圆第2课垂径定理导学案
人教版九年级上册《垂径定理》教案
人教版九年级上册《垂径定理》教案
《人教版九年级上册《垂径定理》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
教学背景
学生在学习了圆的基本定义(旋转定义和集合定义)和相关弦，弧等概念后，结合轴对称性质来探讨的定理。
教学目标
1、知识目标：
(1)充分认识圆的轴对称性;
(2)利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径
定理及其推论;
(3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：
(1)让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究
过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决
问题的能力。
(2)让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思
维能力。
3、情感目标：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知
欲，同时培养学生勇于探索的精神。
教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用
教学难点
(1)垂径定理的证明
(2)垂径定理的题设与结论的区分
教学辅助
多媒体
教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
教学过程
教学总结
人教版九年级上册《垂径定理》教案这篇文章共6626字。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
圆导学案之垂径定理
28.1.2 垂直于弦的直径（1）班级: 姓名：时间：学习目标：1．理解圆的轴对称性；２.了解拱高、弦心距等概念；３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
一、自主先学⒈叙述：请同学叙述圆的几何定义？⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。
3.课本P80页有关“赵州桥”问题。
二、展示时刻1）、动手实践，发现新知⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试.⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。
2)、创设情境，探索垂径定理⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠,实验后提出猜想。
⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知、求证。
然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：⒌垂径定理：推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且表达式：6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？【问题探究】D D例1．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．【练习】如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．例2．已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是cm.【练习】１．一条排水管的截面如图所示，水面宽AB=16，水深CD=4，求水管截面所在圆的直径。
例3：已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．【练习】１．如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长．三、学生展示1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．BC BDC．∠BAC=∠BAD D．AC>AD(图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）BA ．1mmB ．2mmmC ．3mmD ．4mm 4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；• 最长弦长为_______． 5．如图4，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 四、当堂训练定理的应用（2013•黄冈）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD=4，EM=8，求所在圆的半径.28.1.2垂直于弦的直径（2）班级: 姓名： 时间：学习目标：熟练掌握垂径定理及其推论，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
高中数学垂径定理教案
高中数学垂径定理教案一、教学目标：1. 知识与能力：掌握垂径定理的概念，能够应用垂径定理解决相关问题。
2. 过程与方法：运用几何知识和推理方法，探究垂径定理的原理和应用。
3. 情感态度与价值观：培养学生的观察和推理能力，增强学生对几何学习的兴趣和自信心。
二、教学重难点：1. 掌握垂径定理的内容和概念。
2. 能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
三、教学内容及方法：1. 垂径定理的概念：通过展示示意图，引导学生理解垂径定理的基本原理。
2. 垂径定理的证明：以几何推理为基础，让学生自行探究垂径定理的证明过程。
3. 垂径定理的应用：通过具体案例演练，让学生掌握灵活运用垂径定理解决相关问题的方法。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一个圆和其直径的示意图，引出垂径定理的概念。
2. 学习：讲解垂径定理的内容和原理，引导学生思考垂线与半径的关系。
3. 实践：学生自行探究垂径定理的证明过程，进行思维导图整理。
4. 演练：通过案例分析和问题讨论，让学生灵活运用垂径定理，解决相关问题。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强化垂径定理的重点和难点。
五、作业布置：1. 完成课堂练习，加深对垂径定理的理解。
2. 预习下节课内容，做好相关准备。
六、教学评价：1. 课堂表现：学生能够积极参与讨论，表达自己的观点和想法。
2. 作业质量：学生能够独立完成作业，运用垂径定理解决实际问题。
3. 考试成绩：学生在考试中能够准确运用垂径定理，获得理想的成绩。
七、教学反思：1. 教学方法：适当运用案例分析和问题讨论，提高学生对垂径定理的应用能力。
2. 教学内容：加强垂径定理的相关练习，巩固学生对垂径定理的理解和掌握。
以上是本次垂径定理教学范本，欢迎老师们根据实际情况进行调整和完善。
祝教学顺利！。
垂径定理自主学习导学案
D垂径定理【学习目标】1．理解圆的轴对称性；2．探索垂径定理及其逆定理，并能应用它解决有关问题；3．经历探索圆的对称性，发现定理的过程，培养抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维能力；4．在探索活动中，主动参与小组合作，培养与同学合作交流的意识、思考与表达的条理性。
【学习重点】理解掌握垂径定理及其逆定理，并能应用解决有关问题。
【学习难点】理解掌握垂径定理及其逆定理。
【学法指导】通过探索圆的对称性，发现垂径定理以及逆定理，明确定理的条件和结论，并能准确用三种语言进行描述，在问题解决中逐步掌握定理的应用。
【学习过程】一、学前准备1．我们学过哪几种对称性？什么是轴对称图形？怎样判断一个图形是轴对称图形？轴对称图形有什么特征？ 2．叙述圆的定义。
3．圆的有关概念。
（1）圆弧：（2）弦：M COAB 二、活动探究活动一：探究圆的对称性1．圆是否轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？2．结论：_______________________，_____________________________。
活动二：探究垂径定理 1．观察右图，并进行描述。
2．研究右图的对称性。
并说出在已知条件下， 可以发现哪些等量关系？并说明理由。
3．垂径定理：________________________________，________________________________。
用符号语言表述：4．巩固练习：（1）在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是___________。
（2）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆的弦于C ．D 两点，你认为AC 与BD 的大小有何关系？说明理由。
活动三：探究垂径定理的逆定理1． 如右图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分弦的直径CD ，交AB 于点M 。
垂径定理 导学案
义务教育教科书（北师）九年级数学下册第三章 圆3.4《垂径定理》导学案学习目标1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
（重点）2.运用垂径定理及其逆定理解决问题。
（难点）学习任务一、预习导学1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？阅读教材，完成预习内容。
二、新知探究11．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．2、辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．结论：垂径定理__________________________________________________ O C D B A O C D E O C D B AO DB A C三、新知探究21、垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.2、辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：结论：垂径定理逆定理______________________________________.四、新知探究3例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD=600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m.求这段弯路的半径．五、 自学反馈1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所O C D B A O CD B A O C D B A 在圆的半径．（结果精确到0.1米）．2．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？有三种情况：（1）圆心在平行弦外；（2）圆心在其中一条弦上；（3）圆心在平行弦内．3、你的收获还有什么？本节课的疑惑？。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第一节的一部分，主要介绍了圆中垂径定理的内容。
垂径定理是指：圆中，如果一条直径的两端点分别连接圆上两点，那么这条直径垂直于连接这两点的弦。
这一定理是九年级学生学习圆的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。
但是，对于垂径定理的理解和运用还需要进一步引导。
此外，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，因此需要通过实例讲解和动手操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。
三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.提高学生的观察和分析能力，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解并掌握垂径定理的内容。
2.难点：如何运用垂径定理解决实际问题。
五. 教学方法1.实例讲解：通过具体的图形和实例，讲解垂径定理的内容和运用。
2.动手操作：让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。
3.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
4.问题解决：引导学生运用垂径定理解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示垂径定理的图形和实例。
2.教学素材：准备一些相关的几何图形和题目，用于讲解和练习。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示垂径定理的图形和实例，引导学生观察和分析，然后讲解垂径定理的内容和证明过程。
3.操练（10分钟）教师给出一些相关的题目，让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。
人教版九年级数学上册24.1.2垂径定理导学案2
第3课时 24.1.2 垂直于弦的直径（2）［学习目标］1．熟练掌握垂径定理及其推论；2．能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明 3、进一步应用垂径定理解决实际问题. ［学习流程］ 一、依标独学1．垂径定理： 2.推论： 3.如图1，O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 . 二、扣标展示活动1：垂径定理的实际应用怎样求p80赵州桥主桥拱半径？解：如图3，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心是点O ，半径为R .归纳：（1）如图4，半弦、半径、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理可得 .（2）在弦长a 、弦心距d 、半径r 、弓形高h 中，知道其中任意两个，可求出其它两个.活动2 ：如图5，已知AB ，请你利用尺规作图的方法作出AB 的中点，说出你的作法．作法：三、扣标展示1. P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为______；•最长弦长为______．2. 如图8，P 为⊙O 的弦AB 上的点，P A =6，PB =2，⊙O 的半径为5，则OP =______．3. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm ，水面至管道顶部距离为10 cm ，问修理人员应准备内径多大的管道? 四、达标测评已知：如图11，,A B 是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，80AOD ∠=︒B 是AD 的中点．(1)在CD 上求作一点P ，使得AP PB ＋最短； (2)若4CD cm =，求AP PB ＋的最小值．五、课后反思RB A O（（（图5）BA（8）（9）。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
浙教版初中数学九年级上册3.3《垂径定理(2)》导学案
浙教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！浙教版初中数学和你一起共同进步学业有成！3.3 垂径定理（2）我预学1.什么是逆命题？原命题是真命题，则其逆命题一定是真命题吗？判断下列命题的逆命题的真假：①三角形的外角中至少有2个钝角；②对角钱垂直且相等的四边形是菱形；③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；④两个全等三角形的面积相等.2. 试写出垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”的条件与结论，并写出其逆命题.3. 阅读教材中的本节内容后回答：（1）为什么的定理1要有“不是直径”这个前提条件？你能举出反例吗？（2）本节的两课时内容涉及到①直径（经过圆心）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，你怎么理解这五者之间的关系？这些结论主要可用于证明或求什么？【我求助】预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：我梳理平分 .【我反思】通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标1.下列命题中，正确的是（ ） A. 过弦的中点的直线必过圆心B. 过弦的中点的直线平分弦所对的弧C. 弦的垂线平分弦所对的弧D. 弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心2.如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件.（写出两个）就可得M 是AB 的中点3.如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB =2cm ，CD =4cm.以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD =90°，则圆心O 到弦AD 的距离是.4.△ABC 是直径为10cm 的⊙O 的内接等腰三角形，如果此等腰三角形的底边BC =8cm ，则该△ABC 的面积为 .D5.用工件槽可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）.将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有如图所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.求这种铁球的直径标准.6.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位时水面宽AB=60米，水面到拱顶距离CD=18米，当洪水泛滥，水面宽MN=32米时是否需要采取紧急措施？请说明理由（当水面距拱顶3米以内时需采取紧急措施）.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
初中数学垂径定理导学案
课题 3.3垂径定理（一）班级 组名 姓名航标一 理解等可能事件概率计算公式，并能求求简单等可能事件的概率。
一、预习新课：请先认真阅读课本76到77页的例1完成下面题目1. 如图，直径CD ⊥AB 于点E ，沿着直径CD 所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线段、弧互相重合， 相等的线段有 互相重合的弧有【归纳总结1】圆是 图形，对称轴是【归纳总结2】圆的垂径定理垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦 . 数学语言如图 ∵ CD 是直径, CD ⊥AB,∴AE=BE,航标二：掌握圆的性质，学会运用垂径定理解决平分弧问题。
1.如图，已知弧AB ，用直尺和圆规二等分这条弧。
航标三 学会运用垂径定理构造垂径三角形解决圆中简单计算请先认真阅读课本77页例2并完成下面两个题目。
2、（课本P78页作业题B5）一个底部呈球形的烧瓶,球的半径为5cm,瓶内液体的最大深度CD ＝2cm(如图).求截面圆中弦AB 的长.书中学道——学习程序：课前独立预习课本第44——50页，完成“书中学道”。
课内先组内群学，再进行概念重点小展示，由学生点评和打分，最后教师补充，时间5分钟。
做中习道——学习程序：课前通过预习独立完成“做中习到”。
课堂先组内群学，教师进行任务分配，小组代表展示。
由学生点评和打分，最后教师补充，时间30分钟。
OED C B AAB3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ），点O 是弧CD 的圆心，其中DC=600m ，点E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。
4、（P78作业题6）已知:如图,在⊙O 中,弦AB ∥CD. 求证:AC BD ＝.1、课本P77页课内练习12、P78作业题33、P78页作业题74、P78作业题4课题 3.3垂径定理（二）省中悟道——学习程序：先独立完成，完成后交小组长，然后老师当堂或课后批阅，时间5分钟 OF DC E班级 组名 姓名航标一：说出定理的逆定理并能用数学语言叙述以上定理。
北师大版九年级数学下册第三章《垂径定理2》导学案
新北师大版九年级数学下册第三章?垂径定理2?导教案一、教课目的运用垂径定理及其逆定理解决问题．二、教课要点和难点要点：运用垂径定理及其逆定理解决问题．难点：运用垂径定理及其逆定理解决问题，以及应用时怎样增添协助线三、教课过程〔一〕复习回想：1.复述垂径定理和推论垂径定理 _____________________________________________________垂径定理的推论：______________________________________________________________2. 观点辨析：①垂直于弦的直线均分这条弦，而且均分弦所对的两条弧.〔〕②均分弦所对的一条弧的直径必定均分这条弦所对的另一条弧. 〔〕③经过弦的中点的直径必定垂直于弦.〔〕④圆的两条平行弦所夹的弧相等.〔〕⑤弦的垂直均分线必定均分这条弦所对的弧.〔〕〔二〕典型例题例 1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧, 点 O是这段弧的圆心,AB=300m,C 是弧 AB上一点 ,OC⊥ AB, 垂足为 D,CD=45, 求这段弯路的半径。
解：连结 OA例 2：如图是两个齐心圆，AB 是大圆的弦，与小圆交于C、 D 两点，那么 AC=BD 试说明原因OAC D B第1页共3页例 3：如图，直径AB 与弦 CD 交于 E 点，且 E 是 CD 中点， CD=8, AE=2, 求直径 ABAC DEOB〔三〕、讲堂练习：1. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面以下列图，AB=16m，半径 OA=10m，那么中间柱 CD的高度为多少米？2. 在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面以下列图，假定油面宽AB=800mm，那么油的最大深度为多少mm？第2页共3页3.如图，某花园小区一圆形管道破碎，维修工准备改换一段新管道，此刻量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，那么维修工应准备内直径是多少cm 的管道？4. 如图是一单位拟建的大门表示图，上部是一段直径为10 米的圆弧形，下部是矩形ABCD，此中AB=3.7 米， BC=6 米，那么弧 AD 的中点到 BC 的距离是多少米？5.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度 (AB) 为 16 米，拱高 (CD)为 4 米，求：⑴桥拱半径⑵假定大雨事后，桥下河面宽度 (EF) 为 12 米，求水面涨高了多少？CE FMA BDO第3页共3页。
九年级数学上册导学案：第二十四章圆(2)
第2课时 垂径定理 ◆学习目标1、理解圆的对称性，利用对称性理解垂径定理2、掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题、3、掌握在圆中求弦长的基本方法---垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求得4、渗透方程的思想方法重点：垂径定理及其运用．难点：发现并证明垂径定理及其推论 ◆学习过程问题1:如图：⊙O 沿着直径AB 折叠，圆上点C 与点D 重合，CD 与AB 交于点P 你能在图中找到其他相等的量吗？ 图中相等的线段．．有： ，相等的弧．有： 猜测：条件⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎩⎨⎧⊥ 平分 平分 平分结论过圆心）弦为直径AB AB AB CD AB AB AB ( 思考：如何解析证明你的结论？归纳:垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，平分这条弦所对的几何语言：∵AB 为⊙O 的直径，（或者:弦AB 过圆心）AB ⊥CD ∴DP= , =⋂ DB ，=⋂ DA （垂径定理）问题2:拓展:在垂径定理中，题设与结论共有5个语句，分别是：(1)弦AB 过圆心O （AB 是直径）；(2)弦AB 垂直于弦CD （AB ⊥CD ）;(3)弦AB 平分弦CD （DP=CP ）； (4)弦AB平分⋂ CAD （⋂⋂= AC AD ）;(5)弦AB 平分⋂ CBD （⋂⋂= CD BD ）;你能得出这5个语句之间的关系吗？【归纳】：只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.”中的 个条件，就可以得到另外 个结论.环节三、垂径定理的应用例1：在⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，圆的半径是10cm ，求圆心O 到AB 的距离。
解：连接AO ，作OE ⊥AB 于E∵OE 经过⊙O 的圆心，OE ⊥AB∴AE= = cm （ ）在Rt △AOE 中，∵OE 2= （ ）∴OE= = 答：OE 的长为环节四、做一做 A 组1、如图：在⊙O 中，AB 是直径，AB ⊥CD 于点E ，若CD=8⋂ CBD 的度数是120°,⋂ CAD 的度数是240°, 则CE= ,ED= , =⋂ BD =⋂ AD2、在⊙O 中，半径OA=30，弦AB 长30，求点O 到AB 的距离。
九年级数学上册33垂径定理2导学案
班级姓名 教学目标：1、经历探索垂径定理的逆定理的过程；2、掌握定理“平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧〞及定理 “平分弧的直径平分弧所对的弦〞。
3、会运用垂径定理的逆定理解决一些简单的几何问题。
教学重难点：重点：垂径定理的逆定理。
难点：例3的问题情境较为复杂是难点 一、学法指导1、 通过画图操作，学习垂径定理的逆定理，并加以理解2、 通过例3的学习，加强对垂径定理的理解、应用。
二、课前学习1、如图⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的一条弦，弦心距为1， 求弦AB 的长。
2、如图，⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的一条弦，且AB=32，P 为AB 的中点，求OP 的长。
三、探索新知师：(1)假设CD 为直径，EB EA =是否能推出AB CD ⊥，AC=BC，AD=BD (2)假设CD 为直径， AC=BC ，AD=BD 是否能推出AB CD ⊥，EB EA =下面就〔1〕给出证明：如图，⊙O 的直径交弦AB 〔不是直径〕于点P ，AP=BP 。
求证：AB CD ⊥，AC=BC ，AD=BD 。
第〔2〕题的证明，留给同学们自己去证明 2、得出定理1： 定理2：强调：AB CD ⊥的前提条件下，其余三个条件有一个成立，都能得到其余两个条件。
四、范例讲解 例3〔题略〕 ☆例题解析：〔1〕学生仔细阅读题目，理解什么是跨径、拱高，并画出草图。
〔2〕要想求得桥拱半径，关键在于〔构造直角三角形〕 〔3〕对造草图，有哪些线段的长是的〔4〕在OAD RT ∆中，AD 的长是多少为什么OD 的长应怎样用关于R 的代数式表示 〔5〕怎样利用勾股定理列出关于未知数R 的方程 五、自学检测完成书本67页课内练习和书本68页作业题 六、当堂检测1.给出以下命题： (l )垂直于弦的直线平分弦； (2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (3 )平分弦的直线必过圆心； (4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。
垂径定理教案
垂径定理教案教案标题：探索垂径定理教案目标：1. 通过本课学习，学生将理解并掌握垂径定理的概念和应用。
2. 学生将能够运用垂径定理解决几何问题并进行相关证明。
3. 培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力和团队合作意识。
教学重点：1. 理解垂径定理的基本概念和性质。
2. 掌握垂径定理的证明方法。
3. 运用垂径定理解决几何问题。
教学难点：1. 学生对垂径的理解和运用能力。
2. 学生对垂径定理的证明理解和能力。
教学准备：1. 教师准备投影仪、电脑、教学课件、纸板和笔等教学工具。
2. 学生准备几何工具、笔记本和教材等学习用具。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 教师用一幅图形或实物引入垂径的概念，激发学生对垂径的兴趣，并提出一个与垂径有关的问题。
2. 引导学生思考，让学生尝试从直观上解答问题。
步骤二：学习垂径定理（20分钟）1. 教师通过投影仪展示垂径定理的定义和相关的性质，引导学生分析和理解。
2. 教师示范垂径定理的证明过程，解释每一步的思路和理由。
3. 学生跟随教师一起完成标注图和注释，加深对垂径定理的理解。
步骤三：运用垂径定理（25分钟）1. 学生个人或小组合作，完成教材上的练习题，通过练习问题的解答，增强对垂径定理的运用能力。
2. 教师引导学生思考，提出一个垂径定理的应用问题，并组织学生探讨答案和解决方法。
3. 学生自主解答并展示答案，教师引导学生分析答案的准确性和方法的合理性。
步骤四：归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结垂径定理的要点和证明方法。
2. 学生自主进行笔记整理，并将重点、难点等内容记录下来。
步骤五：拓展延伸（10分钟）1. 学生个人或小组自主探索垂径定理在其他几何问题中的应用。
2. 学生将其拓展的问题和解决思路进行分享和讨论。
步骤六：作业布置（5分钟）1. 布置相关练习题作为课后作业，并要求学生在完成作业的过程中思考垂径定理的应用和证明方法。
教学反思：通过本节课的教学，学生对垂径定理有了较好的理解和掌握，能够应用垂径定理解决实际问题，并能运用相关的证明方法进行推理。
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圆第2课垂径定理导学案
第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径
［学习目标］
1．理解圆的轴对称性；
2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明.
知识链接
一、知识链接（阅读课本P81-82完成以下内容）
1.圆的对称性：圆既是图形也是图形，对称轴是，有条；对称中心是
2.垂径定理:垂直于弦的,并且平分弦所对的弧。
3.垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径
二、自主学习[Tip:辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
]
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的
是（）．
A．CE=DE B．BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
(图1) (图2) (图3) （图4）
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）
A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm
4．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
二、合作探究
1.如图6，AB是O的直径，弦CD^AB，垂足为E，如果AB=20,CD=16,那么线段OE的
长为（
A. 10
B. 8
C. 6
D.4
A （图6）
（图7）
（图8）（图9）
2.如图7，在O中，若AB^MN于点C， AB为直径,试填写出三个你认为正确的结论：
，， .
3. P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为；最长弦长
为．
4. 如图8，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP= ．
第 1 页共 1 页）
5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?
解：连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F
【课堂检测】
1、如图2-1，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于
度.
图2-1 图2-2
2、如图2-2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，
则OM＝ .
3、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .
4．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。
【整理学案】
第 2 页共 2 页。