电路分析基础第五章讲解
电路分析基础教案(第5章) 2
§5-2 电容的VCR 例题：电路如图所示，电压源电压为三角波形， 求电容电流i（t）。
0 0.5 1 1.5 -100 解：在关联参考方向时，i=C（du/dt）， 在0≤t≤0.25ms期间， i=1×10-6×[(100-0)/(0.25×10-3-0)=0.4A；
35
i(t) + C= u(t) 1 μ F -
100
u/V t/ms
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§5-2 电容的VCR u/V
100 0 -100
t/ms 0.5 1 1.5
在0.25≤t≤0.75ms期间， i=1×10-6×[(-100-100)/(0.75×10-30.25×10-3)] =-0.4A；
36
§5-2 电容的VCR
100 0 -100
0.4
u/V
§5-1 电容元件
3、电容元件特点 线性电容有如下特点： （1）双向性 库伏特性是以原点对称，如图所示，因此与 端钮接法无关。 斜率为C q/C C u/V
0
18
§5-1 电容元件 （2）动态性 若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的 电荷是稳定的，没有电流，即：I=0。
电容相当于断 路（开路），所 以电容有隔断直 流作用。
8
第五章 电容元件与电感元件 电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的 激励有关，与过去的激励无关。 因此，电阻电路是“无记忆”，或是说“即 时的”。 与电阻电路不同，动态电路在任意时刻t的响 应与激励的全部过去历史有关。 因此，动态电路是“有记忆”的。
9
第五章 电容元件与电感元件
本章主要内容： 动态元件的定义； 动态元件的VCR； 动态电路的等效电路； 动态电路的记忆、状态等概念。
第五章 正弦稳态电路分析
5.3.2 复数的概念 复数运算是正弦稳态电路分析法的数学工具，掌握复数运算和如何将正弦信号与复 数建立关系是关键。 1. 正弦信号与复数之间的关系 欧拉公式
e jx = cos x + j sin x
根据欧拉公式有
U me j(ωt+θi ) = U m cos(ωt + θi ) + jU m sin(ωt + θi )
n•
∑ ∑ I km = 0 或
Ik =0
k =1
k =1
KVL 相量形式（对于回路）
∑n • U km = 0
或
k =1
3. 电路元件的相量表示
•
•
电阻元件：U = R I
∑n • Uk =0
k =1
•
•
电感元件：U = jωL I
•
电容元件：U =
1
•
I =−j
1
•
I
jωC
ωC
4. 相量模型 所谓相量模型，就是将电路中正弦电压源和电流源用相量形式表示，电压变量和电 流变量用相量形式表示，电阻、电感和电容用阻抗形式表示。
电阻阻抗形式： Z R = R
电感阻抗形式： Z L = jωL
电容阻抗形式： ZC
=
1 jωC
=−j 1 ωC
5.3.4 电路谐振
•
•
谐振条件，对于二端口网络，端口电压U 与端口电流 I 同相位。根据这一条件
第五章 正弦稳态电路分析 •55•
可知，只有当阻抗的虚部为零才能满足这个条件。使虚部为 0 的频率为谐振频率。 谐振分为串联谐振和并联谐振。 串联谐振常用于无线接收设备中，并联谐振常用于带通滤波、选频电路等。
电路分析基础[第五章动态电路的分析]课程复习
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第五章动态电路的分析5．2．1 动态电路初始条件的确立一、初始条件动态电路中，一般将换路时刻记为t=0，换路前的一瞬间记为t=0_，换路后的一瞬间记为t=0+，则电路变量在t=0+的值，称为初始值，也称初始条件。
二、换路定则如果在换路前后，电容电流或电感电压为有限值，则换路时刻电容电压和电感电流不跃变，即uC (0_)=uC(0+)，iL(0_)=iL(0+)。
三、初始条件的计算(1)由换路前最终时刻即t=0_时的电路，求出电路的独立状态变量uC(0_)和iL (0_)。
从而根据换路定则得到uC(0+)和iL(0+)；(2)画出t=0+时的等效电路。
在这一等效电路中，将电容用电压为uC(0+)的直流电压源代替，将电感用电流为iL(0+)的直流电流源代替；(3)由上述等效电路，用直流电路分析方法，求其他非状态变量的各初始值。
5．2．2 动态电路的时域分析法5．2．2．1一阶电路的响应一阶电路是指只含有一个独立储能元件的动态电路。
一、一阶电路的零输入响应零输入响应是指动态电路无输入激励情况下，仅由动态元件初始储能所产生的响应，它取决于电路的初始状态和电路的特性。
因此在求解这一响应时，首先必须掌握电容电压或电感电流的初始值，至于电路的特性，对一阶电路来说，则是通过时间常数τ来体现的。
零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，这是因为在没有外施激励的条件下，原有的储能总是要衰减到零的。
在RC电路中，电容电压总是从uC (0+)单调地衰减到零的，其时间常数τ=RC，即uC(t)=uC(0+)e-t/τ；在RL电路中电感电流总是从iL，(0+)单调地衰减到零的，其时间常数τ=L／R，即iL (t)=iL(0+)e-t/τ，掌握了uC(t)和iL(t)后，就可以用置换定理将电容用电压值为uC (t)的电压源置换，将电感用电流值为iL(t)的电流源置换，再求电路中其他支路的电压或电流即可。
二、一阶电路的零状态响应零状态响应是动态电路在动态元件初始储能的零为情况下，仅由输入激励所引起的响应。
电路分析基础第五章李瀚荪 ppt课件
+ u(t) _
0.5 2 ( 10 )e 10 t 10 e 10 t
例2：已知 L=1H，求 u(t)
i(A)
t+1
1
解： i (t ) = 1
-t+3
-1 0 1 2 3 t(s)
u(V) 1
u(t)
Ldi(t) dt
=
1V 0 -1V
-1 0 1 2 3 t(s)
-1～0 0～2 2～3
3. 若u和i参考方向不一致， i(t) C du dt
电压的积分形式：
u(t)1 t i()d
C
u(t)u(t0)C 1t0ti()d
含义
1、u(t)取决于i(t)从到t的积分， 电容电压与电流过去历史有关， 说明电容电压有记忆。
2、或者说u(t)取决于初始值u(t0)和 t0到t的电压增量。
电容器的几种电路模型
电感器的几种电路模型
第二部分
动态电路的时域分析
第五章 电容元件与电感元件
动态电路：含有电容、电感元件的电路。 本章主要内容：
1、电容、电感元件定义及伏安关系 2、电容、电感元件性质 3、电容、电感元件的储能 4、电路的对偶性
§5 1 电容元件
1.电容器：聚集电荷、存储电场能量的元件。
2.定义： 若一个二端元件在任一时刻，
i(t) C + u(t) _
p(t)u(t)i(t)u(t)Cdu dt
意义：P＞0 吸收；P＜0 产生
2 、电容的能量：
从初始时刻t0到任意时刻t 时间内得到的能量为
W(t0,t)
t p()dC t u()dud
t0
t0
d
C uu((tt0))udu12C[u2(t)u2(t0)]
电路分析基础第四版课后习题答案
i
i1
+ 1V −
2Ω
i3
i2
1Ω
2i
+ 2V −
解：在图中标出各支路电流，可得
(1 − 2)V (1 − 2)V = −0.5A, i2 = = −1A 2Ω 1Ω 受控源提供电流 = 2i = −1A i=
p2 Ω = i 2 × 2 = 0.5W
为确定 R，需计算 i4 ，
uce = ucd + ude = 0 ⇒ ude = −ucd = −10u1 = −10V
故
i3 =
udc = −2.5A, i4 = is − i3 = (−3.5 + 2.5)A = −1A 4 R = 0Ω 由此判定
1-33
试用支路电流法求解图题所示电路中的支路电流 i1 , i2 , i3 。
又受控源控制量 i 与网孔电流的关系为 i = i1 − i2
⎧25i1 − 20i2 − 5i3 = 50 ⎪ 代入并整理得： ⎨−5i1 + 9i2 − 4i3 = 0 解得 ⎪−5i − 4i + 10i = 0 2 3 ⎩ 1
受控源电压 受控源功率
⎧i1 = 29.6A ⎨ ⎩i2 = 28A
i2
3Ω
i3
gu
2−5
解
设网孔电流为 i1 , i2 , i3 ,则 i3 = − gu A = −0.1u A ,所以只要列出两个网孔方程
27i1 − 18i2 = 42 −18i1 + 21i2 − 3(−0.1u A ) = 20
因 u A = 9i1 ,代入上式整理得
−15.3i1 + 21i2 = 20
电路分析基础第四版课后习题第四章第五章第六章答案
/i4-16 用戴维南定理求图题4-11所示电路中流过20k Ω电阻的电流及a 点电压。
a U 解将电阻断开，间戴维南等效电路如图题解4-16所示。
20k Ω,a bk Ω60//3020120120(30120100)V 60V6030a OCR k k k U ==Ω+=×−+=+ 将电阻接到等效电源上，得20k Ω3360mA 1.5mA2020(2010 1.510100)V 70V ab a i U −==+=×××−=− 4-21 在用电压表测量电路的电压时，由于电压表要从被测电路分取电流，对被测电路有影响，故测得的数值不是实际的电压值。
如果用两个不同内险的电压表进行测量，则从两次测得的数据及电压表的内阻就可知道被测电压的实际值。
设对某电路用内阻为的电压表测量，测得的电压为45V ；若用内阻为510Ω5510×Ω的电压表测量，测得电压为30V 。
问实际的电压应为多少？ 解将被测电路作为一含源二端网络，其开路电压，等效电阻OC U O R ，则有5OC 555o o OC OC 454OCo OC 4o 10451045104510(18090)V 90V 30510151051030510u R R u u u R u R ⎧×=⎪⎧+=−×⎪⎪⇒⇒=⎨⎨=×−×⎪⎪⎩××=⎪+×⎩−=4-28 求图题4-20所示电路的诺顿等效电路。
已知：12315,5,10,R R R =Ω=Ω=Ω。
10V,1A S S u i ==解对图题4-20所示电路，画出求短路电流和等效内阻的电路，如下图所示SC i对左图，因ab 间短路，故0,0i i α==，10A 0.5A 155SC i ==+ 对右图，由外加电源法，106ab R α=Ω− 4-30 电路如图题4-22所示。
电路分析基础(张永瑞)第5章
d [ A cos(t )] A sin(t ) dt Re[ jAe j（t ）] Re[ jAe jt ] d jt Re ( Ae ) dt
假设某正弦电流为
i (t ) I m cos(t i )
根据欧拉公式
e j cos j sin
可以把复指数函数Im e j(ωt+θi)展开成
I me j (t i ) I m cos(t i ) jIm sin(t i )
i(t ) Re[I me
第五章 正弦电路的稳态分析
解 由图可知，i(t)的振幅为 100A， 即
i(t ) 100cos(10 t i ) A
3
当t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得
i (0) 100cos i 50
故
cos i 0.5
第五章 正弦电路的稳态分析
由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即
同理，可得正弦电压的有效值
1 U U m 0.707 m U 2
必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是 有效值。 引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成
i(t ) I m cos(t i ) 2 I cos(t i ) u(t ) Um cos(t u ) 2U cos(t u )
示。
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1.2 相位差
假设两个正弦电压分别为
u1 (t ) U1m cos(t 1 ) u2 (t ) U 2 m cos(t 2 )
电路分析基础(第四版)张永瑞答案第5章
第5 章 互感与理想变压器 解 自耦变压器对求 U1、I1、U2、I2 来说可以等效为题解
5.9图所示的理想变压器。 设a端到c端的匝数为N1， b端到c端 的匝数为N2， 显然， 有
N1 U1 220 1.1 N2 U2 200
41
第5 章 互感与理想变压器
设 U2 2000 V ， 则
题解5.7图
36
第5 章 互感与理想变压器 5.8 求题5.8图所示的两个电路从ab端看的等效电感Lab。
题5.8图
37
第5 章 互感与理想变压器 解 应用互感T形去耦等效， 将题5.8图(a)、 题5.8图(b)分
别等效为题解5.8图(a)、 题解5.8图(b)。 图 (a)： Lab=1+2∥2=2 H 图 (b)： Lab=1+［4+(－1)］∥(2+4)+3=6 H
题解5.6图
33
第5 章 互感与理想变压器 5.7 题5.7图所示为全耦合空芯变压器， 求证：当次级短
路时从初级两端看的输入阻抗Zin＝0； 当次级开路时从初级两 端看的输入阻抗Zin＝jωL1。
题5.7图
34
第5 章 互感与理想变压器
证明 k=1知互感 M L1L2 。 画T形去耦等效电路并
R r1 r2 Z cosjz 300.8 24
阻抗Z中的电抗即相串联的两个互感线圈等效电感的感抗
X L Z sinjz 30 1 0.82 18
等效电感
L X L 18 57.3mH
2 f 100
25
第5 章 互感与理想变压器
由于是顺接，
0.5
d i1 dt
（2）
南京邮电大学电路分析基础_第5章1
4 .电容是储能元件
电压电流参考方向关联时，电容吸收功率 p(t) u(t)i(t) u(t)C du dt
p 可正可负。当 p > 0 时，电容吸收 功率（吞），储存电场能量增加；当p
< 0时，电容发出功率（吐），电容放 出存储的能量。
任意时刻t得到的总能量为
t
t
wC (t)
p( )d
i +
uS/mV + 10
uS -
Lu -
0
-10
(a)
1 2 3t (b)
解： 当0<t1s时，u(t)=10mV，
i(t) 1
t
u( )d
L
i(0) 2102
t
10
2
d
0
2t
A
2t
A
0
当 t 1s 时 i(1) 2A
当1s<t2s时，u(t)=-10mV
i(t)
，
i(1)
2. 电感是惯性元件
di
u 有限时，电流变化率 dt 必然有限； 电流只能连续变化而不能跳变。
3.电感是记忆元件
i(t) 1
t
u( )d
L
电感电流i有“记忆”电压全部历史
的作用。取决于电压(, t )的值。
i(t) 1
t
u( )d
L
1
t0 u()d 1
t
u( )d
L
L t0
上式也可以理解为什么电容电压不 能轻易跃变，因为电压的跃变要伴随 储能的跃变，在电流有界的情况下， 是不可能造成电场能发生跃变和电容 电压发生跃变的。
例1 C =4F，其上电压如图(b)，试求
电路分析基础5电容与电感
例1：电压源的波形为三角波，求电容电流和电压波形。
du ( t ) du ( t ) c u ( t ) u ( t ) i C C c dt dt
若取 t0 0 ，则
专业基础课
电路分析基础
教师：张 荣
第二篇 动态电路的时域分析
前面学习的是电阻电路的分析方法。电阻 电路用代数方程描述，电路在任意时刻的 响应只与同一时刻的激励有关，而与过去 的激励无关，这也称为无记忆或即时的。 许多实际电路不可避免的要包含电容和电 感元件，其电压电流关系涉及对电流、电 压的微分或积分，因而称动态元件。
+ u(t) _
1、0→0.25ms时
+ uc_ (t) C=1uF i(t)
du ( t ) 100 3 5 10 4 10 dt 0 . 25
100
u/V
0. 5 0.75
0.25
du ( t ) 6 5 i C 1 10 4 10 0 . 4 A dt
du ( t ) p ( t ) u ( t ) i ( t ) Cu ( t ) dt
瞬时功率可正可负，当 p(t)>0时，说明电 容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) <0 时，说明电容是在提供能量，处于放电状态。 对上式从－∞到 t 进行积分，即得 t 时刻电容 的储能为： t u (t)
1t u ( t ) u ( 0 ) i ( ) d 0 C 1t u ( 0 ) 2 d 0 t t 20
电路分析基础第五章
例5-2
如图(a)所示为电容与电流源相接电路，电流
波形如图(b)所示。求电容电压（设u(0)=0）。
解：已知电容电流求电容电压，可根据下式：
1 t u(t ) u(t 0 ) i()d C t0
t t0
为此，需要给出i(t)的函数式。对所示三角波，
流作用的结果，即电压“记载”了已往电流的全部历 史，所以称电容为记忆元件。当然，电阻则为无记忆 元件。
1 t0 1 t u c ( t ) i c ( )d i c ( )d C C t0 1 t u c ( t 0 ) i c ( )d C t0 所以，只要知道了电容的初始电压和t≥t0时作用于电
如：
R 12
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
R12 R1 R31 R3
RΠ = 3RT
外大内小
R 1R 2 R 2 R 3 R 3 R 1 R 12 R3
R2
R23
RT = RΠ/3
R T1 R 12R 31 R 12 R 23 R 31
注意
高，介质会被击穿。而电容被击穿后，介质导电，
也就丧失了电容器的作用。因此，使用中不应超
过其额定工作电压。
第五章 电容元件与电感元件
§5-1 电容元件 §5-2 电容元件的伏安关系
§5-3 电容电压的连续性质和记忆性质
§5-4 电容元件的储能
§5-5 电感元件
§5-6 电感元件的VAR
§5-7 电容与电感的对偶性 状态变量
可分段写为：
等等。分段计算u(t)如下：
电压波形如图(C)所示。
第五章 电容元件与电感元件
电路作业参考解答
第五章（P192-196） （仅供参考，不一定最佳！）7-8 题7-8图所示电路开关原合在位置1，0=t 时开关由位置1合向位置2，求时电感电压。
0≥t )(t u LV题7-8图解：标注电感电流如上图所示 由换路定理得A i i L L 5315)0()0(===−+换路后，由于电路中不存在独立电源，所以有0)(=∞L i 将换路后电路中的电感开路，求其等效电阻，如下图所示由及有KVL KCL ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−×=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−×=)6(2638U u u uU I U 解得I U 12=故Ω==12IU R eq由此得换路后电感放磁电路的时间常数为s R L eq41123===τ由一阶电路的三要素法公式可得Ae e i i i t i t t L L L L 45)]()0([)()(−−+=∞−+∞=τ故V e e td t di Lt u t t L L 4460)4(53)()(−−−=−××== 7-10 题7-10图所示电路中开关闭合前，电容电压为零。
在S c u 0=t 时闭合，求S 0>t 时的和。
)(t u c )(t i c20c题7-10图解：由题意及换路定理得0)0()0(==−+c c u u换路后，电容电压的终值为)(t u c V u c 1010102010)(=+×=∞换路后，将电压源短路及电容开路，则端口处的等效电阻为Ω=+=+=k R eq 105510//105由此得换路后电容充电电路的时间常数为s C R eq 1.010********=×××==−τ由一阶电路的三要素法公式可得()Ve e u u u t u t t c c c c 10110)]()0([)()(−−+−=∞−+∞=τ故mAe e t d t u d C t i tt c c 10106)10()1(101010)()(−−−=−×−×××==7-11 题7-11图所示电路中开关打开前已处稳定状态。
电路分析基础例题集(第1-5章)讲解
（b）图中的 、 为关联参考方向，故其功率为
所以
（c）图中的 、 为非关联参考方向，故其功率为
所以
例1.3如图1.3所示电路，已知 ，求 和 。
图1.
解题思路：可由电容的 求出电容电流，由欧姆定律求出电阻电流，然后由后面将要介绍的基尔霍夫电流定律（ ）求出电感电流 ，再由电感的 求出电感电压，最后由基尔霍夫电压定律（ ）求出 。
图2.14 图2.13的等效变换电路
由图2.14可得
例2.10用电源等效变换法求图2.15所示电路中的电流 。
图2.
解题思路：将待求支路左边的电路进行电源等效变换，即可求出电流 。
解：其电源等效变换电路如图2.15所示，由欧姆定律得
例2.11求图2.16（a）所示电路的输入电阻 。
图2.
解题思路：在 端外加一个电压源，用“ ”法求取。为方便计算，假设电压源的极性与 一致，如图2.16（b）所示。
由图2.11可得
各元件的功率为
电压源的功率为
电流源的功率为
电阻的功率为
电阻的功率为
电阻的功率为
因为
所以整个电路的功率是平衡的。
例2.9用电源等效变换法求图2.13所示电路中的电流 。
图2.13
解题思路：根据本题的电路结构，只需将待求支路两边的电路进行电源等效变换，即可求出电流 。
解：将图2.13所示电路进行电源等效变换，如图2.14所示。
图1.9
解题思路：先用 求出 的电压 ，再用电阻功率公式求出 ，最后由欧姆定律和 求出 和 。
解： 、 和 标注如图1.9（b）所示，由题知
，
，
，
例1.10如图1.10（a）所示电路，求 、 和 的值。
电路分析答案解析第五章
第五章习题如题图所示电路，FVo 时已处于稳态。
当F = O 时开关S 打开，求初始值 %(0+)和 z c (0+) O解：根据电容电压不能突变，有：4M r (O ) = 6× --- = AV C 2 + 4S 打开时有： M C (O +) = W C (OJ = 4V可得：∕c (0+) — -W C (O*)× ―― = -0.8 A1 + 4如题图所示电路，fvθ时已处于稳态。
当r = o 时开关S 闭合，求初始值W L (O +) . ∕c (0+)和 Ko +)。
解：FvO 时处于稳态，有：12z. (0 ) = - = IA L 4 + 8 W C (0_) = i L (0_)x8 = 8V根据电容电压、电感电流不能突变，当开关S 闭合有:叫(°+) ='c(°+)x4+"c(°+)一 L(°+)X 8 = 1X 4 + 8-1X 8 = 4W ∕∙(0J = ∕c (0+) +Z L (O +) = 1 + 1 = 2A如题图所示电路，f<0时已处于稳态。
当F = O 时开关S 闭合，求L(O+)和4Ω --- 1=1——I 6「'c(°+) =12 —w c (0+) 412 —w c(0_) 4 =IA 4Ω AQ解：r<o⅛, ^O-) = - = 1A 有：Uo+) = UOJ = IA如题图所示电路，电压表的内阻R,=10M,量程为IoOV。
开关S在f = 0时打开，问开关打开时，电压表是否会损坏解：当开关闭合时，有：4Ω当开关打开时，有：%(0+) = L(O.) = 6A所产生的电压为：u v=i L(OJ×R v=6×lQkΩ=60kV可见超出了电压表的量程，因此电压表会损坏。
如题图所示电路，∕vθ时已处于稳态。
当/ = 0时开关S打开，求初始值HC(O+)和乙(0+)、匚(0+)。
电路分析基础5章(lx)
求得
K U0
22
最后得到图(b)电路的零输入响应为
uC (t ) U 0 e
t RC t
(t 0) (t 0) (t 0)
duC U 0 RC iC ( t ) C e dt R t U 0 RC i R ( t ) iC ( t ) e R
各电压电流均以相同的指数规律变化， 变化的快慢取决于R和C的乘积。
6
例6 开关闭合前电路已稳定,uS = 10V, R1=30, R2=20, R3=40。求开关闭 合时各电压、电流的初始值 . R3 iL R1
+ uS -
L+
vC C R2 -
t=0
解：(1)求初始状态uC(0－ ) 及 iL(0－ )
7
由于t<0时电 路已稳定,电 感看作短路 ，电容看作 开路，作t=0等效图
t=0+图 +) +) u (0 ) 10 u (0 ) 0 + uL (0 iC(0 L C +) 2 i2(0 i1(0+) + i1 (0 ) uC (0 ) / 4 2.5 A + uC (0+) 10V 4
13
iL(0+)
iL(0+) + uL (0+) -
电路已稳定,电感看作短路，电容看作开 路，作t=0-等效图.
15
iR1 (0－ ) R1 iL (0－ ) + + R3 uR2 (0－ ) R2 + uS uC (0－ ) 可得：
-
uS 10 i L (0 ) 2A R1 R2 2 3
电路分析基础-动态电路的瞬态分析-时域经典分析法
uc(0+)= uc(0-) =8V
i 12V
-
+
K 2
R3 R1
Us
+ uc
-
5R2
ic
+ uL
-
(a)
在0+等效图中: ③ 由0+等效图有：
4 iL 12V
-
+
i(0+) R1 Us uc(0+)
+
5
ic(0+) 8V
(b) 0+等效图
R2 4 +
uL(0+)
-
iL(0+)=2A
电容元件用uc(0+)电压源代替 电感元件用iL(0+)电流源代替
对于线性电感，设uL, i L取关联参考方向:
iL
自感电压：
+
uL
L 或
–
注：(1) uL的大小取决与 i L的变化率，与 i L的大小无关。
(2) 电感元件是动态元件。 当 i L为常数(直流)时，diL/dt =0 uL=0。 电感在直流电路中相当于短路线。
(3)uL，iL为非关联方向时，uL= –LdiL/dt 。
例：如图(a)零状态电路，K于t=0时刻闭合，作0+图
并求ic(0+)和uL(0+)。
K
ic
R2
C
Us
R1
+ L uL
-
(a)
K ic(0+)
C
Us
R1
R2 L
(b) 0+图
+
uL(0+) -
解: ① t<0时，零状态 →uc(0-)=0 iL(0-)=0 ② 由换路定理有：uc(0+)= uc(0-) =0 iL(0+)= iL(0-) =0
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• 诺顿定理的说明
a
N
M
b
isc
a R0
M
b
其中：
a
N
isc
b
，
N0
注意电流源的参考方向。
a b R0
诺顿等效电路求法：
Isc
R0 Isc
N
N
诺顿等效电路
Isc为短路电流
=
Uoc R0
戴维南等效电路
R0
U OC I SC
戴维南等效电路可等效变换为诺顿等效电路。 所以，只要求得Uoc、Isc、 R0中任意两个，即可 得等效电路。
uc (t0 ) u1(t)
U0 u1(t)
t t0
由此可见：一个已被充电的电容，若已知uC(t0)=U0， 则在t≥t0时可等效为一个未被充电的电容与电压源 串联的电路。电压源的电压是t0时电容两端的电压U0 （初始电压，或电容电压uC的初始状态），如下图所 示。
1
第五章 电容元件与电感元件
四、T形网络和∏形网络的等效变换
1. 电阻的 、Y形连接
三端 网络
1
R12
R31
2
3
R23
形网络
R31
1
3
R12
R23
2
Π 型电路 ( 型)
三端
1
网络
R1
R2
R3
2
3
Y形网络
1 R1
3 R3 R2
2
T 型电路 (Y、星型)
两个电路当它们的电阻满足一定的关系时， 能够相互等效 。
变换的简记方法：
• 通过第一篇的学习可见，电阻电路是用代数方程 描述的，即：如果外施的激励源（电压源或电流 源）为常量，则在激励作用到电路的瞬间，电路 的响应也立即为某一常量。或者说，电阻电路在 任一时刻t的响应只与同一时刻的激励有关，与过 去的激励无关。因此，电阻电路是“无记忆”的 或者说“即时的”。
• 但是，本篇将会看到，动态电路与电阻电路完全 不同，在任一时刻的响应不仅与当前激励有关， 还与激励的全部过去历史有关。这就是说，动态 电路是有记忆的。
uc(t) C
t0
ic
()d
1 C
t
t0 ic ()d
1t
uc (t0 ) C t0 ic ()d
其中，
uc
(t
0
)＝
1 C
t0 －
i
c
(
)d(
)
uc(t0)称为电容电压的初始值，体现了t0时刻以前
电流对电压的贡献。
由此可见，在某一时刻t电容电压的数值并不
1、电容器的构成：两块金属板用绝缘介质隔开就构 成了一个实际电容器。
u＋＋ q －－
通电 有等量异性电荷 电压 电场 电容器是一种能存储电荷的器件，断电后 电荷仍保留，因此贮存电场能量。
2、 电容元件定义：（电容器的理想化模型）
能够在 q－u 平面内用一条曲线（称为库伏
特性曲线）描述的二端元件称为电容元件，即电
实际电容器
电力电容
• 常用电容器的电容量大约为零点几皮法至数千微 法，而采用碳纳米管可制作超大电容量的电容器， 达数百法，这在传统概念上是不可思议的！
• 实际电容器除具有存储电荷的主要性质外，还有 一些漏电现象，这主要是由于介质不理想，多少 有点导电能力的缘故。
• 一个电容器，除了标明它的容量外，还需标明它 的额定工作电压。电容器两端电压越高，聚集的 电荷就越多。但介质的耐压是有限度的，电压过 高，介质会被击穿。而电容被击穿后，介质导电， 也就丧失了电容器的作用。因此，使用中不应超 过其额定工作电压。
元件。
1
uc(t) C
t0
ic ()d
1 C
t
t0 ic ()d
1t
uc (t0 ) C t0 ic ()d
所以，只要知道了电容的初始电压和t≥t0时作用于电
容的电流，就能确定t≥t0时的电容电压。
上述关系可用等效电路加以说明。 1t
uc (t) uc (t0 ) C t0 ic ()d
uC(t)= uC(t+) 上式说明：“电容电压不能跃变”。当然，这种 性质仅在电容电流为有界时成立。
电容电压的另一性质是记忆性质，体现如下：
1t
uc (t) C ic ()d
它表明，在任一时刻t，电容电压uc是此时刻以前的电
流作用的结果，即电压“记载”了已往电流的全部历
史，所以称电容为记忆元件。当然，电阻则为无记忆
故知在此期间，电流为： i C du 106 4105 A 0.4A dt
因此得电流随时间变化的曲线如下图(C)所示。
例5-2 如图(a)所示为电容与电流源相接电路，电流 波形如图(b)所示。求电容电压（设u(0)=0）。
解：已知电容电流求电容电压，可根据下式：
1t
u(t) u(t0 ) C
R0 uoc isc
简单证明：
a
N isc
b
a uoRc 0 isc
b
R0
uoc i sc
方法3： 求出网络 N 的端口VAR，直接画出由电压源
与电阻串联而成的等效电路。
方法4： 对简单电路直接进行化简得等效电路。
方法5： 用实验测量法得戴维南等效电路。
a、先测出Uoc ； b、接入可变电阻RL;
i
2 sc
R0
4
其中 uoc 、 isc为网络 N 的开路电压和短路电流。
注意
①最大功率传递定理只能用于端口电路给定, 负载电阻可调的情况;
②端口等效电阻消耗的功率一般不等于端口内 部消耗的功率。因此，当负载获取最大功率 时,电路的传输效率并不一定是50%;
③计算最大功率问题结合应用戴维南定理或诺 顿定理最方便。
则电流越大，故电容具有通交流的作用。
（2）积分形式
ic(t) C
1 duc (t) C ic (t)dt
＋ uc(t) －
对上式从-∞到t进行积分，并设uc(-∞)=0，得：
uc ic ()d
如果设t0为初始时刻，而且如果只需了解t≥t0
的情况，上式可改写为：
1
第五章 电容元件与电感元件
§5-1 电容元件 §5-2 电容元件的伏安关系 §5-3 电容电压的连续性质和记忆性质 §5-4 电容元件的储能 §5-5 电感元件 §5-6 电感元件的VAR §5-7 电容与电感的对偶性 状态变量
若电容端电压u与通过的电流i采
用关联参考方向，如右图所示，则有：
（1）
1、Π型变换为T型：
接于端钮i的两电阻的乘积
RTi
三电阻之和
如：
R T1
R 12R 31 R12 R 23 R 31
2、T型变换为Π型： 电阻两两乘积之和
Rmn 接在与Rmn相对端钮的电阻
如：
R 12
R T1R T 2
RT2RT3 RT3
R T 3 R T1
仅仅取决于该时刻的电流值，还取决于从-∞到t所
有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有 关。
描述一个电容元件必须有两个值：C 值和uc(t0)
值。
例5-1 电容与电压源相接如图(a)所示，电压源电压 随时间按三角波方式变化如图(b)所示。求电容电 流。
(a)
(b)
解：已知电压源电压u(t)，其电流可通过 i(t)=Cdu/dt求出。
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
RΠ = 3RT
外大内小
R12 R1 R2
R31 R3
R23
R12
R1R2
R2R3 R3
R3R1
RT = RΠ/3
R T1
R 12R 31 R12 R 23 R 31
注意
①等效是对外部(端钮以外)而言的，对内不成立。 ②等效电路与外部电路无关。 ③用于简化电路
第二篇 动态电路的时域分析
第五章 电容元件与电感元件 第六章 一阶电路 第七章 二阶电路
第五章 电容元件与电感元件
§5-1 电容元件 §5-2 电容元件的伏安关系 §5-3 电容电压的连续性质和记忆性质 §5-4 电容元件的储能 §5-5 电感元件 §5-6 电感元件的VAR §5-7 电容与电感的对偶性 状态变量
＋
N
uL
－
RL
+
Uoc
-
R0 ＋ I
uL
－
RL
c、调可变电阻RL ，
当uL为Uoc 的一半时，则有：RL＝R0
二、诺顿定理
含独立源的线性电阻单口网络 N ，仅从 端口看，可等效为一个电流源与电阻并联的组 合。其中电流源的电流等于网络 N 的短路电
流 isc ，而并联的电阻等于网络 N 中所有独
立源置零时所得网络 N0 的等效电阻 R0。
荷 q 和电压 u 存在代数关系。若该曲线是过原
点的直线，则称为线性电容元件，否则就是非线 性电容元件。
3、定义式
q(t) Cu(t)
C称为电容元件的电容量。
4、符号及单位 ic(t) C ＋ uc(t) －
单位：法拉（F），1F=106F=1012pF 注：电容元件简称为电容，其符号 C 既表示元 件的参数，也表示电容元件。
• 而且，任何一个集总电路不是电阻电路就是动态 电路。
在动态电路中：
• 含有一个独立动态元件的电路称为一阶电路。 此时，电路方程为一阶常系数微分方程。
• 含有二个独立动态元件的电路称为二阶电路。 它的电路方程为二阶常系数微分方程。