2013北京交通大学复变与积分变换
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
复变函数和积分变换之间存在一种密切的关系，即复平面上的积分路径可以通过复变函数进行变换。
复变函数是指定义在复平面上的函数，其中自变量和函数值都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别是复变函数的实部和虚部。
积分变换是一种数学工具，用于将函数从一个域转换到另一个域，并在转换后的域中进行分析。
在复变函数中，常用的积分变换是复数平面上的积分路径的变换。
具体来说，如果有一个复变函数f(z)和一个积分路径C，在积分变换中，我们可以将积分路径C映射到函数f(z)的变换路径上。
这个变换路径通常称为映射曲线。
通过积分变换，我们可以利用复变函数的性质来简化积分路径的计算和分析。
一些常见的积分变换包括：
1.积分路径的平移和缩放：通过平移和缩放积分路径，我们可以将复变函数在复平面上的积分路径变换为更加方便计算的形式。
2.积分路径的旋转和镜像：通过旋转和镜像积分路径，可以将复变函数在复平面上的积分路径调整为更合适的形式，以便进行计算和分析。
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换复变函数与积分变换是复变函数理论中的一个重要部分，在计算机科学、物理学和数学等领域都具有重要的理论意义和实际应用意义。
复变函数是一类复多元函数，可以用来描述和解释实际问题中出现的特定变化规律。
积分变换是一种重要的数学工具，它可以用来求解不可积的复变函数，从而实现某些抽象的概念的具体数学表示。
一、复变函数复变函数是一类复多元函数，它从一维到多维可以描述复杂的数学模型，研究复变函数在计算机科学、物理学和数学等领域都具有重要的理论意义和实际应用意义。
其中包括实变函数、复变函数、级数函数、拓展函数和表达式函数等。
复变函数具有取值性质，可以用来描述和解释实际问题中出现的特定变化规律。
例如，可以用复变函数来描述某种变化的速率，以及某类物理过程的流程等。
它可以用来解决一些复杂的数学问题，如空间几何、拓扑学和动力学等。
二、积分变换积分变换是一种重要的数学工具，可以用来求解不可积的复变函数。
它允许用户使用基础数学知识，将复杂的抽象概念转化为具体的数学表示。
通过积分变换，用户可以提取出某类复变函数的主要特性，从而更好地理解复变函数的行为特征。
与普通的积分不同，积分变换的计算过程更加复杂，它需要对复变函数进行复杂的数学分解和变换，以获得新函数的表达式以及其对应积分的具体表述。
一般来说，积分变换可以用来解决函数反函数、微分方程和复变函数等问题。
三、复变函数与积分变换的应用复变函数与积分变换在计算机科学、物理学和数学等领域都具有重要的理论意义和实际应用意义。
在计算机科学领域中，复变函数可以帮助计算机系统搜索出满足特定条件的函数，从而解决一些复杂的计算问题。
积分变换则可以帮助计算机系统模拟物理系统的运动过程，优化动力学系统的性能，帮助我们更好地理解复变函数的行为特征。
在物理学领域，复变函数可以用来描述物理系统中描述某种变化的速率，以及某类物理过程的流程，进而实现更准确地物理系统模拟。
此外，积分变换还可以帮助我们更好地理解物理过程的内部机理，从而更好地应用于物理系统中。
工科“复变函数与积分变换”教学改革
工科“复变函数与积分变换”教学改革作者：曹海涛张伟杰来源：《中国电力教育》2013年第01期摘要：“复变函数与积分变换”是机电、电子、信息等工科专业必不可少的一门基础课。
如何在紧凑的课时内让学生掌握好该课程的基础知识并能较好地应用到相关专业课程是工科教学的主要目标。
针对工科学生的特点结合作者的切身体会，阐述了教学目标、教学内容、教学手段、教学练习等几方面的教学改革建议。
关键词：复变函数；积分变换；教学改革作者简介：曹海涛（1979-），男，江苏大丰人，河海大学常州校区数理部，讲师。
（江苏常州 213003）张伟杰（1981-），女，江苏盐城人，江苏城市职业学院武进校区艺信系，讲师。
（江苏常州 213001）基金项目：本文系河海大学常州校区数理部教改项目的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）01-0080-01“复变函数与积分变换”是一门重要的数学基础课。
它是高等数学的拓展和延续。
复变函数有着非常系统的理论和较强的解题技巧，并且已经深刻地渗入到数学的其他分支。
同时，“复变函数与积分变换”在热力学、流体力学、系统控制等方面也有着广泛的应用。
因此，它也是机电、电子、信息等工科专业必不可少的一门基础课。
“复变函数与积分变换”这门课的主要特点在于其理论性强、内容抽象、概念定理繁多、各章节的前后联系密切、解题的方法和技巧都有针对性等。
这些特点使得工科学生在学习这门课程时往往觉得枯燥、繁琐，难懂。
在解题时，学生往往生搬硬套，不会灵活运用多种方法解题。
加之“复变函数与积分变换”的很多教材往往偏重于理论方面，缺乏与实际应用相结合的内容，亦或者一些实际应用甚少，这就使得学生在学习过程中觉得所学内容没什么应用背景、远离其专业等等，从而更敬而远之，以致产生厌学此课程的情绪。
上述种种现象表明工科“复变函数和积分变换”的教学改革迫在眉睫。
如何在课时短内容多的情况下，让数学基础相对较弱的工科学生掌握本课程的精髓，进而能够灵活运用到自己所学专业课中，则是任课教师首先应该解决的问题。
复变函数和积分变换重要知识点归纳
.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换复习提纲
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nnin z z n i n z eθθθ=+=。
2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin zxe ey i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
(完整版)北京交通大学《复变函数和积分变换》期末试卷及其答案
北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；（4）（5） 若∑==0n n n2nz )(z f ，则其收敛半径 ；（6） 计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；（7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为；（8） 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ；（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数）； （10） 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为：①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r（4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。
（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =.（7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22y x ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分） 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
复变函数与积分变换总结
第一章小结一、 复数及运算1. 复数及代数运算2. 复数的几何表示复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积(商)的模等于模的积(商)，幅角等于幅角和(差)；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便 二、 复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域 三、复变函数1. 对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法 (1). 参考一元实变函数的研究方法例. 设函数()f z 在0z 连续，且0()0f z ≠，证明必存在0z 的一个邻域，使得在此邻域内()0f z ≠证明：设00lim ()()z z f z f z →=，则对任意的0(),2f z ε=存在0δ>使得当0z z δ-<时00()()(),2f z f z f z -<因此 00()()(),2f z f z f z -<所以 0()()0.2f z f z >>(2). 转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论 四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤 1. 证明复数模的不等式 关键步骤：(1). 证明原不等式两端平方后的不等式 (2). 利用2zz z =2. 确定平面曲线的复数方程关键步骤：转化为求,x y 满足的方程 3. 确定复数方程对应图形关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,x y 的方程；转化为关于,r θ的方程 4. 确定映射()w f z =将z 平面上的图形映到w 平面上的图形 关键步骤：(1). 写出()w f z =对应的两个二元实变函数(2). 利用z平面上的图形对应的方程将二元实变函数中的两个变量用同一个变量表示5. 讨论复变函数()=的极限及连续性w f z关键步骤：(1). 将()=看成一些简单函数的运算w f z(2). 通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性(3). 利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性。
复变函数与积分变换复数及其运算
极限具有唯一性、有界性、局部有界性、局部保序性等性质。
复变函数的连续性
连续定义
如果对于任意给定的正实数 ε，存在一个正实数 δ，使得当 |z - z0| < δ 时，有 |f(z) f(z0)| < ε，则称 f(z) 在 z0 处连续。
连续的性质
连续函数具有局部有界性、局部保序性、可积性等性质。
复变函数与积分变换
目录
• 复数及其运算 • 复变函数 • 积分变换 • 应用
01 复数及其运算
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩展，由实部和虚部组成。
详细描述
复数是一个有序实数对 (a, b)，其中 a 是实部，b 是虚部，表示为 a + bi，其中 i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
பைடு நூலகம்
复数的几何表示
控制系统分析
在电路控制系统中，复变函数与积分变换用于分 析系统的稳定性、频率响应等特性。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
通过使用复变函数与积分变换，可以分析控制系统的稳定性，确 定系统是否能够达到预期的动态性能。
控制系统设计
在控制系统设计中，复变函数与积分变换用于设计控制器，以实 现系统的最优控制、鲁棒控制等目标。
总结词
复数可以用几何图形表示，其实部和 虚部在数轴上分别表示。
详细描述
复数平面上，实轴表示实部，虚轴表 示虚部。任意复数 a + bi 可以表示为 点 (a, b) 或从原点出发的向量。
复数的四则运算
总结词
复数的加、减、乘、除运算都有明确 的几何意义和规则。
详细描述
加法对应于向量的平行四边形法则； 减法可以转化为加法；乘法对应于旋 转和平移；除法对应于反转和缩放。
复变函数与积分变换 脉搏
复变函数与积分变换脉搏
复变函数与积分变换
一、复变函数
复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以用复数形式表示，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)都是实函数。
复变函数与实变函数不同，它具有许多独特的性质，如解析性、全纯性、调和性等。
其中最重要的是解析性，它是复变函数理论的核心。
二、积分变换
积分变换是将一个函数f(t)在一定范围内进行积分，得到一个新的函数F(s)，称为积分变换。
常见的积分变换有拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
积分变换在信号处理、控制理论、电路分析等领域中有广泛的应用。
三、脉搏
脉搏是指心脏收缩时，由于心脏的排血作用，使动脉内的血液产生的搏动。
脉搏的频率和节律可以反映心脏的健康状况。
脉搏的测量可以通过手动触摸动脉或使用电子设备进行测量。
以上三个概念看似没有直接联系，但它们在医学领域中有着密切的关系。
例如，心电图是一种通过记录心脏电活动来诊断心脏疾病的方法，而心电图的信号处理和分析需要使用到积分变换和复变函数的知识。
另外，脉搏的频率和节律也可以通过信号处理和分析来得到，这同样需要使用到积分变换和复变函数的知识。
总之，积分变换和复变函数是现代医学领域中不可或缺的数学工具，它们为医学研究和临床诊断提供了有力的支持。
北京交通大学复变函数和积分变换期末试卷及其答案
北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；（4）（5） 若∑==0n n n2nz )(z f ，则其收敛半径 ；（6） 计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；（7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为；（8） 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ；（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数）； （10） 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为：①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r（4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。
（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =.（7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22y x ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分） 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y(9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
数学一大纲更新解析复变函数与积分变换内容概述
数学一大纲更新解析复变函数与积分变换内容概述近年来，数学一考试大纲进行了一次重要的更新。
其中，复变函数与积分变换成为了考试的重要内容。
本文将对这一部分内容进行深入解析，为考生提供全面的了解和学习指导。
一、复变函数的基本概念与性质复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
相比于实变函数，复变函数的研究更加复杂和丰富。
在数学一大纲的更新中，复变函数的基本概念与性质成为了重要的考点。
（这里可以逐步介绍复变函数的定义、极限、连续性、导数等基本概念，以及相关的性质和定理。
可以用例题来帮助解释，加深理解。
）二、复变函数的解析复变函数的解析是复变函数理论的核心内容之一。
全纯函数的概念及其性质是解析理论的重要内容。
（这里可以逐步介绍全纯函数的定义、Cauchy-Riemann方程等相关概念和定理。
可以用例题来帮助解释，加深理解。
）三、积分变换的基本概念与性质积分变换是数学中一种重要的工具。
通过积分变换，我们可以将函数从一个域转化到另一个域，从而简化问题的求解过程。
在数学一大纲的更新中，积分变换成为了重要的考点。
（这里可以逐步介绍积分变换的基本概念、拉普拉斯变换、傅里叶变换等常见的积分变换方法以及它们的性质和定理。
可以用例题来帮助解释，加深理解。
）四、复变函数的应用复变函数在科学和工程领域中具有广泛的应用。
它既是求解数学问题的有力工具，也是研究现实问题的重要手段。
（这里可以逐步介绍复变函数在电路分析、流体力学、信号处理等领域中的应用。
可以用例题或实际问题来展示其应用价值。
）总结：通过本文的解析，我们了解到复变函数与积分变换作为数学一大纲更新的重要内容，对数学一考试具有重要的意义。
同时，我们也了解到复变函数与积分变换的基本概念、性质和应用领域，为考生提供了全面的学习指导。
通过深入研究和理解复变函数与积分变换的知识，考生可以更好地应对数学一考试中与此相关的题目和问题。
希望本文能够对大家的学习和备考提供帮助。
祝各位考生取得优异的成绩！。
大工秋《复变函数与积分变换》辅导资料六
复变函数与积分变换辅导资料六主题：第二章解析函数2—3节学习时间：2013年11月4日一11月10日内容：本周首先介绍判定解析的条件一柯西-黎曼条件，其次，将在实数域上熟知的初等函数推广到复数域上来，并讨论它们的解析性。
解析函数有很多重要的性质，必须很好地掌握，其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、熟练掌握复变函数解析的充要条件2、会判断一个函数是否解析3、了解指数函数、对数函数、幕级数、三角函数、双曲函数的定义及它们的解析性质、运算性质基本概念：柯西-黎曼方程知识点：初等函数的解析性第二节、函数解析的充要条件(要求达到“简单应用”层次)定理1:设函数f (z)二u(x, y) • iv(x, y)定义在区域D内，贝U f(z)在D内一点z = x，iy可导的充要条件是：u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程—二ex -：u■:yL、L、.L, l、L、:v u rv :v : u ，且 f (z) i i- :x :x :x :y : y定理2：设函数f (z^u(x, y) iv(x, y)在区域D内有定义，则f(z)在D内解析的充要条件是：u(x,y)与v(x, y)在D内处处可微，并且满足柯西-黎曼方程■: y -：v-U■:yo -：x典型例题:例、试证函数f (z^z3z21在复平面解析证：令 f (z)二u iv ,z = x iy得u 二x3「3xy2x2_ y21v = 3x2y -y32xy因为出二3x2_3y2ex 2x; 2 二3x2— 3y22x;』一-6xy — 2y;二=6xy 2y :y :y :xcU eV cu:x y y利用解析函数的充要条件，可证得f(z)在复平面解析第三节、初等函数 (要求达到“识记”层次) 、指数函数对于任何复数z = x+iy ,称w=e z= e x_s^ =e x(cos y + iSn y)为指数函数。
北京交通大学复变函数和积分变换期末试卷及其答案
北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；（4）（5） 若∑==0n n n2nz )(z f ，则其收敛半径 ；（6） 计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；（7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为；（8） 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ；（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数）； （10） 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为：①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r（4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。
（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =.（7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22y x ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1. 七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分） 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分） 一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
复变函数与积分变换重要知识点
sin2 z 0, cos2 z 0 在复数中均不成立。
3
复变函数与积分变换复习要点
2013 年 11 月中旬至 12 月中旬
shz ez ez , chz ez ez
双曲函数
2
2；
shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz, chz 在 z 平面内解析，且 shz chz,chz shz
6 辐角：Argz 1 2k k为任意整数,其中把满足- 0 的0称为Argz的主值，
记作，0 = arg z. z 0 辐角的主值
arg
z
arctan
π, 2
arctan
y x
y
, x 0, x 0, y 0,
π, x 0, y
3! 5!
zn n!
zn (R ) n0 n!
(1)n z2n1 (2n 1)!
, (R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
1 1 z z2 (1)n zn ,| z | 1 1 z
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
n
为负整数时,
上式仍成立.
棣莫佛公式：当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin,
(cos i sin )n cos n i sin n.
方程 wn
z
的根：
w
n
z
1
rn
cos
(完整版)复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnnin z z n i n z eθθθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()zzee'=。
复变函数与积分变换第1章
（1）乘积与商的几何意义
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明
设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有|z|<R，则D是
有界区域；否则无界。
r2
(1) 圆环域: r1zz0r2;
r1z0
(2) 上半平面: Im z0;
y
(3) 角形域: arzg;
(4) 带形域: a Im z b .
o
x
zz0 r 表示以 z0 为圆,点 以r为半径的圆内所. 有的
Rze,Im z表示分y别 轴x平 和 轴行 的. 于
2
x 0, y R
x 0, y 0
的公式
arctayn
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
2
x2
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
由向量表示法知
y
(z)
z2z1 —点z1与z2之间的距离
由 此 得:
z1
例 1 .设 z 1 1 ,z 2 i,则 z 1 z 2 i
A 1 r 2 m gm z 0 , 1 , 2 ,
Ar2 g 2z 2n n0,1,2,
A(z r1z2 g )22 k
k0 , 1 ,2 ,
代 入 3 2 上 m n 式 2 k
2
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北京交通大学考试试题（A 卷）
课程名称：复变函数与积分变换学年学期： 2013—3014学年第一学期 课程编号： 73L152Q 开课学院：理学院出题教师： 学生姓名：学号：任课教师： 学生学院：班级：
1．
212+-i
i
=_______________________。
2．32-+i 的三角式是
___
____________________。
3．12+i =
______________________________________________。
4．函数
2
2
1(1)
-z z e ，=
z ______
是
______
级极点；=z ______
是
______
级极点；
=
z ____
____________________是
______
级极点。
5．函数0sin ωt 的Fourier 变换等于___________________________________。
6．函数
1
2
-z 在1=-z 邻域内泰勒级数的收敛半径是___________________________________。
二．（本题7分）设函数2222()()=+++++f z x axy by i cx dxy y .求常数,,,a b c d 何值时,)(z f 在整个复平面内解析。
三．（本题7分）求解析函数()f z u iv =+，其中22(1)(4)=-++u x x xy y 。
四．（本题7分）计算积分sin ⎰C
zdz 。
其中, C 是圆周|1|1-=z ,走向从0到2.
五．（本题7分）求函数
2
1
(1)+z 展成-z i 的幂级数。
六．（本题14分）求函数
22
1
(z +1)分别在区域
（1） 0<z-i 2<；（2）2 z-i <<+∞。
的洛朗展式。
七．（本题16分）求下列积分的值：（其中积分都是沿正向） (1)
21
sin 41=-⎰ z z z
dz z ，（2）252(1)(1)(4)=+--⎰ z z dz z z z 。
八．（本题8分）用留数计算积分 22sin ∞-∞+⎰x axdx
x b ,其中,0>a b 。
九．（本题9分）求将区域2:0arg , 1π⎧⎫
<<<⎨⎬⎩⎭
z z z n 共形映设成单位圆内部{}:||1<w w 的共形映射。
十. （本题7分）求222
()()
=+s
F s s a (0>a )的拉氏逆变换.。