2021年高中数学必修第一册：函数的单调性练习(北师大版)(原卷版)

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2020年高中数学必修第一册：函数的单调性练习(北师大版)(解析版)

第二章函数第2.3节函数的单调性一．选择题（共12小题）1．函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数．则（）A．m＞B．m＜C．m＞﹣D．m＜﹣【答案】B【解析】解：根据题意，函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数，则有2m﹣1＜0，解可得m＜，故选：B．2．函数f（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：根据题意，由已知，所以函数在上为增函数，故选：D．3．函数f（x）＝x|x﹣2|的递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）【答案】C【解析】解：当x≥2时，f（x）＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，对称轴为x＝1，此时f（x）为增函数，当x＜2时，f（x）＝﹣x（x﹣2）＝﹣x2+2x，对称轴为x＝﹣，抛物线开口向下，当1＜x＜2时，f（x）为减函数，即函数f（x）的单调递减区间为（1，2），故选：C．4．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．D．f（x）＝﹣|x|【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3﹣x为一次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x2﹣3x为二次函数，在（0，）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝﹣为反比例函数，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于D，f（x）＝﹣|x|，当x＞0时，f（x）＝﹣x，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：C．5．函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数，则a的范围为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1] C．[0，1] D．（﹣∞，1]【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数，分2种情况讨论：①，若a＝0，则f（x）＝x，在R上为增函数，符合题意；②，若a≠0，则有，解可得0＜a≤1，综合可得：a的取值范围为[0，1]；故选：C．6．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f （x2）]＜0”的是（）A．f（x）＝B．f（x）＝（x﹣1）2C．f（x）＝D．f（x）＝【答案】A【解析】解：根据题意，若函数f（x）满足“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0”，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，据此分析选项：对于A，f（x）＝，在（﹣1，+∞）上为减函数，符合题意；对于B，f（x）＝（x﹣1）2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意；对于C，f（x）＝﹣，其定义域为{x|x≠1}，不符合题意；对于D，f（x）＝，其定义域为{x|x≠2}，不符合题意；故选：A．7．若函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2在区间（1，3）是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]，+∞）B．[]C．（﹣∞，3]∪[4，+∞）D．[3，4]【答案】A【解析】解：根据题意，函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2为二次函数，其对称轴为x＝，若其在（1，3）是单调函数，则≤1或≥3，解可得：x≤或x≥，即实数a的取值范围是（﹣∞，]，+∞）；故选：A．8．函数f（x）＝x2+ax+2在（3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a＝﹣6 B．a≥﹣6 C．a＞﹣6 D．a≤﹣6【答案】B【解析】解：根据题意，函数f（x）＝x2+ax+2为二次函数，其对称轴为x＝﹣，若f（x）在（3，+∞）上单调递增，则有﹣≤3，解可得a≥﹣6；故选：B．9．函数f（x）＝|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，2），（4，+∞）C．（2，3），（4，+∞）D．（﹣∞，2]，[3，4]【答案】C【解析】解：函数f（x）＝|x2﹣6x+8|，当x2﹣6x+8＞0即x＞4或x＜2，可得f（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，即有f（x）在（4，+∞）递增；当x2﹣6x+8＜0即2＜x＜4，可得f（x）＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，即有f（x）在（2，3）递增；则f（x）的增区间为（4，+∞），（2，3）．故选：C．10．函数y＝f（x）的图象如图所示，其减区间是（）A．[﹣4，4] B．[﹣4，﹣3]∪[1，4]C．[﹣3，1] D．[﹣4，﹣3]，[1，4] 【答案】D【解析】解：由图象知函数在[﹣4，﹣3]以及[1，4]上图象递减，则对应的减区间为[﹣4，﹣3]，[1，4]，故选：D．11．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f（x）＝﹣x+1 D．f（x）＝|x|【答案】D【解析】解：由一次函数的单调性可知，f（x）＝3﹣x，f（x）＝1﹣x在区间（0，+∞）上是减函数，由二次函数的单调性可知，y＝x2﹣3x在区间（0，+∞）上先减后增，y＝|x|在（0，+∞）上为增函数．故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【答案】A【解析】解：由题意，可知：∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，∴函数f（x）在定义域R上为增函数．又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，∴x2+1＞m2﹣m﹣1，∴m2﹣m﹣1＜1，即：m2﹣m﹣2＜0．解得﹣1＜m＜2．故选：A．二．填空题（共4小题）13．已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为m≤0或m≥4．【答案】m≤0或m≥4【解析】解：根据题意，f（x）＝x2﹣（m+2）x+2为二次函数，其对称轴为x＝，若f（x）在[1，3]上是单调函数，则有≤1或≥3，解可得m≤0或m≥4，即m的取值范围为m≤0或m≥4；故答案为：m≤0或m≥4．14．已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2在区间[1，+∞）上不单调，则实数a的取值范围是（0，1）．【答案】（0，1）【解析】解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2，当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣2，在区间[1，+∞）上是减函数，不符合题意；当a≠0时，f（x）＝ax2﹣2x﹣2，若f（x）在区间[1，+∞）上不单调，必有＞1，解可得：0＜a＜1，即a的取值范围为（0，1）；故答案为：（0，1）．15．若f（x）＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是a≥2．【答案】a≥2【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，a﹣2＝0，即a＝2，f（x）＝x+3，在[2，+∞）上是增函数，符合题意；②，a﹣2≠0，若f（x）＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3在[2，+∞）上是增函数，必有，解可得：a＞2，综合可得：a的取值范围为：a≥2；故答案为：a≥2．16．已知函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【答案】[4，+∞）【解析】解：根据题意，函数y＝﹣x2+ax+1为二次函数，对称轴为x＝，若函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则≥2，解可得a≥4；即实数a的取值范围为[4，+∞）；故答案为：[4，+∞）．三．解答题（共4小题）17．已知函数f（x）的图象如图所示：（1）根据函数图象，写出f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，求a的取值范围【解析】（1）由图象知，函数的单调递减区间为[﹣1，2]，递增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，则a+1≤﹣1或a﹣1≥2，得a≥3或a≤﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．18．设函数f（x）＝|x2﹣4x+3|，x∈R．（1）在区间[0，4]上画出函数f（x）的图象；（2）写出该函数在R上的单调区间．【解析】解：（1）函数f（x）＝|x2﹣4x+3|＝|（x﹣2）2﹣1|；（列表，描点，作图）x0 1 2 3 4y 3 0 1 0 3（2）根据函数f（x）的图象，不难发现，函数f（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减；函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增；函数f（x）在x∈[2，3]上单调递减；函数f（x）在x∈[3，+∞）上单调递增．19．试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（﹣1，1）上的单调性．【解析】解：f（x）＝a+，f（x）图象是由反比例函数y＝，向右平移1个单位在向上或下平移|a|单位得到的，∵a＜0时，y＝在（﹣∞，0），和（0，+∞）上分别为增函数，a＞0时，y＝在（﹣∞，0），和（0，+∞）上分别为减函数，∴a＜0时，f（x）在（﹣1，1）上为增函数，a＞0时，f（x）在（﹣1，1）上为减函数．20．已知（1）画出这个函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数f（x）的最大值和最小值．【解析】解：（1）∵f（x）＝，作出其图象如下：（2）由f（x）的图象可得，单调递减区间为：[﹣3，﹣2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[﹣2，0），[1，3]．（3）由f（x）的图象可得，当x＝3时，f（x）取得最大值为4，当x＝6时，f（x）取得最小值﹣5．。

2020-2021学年高一数学北师大版必修1作业：2.3.1函数的单调性(1) Word版含解析

13．(13 分)讨论函数 f(x)＝axx＋＋21a≠12在(－2，＋∞)上的单调性．
解：f(x)＝axx＋＋21＝ax＋2x＋＋21－2a＝1x－＋22a＋a. 设 x1，x2 为(－2，＋∞)上的任意两个值，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝1x－1＋22a－1x－2＋22a＝xx21－＋x21x12－＋22a. ∵x1∈(－2，＋∞)，x2∈(－2，＋∞)，且 x1<x2，
解析：由题意知函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，满足条件的只有 C 中的函数．故选 C.
7．如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的 x1，x2∈[a， b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( C )
A.fxx11－－xf2x2>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b) D．f(x1)≠f(x2)
4．函数 y＝x2－6x＋10 在区间(2,4)上是( D )
A．递减函数
B．递增函数
C．先递增再递减 D．先递减再递增
解析：∵y＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， ∴函数在(－∞，3]上为减函数，在[3，＋∞)上为增函数， ∴函数在(2,4)上先递减再递增．
5．函数 f(x)＝|x|和 g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是( C ) A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，[1，＋∞) C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
解析：当 x≥0 时，f(x)＝x＋a 在[0，＋∞)上是增加的，所以 f(x)≥f(0)＝a；当 x<0 时，由 f(x)＝ax＋2a－1 在(－∞，0)上也是增加的知 a>0，且 f(x)<2a－1. 又 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以 2a－1≤a，a>0，即 0<a≤1.

北师大版高中数学必修一课后训练2.3函数的单调性

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）课后训练基础巩固1.下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是()．A．f(x)＝－x＋3B．f(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝－|x－1| D．f(x)＝1 x2．若函数y＝f(x)定义在[－1,2]上，且满足12f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(1)，则f(x)在区间[－1,2]上的单调性是()．A．增函数B．减函数C．先减后增D．无法判断其单调性3．已知函数y＝ax和byx=-在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()．A．减函数且f(0)＞0 B．增函数且f(0)＞0 C．减函数且f(0)＜0 D．增函数且f(0)＜04．函数f(x)＝2210x xx x⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩，，，的单调性为()．A．在(0，＋∞)上为减函数B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数C．不能判断单调性D．在(－∞，＋∞)上是增函数5．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a在区间[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．6．已知函数f(x)＝11a x-(a＞0，x＞0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a的值．能力提升7．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有()()f a f b b a--＞0成立，则必有( )．A ．函数f (x )是先增后减B ．函数f (x )是先减后增C ．f (x )在R 上是增函数D ．f (x )在R 上是减函数8．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a ∈R ，则( )． A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a )9．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b ＞0，则有( )． A ．f (a )＋f (b )＞－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )＜－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )10．函数f (x )在其定义域M 上是增函数，且f (x )＞0，那么在M 上为减函数的是( )．A ．y ＝4＋3f (x )B ．y ＝[f (x )]2C ．y ＝3＋1f x () D ．y ＝2－1f x ()11．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝1ax +在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]12．函数f (x )＝x |x －1|的单调增区间为__________．13．已知函数f (x )＝22x -(x ∈[3,6])， (1)讨论函数f (x )在[3,6]上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数f (x )的最大值与最小值；(3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，求m 的取值范围．14．定义域在(0，＋∞)上的函数f (x )满足(1)f (2)＝1；(2)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(3)当x ＞y 时，有f (x )＞f (y )．若f (x )＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围．15．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2和80元/m 2.(1)求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)判断(1)中函数在(0,2)和[2，＋∞)上的单调性并用定义法加以证明； (3)如何设计水池尺寸，才能使总造价最低？参考答案1．B 点拨：画出各个函数的图像，由单调函数图像特征可知，选项B 正确．2．D 点拨：增、减函数的定义中的x 1，x 2具有任意性，仅由两个特殊自变量12-和1的函数值的大小关系无法判断函数f (x )的单调性．3．C 点拨：由题意，知a ＜0，b ＜0.∴f (x )＝bx ＋a 在R 上是减函数，且f (0)＝a ＜0.4．D 点拨：画出分段函数f (x )的图像可知，f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．5．a ≥－3 点拨：12a-≤2⇒a ≥－3. 6．解：(1)证明：设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝21211212111111x x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫----=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)∵f (x )在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (2)＝2，易得25a =.7．D 点拨：由()()0f a f b b a->-，知a －b 与f (a )－f (b )永远异号，由单调函数的定义知，f (x )在R 上是减函数．8．D 点拨：当a ∈R 时，a 与2a ，a 2与a ，a 2＋a 与a 的大小关系不确定，所以不能由函数的单调性比较相应的两个函数值的大小，而a 2＋1－a ＝21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞0，∴a 2＋1＞a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f (a 2＋1)＜f (a )．9．C 点拨：∵a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，b ＞－a .由函数的单调性可知，f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，两式相加得选项C 正确．10．C 点拨：(特例法)取f (x )＝x (x ＞0)，很容易可以判断y ＝3＋1()f x 在定义域内为减函数．11．D 点拨：函数g (x )＝1ax +在区间[1,2]上是减函数，则a ＞0，f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，则a ≤1，故0＜a ≤1.12．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[1，＋∞) 点拨：f (x )＝x |x －1|＝22,1,,1,x x x x x x ⎧-≥⎨-+<⎩当x ≥1时，f (x )＝x 2－x 在[1，＋∞)上单调递增；当x ＜1时，f (x )＝x －x 2在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增；所以单调增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[1，＋∞)．13．解：(1)函数f (x )在[3,6]上是减函数，下面进行证明：任取x 1，x 2∈[3,6]，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＝2112122()2222(2)(2)x x x x x x --=----＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝22x -在[3,6]上是减函数． (2)由(1)知，f (x )max ＝f (3)＝2， f (x )min ＝f (6)＝12. (3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，则m 应不小于函数f (x )的最大值2，∴m 的取值范围是m ≥2.14．解：∵当x ＞y 时，有f (x )＞f (y )，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1，∴若f (x )＋f (x －3)≤2，即f (x )＋f (x －3)≤f (2)＋f (2)，则f [x (x －3)]≤f (4)．∴0,30,(3)4,x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩解得3＜x ≤4. ∴x 的取值范围是(3,4]．15．解：(1)设长方体无盖水池的池底一边长为x m ，则另一边长为4xm ，又设总造价为y 元，由题意得8412080222y x x ⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即y ＝480＋3204x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，x ∈(0，＋∞)． (2)函数在(0,2)上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的，下面进行证明：任取x 1，x 2∈(0,2)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0. ∴f (x 1)－f (x 2)＝121244480320480320x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝121244320x x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭＝121212320()(4)x x x x x x --＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )在(0,2)上是减少的．同理可证，f (x )在[2，＋∞)上是增加的．(3)由(2)中函数的单调性可知，当x ＝2，即池底是正方形时，总造价最低，最低为1 760元．。

高中数学基础知识篇 2.3函数的单调性同步练测北师大版必修1

建议用时实际用时满分实际得分60分钟100分高中数学基础知识篇 2.3函数的单调性同步练测北师大版必修1一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是（）A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝3x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x |2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 3.函数()f x 是R上的增函数且()()f a f b +>()()f a f b -+-，则（）A.0a b >>B.0a b ->C.0a b +>D.0,0a b >>4．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且 (x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A.恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负5.在实数集R 中定义一种运算“*”，具有下列性质：（1）对任意,a b ∈R ，a b b a *=*；（2）对任意a ∈R ，0a a *=；（3）对任意,,a b c ∈R ，()()()a b c c ab a c **=*+*+ ()2b c c *-，则函数()2xf x x =*的单调递减区间是（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭6.函数111y x =--（） A. 在（-1，+∞）上单调递增 B. 在（-1，+∞）上单调递减 C. 在（1，+∞）上单调递增 D. 在（1，+∞）上单调递减二、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分) 7. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 . 8.已知函数2(1)21,[1,2]f x x x x +=+-∈，则()f x 是 (填序号). ①[1，2]上的增函数； ②[1，2]上的减函数； ③[2，3]上的增函数； ④[2，3]上的减函数.9.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上) 10.已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________； (2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．11.已知实数0a ≠，函数22,1,(),1,x a x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩若(1)(1)f a f a -≥+，则实数a 的取值范围是_____.12.函数()1(1),(1)x f x x x a x ⎧<-⎪=⎨⎪-+≥-⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题(本大题共4小题，共40分) 13．（10分）用定义证明：函数1()f x x x=+在区间[1,)+∞上是增函数.14．（10分）函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．15.（10分）设函数()(0)x af x a b x b+=>>+，求()f x 的单调区间，并证明()f x 在其单调区间上的单调性．(2)求f(x)的最大值. 16．（10分）已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x )≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．(1)求f(0)的值；§3 函数的单调性同步练测答题纸得分：一、选择题7. 8． 9． 10. 11. 12.三、解答题13.14.15.16.§3 函数的单调性同步练测参考答案1.C 解析：由函数单调性定义知选C.2.C 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图像可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.故选C. 3.C 解析：设a b +≤0，则a ≤b -，b ≤a -. ∵ ()f x 是R 上的增函数，∴ ()f a ≤()f b -，()f b ≤()f a -， ∴ ()()f a f b +≤()()f a f b -+-，这与题设()()f a f b +>()()f a f b -+-矛盾， ∴ 0a b +>,故选C.4.A 解析：因为(x 1－2)(x 2－2)<0，若x 1<x 2，则有x 1<2<x 2，即2<x 2<4－x 1.又当x >2时，f (x )单调递增且f (－x )＝－f (x ＋4)，所以有f (x 2)<f (4－x 1)＝－f (x 1)，故f (x 1)＋f (x 2)<0；若x 2<x 1，同理有f (x 1)＋f (x 2)<0，故选A.5.D 解析：准确理解运算“*”的性质：（1）满足交换律；（2）0a a *=；（3）(()a b c c ab **=*+）()()2a c b c c *+*-.在（3）中，令0c =，则有()00()(0)(0)20a b a b ab a b *=**=*+*+*-⨯，即a b ab a b *=++，故()223139222228x x x f x x x ⎛⎫=*=+=+- ⎪⎝⎭，易知函数()f x 的单调递减区间为3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，故选D ．6.C 解析：11y x =--是1y x =-向右平移1个单位而得到，故11y x =--分别在（1，+∞）和（－∞，1）上为增函数．故应选C ．7.8a ≥ 解析：2()3f x x ax =--的对称轴是直线2ax =,它的递减区间是,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.因为()f x 在区间(,4]-∞上单调递减,所以42a≤，即8a ≥.8.③ 解析：因为12)1(2-+=+x x x f 2(1)2x =+-,所以2()2,[2,3]f x x x =-∈. 由二次函数的知识知，()f x 在区间[2，3]上是增函数.9. ②③ 解析：由f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1，可得f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x 2f (x 1)>x 1f (x 2)得f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，即表示点(x 1，f (x 1))与原点连线的斜率大于点(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率，可以看出结论②正确；结合函数图像，容易判断结论③是正确的．10. (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3]解析：(1)当a ＞0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a，即此时函数f (x )的定义域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，3a .(2)当a －1＞0，即a ＞1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1＜a ≤3；当a －1＜0，即a ＜1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a ＞0，此时a ＜0. 综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．11.[21](0)--+∞，，解析：∵ 0a ≠，22,1,(),1,x a x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩∴ 当0a >时，221112120f a f a a a a a a -≥+⇔-+≥-+⇔++≥（）（）（）（）217024a ⎛⎫⇔++≥ ⎪⎝⎭，显然成立，∴ 0a >符合题意；当0a <时，2211112320fa f a a a a a a -≥+⇔--≥++⇔++≤（）（）（）（），解得21a -≤≤-．综上所述，实数a 的取值范围是[21](0)--+∞，，．12.2a ≤- 解析：因为()f x 为R 上的减函数，所以必有(1)f -≤11-，即11a +≤-，所以2a ≤-．13.证明：任取12,[1,)x x ∈+∞12,,x x <且则1212121()()()10f x f x x x x x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即12()()f x f x <，∴ 函数1()f x x x=+在区间[1,)+∞上是增函数. 14.解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2).∵ 函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴ f (x 1)－f (x 2)＜0.∵ x 2－x 1＞0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，∴ 1－2a ＜0，解得a ＞12.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 15.解：函数()x af x x b+=+的定义域为()()b b -∞--+∞，，．()f x 在()b -∞-，内是减函数，在()b -+∞，内也是减函数．证明()f x 在()b -+∞，内是减函数．任取12()x x b ∈-+∞，，，且12x x <，则1221121212()()()()()()x a x a a b x x f x f x x b x b x b x b ++---=-=++++. ∵ 211200()()0a b x x x b x b ->->++>，，， ∴ 12()()0f x f x ->，即()f x 在()b -+∞，内是减函数．同理可证()f x 在()b -∞-，内是减函数．16.解：(1)对于条件③，令x 1＝x 2＝0得f (0) ≥f (0)+ f (0)，故f (0)≤0. 又由条件①知f (0)≥0，故f (0)＝0.(2) 任取12,x x ，且0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0, 1]，∴ f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)≥0，即f (x 2)≥f (x 1)，故f (x )在[0,1]上递增，从而f (x )的最大值是f (1)＝1.。

北师大版高中数学必修一函数的单调性同步练习北师

第二章函数§3 函数的单调性(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是…………………………………( )＝3－＝x 2＋1 ＝－x 2 ＝x 2－2x －3【解析】画图可知，y ＝x 2＋1在(0，＋∞)上为增函数，从而在(0,2)上为增函数.【答案】2.若函数y ＝(a ＋1)x ＋b ，x ∈R 在其定义域上是增函数，则…………………( ) ＞－＜－1 ＞＜0【解析】由y ＝(a ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是增函数，故a ＋1＞0，∴a ＞－1.【答案】3.若函数y ＝kx ＋b 是R 上的减函数，那么…………………………………( )≠ 无法确定【解析】因为y ＝kx ＋b 在R 上是减函数，所以对任意x 1＜x 2，应有f(x 1)＞f(x 2)，即k(x 1－x 2)＞0，又x 1－x 2＜0，所以k ＜0.故选A.【答案】4.函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2x ＋6x ＋7 x ∈［1，2］x ∈［－1，1］，则f(x)的最大值、最小值为……( )以上都不对【解析】本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值.当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x ≤1时，6≤x ＋7≤8.∴f(x)min ＝f(－1)＝6，f(x)max ＝f(2)＝10【答案】二、填空题 (每小题5分，共10分)5.若f(x)是R 上的增函数，且f(x 1)＞f(x 2)，则x 1与x 2的大小关系是 .【解析】 ∵f(x)是R 上的增函数，∴f(x 1)＞f(x 21＞x 2.【答案】 x 1＞x 26.函数y ＝x 2－2x 的单调减区间是，单调增区间是 .【解析】由函数y ＝x 2－2x 的图象知，抛物线开口向上且对称轴为x ＝1，∴单调减区间是(－∞，1］，单调增区间是［1，＋∞).【答案】 (－∞，1］，［1，＋∞)三、解答题(每小题10分，共20分)7.证明函数f(x)＝x ＋1x在(0,1)上为减函数. 【证明】设0<x 1<x 2<1，则121212211212121211()()()1()(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+=--＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2. 已知0<x 1<x 2<1，则x 1x 2－1<0，x 1－x 2<0，x 1x 2＞0.∴(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2＞0，即f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2).∴f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数. 8.求函数y ＝2x －1在区间［2,6］上的最大值和最小值. 【解析】设x 1、x 2是区间［2,6］上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1 ＝2(x 2－1)－2(x 1－1)(x 1－1)(x 2－1) ＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．所以，函数y ＝2x －1是区间[2,6]上的减函数．如上图．因此，函数y ＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.9.(10分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元.【解析】若设每天从报社买进x(250≤x ≤400，x ∈N )份，则每月共可销售(20x ＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x －250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意，得y ＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x －250)＝0.5x ＋625，x ∈［250,400］.∵函数y 在［250,400］上单调递增，∴x ＝400时，y ＝825(元)，即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.。

20212022学年数学北师大版必修一练习23函数的单调性.docx

十函数的单调性【基础全面练】(20分钟35分)1.函数y = -1—的单调减区间是() x - 1A,( - 00 , 1) , (1 , +00) B . ( - oo , 1)U(1 , +oo)C.{x《R|导1} D . R选A.单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C ,D不对, B表达不当.X ~ \若函数Rx）二一在（-8 , - 1）上是减少的，则a的取值范围是（）x + aA . （ - oo , - 1]B , （ - oo , - 1）C . （ - 00 , 1]D . （ - 00 , 1）x ~。

]选B.因为Rx）= ----- =1+ ------------- 在（-8 , - 1）上是减少的，所以-x + a x+ aQ - l>0 ,即a< - 1.A2.函数y 二;在（0 , + 0上是增加的，则k的取值范围是（）JiA . A;>0B .虹0C . k>0D . ^<0k ____选D.当k>0时/由函数y = ~的图像可知，在(-oo , 0) , (0 , + 8)上•Xk ___是减函数；当奴0时/由"；的图像可知，在(-00 , 0) , (0 , +00)上是增函数，3.给出下列4个命题：①若函数的定义域为(0 , +8),且满足人1)项2)寸(3)，则函数"佃在区间(0, +8)上是增函数；②若函数在区间(-8 , + 8)上是减函数,则犬。

2 + 1)项。

2)•③函数在其定义域上是减函数；④函数» = X + ;在［1 , 2］内的最小值为2 ,最大值为F ；其中真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个选C.①在函数单调性的定义中，XI , X2具有任意性,不能仅凭区间内有限个函数值的大小关系判断函数单调性，①错误;②因为a2 + l>a2 ,又"必)在区间(-8 , + 8)上是减函数，所以川2 + l)g),②正确；③取由=-1 , x2=l ,因为只-1) = - 1 ,只1)= 1 ,所以X - 1)<AD，故» = |不是其定义域上的减函数，③错误.④函数»=% + ；在［1 , 2］内单调递增,最大、最小值分别在端点处取得，④正确.3x4.函数R0 =工在［3 , 6］±的最小值是_____________ ,最大值是x+ 1x+ 1所以九工)在区间(-1 , + 8)上是增加的，所以姒)在［3 , 6］上也是增加的，9 18所以_/3)min=R3)=3 , A^)max=/(6)=y •9 18口.4 7(X - 1 ) 2 + 1 , X<1 ,5.若» = 1 1 且犬2 - a)<A3a)，则实数。

北师大版高中数学必修一§ 3 函数的单调性.doc

第二章函数§3 函数的单调性(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是…………………………………( )A.y＝3－xB.y＝x2＋1C.y＝－x2D.y＝x2－2x－3【解析】画图可知，y＝x2＋1在(0，＋∞)上为增函数，从而在(0,2)上为增函数.【答案】B2.若函数y＝(a＋1)x＋b，x∈R在其定义域上是增函数，则…………………( )A.a＞－1B.a＜－1C.b＞0D.b＜0【解析】由y＝(a＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，故a＋1＞0，∴a＞－1.【答案】A3.若函数y＝kx＋b是R上的减函数，那么…………………………………( )A.k<0B.k>0C.k≠0D.无法确定【解析】因为y＝kx＋b在R上是减函数，所以对任意x1＜x2，应有f(x1)＞f(x2)，即k(x1－x2)＞0，又x1－x2＜0，所以k＜0.故选A.【答案】A4.函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2x ＋6x ＋7 x∈［1，2］x∈［－1，1］，则f(x)的最大值、最小值为……( ) A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对【解析】本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值.当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8.∴f(x)min ＝f(－1)＝6，f(x)max ＝f(2)＝10【答案】 A二、填空题 (每小题5分，共10分)5.若f(x)是R 上的增函数，且f(x 1)＞f(x 2)，则x 1与x 2的大小关系是 .【解析】 ∵f(x)是R 上的增函数，∴f(x 1)＞f(x 2)x 1＞x 2.【答案】 x 1＞x 26.函数y ＝x 2－2x 的单调减区间是，单调增区间是 .【解析】由函数y ＝x 2－2x 的图象知，抛物线开口向上且对称轴为x ＝1，∴单调减区间是(－∞，1］，单调增区间是［1，＋∞).【答案】 (－∞，1］，［1，＋∞)三、解答题(每小题10分，共20分)7.证明函数f(x)＝x ＋1x在(0,1)上为减函数. 【证明】设0<x 1<x 2<1，则 121212211212121211()()()1()(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+=--＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2. 已知0<x 1<x 2<1，则x 1x 2－1<0，x 1－x 2<0，x 1x 2＞0. ∴(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2＞0，即f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2).∴f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数. 8.求函数y ＝2x －1在区间［2,6］上的最大值和最小值. 【解析】设x 1、x 2是区间［2,6］上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1 ＝2x 2－1－2x 1－1x 1－1x 2－1 ＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1. 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．所以，函数y ＝2x －1是区间[2,6]上的减函数．如上图．因此，函数y ＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.9.(10分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元.【解析】若设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份，则每月共可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x－250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈［250,400］.∵函数y在［250,400］上单调递增，∴x＝400时，y max＝825(元)，即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.。

高一上学期《函数单调性的证明》练习题(2021年整理)

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高一上学期《函数单调性的证明》练习题1．函数y=f（x）对于任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1,当x＞0时，f(x）＞1，且f（3）=4，则（）A．f（x）在R上是减函数，且f（1）=3 B．f（x）在R上是增函数,且f（1）=3 C．f（x）在R上是减函数，且f(1）=2 D．f（x)在R上是增函数,且f（1）=2 2．已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数,且f（x）＜0(x＞0）．试判断F(x）=在（0，+∞) 上的单调性并给出证明过程．3．已知函数y=f(x)在（0，+∞)上为减函数，且f(x）＜0（x＞0），试判断f（x）=在(0，+∞)上的单调性,并给出证明过程．4．已知函数f(x)对任意x，y∈R,总有f(x）+f(y）=f（x+y),且当x＞0时，f(x）＜0，f（1）=﹣．（1）求f（0）；(2）求证：f（x）在R上是减函数；(3）求f（x)在[﹣3,3］上的最大值和最小值．5．函数f（x）对任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1,且当x＞0时，f （x）＞1．（Ⅰ)求证：f(x）是R 上的增函数;(Ⅱ）若f(﹣4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2．6．函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f(b)﹣1,并且当x＞0时,f （x）＞1．(1)求证:f（x)是R上的增函数；（2）若f（4）=5，解不等式f(3m2﹣m﹣2)＜3．7．函数f（x）对任意的a、b∈R，都有f（a+b）=f(a）+f（b)﹣1,并且当x＞0时,f(x)＞1．(1）求证：f（x)是R上的增函数；（2）若f（2）=3，解不等式f（m﹣2）＜3．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x)+f（y)+1,②当x＞0时，f（x）＞﹣1；（Ⅰ）求：f(0)的值，并证明f（x)在R上是单调增函数；（Ⅱ）若f（1）=1，解关于x的不等式;f（x2+2x）+f（1﹣x)＞4．9．定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f(y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求f（0）的值；(2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；(3）解关于t的不等式f（2t2﹣t)＜1．10．定义在R上的函数 y=f（x) 对任意的x，y∈R,满足条件：f（x+y）=f（x）+f （y）﹣2,且当x＞0时,f（x）＞2（1）求f(0）的值；(2)证明:函数f（x）是R上的单调增函数；（3）解不等式f(2t2﹣t﹣3）﹣2＜0．11．已知f（x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足f（x)•f （y）=f（x+y)．（1）求f(0)的值，并证明对任意的x∈R，有f（x）＞0；（2)设当x＜0时，都有f（x)＞f（0）,证明:f（x)在（﹣∞，+∞）上是减函数．高一《函数单调性的证明》练习题参考答案与试题解析1．函数y=f（x)对于任意x、y∈R，有f（x+y）=f(x)+f（y)﹣1,当x＞0时,f（x)＞1，且f(3）=4，则（）A．f（x)在R上是减函数，且f(1)=3 B．f（x）在R上是增函数，且f（1)=3C．f（x）在R上是减函数,且f(1）=2 D．f（x）在R上是增函数，且f（1）=2【分析】先依据函数单调性的定义判断函数的单调性，再由f(3）=f（1）+f(2）﹣1=f(1)+f（1）+f（1）﹣1﹣1=4，解出f（1)．【解答】解:设x1＞x2，则f(x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2+x2)﹣f（x2)=f（x1﹣x2)+f（x2）﹣1﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1＞1﹣1=0，即f（x1)＞f（x2)，∴f(x）为增函数．又∵f（3）=f（1）+f（2）﹣1=f（1）+f(1）+f(1）﹣1﹣1=3f（1）﹣2=4，∴f(1）=2．故选：D．2．已知函数y=f(x）在（0，+∞)上为增函数，且f（x)＜0（x＞0）．试判断F（x）=在（0,+∞）上的单调性并给出证明过程．【分析】首先,设x1，x2∈（0，+∞）,且x1＜x2，然后根据函数f(x）的单调性进行证明即可．【解答】解:函数F（x）=为（0,+∞)上减函数,证明如下：任设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，∵y=f（x）在（0,+∞)上为增函数，∴f（x1）＜f（x2),f（x1）＜0，f（x2）＜0，F（x1）﹣F(x2）=﹣=，∵f(x1）＜f（x2），∴f(x2）﹣f（x1）＞0，∵f(x1）＜0，f（x2)＜0，∴f（x1）•f(x2）＞0，∴F（x1）﹣F(x2）＞0，即F（x1）＞F(x2），则F（x)为（0，+∞）上的减函数．3．已知函数y=f(x）在(0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0（x＞0），试判断f（x）=在(0，+∞）上的单调性,并给出证明过程．【分析】首先，设x1，x2∈（0，+∞)，且x1＜x2，然后，比较大小,从而得到结论．【解答】解：函数为(0,+∞)上增函数，证明如下：任设x1，x2∈(0，+∞)且x1＜x2,∵y=f(x)在（0，+∞）上为减函数,∴f（x1）＞f(x2），f(x1）＜0,f（x2)＜0，=，∵f(x1）＞f（x2），∴f(x2)﹣f（x1）＜0，∵f（x1）＜0，f（x2）＜0,∴f(x1）•f(x2）＞0，∴g（x1)﹣g（x2)＜0,∴为（0，+∞）上的增函数．4．已知函数f(x)对任意x，y∈R,总有f（x）+f(y）=f（x+y)，且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣．（1）求f（0）；(2）求证:f（x）在R上是减函数；(3）求f（x)在[﹣3，3]上的最大值和最小值．【分析】（1）令x=y=0⇒f（0)=0；（2）令y=﹣x即可证得f(﹣x）=﹣f（x），利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合已知即可证得f（x）是R上的减函数；（3）利用f（x）在R上是减函数可知f（x)在[﹣3,3］上也是减函数，易求f（3）=﹣2，从而可求得f（x）在[﹣3，3］上的最大值和最小值．【解答】解:（1)令x=y=0，则f（0）=0；（2）令y=﹣x，则f（﹣x)=﹣f（x)，在R上任意取x1,x2，且x1＜x2,则△x=x2﹣x1＞0，△y=f（x2）﹣f(x1）=f(x2)+f（﹣x1)=f（x2﹣x1）∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0，又∵x＞0时，f（x)＜0，∴f(x2﹣x1）＜0,即f（x2)﹣f(x1)＜0，由定义可知函数f（x)在R上为单调递减函数．（3）∵f（x）在R上是减函数，∴f（x）在［﹣3，3］上也是减函数．又f(3)=f（2）+f（1)=f（1）+f(1）+f（1)=3×（﹣）=﹣2，由f（﹣x）=﹣f（x）可得f（﹣3）=﹣f（3）=2，故f（x）在[﹣3，3］上最大值为2,最小值为﹣2．5．函数f（x）对任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）+f（b)﹣1，且当x＞0时，f （x）＞1．（Ⅰ)求证：f（x)是R 上的增函数;（Ⅱ)若f（﹣4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣3)＜2．【分析】（Ⅰ）设实数x1＜x2,则x2﹣x1＞0,利用已知可得f（x2﹣x1）＞1．再利用已知可得f(x2）=f（x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f(x1）即可；（Ⅱ）令a=b=﹣2，以及a=b=﹣1，解得f（﹣2)=3，f(﹣1)=2，不等式f（3m2﹣m ﹣3）＜2．化为f（3m2﹣m﹣3）＜f(﹣1），由（1）可得：f（x）在R上是增函数．可得3m2﹣m﹣3＜﹣1，解得即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1)＞1．又函数f（x)对任意a，b∈R都有f(a+b）=f（a）+f（b)﹣1,∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f(x2﹣x1）+f（x1)﹣1＞1+f(x1）﹣1=f（x1），∴f（x2）＞f（x1），∴f(x）在R上是增函数;（Ⅱ）令a=b=﹣2,则f（﹣2﹣2）=f（﹣2）+f（﹣2）﹣1=5，解得f（﹣2）=3，再令a=b=﹣1，则f(﹣1﹣1)=f（﹣1）+f(﹣1）﹣1=3，解得f（﹣1)=2．不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2．化为f（3m2﹣m﹣3）＜f（﹣1)．由（1)可得：f（x）在R上是增函数．∴3m2﹣m﹣3＜﹣1，解得﹣＜m＜1．∴不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2的解集为（﹣，1)．6．函数f（x)对任意的a，b∈R,都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1．(1)求证：f（x）是R上的增函数；(2)若f(4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．【分析】（1）先任取x1＜x2，x2﹣x1＞0．由当x＞0时,f（x）＞1．得到f(x2﹣x1）＞1，再对f（x2）按照f（a+b)=f（a）+f(b)﹣1变形得到结论．（2）由f（4）=f（2）+f（2)﹣1求得f（2）=3，再将f(3m2﹣m﹣2)＜3转化为f （3m2﹣m﹣2）＜f(2）,由(1）中的结论，利用单调性求解．【解答】解：（1)证明：任取x1＜x2，∴x2﹣x1＞0．∴f（x2﹣x1)＞1．∴f（x2)=f［x1+（x2﹣x1）]=f(x1)+f(x2﹣x1）﹣1＞f（x1)，∴f（x）是R上的增函数．（2)∵f(4）=f（2）+f（2）﹣1=5,∴f（2）=3．∴f(3m2﹣m﹣2）＜3=f（2)．又由（1)的结论知，f（x）是R上的增函数，∴3m2﹣m﹣2＜2，3m2﹣m﹣4＜0，∴﹣1＜m＜．7．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f（a+b)=f（a）+f（b)﹣1，并且当x＞0时，f(x）＞1．（1）求证：f（x）是R上的增函数；(2）若f（2)=3，解不等式f（m﹣2）＜3．【分析】(1）先任取x1＜x2，x2﹣x1＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x2﹣x1)＞1，再对f（x2)按照f（a+b)=f(a）+f（b）﹣1变形得到结论．（2)由f(2）=3，再将f（m﹣2）＜3转化为f（m﹣2)＜f（2)，由（1）中的结论，利用单调性求解．【解答】解：（1）证明:任取x1＜x2，∴x2﹣x1＞0．∴f(x2﹣x1）＞1．∴f（x2）=f[x1+（x2﹣x1）］=f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1＞f（x1)，∴f(x）是R上的增函数．（2）∵f(2）=3．∴f（m﹣2）＜3=f(2）．又由(1）的结论知,f（x）是R上的增函数，m﹣2＜2，m＜4∴解不等式f(m﹣2）＜3的解集为：（﹣∞，4）．8．已知定义在R上的函数f(x）满足:①f（x+y）=f（x）+f(y)+1，②当x＞0时，f（x）＞﹣1；（Ⅰ）求：f（0）的值，并证明f(x）在R上是单调增函数;（Ⅱ)若f（1)=1，解关于x的不等式；f(x2+2x）+f（1﹣x）＞4．【分析】（Ⅰ）根据已知条件中，:①f(x+y)=f（x)+f（y）+1，②当x＞0时，f（x）＞﹣1;令x=y=0，即可求出f（0）的值，在R上任取x1＞x2,则x1﹣x2＞0，根据f(x1）=f[(x1﹣x2）+x2],结合已知条件,即可判断函数的单调性;（Ⅱ）若f（1）=1,则我们易将关于x的不等式；f（x2+2x）+f（1﹣x）＞4化为f （x2+x+1）＞f（3），结合（I）的结论,可将原不等式化为一个一元二次不等式，进而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）令x=y=0∵f（x+y)=f（x）+f（y)+1，∴f(0）=f（0）+f（0）+1∴f(0）=﹣1，在R上任取x1＞x2，则x1﹣x2＞0，∵当x＞0时，f（x）＞﹣1,∴f(x1﹣x2）＞﹣1则f（x1）=f［（x1﹣x2）+x2]，=f（x1﹣x2）+f（x2）+1＞f（x2），∴f（x）在R上是单调增函数．（Ⅱ）由f（1）=1得：f（2)=3，f（3)=5，则关于x的不等式；f（x2+2x）+f（1﹣x）＞4可化为关于x的不等式；f（x2+2x）+f（1﹣x）+1＞5，即关于x的不等式；f（x2+x+1）＞f（3）,由（Ⅰ）的结论知f(x）在R上是单调增函数，故x2+x+1＞3，解得：x＜﹣2或x＞1，故原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2)∪（1,+∞)．9．定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R,满足条件：f（x+y）=f(x）+f(y）﹣1，且当x＞0时，f（x)＞1．（1）求f（0）的值;（2)证明：函数f（x）是R上的单调增函数；(3）解关于t的不等式f（2t2﹣t）＜1．【分析】(1）用赋值法分析：在f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1中，令x=y=0可得：f(0）=f（0）+f（0）﹣1，解可得f(0）的值，即可得答案；（2）用定义法证明：设x1＞x2，则x1=x2+（x1﹣x2），且（x1﹣x2）＞0，结合题意可得f(x1)=f［（x1﹣x2)+x2]=f(x2）+f（x1﹣x2）﹣1，作差可得f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1，分析可得f(x1）﹣f（x2)＞0，由增函数的定义即可得证明;(3）根据题意,结合函数的奇偶性与f（0)=1可得2t2﹣t＜0，解可得t的取值范围，即可得答案．【解答】解：(1）根据题意,在f(x+y）=f（x）+f（y)﹣1中，令x=y=0可得：f（0）=f(0)+f（0）﹣1，解可得：f（0)=1，（2）证明：设x1＞x2，则x1=x2+（x1﹣x2）,且x1﹣x2＞0，则有f（x1）=f[(x1﹣x2）+x2］=f（x2）+f（x1﹣x2）﹣1,即f（x1）﹣f(x2）=f（x1﹣x2)﹣1，又由x1﹣x2＞0，则有f（x1﹣x2）＞1，故有f（x1）﹣f（x2）=f(x1﹣x2）﹣1＞0，即函数f（x）为增函数；（3)根据题意,f(2t2﹣t)＜1，又由f（0）=1且函数f（x)为增函数，则有2t2﹣t＜0,解可得0＜t＜．10．定义在R上的函数 y=f（x) 对任意的x,y∈R,满足条件：f(x+y）=f（x）+f（y）﹣2,且当x＞0时，f（x）＞2（1）求f(0）的值;（2)证明：函数f（x)是R上的单调增函数；（3）解不等式f(2t2﹣t﹣3）﹣2＜0．【分析】（1）由题意 y=f（x）对任意的x，y∈R,关系式成立，采用赋值法，可得f(0）的值；（2）利用定义证明其单调性．(3)利用单调性及f（0）的值，求解不等式即可．【解答】解：由题意:函数 y=f（x）定义在R上对任意的x，y∈R满足条件:f（x+y）=f(x)+f（y）﹣2，∴令x=y0,由f（x+y）=f（x）+f（y)﹣2，可得：f(0）=f（0）+f（0）﹣2,解得：f（0)=2．故f(0)的值为:2．（2）证明：设x1＜x2,x1、x2∈R，则x2﹣x1＞0，由（1）可得f(x2﹣x1）＞2．因为对任意实数任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f（x）+f（y）﹣2，所以f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1)﹣2＞f（x1）所以函数f（x）是R上的单调增函数．（3）解:由（1）（2）可知函数f（x)是R上的单调增函数．且f（0)=2；不等式f(2t2﹣t﹣3）﹣2＜0,变形得f（2t2﹣t﹣3）＜2，转化为f（2t2﹣t﹣3）＜f（0)．故得：2t2﹣t﹣3＜0解得：，所以原不等式的解集是（﹣1，）．11．已知f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x,y∈R都满足f（x）•f(y）=f（x+y）．（1）求f（0）的值，并证明对任意的x∈R，有f（x）＞0；(2）设当x＜0时,都有f（x）＞f（0)，证明：f（x）在（﹣∞，+∞)上是减函数．【分析】（1）令x=y=0，代入f(x）•f(y）=f(x+y）即可得到f（0)的方程，解之即可求得f（0)，再有x=+，即可证得对任意的x∈R,有f（x）＞0；（2）设x1，x2∈R且x1＜x2，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．【解答】解：（1）可得f（0）•f(0）=f(0）∵f（0）≠0∴f（0）=1又对于任意又,∴f（x）＞0（2）设x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1）﹣f(x2）=f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）=f(x2）[f （x1﹣x2）﹣1]∵x1﹣x2＜0∴f(x1﹣x2）＞f(0）=1∴f（x1﹣x2）﹣1＞0对f(x2)＞0∴f（x2）f[（x1﹣x2)﹣1］＞0∴f（x1）＞f（x2）故f(x）在R上是减函数。

北师大版高中数学必修一课后训练2.3函数的单调性.docx

课后训练基础巩固1.下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是()．A．f(x)＝－x＋3B．f(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝－|x－1| D．f(x)＝1 x2．若函数y＝f(x)定义在[－1,2]上，且满足12f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(1)，则f(x)在区间[－1,2]上的单调性是()．A．增函数B．减函数C．先减后增D．无法判断其单调性3．已知函数y＝ax和byx=-在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()．A．减函数且f(0)＞0 B．增函数且f(0)＞0 C．减函数且f(0)＜0 D．增函数且f(0)＜04．函数f(x)＝2210x xx x⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩，，，的单调性为()．A．在(0，＋∞)上为减函数B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数C．不能判断单调性D．在(－∞，＋∞)上是增函数5．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a在区间[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．6．已知函数f(x)＝11a x-(a＞0，x＞0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a的值．能力提升7．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有()()f a f b b a--＞0成立，则必有( )．A ．函数f (x )是先增后减B ．函数f (x )是先减后增C ．f (x )在R 上是增函数D ．f (x )在R 上是减函数8．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a ∈R ，则( )． A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a )9．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b ＞0，则有( )． A ．f (a )＋f (b )＞－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )＜－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )10．函数f (x )在其定义域M 上是增函数，且f (x )＞0，那么在M 上为减函数的是( )．A ．y ＝4＋3f (x )B ．y ＝[f (x )]2C ．y ＝3＋1f x () D ．y ＝2－1f x ()11．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝1ax +在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]12．函数f (x )＝x |x －1|的单调增区间为__________．13．已知函数f (x )＝22x -(x ∈[3,6])， (1)讨论函数f (x )在[3,6]上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数f (x )的最大值与最小值；(3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，求m 的取值范围．14．定义域在(0，＋∞)上的函数f (x )满足(1)f (2)＝1；(2)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(3)当x ＞y 时，有f (x )＞f (y )．若f (x )＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围．15．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2和80元/m 2.(1)求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)判断(1)中函数在(0,2)和[2，＋∞)上的单调性并用定义法加以证明； (3)如何设计水池尺寸，才能使总造价最低？参考答案1．B 点拨：画出各个函数的图像，由单调函数图像特征可知，选项B 正确．2．D 点拨：增、减函数的定义中的x 1，x 2具有任意性，仅由两个特殊自变量12-和1的函数值的大小关系无法判断函数f (x )的单调性．3．C 点拨：由题意，知a ＜0，b ＜0.∴f (x )＝bx ＋a 在R 上是减函数，且f (0)＝a ＜0.4．D 点拨：画出分段函数f (x )的图像可知，f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．5．a ≥－3 点拨：12a-≤2⇒a ≥－3. 6．解：(1)证明：设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝21211212111111x x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫----=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)∵f (x )在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (2)＝2，易得25a =.7．D 点拨：由()()0f a f b b a->-，知a －b 与f (a )－f (b )永远异号，由单调函数的定义知，f (x )在R 上是减函数．8．D 点拨：当a ∈R 时，a 与2a ，a 2与a ，a 2＋a 与a 的大小关系不确定，所以不能由函数的单调性比较相应的两个函数值的大小，而a 2＋1－a ＝21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞0，∴a 2＋1＞a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f (a 2＋1)＜f (a )．9．C 点拨：∵a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，b ＞－a .由函数的单调性可知，f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，两式相加得选项C 正确．10．C 点拨：(特例法)取f (x )＝x (x ＞0)，很容易可以判断y ＝3＋1()f x 在定义域内为减函数．11．D 点拨：函数g (x )＝1ax +在区间[1,2]上是减函数，则a ＞0，f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，则a ≤1，故0＜a ≤1.12．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[1，＋∞) 点拨：f (x )＝x |x －1|＝22,1,,1,x x x x x x ⎧-≥⎨-+<⎩当x ≥1时，f (x )＝x 2－x 在[1，＋∞)上单调递增；当x ＜1时，f (x )＝x －x 2在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增；所以单调增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[1，＋∞)．13．解：(1)函数f (x )在[3,6]上是减函数，下面进行证明：任取x 1，x 2∈[3,6]，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＝2112122()2222(2)(2)x x x x x x --=----＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝22x -在[3,6]上是减函数． (2)由(1)知，f (x )max ＝f (3)＝2， f (x )min ＝f (6)＝12. (3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，则m 应不小于函数f (x )的最大值2，∴m 的取值范围是m ≥2.14．解：∵当x ＞y 时，有f (x )＞f (y )，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1，∴若f (x )＋f (x －3)≤2，即f (x )＋f (x －3)≤f (2)＋f (2)，则f [x (x －3)]≤f (4)．∴0,30,(3)4,x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩解得3＜x ≤4. ∴x 的取值范围是(3,4]．15．解：(1)设长方体无盖水池的池底一边长为x m ，则另一边长为4xm ，又设总造价为y 元，由题意得8412080222y x x ⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即y ＝480＋3204x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，x ∈(0，＋∞)． (2)函数在(0,2)上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的，下面进行证明：任取x 1，x 2∈(0,2)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0. ∴f (x 1)－f (x 2)＝121244480320480320x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝121244320x x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭＝121212320()(4)x x x x x x --＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )在(0,2)上是减少的．同理可证，f (x )在[2，＋∞)上是增加的．(3)由(2)中函数的单调性可知，当x ＝2，即池底是正方形时，总造价最低，最低为1 760元．。

高一数学北师大版必修1同步专练函数的单调性

同步专练(5)函数的单调性1、设函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数,若R a ∈,则( )A. ()()2f a f a >B. ()()2f a f a < C. ()()2f a a f a +< D.()()21f a f a +<2、若函数()2f x x ax b =++在区间[]0,1上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -的值( )A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关3、已知()f x 是定义在R 上的增函数，若()y f x =的图象过点()2,1A --和()3,1B ，则满足()111f x -<+<的x 的取值范围是( ) A.(-2,3)B.(-3,2)C.(-1,4)D.(-1,1)4、函数y x =+A.有最小值12,无最大值 B.有最大值12,无最小值C.有最小值12,最大值2D.无最大值,也无最小值5、若函数()245f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则()1f 的最小值是( )A.-7B.7C.-25D.25 6、若函数()()()2211,02,0b x b x f x x b x x -+->⎧⎪=⎨-+-≤⎪⎩，在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为( ) A.[]1,2 B.1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(]1,2D.()1,2 7、()21y k x b =-+是R 上的减函数，则有( )A.12k >B.12k >-C.12k <D.12k <-8、若函数()f x 在区间(),a b 上是增函数,在区间(,)c d 上也是增函数.则函数()f x 在区间()(),,a b c d ⋃上()A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性9、函数y =( )A. (,3]-∞-B. (],1-∞-C. [)1,+∞D. []3,1--10、已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=( ) A.-2B.0C.1D.211、函数282y x x =-+的增区间是( ) A.(],4-∞- B.[)4,-+∞ C.(],4-∞ D.[)4,+∞12、函数252y x x=--的值域是。

2021_2022学年新教材高中数学第二章函数3第1课时函数的单调性练习含解析北师大版必修第一册

§3 函数的单调性和最值第1课时函数的单调性水平11．函数y ＝－2x 在定义域上是减函数．( )2．若函数y ＝f (x )在区间[1，3]上单调递减，则函数y ＝f (x )的单调递减区间是[1，3].( ) 3．函数f (x )＝－x 2，因为－1＜2，且f (－1)＞f (2)，则f (x )是R 上的减函数．( )4．若函数f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( ) 5．若函数f (x )在区间(1，2]和(2，3)上均单调递增，则函数f (x )在区间(1，3)上单调递增．( ) 【解析】1.√2．提示：×.“f (x )在区间[1，3]上单调递减”是“y ＝f (x )的单调递减区间是[1，3]”的必要不充分条件．3．提示：×.因为－2＜0，f (－2)＜f (0)，所以f (x )在R 上是减函数错误．另外：特殊数据可以判断函数的不单调性，不能判断函数的单调性，函数单调性的定义中，∀x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 ＞0或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0.4．提示：×.如函数f (x )＝1x在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是单调递减．5．提示：×.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈（1，2]，－1x ，x ∈（2，3）满足在区间(1，2]和(2，3)上均单调递增，但是f (x )在区间(1，3)上不单调．·题组一根据函数单调性的定义判断函数的单调性1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f （a ）－f （b ）a －b ＞0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．函数f (x )先减后增C ．函数f (x )是R 上的增函数D ．函数f (x )是R 上的减函数【解析】选C.由f （a ）－f （b ）a －b ＞0知，当a ＞b 时，f (a )＞f (b )；当a ＜b 时，f (a )＜f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．2．给出下列命题，其中正确的是( )A ．若函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数f (2x )的定义域为[]0，4 B ．函数f (x )＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．若定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，在区间(0，＋∞)上也单调递增，则f (x )在R 上单调递增D ．x 1，x 2是f (x )定义域内的任意的两个值，且x 1<x 2，若f (x 1)>f (x 2)，则f (x )是减函数【解析】选D.对于A ，若函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数f (2x )的定义域为[0，1]，故A 错误；对于B ，函数f (x )＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故B 错误；对于C ，比如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，x ≤0－22x －1，x >0 ，故C 错误；对于D ，为单调性的定义，正确． ·题组二简单复合函数的单调性1．(多选)已知f (x )是定义在R 上的增函数，则下列结论中不正确的是( ) A ．y ＝[f (x )]2是增函数B ．y ＝1f （x ） (f (x )≠0)是减函数C ．y ＝－f (x )是减函数D ．y ＝|f (x )|是增函数【解析】选ABD.设f (x )＝x ，在R 上递增．对于A 选项，y ＝x 2在(－∞，0)上递减，故A 选项结论错误．对于B 选项，y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减，但不能说y ＝1x 是减函数，故B 选项结论错误．对于C 选项，y ＝－x 是减函数．证明一般性：由于f (x )是定义在R 上的增函数，根据复合函数单调性同增异减可知y ＝－f (x )是R 上的减函数．故C 选项结论正确．对于D 选项，y ＝|x |在(－∞，0)上递减，故D 选项结论错误． 2．函数y ＝－x 2＋3x －2 的单调递增区间为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 B ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C ．⎣⎡⎦⎤32，2D ．⎣⎡⎦⎤1，32 【解析】选D.令t ＝－x 2＋3x －2≥0，解得1≤x ≤2，所以函数的定义域为[1，2]，因为t 在⎣⎡⎦⎤1，32 上递增，在⎣⎡⎦⎤32，2 上递减且y ＝t 在(0，＋∞)上递增，所以函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤1，32 . ·题组三求函数的单调区间1．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调递减区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)【解析】选B.易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞).2．如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________．【解析】观察图象可知，单调递增区间为[－5，－2)，[1，3)，单调递减区间为[－2，1)，[3，5].答案：[－2，1)和[3，5] [－5，－2)和[1，3) ·题组四分段函数和抽象函数的单调性1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0的单调性为( )A ．在(－∞，0)和[0，＋∞)上单调递增B ．在(－∞，0)和[0，＋∞)上单调递减C ．在(－∞，＋∞)上单调递增D ．在(－∞，＋∞)上单调递减【解析】选C.如图，画出f (x )的图象，可得f (x )的增区间为(－∞，＋∞).2．已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (a ＋b )＝f (a )f (b )且f (0)＝1，当x >0时，f (x )>1，则f (x )的值域为__________，单调区间为__________．【解析】当x <0时，－x >0，所以f (－x )>1，又因为f (0)＝1，所以f (0)＝f ()x －x ＝f (x )f (－x )＝1，所以0<f (x )<1，所以f (x )的值域为()0，＋∞ .对于任意的实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)>1，f (x 2)＝f (x 2－x 1＋x 1)＝ f (x 2－x 1)f (x 1)>f (x 1)，即f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在()－∞，＋∞ 上是增函数，f (x )的增区间为()－∞，＋∞ . 答案：(0，＋∞) (－∞，＋∞)易错点一混淆“单调区间”和“在区间单调”已知函数f (x )＝x 2－ax 的单调递增区间为[1，＋∞)，则实数a 的取值范围为( ) A ．2B ．a ≤2C ．a ≥2D ．a <2【解析】选A.函数f (x )＝x 2－ax ＝⎝⎛⎭⎫x －a 2 2－14 a 2的图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x ＝a 2 ，函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫a 2，＋∞ ，依题意，得a2＝1⇒a ＝2.易错点二对分段函数的单调性理解错误 (多选)(2021·长治高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值可以是( ) A ．0 B ．－2 C ．－1D ．－3【解析】选BD.由题意，函数y ＝－x 2－ax －5的图象开口朝下，对称轴为x ＝－a 2，因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1a x ，x >1是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥1a <0－1－a －5≤a，解得－3≤a ≤－2.所以实数a 的取值可以是－2，－3.【易错误区】分段函数是将一个函数分成几段，而不是几个函数，同时，分段函数的单调性是对某区间内的，一定要分清楚端点处的取值．水平1、2限时30分钟分值50分战报得分______一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选B.由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．【加练备选】函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的增区间是 ( )A.[-2,0]B.[0,1]C.[-2,1]D.[-1,1]【解析】选C.由图可知,自左向右看图象为上升的,是增函数,则函数的增区间是[-2,1]. 2．下列说法正确的是( )A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，满足f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上单调递增B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1<x 2时，有f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上单调递增C ．若f (x )在区间I 1上单调递增，在区间I 2上也单调递增，那么f (x )在I 1∪I 2上也一定单调递增D ．若f (x )在区间I 上单调递增且f (x 1)<f (x 2)(x 1，x 2∈I )，则x 1<x 2【解析】选D.对于选项A ，B ，根据增函数的概念可知，应是：对于任意的x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，满足f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在(a ，b )上单调递增，故A ，B 错误；对于选项C ，设函数为y ＝－1x ，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，显然y ＝－1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递增，但整体不是增函数，故C 错误；对于选项D ，根据单调函数的性质，f (x )在区间I 上单调递增，即f (x )随x 增大而增大，因此，由f (x 1)<f (x 2)(x 1，x 2∈I )，可得x 1<x 2. 3．(2021·杭州高一检测)下列函数中在其定义域内是单调函数的是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝x C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x －2【解析】选B.对于A ，f (x )＝x 2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，在定义域内不是单调函数，故选项A 不正确；对于B ，f (x )＝x 在[0，＋∞)上单调递增，是单调函数，故选项B 正确；对于C ，f (x )＝1x在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，但在定义域内不是单调函数，故选项C 不正确；对于D ，f (x )＝x －2在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，在定义域内不是单调函数，故选项D 不正确．4．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足：对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有x 2f （x 1）－x 1f （x 2）x 1－x 2 >0，则称函数f (x )为“理想函数”．给出下列四个定义域为(0，＋∞)的函数：①f (x )＝1；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x ； ④f (x )＝x 2＋x ；能被称为“理想函数”的有________个．( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】选C.依题意，定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足：对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有x 2f （x 1）－x 1f （x 2）x 1－x 2 >0，不妨设x 1>x 2>0，可得x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，即x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，即f （x 1）x 1 >f （x 2）x 2，所以函数y ＝f （x ）x在(0，＋∞)上单调递增．即f (x )为“理想函数”的等价条件是函数y ＝f （x ）x 在(0，＋∞)上单调递增．①y ＝f （x ）x ＝1x (x >0)在(0，＋∞)上单调递减，不符合；②y ＝f （x ）x ＝x (x >0)在(0，＋∞)上单调递增，符合；③y ＝f （x ）x ＝1x(x >0)在(0，＋∞)上单调递减，不符合；④y ＝f （x ）x ＝x ＋1(x >0)在(0，＋∞)上单调递增，符合．综上所述，②④符合题意．5．(多选)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是( )A ．f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 >0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )D ．f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0【解析】选AB.由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A ，B 正确，D 错误；对于选项C ，因为x 1，x 2的大小关系无法判断，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系也无法判断，故C 不正确．二、填空题(每小题5分，共15分) 6．(2021·巴蜀高一检测)函数y ＝－x 2＋4x ＋12 的单调递减区间为________．【解析】对于函数y ＝－x 2＋4x ＋12 ，则－x 2＋4x ＋12≥0，即x 2－4x －12≤0，解得－2≤x ≤6. 所以，函数y ＝－x 2＋4x ＋12 的定义域为[－2，6].内层函数u ＝－x 2＋4x ＋12在区间[－2，2)上单调递增，在区间[2，6]上单调递减，外层函数y ＝u 为定义域上的增函数，因此，函数y ＝－x 2＋4x ＋12 的单调递减区间为[2，6].答案：[2，6]7．(2021·武威高一检测)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，（x <2）2x x ＋3，（x ≥2），若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________________．【解析】当x <2时，f (x )＝2x ＋1单调递增，由2x 0＋1>1，解得0<x 0<2.当x ≥2时，f (x )＝2（x ＋3）－6x ＋3 ＝2－6x ＋3 单调递增，f (x 0)＝2－6x 0＋3 >1，6x 0＋3 <1，x 0＋3>6，x 0>3.综上所述，x 0的取值范围是(0，2)∪(3，＋∞).答案：(0，2)∪(3，＋∞)8．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5，下列关于函数f (x )的单调性说法正确的是________．①函数f (x )在R 上不具有单调性； ②当a ＝1时，f (x )在(－∞，0)上单调递减；③若f (x )的单调递减区间是(－∞，－4]，则a 的值为－1； ④若f (x )在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34 . 【解析】①当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在R 上是减函数，①错误；②当a ＝1时，f (x )＝2x 2－8x ＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f (x )在(－∞，0)上单调递减，②正确； ③由f (x )的单调递减区间是(－∞，－4]得⎩⎪⎨⎪⎧2a >0－4（a －3）4a ＝－4 ，a 的值不存在，③错误；在④中，当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4（a －3）4a ≥3，得0<a ≤34，所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34 ，④正确．答案：②④ 三、解答题9．(10分)(2021·齐齐哈尔高一检测)已知函数f (x )＝x ＋b1＋x 2 的定义域为[－1，1]，满足f (－1)＋f (1)＝0.(1)求b 的值．(2)判断函数f (x )的单调性，并证明你的结论． (3)求解关于x 的不等式f (5－3x )>f (x 2－x －2). 【解析】(1)因为f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋b 2 ＋1＋b 2 ＝0，解得b ＝0，所以f (x )＝xx 2＋1 .(2)f (x )是增函数，证明如下：设实数x 1，x 2满足－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21 ＋1 －x 2x 22 ＋1 ＝（x 1x 2－1）（x 2－x 1）（x 21 ＋1）（x 22 ＋1），因为－1≤x 1<x 2≤1，所以x 1x 2－1<0，x 2－x 1>0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在定义域[－1，1]上是增函数．(3)由(2)及函数的单调性定义可得⎩⎪⎨⎪⎧5－3x >x 2－x －2x 2－x －2≥－15－3x ≤1，解得1＋52 ≤x <22 －1.【加练备选】已知函数f(x)=,x ∈[2,4].(1)用定义证明f(x)在定义域内是单调递减函数;(2)求该函数的值域.【解析】(1)根据题意,f(x)===1+,设2≤x 1<x 2≤4,f(x 1)-f(x 2)=-=-=,又由2≤x 1<x 2≤4,得x 2-x 1>0,x 2-1>0,x 1-1>0,则f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),则函数f(x)在定义域内是单调递减. (2)由(1)的结论,函数f(x)在[2,4]内是单调递减,则其最大值为f(2)==2,最小值为f(4)==. 即函数f(x)的值域为.(2021·肇庆高一检测)已知函数f (x )＝x ＋1x. (1)求证：f (x )在()1，＋∞ 上是增函数；(2)求f (x )在[]2，4 上的值域．【解析】(1)设任意两个x 1，x 2∈(1，＋∞)，并且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1 －x 2－1x 2＝ (x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－1）x 1x 2 . 因为x 2>x 1>1，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以x 1x 2－1>0，故（x 1－x 2）（x 1x 2－1）x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)可知f (x )在[2，4]上单调递增，所以当x ∈[2，4]时，f (2)≤f (x )≤f (4).又因为f (2)＝2＋12 ＝52 ，f (4)＝4＋14 ＝174，所以f (x )在[2，4]上的最大值为174 ，最小值为52，即f (x )在[2，4]上的值域为⎣⎡⎦⎤52，174 .。

北师大版高中数学必修1函数的单调性同步练习(N)

函数的单调性同步练习1．下述函数中，在)0,(-∞上为增函数的是（）A ．y=x2－2B ．y=x 3C ．y=x --21D ．2)2(+-=x y 2．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（）A ．y=－x 1B ．y=－(x －1)C ．y=x2－2D ．y=－|x| 3．函数)(2∞+-∞-=，在x y 上是（） A ．增函数 B ．既不是增函数也不是减函数 C ．减函数 D ．既是减函数也是增函数4．若函数f(x)是区间[a,b]上的增函数，也是区间[b,c]上的增函数，则函数f(x)在区间[a,b]上是（）A ．增函数B ．是增函数或减函数C ．是减函数D ．未必是增函数或减函数5．已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ( )A.在区间（-1，0）上单调递减B.在区间（0，1）上单调递减C.在区间（-2，0）上单调递减 D 在区间（0，2）上单调递减6．设函数),2(21)(+∞-++=在区间x ax x f 上是单调递增函数，那么a 的取值范围是（）A ．210<<aB ．21>aC ．a<-1或a>1D ．a>－27．函数),2[,32)(2+∞-∈+-=x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是（） A ． [－8，+∞） B ．[8，+∞） C ．（－∞，－ 8] D ．（－∞，8]8．如果函数f(x)=x2+bx+c 对任意实数t 都有f(4-t)=f(t),那么（）A ．f(2)<f(1)<f(4)B ．f(1)<f(2)<f(4)C ．f(2)<f(4)<f(1)D ．f(4)<f(2)<f(1)9．若函数34)(3+-=ax x x f 的单调递减区间是)21,21(-，则实数a 的值为 .10．(理科)若a>0，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.11．设函数)0(1)(2>-+=a ax x x f ，（I ）求证：当且仅当a ≥1时，f(x)在),0[+∞内为单调函数；（II ）求a 的取值范围，使函数f(x)在区间),1[+∞上是增函数.。