八年级数学经典讲解 第11讲 勾股定理与应用
人教版八年级数学下册:勾股定理的应用【精品课件】
在△ABC中,若AC=15,BC=13,AB边上的 高CD=12,则△ABC的周长为( )
A.32 C.32或42
B.42 D.以上都不对
错解:A或B
正解:C
错因分析:如图①,CD在△ABC内部时,AB=AD +BD=9+5=14,此时,△ABC的周长=14+13+15= 42,如图②,CD在△ABC 外部时,AB=AD-BD= 9-5=4,此时,△ABC的周长=4+13+15=32.综上所 述,△ABC的周长为32或42.故选C.
AB=17
BC 1,AC 3 BC 2,AC 2
2.直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形面 积为7和8,则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图,池塘边有两点A,B,点C 是与BA方向成直角的AC方向上的 一点,现测得CB=60m,AC=20m. 求A,B两点间的距离(结果取整数).
观察 1.木板能横着或竖着从门框通过吗?
不能 2.这个门框能通过的最大长度是多少?
3.怎样判定这块木板能否通过木框? 求出斜边的长,与木板的宽比较.
解:在Rt△ABC中,根据勾股定理, AC2=AB2+BC2=12+22=5. AC= 5 ≈2.24. 因为AC大于木板的宽2.2 m,所
以木板能从门框内通过.
证明:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中,∠C=∠C′=90° 根据勾股定理,得
BC AB2 AC2 ,BC AB2 AC2 .
又AB=A′B′, AC=A′C′, ∴BC=B′C′.∴ △ ABC≌△A′B′C′(SSS).
探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表
示无理数,你能在数轴上画出表示 13 的点吗?
初中八年级下册数学 勾股定理的实际应用 课件
糟糕,太 长了,放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是4尺、3尺、12尺,那么,你能 帮小明估计一下买的竹竿至多是多少尺吗?(结果取整数)
A
A
C
12
3
12 C
D 4
BD 4
B3
C
B
勾股定理的实际应用
学生活动一 学校有一块长方形的花圃,经常有同学 为了少走几步而走捷径,于是在草坪上 开辟了一条“新路”,他们这样走少走 了几步?(每两步约为1米)
4m
3m
学生活动(二)
飞机在天空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一 个男孩头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离 这个男孩头顶5000米,飞机每时飞行多少千米?
学生活动(四)
算趣题:“执竿进屋” 笨人执竿要进屋,无奈门框拦住竹, 横多四尺竖多二,没法急得放声哭。 有个邻居聪明者,教他斜竿对两角, 笨伯依言试一试,不多不少刚抵足。 借问竿长多少数,谁人算出我佩服。
学生活动(五)
小明家住在18层的高楼,一天,他与妈妈去买
竹竿。 买最 长的 吧!
快点回家, 好用它凉衣
20秒
4000米
5000米
▪ 学生活动(三) ▪ 印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提
出过“荷花问题”:
▪ “平平湖水清可鉴,面上一尺生红莲; ▪ 出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边, ▪ 渔人观看忙向前,花离原位二尺远; ▪ 能算诸君请解题,湖水如何知深浅?” ▪ 请用学过的数学知识回答这个问题.
【最新】人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理11》公开课课件.ppt
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
弦c 股b
┏
勾a
a2+b2=c2
勾股世界
两千两多千多年年前前,,古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派,,他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理,股因定此 理,因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯,1学95派5 ,1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
人教版八年级(下)第十八章
勾股定理1
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾, 较长的直角边称为股,斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”,最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会(TCM-2002)的会标,其图案正是“弦图 ”,它标志着中国古代的数学成就.
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶,一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
浙教版初中数学八年级上册勾股定理(基础)知识讲解
勾股定理(基础)【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法,能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长.2. 掌握勾股定理,能够运用勾股定理解决简单的实际问题,会运用方程思想解决问题.3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题,进一步运用方程思想解决问题.【要点梳理】【 勾股定理 知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ,,斜边长为c ,那么222a b c +=.要点诠释:(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.(2)利用勾股定理,当设定一条直角边长为未知数后,根据题目已知的线段长可以建立方程求解,这样就将数与形有机地结合起来,达到了解决问题的目的.(3)理解勾股定理的一些变式:222a c b =-,222b c a =-, ()222c a b ab =+-.要点二、勾股定理的证明方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.图(1)中,所以.方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形.图(2)中,所以.方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.,所以. 要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长,求第三边;2. 用于解决带有平方关系的证明问题;3. 利用勾股定理,作出长为的线段. 【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若a =5,b =12,求c ;(2)若c =26,b =24,求a .【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长.【答案与解析】解:(1)因为△ABC 中,∠C =90°,222a b c +=,a =5,b =12,所以2222251225144169c a b =+=+=+=.所以c =13.(2)因为△ABC 中,∠C =90°,222a b c +=,c =26,b =24,所以222222624676576100a c b =-=-=-=.所以a =10.【总结升华】已知直角三角形的两边长,求第三边长,关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边,再决定用勾股原式还是变式.举一反三:【变式1】在△ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .(1)已知b =2,c =3,求a ;(2)已知:3:5a c =,b =32,求a 、c .【答案】解:(1)∵ ∠C =90°,b =2,c =3,∴ 2222325a c b =-=-;(2)设3a k =,5c k =.∵ ∠C =90°,b =32,∴ 222a b c +=.即222(3)32(5)k k +=.解得k =8.∴ 33824a k ==⨯=,55840c k ==⨯=.【变式2】分析探索题:细心观察如图,认真分析各式,然后解答问题.OA 22=()2+1=2 ,S 1=; OA 32=()2+1=3,S 2=; OA 42=()2+1=4,S 3=…(1)请用含有n (n 为正整数)的等式S n =___________;(2)推算出OA 10=______________.(3)求出 S 12+S 22+S 32+…+S 102的值.【答案】解:(1)+1=n+1 Sn=(n 是正整数); 故答案是:; (2)∵OA 12=1,OA 22=()2+1=2,OA 32=()2+1=3,OA 42=()2+1=4,∴OA 12=,OA 2=,OA 3=,…∴OA 10=; 故答案是:;(3)S 12+S 22+S 32+…+S 102=()2+()2+()2+…+()2 =(1+2+3+…+10) =.即:S 12+S 22+S 32+…+S 102=.类型二、勾股定理的证明2、如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AM 是中线,MN ⊥AB ,垂足为N , 试说明222AN BN AC -=.【答案与解析】解:因为MN ⊥AB ,所以222AN MN AM +=,222BN MN MB +=,所以2222AN BN AM BM -=-.因为AM 是中线,所以MC =MB .又因为∠C =90°,所以在Rt △AMC 中,222AM MC AC -=,所以222AN BN AC -=.【总结升华】证明带有平方的问题,主要思想是找到直角三角形,利用勾股定理进行转化.若没有直角三角形,常常通过作垂线构造直角三角形,再用勾股定理证明. 类型三、利用勾股定理作长度为n 的线段 3、作长为、、的线段. 【思路点拨】由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作.【答案与解析】作法:如图所示(1)作直角边为1(单位长度)的等腰直角△ACB ,使AB 为斜边;(2)作以AB 为一条直角边,另一直角边为1的Rt,斜边为; (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、 的长度就是、、、.【总结升华】(1)以上作法根据勾股定理均可证明是正确的;(2)取单位长度时可自定,一般习惯用国际标准的单位,如1cm 、1m 等,我们作图时只要取定一个长为单位即可. 类型四、利用勾股定理解决实际问题4.(2016春•淄博期中)有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线,已知门宽4尺,求竹竿高与门高.【思路点拨】根据题中所给的条件可知,竹竿斜放就恰好等于门的对角线长,可与门的宽和高构成直角三角形,运用勾股定理可求出门高.【答案与解析】解:设门高为x 尺,则竹竿长为(x +1)尺,根据勾股定理可得:x 2+42=(x +1)2,即x 2+16=x 2+2x +1,解得:x=7.5,竹竿高=7.5+1=8.5(尺)答:门高7.5尺,竹竿高8.5尺.【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,可把条件和问题放到直角三角形中,进行解决.举一反三:【变式】如图所示,一旗杆在离地面5m 处断裂,旗杆顶部落在离底部12m 处,则旗杆折断前有多高?【答案】解:因为旗杆是垂直于地面的,所以∠C =90°,BC =5m ,AC =12m ,∴ 22222512169AB BC AC =+=+=.∴ 16913AB ==(m ).∴ BC +AB =5+13=18(m ).∴ 旗杆折断前的高度为18m .【 勾股定理 例3】5、如图,长方形纸片ABCD 中,已知AD =8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合,点B 落在点F 处,折痕为AE ,且EF =3,则AB 的长为( )A .3B .4C .5D .6【答案】D ;【解析】解:设AB =x ,则AF =x ,∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ,∴ △ABE ≌△AFE .BE =EF ,EC =BC -BE =8-3=5,在Rt △EFC 中,由勾股定理解得FC =4,在Rt △ABC 中,()22284x x +=+,解得6x =. 【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题,最后通过勾股定理求解.。
北师大八年级上册11探索勾股定理3.doc
第一节探索勾股定理教学目标:1、经历用数格了的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推力意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
重点难点:重点:了结勾股定理的由来,并能用它来解决一些简单的问题。
难点:勾股定理的发现教学过程掌握勾股定理的内容,能利用勾股定理进行计算与证明。
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即:它反映了直角三角形三边之间的数晕关系,是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。
一、问题的提出:小明放学回家要经过一块长方形的麦地。
如图:1、小明木来应走大路从A经B到C可是他却直从A到C,为什么?2、为什么近、近多少?3、用数学知识如何解答?二、量一量,算一算:1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3 cm, 4 cm和5 cm, 12 cm请你量出斜边的长度。
由(1) S = 4 x —ab + c2 3 = 2ab^-c2 22进行有关的计算。
3得出结论:三、证明结论:利用拼合三角形的方法,如下:(1)(2D由(2) S「= a2 +b2 +2ah2ab 4- c~ = ci~ + b~ + 2ab :.a2 +h2 = c2(2)如图:S正=4S A + S小正1 9= 4x—6/Z? + (Z?-6/)~=lab + b2 + Q2 一2ab=a2 +b2:.c2 = a2 +b2练习:1、判断:(1)己知a、b、c是三角形的三边,贝1,.。
2+。
2 =。
2 ( )(2)在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。
( )(3)在Rt\ABC ZB = 90°:.a2 +b2 = c2( ) 2、填空:在Rt\ABC^. ZC = 90°(1)如果a=3, b=4,则c=(2)如果a=6, b=8» 则c=(3)如果a=5, b=12,则c=(4)如果a=15, b=20,则c=3、解决新课开始提出的问题。
人教版八年级下册数学勾股定理的应用课件 (共19张PPT)
上,若妈妈把食物放
B
在点B处,小黑在A
处闻到了食物的味道,
于是它想从A处沿圆
柱形小凳子表面爬行
到B处,你们想一想,
小黑怎么走最近?
A
以小组为单
B
位,探究小黑爬
行的最短路线
A
A’
d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B
B
A
A
如何计算AB?
C
O
B
C
B
h
侧面展开图
A
A
如图,有一个高为15cm,底面周长为16cm的圆 柱,在圆柱下底面的A点小黑想吃到圆柱上底面 上与A点相对的B点处的食物,问小黑沿着侧面 需要爬行的最短路程为多少厘米?
B
·
A
·
l C
A′
勾股定理的应用
求解几何体的最短路径
B
A
“小黑当家”
有一只叫小黑的蚂蚁,有一天, 妈妈出门前,给小黑准备了好吃的食 物,可是放在了不同的地方,聪明的 小黑能找到这些食物吗?
活动一
从小黑房间A处到妈妈放食物的位 置B处怎样走最近?为什么呢?
B
A
两点之间,线段最短
活动二
在一个圆柱形小凳子
B
A
A
变式二
1.如图,圆柱形无盖玻璃容器,高18cm,底面 周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘 蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开 口1cm的F处有一苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥 的蜘蛛所走的最短路线的长度.
变式三 如图,圆柱形容器高为18cm,底面周长为 24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂 蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 2cm与蜂蜜相对的点A处,则小黑从外壁A处 到达内壁B处的最短距离为多少?
八上数学勾股定理
八上数学勾股定理知识点总结归纳嘿,小伙伴们,咱们今天来聊聊八年级上册数学里超级实用的一个知识点——勾股定理。
别一听定理俩字儿就觉得头疼,咱们用简单易懂的语言,多举例子,保证让你一听就懂,一学就会!一、勾股定理是啥?勾股定理,简单来说,就是在一个直角三角形里,直角边的平方和等于斜边的平方。
听起来有点绕,咱们举个例子就明白了。
假设你有一个直角三角形,它的两条直角边分别叫做a 和b,斜边叫做c。
那么,勾股定理就可以写成这样:a² + b² = c²。
二、勾股定理的应用求边长勾股定理最常用的就是求直角三角形的边长。
比如说,你知道了一个直角三角形的两条直角边,就可以用它来求斜边;反过来,如果你知道斜边和其中一条直角边,也能求出另一条直角边。
例子1:已知直角三角形的两条直角边分别是3米和4米,那么斜边有多长呢?根据勾股定理,咱们可以列出式子:3² + 4² = c²。
计算一下,就是9 + 16 = c²,所以c² = 25,那么c就是5(注意,边长不能是负数,所以咱们只取正值)。
所以,斜边长度是5米。
例子2:已知直角三角形的斜边是5米,其中一条直角边是3米,那么另一条直角边有多长呢?这次咱们用斜边和已知的直角边来求另一条直角边。
根据勾股定理,列出式子:3² + b² = 5²。
计算一下,就是9 + b² = 25,所以b² = 16,那么b 就是4(同样,边长不能是负数)。
所以,另一条直角边长度是4米。
解决实际问题勾股定理不仅在数学题里好用,在生活中也能帮咱们解决不少问题。
比如说,你想知道学校操场旗杆的高度,但是没有合适的工具怎么办?这时候,勾股定理就能派上用场了。
例子3:假设你站在离旗杆底部10米远的地方,用一根2米长的竹竿竖直举起,发现竹竿的顶端刚好和旗杆的顶端在同一水平线上。
八年级数学下册 第17章 勾股定理(第11课时)勾股定理的应用(2)课件
2021/12/13
第二十一页,共二十五页。
13.(2017·花都区一模)如图,在△ABD 中,∠D=90°,CD=6, AD=8,∠ACD=2∠B,则 BD 的长是( C ) A.12 B.二十五页。
14.如图,有一个直角三角形纸片,两直角边 AC=6 cm,BC=8 cm, 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠,使它落在斜边 AB 上,C 与 E 重合,你能求出 CD 的长吗?
2021/12/13
第十一页,共二十五页。
6.作长为 2, 3的线段.
解:如图所示: (1)作直角边为 1(单位长)的等腰直 角△ACB,使 AB 为斜边;
2021/12/13
第十二页,共二十五页。
(2)以 AB 为一条直角边,作另一直角边为 1 的直角 △B1BA.斜边为 B1A;这样斜边 AB、AB1 的长度就是 2、
解:周长=3 5+ 13+3 2, 面积 12.5.
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第十七页,共二十五页。
11.如图,等边△ABC 的边长是 8 cm. (1)求高 AD 的长; (2)求这个三角形的面积.
解:(1)AD=4 3; (2)16 3.
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第十八页,共二十五页。
12.如图,已知∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=2,CD=1, 求 BC 和 AD 的长.
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第二十三页,共二十五页。
解:CD=3 cm. 思路:由勾股定理得 AB=10,设 CD=x, 则 DB=8-x, CD=DE=x,又因为 AC=AE=6,所以 BE=4, 由勾股定理得 DE2+BE2=DB2, 得:x2+42=(8-x)2, 解得 x=3;∴CD=3 cm.
2021/12/13
勾股定理的应用北师大版八年级数学上册PPT精品课件
1.3.1勾股定理的应用-北师大版八年 级数学 上册课 件
小忽略不计)范围是( A )
A.12≤a≤13
B. B.12≤a≤15
C. 5≤a≤12
D.
1.3.1勾股定理的应用-北师大版八年 级数学 上册课 件
5≤a≤13
1.3.1勾股定理的应用-北师大版八年 级数学 上册课 件
3、一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别是 8cm,8cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B 点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗?蚂蚁要爬 行的最短行程是多少?(课本P15 T4)
B
B
(1)方法A 总结:侧(面2)展A开图 中两点B之间所连的线段 B
最短。
(3) A
A
(4)
接下来,求最短距离:
B h=12cm
径为AB,由 勾股定理得
AB²=9²+12² =225
所以AB=15
1.3.1勾股定理的应用-北师大版八年 级数学 上册课 件
自学检测1(5分钟)
1.3.1勾股定理的应用-北师大版八年 级数学 上册课 件
自学指导2(1分钟)
结合下图,思考: 1、蚂蚁怎样沿正方体表面从A点爬行到G点? 2、有最短路径吗?若有,哪条最短?你是怎么确定呢?
H
G
E D
F C
1.3.1勾股定理的应用-北师大版八年 级数学 上册课 件
A
B
学生自学、教师巡视(3分钟)
1.3.1勾股定理的应用-北师大版八年 级数学 上册课 件
最大棱长
当堂训练(15分钟) 1.3.1勾股定理的应用-北师大版八年级数学上册课件
1.如左下图,一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对
的B点处,如果圆柱的高为8 cm,圆柱的半径为6 cm,
初中数学几何培优第十一讲:勾股定理的应用
初中数学几何培优第十一讲:勾股定理的应用知识解读无论是解决实际问题,还是解决一些数学问题,勾股定理都有着广泛的应用。
典列示范一、在数轴上作出表示的点例1如图3-11-1,矩形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是________【提示】这个点到原点的距离等于线段OB的长,OB是Rt△AOB 的斜边,根据勾股定理可得OB的长,就是这个点表示的实数。
【技巧点评】实数与数轴上的点是一一对应的,有理数在数轴上较易找到它对应的点,若要在数轴上直接标出无理数对应的点较难.由此我们借助勾股定理,将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题。
第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中一条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点。
二、在网格中作长度为无理数的线段例2如图3-11-3,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形。
(1)使三角形的三边长分别为3,(在图①中画一个即可)(2)使三角形为钝角三角形且面积为4.(在图②中画一个即可)【提示】(1)长度为3的线段很好作,主要考虑如何作出长度为,的线段和把三条线段组合成一个三角形。
由于=8=22+22,因此可以构造一个两直角边分别为2和2的直角三角形,这个直角三角形的斜边长就是.同理要构造一个长度为的线段,可构造一个直角边分别为2和1的直角三角形。
(2)确定三角形的底和高分别为1和8或2和4,然后设法使三角形称为钝角三角形。
【解答】【技巧点评】在网格中作出长的线段的步骤,第一步设法将n表示成两个整数的平方和;第二步构造直角三角形,使得两条直角边等于第一步得出的两个整数的值.三、梯子下滑问题例3如图3-11-5,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时,梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足也将向外移0.4米吗?【提示】本题中出现两个直角三角形,考虑应用勾股定理,在Rt△ABC中,由AB和BC可求出AC,则A1C=AC-AA1,而A1B1与AB均为梯子之长,在Rt△A1B1C中,再次运用勾股定理求出B1C,由此便可求出梯子向外移动的距离BB1.【解答】【技巧点评】梯子下滑问题,实际上是两个直角三角形问题,比如在本题中,两个直角三角形之间的联系是,AC=A1C+0.4,分别在两个直角三角形中应用勾股定理求出AC,A1C,即可解决问题.四、长方体的对角线例4有一根长170cm的木棒,放在长、宽、高分别是40cm,30cm,120cm的木箱中,露在木箱外边的长度至少为cm.【提示】如图3-11-7,和△是直角三角形,先在中应用勾股定理求出A′C′的长,然后在△AA′C′中应用勾股定理求出AC′的长.【技巧点评】长宽高分别为a,b,c的长方体的对角线长.五、立体图形表明的最短路径例5如图3-11-8,正四棱柱的底面边长为1.5cm,侧棱长为4cm,求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处的最短路程的长.【提示】要求最短路程,需要将正四棱柱展开成平面图形,再利用勾股定理求解,由于从A点到点C1的面上有两种情况,故需分类讨论。
《初二勾股定理讲解》课件
本PPT课件详细讲解了初二数学课程中的勾股定理,通过图文并茂的方式,带 领学生深入理解这一重要的几何定理。
引言
勾股定理是初中数学的基础,它是直角三角形中一条重要的等式,其应用广泛。学好勾股定理对于进一步学习 几何和数学有重要意义。
勾股定理的定义
直角三角形
勾股定理适用于直角三角形,即其中一个角为90度。
勾股三元组是一组满足勾股定 理的整数边长的三角形。
总结
勾股定理是数学中一条重要且有广泛应用的几何定理,学好勾股定理对于学 生的数学学习非常重要,希望大家能够努力掌握这一定理。
参考文献
- 《数学教学参考书目》 - 《初中数学教材》
通过数学运算和代数推导,可以证明勾股定理的代数性质。
勾股定理的应用
长方形的对角线
勾股定理可以用于计算长方形对角线的长正方形的边长。
直角三角形的中线
勾股定理可以用于计算直角三角形中线的长度。
...
勾股定理的拓展
广义勾股定理
勾股三元组
...
广义勾股定理是勾股定理在非 直角三角形中的推广和拓展。
斜边、直角边、另一条边
勾股定理描述了直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和的关系。
勾股定理的表述
勾股定理可以简化成 a²+ b²= c²的等式。
勾股定理的证明
1
证明一:仿射几何
通过仿射几何的方法,可以得到勾股定理的几何证明。
2
证明二:相似三角形
使用相似三角形的性质,可以证明勾股定理的几何性质。
3
证明三:代数证明
北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》示范公开课教学课件
10cm
连接BD,如果能算出AD2+AB2=BD2 ,就可以说明边AD 垂于底边AB.
连接AC,如果能算出AB2+BC2=AC2 ,就可以说明边BC垂于底边AB.
你能替他想办法完成任务吗?
解:连接BD∵AD=30,AB=40,BD=50又∵AD2+AB2=302+402=502=BD2∴ΔABD为直角三角形,∠A=90°∴AD⟂AB同理可证得BC⊥AB
A→B的路线长:曲线AB .
1
2
3
4
侧面展开图
B
A′
P
(B)
将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗?
侧面展开图
将圆柱的侧面展开,把曲线分别转化为对应线段,然后结合两点之间线段最短,得出结论:
第(4)种方案路程最短.
蚂蚁从点A出发,想吃到点B上的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?该如何计算呢?
C
小华路线
小刚路线
(10分钟)
(8分钟)
(6分钟)
∴所以小刚上学走了个直角弯.
2.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长是 .
6cm
8cm
5cm
3.如图,某探险队的A组由驻地O点出发,以12km/h的速度前进,同时,B组也由驻地O出发,以9km/h的速度向另一个方向前进,2h后同时停下来,这时A、B两组相距30km.此时,A,B两组行进的方向成直角吗?请说明理由.
解:2小时后,A组行驶的路程为:12×2=24(km);B组行驶的路程为:9×2=18(km);又因为A,B两组相距30km,且有242+182=302所以A,B两组行进的方向成直角.
2022年八年级数学:勾股定理逆定理与勾股数
勾股定理逆定理与勾股数【学习目标】1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.2. 能利用勾股定理的逆定理,由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围.【基础知识】一.勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形就是直角三角形. 说明:①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.②勾股定理的逆定理将数转化为形,作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.注意:要判断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.二、如何判定一个三角形是否是直角三角形(1)首先确定最大边(如).(2)验证与是否具有相等关系.若,则△ABC 是∠C =90°的直角三角形;若,则△ABC 不是直角三角形.要点诠释:当时,此三角形为钝角三角形;当时,此三角形为锐角三角形,其中为三角形的最大边.三.勾股数勾股数:满足a 2+b 2=c 2 的三个正整数,称为勾股数.说明:①三个数必须是正整数,例如:2.5、6、6.5满足a 2+b 2=c 2,但是它们不是正整数,所以它们不是够勾股数. ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.③记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如:3,4,5;6,8,10;5,12,13;…【考点剖析】c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ≠+222a b c +<222a b c +>c一.勾股定理的逆定理(共5小题)1.(2022春•汉阴县月考)如图,在四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB⊥BC.求证AC⊥CD.2.(2022春•蚌山区校级期中)龙梅和玉荣是草原上的好朋友,可是有一次经过一场争吵之后,两人不欢而散,龙梅的速度是米/秒,4分钟后她停了下来,觉得有点后悔了,玉荣走的方向好像是和龙梅成直角,她的速度是米/秒,如果她和龙梅同时停下来,而这时候她俩正好相距200米,那么她走的方向是否成直角?如果她们现在想讲和,那么原来的速度相向而行,多长时间后能相遇?3.(2021秋•漳州期末)已知:如图,四边形ABCD中,∠ACB=90°,AB=15,BC=9,AD=5,DC=13.求证:△ACD是直角三角形.4.(2021春•商河县校级期末)如图,点C是线段BD上的一点,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,CD =6,DE=4,AE=,求证:∠ACE=90°.5.(2020秋•太平区期末)如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,点D是Rt△ABC外一点,连接DC,DB,且CD=4,BD=3.(1)求BC的长;(2)求证:△BCD是直角三角形.二.勾股数(共4小题)6.(2022春•铜梁区校级期中)下列四组数中,是勾股数的是()A.6,8,10B.0.3,0.4,0.5C.,,D.32,42,527.古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2﹣1,c=m2+1,那么a,b,c 为勾股数,你认为正确吗?如果正确,请说明理由,并利用这个结论得出一组勾股数.8.观察下列勾股数3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…;a、b、c.根据你发现的规律,回答下列问题:(1)a=17时,求b、c的值;(2)a=2n+1时,求b、c的值.9.已知m>0,若3m+2,4m+8,5m+8是一组勾股数,求m的值.【过关检测】一.选择题(共4小题)1.(2021秋•平昌县期末)有下列各组数:①3,4,5;②62,82,102;③0.5,1.2,1.3;④1,,.其中勾股数有()A.1组B.2组C.3组D.4组2.(2022春•仓山区期中)下列各组数,是勾股数的一组是()A.13,14,15B.15,8,17C.3,4,D.1,,3.(2021秋•徐汇区期末)满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()A.三内角之比为3:4:5B.三边长的平方之比为1:2:3C.三边长之比为7:24:25D.三内角之比为1:2:34.(2021秋•榆林期末)以下列各组线段为边作三角形,不能作出直角三角形的是()A.1,2,B.6,8,10C.3,7,8D.0.3,0.4,0.5二.填空题(共9小题)5.(2022春•长沙月考)如图,D为△ABC边BC上的一点,AB=20,AC=13,AD=12,DC=5,则S△ABC =.6.(2021秋•普陀区期末)已知两条线段的长为3cm和4cm,当第三条线段的长为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.7.(2021秋•淮安区期末)已知三角形三边长分别是6,8,10,则此三角形的面积为.8.(2021秋•牡丹区校级月考)勾股数为一组连续自然数的是.9.(2021春•潼南区期末)若一个三角形的三边之比为5:12:13,且周长为60cm,则它的面积为cm2.10.(2022春•泗水县期中)观察下列几组勾股数,并填空:①6,8,10,②8,15,17,③10,24,26,④12,35,37,则第⑥组勾股数为.11.(2021秋•太原期末)已知△ABC中,AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,则△ABC的面积是cm2.12.(2022春•孝南区月考)探索勾股数的规律:观察下列各组数:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)…,请写出第6个数组:.13.(2021春•绥滨县期末)已知△ABC中,AB=k,AC=k﹣1,BC=3,当k=时,∠C=90°.三.解答题(共7小题)14.(2021春•罗湖区校级期末)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC的中点,AD=2,求△ABC 的面积.15.(2021春•睢县期中)已知△ABC中,AB=AC,BC=20,D是AB上一点,且CD=16,BD=12,(1)求证:CD⊥AB;(2)求三角形ABC的周长.16.(2021春•芜湖期中)如图所示,在四边形ABCD中,AB=2,BC=2,CD=1,AD=5,且∠C=90°,求四边形ABCD的面积.17.(2019秋•玄武区期末)如图,AD是△ABC的中线,DE是△ADC的高,DF是△ABD的中线,且CE =1,DE=2,AE=4.(1)∠ADC是直角吗?请说明理由.(2)求DF的长.18.(2021春•天心区期中)如图是由边长均为1的小正方形组成的网格,点A,B,C都在格点上,∠BAC 是直角吗?请说明理由.19.(2020春•东莞市期末)如图,已知点C是线段BD上的一点,∠B=∠D=90°,若AB=3,BC=2,CD=6,DE=4,AE=.(1)求AC、CE的长;(2)求证:∠ACE=90°.20.(2019秋•红河州期末)如图,在锐角三角形ABC中,AB=13,AC=15,点D是BC边上一点,BD=5,AD=12,求BC的长度.。
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八年级数学经典讲解第十一讲勾股定理与应用在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理.勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2.勾股定理逆定理如果三角形三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法.关于勾股定理,有很多证法,在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的.下面的证法1是欧几里得证法.证法1 如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE,BCHK,ACFG,它们的面积分别是c2,a2,b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和.过C引CM∥BD,交AB于L,连接BG,CE.因为AB=AE,AC=AG,∠CAE=∠BAG,所以△ACE≌△AGB(SAS).而所以 S AEML=b2.①同理可证 S BLMD=a2.②①+②得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2,即 c2=a2+b2.证法2 如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA,CB分别延长到D,F,使AD=a,BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b),又在DE上截取DG=b,在EF上截取EH=b,连接AG,GH,HB.由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC,所以AG=GH=HB=AB=c,∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,因此,AGHB为边长是c的正方形.显然,正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC,△ADG,△GEH,△HFB)的面积和,即化简得 a2+b2=c2.证法3 如图2-18.在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB,自E作EG⊥CB延长线于G,自D作DK⊥CB延长线于K,又作AF,DH分别垂直EG于F,H.由作图不难证明,下述各直角三角形均与Rt△ABC全等:△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.设五边形ACKDE的面积为S,一方面S=S ABDE+2S△ABC,①另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC.②由①,②所以 c2=a2+b2.关于勾股定理,在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法,我们将在习题中展示其中一小部分,它们都以中国古代数学家的名字命名.利用勾股定理,在一般三角形中,可以得到一个更一般的结论.定理在三角形中,锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和,减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍.证 (1)设角C为锐角,如图2-19所示.作AD⊥BC于D,则CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,①在直角三角形ACD中,AD2=AC2-CD2,②又BD2=(BC-CD)2,③②,③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD=AC2+BC2-2BC·CD,即c2=a2+b2-2a·CD.④(2)设角C为钝角,如图2-20所示.过A作AD与BC延长线垂直于D,则CD就是AC在BC(延长线)上的射影.在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,⑤在直角三角形ACD中,AD2=AC2-CD2,⑥又BD2=(BC+CD)2,⑦将⑥,⑦代入⑤得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD,即c2=a2+b2+2a·cd.⑧综合④,⑧就是我们所需要的结论特别地,当∠C=90°时,CD=0,上述结论正是勾股定理的表述:c2=a2+b2.因此,我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广).由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在△ABC中,(1)若c2=a2+b2,则∠C=90°;(2)若c2<a2+b2,则∠C<90°;(3)若c2>a2+b2,则∠C>90°.勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系,因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.例1 如图2-21所示.已知:在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC 于E,作EF⊥AC于F,作FG⊥AB于G.求证:AB2=2FG2.分析注意到正方形的特性∠CAB=45°,所以△AGF是等腰直角三角形,从而有AF2=2FG2,因而应有AF=AB,这启发我们去证明△ABE≌△AFE.证因为AE是∠FAB的平分线,EF⊥AF,又AE是△AFE与△ABE的公共边,所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS),所以 AF=AB.①在Rt△AGF中,因为∠FAG=45°,所以AG=FG,AF2=AG2+FG2=2FG2.②由①,②得AB2=2FG2.说明事实上,在审题中,条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等,从而将AB“过渡”到AF,使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中,可以利用勾股定理进行证明了.例2 如图2-22所示.AM是△ABC的BC边上的中线,求证:AB2+AC2=2(AM2+BM2).证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内).由广勾股定理,在△ABM中,AB2=AM2+BM2+2BM·MD.①在△ACM中,AC2=AM2+MC2-2MC·MD.②①+②,并注意到MB=MC,所以AB2+AC2=2(AM2+BM2).③如果设△ABC三边长分别为a,b,c,它们对应边上的中线长分别为m a,m b,m c,由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式.推论△ABC的中线长公式:说明三角形的中线将三角形分为两个三角形,其中一个是锐角三角形,另一个是钝角三角形(除等腰三角形外).利用广勾股定理恰好消去相反项,获得中线公式.①′,②′,③′中的m a,m b,m c分别表示a,b,c边上的中线长.例3 如图2-23所示.求证:任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.分析如图2-23所示.对角线中点连线PQ,可看作△BDQ的中线,利用例2的结论,不难证明本题.证设四边形ABCD对角线AC,BD中点分别是Q,P.由例2,在△BDQ 中,即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2.①在△ABC中,BQ是AC边上的中线,所以在△ACD中,QD是AC边上的中线,所以将②,③代入①得=4PQ2+BD2,即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.说明本题是例2的应用.善于将要解决的问题转化为已解决的问题,是人们解决问题的一种基本方法,即化未知为已知的方法.下面,我们再看两个例题,说明这种转化方法的应用.例4 如图2-24所示.已知△ABC中,∠C=90°,D,E分别是BC,AC 上的任意一点.求证:AD2+BE2=AB2+DE2.分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边,因此考虑从勾股定理入手.证 AD2=AC2+CD2,BE2=BC2+CE2,所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5 求证:在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍.如图2-25所示.设直角三角形ABC中,∠C=90°,AM,BN分别是BC,AC边上的中线.求证:4(AM2+BN2)=5AB2.分析由于AM,BN,AB均可看作某个直角三角形的斜边,因此,仿例4的方法可从勾股定理入手,但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M,N分别是所在边的中点,那么可直接利用例4的结论,使证明过程十分简洁.证连接MN,利用例4的结论,我们有AM2+BN2=AB2+MN2,所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2.①由于M,N是BC,AC的中点,所以所以 4MN2=AB2.②由①,②4(AM2+BN2)=5AB2.说明在证明中,线段MN称为△ABC的中位线,以后会知道中位线的基本性质:“MN∥AB且MN=图2-26所示.MN是△ABC的一条中位线,设△ABC的面积为S.由于M,N分别是所在边的中点,所以S△ACM=S△BCN,两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=SAB必与MN平行.又S△△BMN,从而高相ABM=同,而S△ABM=2S△BMN,所以AB=2MN.练习十一1.用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线):(1)赵君卿图(图2-27);(2)项名达图(2-28);(3)杨作枚图(图2-29).2.已知矩形ABCD,P为矩形所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.(提示:应分三种情形加以讨论,P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外,均有这个结论.)3.由△ABC内任意一点O向三边BC,CA,AB分别作垂线,垂足分别是D,E,F.求证:AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2.4.如图2-30所示.在四边形ADBC中,对角线AB⊥CD.求证:AC2+BD2=AD2+BC2.它的逆定理是否成立?证明你的结论.5.如图2-31所示.从锐角三角形ABC的顶点B,C分别向对边作垂线BE,CF.求证:BC2=AB·BF+AC·CE.。