名师PPT 相似三角形
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相似三角形的性质ppt课件
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
相似三角形完整版PPT课件
通过已知条件推导出新的相似关系，逐步 构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
相似三角形ppt课件
注意事项
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
相似三角形PPT课件
利用相似三角形的性质，通过已知三 角形的面积和相似比求解未知三角形 的面积。
通过构造相似三角形，使得已知三角 形和未知三角形分别对应相似三角形 的对应边和对应高，从而求解未知三 角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角 形的性质求解其体积。例如，对于两 个相似的棱锥，其体积之比等于其对 应边长之比的立方。
平行线截割定理
定理内容
两条平行线被一组横截线所截， 则对应线段成比例。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似三 角形的性质证明。
应用举例
证明线段成比例、求解线段长度等 。
射影定理
定理内容
在直角三角形中，斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比例中 项；每一条直角边是这条直角边 在斜边上的射影和斜边的比例中
性质
相似三角形的对应角相等 ，即如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则∠C = ∠C'。
判定方法
可以通过测量两个三角形 的对应角来判断它们是否 相似。
对应边成比例
定义
如果两个三角形的对应边 成比例，则称这两个三角 形相似。
性质
相似三角形的对应边成比 例，即如果AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则 △ABC ∽ △A'B'C'。
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似 三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度 等问题。
直角三角形中特殊角性质
30°角所对直角边等于斜边一半
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
45°角所对直角边等于斜边一半乘以√2
通过构造相似三角形，使得已知三角 形和未知三角形分别对应相似三角形 的对应边和对应高，从而求解未知三 角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角 形的性质求解其体积。例如，对于两 个相似的棱锥，其体积之比等于其对 应边长之比的立方。
平行线截割定理
定理内容
两条平行线被一组横截线所截， 则对应线段成比例。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似三 角形的性质证明。
应用举例
证明线段成比例、求解线段长度等 。
射影定理
定理内容
在直角三角形中，斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比例中 项；每一条直角边是这条直角边 在斜边上的射影和斜边的比例中
性质
相似三角形的对应角相等 ，即如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则∠C = ∠C'。
判定方法
可以通过测量两个三角形 的对应角来判断它们是否 相似。
对应边成比例
定义
如果两个三角形的对应边 成比例，则称这两个三角 形相似。
性质
相似三角形的对应边成比 例，即如果AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则 △ABC ∽ △A'B'C'。
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似 三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度 等问题。
直角三角形中特殊角性质
30°角所对直角边等于斜边一半
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
45°角所对直角边等于斜边一半乘以√2
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
相似三角形ppt教学课件完整版
在摄影测量学中，通过拍摄地面的照片，并利用射影几何的原理进行解析，可以精确地测量 出地面点的三维坐标，为地图制作和地形分析提供重要数据。
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
相似三角形ppt教学 课件完整版
目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
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目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
相似三角形的判定课件优秀课件
性质
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定条件
02
01
03
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。
相似比与相似度
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为 相似比。
相似度
用来衡量两个三角形相似的程度，通常 用相似比来表示。相似度越高，两个三 角形越相似。
THANK YOU
感谢聆听
构建相似三角形，利用比例关 系求解线段长度。
应用勾股定理和相似三角形的 性质，求解直角三角形中的线 段长度。
求解角度问题
利用相似三角形的对应角相等，通过已知角度求解未 知角度。
通过构建相似三角形，利用角度之间的和、差、倍、 半关系求解角度问题。
结合三角形的内角和性质，利用相似三角形求解复杂 的角度问题。
直角三角形相似判定
对于两个直角三角形，如果它们的一个锐角相等，则这两个三角形相似。这是因为直角三角 形的锐角决定了其余两个角的大小，因此一个锐角相等就意味着三个角都相等。
等腰三角形相似判定
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。这是因为等腰三角形的 顶角决定了其余两个底角的大小，因此顶角相等就意味着三个角都相等。
求解面积问题
利用相似三角形的面积比等于 相似比的平方，通过已知面积 求解未知面积。
通过构建相似三角形，利用面 积之间的比例关系求解面积问 题。
结合其他几何知识，如平行四 边形的面积公式等，利用相似 三角形求解复杂的面积问题。
04
相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形性质解方程
通过相似三角形的对 应边成比例，将几何 问题转化为代数方程。
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定条件
02
01
03
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。
相似比与相似度
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为 相似比。
相似度
用来衡量两个三角形相似的程度，通常 用相似比来表示。相似度越高，两个三 角形越相似。
THANK YOU
感谢聆听
构建相似三角形，利用比例关 系求解线段长度。
应用勾股定理和相似三角形的 性质，求解直角三角形中的线 段长度。
求解角度问题
利用相似三角形的对应角相等，通过已知角度求解未 知角度。
通过构建相似三角形，利用角度之间的和、差、倍、 半关系求解角度问题。
结合三角形的内角和性质，利用相似三角形求解复杂 的角度问题。
直角三角形相似判定
对于两个直角三角形，如果它们的一个锐角相等，则这两个三角形相似。这是因为直角三角 形的锐角决定了其余两个角的大小，因此一个锐角相等就意味着三个角都相等。
等腰三角形相似判定
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。这是因为等腰三角形的 顶角决定了其余两个底角的大小，因此顶角相等就意味着三个角都相等。
求解面积问题
利用相似三角形的面积比等于 相似比的平方，通过已知面积 求解未知面积。
通过构建相似三角形，利用面 积之间的比例关系求解面积问 题。
结合其他几何知识，如平行四 边形的面积公式等，利用相似 三角形求解复杂的面积问题。
04
相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形性质解方程
通过相似三角形的对 应边成比例，将几何 问题转化为代数方程。
《相似三角形的性质和判定》PPT课件
全等三角形是特殊的相似三角形，当相似比为1时性质探究
对应角相等
01
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似
。
02
性质
相似三角形的对应角相等，即 如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，
则∠C = ∠C'。
03
示例
通过测量和比较两个三角形的 对应角度，可以判断它们是否
相似。
对应边成比例
03
定义
性质
示例
两个三角形如果它们的对应边成比例，则 称这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例，即如果 AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则△ABC ∽ △A'B'C'。
通过测量和比较两个三角形的对应边长， 可以判断它们是否相似。
面积比与边长比关系
01
平行线截割定理证明
平行线截割定理应用
在解决相似三角形问题时，可以利用 平行线截割定理来寻找相似三角形的 对应边。
通过相似三角形的性质，可以证明对 应线段之间的比例关系。
三角形中位线定理
三角形中位线定理内容
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形中位线定理证明
通过相似三角形的性质和平行线截割定理，可以证明三角形中位线 与第三边的关系。
01
更高层次相似三角形知识
02
相似多边形的性质和判定方 法
03
相似三角形与相似多边形之 间的关系和联系
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
• 相似三角形在几何变换中的应用，如平移、旋转、对 称等
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
相关主题
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2：3 (2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_______; 6 若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_____. 9 若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为_____.
相似三角形
E
E
F
M
F N
G
G
若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值. 添平行线构造相似三角形的基本图形。
A
F
α
B
α
E
α
C
变式：.直角梯形ABCF中,∠B＝90°,CB=14， CF=4, AB=6, CF∥AB,在边CB上找一点E,使以 E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点 5.6或2或12 的三角形相似，则CE=_______
A
注意分类讨论的 数学思想
F
C
E
E
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,
第一轮复习
相似三角形
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。
回顾与反思
相似三角形的性质： 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2 .相似三角形对应高线比，对应中线比，对应角平分线 比等于相似比。 3.相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相 似比的平方。
练一练
基本图形1
M E D N
M
N H
平行法 过D作DH∥EC交BC延长线于点H
(1)试找出图中的相似三角形?⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH
y A
D B(-3,0) O C (1,0) x
用一用
PP
y
A
(1)当PQ∥AD时，⊿BPQ∽ ⊿BAD
BP BQ BA BD 13 3 m m 4 即： 13 5 3 4
则
D C (1,0) x
B(-3,0) Q O Q tan∠ABC=
3 4
解得： m
25 9
有公共角∠B,
B
D
∠BAD=∠C AB2=BD· BC
C A
D
B
B
∠ACB=90°，
∠D=∠C
CD⊥AB
△ABE∽ △ECF
A
F
B
E
C
（1）点E为BC上任意一点，若 ∠B= ∠C=60°, ∠AEF= ∠ C,则△ABE与△ ECF的关系还成立吗？说明理由
A
F 60° B 60° E 60° C
（2）点E为BC上任意一点 若 ∠B= ∠C= α, ∠AEF= ∠ C,则△ABE 与△ ECF 的关系还成立吗？
7 则AF=_______
A
E F
B
D
C
如图，已知抛物线与x轴交于A、B X=4 两点，与y轴交于C点,且A(2,0),C(0,3) y （1）求此抛物线的解析式； P 3 （2）抛物线上有一点P，满足 C ∠PBC=90°，求点P的坐标； 2 6 x O A B Q （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与⊿PBC相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽ ⊿BDA
则
BP BQ BD BA
“A”型相似
m 即： 13 3 m 4 解得： m 125 36
3
13 m 4 5
相似的基本图形
(1) A
D
B
(2) C B
E
A C
D
E
(3) D
A E
DE∥BC (4) A
DE∥BC C (5)
B C ∠ADE=∠C E (6) D A C
基本图形2
“A”字型 当∠ADE＝ ∠C 时， ⊿ADE∽ ⊿ACB.
基本图形2
F
A
B
C
添加一个条件使得⊿ ACF ∽ ABC. ⊿ BCF ∽⊿ ⊿ BAC.
当∠BCF＝ ∠A 时， ⊿BCF∽ ⊿BAC.
基本图形2
(1) 如图①，∠BCF=∠CAF,BC=6,AF=5, BF=4 你能求出BF的长吗? (2) 如图②，BC是圆O的切线，切点为C.移动点A, 使AC成为⊙O的直径,你还能得到哪些结论? 则⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF
A F A
.O
C B
F
.O
C
B
Байду номын сангаас图①
图②
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF 2、CD² =AD×BD BC² =BD×AB AC² =AD×AB
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标； （2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m， 问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
相似基本图形 的运用
已知相似图形直接求
方程思想 整体思想 转化思想 分类思想
构造相似图形间接求
学会从复杂图形中分解出基本图形
相似三角形
E
E
F
M
F N
G
G
若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值. 添平行线构造相似三角形的基本图形。
A
F
α
B
α
E
α
C
变式：.直角梯形ABCF中,∠B＝90°,CB=14， CF=4, AB=6, CF∥AB,在边CB上找一点E,使以 E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点 5.6或2或12 的三角形相似，则CE=_______
A
注意分类讨论的 数学思想
F
C
E
E
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,
第一轮复习
相似三角形
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。
回顾与反思
相似三角形的性质： 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2 .相似三角形对应高线比，对应中线比，对应角平分线 比等于相似比。 3.相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相 似比的平方。
练一练
基本图形1
M E D N
M
N H
平行法 过D作DH∥EC交BC延长线于点H
(1)试找出图中的相似三角形?⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH
y A
D B(-3,0) O C (1,0) x
用一用
PP
y
A
(1)当PQ∥AD时，⊿BPQ∽ ⊿BAD
BP BQ BA BD 13 3 m m 4 即： 13 5 3 4
则
D C (1,0) x
B(-3,0) Q O Q tan∠ABC=
3 4
解得： m
25 9
有公共角∠B,
B
D
∠BAD=∠C AB2=BD· BC
C A
D
B
B
∠ACB=90°，
∠D=∠C
CD⊥AB
△ABE∽ △ECF
A
F
B
E
C
（1）点E为BC上任意一点，若 ∠B= ∠C=60°, ∠AEF= ∠ C,则△ABE与△ ECF的关系还成立吗？说明理由
A
F 60° B 60° E 60° C
（2）点E为BC上任意一点 若 ∠B= ∠C= α, ∠AEF= ∠ C,则△ABE 与△ ECF 的关系还成立吗？
7 则AF=_______
A
E F
B
D
C
如图，已知抛物线与x轴交于A、B X=4 两点，与y轴交于C点,且A(2,0),C(0,3) y （1）求此抛物线的解析式； P 3 （2）抛物线上有一点P，满足 C ∠PBC=90°，求点P的坐标； 2 6 x O A B Q （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与⊿PBC相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽ ⊿BDA
则
BP BQ BD BA
“A”型相似
m 即： 13 3 m 4 解得： m 125 36
3
13 m 4 5
相似的基本图形
(1) A
D
B
(2) C B
E
A C
D
E
(3) D
A E
DE∥BC (4) A
DE∥BC C (5)
B C ∠ADE=∠C E (6) D A C
基本图形2
“A”字型 当∠ADE＝ ∠C 时， ⊿ADE∽ ⊿ACB.
基本图形2
F
A
B
C
添加一个条件使得⊿ ACF ∽ ABC. ⊿ BCF ∽⊿ ⊿ BAC.
当∠BCF＝ ∠A 时， ⊿BCF∽ ⊿BAC.
基本图形2
(1) 如图①，∠BCF=∠CAF,BC=6,AF=5, BF=4 你能求出BF的长吗? (2) 如图②，BC是圆O的切线，切点为C.移动点A, 使AC成为⊙O的直径,你还能得到哪些结论? 则⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF
A F A
.O
C B
F
.O
C
B
Байду номын сангаас图①
图②
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF 2、CD² =AD×BD BC² =BD×AB AC² =AD×AB
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标； （2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m， 问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
相似基本图形 的运用
已知相似图形直接求
方程思想 整体思想 转化思想 分类思想
构造相似图形间接求
学会从复杂图形中分解出基本图形