高中数学必修4 平面向量的数量积 ppt课件
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新人教版必修4高中数学2.4.1《平面向量的数量积》课件
(4) cos
a b
a b
研究向量夹角问题
投影的概念
b cos （ a cos ) 叫做向量 b在 a方向上（向量
在 b方向上）的投影. a
B
b
O θ
B1 A
a
数量积的几何意义
向量 a与
向上投影
b的数量积等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方
b cos 的积.
例1.已知 | a | 6,| b | 4, a与b的夹角为60°, 求(a 2b) (a - 3b).
解：（a 2b） （ a 3b） a a a b 6b b
| a | a b 6 | b |
2
2
| a |2 | a || b | cos60° 6 | b |2
数量积的定义
已知两个非零向量 a 与b ，我们把数量 a b cos
叫做 a 与b 的数量积（或内积）. 记作 a b 即a b a b cos ， 其中θ 是 a与b 的夹角. 规定:零向量与任一向量的数量积为0.
思考1:向量的数量积是一个数量，那么它什么时 候为正，什么时候为负？ 当 0 90 当 90 180
a b 1, k 6.
2 2
2
2
1.向量的数量积定义，向量的投影，向量几何意义
a b a b cos a, b
2.向量数量积的性质
特别地，a a | a |2 或 | a | a a .
3.向量数量积的运算律
（） 1 a b b a； （2） ( a) b (a b) a (b)；
2.已知 a , b , c 是非零向量，下列说法正确的是：______ A、若 a c b c ，则 a b
人教A版数学必修四.1《平面向量数量积的应用》课件
22
2
(1)若mn,求tanx的值； 1
（2）若m与n的夹角为 ，求x的值。 5
3
12
• 小结：复习了数量积的有关概念和公式， 希望同学们达到熟练能解决投影，垂直， 夹角，模等有关习题
•
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
7、 (20年 15陕西)咸 平阳 面a与 一 向 b夹模 量 角 60为 ， 0
a(2,0)b , 1,则 a2b （ C ） No
A. 5
Image
B . 10
C .2 3
No
D . 10
Image
8、 (201重 2 庆 6， 5分)设x,yR,向量 a（x,1） , b（1，y） ,c（2， -4），a且 c,b//c,
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
4.数量积的主要性质：
设非a 零 x1,y1 向 ,bx 量 2,y2,
1、 a b ab0x1x2y1y20
2、c osθ a b
x1x2 y1y2
ab
x12 y12 x22 y22
3 、 a
2
a aa
x12y12
xx yy |A| B
高中数学必修四《平面向量的数量积》说课PPT
２．教材的地位和作用
本节课内容巩固了前三节平面向量的相关 知识，使学生进一步明确数量与向量的区别与 联系，同时为下一节课“数量积的坐标表示、 模、夹角”及今后的学习打下基础。
一、教材分析
3．教学重点、难点
（1）教学重点 平面向量的数量积的定义、性质及运算。（解
决办法：通过物理学中力的做功帮助学生认识平面 向量所成的角及数量积的定义，通过解决问题让学 生掌握数量积的运算、性质。）
（2）数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)
（3）分配律:(a﹢b)·c=a·c﹢ b·c
[设计意图] 让学生利用向量数量积的定义 思考得到，既复习了向量数量积的定义，又发 现了向量数量积的基本运算法则。
（3）向量数量积的运算法则
[例题分析] 课本第105页 例3.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°，求 （a+2b）(a-3b) 例4.已知|a|=3,|b|=4，且a与b不共线。k为何值 时，向量a+kb与a-kb互相垂直。
五、教学程序设计
2．探索研究，建构新知
（1）平面向量的数量积 （2）平面向量数量积的运算法则
（1）平面向量的数量积
[定义]已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记 作a • b，即a •b= |a||b|cosθ，其中θ是a与b的 夹角，|a|cosθ叫做a在向量b上的投影， |b|cosθ叫做在b向量a上的投影。 注（1）零向量与任一向量的数量积为0；
２．不利因素
平面向量的加、减、数乘运算结果是一个向 量，而平面向量的数量积是一个数量，相对来说 比较抽象，这给学生对知识的理解带来一定的困 难。高中学生的学习能力与学习习惯存在着一定 的差异，因此在教学中应循序渐进，兼顾课堂分 层。
本节课内容巩固了前三节平面向量的相关 知识，使学生进一步明确数量与向量的区别与 联系，同时为下一节课“数量积的坐标表示、 模、夹角”及今后的学习打下基础。
一、教材分析
3．教学重点、难点
（1）教学重点 平面向量的数量积的定义、性质及运算。（解
决办法：通过物理学中力的做功帮助学生认识平面 向量所成的角及数量积的定义，通过解决问题让学 生掌握数量积的运算、性质。）
（2）数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)
（3）分配律:(a﹢b)·c=a·c﹢ b·c
[设计意图] 让学生利用向量数量积的定义 思考得到，既复习了向量数量积的定义，又发 现了向量数量积的基本运算法则。
（3）向量数量积的运算法则
[例题分析] 课本第105页 例3.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°，求 （a+2b）(a-3b) 例4.已知|a|=3,|b|=4，且a与b不共线。k为何值 时，向量a+kb与a-kb互相垂直。
五、教学程序设计
2．探索研究，建构新知
（1）平面向量的数量积 （2）平面向量数量积的运算法则
（1）平面向量的数量积
[定义]已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记 作a • b，即a •b= |a||b|cosθ，其中θ是a与b的 夹角，|a|cosθ叫做a在向量b上的投影， |b|cosθ叫做在b向量a上的投影。 注（1）零向量与任一向量的数量积为0；
２．不利因素
平面向量的加、减、数乘运算结果是一个向 量，而平面向量的数量积是一个数量，相对来说 比较抽象，这给学生对知识的理解带来一定的困 难。高中学生的学习能力与学习习惯存在着一定 的差异，因此在教学中应循序渐进，兼顾课堂分 层。
6.2.4向量的数量积 课件【共48张PPT】
5×3×4×cos 120°-2×4 =25.
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
最新北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的数量积27244幻灯片
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0-- (× ) (3)若a≠0,且a·b=0,则b=0 ------------------- ( ×) (4)若a·b=0,则a=0或b=0 --------------------- (× ) (5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------- (√ ) (6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c ------------------- (× )
D
C
解:1因为 AD 与BC平行且方,向相同
60
AD与BC的夹角0为 .
AB D C AD Bc C0 o s 3 3 1 9 A
B
2
或ADBCAD9
2.AB 与CD 平行 ,且方向相反
6 . 已 知 a+ bc0 ， |a|3 ,|b|5 ,|c|7 ,
小结回顾 求 a 与 b 的 夹 角 .
1 .已 知 a ,b 均 为 单 位 向 量 ， 它 们 的 夹 角 为 6 0, 求 | a 3 b| 2.已 知 a,b满 足 ： |a|1 ， |b|2,|ab|2, 求 | ab| 3.已知平面上三点A,B,C满足： | AB|2，
这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发 散思维和勇于创新的精神. 二.教学重、难点： 重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点: 实数 与向量积的几何意义的理解. 三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以 练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程
|BC|1,|CA| 3, 求ABBCBCCACAAB 4.已 知 非 零 向 量 a,b满 足 :(a2b)a, (b2a)b,求 a,b的 夹 角
D
C
解:1因为 AD 与BC平行且方,向相同
60
AD与BC的夹角0为 .
AB D C AD Bc C0 o s 3 3 1 9 A
B
2
或ADBCAD9
2.AB 与CD 平行 ,且方向相反
6 . 已 知 a+ bc0 ， |a|3 ,|b|5 ,|c|7 ,
小结回顾 求 a 与 b 的 夹 角 .
1 .已 知 a ,b 均 为 单 位 向 量 ， 它 们 的 夹 角 为 6 0, 求 | a 3 b| 2.已 知 a,b满 足 ： |a|1 ， |b|2,|ab|2, 求 | ab| 3.已知平面上三点A,B,C满足： | AB|2，
这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发 散思维和勇于创新的精神. 二.教学重、难点： 重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点: 实数 与向量积的几何意义的理解. 三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以 练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程
|BC|1,|CA| 3, 求ABBCBCCACAAB 4.已 知 非 零 向 量 a,b满 足 :(a2b)a, (b2a)b,求 a,b的 夹 角
平面向量的数量积优秀PPT课件
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a 0，且a•b= a•c ，则b=c
（ √）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=பைடு நூலகம்a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
因为a•b=│a││b│COSθ
所以│a•b│ =│a││b││COSθ│
又│COSθ│ 1 所以│ a•b │ │a││b│
思考：在什么情况下取等号？ 0或 180
返回练习
反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的数量积
探究
面向量数量积的坐标表示
4. 若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),则a·b＝x1x2＋y1y2 ，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文 字描述这一结论吗？
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
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2020年12月27日星期日
探究
面向量数量积的坐标表示
5. 如何利用数量积的坐标表示证明 (a＋b)·c＝a·c＋b·c？
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2020年12月27日星期日
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 数量积
探究
平面向量数量积的运算性质
2. 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向 时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|； a·a＝a2＝|a|2 或 |a|＝ a a .
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2020年12月27日星期日
小结
2. 实数的运算性质与向量的运算性质不 完全一致，应用时不要似是而非.
3. 利用︱a︱＝ a可 a以求向量的模，在 字符运算中是一种常用方法.
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2020年12月27日星期日
小结
4. 利用向量的数量积可以解决有关平行、 垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是 一个工具性知识点，具有很强的功能作用.
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2020年12月27日星期日
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 数量积
探究
平面向量数量积的背景与含义
7. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为 θ，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那 么该投影一定是正数吗？向量b在a方向 上的投影是什么？
高中数学复习平面向量的数量积人教版必修4ppt课件
C→B＝(1，－1)，cos∠ACB＝|CC→→AA|·|CC→→BB|＝－417
17 .
【互动探究】
列向量的数量积中最大的是( A )
→→
A.AB·AC →→
→→ B.AB·AD 图 8－2－1 → →
1．如图 8－2－1，在边长为 1 的D.正AB六·A边F形 ABCDEF 中，下 C.AB·AE
例 4：已知 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中 0<α<β<π. (1)求证：a＋b 与 a－b 互相垂直； (2)若 ka＋b 与 a－kb 的长度相等，求 β－α 的值(k 为非零的 常数)．
解题思路：本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充
要条件 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 与三角函数的综合运用．
正解：点 P 在直线 y＝2x 上，所以点 P 坐标为(a,2a)，P→A＝ (－1－a,1－2a)，P→B＝(3－a,3－2a)，向量P→A与P→B夹角为钝角的 充要条件是P→A·P→B<0，并且 P、A、B 三点不共线.P→A·P→B＝(－1 －a)(3－a)＋(1－2a)(3－2a)＝5a2－10a，
【互动探究】 4．已知 AD 是△ABC 的中线，A→D＝λA→B＋μA→C(λ、μ∈R)． (1)求 λ＋μ 的值； (2)若∠A＝120°，A→B·A→C＝－2，求|A→D|的最小值．
解：(1)∵B、D、C 三点共线，∴λ＋μ＝1. (2)∵A→D＝12(A→B＋A→C)，∴|A→D|2＝14|A→B＋A→C|2＝14(|A→B|2＋|A→C|2 ＋2A→B·A→C)＝14(|A→B|2＋|A→C|2－4)． ∵A→B·A→C＝－2，∴|A→B|·|A→C|＝4，∴14(|A→B|2＋|A→C|2－4)≥14 (2|A→B|·|A→C|－4)＝14(2×4－4)＝1. ∴|A→D|的最小值是 1.
最新高中数学课件高二数学必修4 平面向量数量积的含义 ppt1
A 2
| c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
c (a b) c a c b
a
bB
即 (a b) c a c b c
1
O
A1 c B1 C
例1：判断正误，说明理由。
①、a 0 0
②、0 a 0
③、a b a b
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
( x1 x2 , y1 y2 )
我们得到a b 的几何意义：
数量积a b等于a 的长度 a与b在 a 的方向上的投影b cos
的乘积。
三、典型例题分析
例1、如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60,
求 : 1.AD BC 2.ABCD 3.AB DA
解: 1因为AD与BC平行且方向相同,
注意：数量积不满足结合律
即: (a b)c a (bc)
（3）(a b) c a c b c
证明：在平面内取一点 O ，作OA a , AB b，OC c
a b （即 OB ）在 c 方向上的投影等于
a, b 在 c 方向上的投影的和，
即 | a b | cos | a | cos1 | b | cos2
3.性质:
a ·b =| a || b |cos
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单
位向量，是a与e的夹角,则 a⊥b=/2cos=0
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
高中数学人教A版必修4平面向量数量积课件
当a与b异向时，a•b=_-_│_a_│__│__b_│__
a•a=___a_2____
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos ＝ a b
__a_b___
性质4
高中数学人教A版必修4 平面向量数量积课件
高中数学人教A版必修4 平面向量数量积课件
6、反馈练习:判断正误
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （ √ ）
（4）
(1)中 OA与 OB的夹角为 00（2）中OA与OB的夹角为 1800 （3)中OA与 OB的夹角为 AOB（4）中 AO与OB的夹角为θ
（当 0 时，a与b＿同＿向；当 180 时，a与b＿反＿向；
当 90 时，a与b＿垂＿直，记作 a b ）
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(2)若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|² （
（√ ）
高中数学人教A版必修4 平面向量数量积课件
高中数学人教A版必修4 平面向量数量积课件
高中数学人教A版必修4 平面向量数量积课件
5、向量数量积的性质
a•b=│a│b│COSθ
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则ห้องสมุดไป่ตู้
(1)e•a=a•e=│__a_│__CO_S_θ__
(2)a b____a•b=0
(3)当a与b同向时，a•b=│__a_│__│_b_│_
人教A版高中数学必修4 精选优课课件 2.4 平面向量的数量积(共21张PPT)
: 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单
位向量，是a与e的夹角,则 a⊥b=/2cos=0
(1) e ·a = a ·e=| a |cos.
| a || b |cos=0
(2)a⊥b a ·b =0.
a ·b =0
(3)当a与b同向时,a ·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.如图，ABC为等腰三角形，且直角边
AB=1，求 AB • BC BC • CA CA • BA
A
B
C`
第十六页，编辑于星期日：四点 十八分。
小结：
一、知识： 1、两个向量的夹角
2、向量在轴上的正射影及正射影的数量
3、向量数量积的定义及性质
二、能力： 1、运用数量积的定义及性质解决问题 2、探究问题的能力、合作交流的意识
向量与三角的联系；
（4）建立了向量与不等式之间的联系.
第十三页，编辑于星期日：四点 十八分。
课堂练习：
(一)、判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
()
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
(×)
3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0.
(×)
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
也不能用 ×代替
B A
第五页，编辑于星期日：四点 十八分。
小组活动
思考：向量的数量积运算与线性运算的结 果有什么不同？影响数量积大小的因素有 哪些？
注意 两个向量的数量积是一个数量，而不是向
量. 讨论，并完成下表：
的范围 0°≤ <90° =90° 0°< ≤180°
a ·b 的符 号
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(3)(a b ) c a c b c
B b
A
C1
a
O
A1
c
B1 C
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11
例题解析
例 2：求证：
（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
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例题解析
例已知a b a与b的夹角为 =60 ,
求(a 2b) (a 3b).
例5.已知| a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
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课堂小结
1、向量的数量积的定义 2、向量的数量积的几何意义
3、向量的数量积的运算律
4 、必须掌握的五条重要性质
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14
课本 P108 1, 2, 3, 6
的夹角。
B
Oθ
特殊情况
θ=0°
θ=180°
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A
θ =90°
3
阅读思考
向量数量积的义
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
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4
例题解析
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
再见！
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15
7.对任意向量a有a2 a2 √
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9
阅读思考 Байду номын сангаас面向量的数量积的运算律：
(1)a b b a
(2)(a) b (a b) a (b)
(3)(a b ) c a c b c 其中，a、b、c是任意三个向量， R
(a b) c a (b c)
2.若a 0,则对任一非零向量b,有a b 0 ×
3.若a 0, a b 0,则b 0 ×
4.若a b 0,则a,b中至少有一个为0 ×
5.若a 0,a b b c,则a c ×
6.若a b a c,则b c,当且仅当a 0时成立.×
(2)当a与b同向时，a b | a || b |;
(3)a
a
|
a
|2
或
|
a
|
aa
a
2
(4)当a与b反向时，a b | a || b |;
(5) cos a b
| a || b |
(6) | a b || a || b | PPT课件
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练习2
1.若a=0,则对任一向量b,有a b 0 √
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1
问题思考
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下 产生位移s（如图）
F
θ S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ
其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的
概念。
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2
阅读思考
向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b，作OA= a, OB= b，
则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量 a 与 b
练习：p106---1，2
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5
阅读思考 平面向量的数量积的几何意义
b在a方向 上的投影
B
b
O
B1 a A
OB1 | b | cos | a |
记作a b
即 a b | a || b | cos 叫a与b数量积
PPT课件
（也叫内积）
6
问题思考 向量的数量积是一个数量，那么它
什么时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos (a 0,b 0)
B
A
b
a
O a A B1 O b B
大于零
等于零PPT课件
A
a
A1 O b B
小于零
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性质总结
a b | a || b | cos (a 0,b 0)
(1)a b a b 0