月考试题4(教师用)

荣昌中学2014-2015学年高三(上)月考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 总分：150分命题人：刘作宽 审题人：李海堂 陶光利一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ A ） A ．1 B ．-1 CD．2．“函数2)(-=kx x f 在区间[]1,1-上存在零点”是“3≥k ”的（ B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若直线02)1(=++y x a 与直线01=--ay x 互相垂直，则实数a 的值等于（ C ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 4．已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()cb ⊥-32，则实数=k （ C ）A ．29-B ．0C ．3D ．215 5．已知函数m x x x f +-=3)(3只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ B ） A ．[]2,2- B ．()2,-∞-∪()∞+,2 C ．()2,2- D ．(]2,-∞-∪[)∞+,26．ΔABC 中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且ABb a cos cos =，A 、B 、C 成等差数列，则角C=（ D ）A ．3π B ．6π C ．6π或2π D ．3π或2π 7．设{}n a 是等比数列，公比2=q ，n S 为{}n a 的前n 项和。

记*12,17N n a S S T n nn n ∈-=+，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n =（ B ）A ．3B ．4C ．5D ．68. 设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥≥，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为（ A ）A ．256B ．83 C. 113 D ．48．A 由可行域知当4,6x y ==时有最大值，则2323231325236,3266a b a b b a a b a b a b a b +++=+=+=++≥．9．已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝xx x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线 （ D ）A ．65π=xB ．34π=xC ． 3π=xD ．3π-=x 10．已知,a b R +∈，直线6ax by +=平分圆04222=+--+m y x y x 的周长，则b a b a 52+++的最大值为（ A ）A ．6B ．4C ．3D ．3 二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。

）11．已知单位向量a ,b 的夹角为3π，那么2a b -=．12．已知}{n a 是等差数列，11=a ，公差0≠d ， n S 为其前n 项和，若521,,a a a 成等比数列，则8S ＝_____64_____13.若直线y ax =与函数ln y x =的图象相切于点P ， 则切点P 的坐标为 . (,1)e 14.已知函数)tan()(ϕω+=x A x f （ω＞0，2ϕπ＜）， )(x f y =的部分图像如右图，则)24(πf15.已知函数)(x f =a x x 212-+-, 若21≤≤x 时,)(x f ≤3恒成立,则实数a =_____1___．三.解答题（16-18每小题13分，19-21每小题12分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. （本题共13分，第Ⅰ问7分，第Ⅱ问6分）已知函数2π()2cos (2)14f x x x =-++. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间ππ[,]64-上的值域 解：（I）π()cos(4)2f x x x =-+----------------------2分sin 4x x =+ ----------------------5分π2sin(4)3x =+- ----------------------6分 ()f x 最小正周期为πT 2=， -----------------------7分（II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤ -----------------------8分所以πsin(4)13x ≤+≤-----------------------11分所以π2sin(4)23x +≤， ------------------------12分所以()f x取值范围为[. -----------------------13分 17．(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．17．解：设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立． (1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝123437C C 18C 35=. --------------5分(2)X 的所有可能值为0,10,50,200， --------------6分P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝3337C 11C 3105⋅=， P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝3337C 22C 3105⋅=， P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝213437C C 1124C 310535⋅==，P (X ＝0)＝12461105105357---=. --------------10分综上知X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×105＋200×105＝4(元)． --------------13分18．(本小题满分13分，(1)小问6分，(2)小问7分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. --------------6分 (2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n－1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． --------------13分 19.(本小题满分12分，(1)小问6分，(2)小问6分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b2＝c 2. (1)求C ；(2)设cos Acos B，2cos()cos()cos A B ααα++=，求tan α的值．18．解：(1)因为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理有cos C＝222222a b c ab ab +-==-，故3π4C =. --------------6分(2)由题意得2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos )cos A A B B ααααα--＝.因此(tan αsin A －cos A)(tan αsin B －cos B)＝5，tan 2αsin Asin B －tan α(sin Acos B ＋cos Asin B)＋cos Acos B ＝5，tan 2αsin Asin B －tan αsin(A ＋B)＋cos Acos B ＝5.① 因为3π4C =，A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B)，因为cos(A ＋B)＝cos Acos B －sin Asin B ，即5－sin Asin B ＝2，解得sin Asin B ＝5210-=由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4. --------------12分20．已知函数x a a x a x x f )()12(2131)(223+++-=. （1）若函数xx f x h )()('=为奇函数，求a 的值；（2）若R m ∈∀，直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线，求k 的取值范围； （3）若1->a ，求)(x f 在区间[]1,0上的最大值． 解：（1）因为)()12()(22a a x a x x f +++-='，所以22(21)()()x a x a a h x x-+++= ----------------------2分由二次函数奇偶性的定义，因为)(x h 为奇函数，所以)()12()(22a a x a x x f +++-='为偶函数，即012=+a ，所以21-=a ----------------------4分（2）若R m ∈∀，直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线，即k 不在导函数值域范围内.因为41212)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='a x x f ，所以k a x x f ≠-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='41212)(2对R x ∈成立，只要)(x f '的最小值大于k 即可，所以k 的范围为41-<k ----------------------7分 （3）因为1->a ，所以01>+a ，当1≥a 时，0)(≥'x f 对[]1,0∈x 成立，所以当1=x 时，)(x f 取得最大值61)1(2-=a f ; 当10<<a 时，在),0(a x ∈，0)(>'x f ，)(x f 单调递增，在)1,(a x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，所以当a x =时，)(x f 取得最大值232131)(a a a f +=; 当0=a 时，在)1,0(∈x ，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，所以当0=x 时，)(x f 取得最大值0)0(=f ; ----------------------9分当01<<-a 时，在)1,0(+∈a x ，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，在)1,1(+∈a x ，0)(>'x f ，)(x f 单调递增,又0)0(=f ，61)1(2-=a f ， 当661-<<-a 时，)(x f 在1=x 取得最大值61)1(2-=a f ;当066<<-a 时，)(x f 在0=x 取得最大值0)0(=f ； 当66-=a 时，)(x f 在1,0==x x 处都取得最大值0．综上所述, 当1≥a 或661-<<-a 时，)(x f 在1=x 取得最大值61)1(2-=a f ;当10<<a 时, )(x f 取得最大值232131)(a a a f +=;当66-=a 时，)(x f 在1,0==x x 处都取得最大值0;当0a <≤时，)(x f 在0=x 取得最大值0)0(=f ----------------------12分 21.（本小题满分12分）已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(4)2(*N n a a S n n n ∈+= . （1）求1a 的值及数列}{n a 的通项公式； （2）是否存在非零整数λ，使不等式112cos )11()11)(11(121+<---+n n n a a a a a πλ 对一切*N n ∈都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 21. （1）由(2)4n n n a a S +=. 当1n =时，1111(2)4a a a S +==，解得12a =或10a =（舍去）． ----------------------2分当2n ≥时，由111(2)(2)44n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-22112()n n n n a a a a --⇒-=+， ∵0n a >，∴10n n a a -+≠，则12n n a a --=，∴{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，故2n a n =． ----------------------6分（2）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-， 设(1)n b a =⋅⋅-，则不等式等价于1(1)n n b λ+-<.11n n n b b ++===1=>，-----9分 ∵0n b >，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增.假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切*n ∈N 都成立，则 ① 当n为奇数时，得min 1()n b b λ<==；----------------------11分 ② 当n为偶数时，得min 2()n b b λ-<==，即λ> 综上，(λ∈，由λ是非零整数，知存在1λ=±满足条件． ----------------------12分。