空间向量求角度PPT精品文档25页
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利用向量法求空间角PPT精选文档
则 mAF 0,mAE 0
所以
1
y2 2 z2 1 2 x2 y2
0 0
取y2=1,得x2=z2=-2
C x
故m=(-2, 1,-2)
又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)
观察图形知，二面角
cosm, AA1
mAA1 m AA1
2 31
2 3
F-AE-D为锐角，所以
所求二面角F-AE-D的
得两异面直线所成角的余弦值
6
例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、 DD1的中点，
(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
(2)求二面角F-AE-D的余弦值。
A1
D1
B1
C1
F
A D
E B
C
7
例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
b´
m
o•
a
a´
b´
b
பைடு நூலகம்
n
cos cos m, n
b
n
cos cos m,n
13
用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为 m 和 n ，
所以，异面直线a、b所成的角的余弦 值为
cos cos m, n m n m n
x1x2y1y2z1z2
x12y12z12 x22y22z22
O
AF1 (12,0,1), BD1 (12,12,1) A
cosAF1,BD1 AF1BD1 AF1 BD1
1 0 4 5
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
用向量法求空间角 人教课标版精品公开PPT课件
设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线 lθ与＝平_π2面__－α__θ所__1 成__的_，角且为sθin，θ向＝|量_c_ov_s与_θ_n_1的_|_＝夹__|角_|v_v|为_··_θ_n|_|n1_|，__则_.
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
利用空间向量求角-课件
因E→F⊥P→C，D→G⊥P→C，
故 E－PC－D 的平面角 θ 的大小为向量E→F与D→G的夹角．
＝
|DG||EF|
22，θ＝4π，
即二面角 E－PC－D 的大小为π4.
跟踪训练
3.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中
2．求异面直线所成的角主要是转化为两个向量的夹 角，这时要特别注意二向量的方向及最后求出的角一定要 是锐角或直角．
3．线面角是求线与平面的法向量所成角的余角．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
•
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
|A→M|＝ A→A1＋A→1M2 ＝ |A→A1|2＋|A→1M|2＝
1＋14＝
25，同理，|C→N|＝
5 2.
设直线 AM 与 CN 所成的角为 α. 则 cos α＝|AA→→MM|·|CC→→NN|＝5412＝25.
∴直线 AM 与 CN 所成的余弦值为25.
法二：如图，分别以D→A、D→C、D→D1 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系．
A→B＝∵(0M，→Ca1,0·A→)，B＝A→A0，1＝M(→0C,01·，A→A1＝2a0)．，
∵M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0， ∴MC1⊥平面 AA1B1B， ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 AA1B1B 所成的角．
高二数学 利用向量知识求空间中的角ppt
A．110
B．25
C．
30 10
D．
2 2
• [答案] C
• [解析] 如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为x， y，z轴，建立空间直角坐标系．令AC＝BC ＝C1C＝2，则A(0,2,2)，B(2,0,2)，M(1,1,0)， N∴(0B→,M1＝,0()－．1,1，－2)，A→N＝(0，－1，
• 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯 形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面 ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别 为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成 的角θ．
• [解析] 如图所示，建立空间直角坐标系，设 BC＝1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)，则N(1,0,1)．
牛刀小试
1．直三棱柱 A1B1C1－ABC 中，∠ACB＝90°，D1，E1 分别 为 A1B1，A1C1 的中点，若 BC＝CA＝CC1，则 BD1 与 AE1 所成 角的余弦值为( )
A．12
B．
30 15
C．
30 10
D．
5 10
• [答案] C
• [解析] 如图所示，取直线CA，CB，CC1分 别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，
∴cos〈n1，n2〉＝|nn11|··|nn22|＝ 311＝31111．
故二面角
F－BD－A
的大小为
3 arccos
1111．
典例探究学案
•异面直线所成的角
在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1＝AB＝AC， AB⊥AC，M 是 CC1 的中点，Q 是 BC 的中点，点 P 在 A1B1 上， 则直线 PQ 与直线 AM 所成的角等于( )
立体几何中的向量方法空间角ppt
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
所以 BD与1 A所F1成角得余弦值为
42 30
10
2、直线与平面得夹角:
设直线 l 的方向向量分别为 a ，平面 的 法向量分别为 u ，
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin a u ；
立体几何中的向量方法空间角
1、两条直线得夹角:
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),cos a b ；
2
ab
l
a
m
l
a
b m
例: 在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC AC,
BC CA CC1, 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
CD为a,b得公垂线,
n是直线CD的方向向量，
A,B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
E C
y B
x
G
D
A
(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DAz=1、连AC、BD交于G点
以DA，DC，DP为正交基底建立空间 P
直角坐标系。如图所示。则
E
y
利用空间向量求空间角PPT教学课件
澶渊之盟
宋真宗赵恒 1004年，辽军大举南征时，亲自领兵到澶 渊抵御，并与辽签订了“澶渊之盟”。
下一页
寇准
寇准
北宋宰相。1004年，辽军大举南征时， 主战。
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西夏武士
西夏的建立
1038年，党项族首领元昊建立西夏 国。图为李元昊之墓
下一页
党项人
女男供供养养人人
下一页
西夏铜牛
下一页
西夏飞天壁画
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
m 设 =(x,y,z) 是平面PBC的一个法向量
∴ PB ⊥ m
PC ⊥ m
∴ PB • m =x-z=0
y
PC • m =x+y-z=0
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
立体几何中的向量方法求夹角PPT课件
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
x
y 2
0
y 2
z
0
x
z
y 2 y 2
任取n2 (1,2,1)
cos
n1,
n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
第12页/共35页
•
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有
bcab20204810以c为原点建立空间直角坐标系cxyz在坐标平面yoz中的一个法向量为bd同法一可求b010二面角的大小等于即二面角的余弦值为方向朝面外方向朝面内属于一进一出的情况二面角等于法向量夹角20204811abcdsaabbcadscdsba如所示abc20204812abcdsaabbcadscdsbacdsd的法向量20204813设平面即所求二面角得余弦值是20204814如图所示正三棱柱abca的所有棱长都为2d为cc的中点求二面角aa策略点睛20204815规范作答如图所示取bc中点o连结ao
设平面的法向量n (x, y, z),由
AM
•n
0
即 6x 2y 6z 0
AN • n 0
4y 3z 0
x
BB
|
sin
|
|
CC | ADn | AD | | n
|
第25页/共35页
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
②法向量法如图将，二向面量角转n化为，二m面角 的两，个面的法向量的夹角。
则二面角 l 的大小 ＝〈m, n 〉 m, n
用向量方法求空间中的角32页PPT
用向量方法求空间中的角
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
32
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
32
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
空间向量求角经典课件——上课用
| 0 1 8 0 | 3 34 , 34 4 2 2 2 8 1 1 ( ) 3
x
B
C
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
y
n (1,1,2)
x
设直线OS与平面SAB所成角为
sin cos OS , n OS n OS n 2 6 3 1 6
⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =（1，1，2） 又∵OC⊥面AOS，∴OC 是面AOS的法向量， 令 n2 OC (0,1,0)
关键：观察二面角的范围
B
n2
n1
A
B
D1
a， b
a， b
a
b
结论： cos
|
| | cos CD, AB |
例1：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1， 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值. z
C
A
D
B
∴AC1和CB1的夹角为： 3
x
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成角的范围： [0, ]
A
n
2
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
x
B
C
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
y
n (1,1,2)
x
设直线OS与平面SAB所成角为
sin cos OS , n OS n OS n 2 6 3 1 6
⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =（1，1，2） 又∵OC⊥面AOS，∴OC 是面AOS的法向量， 令 n2 OC (0,1,0)
关键：观察二面角的范围
B
n2
n1
A
B
D1
a， b
a， b
a
b
结论： cos
|
| | cos CD, AB |
例1：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1， 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值. z
C
A
D
B
∴AC1和CB1的夹角为： 3
x
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成角的范围： [0, ]
A
n
2
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
第七节 利用空间向量求空间角 (高中数学精品课件PPT)
[小题查验基础]
返回
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角． ( × )
(2)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则a ∥
c，a ⊥b .
(√ )
(3)已知向量m ，n 分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若
所以公式中要加绝对值．
|a ·n | 量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a ，n 〉|＝ ❷.
|a ||n |
3．二面角
返回
(1)若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直
的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量―A→B 与
―C→D 的夹角，如图(1)．
(2利 〈)平用 n面1，公αn式与2〉与β与相二二交面面于角角的直大平线小面l，的角平关时面系，α，要的是注法相意向量为n 1，平面β的法 向等量还为是n互2，补〈，n需1，要n结2〉合＝图θ形，进则行二判面断角．α -l -β为直线l与平面α所成的角为120°. ( × ) (4)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平
面所成的二面角的大小为45°.
( ×)
二、选填题
返回
1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是
A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角
BD(1由(()20证已，,0明,知02,)：0，，)，―ED得(→CE0|c(,＝02o,,s42〈(,)00，,―)2N，,M0→H)P(，，0(0，―，―DB0→B→0E,1,4＝)〉，)，(|2N＝,0(|1|，――NN,2→H－→H,0)|2·|．――)BB．→E→E ||
用向量法求空间角ppt 人教课标版
即
1 － ＋λ ＝0， 2 λ － ＋λ ＝0. 经检验，当 AS＝
1 1 1 2 → → 故 λ ＝ ，此时AS＝(0， ， )，|AS|＝ . 2 2 2 2 2 时，ES⊥平面 AMN. 2 2 . 2
故线段 AN 上存在点 S，使得 ES⊥平面 AMN，此时 AS＝
变 式 2 . 如 图 ， 四 边 形 A B C D 是 矩 形 ， P A 平 面 A B C D， 2 a， E 是 线 段 P D 上 的 点 ， PE BF F 是 线 段 AB上 的 点 ， 且 ( 0 )． ED FA 1 当 1 时 ， 求 直 线 E F 与 平 面 ABCD所 成 的 角 ； P A A D a， A B
3. (1) 【 证 明 】 ∵PA⊥ 平 面 ABCD ， ∴PA⊥AB. 再由 AB⊥AD，得 AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥PD ，又∵AE⊥PD ，∴PD⊥平面 ABE，故 BE⊥PD.
(2)【解析】 如图所示，以 A 为原点，AB、AD、AP 所 在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点 C、D 的坐标 分别为(a，a,0)，(0,2a,0)． ∵PA⊥平面 ABCD，∠PDA 是 PD 与底面 ABCD 所成的角． ∴∠PDA＝30°.
3 2
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( ) 10 30 A. B. 10 10 2 15 3 10 C. D. 10 10
答案
B
解析 建立坐标系如图． 则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． → ＝(－1,0,2)，→ BC AE＝(－1,2,1)，
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（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 .A 1 N
B1 M
A(0, 0,
uuuur
0),
A1(0,
0,
4),D(0,8,
uuuu r
0),
M
(5,
2,
4)
A
AM(5,2,4), A1D(0,8,4),
uuuur uuuur
x
B
AMgA1D＝0A1DAM.
D1 C1
Dy
C
探究2：线面角
A1D AN. (1)求 证 ： A 1DAM . z
（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 . A 1 N
A(0, 0, 0),
uuur
A1(0,u0u,u4u r), D(0,8,0),
B1 M A
AD(u 0u ,u 8r,0u )u ,u u rA1D2 (05 ,8,4), cosA D ,A 1D5
n
n 为平面β的法向量,
当 n 与向量 BA 的夹角为锐角g1
θ=
2
g1
当 n 与向量 BA 的夹角为钝角g2
n
θ=
g
2
2
题型二：线面角
例二： 在长方体 ABCDA1B1C1D 1中，AB=5， AD8,
AA1 4, M 为 B C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
D1
C1
y
D
则 n A B 1 0 ， n A C 0
B
C
所以xxzy00，取x =1， 得y =z =-1，故nr =(1，-1，-1)，
x
cos
n r， uBu1uC ur1
010 3 1 3 3
所 以 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 3 3。
题型三：二面角
BCCACC1， 取 A 1B 1 、 A 1 C 1 的 中 点 D 1 、 F 1 ，
求 B D 1 与 A F 1 所 成 的 角 的 余 弦 值 . F 1 C 1
B1
A1
D1
C
B
A
题型一：线线角
解 所：示A 以，(1点 设,0C,0为),坐B则C(标0C：,原11,0点)1,建立空间直角坐F 1标C 系1 zC
二面角的范围： [0, ]
u ur
n 2ur
A
O
B
n
1
u ur
n2
ur n1
ur uur
cos |cosn1,n2|
uruu r
cos |cosn1,n2|
关键：观察二面角的范围
3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
n1 g n2
设 n1 ,n2 = g
设—l —的平面
角为
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
g
－g
Cu u (u 1u ，r 1，0)，C1 (1，u 1u ，u 1r )， 则 B1C1(0， 1， 0)，
B1
A1
设 A 平 B r1 面 u u ( A u 1 u ， r B 0 ， 1 1 C ) ， 的 A rC 法 u u 向 u ( r 1 ， 量 1 ， 0 为 ) r n r ( x ， y ， z ) A
x
B
A D 与 平 面 A N M 所 成 角 的 正 弦 值 是 2 5
5
D1
C1
Dy
C
练习：正方体 ABCDA1B1C1D 1的棱长为1.
解：以求 点B A1 为C 1 坐与 标面 原A 点B 建1 C 立所 空成 间直的 角 .z
角坐标系A—xyzA(0，0，0)，
uuuur
B1 (1，0，1)，
夹角公式：cos a ra b r1b 1 ar2arb2br ra 3b3 a1b1a2b2a3b3
| a | | b | a12a22a32 b12b22b32
2 . 若 A (x 1 ,y 1 ,uz u1 ) ur,B (x 2 ,y 2 ,z 2 ) ， 则 ： AB (x2x1,y2y1,z2z1)
x如yz 图
B
1
F1(12,0,a),D1(12,12,1)
A1
D1
C
所以：cos uAuBuuu FA uDuu r1urF 1ur1 ,(u B (u 12D u1u 2,r1, 012,,11))|,uAuAuuFuFur1r1|g|uBuBuuDuDuur1ur1
|
A
x
1 1 4 53
30 10
利用向量解决 空间角问题
空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。
1 数.若 量积a r：(ara1b,r a 2,|a a r3|)， |b b rr| c (o b1 s ,b 2a ,rb ,3 b r), 则 ：
r a
r b
rr
a， b
|
r
ar
r rb
a， b
|
rr
结论：cos |cosa,b|
题型一：线线角
例一：R t V A B C 中 ， B C A 9 0 0 ,现 将 V A B C 沿 着
平 面 A B C 的 法 向 量 平 移 到 A 1 B 1 C 1 位 置 ， 已 知
探究1：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：
C
D
u u u ru u u r
C D ,A B 与 的 关 系 ？
A
D1
B
u u u ru u u r
r D C ,A B 与 的 关 r 系 ？
设 直 线 C D 的 方 向 向 量 为 a ， A B 的 方 向 向 量 为 b
斜线与平面所成角的范围：
0,
2
A
思考：
B
O
r
设平面的法向量为n，则
r uuur
n,BA与的关系？
r n
A
r uuur n，BA
2
A
B
r uuur n，BA
2
B
r
r uuur n
结论：sin |cosn,AB|
2、求直线和平面所成的角
g1
A
θ
βB C
A
g2
θ
βB
C
设直线BA与平面β的夹角为θ，
B
y
42
所以 B
D
与
1
A所F 1成角的余弦值为
30 10
题型一：线线角
练习： 在长方体 ABCDA1B1C1D 1中，AB=5， AD8,
AA1 4, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
A1D AN. (1)求 证 ： A 1DAM . z
n1 g n2
两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。
l
n1
g
设 n1 ,n2 = g
设—l —的平面
n2
角为
l
g
两个平面的法向量在二面角内
g
一个指向另一个背离。
n1