点（0，1），则y ＝f （x －4）的反函数图象过点A ．（1，4）B ．（4，1）C ．（3，0）D ．（0，3）10．已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （2－x ）＝－f （x ），x >1时f （x ）单调递增，如果x 1<x 2，x 1＋x 2<2，且（x 1－1）（x 2－1）<0，则f （x 1）＋f （x 2）的值A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案写在答题卡中相应的横线上。

浙江省杭州市高级中学2023届高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析

即存在实数 ,使成立,
而当时, ,
所以的取值范围是
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解析式,考查定义法证明函数单调性,考查已知函数单调性求参数问题,考查转化思想和运算能力
21、（1）（）（2）存在，
【解析】（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；
【解析】由补集的定义分析可得，即可得答案
【详解】根据题意，全集，而，
则，
故选：
12、A
【解析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，再依次判断每个选项的奇偶性和单调性得到答案.
【详解】易知：函数为偶函数，且在上单调递增
A. ，函数为偶函数，且当时单调递增，满足；
B. 为偶函数，且当时单调递减，排除；
A. B.
C. D.
9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
10．已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为( )
A.2B.
C. D.
11．设全集，集合，那么（）
A. B.
C. D.
12．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是
【详解】解：由题意，得4=2a+b≥2 ，当且仅当2a=b，即a=1，b=2时等号成立，
所以0<ab≤2，所以ab的最大值为2，
a2+b2=a2+(4-2a)2=5a2-16a+16=5(a- )2+ ≥ ，当a= ，b= 时取等号.
故答案为：， .
16、
【解析】因为奇函数的定义域为，若在上单调递减，所以在定义域上递减，且，所以解得，故填 .

浙江省2019-2020学年高一数学上学期期中联考试题(含解析)

________
【答案】
1 (1). 3
4 (2). 3
【解析】
【分析】
化根式利用有理数指数幂，指数运算，对数运算即可得到答案.
【详解】
42 3
27 3
2 3
2
32 3 1 3 3 2 33
3 1
32 1 3 3，
2 2 2 4 2log2 3
log2 4log2 3
log
2
4 3
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟 2019-2020 学年高一数学上学期期中联考试题（含解析）
考生须知: 1.本卷共 4 页满分 120 分，考试时间 100 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
f (x) log1 (x 1)
3.设函数
2
，则（）
A. f (x) 在 (0, ) 单调递增
B. f (x) 在 (0, ) 单调递减
C. f (x) 在 (1, ) 单调递增
D. f (x) 在 (1, ) 单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
求出 f (x) 定义域，根据对数函数的单调性即可求解.
所以 3 2a 1 ，解得 a 1 ，故 0 a 1，
若 a 1，则 f x为增函数，由 f x的值域为1, ，
当
x
1 时，
f
x
ax
3
2a
3
a
，即函数
f
x
在区间
1,
上的值域为
C. y 轴对称
【答案】B
B. 原点对称
D. 直线 y x 对称

浙江省杭州市2023_2024学年高一数学上学期12月阶段联考试题含解析

考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,3,5,7,2,3,5,6A B ==，则A B ⋃=（）A.{}3,5 B.{}3,5,6 C.{}1,2,3,5,6,7 D.{}1,2,3,4,5,6,7【答案】C 【解析】【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}1,3,5,7,2,3,5,6A B ==，所以A B ⋃={}1,2,3,5,6,7，故选：C2.在0360 的范围内，与520- 终边相同的角是（）A.310 B.200 C.140 D.20【答案】B 【解析】【分析】根据终边相同角的性质进行求解即可.【详解】与520- 终边相同的角可以表示为()523600Z k k ︒-∈，由题意可知1322036036052990k k ︒︒︒<<⇒<<-，因为Z k ∈，所以2k =，于是有5203602200︒︒⨯=- ，故选：B3.命题“22,40x x ∀≥-<”的否定是（）A.22,40x x ∃≥-≥ B.22,40x x ∃<-≥C.22,40x x ∀<-≥ D.22,40x x ∀<-<【答案】A 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.【详解】命题“22,40x x ∀≥-<”为全称量词命题,它的否定为22,40x x ∃≥-≥,故选：A4.设,a b 都是不等于1的正数，则“444a b >>”是“44log log a b <”成立的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性将不等式化简，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.【详解】因为,a b 都是不等于1的正数，由444a b >>可得1a b >>，由44log log a b <可得0a b <<，则1a b >>是0a b <<的既不充分也不必要条件，即“444a b >>”是“44log log a b <”成立的既不充分也不必要条件.故选：D5.直线:l x a =与二次函数()y f x =交点个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.以上都有可能【答案】B 【解析】【分析】数形结合判断即可.【详解】直线:l x a =为的纵坐标为R ，图像为一条与y 轴平行的直线，设二次函数为2,0y Ax Bx C A =++≠，当0A >时，1,2,1A B C ===；开口向上，图像与直线一定有一个交点，如图：当0A <时，如1,2,1A B C =-==如；开口向下，图像与直线一定有一个交点，如图：故选：B6.设函数()348f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()()10,30f f <>，则方程的近似解落在区间（）A.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得3(0,(2)02f f >>，得到3(1)()02f f ⋅<，结合零点的存在性定理，即可求解.【详解】由函数()348f x x x =+-，且()()10,30f f <>，可得3()70,(2)2602f f =>=>，所以3(1)(02f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得方程3480x x +-=的近似解落在区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.7.2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，秉持“绿色､智能､节俭､文明”的办赛理念，其中“绿色低碳”被摆在首位，比如所有场馆实现100%绿色供电､所有亚运会官方指定用车均为新能源汽车.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A h ⋅），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间56h t =，则当放电电流15A I =时，放电时间为（）A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h【答案】A 【解析】【分析】将10A I=时，56h t =代入公式n C I t =⋅，结合32log 2n =即可计算15A I =时的放电时间.【详解】由题意得：561015n nC t =⨯=，则1025656153nn n t ⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭，由32log 2n =，故32log 22565656283232nt ⎛⎫=⨯=== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故放电时间为28h .故选：A.8.已知定义在R 上的函数()(),f x g x ，其中函数()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,∞+上单调递减，函数()g x 满足()()22g x g x -=+且在()2,+∞上单调递减，设函数()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦，则对任意x ∈R ，均有（）A.()()22F x F x -≥+ B.()()22F x F x -≤+C.()()2222F x F x -≥+ D.()()2222F xF x -≤+【答案】C 【解析】【分析】判断函数()f x 以及()g x 的性质，化简()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦的表达式，讨论()()f x g x ≤恒成立以及()()f x g x ≤恒成立和()()f x g x ≥，()()f x g x ≤均存在，结合函数性质，即可判断选项的正误，即得答案.【详解】因为()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，()f x 在[)0,∞+上单调递减，则在(,0]-∞上单调递增，函数()g x 满足()()22g x g x -=+且在()2,+∞上单调递减，则()g x 图象关于2x =对称，在(,2]-∞上单调递增，当()()f x g x ≥时，()()()()()1()2F x f x g x f x g x f x =++-=⎡⎤⎣⎦，当()()f x g x ≤时，()()()()()1()2F x f x g x g x f x g x =++-=⎡⎤⎣⎦；①当()()f x g x ≤恒成立时，()()F x g x =，图象关于2x =对称，此时()()22F x F x -=+，()()2222F xF x -=+；②当()()f x g x ≥恒成立时，()()F x f x =，图象关于y 轴对称，当|2||2|x x -+≥时，()()22F x F x -≤+；当|2||2|x x -≤+时，()()22F x F x -≥+；即说明A ，B 错误；当220x -≥，即202x ≤≤时，22022x x ≤-≤+，则()()2222F x F x -≥+，当220x -≤，即22x ≥时，()()()222222F x F xF x -=-≥+，故若()()F x f x =，则()()2222F xF x -≥+，则说明D 错误；③若()()f x g x ≥，()()f x g x ≤均存在，则不妨作()F x 示意图如图：222,2x x -+关于直线2x =对称，且2222x x -≤+，则()()2222F x F x -≥+，综合上述，可知C 正确，故选：C二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.1R,1x x x∃∈+=- B.20,2x x x ∃>=C.2R,1x x x ∀∈-≥- D.0,ln 0x x ∀>>【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式，求得1x x+的取值范围，可判定A 不正确；根据当2x =时，得到22x x =，可判定B 正确；结合配方法，可判定C 正确；结合对数函数的性质，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，当0x >时，则12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立；当0x <时，则11[()2x x x x +=--+≤-=--，当且仅当=1x -时，等号成立，所以1x x+的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ ，所以A 不正确；对于B 中，当2x =时，可得22x x =，所以命题20,2x x x ∃>=为真命题，所以B 正确；对于C 中，由221331()244x x x -+=-+≥，所以命题2R,1x x x ∀∈-≥-为真命题，所以C 正确；对于D 中，当01x <<时，ln 0x <，所以命题0,ln 0x x ∀>>为假命题，所以D 不正确.故选：BC.10.已知幂函数()f x 的图象经过点()4,2，则（）A.函数()f x 为增函数B.函数()f x 为偶函数C.当4x ≥时，()2f x ≥D.当120x x >>时，1212()()()22f x f x x x f ++<【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，求得幂函数为()12f x x =，利用奇偶性的定义，以及幂函数的图象与性质，结合指数幂的运算性质，逐项判定，即可求解.【详解】设幂函数的解析式为()(R)f x x αα=∈，因为幂函数()f x 的图象过点()4,2，可得42α=，解得12α=，即()12f x x =，所以函数()f x 的定义域为[0,)+∞，不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以A 正确，B 不正确；当4x ≥时，可得()()42f x f ≥=，所以C 正确；当120x x >>时，22121212()()[][(222f x f x x x x x f +++-=-0==<，因为()0f x ≥，所以1212()()()22f x f x x x f ++<，所以D 正确.故选：ACD.11.已知()2f x x bx c =++在()0,1上有两实根，则()()01f f ⋅的值可能为（）A.14B.18C.116D.132【答案】CD 【解析】【分析】根据给定条件，设出方程的两个实根，并表示,b c 及()()01f f ⋅，再用基本不等式求出范围即可.【详解】设方程()0f x =的两个实根为12,x x ，则12,(0,1)x x ∈，显然1212(),b x x c x x =-+=，此时2221212124()4()0b c x x x x x x ∆=-=+-=-≥，即方程()0f x =有两个实根，因此1212121122(0)(1)(1)(1)(1)(1)f f c b c x x x x x x x x x x ⋅=++=--+=-⋅-221122111()(2216x x x x +-+-≤⋅=，当且仅当1212x x ==时取等号，显然()()0·10f f >，即()()10·10,16f f ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()()01f f ⋅的值可能为116，132，即AB 错误，CD 正确.故选：CD12.一般地，若函数()f x 的定义域为[,]a b ，值域为[,]ka kb ，则称[,]a b 为()f x 的“k 倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为[,]a b ，值域也为[,]a b ，则称[,]a b 为()f x 的“完美区间”.下列结论正确的是（）A.若[2,]b 为2(6)4f x x x =-+的“完美区间”，则6b =B.函数1()f x x=存在“完美区间”C.二次函数2113()22f x x =-+存在“2倍美好区间”D.函数||1()||m x f x x -=存在“完美区间”，则实数m 的取值范围为(2,){0}+∞⋃【答案】BCD 【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k 倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.【详解】对于A ，因为函数2(6)4f x x x =-+的对称轴为2x =，故函数()f x 在[2,]b 上单增，所以其值域为2[2,46]b b -+，又因为[2,]b 为2(6)4f x x x =-+的完美区间，所以246b b b -+=，解得2b =或3b =，因为2b >，所以3b =，A 错误；对于B ，函数1()f x x =在(),0∞-和()0,∞+都单调递减，假设函数1()f x x=存在完美区间[,]a b ，则11a bb a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即a ，b 互为倒数且a b <，故函数1()f x x =存在完美区间，B 正确；对于C ，若2113()22f x x =-+存在“2倍美好区间”，则设定义域为[,]a b ，值域为[2,2].a b 当0a b <<时，易得2113()22f x x =-+在区间上单调递减，22113222113222a b b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，两式相减，得4a b +=，代入方程组解得1a =，3b =，C 正确.对于D ，()f x 的定义域为{}0x x ≠，假设函数1,01()1,0m x m x xf x x m x x ⎧+<⎪-⎪==⎨⎪->⎪⎩存在“完美区间”[,]a b ，若0b <，由函数()f x 在(,0)-∞内单调递减，则11m b am a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0m =；若0a >，由函数()f x 在(0,)+∞内单调递增，则11m a a m bb ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即1x m x =-在(0,)+∞有两解a ，b ，得2m>，故实数m 的取值范围为(2,){0}+∞⋃，D 正确.故选：BCD.【点睛】抓住“k 倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a ，b 的取值，列出方程组.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()7538f x ax bx cx dx =+++-，且()25f -=，则()2f =__________.【答案】21-【解析】【分析】利用代入法，整体法进行求解即可.【详解】因为()7538f x ax bx cx dx =+++-，所以()()()()()7532222285f a b c d -=-+-+-+--=即753222213a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅=-，所以()75322222813821f a b c d =⋅+⋅+⋅+⋅-=--=-，故答案为：21-14.如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为()0ααπ<≤.若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为______.【答案】8π【解析】【分析】先求出圆心角为α，再根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：由题意4πα=，所以该扇形的面积2812S r πα==.故答案为：8π.15.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量()3mg /m y 与时间()1h 02t t ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数，12t ≥），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到()30.25mg /m 以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前__________小时进行消毒工作.【答案】1【解析】【分析】根据题意，求得参数a 的值，得到含药量()3mg /my 与时间()h t 的函数关系式，令0.25y ≤，结合指数幂的运算性质，即可求解.【详解】由图中的一次函数的图象得，图象中线段所在的直线方程为12(0)2y t t =≤≤，又由点1(,1)2在曲线116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭上，可得121116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =，所以含药量()3mg /m y 与时间()h t 的函数关系式为1212,0211,162t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，当12t >时，令10.254y ≤=，即1211164t -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可得1122t -≥，解得1t ≥，所以学校应安排工作人员至少提前1小时进行消毒工作.故答案为：1.16.设函数()2461f x ax bx a =+-+，当[]4,4x ∈-时，恒有()0f x ≥成立，则10a b +的最小值为__________.【答案】13-【解析】【分析】将()2461f x ax bx a =+-+化为()216)(4f x x a bx -=++，和10a b +比较系数，求得x 的值，结合()0f x ≥恒成立，即可求得答案.【详解】由题意得()216)(4f x x a bx -=++，令246101x x -=，解得3x =或12x =-，当3x =时，()033031f a b =++≥，即1103a b +≥-，当12x =-时，1012152f a b ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝-⎭，则102a b +≤，验证：3x =时，38b a -=，1103a b +=-，即112,4221a b ==-时，10a b +取到最小值13-，故答案为：13-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）01430.25337(0.064)(2)2568---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭（2）3121log 24lg539--⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）2916；（2）0【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则，即可求得答案；（2）根据指数幂的运算性质以及对数的运算法则，即可求得答案.【详解】（1）01430.25337(0.064)(2)2568---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭13()44(0.25)3(0.4)1(2)4⨯--⨯-=-+-+511292164161+=-+=；（2）3121log 24lg539--⎛⎫-- ⎪⎝⎭312log 3lg5332=-+⨯33lg51lg21(lg5lg 2)022=-+--=-+=.18.已知集合{}(){}|234,|812A x a x a a B x x =+≤≤-∈=≤≤R .（1）若集合B 是集合A 的充分条件，求a 的取值范围；（2）若A B ⋂=∅，求a 的取值范围.【答案】（1）16,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）()(),410,-∞+∞【解析】【分析】（1）将原问题等价转换为由包含关系求参数，根据包含关系列出不等式组求解即可.（2）由题意分集合A 是否为空集进行讨论即可，讨论时，根据题意列出相应的不等式组求解即可.【小问1详解】由题意若集合B 是集合A 的充分条件，则当且仅当B A ⊆，即当且仅当283412a a +≤⎧⎨-≥⎩，解得1663a ≤≤，即a 的取值范围为16,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当A =∅时，满足题意，即满足A B ⋂=∅，此时234a a +>-，解得3a <；当A ≠∅且A B ⋂=∅时，当且仅当3348a a ≥⎧⎨-<⎩或3212a a ≥⎧⎨+>⎩，解得34a ≤<或10a >；综上所述，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为()(),410,-∞+∞ .19.已知函数()221x f x a =-+.（1）求()0f ；（2）探究()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）若()f x 为奇函数，求满足()()22f ax f <的x 的取值范围.【答案】（1）1a -（2）单调递增，证明见解析（3）(,1)-∞【解析】【分析】（1）根据函数解析式，将0x =代入，即得答案；（2）判断函数单调递增，根据函数单调性的定义即可证明该结论；（3）根据函数为奇函数求出a ，则根据函数的单调性解不等式，即可求得答案.【小问1详解】由于()221x f x a =-+，故()012102f a a =-=-+；【小问2详解】探究：()f x 在R 上单调递增，证明如下：()f x 的定义域为R ，任取1212,R,x x x x ∈<，则()()()()()121212122222221211212x x x x x x f x f x a a ⋅--=--+=++++，因为1212,22x xx x ∴<<，12120,120x x +>+>，故()()()121222201212x x x x ⋅-<++，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增；【小问3详解】因为()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-，即222121x x a a --=-+++，即222222*********x x x x x a -⋅=+=+=++++，所以1a =，则()()22f ax f <，即()()22f x f <，而()f x 在R 上单调递增，故22,1x x <∴<，即x 的取值范围为(,1)-∞.20.已知函数sin cos sin cos y αααα=++⋅当sin cos t αα=+时，t ⎡∈⎣（1）若t =，求tan α的值；（2）求函数sin cos sin cos y αααα=++⋅的值域.【答案】（1）1（2）11,2⎡-+⎢⎣【解析】【分析】（1）利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解.（2）先利用换元法由（1）可得21122y t t =+-；再利用二次函数的单调性求出最值即可得出答案.【小问1详解】πsin cos4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，t =.∴π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：π2π,Z 4k k α=+∈.∴ππtan tan 2πtan 144k α⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.【小问2详解】sin cos t αα=+，22sin cos 1αα+=.∴()22sin cos 12sin cos t αααα=+=+，∴21sin cos 2t αα-=.则22111sin cos sin cos 222t y t t t αααα-=++⋅=+=+-，t ⎡∈⎣.函数21122y t t =+-在区间1⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间⎡-⎣上单调递增.∴当1t =-时，()2min 1111122y =⨯---=-.又当t =(2111222y =⨯-=当t =时，211112222y =⨯=+>-.∴当t =时，max 12y =.故函数sin cos sin cos y αααα=++⋅的值域为11,2⎡-+⎢⎣.21.若正数,a b 满足24a b +=.（1）求ab 的最大值；（2）求511a b++的最小值.【答案】（1）2（2）75+【解析】【分析】（1）直接运用基本不等式进行求解即可；（2）根据已知等式，进行常值代换、结合基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为正数,a b 满足24a b +=，所以有422a b ab =+≥⇒≤，当且仅当2a b =时取等号，即当2,1a b ==时，ab 有最大值【小问2详解】因为正数,a b 满足24a b +=，所以有125a b ++=，于是有()15111101721012772515155a b a b a b b a ⎛++⎛⎫⎛⎫+++=++≥+= ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1101a b b a +=+时取等号，即当且仅当2251051010,36a b --==时，511a b ++有最小值72105+.22.已知函数()()ln 11,20,ln ,0.x x f x x x ⎧--+-<<⎪=⎨>⎪⎩．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若关于x 的方程(21)f x m -=有4个不同的解，记为()12341234,,,,x x x x x x x x <<<，且312415x x x x λ⋅->恒成立，求λ的取值范围．【答案】（1）(1,0),(1,)-+∞（2）510λ>．【解析】【分析】（1）将函数化为分段函数，根据对数函数的单调性及复合函数的单调性直接得解；（2）根据题意可得出31323431,1,21x x x x x x x =-=-=-，分离参数可得233342521x x x λ-+->-，令321t x =-，换元后利用均值不等式求解.【小问1详解】（1）()()()ln 2,21ln ,10ln ,01ln ,1x x x x f x x x x x ⎧-+-<≤-⎪---<<⎪=⎨-<≤⎪⎪>⎩.根据复合函数单调性的知识得()f x 的单调递增区间有(1,0),(1,)-+∞．【小问2详解】由（1）可知1234221121021121x x x x -<-<-<-<<-<<-化简可得：1234110122x x x x -<<<<<<<∵()()()()123421212121f x f x f x f x m-=-=-=-=∴()()()()1234ln 212ln 21ln 21ln 21x x x x --+=---=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴()()12341212212121x x x x -+=--=-=-∴31323431,1,21x x x x x x x =-=-=-∵312415x x x x λ⋅->恒成立∴()()()333121115x x x λ⋅---->∴233342521x x x λ-+->-对任意31,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立即：2333max42521x x x λ⎛⎫-+- ⎪> - ⎪⎝⎭令321t x =-，则31(0,1),2t t x +∈=∴2233314412111552552114202210t t x x t x t +⎛⎫-++--+- ⎪-⎝⎭==--+≤-=-（当且仅当5t =时，等号成立）∴510λ->．【点睛】关键点点睛：根据题意中方程有四个解可转化出124,,x x x 三者与3x 的关系，进而将不等式转化为关于3x 的不等式，为分离参数创造条件，分离参数后，整体换元是第二个关键点，由321t x =-换元，化简变形成为能够使用均值不等式的结构，求出函数最值，得到参数的取值范围，对能力要求较高，属于难题.。

浙江省重点高中高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．命题“，总有”的否定是（） (0)x ∀∈+∞，212x x +≥A ．，总有 (0)x ∀∈+∞，212x x +<B ．，总有 (0)x ∀∉+∞，212x x +<C ．，使得 (0)x ∃∈+∞，212x x +<D ．，使得 (0)x ∃∉+∞，212x x +≥【答案】C【解析】全称命题否定为特称命题即可，改量词否结论【详解】解：因为命题“，总有”， (0)x ∀∈+∞，212x x +≥所以其否定为“，使得” (0)x ∃∈+∞，212x x +<故选：C2．若，且，则角是第（）象限角． sin tan 0αα<cos 0tan αα<2αA ．二B ．三C ．一或三D ．二或四【答案】D【分析】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限.α2α【详解】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第sin αtan ααcos αtan αα三或第四象限角所以为第三象限角，即， α3π2ππ2π,Z 2k k k α+<<+∈， ∴π3πππ,Z 224k k k α+<<+∈为第二或第四象限角.∴2α故选：D. 3．函数的图象如图所示，则（）()2()ax bf x x c +=+A ．B ． 0,0,0a b c <<<0,0,0a b c ><>C ．D ．0,0,0a b c >><0,0,0a b c ><<【答案】D【分析】通过函数的定义域可求出的范围，由可判断的范围，由函数图象与轴的交点可c (0)f b x 判断的范围a 【详解】函数的定义域为， {}x x c ≠-由图可知，则， 0c ->0c <由图可知，所以， 2(0)0bf c =<0b <由，得，， ()0f x =0ax b +=b x a=-由图可知，得，所以， 0ba ->0b a<0a >综上，，，， 0a >0b <0c <故选：D4．设，，，则（） 5log 2a =sin53(sin 37)b ︒=︒1c =A ． B ． a b c <<c<a︒>︒=，所以. (111121222c -====a cb <<故选：D.5．股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某两只股票，在接下来的交易时间内，一只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，另一只股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停，则该股民在这两只股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（） A ．一只盈利、一只亏损 B ．两只都亏损 C ．两只都盈利 D ．无法判断盈亏情况【答案】B【分析】根据题意一只股票的价钱为原来的，另一支股票的价钱为原来的33(10.1)(10.1)-+通过计算来判断盈亏即可．33(10.1)(10.1)+-【详解】解：该市民在经历了一支股票3次跌停，又经历了3次涨停后股票价格为原来的， 333(10.1)(10.1)0.990.971-+=≈<所以该股民在这只股票上是略有亏损，另一支股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停后股票的价格为原来的， 333(10.1)(10.1)0.990.971+-=≈<所以该股民在这只股票上是略有亏损，则两个股票都亏损了. 故选：B ．6．已知，，则“”是“”的（） 0a >0b >a b >23a b e a e b +=+A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】若，则，利用函数的单调性可得23a b e a e b +=+()220a b e a e b b +-+=>()2xf x e x =+．反之不一定成立，例如取，．即可得出其不成立．a b >100a =1b =【详解】解：若，则，23a b e a e b +=+()220a be a e b b +-+=>∴，22a b e a e b +>+又当时，单调递增，∴．0x >()2xf x e x =+a b >反之不一定成立，“”不一定得出“”， a b >23a b e a e b +=+例如取，．则“”． 100a =1b =100220033a b e a e e e b +=+>+=+∴“”是“”的必要不充分条件． a b >23a b e a e b +=+故选B ．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．7．已知函数，若，则（） ()()()πcos tan π2R 2f x x k x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=--++∈π13f ⎛⎫⎪⎭=-⎝π3f ⎛⎫⎪⎝⎭-=A ．5 B ．3 C ．1D ．0【答案】A【分析】根据诱导公式，结合函数的奇偶性进行求解即可.【详解】设，()()πcos tan πtan 2sin g x x k k x x x ⎛⎫=- ⎪⎝-⎭=-+因为， ()()sin tan x g x k x g x +-=-=-所以函数是奇函数，()g x πππ1213333f g g ⎛⎫⎛⎫=-⇒+=-⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎪⎭⎭⎛⎫ ⎝因此，πππ22325333g g f ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A8．设函数，有四个实数根，，，，且22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤=⎨->⎩()f x a =1x 2x 3x 4x ，则的取值范围是（） 1234x x x x <<<()3412114x x x x ++A ．B ．92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭109,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】画出的图象，结合对称性求得的取值范围. ()f x ()3412114x x x x ++【详解】或. 2log (1)13x x -=⇒=32x =画出的图象如下图所示，()f x 依题意有四个实数根，，，，且， ()f x a =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<则， 123432342x x x x <<<<<<<，12234111111,1,248111x x x x x x x x -==+=+=⨯=---， ()13411121111112214x x x x x x x x x -++=+=-+函数在区间上递增， 132122y x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭3,22⎛⎫⎪⎝⎭， 32101921,22123322⨯-+=⨯-+=所以，11110921,32x x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭即的取值范围是. ()3412114x x x x ++109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．与为同一函数()f x x =()ln e xg x =B ．函数是幂函数，则()()22131mm f x m m x+-=++⋅0m =C ．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分法后精确度()ln 26f x x x =+-()2,37达到0.01D ．函数有两个零点，且其中一个零点在区间内()2311x f x x =+-()1,2【答案】ACD【分析】利用函数相等的概念可判断A 选项；利用幂函数的定义求出的值，可判断B 选项；利m 用二分法的定义可判断C 选项；利用数形结合思想判断出函数的零点个数，结合零点存在定()f x 理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，对任意的，，所以，函数的定义域为，x ∈R e 0x >()ln e xg x =R 又因为函数的定义域为，且，()f x x =R ()()ln e xg x x f x ===所以，函数与为同一函数，A 对；()f x x =()ln e xg x =对于B 选项，因为函数是幂函数，则，()()22131mm f x m m x+-=++⋅2311m m ++=解得或，B 错；3m =-0对于C 选项，用二分法求函数在区间内的零点近似值，()ln 26f x x x =+-()2,3假设需要次二分法后精确度达到，则，可得，()n n *∈N 0.01112100n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2100n ≥因为，故至少经过次二分法后精确度达到，C 对；6721002<<70.01对于D 选项，由可得，()23110x f x x =+-=2311x x =-作出函数、的图象如下图所示：3x y =211y x =-由图可知，函数与函数的图象由两个交点， 3x y =211y x =-所以，函数有两个零点，()f x 因为函数、在上均为增函数，3x y =211y x =-()0,∞+所以，函数在上为增函数，()2311x f x x =+-()0,∞+因为，，()131110f =+-<()22232110f =+->所以，函数的一个零点在区间内，D 对. ()f x ()1,2故选：ACD.10．下列结论中，正确的是（）A ．若x ，，则的最小值为2 0,2y x y >+=22x y +B ．若，则的最小值为8 0,2xy x y xy >+=2x y +C ．若，则的最大值为1 (),0,,3x y x y xy ∈+∞++=xyD ．若，则函数的最小值为 3x <-13y x x =++1-【答案】BC【分析】利用基本不等式结合指数幂的运算即可判断A ；根据，可得0,2xy x y xy >+=0,0x y >>，且，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B ；利用基本不等式可将已知转化为121x y+=，从而可判断C ；利用配凑法结合基本不等式即可判断D.3x y xy xy =++≥【详解】对于A ，由x ，， 0,2y x y >+=得， 224x y +≥==当且仅当，即时取等号， 22x y =1x y ==所以的最小值为，故A 错误；22x y +4对于B ，因为，所以，且，0,2xy x y xy >+=0,0x y >>121x y +=则， ()12422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥当且仅当，即时取等号， 4y xx y=24y x ==所以的最小值为8，故B 正确； 2x y +对于C ，由，(),0,,3x y x y xy ∈+∞++=则，即，所以， 3x y xy xy =++≥30xy +≤01<≤所以，当且仅当时取等号， 01xy <≤1x y ==所以的最大值为1，故C 正确；xy 对于D ，若，则，则， 3x <-30x +<30x -->则，()()11333533y x x x x ⎡⎤=+=---+-≤-=-⎢⎥+--⎣⎦当且仅当，即时取等号，()()133x x --=--4x =-所以函数的最大值为，故D 错误. 13y x x =++5-故选：BC.11．已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是x (1)(3)10(0)a x x a +-+>≠1212(,)()x x x x <（） A ． B ． 122x x +=123x x <-C ． D ．1213x x -<<<214x x ->【答案】ABD【分析】根据一元二次不等式与相应的一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可判断出结论．【详解】关于的不等式的解集是，x (1)(3)10(0)a x x a +-+>≠()()1212,x x x x <所以，且是一元二次方程即的两根， 0a <12,x x (1)(3)10a x x +-+=22130ax ax a -+-=所以，选项A 正确；122x x +=，选项B 正确； 1213133a x x a a-==-<-，选项D 正确； 214x x -==>由，可得：是错误的，即选项C 错误． 214x x ->1213x x -<<<故选：ABD ．12．已知函数，若存在实数m ，使得对于任意的，都有，则称函数(),y f x x D =∈x D ∈()f x m ≥有下界，m 为其一个下界，类似的，若存在实数M ，使得对于任意的，都有(),y f x x D =∈x D ∈，则称函数有上界，M 为其一个上界．若函数既有上界，()f x M ≤(),y f x x D =∈(),y f x x D =∈又有下界，则称该函数为有界函数．下列四个命题中为真命题是（） A ．若函数有下界，则函数有最小值；()y f x =()y f x =B ．若定义在R 上的奇函数有上界，则该函数是有界函数； ()y f x =C ．对于函数，若函数有最大值，则该函数是有界函数 ()y f x =()y f x =D ．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数 ()y f x =[],a b 【答案】BC【分析】举特例说明AD 不正确；由奇函数的性质结合已知，可判断B ；根据已知推导出，即可判断C ； ()M f x M -≤≤【详解】对于A ，设，则恒成立，即函数有下界，但函数()1f x x=()0x >()0f x ≥()y f x =没有最小值，故A 错误；()y f x =对于B ，若定义在上的奇函数有上界，设上界为，则，根据题意有，，R ()y f x =M 0M >x ∀∈R 有成立.()f x M ≤所以当，成立，则当时，，则，所以，所以0x >()f x M ≤0x <0x ->()f x M -≤()f x M -≤；()f x M ≥-当时，成立，则当时，，则，所以，所以0x <()f x M ≤0x >0x -<()f x M -≤()f x M -≤；()f x M ≥-当时，由奇函数性质，可得，所以.0x =()()00f f =-()00f =所以当时，成立；当时，成立； 0x >()M f x M -≤≤0x <()M f x M -≤≤当时，，显然满足.0x =()00f =()0M f M -≤≤所以，都有成立，所以函数是有界函数，故B 正确； x ∀∈R ()M f x M -≤≤对于C ，对于函数，若函数有最大值，()y f x =()y f x =设，则，该函数是有界函数，故C 正确；()f x M ≤()M f x M -≤≤对于D ，令，则函数的定义域为闭区间，()1,01,01x f x x x =⎧⎪=⎨<≤⎪⎩()y f x =[]0,1则函数的值域为，则只有下界，没有上界， ()f x [)1,+∞()f x 即该函数不是有界函数.故D 错误；故选：BC三、填空题13．将化成弧度为_________． 280︒【答案】## 14π914π9【分析】根据弧度制与角度制互化公式进行求解即可. 【详解】， π14π280280rad rad 1809︒=⨯=故答案为：14π914．若正数，满足，则________. a b 2362log 3log log ()a b a b +=+=+11a b+=【答案】108【分析】设，反解，结合指数运算和对数运算，即可求得2362log 3log log ()a b a b +=+=+k =,a b 结果.【详解】可设，则，，；3262log 3log log ()a b a b k +=+=+=22k a -=33k b -=6k a b +=所以.232323116(23)231082323k kk k k k a b a b ab ----+⨯+====⋅=⋅⋅故答案为：108.15．用表示a ，b 两个数中的最大值，设函数，若{}max ,a b ()()1max 1,0f x x x x x ⎧⎫=+->⎨⎬⎩⎭恒成立，则m 的最大值是_________．()1f x m ≥+【答案】##120.5【分析】根据题中定义，结合函数的单调性、数形结合思想进行求解即可. 【详解】因为，0x >所以， ()11,112max 1,max 1,11,02x x f x x x x x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎧⎫⎧⎫=+-=+-=⎨⎬⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭⎪-<<⎪⎩根据函数单调性的性质可知当时，函数单调递减， 102x <<而当时，函数单调递减，故当时，函数有最小值，最小值为， 12x >12x =1322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭该函数图象如下图所示：所以要想恒成立，只需， ()1f x m ≥+31122m m +≤⇒≤因此m 的最大值是， 12故答案为：12【点睛】关键点睛：根据题中定义把原函数解析式化简成分段函数的解析式形式，结合函数的单调性进行求解是解题的关键.16．已知函数是定义在R 上的奇函数，若，且，都有()f x [)12,0,x x ∀∈+∞12x x ≠成立，则不等式的解集为_________．()()1122120x f x x f x x x -<-()()()21210mf m m f m --->【答案】 ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】设函数，由条件可知函数是偶函数，并且在单调递减，然后利()()g x xf x =()g x [)0,∞+用函数的性质解抽象不等式即得.【详解】令，因为函数是定义在R 上的奇函数，()()g x xf x =()f x 则，故为定义在R 上偶函数，()()()()g x xf x xf x g x -=--==()g x 由，得在为减函数， 112212()()0x f x x f x x x -<-()g x [)0,∞+由，可得，()()()21210mf m m f m --->()()()2121mf m m f m >--即，故，()()21g m g m >-()()21g m g m >-所以，即，21m m <-23410m m -+>解得或，13m <1m >所以不等式的解集是. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知函数的定义域为A ，集合()()ln 3f x x =+{}11B x a x a =-<<+(1)当时，求；2a =()R A B ð(2)若，求a 的取值范围．B A ⊆【答案】(1)()(][]R 3,13,4A B =--⋃ ð(2)(],3-∞【分析】（1）分别求出两个集合，再根据补集和交集的定义即可得解；（2）分和两种情况讨论，再结合列出不等式，解之即可.B =∅B ≠∅B A ⊆【详解】（1）由，()()ln 3f x x =+得，所以， 4030x x -≥⎧⎨+>⎩34x -<£即，{}34A x x =-<≤当时，，2a ={}13B x x =-<<所以，(][)R ,13,B =-∞-⋃+∞ð所以；()(][]R 3,13,4A B =--⋃ ð（2）当，即时，，符合题意，11a a -≥+0a ≤B A =∅⊆当时，因为，B ≠∅B A ⊆所以，解得，111314a a a a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩03a <≤综上所述，a 的取值范围为．(],3-∞18．已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合．α(1)若角的终边所在的方程为的值；α()20y x x =-≤2tan αα-(2)若角，求的值； ()10,π,sin cos 5ααα∈+=tan α【答案】(1)3；(2). 43- 【分析】（1）在角的终边取一点，然后根据定义计算可得；α(1,2)Q -（2）根据同角关系式结合条件可得，进而即得. 7sin cos 5αα-=【详解】（1）在角的终边取一点，则α(1,2)Q-由三角函数的定义知，cos tan 2αα==-；2tan 143αα-=-+=（2）因为， 1sin cos 5αα+=所以，即， ()21sin cos 25αα+=221sin cos 2sin cos 25αααα++=解得，因为， 12sin cos 025αα=-<0πα<<所以，可得，， 2απ<<πsin 0,cos 0αα><sin cos 0αα->所以， ()2221249sin cos sin cos 2sin cos 122525αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭所以，因为， 7sin cos 5αα-=1sin cos 5αα+=所以，， 4sin 5α=3cos 5α=-所以. 4tan 3α=-19．已知函数．()()2log 221a f x x ax a =++-(1)当时，求函数的单调区间； 12a =()f x (2)若在上单调递减，求a 的取值范围．()f x (),2-∞-【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(),1-∞-()0,∞+(2)． 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据题意，先求定义域，结合复合函数单调性，即可求解；（2）根据题意，结合复合函数单调性，分别讨论和两种情况，即可求解.1a >01a <<【详解】（1）根据题意，当时，， 12a =()()212log f x x x =+由，解得或，20x x +>1x <-0x >故的定义域为,()f x ()(),10,-∞-⋃+∞令，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 221124t x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭(),1-∞-()0,∞+因为函数为减函数， 12log y t =所以的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x (),1-∞-()0,∞+（2）令函数，该函数在上单调递减，在()()22222121g x x ax a x a a a =++-=+-+-(),a -∞-上单调递增．(),a -+∞①当时，要使在上单调递减，1a >()f x (),2-∞-则在上单调递减，且恒成立，()g x (),2-∞-()0g x >故，又， ()2244210a g a a -≥-⎧⎨-=-+-≥⎩1a >所以；312a <≤②当时，要使在上单调递减，01a <<()f x (),2-∞-则在上单调递增，且恒成立，()g x (),2-∞-()0g x >因为在上单调递减，故函数在上不能单调递增，此种情况不可能； ()g x (),a -∞-()g x (),2-∞-综上，的取值范围为． a 31,2⎛⎤ ⎝⎦20．宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（弧度）. x θ（1）求关于的函数关系式；θx （2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最y y x y 大值.【答案】（1），； 10210x xθ+=+()0,10x ∈（2），的最大值为. 255010(17)x x y x --=-+y 310【详解】试题分析：（1）根据扇环的周长等于两段弧长加两段线段，可得()()3010210x x θ=++-，解得，根据题意求自变量取值范围；（2）分别求出花坛的面积与装饰总10210x xθ+=+2550x x -++费用，从而可得关于的函数关系式为，再变量分离17010x +y x ()25501017x x y x --=-+，，最后利用基本不等式求最值，注意等于号是否在定义区间. 3913241010y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭17t x =+试题解析：（1）由题可知，所以，. ()()3010210x x θ=++-10210x xθ+=+()0,10x ∈（2）花坛的面积为（）， ()()()2221105105502x x x x x θ-=+-=-++010x <<装饰总费用为，()()91081017010x x x θ++-=+所以花坛的面积与装饰总费用之比为. ()22550550170101017x x x x y x x -++--==-++令，，则， 17t x =+()17,27t∈39132439131010101010y t t ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号，此时，. 18t =1x =1211θ=故花坛的面积与装饰总费用之比为，且的最大值为. ()25501017x x y x --=-+y 31021．已知函数过定点，函数的定义域为. log a y x =(),m n ()2x f x n x m=++[]1,1-（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；(),m n ()f x （Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；()f x []1,1-（Ⅲ）解不等式. ()()210f x f x -+<【答案】（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；()1,0()f x []1,1-（Ⅲ）. 1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得()1,0()f x 证；（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；()f x （Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出()f x ()()21f x f x -<-不等式组，即可求得答案.【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为， log a y x =(),m n ∴()1,0，定义域为， ()21x f x x ∴=+[]1,1-. ()()21x f x f x x -∴-==-+函数为奇函数.∴()f x （Ⅱ）在上单调递增.()f x []1,1-证明：任取，且，[]12,1,1x x ∈-12x x <则. ()()()()()()()()()()22122112121212222222121212111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，，[]12,1,1x x ∈-12x x <，，120x x ∴-<1210x x ->，即，∴()()120f x f x -<()()12f x f x <函数在区间上是增函数.∴()f x []1,1-（Ⅲ），即，()()210f x f x -+<()()21f x f x -<-函数为奇函数()f x()()21f x f x ∴-<-在上为单调递增函数，()f x []1,1-，，解得：. 12111121x x x x -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩011113x x x ⎧⎪≤≤⎪∴-≤≤⎨⎪⎪<⎩103x ≤<故不等式的解集为： 1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.22．已知函数（其中），函数（其中）. 2()log (41)x f x kx =+-R k ∈24()log (2)3x h x b b =⋅-b ∈R (1)若且函数存在零点，求的取值范围； 2k =()()1g x f x a =-+a (2)若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值()f x ()y f x =()y h x =b 范围.【答案】(1)；(1,)+∞(2)或.{1b b 3}b =-【分析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参()f x 数的取值范围；a （2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围.()f x k b 【详解】（1）由题意知函数存在零点，即有解.()g x ()1f x a =-又， ()222411()log 412log log 144x x x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易知在上是减函数，又，，即， ()f x R 1114x +>241log 04x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()0f x >所以，所以的取值范围是.1(0,)a -∈+∞a (1,)∈+∞a （2）的定义域为，若是偶函数，则，()2()log 41x f x kx =+-R ()f x (1)(1)f f -=即解得. 221log 1log (41)4k k ⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭1k =此时，，()()22()log 41log 22x x x f x x -=+-=+()()22()log 41log 22x x x f x x ---=++=+所以即为偶函数.()()f x f x -=()f x 又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解，()f x ()h x ()()f x g x =即方程有且只有一个实根. 142223x x x b b +=⋅-令，则方程有且只有一个正根 20x t =>24(1)103b t bt ---=①当时，，不合题意， 1b =43t =-②当时，方程有两相等正根，则，1b ≠2(4)43(1)(3)0b b ∆=--⨯-⨯-=且，解得，满足题意； 4023(1)b b >⨯-3b =-③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意， 101b -<-1b >综上所述：实数的取值范围为或.a {1b b 3}b =-【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题.。

浙江省宁波中学2022-2023学年高一数学第一学期期末联考试题含解析

【详解】由 x2 5x 4 0 ，得1 x 4 ，
所以 B x 1 x 4，
因为 A 0,1, 2,3，
所以 A B 1, 2,3 ，
故选：D
4、D
【解析】由已知
，所以
考点：集合的运算 5、D
【解析】根据题意，集合 A 的所有子集个数 22 =4 ，选 D
6、D 【解析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性
万元，且
R
901x2
9450x x
10000
,
x
40
经测算，当生
产 10 千台空调需另投入的资金 R＝4000 万元．现每台空调售价为 0.9 万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完
（1）求 2022 年企业年利润 W（万元）关于年产量 x（千台）的函数关系式；
（2）2022 年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？
A.
y
2
sin
2x
2 3
B.
y
2
sin
2
x
3
C.
y
2
sin
x 2
3
D.
y
2
sin
x 2
3
3．已知集合 A 0,1, 2,3， B x x2 5x 4 0 ，则 A B （）
A. 1, 4
B. 1, 3
C. 2, 3
D.1, 2,3
4．已知集合 A x | 0 log4 x 1, B x | x 2，则A B
的 16．已知sin cos 1 ，则sin2 _______. 3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

浙江省2021-2022高一数学上学期期中联考试题(含解析)

浙江省2021-2022高一数学上学期期中联考试题（含解析）选择题部分（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合{1,3,5},{3,6,9}A B ==，则A B =（）A. {}3B. {}3,5,6C. {}1,3,5,6,9D. {}1,3,5,3,6,9【答案】C 【解析】【分析】进行并集的运算即可．【详解】{1,3,5},{3,6,9}A B ==，{1,3,5,6,9}A B ∴⋃=．故选C ．【点睛】本题考查并集的运算，属于基础题． 2.下列函数中，与函数y x=有相同定义域的是 A. ()ln f x x = B. 1()f x x=C. ()f x x =D.()x f x e =【答案】A 【解析】试题分析：的定义域为，的定义域为选A.考点：函数的定义域.3.已知函数2(1)(1)f x x +=-，则()f x 的解析式为（）A. ()2f x x =B. ()2(2)f x x =-C. ()21f x x =-D. ()2(1)f x x =+【答案】B 【解析】【分析】用换元法，令1x t ，则1x t =-，代入原来的解析式，得到()f t 的表达式，即得到()f x 的解析式．【详解】令1x t ，则1x t =-，2()(2)f t t ∴=-，故()f x 的解析式为：2()(2)f x x =-．故选B ．【点睛】本题考查函数解析式的求法，常见的解析式求法有待定系数法、换元法、配凑法或函数方程法等，注意根据问题的特点选择合适的方法求解，此类问题属于基础题． 4.设0.440.4log 3,log 3,3a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系是（）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】C 【解析】【分析】利用中间数0，1及指数函数、对数函数的单调性可得三者的大小关系．【详解】0.404440.440log 1log 3log 41,log 3log 10,313=<<==>=<．所以c a b >>．故选C ．【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.函数1xy x =+的图象是（） A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的解析式，化简为1111x y x x -==+++，再根据图象的变换，即可得到答案. 【详解】由题意，函数可化简得：1111x y x x -==+++ 则可将反比例函数1y x-=的图象由左平移一个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数1xy x =+的图象，答案为选项C. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别与图象的变换，其中解答中正确化简函数的解析式，合理利用函数的图象变换是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.已知函数2()221x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图象经过定点P 且P 在幂函数()h x 的图象上，则()h x 的表达式为（） A. ()2h x x =B. ()1h x x -=C. ()2h x x -=D.()3h x x =【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的性质求出定点P ，再用待定系数法求出幂函数()h x 的解析式．【详解】解：函数()2221x f x a -=+中，令20x =，解得2x =，此时2)122122y f ==+=，所以函数()f x 的图象过定点2,22)P ．设幂函数()y h x x α==，则α= 解得3α=，3()h x x =．故选D ．【点睛】本题考查指数函数的图像性质与幂函数的求法，此类问题基础题．7.函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（） A. ()1,3 B. ()1,2C. ()0,3D. ()0,2【答案】C 【解析】【分析】由题意得()()f 1f 20<，解不等式可得实数a 的取值范围．【详解】由条件可知()()()()f 1f 2?22a 41a 0=<－－－－，即a(a －3)<0，解得0<a<3. 故选C ．【点睛】本题考查利函数零点存在性定理的应用，解题的关键是根据函数在给定的区间两端点处的函数值异号得到不等式，考查应用能力和计算能力，属于容易题． 8.已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选D9.用[]x 表示x 的整数部分，即[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[][][]22,2.32, 2.33==-=-，设函数()(ln h x x =，则函数[][]()()()f x h x h x =+-的值域为（）A. {}0B. {}1,0,1-C. {}1,0-D. {}2,0-【答案】C 【解析】【分析】根据条件先判断函数的()h x 的奇偶性，结合[]x 的定义，分别讨论()h x 取整数值和非整数时对应的结果即可．【详解】解：函数()h x 的定义域为R ，则()()ln()h x h x x x +-=+=ln )x x ⎡⎤⎣⎦()22ln 1ln10x x =+-==即()()h x h x -=-，则()h x 是奇函数，则[][][][]()()()()()f x h x h x h x h x =+-=+-，若()h x n =，n 是整数，则[][]()()0h x h x n n +-=-=，()0f x = 如()1,n h x n n Z <<+∈，则(1)(),n h x n n Z -+<-<-∈，则[][](),()(1)1h x n h x n n =-=-+=--，则[][]()()11h x h x n n +-=--=-，综上()1f x =-或0，即()f x 的值域为{}1,0-，故选C ．【点睛】本题考查函数值域的求法，一般地，可先考虑函数的奇偶性、周期性等把函数值域归结到有限区间上，再考虑函数的单调性，也可以利用换元法把复杂函数转化为简单函数，注意根据函数的解析式的形式选择合适的方法．10.设函数1()1,()22xf x xg x t =-=⋅-，若存在[],0,2m n ∈，使得()()f m g n =成立，则实数t 的取值范围是（） A. 13,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 13,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 13,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】将条件转化为值域有交集，然后分类讨论求出t 的范围．【详解】∵[],0,2m n ∈，使得()()f m g n =成立，即()f x 和()g x 的值域有交集．[][]()1,0,2,()1,1f x x x f x =-∈∴∈-．∵()122xg x t =⋅-，当0t =时，()11222xg x t =⋅-=，满足题意；当0t >时，()122xg x t =⋅-在区间[]0,2上单调递增，[]1110,2,()2,4222x x g x t t t ⎡⎤∈∴=⋅-∈--⎢⎥⎣⎦．∵()f x 和()g x 的值域有交集，∴112t -≤，即302t <<； ③0t <时，()122xg x t =⋅-在区间[]0,2上单调递减，111[0,2],()24,222x x g x t t t ⎡⎤∈∴=⋅-∈--⎢⎥⎣⎦．∵()f x 和()g x 的值域有交集， ∴112t -≥-，即102t <<；综上：1322t -≤≤；故选D ．【点睛】本题考查函数值域的求法及集合关系的讨论，注意根据等式关系转化为集合之间的关系，此类问题属于中档题.非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.计算：2038(5)+-=______，lg 42lg5+=______．【答案】 (1). 5 (2). 2 【解析】【分析】根据指数式及对数运算性质进行运算即可得到结果．【详解】2038(5)11415+-===+=；22lg 42lg5lg 4lg5lg 4lg 25lg(425)lg100lg102+=+=+=⨯===．故答案为5；2．【点睛】本题主要考查指数式的运算及对数式的运算，属基础题．12.已知函数()()22,031,0x x f x f x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则(2)f = ______，(1)f -=______．【答案】 (1). 6 (2). 27 【解析】【分析】由20>，得到2(2)226f =+=，再由10-<，得(1)3(0)9(1)f f f -==，由此能求出结果．【详解】∵函数()()22,031,0x x f x f x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，2(2)226f ∴=+=，又(1)3(0)9(1)9(12)27f f f -===⨯+=．故答案为6，27．【点睛】本题考查分段函数的函数值的求法，注意自变量值的范围以便代入正确的解析式求解，此题考查运算求解能力，是基础题．13.已知函数()f x 是定义在[1,]a -上的奇函数，则a = ______， (0)f =______．【答案】 (1). 1 (2). 0 【解析】【分析】由奇偶性对定义域的要求可得(1)0a -+=，得到a 的值后结合奇函数的性质可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在[1,]a -上的奇函数，则(1)0a -+=，解可得1a =，即()f x 的定义域为[1,1]-，则(0)0f =，故答案为1，0．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及奇函数的性质，属于基础题．14.函数()212()log 23f x x x =-++的单调递减区为______，值域为______．【答案】 (1). (1,1)- (2). [2,)-+∞ 【解析】【分析】由对数的真数大于0求出()f x 的定义域，由二次函数的性质求出内函数的增区间，即为复合函数的减区间，再求出真数部分对应函数的取值范围，结合外函数是减函数可得原函数()f x 的值域．【详解】由题意得2230x x -++>，解得13x ，令2223(1)4t x x x =-++=-+，则(]0,4∈t .因为函数223t x x =-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，且函数12log y t =在(]0,4上递减，所以()212()log 23f x x x =-++的单调减区间是(1,1)-.又04t <≤，则()21122()log 23log 42f x x x =-++≥=-，所以函数的值域是[2,)-+∞，故答案为(1,1);[2,)--+∞．【点睛】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性及值域的求法，注意利用“同增异减”判断复合函数的单调性，利用换元法求复杂函数的值域．15.设全集U 是实数集{}{},|22,|13R M x x N x x =-≤≤=≤≤，则图中阴影部分所表示的集合是______．【答案】{}|23x x <≤ 【解析】【分析】先求出U C M ，图中阴影部分所表示的集合为()U N C M ，由此能求出图中阴影部分所表示的集合．【详解】设全集U 是实数集{}{},|22,|13R M x x N x x =-≤≤=≤≤，{|22}U C M x x x =<->或，则图中阴影部分所表示的集合为：(){} |23U NC M x x =<≤．故答案为{}|23x x <≤．【点睛】本题考查集合的求法，考查补集、交集、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.若[1,)x ∈-+∞，不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】(,2)-∞ 【解析】【分析】设12,2xt ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，将原不等式转化成11,,2m t t t⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，从而求出m 的范围．【详解】令2x t =，∵[1,)x ∈-+∞，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵4210x x m -⋅+>恒成立，∴11,,2m t t t⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， ∵12t t+≥，当且仅当1t =时，即0x =时，表达式取得最小值， ∴2m <，故答案为(,2)-∞．【点睛】本题考查与指数函数有关不等式的恒成立问题，可换元后转为含参数的一元二次不等式的恒成立问题，再利用参变分离可求参数的取值范围，此题需要学生有较好的逻辑分析能力，难度不大，属于基础题．17.已知R λ∈，函数()224,2,x x f x x x x λλλ⎧-≥=⎨-+<⎩，若()f x 恰有两个不同的零点，则λ的取值范围为______．【答案】(0,1) 【解析】【分析】当2λ>时，()24x f x =-无零点，则2()2f x x x λ=-+有两个零点即可求解λ的取值范围，当2λ≤时，2()2f x x x λ=-+有一个零点，结合二次函数的性质讨论即可得λ的取值范围．【详解】当2λ>时，()24x f x =-无零点，则2()22f x x x =-+在(),λ-∞内有两个零点，对称轴1x =，则()1200f λλ<≤⎧⎪∆>⎨⎪>⎩即2124400λλλλ<≤⎧⎪->⎨⎪->⎩，该不等式无解；当2λ≤时， ()24x f x =-只有一个零点，则2()2f x x x λ=-+在(),λ-∞内有一个零点，所以()0f λ<或()01120f λλλ⎧=⎪<⎨⎪-+<⎩，前者即为20λλ-<，后者无解，所以01λ<<.综上可得λ的取值范围是(0,1)．故答案为(0,1)．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，二次函数的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.设集合{}{}2|9,|13A x x B x a x a =≤=-≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]0,3AB =；（2）[]2,0-.【解析】【分析】（1）可以求出{|33}A x x =-≤≤，1a =时求出集合B ，然后进行交集的运算即可；（2）根据B A ⊆即可得出1333a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可．【详解】（1）{}3|3A x x =-≤≤，当1a =时，{|04}B x x =≤≤，∴[0,3]A B ⋂=.（2）∵B A ⊆，∴1333a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得20a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为[2,0]-．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、集合的交运算以及集合的包含关系，利用包含关系求参数的取值范围时注意区间端点可取否，此类属于基础题．19.已知函数()2121x x f x -=+．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明；（2）求方程()14f x =的实数解．【答案】（1）函数()f x 为奇函数，证明见解析；（2）25log 3x =.【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数的定义域，分析()f x -与()f x 的关系，即可得答案；（2）根据题意，由211()214x x f x -==+，变形可得523x =，由对数的定义可得答案．【详解】解：（1）根据题意，函数()2121xx f x -=+，其定义域为R ，211221()()211221x xx x x x f x f x --⎛⎫----===-=- ⎪+++⎝⎭，故函数()f x 为奇函数；（2）根据题意，1()4f x =，即211214x x -=+，变形可得523x =，解可得25log 3x =．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及指数的幂的计算，属于基础题．20.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，已知当0x ≥时，()lg(1)f x x =+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()y f x t =+在[2,3]x ∈-上有两个零点，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()()()lg 1,0lg 1,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩；（2）[lg3,0)-【解析】【分析】（1）令0x <，则 0x ->，代入已知解析式中，再结合偶函数性质求解．（2）画出()f x 的图象，把零点个数转化为交点个数求解．【详解】（1）∵0x ≥时，()lg(1)f x x =+，令0x <，则0x ->，∴()lg(1)f x x -=-+，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()lg(1)f x f x x =-=-+，∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨-+<⎩．（2）∵()y f x t =+在[2,3]x ∈-上有两个零点，∴()y f x =和y t =-图象有两个不同的交点，画出()f x 的图象如下：(3)2lg 2,(2)lg3f f =-=，故0lg3t <-<∴t 的范围为[lg3,0)-．【点睛】本题考查了偶函数解析式的求法以及函数零点个数讨论，前者需 “求哪里设那里”，再利用偶函数的性质转化到已知范围上，后者可把函数的零点问题转化为动直线与不含参数的函数的图像的交点来讨论，此类问题属于中档题．21.已知函数()21ax f x x+=，其中a R ∈．（1）若(0,1]a ∈，判断函数()f x 在(0,1]上的单调性，并用定义加以证明；（2）若1a =，不等式()2()0mf x f x ->在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在(0,1]上的单调递减，证明见解析；（2）()1,+∞.【解析】分析】（1）当(0,1]a ∈，先判断出函数()f x 在(0,1]上的单调递减．再利用定义证明即可；（2）若1a =，由21()x f x x +=得到()4221x f x x +=，代入到不等式()2()0mf x f x ->中，令1t x x =+，则不等式可转化为12m t t>-在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用单调性可求关于t 的函数的最大值，从而求出实数m 的取值范围．【详解】（1）当(0,1]a ∈，函数()f x 在(0,1]上的单调递减．用定义证明如下：设1201x x <<≤，则()()()()22121212121212111x x ax x ax ax f x f x x x x x --++-=-=， 12121201,0,01x x x x x x <<≤∴-<<<，1212(0,1],01,10a ax x ax x ∈∴<<∴-<，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，∴当(0,1]a ∈，函数()f x 在(0,1]上的单调递减.（2）若1a =，则21()x f x x +=，∴()4221x f x x +=，不等式()2()0mf x f x ->在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上可化为21120m x m x x x ⎛⎫⎛⎫+--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①, 令1t x x =+，122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又①可化为220mt m t -->在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，故2122t m t t t>=--在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为2y t t =-在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故2y t t=-，故min 1y =，所以max 112t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，故1m .综上，m 的取值范围为()1,+∞.【点睛】本题考查利用定义来证明函数单调性及含参数的分式不等式的恒成立，注意根据不等式的形式采取合适的换元方法把复杂不等式转化为含参数的二次不等式，再结合二次不等式的特点选择讨论相应的新函数的最值或参变分离讨论不含参数的新函数的最值．22.已知函数2()|2|()f x x x ax a R =+-∈．（1）若0a =，写出函数()f x 的单调递增区间（不需要证明）；（2）若0a >，求函数()f x 在区间[3,1]-上的最大值()g a ．【答案】（1）函数()f x 的单调增区间是(,2),(1,)-∞--+∞，单调减区间是(2,1)--；（2）()1,213,02a g a a a a ⎧>⎪=-⎨⎪-<≤⎩.【解析】【分析】（1）把()f x 表示成分段函数的形式后可写出函数的单调区间；（2）把()f x 表示成分段函数的形式，就01,1,12,2a a a a <<=<<≥ 分别讨论函数的单调性后可得函数最大值．【详解】（1）若0a =时，函数()222,22,2x x x f x x x x ⎧+≥-=⎨--<-⎩，故()f x 的单调增区间是(,2),(1,)-∞--+∞，单调减区间是(2,1)--．（2）若1a =，则22,21()22,32x x f x x x x -≤≤⎧=⎨---≤<-⎩，当21x -≤≤时，()42f x -≤≤；当32x -≤<-时，()124f x -≤<-，故()2g a =.若1a ≠，则()()2212,21()12,32a x x x f x a x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨----≤<-⎪⎩，若2a >，则1011a <<-，121a ->-+，故()f x 在12,1a ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭为增函数，在1,11a ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭为减函数，在[)3,2--上为增函数，故()max 1111f x f a a ⎛⎫==⎪--⎝⎭. 若12a <≤，则111a ≥-，121a ->-+，故()f x 在[]2,1-为增函数，在[)3,2--上为增函数，故()()max 13f x f a ==-.若01a <<，则121a ->-+，故()f x 在[)3,2--上为增函数，而()f x 在[]2,1-的图象是开口向上的抛物线的一部分，故()()(){}{}max max 2,1max 4,33f x f f a a a =-=--=-，综上()1,213,02a g a a a a ⎧>⎪=-⎨⎪-<≤⎩.【点睛】本题考查分段函数的单调性和最大值，注意根据各段上二次函数的开口方向和对称轴的位置讨论函数的单调性从而得到函数在给定范围上的最值，此问题为难题．。