高中数学必修5高中数学必修5《数列复习(二)数列求和》教案

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人教版高中必修5第二章数列教学设计

人教版高中必修5第二章数列教学设计教学目标1.理解数列的概念及基本特征，能够正确地用公式计算数列项；2.掌握等差数列和等比数列的求和公式，并能够运用于实际问题的解决；3.培养学生对数学的兴趣和思维能力，提高其数学应用能力和解决问题的能力。

教学重难点1.理解数列的概念及基本特征，掌握常见数列的性质，展现数列的美妙之处；2.掌握等差数列和等比数列的求和公式，能够将问题转化成数列的求和问题。

教学内容及教学步骤导入环节引导学生通过问题引入数列的概念。

示范问题：如果按照1,3,5,7,…的规律一直往下走，你能得出第n 项是什么吗？通过这个问题，让学生明白数列的概念，探究数列的基本性质，引导学生去思考和猜测数列的特征。

讲解环节通过数列的定义和相关例题，让学生掌握数列的概念及基本特征。

数列的定义数列是按照一定规律排列的一列数，数列中每一个数称为该数列的项。

数列的分类常规数列：$a_1, a_2, a_3, …, a_n $特殊数列：•等差数列：a1,a2,a3,...,a n，满足a n+1=a n+d；•等比数列：a1,a2,a3,...,a n，满足a n+1=a n q。

常见数列的性质•等差数列的前n项和：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$；•等比数列的前n项和：$S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

实践环节练习1观察以下数列，判断其为等差数列还是等比数列并求出公差或公比：1.1,2,4,8,16,32,64,1282.-1,3,7,11,15,19,233.2，-4，8，-16，……答案：1.等比数列，公比为 2；2.等差数列，公差为 4；3.等比数列，公比为 -2。

练习2计算下列数列的前n项和：1.1,2,3,4, (99)2.-1,2,-3,4,-5 (201)3.1,-2,3,-4,…,-99。

答案：1.$S_n = \\frac{n(n+1)}{2}$；2.$S_n =\\frac{n}{2}(-1+(-1)^n(2n+1))$；3.$S_n = (-1)^{n+1}\\frac{n}{2}$。

人教版高中数学必修五教案：数列求和

课题数列求和课型复习课课时： 1 授课时间：教学目标知识与技能：数列求和方法．过程与方法：求和方法及其获取思路．情感态度与价值观：通过学生对数列的观察能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点数列求和方法及其获取思路．教学难点数列求和方法及其获取思路．教学手段多媒体辅助教学教学方法先学后教，讲练结合教学过程1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：（1）)(211121nnnnnnn aanSaaaSaaaS+=⇒⎩⎨⎧+++=+++=-例1．求和：222222222222110108339221011++++++++分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：（2）11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=nnnnnnn aaSqaaaaqSaaaaS例2．求和：)0()12(5332≠-++++xxnxxx n3．分组法求和二次备课例3求数列 1614,813,412,211的前n 项和；例4．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S（Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

例5．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .)1(11 111,1 ;2)1(21 ,111,1:1n n n n n n a aa a aa a a n n n S n a a --=--=++=≠+=+++==+++==- 则若于是则若解]1)1([11)]([11 11111122aa a n a a a a n a a a a a a a S n nn n ----=+++--=--++--+--= 于是4．裂项法求和例6．求和：n++++++++++21132112111 解：设数列的通项为a n ，则)111(2)1(2+-=+=n n n n a n ,12)111(2)]111()3121()211[(221+=+-=+-++-+-=+++=∴n nn n n a a a S n n 例7．求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n三、课堂小结1．常用数列求和方法有：(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和； (4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和； (5) 并项求和法: 将相邻n 项合并为一项求和； (6) 分部求和法：将一个数列分成n 部分求和；(7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、作业（.1616814412).1项的和前求数列：n +++ （2）．在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.（3）．在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10板书设计数列求和倒序相加法：二、例题讲解三、总结四、作业布置教学反思。

数列小结与复习(二)教案(高中数学必修五北师大版)

过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质；
⑵在解决问题的过程中，学会快速
地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识。
二、教学重点熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤
.
教学难点解题思路和解题方法的优化 .
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程（一）、导入新课 []
x，x＋ d,则 x-d＋ x＋ x＋ d=300. 生乙由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为 x＋10， x＋ d＋ 11，则 (x＋ 10)2=(x-d＋ 10)(x＋ d＋ 11).

x-d＋ 10，
师甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出
x， d.
板书：
b，那么解不出的原因也就是 a 和 b 不存在的理由 . 师分析得很好 .让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？
解：设等差数列｛ an｝的公差为 d(d≠0，) 等比数列｛ b n｝的公比为 q，则
1 d q,
1 7d
q
2
解得
.
d=5 ， q=6.所以
an=5 n-4.
而 bn=6 n-1，若存在常数 a，b，使得对一切自然数 n，都有 an=loga bn＋b 成立，即 5n-4=log a6 n-1＋ b, 即 5n-4=( n-1)loga6＋ b, 即( loga6-5)n＋ (b-loga6＋ 4)=0. 对任意 n∈ N * 都成立 . 只需
［合作探究］师这道题涉及到两个数列｛ an｝和｛ bn｝之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究 an， b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量？生由于｛ a n｝是等差数列， { b n} 是等比数列，所以应该先抓住基本量 a1、 d 和 q.

高中数学必修5教案

高中数学必修5教案教案：高中数学必修5教案一：数列课时安排：1课时教学目标：1. 认识数列的概念，了解等差数列和等比数列的特点；2. 学习数列的通项公式和求和公式；3. 能够通过已知的前几项求解数列的通项公式和求和公式。

教学内容：1. 数列的概念和表示法；2. 等差数列和等比数列的特点；3. 数列的通项公式和求和公式。

教学步骤：1. 引入数列的概念，说明数列的表示方法；2. 介绍等差数列和等比数列的特点，并通过例题引导学生发现其中的规律；3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，并通过例题演示应用；4. 练习题。

教学方法：1. 通过引入具体的例子和问题，激发学生对数列的兴趣和好奇心；2. 通过示意图和计算过程，详细讲解数列的通项公式和求和公式，加深学生对公式的理解和掌握。

教学资源：1. 教学课件，包含数列的概念、特点、通项公式和求和公式的说明；2. 练习题集，包含了不同难度的练习题。

教学评估：1. 在课堂中给予学生相关概念和公式的解释和运用问题；2. 布置作业，要求学生独立完成一些练习题，检查他们对数列的理解和应用能力。

教案二：三角函数课时安排：2课时教学目标：1. 认识三角函数的概念和基本性质；2. 学习正弦函数和余弦函数的图像及其性质；3. 掌握三角函数的周期性和变换规律；4. 能够解决简单的三角函数方程和不等式问题。

教学内容：1. 三角函数的定义和基本性质；2. 正弦函数和余弦函数的图像及其性质；3. 三角函数的周期性和变换规律；4. 三角函数方程和不等式的解法。

教学步骤：1. 介绍三角函数的概念和定义；2. 讲解正弦函数和余弦函数的图像和性质，引导学生观察和总结规律；3. 教授三角函数的周期性和变换规律，并通过图像演示详细说明；4. 教授三角函数方程和不等式的解法，并通过实例演示应用。

教学方法：1. 通过实际生活中的例子和问题，引入三角函数的概念和定义，提高学生对三角函数的兴趣和理解；2. 通过示意图和计算过程，详细讲解三角函数的图像和性质，加深学生对函数的理解和掌握。

人教A版高中数学必修5精选优课教案 2.2等差数列数列求和复习

数列求和教学目标：知识目标：熟练运用求和公式对等差、等比数列求和,能运用分组的方法将一些特殊数列转化为等差、等比数列来求和。

能力目标：培养学生的观察能力、计算能力；加强转化思想方法的渗透教学。

情感目标：培养学生严谨求实的钻研精神。

教学重点：运用分组求和法将特殊数列转化为等差、等比数列来求和,学会如何转化。

教学难点：运用转化的思想方法解决求和问题。

一、导入：我们主要研究了两类特殊的数列——等差数列、等比数列。

其中一项重要的内容就是数列的求和，它是数列知识的综合体现。

求和题在高考试题中很常见，它主要考查我们有关数列的基础知识，分析问题和解决问题的能力。

这节课我们将进一步研究数列的求和问题。

二、知识回顾：1、等差数列和等比数列的前n 项和公式分别是什么？（1）等差数列的前n 项和公式：___________________;（2）等比数列的前n 项和公式：①___________________; ②___________________（3）常用求和公式：=++++2222......321n三、探究例1：求和： n n aa a S 11112++++=Λ 思考：1.这是多少项的和？2.观察项与项之间的特征，是特殊数列吗？以上运用了公式法直接求和。

运用公式时要注意以下问题：1、公式熟悉。

2、明确首项和项数。

3、等比数列中要特别注意使用条件。

例2：.求下列数列的前n 项和观察数列中各项有什么共同点？该数列的通项公式为？分析：由通项公式该数列是否等差、等比数列？能否直接套用求和公式？数列各项有何特征？如何利用其特征来求和？练习：求和（1）)()2()1(2n a a a S n n -++-+-=Λ（2）)532(1-⨯-+)534(2-⨯-+……+)532(nn -⨯-分组求和法：分组求和法是将一个数列转化为等差数列、等比数列或者其他能方便求和的数列，然后分别求和的方法。

例3.若数列{}n a 的通项公式是)23()1(--=n a n n 则=11S 通项公式有什么特点？可以对原式进行怎样的变化？奇偶并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.111112,4,6,,248162n n ++L例4.()12)12(1971751531311+⨯-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n s n Λ 观察数列的前几项，每一项可以写成两项相减的形式。

必修5第二章数列数列求和问题教案

数列求和问题教案1教学目标1.初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法.2.通过把某些既非等差数列,又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题,培养学生观察、分析问题的能力,以及转化的数学思想.教学重点与难点重点:把某些既非等差数列,又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和.难点:寻找适当的变换方法,达到化归的目的.教学过程设计(一)复习引入师:等差数列和等比数列既是最基本的数列又是最重要的数列.我们已经推出了求其前n项和的公式,公式分别是什么？师:我们学习新知识不仅要记住其结论,正确地运用它解决问题,而且要善于在学习新知识的过程中体会研究问题的方法,逐渐地学会思考、学会学习.(不失时机地对学生进行学法指导非常必要)回忆一下推导这两个公式的方法,你有什么收获？(留给学生回忆及思考的时间)生甲:推导等差数列前n项和公式所用的方法是:先把S n中各项“正着”写出来,再把S n中各项次序反过来写出,两式相加.由于对应项和都为(a1＋a n),所以2S n＝n(a1＋a n),进而求出S n.师:推导方法是将要解决的问题通过“逆序相加”的方法转化为我们熟悉的常数列求和问题.(渗透转化的思想)生乙:推导等比数列前n项和所用的方法是:将S n的各项依次写出,再把这个式子的两边同时乘以q,然后两式“错项相减”,相减后等号右边只剩下两项,进而求得S n.师:解决此问题需要同学们有敏锐的观察能力.把S n＝a1＋a1q＋…＋a1q n－2＋a1q n－1的两边分别乘以公比q,就得到各项后面相邻的一项,因而用“错项相减”的方法就可以消去相同的项.以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到.这节课我们就来研究既非等差数列又非等比数列的一些特殊数列的求和问题.(板书课题)(二)新课例1求分母为3,包含在正整数m与n(m＜n)之间的所有不可约的分数之和.师:分母为3,包含在正整数m与n之间的所有不可约分数有哪些？师:本题实质上让我们解决什么问题？生:求由这些分数构成的数列的各项和.此数列是我们熟悉的等差数列或等比数列吗？(稍微停顿)都不是.请同学们观察此数列有什么特点,可用什么方法求和？生甲:此数列的第一项与最后一项的和是m＋n,第二项与倒数第二项的和也是m＋n,依此类推.根据此数列的特点,可以用刚才复习过的“逆序相加法”求和.(学生叙述解法一,教师板书)解法1:将上式各项次序反过来写出:两式相加得所以S＝(m＋n)(n－m)＝n2－m2.生乙:我观察此数列的所有奇数项组成公差为1的等差数列,所有偶数项也组成公差为1的等差数列,它们分别都有(n－m)项.可以转化成等差数列求和问题.(学生叙述解法2,教师板书)解法2:师:解法2是将原数列的各项重新组合,使它转化为等差数列求和问题,我们给(学生进一步体会)师:无论是“逆序相加法”还是“分组求和法”都是通过适当的变换把某些既非等差数列又非等比数列的特殊数列转化为等差或等比数列的求和问题.看下面数列又怎样转化呢？例2求数例1,3a,5a2,7a3,…(2n－1)a n－1,…(a≠1)的前n项和.师:我们还是从观察数列特点入手.此数列各项有何特点？生:此数列每一项中的字母部分a0,a1,a2,…,a n－1构成以a为公比的等比数列,每一项中的系数部分1,3,5,…,(2n－1)构成以2为公差的等差数列.师:我们不妨把这种数列称为“差比数列”{c n},c n＝a n·b n,其中{a n}为等差数列,｛b n｝为等比数列.联想我们曾遇到过的数列,有没有“差比数列”呢？生:任何一个等比数列都是特殊的差比数列.师:等比数列求和公式是怎样推导的？生:用错项相减法.师:假如我们也使用错项相减法,把S n＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)a n－1的两边也同时乘以公比a,却不得各项后面相邻的一项,两式错项相减,并未达到消去绝大部分项的目的.用此法还行吗？生:虽然没消去绝大部分项,却把问题转化成为一个等比数列求和问题.(学生叙述,教师板书)解:因S n＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)a n－1,(1)(1)×a得aS n＝a＋3a2＋5a3＋…(2n－3)a n－1＋(2n－1)a n.两式相减得(1－a)S n＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2a n－1－(2n－1)a n＝2(1＋a＋a2＋a3＋…＋a n－1)－(2n－1)a n＋1师:让我们来回顾一下,错项相减后的式子中只留下第一项和最后一项,其它各项构成等比数列,把未知问题转化成已知的等比数列求和问题.由解题过程可见,此方法可解决哪类数列的求和问题？生:错项相减法可解决差比数列求和问题.师:也就是说,可解决这类数列｛c n｝的求和问题,c n＝a n·b n,其中｛a n｝为等差数列,｛b n｝为等比数列.例如求数列｛(2n－1)×0.1｝的前n项和,你能解决此问题吗？(学生进一步体会)师:这是一个通项是分数形式的数列,分母是相邻两个自然数的积,且相邻两项的分母中有相同因数.(稍微停顿)既然有相同的成分,那么我们能否消去它们,促成求和呢？(留给学生思考的时间)师:正像前面我们推导等差数列通项公式使用叠加法.(板书)a2－a1＝da3－a2＝da4－a3＝d……a n－1－a n－2＝da n－a n－1＝d.将上面n－1个式子的等号两边分别相加得到a n－a1＝(n－1)d,消去了绝大部分的项,只留下了第一项a1和最后一项a n.对于这个题目,同学们能否类似地实现求和呢？(让学生学会类比的思维方法)(学生讨论)(学生叙述,教师板书)师:这位同学的解法非常漂亮.他把通项是分数形式的数列的每一项,分裂成两个分数之差,这些分数的和,除首末两项(有时也可能是首末若干项)外,其余各项前后抵消,实现了求和.我们把这种方法叫做裂项求和法.这种方法,在解决通项是分数形式的数列求和问题时经常用到.下面请看第(2)小题.(学生先练习,然后师生共同讨论)师:这个数列有何特点？考虑用什么方法求和？生:这个数列中的每一项都有规律的分数形式,不妨试试裂项求和法解题.师:怎样裂项？是怎样凑出来的？师:由(*)式的变形过程可知4是由(4k－3)－(4k＋1)得来的.观察数列1,5,9,13,…,4n－3,…是什么数列？生:公差为4的等差数列.生:凑的系数恰为数列1,5,9,…,4n－3,…的公差的倒数.师:能不能推广成更具一般性的结论？(学生讨论)生:如果｛a n｝为等差数列,d为公差,则师:这样就全面了.同学们得出具有共性的结论.我们要善于解题后回顾与反思,多题归一.当然,有的不具有此规律的分数数列裂项并不容易“凑”出来,如师:怎样求得A,B,C？生:可用待定系数法.师:课后同学们可继续探讨.(学生议论)师:同学们还记得S n＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2可用哪个图形表示出来吗？(学生甲在黑板上画出图形,如图6－2)师:对于S n＝13＋23＋33＋…＋n3(n∈N＋)同学们能否类似地用一图形表示并猜想其结果？(学生讨论,教师用实物投影展示学生乙的图形,图6－3)生乙:我也用一个正方形表示,左下角的第一格表示13,左下角除表示13的方格外的8个格表示23,左下角除表示13和23以外的27个格表示33,以此类推.前n个自然数的立方和S n为正方形中所有方格个数之和(1＋2＋3＋…＋n)2师:同学们借助几何图形及其性质,使问题变得直观、简单,猜想出S n＝13＋23除了猜想一证明的方法外,还有没有其它方法？(稍微停顿)想想前n 个自然数的平方和是怎样求出来的？生:用构造法.利用构造的恒等式(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1(k∈N＋)实现求和.师:对.当k取1,2,…,n时,得到n个恒等式,把这个n个恒等式两边分别相加,由于左边是两个连续自然数的立方差,叠加后式子左边消去了除(n＋1)3与13以外的所有项,右边留下了我们需要的S n与可解决的自然数和以及n个常数1之和.构造恒等式的目的是为了把前n个自然数的平方和问题转化为前n 个自然数和的问题.那么,对于前n个自然数的立方和问题又怎样转化呢？生:构造恒等式(k＋1)4－k4＝4k3＋6k2＋4k＋1(k∈N＋),当k取1,2,…,n时,把n个式子叠加,使问题转化为前n个自然数的平方和与前n个自然数和的问题.师:很好.请同学们课后完成.我们把公式叫做自然数的方幂和公式.利用公式,我们又可以解决一类数列求和问题.例5求和S n＝1×2×3＋2×3×4＋…n(n＋1)(n＋2).师:利用公式(1),(2),(3)可解决自然数的方幂和问题,对于各项为n 个数的积的形式的数列怎样能实现求和？生:先分析数列的通项,最好是化为n个数的和或差的形式.(学生叙述,教师板书)例因为n(n＋1)(n＋2)＝n3＋3n2＋2n,则S n＝13＋3×12＋2×1＋23＋3×22＋2×2＋…n3＋3n2＋2n＝(13＋23＋…＋n3)＋3(12＋22＋…＋n2)＋2(1＋2＋…＋n)师:请同学们归纳一下,利用公式(1),(2),(3)可解决哪类数列求和问题？生:如果数列｛a n｝的通项是关于n的多项式或通项可以转化为关于n的多项式就可以利用公式求数列的前n项的和.(三)小结师:数列求和是一个很有趣的问题.最基本的方法是:对于等差数列或等比数列求其前n项和,直接用前n项和公式求得,我们把这种方法叫做直接法.除直接法外,我们还应总结求一些特殊数列前n项和的间接方法.能举例吗？生:如这节课使用的逆序相加法,分组求和法,错项相减法,构造法等.师:使用这些具体方法的指导思想是什么？生:利用转化的思想,把一些既非等差数列又非等比数列的数列求和转化为等差数列或等比数列求和.师:我们可以把这些具体方法归纳为第一种间接求和法——转化求和法.也就是通过适当的变换,化归成等差数列或等比数列求和.还有什么方法？生:裂项求和法.师:如果一个数列的每一项都能排成两项之差,在求和中,一般除首末两项(也可能是首末若干项)外,其余各项先后抵消,那么这个数列前n 项和就容易求出来了.在解决分数数列的求和问题时经常用到.师:我们把它归纳为第二种间接求和法——裂项求和法.还有其他方法吗？生:利用自然数的方幂和公式求和.师:对于通项是关于n的多项式或可化为关于n的多项式的数列可利用此公式求和.我们把它归纳为第三种间接求和法——利用自然数的方幂和公式求和.当然,对于某些数列的求和还可以用归纳—猜想—证明的方法,今后同学们可继续讨论.(四)布置作业A组(A组题检查教学目标是否达到,要求学生独立完成)B组(B组题供学有余力的学生使用)课堂教学设计说明在教学过程中,教师对学生进行必要的学法指导,使学生由“学会”到“会学”是课堂教学中实施素质教育的重要手段.这节课一开始的复习,不仅仅是复习旧知识,而且复习研究问题的方法,由此引入新课,让学生体会怎样学习.在学习裂项求和法时,用推导等差数列通项公式使用的叠加法与要解决的问题进行类比,引导学生发现解决新问题的办法,让学生体会类比的思维方法.在解完例3之后,教师引导学生把结论推广到一般情况,进行例题后的回顾与反思,让学生体验如何加强知识之间的联系,使认识不断升华.利用课堂小结将学生零散的知识系统化,并纳入到自己的认知结构中,与此同时,也培养了学生养成善于总结的良好学习习惯.总之,课堂教学中不失时机地对学生进行必要的学习方法指导,让学生学习“怎样思考”、“怎样学习”其意义远比学会知识本身深远得多.。

必修5教案《数列复习(二)数列求和》(优秀经典公开课比赛教案及练习解答)

例6．求和：
解：设数列的通项为an，则 ,
例7．求数列的前n项和.
解：设（裂项）
则（裂项求和）
＝
＝
三、课堂小结：
1．常用数列求和方法有：
(1)公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;
(2)化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；
(3)倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；
课题：数列求和
教学目标
（一）知识与技能目标
数列求和方法．
（二）过程与能力目标
数列求和方法及其获取思路．
教学重点：数列求和方法及其获取思路．
教学难点：数列求和方法及其获取思路．
教学过程
1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法：
（1）
例1．求和：
分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加法．
（3）．在各项均为正数的等比数列中，若的值.
解：设
由等比数列的性质（找特殊性质项）
和对数的运算性质得
（合并求和）
＝
＝
＝10
(4)错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和；
(5)并项求和法: 将相邻n项合并为一项求和；
(6)分部求和法：将一个数列分成n部分求和；
(7)裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.
四、课外作业：
1．《学案》P6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面《单元检测题》
2．思考题
（
（2）．在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
小结:对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n项和.
2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法：

高中数学人教版必修5教案数列复习教案

基本练习用四道小题，回忆等差（比）数列的基本公式，概括基本方法。

1、公差为d等差数列{an}中,如果a5=10 ,S3=3,则( )(A) a1= -2,d=3 (B) a1= 2,d= -3(C) a1= -3,d=2 (D) a1= 3,d= -22、已知等比数列的公比为2，且前四项和为1，那么前八项和为（）（A）15 （B）17 （C）19 （D）213、在等差数列{an}中,a3+ a4+a5+a6+a7=45,则, 则它的前9项和S9=( )(A) 36 (B) 45 (C)63 (D)81学生先解答前两道题，老师巡视；个别指导。

3分钟后，老师提问学生不同的解法，强调用基本量解题的普适性。

第3小题，要求学生在1分钟内得出结论，老师提问，点评。

让学生感悟灵活运用公式、性质解题的优势，激发他们深入探究的兴趣。

1、培养学生用基本量解题的意识。

2、简便方法，让学生感悟公式变用之妙，激发学生进一步探究的兴趣。

3、落实等差（比）数列的简单性质。

1、等差数列)rkqp,Nr,k,q,p(aaaarkqp+=+∈+=++2、等比数列)rkqp,Nr,k,q,p(aaaarkqp+=+∈⋅=⋅+12分钟左右深入探究两道例题分别体现等差、等比的综合应用和对公式的深入理解。

例1设{}n a是公差不为0的等差数列，12a=且136,,a a a成等比数列，求{}n a的前n项和nS例2等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为nS和nT，且231nnS nT n=+，（1）求55ba的值（2）设)Nn(cbannn+∈=，试求nc的最小值.例1学生在老师引导下分析解题思路，构造出关于公差d方程，计算由学生完成，老师给出答案。

例2老师可以引导学生从n=1,2,3…,寻找规律，进而给出一般性推证。

对于数列单调性的探究方法，可借助例2（2）进行一般性总结。

例1主要引导学生从所求出发分析所需，再根据已知构造方程，求出需要的量。

高中数学数列求和教案模板

高中数学数列求和教案模板
一、教学目标：
1. 知识与技能：掌握数列求和的基本方法，能够运用公式求解数列求和问题。

2. 过程与方法：培养学生分析问题、归纳规律和运用公式求解问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生坚持不懈、勇于探索的学习态度。

二、教学重点和难点：
1. 掌握等差数列求和公式和等比数列求和公式。

2. 解决实际问题中的数列求和问题。

三、教学过程：
1. 导入：通过一个生活中的实际问题引入数列求和的概念，引起学生兴趣。

2. 提出问题：给学生几道数列求和的练习题，让学生自己尝试解答。

3. 教学讲解：介绍等差数列求和公式和等比数列求和公式，讲解求解数列求和的基本方法。

4. 拓展练习：让学生做一些更复杂的数列求和题，巩固所学知识。

5. 实际应用：引导学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。

6. 总结：对本堂课所学内容进行总结，巩固学生的学习成果。

四、课堂作业：
1. 完成课堂练习题。

2. 设计一个与生活相关的数列求和问题，并用公式解决。

五、教学反思：
1. 教学过程中是否引入了生活实例，激发了学生的学习兴趣？
2. 是否根据学生的实际情况，调整了教学内容和难度？
3. 学生能否掌握数列求和的基本方法和公式，是否能够独立解决数列求和问题？
六、板书设计：
1. 等差数列求和公式：Sn = n(a1 + an)/2
2. 等比数列求和公式：Sn = a1(1-q^n)/(1-q)
七、教学反馈：
通过课堂练习和作业的批改，及时了解学生对数列求和知识的掌握情况，做好巩固和拓展工作。

人教A版高中数学必修五第二章复习课《数列求和》的教学设计

人教A版高中数学必修五第二章《数列求和》的教学设计数列是高考的重点内容，也是一个难点，那么如何才能做到有效复习呢？很多老师可能用最短的时间讲完知识点，然后对学生进行题海式的专题训练，但是一轮复习后没有达到预期的效果。

笔者认为高三的课堂教学要达到预期的效果，重要的是理清主线，变式推进，注重反思。

理清主线能让学生知识框架清晰，能认清知识的本质；变式推进能让学生从多重角度理解知识；注重反思能让学生从错误中理解知识。

下面是笔者在“一师一优课”视频公开课中的教学设计：一、课前热身，唤醒记忆（1）等差数列的通项公式是什么？（2）等差数列的求和公式是什么？（3）等差数列前n项和的公式推导过程是怎样的？用了什么方法？（4）等比数列的通项公式是什么？（5）等比数列的求和公式是什么？（6）等比数列前n项和的公式推导过程是怎样的？用了什么方法？设计意图：在学习本节课之前，学生已经系统的学习了求数列通项的方法，特别是等差数列与等比数列的通项推导，因此，笔者想通过这几个问题唤醒学生对等差数列、等比数列求和公式中的一些基本概念，方法。

其实，在公式的推导过程成就已经蕴含了几种数列求和的方法，例如，在推导等差数列求和公式时用了倒序相加法；在推导等比数列公式时使用的是错位相减法等。

这些问题书本上都有提到，只要课前翻看书本是能够解决的，也为后面的学习做铺垫。

二、课前测试，查漏补缺)0(124211n 253199975312≠++++++++-+++++++++a a a a n n ④③②①、求下列数列的和设计意图：这几组题主要让学生熟悉等差数列与等比数列求和公式，并针对其中几个易错点设计：项数问题，应用等比数列求和公式时对公比的讨论等等。

2、你所知道的求和方法有那些？设计意图：引导学生归纳回忆所学过的求和方法有哪些，主要也是理清求和方法的主线，让学生的复习不要偏离轨道。

学生归纳出的数列的求和方法有以下几种：（1）公式法：当数列是等差或等比数列的时候，可以直接使用这两种数列的求和公式；（2）错位相减法：这种方法是在推导等比数列求和公式时应用到的，不过却难倒了很多学生，因为他们认识不到错位的目的是什么，因此这是复习的难点；（3）裂项相消法：这个方法主要是把数列的项裂开，使得求和时可以有些项抵消，以达到求和的目的；（4）分组求和：这里实际上与公式法一致，当数列是等差数列与等比数列之和时，可以分开来用公式法求和。

高中数学必修5数列教案

高中数学必修5数列教案
教学内容：数列
教学目标：
1. 了解数列的概念和性质；
2. 能够求解数列的通项公式和前n项和；
3. 能够应用数列的知识解决实际问题。

教学重点：
1. 数列的定义和常见性质；
2. 求解数列的通项公式和前n项和；
3. 应用数列解决实际问题。

教学难点：
1. 应用数列的知识解决实际问题；
2. 思维拓展，提高问题解决能力。

教学方法：讲述、举例、练习
教学过程：
一、引入：
通过一道生活中的问题引入数列的概念，让学生了解数列在实际生活中的应用。

二、概念讲解：
1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列成的一组数字的集合。

2. 数列的常见性质：等差数列、等比数列等。

三、求解数列的通项公式和前n项和：
1. 求解等差数列的通项公式和前n项和；
2. 求解等比数列的通项公式和前n项和。

四、应用实例：
通过一些实际问题，让学生应用数列的知识解决问题，培养他们的思维能力和解决问题的能力。

五、课堂练习：
让学生进行相关题目的练习，巩固所学知识。

六、作业布置：
布置相关的作业，让学生在家里进行巩固和复习。

七、小结：
总结本节课的内容，强调数列在数学中的重要性和应用价值。

教学反思：
本节课主要介绍了数列的概念和性质，以及如何求解数列的通项公式和前n项和。

通过实际例题的讲解和练习，帮助学生掌握数列的相关知识，并能够应用到实际问题中去解决。

同时也需要引导学生在学习数列的过程中，培养他们的思维能力和解决问题的能力。

高中数学备课精选第二章《数列数列求和》复习教案新人教B版必修5

高中数学备课精选第二章《数列数列求和》复习教案新人教B版必修5 一、等差数列与等比数列等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的符号定义通项公式对应函数图像等差数列{}n a的通项公式是n的一次函数。

等比数列的通项公式类似于n的指数函数，即：nna cq=，其中1acq=分类递增数列：0d>递减数列：常数数列：递增数列：递减数列：摆动数列：常数数列：中项主要性质等和性：等差数列{}n a若m n p q+=+则推论：若2m n p+=则等积性：等比数列{}n a前n 项和nS==中间项求和公式：对应函数图像nS是关于n的一个的二次函数，即：2nS An Bn=+(0≠d)等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：(1)nns cq c q=-≠其它性质1、等差数列中连续m 项的和，组成的新数列是等差数列。

即： 232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等差，公差为2m d2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差的子数列为数列）3、{}{},n n a b 等差，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka b +，{}n n pa qb +是数列。

4、在等差数列中，}S{nn 为等差数列1、等比数列中连续m 项的和，组成的新数列是数列。

即：232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等比，公比为。

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差的子数列为数列）3、{}{},n n a b 等比，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka ，}{}{},{nn n n n a b b a a k，是数列。

人教版高中必修5第二章数列教学设计 (2)

人教版高中必修5第二章数列教学设计教学目标本章主要目标为：1.认识数列的概念和性质；2.掌握数列通项公式的推导和运用；3.学习数列的求和公式及应用。

教学重点•数列概念和性质；•数列通项公式的推导和应用；•数列求和公式的推导和应用。

教学准备•课本：人教版高中数学必修5；•工具：黑板、储物箱、幻灯片、计算器。

教学流程第一节：数列概念和性质1.引入：“你们都学过数列吗？有谁知道数列是什么？”听取学生回答。

2.展示数字序列，引导学生用自己的话解释数列。

3.解释数列概念、项、通项公式、公比、等差与等比数列等概念。

4.放映视频，展示数列的性质及其方法归纳。

5.向学生提问并演示数列中等差数列示例。

第二节：等差数列1.针对上节课的英文词汇表，宣传等差数列的基本概念。

2.回顾等差数列的重要性，提醒学生保持良好的习惯和方法。

3.根据需求确定一组等差数列，将该数列作为样本，并要求学生自己选取10个成员进行计算及整理。

4.使用通项公式和求和公式来计算样本的数列及整理的数据。

5.告诉学生还可以使用公差、项数等作为计算等差数列的需要。

第三节：等比数列1.针对这一节，告诉学生等比数列的基本概念。

2.举例说明等比数列的意义和应用。

3.让学生进行自我理解和总结。

4.提供样品，让学生自主设定等比数列，并进行计算和分析。

第四节：判断与提问1.回顾并体现数列相关内容的重点部分。

2.表明已经学完了数列的基本概念、特性以及等差/等比数列的模型3.选择数列的相关问题进行提问并回答问题4.给出几道玩具问题形式的思考问题，并由学生进行解答并留下来。

课程总结通过本次教学，同学们掌握了数列的概念和性质，学会了数列通项公式和求和公式的推导及应用，理解和运用了等差数列和等比数列的概念及应用场景。

同时，他们还进一步认识到数学知识对知识系统和谐有着非常重要的作用，使他们头脑中的数学思维更加清晰，基础更加牢固。

本课程为高中学习的下一阶段打下基础，也为今后的学习奠定了基础。

新人教版高中数学必修五第二章数列教案：2.8 数列求和的常用方法

2.8 数列求和的常用方法【知识要点】求数列的和是数列运算的重要内容之一，数列求和可分为特殊数列求和与一般数列求和，特殊数列求和就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称为一般数列。

对于特殊数列的求和，要恰当地选择，准确的应用求和公式，采用公式法直接求和；对于一般的数列求和，可采用分组转化求和法、倒序相加法、错位相消法、裂项相消法、。

1. 公式法：如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可以组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解。

2. 倒序相加法：如果一个数列{}n a 中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，那么把正着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

3. 错位相减法：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{}n n a b ，当求该数列的前n 项和时，常常采用将{}n n a b 的各项乘以公比q ，并项后错位一项与{}n n a b 的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和问题。

4 .裂项相消法：将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项。

【知识应用】1. 利用公式法的关键是观察数列各项特征，从中找出特殊数列，再用公式法求和【J 】例1 求值：22111(+)+(+)+...+(+)(0,1,1)n n x x x x x y y y y≠≠≠【L 】例2 已知等差数列{}n a 中，210a =8,S =185（1）求n a （2）当n 取偶数时，求n S【C 】例3 已知等差数列的前n 项和为n S ，315=15,S =225a（1）求n a （2）设=2+2n an b n ，求{}n b 的前n 项和n T2. 倒序相加法就是将数列倒过来排列，然后与原数列相加，就可以得到n 个1+n a a【J 】例1 利用倒序相加法证明等差数列的求和公式【L 】例2 设4()=4+2x x f x ，求和：122001=()+()+...+()200220022002S f f f【C 】例3 求222sin 1+sin 2+...+sin 89︒︒︒的值3. 在利用错位相减法时，关键是要观察所给的数列是不是由等差和等比数列的乘积，如果是，才能用错位相减法。

高中数学北师大版必修五+数列求和方法(二)教案

项和S1,,1n n ++(32)n +-精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

高中数学第二章数列数列求和教案2 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案

数列求和一、教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 二、教学重点：裂项相消法、错位相减法．三、教学难点：确定数列的通项公式选择相应的求和方法，错位相减法. 四、教学过程：（一）考点知识点梳理1、数列求和的常用方法 (1)裂项相消法形如⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()(1n g n f 的数列求和，其中)(),(n g n f 是关于n 的一次函数.方法：裂项相消法，即把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式 (1)1nn ＋1＝1n －1n ＋1； (2)12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(3)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．辨析感悟 (1)当n ≥2时，1n 2－1＝1n －1－1n ＋1.(×) (2)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．(×)(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.(√)(4)(2014·某某调研改编)若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝－25.(√)[感悟·提升]两个防X 一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)．二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)中a 需要分a ＝0，a ＝1，a ≠1且a ≠0三种情况求和，只有当a ≠1且a ≠0时可用错位相减法求和.（二）典例分析考点一裂项相消法求和【例1】求和：)23)(13(11181851521+-+⨯+⨯+⨯=n n S n【例2】(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解 (1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝13－2n1－2n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为解：∵数列的通项公式为a n =1(3n-1) (3n+2) =13 (13n-1 -13n+2)∴S n =13 (12 -15 +15 -18 +18 -111 +…+13n-4-13n-1 +13n-1 -13n+2)=13 (12 -13n+2 )=16n+412⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n1－2n . 规律方法使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．注意：对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什么？裂通项。