【高一】山东省青岛市西海岸新区2017-2018学年高一《数学》12“冬学”学科竞赛测试试题及答案

山东省青岛市西海岸新区2017-2018学年高一数学12月“冬学”学科竞赛测试试题一、选择题（满分60分）1．满足{}{}5,11=⋃A 的所有集合A 的个数（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．把函数x y cos =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移4π个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 （ ）A. x y 2sin 2=B. x y 2sin 2-=C. ⎪⎭⎫⎝⎛+=42cos 2πx y D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=421cos 2πx y 3.已知0)](log [log log 234=x ，那么21-x等于（ ）A ． 13 B ． C ． D ．4.若α是第四象限角，且2cos2sin212cos2sinαααα-=-，则2α是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5.已知函数2)(xx e e x f --= ，则关于函数)(x f 的说法正确的是（ ）A.是奇函数，且在),0(+∞上是减函数B.是奇函数，且在),0(+∞上是增函数C.是偶函数，且在),0(+∞上是减函数D.是偶函数，且在),0(+∞上是增函数6.方程112-=-xe x的实数解所在的区间是（ ）. 7.若函数的图象经过第一、第四象限，那么函数的图象经过 ( )A.一、二象限B.二、三象限C.一、四象限D.二、四象限8.设函数()a x ax y a ++=2log 的定义域是R 时,a 的取值范围为集合M ;它的值域是R时, a 的取值范围为集合N ,则下列表达式中正确的是A. N M ⊂B. M N R =C. M N =∅D. M N =9. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定的规则加入相关的数据组成传输信息，设定原信息为210a a a ，{}1,0∈i a （2,1,0=i ），传输信息为12100h a a a h ，其中100a a h ⊕=，201a h h ⊕=，⊕运算规则为：000=⊕，110=⊕，101=⊕，011=⊕，例如原信息为111，则传输信息为01111；传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（ )A. 11010B.01100C.10111D. 0111110.函数xx x x ee e e y ---+=的图象大致为()11.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,20,log 21x x x x f x 若关于x 的方程()k x f =有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．(]1,0 12.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足()()x f x f -=+3,且在区间]23,0[上是增函数,若方程m x f =)()0(<m 在区间[]6,6-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=A ．6-B ． 6C ．8-D ．8 二、填空题(满分20分)： 13. 把函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象向左平移m 个单位()0>m ，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．14.已知1ln ,0()1,0x xf x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则不等式()1f x >-的解集为 .15. 定义新运算⊕：当b a ≥时，a b a =⊕；当b a <时，2b b a =⊕，则函数()()()x x x x f ⊕-⋅⊕=21，[]2,2-∈x 的最大值等于_________16. 如图,函数()⎪⎭⎫⎝⎛<<>+=20,0,sin πϕϕw wx A y 的图象 的一部分，则该函数的解析式为_________________ 三、解答题(满分70分) 17. （本小题满分12分）已知()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----． （１）化简()f α （２）若31cos()25πα-=，求()f α的值18. （本小题满分12分）某港口的水深y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：经过长期观测， ()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+ （1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？ 19．（本小题满分12分） 已知函数()()ϕω-=x x f 2cos 21,()πϕ<<>0,0w 相邻的两最高点之间的距离为π，且图象过点⎪⎭⎫⎝⎛21,6π （1）求函数()x f y =的解析式；（2）求函数()x f y =的单调递增区间及对称中心.（3）将函数()x f y =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()x g y =的图象，求函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的最大值和最小值．20. （本小题满分12分）已知函数()(0,)x xe af x a a R a e =+>∈是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）证明函数()f x 在[0,)+∞上是增函数．21．（本小题满分12分）设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2+-=ax x x f ，R a ∈.（1）若5lg )1(=f ，求)(x f 的解析式；（2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++⋅k f k f xx 恒成立，求实数k 的取值范围22. （本小题满分10分）函数2()23f x x ax a =-+-.(Ⅰ) 若()f x 在区间[1,2]-上是单调函数，求实数a 的取值范围； (Ⅱ) 若()f x 存在零点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若()f x 在区间(1,2)-上存在零点，求实数a 的取值范围.青西新区胶南一中高一数学竞赛题参考答案一、选择题 BBCBB BACCA DB 二、填空题 13.12π 14.{}10-<<<x e x x 或 15.6 16.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin 3πx y 17.解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=- （2）∵31cos()25πα-= ∴ 1sin 5α-= 从而1sin 5α=-∴562sin 1cos 2±=-±=αα18.解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，137102h +==，13732A -== 且相隔9小时达到一次最大值说明周期为9，因此29T πω==，29πω=， 故2()3sin109f t t π=+ (024)t ≤≤ （2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即23sin 1011.59t π+≥ ∴21sin92t π≥ 2522696k t k πππππ+≤≤+ 解得：3159944k t k +≤≤+ k Z ∈又 024t ≤≤ 当0k =时，33344t ≤≤；当1k =时，3391244t ≤≤；当2k =时，33182144t ≤≤故船舶安全进港的时间段为(0:453:45)-，(9:4512:45)-，(18:4521:45)-19.解：(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)， 所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－12cos φ＝12sin2x sin φ＋12cos2x cos φ ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)， 又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，12，所以12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1， 又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以4x ∈[]0，π，因此4x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，故－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3≤1.所以y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14.20.解：（1） ()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，即x x x x e a e aa e a e --+=+，…2分 整理得11)()0x x a e ae --=（，得10a a-=，又0a >，1a ∴=．…………5分 （2）由（1）得1()xx f x e e=+．设120x x ≤<，∴12121211()()))x x x x f x f x e e e e -=+-+（（=121212)(1)x x x x x x e e e e ++--（；…………8分 120x x ≤< ，120x x ∴+>，12120,1x x x x e e e +∴-<>，121212)(1)0x x x x x x e e e e ++--∴<（，即12()()0f x f x -<，∴12()()f x f x <；…………………………………………………………………11分所以函数()f x 在[0,)+∞上是增函数． …………………………………………12分 21.解：（1）6,5lg )11lg()(,5lg )1(==-==a a x f f 所以则因为所以 故又时，当,0)0(),106lg()()(02=++-=--=<f x x x f x f x⎪⎩⎪⎨⎧<++-=>+-=0),106lg(0,00),106lg()(22x x x x x x x x f(2)0)14()2()(0>+++∙=k f k f R x f a x x 上单调递增，故在，则若等价于恒成立，在于是，另),0(01),0(201422+∞>+++>=>+++k kt t t t k k x x x1)(2+++=k kt t t g 设（1）0<∆时，解得：222222+<<+-k ；（2）时0≥∆，⎪⎩⎪⎨⎧><-0)0(02g k，解的0>k综上，222+->k。