2020届高考数学一轮总复习第三单元导数及其应用第15讲导数的概念及运算练习理含解析新人教A版

合集下载

2020版高考数学一轮总复习第三单元导数及其应用教案全集含解析

导数的概念及运算1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程． 3．能根据导数的定义，求一些简单函数的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)平均变化率：函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率ΔyΔx＝ f x0＋Δx －f x 0Δx.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0 ΔyΔx 通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(3)函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，称作f (x )的导函数，记作 y ′或f ′(x ) .2. 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率 .曲线在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) . 3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式 ①C ′＝ 0 (C 为常数)； ②(x n)′＝ nxn －1(n ∈Q )；③(sin x )′＝ cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(a x)′＝ a xln a (a >0且a ≠1)；⑥(e x )′＝ e x； ⑦(log a x )′＝1x ln a(a >0且a ≠1)； ⑧(ln x )′＝ 1x.(2)导数的运算法则 ①和差的导数[f (x )±g (x )]′＝ f ′(x )±g ′(x ) . ②积的导数[f (x )·g (x )]′＝ f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) . ③商的导数 [f xg x]′＝ fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0)．热身练习1．若f (x )＝2x 2图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 等于(C)A ．3＋2ΔxB ．4＋ΔxC ．4＋2ΔxD ．3＋ΔxΔy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2(1＋Δx )2－2＝2[2Δx ＋(Δx )2]，所以Δy Δx ＝4＋2Δx .2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f＋Δx －f2Δx等于(C)A ．f ′(1) B．2f ′(1) C.12f ′(1) D．f ′(2)因为f (x )可导，所以lim Δx →0f＋Δx －f2Δx ＝12lim Δx →0 f ＋Δx －fΔx ＝12f ′(1)． 3．下列求导运算中正确的是(B) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2 B ．(lg x )′＝1x ln 10C ．(ln x )′＝xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x(x ＋1x )′＝1－1x 2，故A 错；(ln x )′＝1x，故C 错；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 错．4．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 2x －y －2＝0 .因为y ′＝2x，y ′| x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.5．(1)(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为 3 .(2)y ＝xx ＋1，则y ′x ＝2＝ 19.(1)因为f ′(x )＝2e x＋(2x ＋1)e x＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. (2)因为y ′＝(x x ＋1)′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝1x ＋2，所以y ′x ＝2＝1＋2＝19.导数的概念利用导数的定义求函数f (x )＝1x ＋2的导数．因为Δy ＝1x ＋Δx ＋2－1x ＋2＝－Δx x ＋Δx ＋x ＋，所以Δy Δx＝－1x ＋Δx ＋x ＋，所以f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0[－1x ＋Δx ＋x ＋]＝－1x ＋x ＋＝－1x ＋2.利用定义求导数的基本步骤： ①求函数的增量：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； ②求平均变化率：Δy Δx＝fx ＋Δx －f xΔx；③取极限得导数：f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.1．设函数f (x )在x 0处可导，则li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx等于(B)A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－li mΔx →0f [x 0＋－Δx－f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．导数的运算求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x; (2)y ＝1＋sin x 1－cos x.(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝＋sin x－cos x －＋sin x－cos x－cos x2＝cos x－cos x －＋sin xx－cos x2＝cos x －sin x －1－cos x2.利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结构特点，准确运用常用的导数公式．2．(1)(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为 e .(2)设y ＝1＋cos x sin x ，则y ′π2＝－1 .(1)因为f (x )＝e xln x ，所以f ′(x )＝e xln x ＋ex x，所以f ′(1)＝e.(2)因为y ′＝＋cos x x －＋cos x xsin 2x＝－sin 2x －＋cos x os x sin 2x＝－1－cos xsin 2x，所以y ′π2＝－1.求切线方程(1)(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为____________________．(2)若曲线y ＝x ln x 存在斜率为2的切线，则该切线方程为________________．因为y′＝2x－1x2，所以y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.(2)因为y′＝ln x＋1，设切点为P(x0，y0)，则y′x＝x0＝ln x0＋1＝2，所以x0＝e，此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，所以切点为(e，e)．故所求切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.(1)x－y＋1＝0 (2)2x－y－e＝0(1)求切线方程有如下三种类型：①已知切点(x0，y0)，求切线方程；②已知切线的斜率k，求切线方程；③求过(x1，y1)的切线方程．其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理．(2)三种类型的求解方法：类型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切线方程．类型②，设出切点(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切线上，又在曲线上求解；类型③，先设出切点(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知点(x1，y1)在切线上求解．3．(2018·广州市模拟)已知直线y＝kx－2与曲线y＝x ln x相切，则实数k的值为(D) A．ln 2 B．1C．1－ln 2 D．1＋ln 2本题实质上是求曲线过点(0，－2)的切线问题，因为(0，－2)不是切点，可先设出切点，写出切线方程，再利用切线过(0，－2)得到所求切线方程．设切点为(x0，x0ln x0)，因为y′＝ln x＋1，所以k＝ln x0＋1，所以切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，因为切线过点(0，－2)，所以－2－x0ln x0＝－x0ln x0－x0，所以x0＝2，所以k＝ln 2＋1.1．函数y＝f(x)的导数实质上是“增量(改变量)之比的极限”，即f′(x)＝li mΔx→0Δy Δx＝li mΔx→0f x＋Δx－f xΔx.2．关于函数的导数，要熟练掌握基本导数公式和求导的运算法则，一般要遵循先化简再求导的基本原则．3．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若设点(x0，y0)是切线l与曲线C的切点，则有如下结论：①f′(x0)是切线l的斜率；②点(x0，y0)在切线l上；③点(x0，y0)在曲线C上．导数在函数中的应用——单调性1．了解函数的单调性与其导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数．如果f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)上为减函数．2．导数与函数单调性的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)的任意子集内都不恒等于0.如果f (x )在区间(a ，b )内单调递增，则在(a ，b )内f ′(x ) ≥ 0恒成立；如果f (x )在区间(a ，b )内单调递减，则在(a ，b )内f ′(x ) ≤ 0恒成立．热身练习1．“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的(A) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件f ′(x )>0在(a ，b )上成立⇒f (x )在(a ，b )上单调递增；反之，不一定成立，如y ＝x 3在(－1,1)上单调递增，但在(－1，1)上f ′(x )＝3x 2≥0.2．设f (x )＝2x 2－x 3，则f (x )的单调递减区间是(D) A ．(0，43) B ．(43，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)和(43，＋∞)f ′(x )＝4x －3x 2<0⇒x <0或x >43.3．函数f (x )＝(3－x 2)e x的单调递增区间是(D) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)因为f ′(x )＝－2x e x＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令f ′(x )>0，得x 2＋2x －3<0，解得－3<x <1.所以f (x )的单调递增区间为(－3,1)．4．设定义在区间(a ，b )上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如右图所示，其中x 1，x 2，x 3，x 4是f ′(x )的零点且x 1<x 2<x 3<x 4.则(1)f (x )的增区间为 (a ，x 1)，(x 2，x 4) ； (2)f (x )的减区间为 (x 1，x 2)，(x 4，b ) .5.(2019·福建三明期中)函数f (x )＝x 3－3bx ＋1在区间[1,2]上是减函数，则实数b 的取值范围为 [4，＋∞) .因为f ′(x )＝3x 2－3b ≤0，所以b ≥x 2，要使b ≥x 2在[1,2]上恒成立，令g (x )＝x 2，x ∈[1,2]，当x ∈[1,2]，1≤g (x )≤4，所以b ≥4.利用导数求函数的单调区间函数f (x )＝x 2－2x －4ln x 的单调递增区间是____________．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x，由f ′(x )>0，得x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1(舍去)．所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．(2，＋∞)求可导函数f (x )的单调区间的步骤： ①求函数f (x )的定义域； ②求导数f ′(x )；③解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④确定函数y ＝f (x )的单调区间：使f ′(x )＞0的x 的取值区间为增区间，使f ′(x )＜0的x 的取值区间为减区间．1．(2017·全国卷Ⅱ节选)设函数f (x )＝(1－x 2)e x.讨论f (x )的单调性．f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x.令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．已知函数的单调性求参数的范围(经典真题)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞) D．[1，＋∞)依题意得f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝1x，因为x >1，所以0<g (x )<1，所以k ≥1，即k 的取值范围为[1，＋∞)．D函数f (x )在(a ，b )上单调递增，可转化为f ′(x )≥0在该区间恒成立，从而转化为函数的最值(或值域)问题．2．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是(C)A ．[－1,1]B ．[－1，13]C ．[－13，13]D ．[－1，13](方法一)因为f (x )在(－∞，＋∞) 单调递增，所以f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，即f ′(x )＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，令cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则等价于：g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0对t ∈[－1,1]恒成立．等价于⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋13≥0，a ＋13≥0，所以－13≤a ≤13.即a 的取值范围为[－13，13]．(方法二：特殊值法)取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，因为f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A ，B ，D.故选C.利用导数求含参数的函数的单调区间已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，令f ′(x )>0，得x >a . 令f ′(x )<0，得0<x <a .所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(1)当函数的解析式中含有参数时，如果参数对导函数的符号有影响或导数的零点是否在定义域内不确定时，要对参数进行分类讨论．(2)讨论时，首先要看f ′(x )的符号是否确定，再看f ′(x )的零点与定义域的关系． (3)画出导函数的示意图有助于确定单调性．3．(2017·全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .讨论f (x )的单调性．f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋ax ＋x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈(0，－12a )时，f ′(x )＞0；当x ∈(－12a，＋∞)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减．(1)求f(x)的定义域，并求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(3)确定函数y＝f(x)的单调区间：使f′(x)＞0的x的取值区间为增区间，使f′(x)＜0的x的取值区间为减区间．在求单调区间时，要注意如下两点：①要注意函数的定义域；②当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时，不能把这些区间取并集．2．已知函数在区间上单调，求其中的参数时，要注意单调性与导数的关系的转化．即：(1)如果f(x)在区间[a，b]单调递增⇒f′(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立；(2)如果f(x)在区间[a，b]单调递减⇒f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立．3．处理含参数的单调性问题，实质是转化为含参数的不等式的解法问题，但要注意在函数的定义域内讨论．导数在函数中的应用——极值与最值1．掌握函数极值的定义及可导函数的极值点的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)．2．会研究一些简单函数的极值．3．会利用导数求一些函数在给定区间上的最值．知识梳理1．函数的极值(1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)＜f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值.①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．2．函数的最值(1)(最值定理)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数f(x)在(a，b)内的极值.②将f(x)的极值和端点的函数值比较，其中最大的一个为最大值；最小的一个为最小值.热身练习1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(A)A．1个 B．2个C．3个 D．4个因为f′(x)与x轴有4个交点，即f′(x)＝0有4个解，但仅左边第二个交点x＝x0满足x＜x0时，f′(x)＜0；x＞x0时，f′(x)＞0，其他交点均不符合该条件．2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(C) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件因为函数f(x)在x＝x0处可导，所以若x＝x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，所以q⇒p，故p是q的必要条件；反之，以f (x )＝x 3为例，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．所以p q ．故p 不是q 的充分条件．3．(2016·四川卷)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝(D) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，所以当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．所以f (x )在x ＝2处取得极小值，所以a ＝2.4．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(C) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17 D ．9，－19令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.f (1)＝1－3＋1＝－1，f (－1)＝－1＋3＋1＝3， f (－3)＝－17，f (0)＝1.所以最大值为3，最小值为－17. 5．(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为 2 .f ′(x )＝x －－x x －2＝－1x －2，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.求函数的极值、最值求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值．因为f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.(1)求可导函数f (x )的极值的步骤： ①确定函数的定义域，求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程根左、右值的符号；④作出结论：如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．(2)求可导函数f (x )在[a ，b ]上最值的步骤： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )各极值与f (a )，f (b )比较，得出f (x )在[a ，b ]上的最值．1．求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[－3,3]上的最大值与最小值．由例1可知，在[－3,3]上，当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.又f (－3)＝7，f (3)＝1，所以f (x )在[－3,3]上的最大值为283，最小值为－43.含参数的函数的极值的讨论已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值．由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x >0)可知(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f ′(x )的零点的存在； (2)参数是否影响f ′(x )不同零点的大小； (3)参数是否影响f ′(x )在零点左右的符号．如果有影响，则要分类讨论．2．(2018·银川高三模拟节选)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R )．讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数．f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点．当a >0时，由f ′(x )<0得0<x <1a ；由f ′(x )>0得x >1a.所以f (x )在(0，1a )上递减，在(1a，＋∞)上递增，所以f (x )在x ＝1a处有极小值．所以当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点，当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点．含参数的函数的最值讨论已知函数f (x )＝ln x －ax (a >0)，求函数f (x )在[1,2]上的最大值．f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.(1)当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1,2]上是减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝－a .(2)当1a ≥2时，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .(3)当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在[1，1a ]上是增函数，在[1a ，2]上是减函数．所以f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1.综上可知：当0<a ≤12时，f (x )max ＝ln 2－2a ；当12<a <1时，f (x )max ＝－ln a －1；当a ≥1时，f (x )max ＝－a .(1)求函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内使f ′(x )＝0的点和区间端点的函数值，最后比较即可．(2)当函数f (x )中含有参数时，需要依据极值点存在的位置与所给区间的关系，对参数进行分类讨论．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a >0)，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.(1)当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1,2]上是减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝ln 2－2a .(2)当1a ≥2时，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝－a .(3)当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在[1，1a ]上是增函数，在[1a ，2]上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，f (x )min ＝f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )min ＝f (2)＝ln 2－2a . 综上可知：当0<a <ln 2时，函数f (x )min ＝－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )min ＝ln 2－2a .1．求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定f(x)的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值可按如下步骤进行：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值和最小值．3．求含参数的极值，首先求定义域；然后令f′(x)＝0，解出根，根据根是否在所给区间或定义域内进行参数讨论，并根据左右两边导函数的正负号，从而判断f(x)在这个根处取极值的情况．4．含参数的最值，首先按照极值点是否在所给区间对参数进行讨论，然后比较区间内的极值和端点值的大小．导数的综合应用——导数与不等式1．能够构造函数利用导数证明一些简单的不等式和解某些不等式．2．会将恒成立问题及存在性问题转化为最值问题进行求解．知识梳理1．如果不等式f(x)≥g(x)，x∈[a，b]恒成立，则转化为函数φ(x)＝f(x)－g(x)在x ∈[a，b]内的最小值≥0.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”) 2．若f′(x)>0，x∈[a，b]，且x0∈(a，b)有f(x0)＝0，则f(x)>0的x的取值范围为(x0，b) ，f(x)<0的x的取值范围为(a，x0) .3．若f(x)>m在x∈[a，b]上恒成立，则函数f(x)在x∈[a，b]的最小值>m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)若f (x )<m 在x ∈[a ，b ]上恒成立，则函数f (x )在x ∈[a ，b ]的最大值 <m .(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)4．若f (x )>m 在x ∈[a ，b ]有解，则函数f (x )在x ∈[a ，b ]的最大值 >m .(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)热身练习1．对于∀x ∈[0，＋∞)，则e x与1＋x 的大小关系为(A) A ．e x≥1＋x B ．e x<1＋xC ．e x＝1＋x D ．e x与1＋x 大小关系不确定令f (x )＝e x－(1＋x )，因为f ′(x )＝e x－1，所以对∀x ∈[0，＋∞)，f ′(x )≥0，故f (x )在[0，＋∞)上递增，故f (x )≥f (0)＝0，即e x≥1＋x .2．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )>0，则必有(B) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)>2f (1) C ．f (0)＋f (2)＝2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)的大小不确定依题意，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故当x ＝1时，f (x )取最小值，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，所以f (0)＋f (2)>2f (1)．3．已知定义在R 上函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且x >0时，f ′(x )<0，则f (x )>0的解集为(A)A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又x >0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )>0的解集为(－∞，0)．4．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在[1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 [－2，＋∞).因为h′(x)＝2＋kx2，且h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h′(x)＝2＋kx2≥0，所以k≥－2x2，要使k≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，则只要k≥(－2x2)max，所以k≥－2.5．设f(x)＝－x2＋a，g(x)＝2x.(1)若∀x∈[0,1]，f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围为[3，＋∞)；(2)若∃x∈[0,1]，f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围为[0，＋∞).(1)F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2－2x＋a(x∈[0,1])．则[F(x)]min＝F(1)＝－3＋a.因为“若∀x∈[0,1]，f(x)≥g(x)”等价于“[F(x)]min≥0，x∈[0,1]”，所以－3＋a≥0，解得a≥3.所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2－2x＋a(x∈[0,1])．则[F(x)]max＝F(0)＝a.因为“若∃x∈[0,1]，f(x)≥g(x)”等价于“[F(x)]max≥0，x∈[0,1]”，所以a≥0.所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．利用导数解不等式若f(x)的定义域为R，f′(x)>2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)>2x＋4的解集为A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)令g(x)＝f(x)－2x－4，因为g′(x)＝f′(x)－2>0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以f(x)>2x＋4⇔g(x)>g(－x>－1.所以f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．B利用导数解不等式的基本方法：(1)构造函数，利用导数研究其单调性；(2)寻找一个特殊的函数值；(3)根据函数的性质(主要是单调性，结合图象)得到不等式的解集．1．(2018·遂宁模拟)已知f(x)为定义在(－∞，0)上的可导函数，2f(x)＋xf′(x)>x2恒成立，则不等式(x＋2018)2f(x＋2018)－4f(－2)>0的解集为(B)A．(－2020,0) B．(－∞，－2020)C．(－2016,0) D．(－∞，－2016)构造函数F(x)＝x2f(x)，x<0，当x<0时，F′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，因为2f(x)＋xf′(x)>x2≥0，所以F′(x)≤0，则F(x)在(－∞，0)上递减．又(x＋2018)2f(x＋2018)－4f(－2)>0可转化为(x＋2018)2f(x＋2018)>(－2)2f(－2)，即F(x＋2018)>F(－2)，所以x＋2018<－2，所以x<－2020.即原不等式的解集为(－∞，－2020)．利用导数证明不等式已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x.当x∈[0,1]时，求证：f(x)≤11＋x.要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤11＋x，只需证明e x≥x＋1.记k(x)＝e x－x－1，则k′(x)＝e x－1，当x∈(0,1)时，k′(x)>0，因此，k(x)在[0,1]上是增函数，故k(x)≥k(0)＝0，所以f(x)≤11＋x，x∈[0,1]．(1)证明f(x)>g(x)的步骤：①构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；②研究F(x)的单调性或最值；③证明F (x )min >0.(2)注意：其中构造函数是将不等式问题转化为函数问题．为了利用导数研究函数的性质，常用分析法．．．将要证明的不等式进行适当变形或化简，然后构造相应的函数．2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x－ln x －1.证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.当a ≥1e 时，f (x )≥exe －ln x －1.设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e xe －1x .当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e时，f (x )≥0.已知不等式恒成立求参数的范围已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x .若∀x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围．f (x )≤g (x ) ⇔7x 2－28x －c ≤2x 3＋4x 2－40x ⇔c ≥－2x 3＋3x 2＋12x ，所以原命题等价于c ≥－2x 3＋3x 2＋12x 在x ∈[－3,3]上恒成立．令h (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x ，x ∈[－3,3]，则c ≥h (x )max . 因为h ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12＝－6(x －2)(x ＋1)，当x 变化时，h ′(x )和h (x )在[－3,3]上的变化情况如下表：单调递减单调递增单调递减易得h (x )max ＝h (－3)＝45，故c ≥45.(1)已知不等式恒成立，求参数a 的范围，例如f (x )>g (x )在x ∈D 上恒成立，其主要方法是：①构造函数法：将不等式变形为f (x )－g (x )>0，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，转化为F (x )min >0.②分离参数法：将不等式变为a >h (x )或a <h (x )在x ∈D 内恒成立，从而转化为a >h (x )max或a <h (x )min .(2)注意：①恒成立问题常转化为最值问题，要突出转化思想的运用；②“f (x )max ≤g (x )min ”是“f (x )≤g (x )”的一个充分不必要条件，分析不等式恒成立时，要注意不等号两边的式子中是否是有关联的变量，再采取相应的策略．1．已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x .若∀x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围．此题与例3不同，例3中不等式两边的式子中均有相同的变化的未知量x ，故可先移项，直接进行转化；而此题中不等式两边的式子中的x 1，x 2相互独立，则等价于f (x 1)max ≤g (x 2)min.由∀x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，得f (x 1)max ≤g (x 2)min . 因为f (x )＝7x 2－28x －c ＝7(x －2)2－28－c ，当x 1∈[－3,3]时，f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c ；g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，g ′(x )＝6x 2＋8x －40＝2(3x ＋10)(x －2)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )在[－3,3]上的变化情况如下表：单调递减单调递增易得g (x )min ＝g (2)＝－48，故147－c ≤－48，即c ≥195.1．利用导数证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数F (x )＝f (x )－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明F(x)>0.其中要特别关注如下两点：(1)是直接构造F(x)，还是适当变形化简后构造F(x)，对解题的繁简有影响；(2)找到F(x)在什么地方可以等于零，往往是解决问题的一个突破口．2．利用导数解不等式的基本方法是构造函数，寻找一个函数的特殊值，通过研究函数的单调性，从而得出不等式的解集．3．处理已知不等式恒成立求参数范围的问题，要突出转化的思想，将其转化为函数的最值问题．已知f(x)>g(x)在x∈D上恒成立，求其中参数a的范围，其主要方法是：①构造函数法：将不等式变形为f(x)－g(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)min>0.②分离参数法：将不等式变为a>h(x)或a<h(x)在x∈D内恒成立，从而转化为a>h(x)max 或a<h(x)min.导数的综合应用——导数与方程1．能利用导数研究一般函数的单调性、极值与最值，获得对函数的整体认识．2．会利用导数研究一般函数的零点及其分布．知识梳理1．函数零点的有关知识(1)零点的概念：函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)几个常用结论：①f(x)有零点y＝f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)＝0有实数解.②F(x)＝f(x)－g(x)有零点y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点方程f(x)＝g(x)有实数解.③零点存在定理：f (x )在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )内至少有一个零点．2．利用导数研究函数零点的方法(1)研究y ＝f (x )的图象，利用数形结合的思想求解． (2)研究方程有解的条件，利用函数与方程的思想求解．热身练习1．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是(D)观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，所以对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．2．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的零点个数为(D)A ．0B ．1C ．2D ．3因为f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增由此可得到f (x )的大致图象(如下图)．由图可知f (x )有3个零点．3．若方程13x 3－4x ＋4＋a ＝0有3个不同的解，则a 的取值范围为(B)A ．(－43，283)B ．(－283，43)C ．[－43，283]D ．[－283，43]13x 3－4x ＋4＋a ＝0有3个不同的解⇔f (x )＝13x 3－4x ＋4与g (x )＝－a 有3个不同的交点．利用第2题图可知，－43<－a <283，即－283<a <43.4．若函数g (x )＝13x 3－4x ＋4＋a 的图象与x 轴恰有两个公共点，则a ＝(B)A.283或－43 B ．－283或43C ．－283或283D ．－43或43g (x )＝13x 3－4x ＋4＋a 与x 轴恰有两个公共点⇔方程13x 3－4x ＋4＋a ＝0有2个不同的解⇔f (x )＝13x 3－4x ＋4与φ(x )＝－a 有2个不同的交点．利用第2题图可知，－a ＝－43或－a ＝283，所以a ＝－283或a ＝43.5．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是(C) A ．(－∞，ln 2) B ．(ln 2，＋∞) C ．(－∞，2ln 2－2] D ．[2ln 2－2，＋∞)(方法一)因为f′(x)＝e x－2，令e x－2＝0得，e x＝2，所以x＝ln 2，当x∈(－∞，ln 2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝ln 2时，f(x)取最小值f(x)min＝2－2ln 2＋a.要f(x)有零点，所以a≤2ln 2－2.(方法二)函数f(x)＝e x－2x＋a有零点，即关于x的方程e x－2x＋a＝0有实根，即方程a＝2x－e x有实根．令g(x)＝2x－e x(x∈R)，则g′(x)＝2－e x.当x<ln 2时，g′(x)>0；当x>ln 2时，g′(x)<0.所以当x＝ln 2时，g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2，所以函数g(x)的值域为(－∞，2ln 2－2]．所以a的取值范围为(－∞，2ln 2－2]．利用导数研究三次函数的零点及其分布已知函数f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，则f(x)的零点的个数是A．0或1 B．1或2C．2 D．3(方法一：从函数角度出发，研究f(x)的图象与x轴的交点)因为f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增由此可得到f(x)的大致图象(如图)，由a≥16得，a＋16>0，a－16≥0，当a＝16时，f(x)的图象与x轴有2个交点；当a>16时，f(x)的图象与x轴只有1个交点．所以f(x)的零点个数为1或2.(方法二：从方程角度出发，利用函数与方程的思想)f(x)＝x3－12x＋a的零点个数⇔方程x3－12x＝－a的解的个数⇔g(x)＝x3－12x与h(x)＝－a的交点个数．画出g(x)＝x3－12x与h(x)＝－a的图象．由g′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增所以g(x)的图象如右图所示：因为a≥16，所以y＝－a≤－16.由图可知直线y＝－a与y＝x3－12x的图象有1个或2个交点．B利用导数研究函数的零点的基本思路： (1)研究y ＝f (x )的图象，利用数形结合的思想求解； (2)研究f (x )＝0有解，利用函数与方程的思想求解．1．(经典真题)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为(B)A ．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)当a ＝0时，不符合题意．a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a.若a >0，由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．若a <0，由图象结合f (0)＝1>0知，此时必有f (2a )>0，即a ×8a 3－3×4a2＋1>0，化简得a 2>4，又a <0，所以a <－2.利用导数研究超越方程的根及其分布已知函数f (x )＝x －a e x(a ∈R )，x ∈R .已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求a 的取值范围．由f (x )＝x －a e x，可得f ′(x )＝1－a e x. 下面分两种情况讨论：(1)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (2)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：这时，f (x )的单调递增区间是(－∞，－ln a )；单调递减区间是(－ln a ，＋∞)．于是，“函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立： ①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0； ③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0. 由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1，而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；而当x ∈(－ln a ，＋∞)时，由于x →＋∞时，e x 增长的速度远远大于x 的增长速度，所以一定存在s 2∈(－ln a ，＋∞)满足f (s 2)<0.另法：取s 2＝2a ＋ln 2a ，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝(2a －e 2a )＋(ln 2a －e 2a)<0.所以a 的取值范围是(0，e －1)．函数的零点是导数研究函数的性质的综合应用，要注意如下方面： (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质； (2)数形结合思想方法的应用；(3)函数零点存在定理及根的分布知识的应用．2．(2018·广州模拟节选)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2(a ≠0)，若函数f (x )恰有一个零点，求实数a 的取值范围．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋ax.①当a >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，取x 0＝e －1a ，则f (e －1a )＝－1＋(e －1a)2<0，(或：因为0<x 0<a 且x 0<1e 时，所以f (x 0) ＝a ln x 0 ＋x 20 < a ln x 0＋a <a ln 1e ＋a ＝0.)因为f (1)＝1，所以f (x 0)·f (1)<0，此时函数f (x )有一个零点．②当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a2. 当0<x <－a 2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，－a2)上单调递减，当x >－a2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－a2，＋∞)上单调递增．要使函数f (x )有一个零点，则f (－a2)＝a ln －a 2－a2＝0，即a ＝－2e. 综上所述，若函数f (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a >0.利用导数研究两函数图象的交点问题已知函数f (x )＝x ＋a x (a ∈R )，g (x )＝ln x ．若关于x 的方程g xx 2＝f (x )－2e(e 为自然对数的底数)只有一个实数根，求a 的值．由g x x 2＝f (x )－2e ，得ln x x 2＝x ＋ax－2e ，化为ln x x＝x 2－2e x ＋a .问题转化为函数h (x )＝ln x x与m (x )＝x 2－2e x ＋a 有一个交点时，求a 的值．由h (x )＝ln x x ，得h ′(x )＝1－ln x x2.令h ′(x )＝0，得x ＝e. 当0<x <e 时，h ′(x )>0；当x >e 时，h ′(x )<0. 所以h (x )在(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减．所以当x ＝e 时，函数h (x )取得最大值，其值为h (e)＝1e .而函数m (x )＝x 2－2e x ＋a ＝(x －e)2＋a －e 2，当x ＝e 时，函数m (x )取得最小值，其值为m (e)＝a －e 2.所以当a －e 2＝1e ，即a ＝e 2＋1e 时，方程g x x 2＝f (x )－2e 只有一个实数根．(1)利用f (x )＝g (x )的解⇔y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，可将方程的解的问题转化为两函数图象的交点问题，从而可利用数形结合的思想方法进行求解．(2)在具体转化时，要注意对方程f (x )＝g (x )尽量进行同解变形，变到两边的函数是熟悉的形式或较简单的形式，以便于对其图象特征进行研究．3．(经典真题)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2，由题意得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题意知1－k >0，当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )，h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．1．利用导数研究函数的零点及其零点分布问题的基本步骤： (1)构造函数，并确定定义域； (2)求导，确定单调区间及极值； (3)作出函数的草图；(4)根据草图直观判断函数的零点的情况或得到零点所满足的条件． 2．处理函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象的交点问题，常用方法有： (1)数形结合，即分别作出两函数的图象，考察交点情况；。

2020届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数与积分教师用书理(PDF,含解析)

对应学生用书起始页码Ｐ４０
考点一导数的概念及其几何意义高频考点
考点二定积分的运算及应用
１．导数的几何意义函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处的导数就是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，
ｆ（ｘ０））处的切线的斜率．２．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象在ｘ＝ｘ０处的切线方程为ｙ－ｆ（ｘ０）＝
１．定积分的性质
∫ ∫ ｂ
ｂ
（１）ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋｆ（ｘ）ｄｘ（ｋ为常数）；
ａ
ａ
∫ ∫ ∫ ｂ
ｂ
ｂ
（２）［ｆ１（ｘ） ±ｆ２（ｘ）］ｄｘ＝ｆ１（ｘ）ｄｘ± ｆ２（ｘ）ｄｘ；
ａ
ａ
ａ
∫ ∫ ∫ ｃ
ｂ
ｂ
（３）ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ（ａ＜ｃ＜ｂ）．
ａ
ｃ
ａ
２．微积分基本定理
一般地，如果ｆ（ｘ）是区间［ａ，ｂ］上的连续函数，并且Ｆ′（ｘ）＝
∫ｂ
ｆ（ｘ），那么ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ），这个结论叫做微积分基本定
ａ
理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式，为了方便，常常把Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）
∫ｂ
记作Ｆ（ｘ）
ｂａ
，即
ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）
ｆ ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）．３．几种常见函数的导数
原函数
导数
ｙ＝Ｃ（Ｃ为常数）
ｙ′ ＝０
ｙ＝ｘｎ（ｎ∈Ｎ∗ ）
ｙ′ ＝ｎｘｎ－１
ｙ＝ｓｉｎｘ
ｙ′ ＝ｃｏｓｘ
ｙ＝ｃｏｓｘ
ｙ′ ＝－ｓｉｎｘ

【精选高考】2019-2020高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及其运算练习理

§3.1导数的概念及运算考纲解读2017),y=x,y=,y=x分析解读本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.五年高考考点一导数的概念与几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案 A2.(2014陕西,10,5分)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x答案 A3.(2017天津,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案 14.(2017课标全国Ⅰ,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=05.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x6.(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a= .答案 17.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .答案88.(2014江西,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.答案(e,e)教师用书专用(9—15)9.(2014广东,11,5分)曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为.答案5x+y+2=010.(2013江西,11,5分)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= .答案 211.(2013广东,12,5分)若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .答案12.(2015山东,20,13分)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=.已知曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.解析(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为2,所以f '(1)=2,又f '(x)=ln x++1,所以a=1.(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-,当x∈(0,1]时,h(x)<0.又h(2)=3ln 2-=ln 8->1-1=0,所以存在x0∈(1,2),使得h(x0)=0.因为h'(x)=ln x++1+,所以当x∈(1,2)时,h'(x)>1->0,当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,所以当x∈(1,+∞)时,h(x)单调递增.所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,且x∈(0,x0)时, f(x)<g(x),x∈(x0,+∞)时, f(x)>g(x),所以m(x)=当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],m(x)≤0;若x∈(1,x0),由m'(x)=ln x++1>0,可知0<m(x)≤m(x0);故m(x)≤m(x0).当x∈(x0,+∞)时,由m'(x)=,可得x∈(x0,2)时,m'(x)>0,m(x)单调递增;x∈(2,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,可知m(x)≤m(2)=,且m(x0)<m(2).综上可得函数m(x)的最大值为.13.(2014山东,20,13分)设函数f(x)=aln x+,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解析(1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞),此时f '(x)=,可得f '(1)=,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f '(x)=+=.当a≥0时,f '(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).①当a=-时,Δ=0,f '(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当-<a<0时,Δ>0,设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,则x1=,x2=.由于x1==>0,所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)单调递减,x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f '(x)>0,函数f(x)单调递增,x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)单调递减.综上可得:当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-<a<0时,f(x)在,上单调递减,在上单调递增.14.(2014北京,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)解析(1)由f(x)=2x3-3x得f '(x)=6x2-3.令f '(x)=0,得x=-或x=.因为f(-2)=-10, f=, f=-, f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2-3x0,且切线斜率为k=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).g(x)与g'(x)的变化情况如下表:所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值.当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点. 当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点. 当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,因为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点. 综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.15.(2013北京,18,13分)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.(1)若曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.解析由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f '(x)=x(2+cos x).(1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,所以f '(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1.(2)令f '(x)=0,得x=0.f(x)与f '(x)的情况如下:所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(0)=1是f(x)的最小值.当b≤1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;当b>1时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b,所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b.由于函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点. 综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+∞).考点二导数的运算1.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.答案 32.(2015天津,11,5分)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f '(x)为f(x)的导函数.若f '(1)=3,则a的值为.答案 3三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一导数的概念与几何意义1.(2018广东佛山一中期中考试,11)已知f(x)=(x+a)e x的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直,则a=( )A.-1B.0C.1D.2答案 A2.(2017四川名校一模,6)已知函数f(x)的图象如图, f '(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( )A.0<f '(2)<f '(3)<f(3)-f(2)B.0<f '(3)<f '(2)<f(3)-f(2)C.0<f '(3)<f(3)-f(2)<f '(2)D.0<f(3)-f(2)<f '(2)<f '(3)答案 C3.(2017湖北百所重点高中联考,4)已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 A4.(2018福建六校联考,13)曲线y=e x-e在A(1,0)处的切线方程是.答案y=ex-e5.(2018河北“名校联盟”高三教学质量监测,16)设函数y=f(x)在其图象上任意一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(3-6x0)(x-x0),且f(3)=0,则不等式≥0的解集为.答案(-∞,0)∪(0,1]∪(3,+∞)6.(2017湖南衡阳八中期中,14)曲线f(x)=xe x在点(1,f(1))处的切线的斜率是.答案2e7.(2017广东韶关六校联考,14)已知函数f(x)=ln x-ax2,且曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率是-,则a= .答案8.(2016北京东城期中,16)若过曲线f(x)=xln x上的点P的切线斜率为2,则点P的坐标为.答案(e,e)9.(人教A选1—1,三,2,B1,变式)已知函数f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,则a= ,切线方程为.答案;x-2ey+e2=0考点二导数的运算10.(2018福建福安一中测试,6)已知f(x)=e-x+ex的导函数为f '(x),则f '(1)=( )A.e-B.e+C.1+D.0答案 A11.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f '(x),且满足f(x)=2xf '(1)+ln,则f(1)=( )A.-eB.2C.-2D.e答案 B12.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=3cos xB.f(x)=x3+x2C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=e x+x答案 C13.(2016河北衡水中学二调,10)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )A.1B.C.D.答案 BB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018福建福州八县联考,9)函数f(x)=4x3-6x2+a的极大值为6,那么f(a-5)的值是( )A.6B.5C.4D.3答案 C2.(2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,10)设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f '[f(0)(x)], f(2)(x)=f '[f(1)(x)],……, f(n)(x)=f '[f(n-1)(x)],则f(1)(15°)+f(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(2 017)(15°)的值是( )A. B. C.0 D.1答案 A3.(2016江西赣中南五校2月第一次联考,11)已知函数f n(x)=x n+1,n∈N的图象与直线x=1交于点P,若图象在点P 处的切线与x轴交点的横坐标为x n,则log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012的值为( )A.-1B.1-log2 0132 012C.-log2 0132 012D.1答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)4.(2017山西名校联考,16)设函数f(x)=且f '(-1)=f '(1),则当x>0时,f(x)的导函数f '(x)的极小值为.答案 25.(2017天津红桥期中联考,16)若曲线f(x)=ax5+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案(-∞,0)三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2018广东惠州一调,21)设函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;(2)当x≥1时,不等式f(x)-≥恒成立,求a的取值范围.解析(1)根据题意可得,f(e)=,f '(x)=,所以f '(e)==-,所以曲线在点(e,f(e))处的切线方程为y-=-(x-e),即x+e2y-3e=0.(2)根据题意可得,f(x)--=≥0在x≥1时恒成立,令g(x)=ln x-a(x2-1)(x≥1),所以g'(x)=-2ax,当a≤0时,g'(x)>0,所以函数y=g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,所以不等式f(x)-≥成立,故a≤0符合题意;当a>0时,令-2ax=0,解得x=(舍负),令=1,解得a=,①当0<a<时,>1,所以在上,g'(x)>0,在上,g'(x)<0,所以函数y=g(x)在上单调递增,在上单调递减,g=ln-a=-ln a-+a,令h(a)=-ln a-+a,则h'(a)=-++1=,易知h'(a)>0恒成立,又0<a<, 所以h(a)<h=-ln-2+=ln 2-<0,所以存在g<0,所以0<a<不符合题意;②当a≥时,≤1,g'(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函数y=g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(1)=0,显然a≥不符合题意.综上所述,a的取值范围为{a|a≤0}.7.(2017皖南八校12月联考,21)已知函数f(x)=e x-ax2-2ax-1.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;(2)当x>0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=e x-x2-2x-1,f(-1)=,所以切点坐标为,f '(x)=e x-2x-2,所以f '(-1)=,故曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-=[x-(-1)],即y=x+.(2)对f(x)=e x-ax2-2ax-1求导得f '(x)=e x-2ax-2a,令g(x)=f '(x)=e x-2ax-2a(x>0),则g'(x)=e x-2a(x>0).①当2a≤1,即a≤时,g'(x)=e x-2a>1-2a≥0,所以g(x)=f '(x)=e x-2ax-2a在(0,+∞)上为增函数,所以g(x)>g(0)=1-2a≥0,则f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)>f(0)=1-0-0-1=0,故a≤时符合题意.②当2a>1,即a>时,令g'(x)=e x-2a=0,得x=ln 2a>0,当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表,当x∈(0,ln 2a)时,g(x)<g(0)=1-2a<0,即f '(x)<0.所以f(x)在(0,ln 2a)上为减函数,所以f(x)<f(0)=0,与条件矛盾,故舍去.综上,a的取值范围是.8.(2017河南新乡第一次调研,20)已知函数f(x)=e x-x2+2ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=e x-x2+2x,f '(x)=e x-2x+2,∴f '(1)=e,f(1)=e+1,∴所求切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.(2)f '(x)=e x-2x+2a,∵f(x)在R上单调递增,∴f '(x)≥0在R上恒成立,∴a≥x-在R上恒成立.令g(x)=x-,则g'(x)=1-,令g'(x)=0,得x=ln 2,∵在(-∞,ln 2)上,g'(x)>0,在(ln 2,+∞)上,g'(x)<0,∴g(x)在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,∴a≥ln 2-1,∴实数a的取值范围为[ln 2-1,+∞).C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求函数的导数的方法1.(2018河南许昌、平顶山联考,3)已知f(x)是偶函数,在(-∞,0)上满足xf '(x)>0恒成立,则下列不等式成立的是( )A.f(-3)<f(4)<f(-5)B.f(4)<f(-3)<f(-5)C.f(-5)<f(-3)<f(4)D.f(4)<f(-5)<f(-3)答案 A2.(2017辽宁大连期中联考,6)已知函数f(x)=x2 008,则f '=( )A.0B.1C.2 006D.2 007答案 B方法2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程3.(2018河南天一大联考,10)已知f(x)是定义在R上的单调函数,满足f[f(x)-e x]=1,则曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为( )A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1答案 A4.(2016辽宁实验中学分校期中,20)已知函数f(x)=x3-x2+bx+a(a,b∈R),其导函数f '(x)的图象过原点.(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;(2)若存在x<0,使得f '(x)=-9,求a的最大值;解析(1)f '(x)=x2-(a+1)x+b,由题意得f '(0)=0,故b=0.所以f '(x)=x(x-a-1).当a=1时,f(x)=x3-x2+1,f '(x)=x(x-2),故f(3)=1,f '(3)=3.故函数f(x)的图象在x=3处的切线方程为y-1=3(x-3),即3x-y-8=0.(2)由f '(x)=-9,得x(x-a-1)=-9.当x<0时,-a-1=-x-=(-x)+≥2=6,所以a≤-7.当且仅当x=-3时,a=-7,故a的最大值为-7.。

2020版高考数学一轮总复习第三单元导数及其应用课时1导数的概念及运算课件文新人教A版

(2)因为 y′＝ln x＋1，设切点为 P(x0，y0)，则 y′x＝x0＝ln x0＋1＝2，所以 x0＝e，此时 y0＝x0ln x0＝eln e＝e，所以切点为(e，e)．故所求切线方程为 y－e＝2(x－e)，即 2x－y－e＝0.
点评：(1)求切线方程有如下三种类型： ①已知切点(x0，y0)，求切线方程； ②已知切线的斜率 k，求切线方程； ③求过(x1，y1)的切线方程．其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型① 进行处理．
1．函数 y＝f(x)的导数实质上是“增量(改变量)之比的极
限”，即
f′(x)＝liΔmx→0
ΔΔyx＝liΔmx→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
2．关于函数的导数，要熟练掌握基本导数公式和求导的运
算法则，一般要遵循先化简再求导的基本原则．
为
.
解：因为 y′＝2x，y′x＝1 ＝2，所以切线方程为 y－0＝2(x－1)，即 y＝2x－2.
5．(1)(2016·天津卷)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex,f′(x)为 f(x)
的导函数,则 f′(0)的值为
.；
(2)y＝x＋x 1，则 y′x＝2＝________.
解：(1)因为 f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex,
3．导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 ①C′＝__0____(C 为常数)； ②(xn)′＝_n_x_n_－_1_ (n∈Q)； ③(sin x)′＝_c_o_s_x__；
④(cos x)′＝ ___－__s_i_n_x____；
⑤(ax)′＝___a_xl_n_a__ (a>0 且 a≠1)； ⑥(ex)′＝___ex__； ⑦(logax)′＝________ (a>0 且 a≠1)； ⑧ (ln x)′＝________.

2020届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件新人教A版

由点(x0,y0)在直线 y=12x+b 上,可得 ln 2=12×2+b,解得 b=-1+ln 2.
-21-
考点1
考点2
解题心得1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和过某点的切线.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(xx0);求过某点的切线方程,需先设出切点的坐标,再依据已知点在切线上求解.
2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ �� →0
Δ�� Δ��
=
��
��x→0
��(��0+Δ��)-��(��0)为函数
Δ��
-15-
考点1
考点2
对点训练 1 分别求下列函数的导数:
(1)y=x2sin x; (3)y=coes��;
(2)y=xln x+e��; (4)y=ln(2x-5).
解 (1)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x.
6.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y'x= y'u·u'x ,即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积.
-7-
知识梳理双基自测
12345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.

2020届高考数学一轮第三篇导数及其应用专题.导数的概念及运算练习

专题3.1导数的概念及运算【考试要求】1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表. 【知识梳理】1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 【微点提醒】1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 【解析】(1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.【教材衍化】2.(选修2－2P19B2改编)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9 B.－3 C.9 D.15【答案】 C【解析】因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9.3.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2. 【答案】－9.8t ＋6.5 －9.8【解析】 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 【真题体验】4.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2B.1C.ln 2D.e【答案】 B【解析】 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x＝2 019＋ln x .由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________. 【答案】 e【解析】由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x·1x，则f ′(1)＝e.6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为________.【答案】 y ＝x ＋1【解析】设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x2，所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)，即y ＝x ＋1. 【考点聚焦】考点一导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数【例1－1】分别求下列函数的导数： (1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x . 【答案】见解析【解析】(1)y ′＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋exx＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)因为y ＝ln 1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝( ) A.－e B.2C.－2D.e【答案】 B【解析】由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 【规律方法】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________.(2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 【答案】 (1)1－12cos x (2)－4【解析】 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 考点二导数的几何意义角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x【答案】 D【解析】因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.【答案】 (1)A (2)(1，1)【解析】 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x，∴曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x(x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1).角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________. 【答案】 (1)B (2)－8【解析】 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x.因为x ＞0，所以2－1x＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).(2)f ′(x )＝1－ax2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8.【规律方法】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 【答案】 (1)D (2)y ＝2x【解析】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax .根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2. 当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1). (2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 【反思与感悟】1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. 【易错防范】1.求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a xln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )[g (x )]2，(cos x )′＝sin x ；③复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x )′＝3xln 3 B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x 【答案】 C 【解析】因为⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误.2.(2019·日照质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2B.eC.ln 22D.ln 2【答案】 B【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 3.函数y ＝x 3的图象在原点处的切线方程为( ) A.y ＝x B.x ＝0 C.y ＝0D.不存在【答案】 C【解析】函数y ＝x 3的导数为y ′＝3x 2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y －0＝0(x －0)，即y ＝0.4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A.1秒末B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末【答案】 D【解析】 s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义知v ＝s ′(t )，令s ′(t )＝0，得t ＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零.5.(2019·南阳一模)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( ) A.7 B.4 C.0 D.－4【答案】 A【解析】 ∵f (x )＝x －g (x )，∴f ′(x )＝1－g ′(x )，又由题意知f (2)＝－3，f ′(2)＝－1， ∴g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7.6.已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( )A.e －1eB.2e －1eC.e －12eD.2e －12e【答案】 B【解析】 ∵y ′＝a e x＋1，∴在点(1，a e ＋1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行，∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1e.7.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A ，C ；又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.8.(2019·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A.ln 2 B.1 C.1－ln 2D.1＋ln 2【答案】 D【解析】由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)(x 0>0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0，则ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1. 二、填空题9.已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________. 【答案】 (－2，9)【解析】由题意得f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2， ∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2，9).10.(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________. 【答案】 1【解析】 f (1)＝a ，切点为(1，a ).f ′(x )＝a －1x，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.11.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________. 【答案】－94【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.12.已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________. 【答案】 6x －y －5＝0【解析】由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7， ∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab＝( ) A.1 B.0C.－1D.－2【答案】 D【解析】由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a－b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a，故ab ＝－2. 14.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】 [－2，－1]【解析】当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时，由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 15.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________.【答案】 22【解析】设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)， ∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离，即为|1－0|1＋1＝22. 16.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 [2，＋∞)【解析】 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x－a ＝0有解， ∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号). 【新高考创新预测】17.(新定义题型)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数.已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 【解析】因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，因为f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。

江苏省2020版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第15课导数的概念及运算课件苏教版

3. 导数是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具，它常与方程、不等式等内容交叉渗透、自然交汇．这类问题的解决，首先利用导数判断其单调性(对方程而言首先构造函数)，然后画出草图，利用数形结合的思想，并根据图象与 x 轴的交点情况，建立参数方程组或不等式组求之．复习时要求学生领会应用函数和导数解决问题的思想方法，并将知识融会贯通．
4. 求下列函数的导数．
(1) y＝x x；【解答】y′＝(x x)′＝(x32)′＝32x32－1＝32 x. (2) y＝x14；【解答】y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3) y＝5 x3；【解答】 y′＝(5 x3)′＝(x35)′＝35x35－1＝35x－25＝553x2 .
【解析】y′＝(3sin xcos x＋4)′＝3(cos2x－sin2x)＝3cos 2x.
5. (选修 1－1P73 习题 2 改编)函数 f(x)＝exx的导函数为___f′__(_x_)＝__e_x_x_x－_2_1_____．【解析】f′(x)＝exx′＝exxx－2 ex＝exxx－2 1.
(2) 求第 t s 末的瞬时速度 v(t)．【解答】因为ΔΔht ＝ht＋ΔΔtt－ht
＝[2t＋Δt2＋3t＋Δt＋1]－2t2＋3t＋1 Δt
＝4tΔt＋2Δt2＋3Δt Δt
＝2Δt＋4t＋3，因此当 Δt→0 时，ΔΔht →4t＋3，所以第 t s 末的瞬时速度 v(t)＝4t＋3.
4. 已知函数 f(x)＝f′π2sinx＋cosx，那么 fπ4＝____0____. 【解析】由题知 f′(x)＝f′π2cosx－sinx，则 f′π2＝－1，所以 f(x)＝－sinx＋cosx，则 fπ4＝0.

2020届高考数学一轮总复习第三单元导数及其应用第15讲导数的概念及运算练习理(含解析)新人教A版

第15讲导数的概念及运算1．(2019·江西赣州期中试卷)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为(C) A ．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D．(－1,0)x >0，f ′(x )＝2x －2－4x＝2x －2x ＋1x>0，所以x ∈(2，＋∞)．2．(2018·西安市长安一中第六次质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝(B)A ．－1B ．0C ．2D ．4由图象可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13，且f (3)＝1.因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为(D)A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x(方法1)因为f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，所以f ′(x)＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，所以a ＝1，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . (方法2)因为f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .4．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是(A)A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ，y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则存在x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ，y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，因为x ＞0，所以不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ，y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ，y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 综上所述，选A.5．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝__－3__．因为y ′＝(ax ＋a ＋1)e x，所以当x ＝0时，y ′＝a ＋1，所以a ＋1＝－2，得a ＝－3.6．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f [f (0)]＝ 2 ；li m Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝－2 .(用数字作答)f [f (0)]＝f (4)＝2.因为直线AB 的方程为y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)，所以y ′＝－2. 所以li m Δx→0f 1＋Δx －f 1Δx＝f ′(1)＝－2.7．(2018·佛山一模节选)已知函数f (x )＝(x －a )ln x ＋12x ，(其中a ∈R )．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝12x ，求a 的值．f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x －a x ＋32，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12x 0，y 0＝（x 0－a ）ln x 0＋12x 0，ln x 0－a x 0＋32＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧（x 0－a ）ln x 0＝0，ln x 0－a x 0＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ，a ＝1，所以a ＝1.8．(2018·广东七校联考)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是(A)因为f ′(x )＝cos x －x sin x ，所以f ′(0)＝1，所以排除C 、D ，令g (x )＝cos x－x sin x ，则g ′(x )＝－2sin x －x cos x ，当x ∈(0，π2)时，g ′(x )<0，所以g (x )即f ′(x )在(0，π2)上单调递减，所以排除B ，故选A.9．(2018·重庆七校联考)若对于曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为 [－1,2] .设曲线f(x)和g(x)的切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，易知k1＝－e x1－1，k2＝a－2sin x2，x1，x2∈R，因为l1⊥l2，所以(－e x1－1)·(a－2sin x2)＝－1，即a－2sin x2＝1e x1＋1.令u(x2)＝a－2sin x2，v(x1)＝1e x1＋1，则它们的值域分别为[a－2，a＋2]与(0,1)，由题意知，对任意的x1，总存在x2，使得上述等式成立，所以(0,1)⊆[a－2，a＋2]，所以a－2≤0且a＋2≥1，即－1≤a≤2.所以a的取值范围为[－1,2]．10．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入，得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.又由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1，在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，存在k＝0，使直线m：y＝9既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线．。

名师导学高考数学总复习第三章导数及其应用第15讲导数的概念及运算练习理含解析新人教A版

名师导学高考数学总复习第三章导数及其应用第15讲导数的概念及运算练习理含解析新人教A版第三章导数及其应用知识体系【p33】第15讲导数的概念及运算夯实基础【p33】【学习目标】1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝C(C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．【基础检测】1．—个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是( )A ．6米/秒B ．7米/秒C ．8米/秒D ．9米/秒【解析】物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2， s′＝－1＋2t ，s′|t ＝5＝9. 【答案】D2．已知函数f(x)＝sin x －x ，则f′(0)＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2【解析】由函数的解析式可得：f′(x)＝cos x －1，则f ′(0)＝cos 0－1＝1－1＝0. 【答案】A3．已知曲线f(x)＝x 2＋2x 上一点A(2，8)，则lim f （2－Δx ）－f （2）2Δx＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6【解析】由题得f′(x)＝2x ＋2, ∴f′(2)＝6，limf （2－Δx ）－f （2）2Δx ＝－12lim f （2－Δx ）－f （2）－Δx ＝－12×6＝－3.【答案】B 4．曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．【解析】y ＝e－5x＋2的导数y′＝－5e－5x，则在x ＝0处的切线斜率为－5e 0＝－5，切点为(0，3)，则在x ＝0处的切线方程为：y ＝－5x ＋3，即为5x ＋y －3＝0. 【答案】5x ＋y －3＝0 5．若函数f(x)＝f′(1)e x －1－f(0)x ＋x 2，则f′(1)＝________．【解析】f′(x)＝f′(1)e x －1－f(0)＋2x ，则f′(1)＝f′(1)－f(0)＋2，所以f(0)＝2，故f(x)＝f′(1)ex －1－2x ＋x 2，则有f(0)＝f′(1)e －1，解得f′(1)＝2e .【答案】2e 【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率用__Δy Δx __表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1. (2)函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率是：Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. 2．导数的概念(1)函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f′(x 0)或y′|x＝x 0，即f′(x 0)＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数f′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f′(x)是x 的一个函数，称f′(x)为f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f(x)上__点(x 0，f(x 0))处切线__的斜率k ，即k ＝__f′(x 0)__；切线方程为__y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)__．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f(t)，则f′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的__瞬时速度__．4．基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数①(C)′＝__0__(C 为常数); ②(x)′＝__1__； ③(x 2)′＝__2x__；④⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝__－1x 2__；⑤(x )′＝．(2)初等函数的导数公式 ①(x n)′＝__nxn －1__；②(sin x)′＝__cos __x__；③(cos x)′＝__－sin __x__；④(e x)′＝__e x__； ⑤(a x )′＝__a xln __a__；⑥(ln x)′＝__1x __；⑦(log a x)′＝__1x ln a __．5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__；(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)__；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝__f′（x ）·g（x ）－f （x ）·g′（x ）[g （x ）]2(g(x)≠0)__．6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f(u)和u ＝g(x))的复合函数为y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为__y′x ＝y′u ·u′x __，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．典例剖析【p 34】考点1 导数的运算法则及应用例1求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x－2x＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1.【解析】(1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y′＝18x 2－10x －4.(2)y′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2xsin x ＋x 2cos x. (3)y′＝(3x e x)′－(2x)′＋e′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′ ＝3x e xln 3＋3x e x－2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e )x－2xln 2.(4)y′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2xln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2.【点评】求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．考点2 复合函数的导数例2求下列函数的导数： (1)y ＝(2x ＋1)5； (2)y ＝1（1－3x ）4；(3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (4)y ＝xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (5)y ＝x 1＋x 2.【解析】(1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y′＝y′u ·u′x ＝(u 5)′u ·(2x ＋1)′x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4. (2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y′x ＝y′u ·u′x ＝(u －4)′u ·(1－3x )′x ＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12（1－3x ）5.(3)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(4)∵y ＝xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12xsin (4x ＋π)＝－12xsin 4x ，∴y′＝－12sin 4x －12x·4cos 4x ＝－12sin 4x －2xcos 4x.(5)y′＝(x 1＋x 2)′＝x′·1＋x 2＋x·(1＋x 2)′＝1＋x 2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.【点评】求复合函数的导数，关键在于分析函数的复合关系，适当确定中间变量，然后“由外及内”逐层求导．考点3 导数运算的应用例3(1)若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(1)x ＋3，则( ) A ．f (0)<f (4) B ．f (0)＝f (4) C ．f (0)>f (4) D ．以上都不对【解析】函数的导数f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，故f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，函数的对称轴为x ＝2，则f (0)＝f (4)．【答案】B(2)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x(2x －2)＋f (x )，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x (x ＋1)B ．f (x )＝e x(x －1) C ．f (x )＝e x(x ＋1)2D ．f (x )＝e x (x －1)2【解析】令G (x )＝f （x ）ex，则G ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）ex＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ， ∵G (0)＝f (0)＝1.∴c ＝1.∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2. 【答案】D(3)在直角坐标系xOy 中，点A (2，1)，B (3，0)，E (x ，0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )【解析】函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0，2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0，2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是下凸的；当x ∈(2，3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2，3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．【答案】D【点评】函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．考点4 导数的几何意义例4(1)函数f (x )＝ln x ＋x 2－bx ＋a (b>0，a∈R )的图象在点(b ，f (b ))处的切线斜率的最小值是( )A ．2 2 B. 3 C ．1 D ．2【解析】∵f ′(x )＝1x ＋2x －b ，∴k ＝f ′(b )＝1b ＋b ≥21b·b ＝2，当且仅当b ＝1时取等号，因此切线斜率的最小值是2.【答案】D(2)设函数f(x)＝2x3＋(a＋3)x sin x＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )A．y＝－x B．y＝－2xC．y＝－4x D．y＝－3x【解析】∵函数f(x)＝2x3＋(a＋3)x sin x＋ax为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即2(－x)3＋(a＋3)(－x)sin(－x)＋a·(－x)＝－2x3＋(a＋3)x sin x－ax.∴a＋3＝0，即a＝－3.∴f(x)＝2x3－3x，则f′(x)＝6x2－3.∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝－3.∵f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝－3x.【答案】D(3)过点(e，－e)作曲线y＝e x－x的切线，则切线方程为( )A．y＝(－1－e)x＋e2B．y＝(e－1)x－e2C．y＝(e e＋1－1)x－e e＋2D．y＝(e e－1)x－e e＋1【解析】由y＝e x－x，得y′＝e x－1，设切点为(x0，e x0－x0)，则y′|x＝x0＝e x0－1，∴切线方程为y －e x 0＋x 0＝(e x 0－1)(x －x 0)， ∵切线过点(e ，－e)， ∴－e x 0＝e x 0(e －x 0)，解得：x 0＝e ＋1. ∴切线方程为y －e e ＋1＋e ＋1＝(ee ＋1－1)(x －e －1)，整理得：y ＝(e e ＋1－1)x －e e ＋2.【答案】C(4)设对函数f (x )＝－e x－x 图象上任意一点处的切线为l 1，若总存在函数g (x )＝ax ＋2cos x 图象上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．(－1，2)C ．[－2，1]D ．(－2，1)【解析】f (x )＝－e x－x ，则f ′(x )＝－e x－1， ∵e x＋1>1，∴－e x －1<－1，由g (x )＝ax ＋2cos x ，可得g ′(x )＝a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2，2]， ∴a －2sin x ∈[－2＋a ，2＋a ]，要使得过曲线f (x )＝－e x－x 上任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋a ≤0，2＋a ≥1，解得－1≤a ≤2. 即实数a 的取值范围是[－1，2]．【答案】A【点评】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f （x 1），y 0－y 1＝f ′（x 1）（x 0－x 1）求解即可．方法总结【p 35】1．应用基本初等函数的导数公式进行导数计算时应注意：①公式(x n)′＝nx n －1中，n为有理数；②公式(a x)′＝a xln a ，(log a x )′＝1x ln a 与(e x )′＝e x，(ln x )′＝1x，清楚地区分和熟记．2．复合函数的导数计算关键是联想基本初等函数，准确地通过中间量对复合函数进行分拆，同时最后结果是关于x 的函数解析式．3．导数的几何意义是高考考查的热点问题，应特别注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”意义完全不一样，前者点P 不一定是切点，而后者点P 一定是切点，且在曲线上．走进高考【p 35】1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x【解析】由f (x )为奇函数易知a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以直线y ＝f (x )在(0，0)处的切线方程为y ＝x .【答案】D2．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________．【解析】y ′＝a e x＋(ax ＋1)e x，则f ′(0)＝a ＋1＝－2，所以a ＝－3. 【答案】－3考点集训【p 192】A 组题1．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )A.194 B.174 C.154 D.134【解析】由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.【答案】D2．设函数f (x )可导，则f （1＋Δx ）－f （1）3Δx等于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)【解析】根据函数f (x )在x ＝x 0处导数定义，f ′(1)＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝3·f （1＋Δx ）－f （1）3Δx，∴f （1＋Δx ）－f （1）3Δx ＝13·f ′(1)．【答案】C3．下列求导①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x2；③(e 2x )′＝2e 2x；④⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝1＋ln x x2，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】(sin x )′＝cos x ，故①错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，故②错误； (e 2x)′＝2e 2x，故③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＝（ln x ）′·x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x 2，故④错误．正确的有一个．【答案】B4．求曲线f (x )＝x －2ln x 在点A (1，f (1))处的切线方程( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＋2＝0【解析】f ′(x )＝1－2x，所以f ′(1)＝－1，f (1)＝1，所以切线方程为y －1＝－(x －1)，化简得x ＋y －2＝0.【答案】A5．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)·cos x －ax 在(0，f (0))处的切线的倾斜角为45°，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．3【解析】求出导函数f ′(x )＝cos x x ＋1－ln(x ＋1)·sin x －a ，又函数f (x )＝ln(x ＋1)·cos x －ax 在(0，f (0))处的切线的倾斜角为45°， ∴1－a ＝1，即a ＝0. 【答案】C6．若函数f (x )＝x e x＋f ′(1)x 2，则f ′(1)＝________．【解析】∵函数f (x )＝x e x ＋f ′(1)x 2， ∴f ′(x )＝e x ＋x e x＋2f ′(1)x ，∴f ′(1)＝e ＋e ＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2e. 【答案】－2e7．设函数f (x )＝ex1＋ax 2，其中a >0.若对于任意x ∈R ，f ′(x )≥0，则实数a 的取值范围是________．【解析】由题可知，f ′(x )＝e x （ax 2－2ax ＋1）（1＋ax 2）2，令g (x )＝ax 2－2ax ＋1，则g (x )与f ′(x )符号相同， ∵对于任意x ∈R ，f ′(x )≥0， ∴对于任意x ∈R ，g (x )≥0恒成立，又∵a >0，根据二次函数的图象与性质，得Δ＝(－2a )2－4a ≤0，解得0＜a ≤1， ∴实数a 的取值范围是(0，1]．【答案】(0，1]8．已知函数f (x )＝ln x ＋m x.(1)当函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线4y －x ＋1＝0垂直时，求实数m 的值； (2)若x ≥1时，f (x )≥1恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝1x －mx2，∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝1－m ，函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线4y －x ＋1＝0垂直，又因为直线4y －x ＋1＝0的斜率为14.∴14(1－m )＝－1， ∴1－m ＝－4，∴m ＝5.(2)依题意可得不等式ln x ＋m x≥1在x ≥1时恒成立，即m ≥x －x ln x 在x ≥1时恒成立．设g (x )＝x －x ln x (x ≥1)．则g ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x ≤0，所以函数g (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴g (x )≤g (1)＝1－1·ln 1＝1. ∴m ≥1.B 组题1．已知直线l ：x －ty －2＝0(t ≠0)与函数f (x )＝exx(x >0)的图象相切，则切点的横坐标为( )A ．2± 2B ．2±2 2C ．2D ．1＋ 2【解析】由f (x )＝e xx (x >0)可得f ′(x )＝e x（x －1）x2，设切点坐标为(m ，n )(m >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m －tn －2＝0，e m m ＝n ，e m（m －1）m 2＝1t ，解得m ＝2±2.【答案】A2．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________．①f (x )＝x 2；②f (x )＝e －x；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝tan x ；⑤f (x )＝1x.【解析】①f ′(x )＝2x ，x 2＝2x 得x ＝0或x ＝2，有“巧值点”；②f ′(x )＝－e －x，e－x＝－e －x无解，无“巧值点”；③f ′(x )＝1x ，方程ln x ＝1x有解，有“巧值点”；④f ′(x )＝1cos 2x ，方程tan x ＝1cos 2x 无解，无“巧值点”；⑤，方程f ′(x )＝－1x 2，方程1x ＝－1x2有解，x ＝－1，有“巧值点”．【答案】①③⑤3．已知函数f (x )，x ∈(0，＋∞)的导函数为f ′()x ，且满足xf ′()x －2f ()x ＝x 3e x，f (1)＝e －1，则f (x )在()2，f ()2处的切线方程为____________．【解析】∵xf ′()x －2f ()x ＝x 3e x，∴xf ′()x －2f ()x x 3＝e x.令g ()x ＝f ()x x 2，则g ′()x ＝xf ′()x －2f ()x x 3＝e x， ∴g ()x ＝f ()x x 2＝e x＋c (c 为常数)， ∴f ()x ＝x 2()e x＋c ，又f ()1＝e ＋c ＝e －1，∴c ＝－1. ∴f ()x ＝x 2()e x－1，∴f ′()x ＝2x ()e x－1＋x 2e x＝()x 2＋2x e x－2x ，∴f ′()2＝8e 2－4.又f ()2＝4()e 2－1，∴所求切线方程为y －4()e 2－1＝()8e 2－4()x －2，即y ＝()8e 2－4x －12e 2＋4.【答案】y ＝()8e 2－4x －12e 2＋44．设函数f (x )＝x ln x －ax 2＋(b －1)x ，g (x )＝e x－e x (e 为自然对数的底数)． (1)求g (x )在(1，0)处的切线方程；(2)当b ＝0时，函数f (x )有两个极值点，求a 的取值范围；(3)若y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，且函数h (x )＝f (x )＋g (x )在x ∈(1，＋∞)时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围．【解析】(1)由题得g ′(x )＝e x－e ，∴k ＝g ′(1)＝e －e ＝0，所以切线方程为y ＝0.(2)当b ＝0时，f (x )＝x ln x －ax 2－x ，f ′(x )＝ln x －2ax ，所以f (x )＝x ln x －ax 2－x 有两个极值点就是方程ln x －2ax ＝0有两个解，即y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有两个．∵m ′(x )＝1－ln x x2，当x ∈(0，e)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；当x ∈(e，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．m (x )有极大值1e，又因为x ∈(0，1]时，m (x )≤0；当x ∈(1，＋∞)时，0＜m (x )＜1e.当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫12e ，＋∞时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x 的图象的交点有0个；当a ∈(－∞，0]或a ＝12e 时，y ＝2a 与m (x )＝ln xx 的图象的交点有1个；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e 时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x 的图象的交点有2个；综上a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e .(3)函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0且f (1)≠0，因为f ′(x )＝ln x －2ax ＋b ，所以b ＝2a 且a ≠1；h (x )＝x ln x －ax 2＋(b －1)x ＋e x －e x 在x ∈(1，＋∞)时，其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当x >1时，h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＞0恒成立，即ln x ＋e x－2ax ＋2a －e>0，令t (x )＝ln x ＋e x －2ax ＋2a －e ，∴t ′(x )＝1x＋e x－2a ，设φ(x )＝1x ＋e x －2a ，φ′(x )＝e x－1x2，因为x >1，所以e x>e ，1x2＜1，∴φ′(x )＞0，∴φ(x )在(1，＋∞)单调递增，即t ′(x )在(1，＋∞)单调递增， ∴t ′(x )＞t ′(1)＝1＋e －2a ，当a ≤1＋e 2且a ≠1时，t ′(x )≥0，所以t (x )＝ln x ＋e x－2ax ＋2a －e 在(1，＋∞)单调递增， ∴t (x )>t (1)＝0成立；当a >1＋e 2时，因为t ′(x )在(1，＋∞)单调递增，所以t ′(1)＝1＋e －2a <0，t ′(ln 2a )＝1ln 2a＋2a －2a >0，所以存在x 0∈(1，ln 2a )有t ′(x 0)＝0，当x ∈(1，x 0)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，所以有t (x 0)<t (1)＝0，t (x )>0不恒成立；所以实数a 的取值范围是(－∞，1)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋e 2.。

2023年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用1导数的概念及其意义导数的运算练习含解析

导数的概念及其意义、导数的运算考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y .f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )． 5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－f ′x [f x ]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x＋1x在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x－1x2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案－1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x，则f ′(x )＝________.答案1x －1－e 1－x题型一导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x ln 2xB ．(x 2e x)′＝2x ＋e xC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x2答案 AD解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ，故A 正确；(x 2e x)′＝(x 2＋2x )e x，故B 错误；⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确． (2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ，则f (2021)－f (0)等于( ) A ．e 2021cos2021 B ．e2021sin2021C.e 2 D ．e答案 B解析因为f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ，所以f (x )＝e xsin x ＋k (k 为常数)，所以f (2021)－f (0)＝e2021sin2021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ，当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2，得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2.题型二导数的几何意义命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2x ＋2－2x －1x ＋22＝5x ＋22，所以y ′|x ＝－1＝5－1＋22＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，将P (1,2)代入y ＝kx ＋1，可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵f (x )＝a ln x ＋b ，∴f ′(x )＝a x，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x(a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析由y ′＝a e x，若切点为(x 0，0e x a )，则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0， ∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x(2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ，又x →－∞时，φ(x )→0；x →＋∞时，φ(x )→－∞，∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)答案 C解析设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2， ∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(－∞，4]答案 C解析因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tanπ4＝1对于任意的x >0恒成立，即1x＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立，所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”．跟踪训练2(1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝ex －2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______．答案 [2，＋∞)解析直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x－2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)．题型三两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0B ．－1C ．3D ．－1或3 答案 D解析由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g x ＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3，所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞解析由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)，与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +，记f (x )＝12e2x x+，则f ′(x )＝122e(2)4x x x +-，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e24.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞. 延伸探究在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞解析由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e24，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切，故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析已知曲线y ＝e x在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,x x x y x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1，则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2B ．5C ．1D ．0 答案 C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a－1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x(e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________．答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设直线l 与f (x )＝e x的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x，∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x －1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln10)′＝0，∴C 错； (e 2x)′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sinπ＋cosπ＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433D.163答案 A解析当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b ＋c －a 的值为( ) A ．0B ．πC．－2D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x，g ′(x )＝－π2sin πx 2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0，又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点， ∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x－f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x－f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x－f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x－x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0，故A 错误，B 正确．设A (2，f (2))，B (3，f (3))，则f (3)－f (2)＝f 3－f 23－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上是凸函数的是( )A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x答案 ABC解析对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4，f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数；对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数；对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数；对D ，f (x )＝x e x，f ′(x )＝(x ＋1)e x，f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数．9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案－1解析因为f (x )＝x cos x ，所以f ′(x )＝cos x －x sin x ，f ′(π)＝cosπ－π·sinπ＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1. 10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e xcos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________. 答案 2 解析 f ′(x )＝－ax －1′ax －12＋e x cos x －e xsin x ＝－a ax －12＋e xcos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x，故f ′(x )＝(x 2)′2e x＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0，解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析函数f (x )＝x e x －1，则f ′(x )＝(x ＋1)ex －1，由题意可知，存在点c ∈[0,1]，使得f ′(c )＝f 1－f 01－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以ec －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象只有一个交点，所以ec －1＝11＋c，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1. 14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x的两条切线，则( ) A ．e b<a B ．e a<b C ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D解析方法一设切点(x 0，y 0)，y 0>0，则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x x 0－a ，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x(1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a(1－a ＋a )＝e a，当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x(1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a.方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a.15．若曲线y ＝14sin2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3B.π2C.2π3D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin2x ＋32cos 2x＝14sin2x ＋32×1＋cos2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝ex ＋m，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________．答案 (－∞，2ln2－2)解析由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧k 1＝1e x m +＝2x 2k 1>0，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1x 2－x 1＝x 22－1ex m+，故k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1，整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时，有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4，当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，21 故f (k )max ＝f (4)＝ln4－44－1＝2ln2－2，所以只需满足m <2ln2－2即可．。

2019-2020年高考数学一轮总复习第三章导数及应用题组训练15导数的概念及运算理

7．(xx ·山西名校联考 ) 若函数 f(x) 的导函数的图像关于 y 轴对称，则 f(x) 的解析式可能为
() A． f(x) ＝ 3cosx C． f(x) ＝ 1＋ sin2x
3
2
B． f(x) ＝ x ＋ x
D． f(x) ＝ ex＋ x
答案 C
解析 A 项中， f ′ (x) ＝－ 3sinx ，是奇函数，图像关于原点对称，不关于 y 轴对称； B 项中，
答案 C 11．(xx ·《高考调研》原创题
) 设函数 f(x) 在 (0 ，＋∞ ) 内可导，且 f(e x) ＝ x＋ ex，则 f ′
(2 017) ＝ ( )
A． 1
B． 2
1 C. 2 017
2 018 D. 2 017
答案 D 解析令 ex＝t ，则 x ＝lnt ，所以 f(t) ＝lnt ＋ t ，故 f(x) ＝lnx ＋ x.
令 v＝ 0，得 t 2－ 3t ＋ 2＝ 0， t 1＝1 或 t 2＝ 2.
2
x 5．(xx ·郑州质量检测 ) 已知曲线 y＝－ 3lnx 的一条切线的斜率为
2
2，则切点的横坐标为
()
A． 3
B． 2
1
C． 1
D. 2
答案 A
解析设切点坐标为 (x 0， y 0) ，且 x 0>0，
3
3
由 y′＝ x－ x，得
A． 4x－ y＋1＝ 0
B． 4x－y－ 1＝ 0
C． 6x－ y＋1＝ 0
D． 6x－y－ 1＝ 0
答案 D 1
解析将点 (1 ，5) 代入 y＝ 5x ＋ lnx 成立，即点 (1 ，5) 为切点．因为 y′＝ 5＋ x ，所以 y ′ | x ＝ 1

【数学】2020届高考数学一轮复习：第三章函数、导数及其应用

第三章⎪⎪⎪函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集设A ，B 是两个非空的集合对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数f ()和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法 y ＝f ()，∈A对应f ：A →B 是一个映射2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f ()，∈A 中，叫做自变量，的取值范围A 叫做函数的定义域；与的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f ()|∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是( ) A ．f ()＝2，g ()＝x 2B ．f ()＝(x )2x ，g ()＝x(x )2C ．f ()＝1，g ()＝(－1)0D ．f ()＝x 2－9x ＋3，g ()＝－3解析：选B 选项A 中，f ()＝2与g ()＝x 2的定义域相同，但对应关系不同；选项B 中，二者的定义域都为{|＞0}，对应关系也相同；选项C 中，f ()＝1的定义域为R ，g ()＝(－1)0的定义域为{|≠1}；选项D 中，f ()＝x 2－9x ＋3的定义域为{|≠－3}，g ()＝－3的定义域为R .2．若函数y ＝f ()的定义域为{|－3≤≤8，≠5}，值域为{y |－1≤y ≤2，y ≠0}，则y ＝f ()的图象可能是( )解析：选B 根据函数的概念，任意一个只能有唯一的y 值和它对应，故排除C 项；由定义域为{|－3≤≤8，≠5}排除A 、D 两项，故选B.3．函数f ()＝2x －1＋1x －2的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得≥0且≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x ＞1，则f (f (2))＝________. 解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1，所以f (f (2))＝1. 答案：15．已知函数f ()＝a 3－2的图象过点(－1,4)，则f (2)＝________. 解析：∵函数f ()＝a 3－2的图象过点(－1,4)， ∴4＝－a ＋2，∴a ＝－2，即f ()＝－23－2， ∴f (2)＝－2×23－2×2＝－20. 答案：－201．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f ()＝2的解为________．解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫log 212＝f (－1)＝0. 当＞0时，log 2＝2，得＝4；当≤0时，2＋＝2，得＝－2或＝1(舍去)．所以f ()＝2的解为－2或4. 答案：0 －2或42．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2＋5，则f ()＝________. 解析：令t ＝1x ， ∴＝1t . ∴f (t )＝1t 2＋5t .∴f ()＝5x ＋1x 2(≠0)．答案：5x ＋1x 2(≠0)考点一函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．y ＝x －12x－log 2(4－2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2＞0，解得∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．已知函数y ＝f (2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f ()的定义域为________．解析：因为y ＝f (2－1)的定义域为[－3，3]，所以∈[－3， 3 ]，2－1∈[－1,2]，所以y ＝f ()的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．若函数f ()＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________．解析：若函数f ()＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则2＋a ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2][谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f ()的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g ())的定义域由不等式a ≤g ()≤b 求出； ②若已知函数f (g ())的定义域为[a ，b ]，则f ()的定义域为g ()在∈[a ，b ]时的值域．考点二求函数的解析式(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝2＋1x 2，求f ()的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg ，求f ()的解析式；(3)已知f ()是二次函数，且f (0)＝0，f (＋1)＝f ()＋＋1，求f ()； (4)已知函数f ()满足f (－)＋2f ()＝2，求f ()的解析式．解：(1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f ()＝2－2，≥2或≤－2，故f ()的解析式是f ()＝2－2，≥2或≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又＞0，所以t ＞1，故f ()的解析式是f ()＝lg2x －1，＞1. (3)(待定系数法)设f ()＝a 2＋b ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f ()＝a 2＋b ，又由f (＋1)＝f ()＋＋1，得a (＋1)2＋b (＋1)＝a 2＋b ＋＋1，即a 2＋(2a ＋b )＋a ＋b ＝a 2＋(b ＋1)＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f ()＝122＋12，∈R .(4)(解方程组法)由f (－)＋2f ()＝2，① 得f ()＋2f (－)＝2－，② ①×2－②，得，3f ()＝2＋1－2－. 即f ()＝2x ＋1－2－x3.所以f ()的解析式是f ()＝2x ＋1－2－x3.[由题悟法]求函数解析式的4种方法[即时应用]1．已知函数f (－1)＝xx ＋1，则函数f ()的解析式为( ) A ．f ()＝x ＋1x ＋2B ．f ()＝x x ＋1 C ．f ()＝x －1xD ．f ()＝1x ＋2解析：选A 令－1＝t ，则＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2，即f ()＝x ＋1x ＋2. 2．若二次函数g ()满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g ()＝________. 解析：设g ()＝a 2＋b ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g ()＝32－2.答案：32－23．已知f ()满足2f ()＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3，则f ()＝________. 解析：∵2f ()＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3，① 把①中的换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f ()＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f ()＝2－1x (≠0)．答案：2－1x(≠0)考点三分段函数(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数与方程、不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的函数求值问题1．(2018·浙江五校联考)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x ≥0，3x ，x ＜0，则f (－2)＋f (4)＝( )A.109 B.19 C ．87D.7309解析：选B 由题意可得，f (－2)＋f (4)＝3－2＋4－4＝19.角度二：分段函数与方程、不等式问题2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜1，3x －7，x ≥1，则不等式f ()＜2的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－2,3)C ．(2,3)D ．(－3，－2)解析：选A 当＜1时，f ()＜2可化为log 2(1－)＜2，即0＜1－＜4，解得－3＜＜1；当≥1时，f ()＜2可化为3－7＜2，即3＜9，得1≤＜2.综上，不等式f ()＜2的解集为(－3,2)．3．(2019·嘉兴高三基础测试)设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝________，若f (f (a ))＝1，则实数a 的值为________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫23＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (1)＝2.对f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )＜1，2f (a )，f (a )≥1，当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1；当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1；当a ≥1时，f (a )＝2a ≥2＞1，∴f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3(3a －1)－1，a ＜23，23a －1，23≤a ＜1，22a，a ≥1，由f (f (a ))＝1，得3(3a －1)－1＝1，∴a ＝59＜23，符合题意；23a －1＝1，a ＝13＜23，舍去；22a ＝1不成立，舍去．故所求实数a 的值为59.答案：2 59[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起．[演练冲关]1．已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＋2x －2，x ≥0，f (x ＋3)，x ＜0，则f (－2 019)＝________.解析：因为当＜0时，f ()＝f (＋3)，所以f (－2 019)＝f (－3×673)＝f (0)＝10＋1＋20－2＝0.答案：02．(2018·浙江十校联盟适考)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a的值为________．解析：当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案：－33．(2018·杭州七校联考)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，－(x －1)2＋1，x ＜0，作出函数f ()的大致图象如图所示，由图象可知，函数f ()在R 上单调递增，由f (2－a 2)＞f (|a |)，得2－a 2＞|a |.当a ≥0时，有2－a 2＞a ，即(a ＋2)(a －1)＜0，解得－2＜a ＜1，所以0≤a ＜1；当a ＜0时，有2－a 2＞－a ，即(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2，所以－1＜a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是(－1,1)．答案：(－1,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·杭州调研)函数y ＝log 2(2－4)＋1x －3的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(2，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得＞2且≠3，所以函数y ＝log 2(2－4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2－5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B 令t ＝12－1，则＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74. 3．(2018·萧山质检)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.4．已知f ()满足f ⎝⎛⎭⎫3x －1＝lg ，则f ⎝⎛⎭⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得＝10，∴f ⎝⎛⎭⎫－710＝lg 10＝1. 答案：15．(2018·绍兴模拟)设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f (f ())＝1的解集为____________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＜0， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12. ∵＜0时，0＜e ＜1，＝0时，e ＝1， ∴当f ()≤0时，由方程f (f ())＝1，可得f ()＝0，即ln ＝0，解得＝1.当f ()＞0时，由方程f (f ())＝1，可得ln f ()＝1，f ()＝e ，即ln ＝e ，解得＝e e . 答案：12{1，e e }二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f ()＝||，若f (0)＝4，则0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B 当≥0时，f ()＝2，f (0)＝4，即20＝4，解得0＝2.当＜0时，f ()＝－2，f (0)＝4，即－20＝4，无解．所以0＝2，故选B.2．(2019·台州模拟)已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.3．(2018·金华模拟)函数f ()＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3， ∴3＜≤4或2＜＜3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．4．(2018·金华联考)若函数f ()的定义域是[1,2 019]，则函数g ()＝f (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．[0,2 018] B ．[0,1)∪(1,2 018] C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B 由题知，1≤＋1≤2 019，解得0≤≤2 018，又≠1，所以函数g ()＝f (x ＋1)x －1的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．5．(2019·义乌质检)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12C.⎣⎡⎭⎫－1，12D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意知y ＝ln (≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f ()的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12，故选C.6．(2018·湖州月考)定义在R 上的函数g ()满足：g ()＋2g (－)＝e ＋2e x －9，则g ()＝________.解析：∵g ()＋2g (－)＝e ＋2e x －9， ①∴g (－)＋2g ()＝e －＋2e －x－9，即g (－)＋2g ()＝2e ＋1e x －9，②由①②联立解得g ()＝e －3. 答案：e －37．(2018·嘉兴高三测试)已知a 为实数，设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＜2，log 2(x －2)，x ≥2，则f (2a ＋2)的值为________．解析：∵函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＜2，log 2(x －2)，x ≥2，而2a ＋2＞2，∴f (2a ＋2)＝log 2(2a ＋2－2)＝a . 答案：a8．(2018·稽阳联考)已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x －a ，x ＞0，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝12，则a ＝________；若f ()的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x －a ，x ＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋1＝12，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋412－a ＝12＋8－a ＝12，得a ＝8. 由y ＝＋1，≤0，得y ≤1；由y ＝＋4x －a ，＞0，得y ≥4－a ， ∵f ()的值域为R ，∴4－a ≤1，解得a ≥3.答案：8 [3，＋∞)9．记为不超过的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2[x ]－1，x ≥1，x 2＋1，x ＜1，则f (f (－1.2))＝________，f ()≤3的解集为________．解析：根据的定义，得f (f (－1.2))＝f (2.44)＝2[2.44]－1＝3. 当≥1时，由f ()＝2－1≤3，得≤2，所以∈[1,3)；当＜1时，由f ()＝2＋1≤3，得－2≤＜1.故原不等式的解集为[－2，3)．答案：3 [－2，3)10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝mx上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x 的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x ，y ＝2＋2.(2)因为y ＝2＋2，令＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.2．设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ＜0，－ln x ，x ＞0，若f (m )＞f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ＜0，－ln x ，x ＞0，当m ＞0时，f (m )＞f (－m )，即－ln m ＞ln m ，即ln m＜0，解得0＜m ＜1；当m ＜0时，f (m )＞f (－m )，即ln(－m )＞－ln(－m )，即ln(－m )＞0，解得m ＜－1. 综上可得，m ＜－1或0＜m ＜1. 答案：(－∞，－1)∪(0,1)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速(千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋m ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速(千米/时)的关系图．(1)求出y 关于的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， ∴y ＝x 2200＋x100(≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤≤70.∵≥0，∴0≤≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f()的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1，2当1＜2时，都有f(1)＜f(2)，那么就说函数f()在区间D上是增函数当1＜2时，都有f(1)＞f(2)，那么就说函数f()在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f()在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f()在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f()的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f()的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的∈I，都有f()≤M；②存在0∈I，使得f(0)＝M①对于任意∈I，都有f()≥M；②存在0∈I，使得f(0)＝M结论M为函数y＝f()的最大值M为函数y＝f()的最小值[小题体验]1．给定函数①y＝12，②y＝log12(＋1)，③y＝|－1|，④y＝2＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A．①②B．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝12在(0,1)上递增；②∵t ＝＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，∴y ＝log 12(＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|－1|在(0,1)上递减；④∵u ＝＋1在(0,1)上递增，且2＞1，∴y ＝2＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2019·绍兴调研)函数f ()＝⎝⎛⎭⎫13－log 2(＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：由于y ＝⎝⎛⎭⎫13在R 上单调递减，y ＝log 2(＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f ()在[－1,1]上单调递减，故f ()在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：33．(2018·丽水模拟)已知函数 f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x ＞1，－x 2－2x ＋3，x ≤1，则f (f (3))＝________，f ()的单调递减区间是________．解析：∵f (3)＝log 133＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋3＝4. 当≤1时，f ()＝－2－2＋3＝－(＋1)2＋4，对称轴＝－1，f ()在[－1,1]上单调递减，且f (1)＝0，当＞1时，f ()单调递减，且f ()＜f (1)＝0， ∴f ()在[－1，＋∞)上单调递减．答案：4 [－1，＋∞)1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f ()在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f ()＝1x.3．两函数f ()，g ()在∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f ()＋g ()也为增(减)函数，但f ()·g ()，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [小题纠偏]1．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f ()的图象如图所示，则函数y ＝f ()的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7] 2．函数f ()＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________，最小值是________．解析：因为f ()＝2x －1在[－6，－2]上是减函数，所以当＝－6时，f ()取得最大值－27.当＝－2时，f ()取得最小值－23.答案：－27 －23考点一函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f ()＝3－ B ．f ()＝2－3 C ．f ()＝－1x ＋1D ．f ()＝－||解析：选C 当＞0时，f ()＝3－为减函数；当∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f ()＝2－3为减函数，当∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f ()＝2－3为增函数；当∈(0，＋∞)时，f ()＝－1x ＋1为增函数；当∈(0，＋∞)时，f ()＝－||为减函数． 2．试讨论函数f ()＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一：(定义法)设－1＜1＜2＜1，f ()＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (1)－f (2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜1＜2＜1，所以2－1＞0，1－1＜0，2－1＜0，故当a ＞0时，f (1)－f (2)＞0，即f (1)＞f (2)，函数f ()在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (1)－f (2)＜0，即f (1)＜f (2)，函数f ()在(－1,1)上递增．法二：(导数法)f ′()＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a (x －1)2. 当a ＞0时，f ′()＜0，函数f ()在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f ′()＞0，函数f ()在(－1,1)上递增． 3．判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解：法一：任取1，2∈(－1，＋∞)，且1＜2，则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵1＞－1，2＞－1，∴1＋1＞0，2＋1＞0，又1＜2，∴2－1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即y 1－y 2＞0.∴y 1＞y 2， ∴函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1. ∵y ＝＋1在(－1，＋∞)上是增函数， ∴y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数， ∴y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减． [谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤：取值作差(商)变形确定符号(与1的大小)得出结论(2)导数法，其基本步骤：求导函数确定符号得出结论考点二求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－2＋2||＋1； (2)y ＝log 12(2－3＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝2－3＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝2－3＋2的复合函数．令u ＝2－3＋2＞0，则＜1或＞2.∴函数y ＝log 12(2－3＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝2－3＋2的对称轴＝32，且开口向上．∴u ＝2－3＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(2－3＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．函数f ()＝⎝⎛⎭⎫122x x -的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令t ＝x －x 2，由－2≥0，得0≤≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g (t )＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以f ()的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，1，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤12，1. 2．(2018·温州十校联考)函数f ()＝lg(9－2)的定义域为________；其单调递增区间为________．解析：对于函数f ()＝lg(9－2)，令t ＝9－2＞0，解得－3＜＜3，可得函数的定义域为(－3,3)．令g ()＝9－2，则函数f ()＝lg(g ())，又函数g ()在定义域内的增区间为(－3,0]．所以函数f ()＝lg(9－2)在定义域内的单调递增区间为(－3,0]．答案：(－3,3) (－3,0]考点三函数单调性的应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．(2018·台州三区适应性考试)已知函数f ()＝2＋a 3＋b sin (a ＞0，b ＞0)，若∈[0,1]时，f ()的最大值为3，则∈[－1,0)时，f ()的最小值是________．解析：因为函数f ()＝2＋a 3＋b sin 在区间[－1,1]上为单调递增函数．所以当∈[0,1]时，f ()的最大值为f (1)＝2＋a ·13＋b sin 1＝3，a ＋b sin 1＝1，当∈[－1,0)时，f ()的最小值为f (－1)＝2－1＋a ·(－1)3＋b sin(－1)＝12－(a ＋b sin 1)＝－12.答案：－12角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2018·杭州模拟)已知函数f ()的图象关于直线＝1对称，当2＞1＞1时，[f (2)－f (1)](2－1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选D 因f ()的图象关于直线＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52. 由2＞1＞1时，[f (2)－f (1)](2－1)＜0恒成立，知f ()在(1，＋∞)上单调递减． ∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)＞f ⎝⎛⎭⎫52＞f (e)，∴b ＞a ＞c . 角度三：解函数不等式3．已知函数f ()为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由f ()为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0. ∴－1＜＜0或0＜＜1.故选C.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．若f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫18，13 B.⎣⎡⎦⎤0，13 C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 解析：选A 由题意知， ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，(3a －1)×1＋4a ≥－a ，a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13，a ≥18，a ＞0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13，故选A.[通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数最值单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]1．设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数f ()在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f ()的图象如图所示，由图象可知，若f ()在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.2．已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－2)＞f ()，则实数的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当≤0时，函数f ()＝3为增函数，当＞0时，f ()＝ln(＋1)也是增函数，∴函数f ()是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－2)＞f ()等价于2－2＞，即2＋－2＜0，解得－2＜＜1.3．(2017·浙江名校高考联盟联考)若函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________，实数b 的取值范围是________．解析：当a ＞0时，函数f ()＝a |＋b |－1在(－∞，－b ]上是减函数，在(－b ，＋∞)上是增函数，不满足函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＝0时，f ()＝－1，不满足函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＜0时，函数f ()＝a |＋b |－1在(－∞，－b ]上是增函数，在(－b ，＋∞)上是减函数，因为函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，所以a ＜0且－b ≤1，即a ＜0且b ≥－1.答案：(－∞，0) [－1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－B ．y ＝C ．y ＝log 2D ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－与y ＝的定义域为R ，且只有y ＝在R 上是增函数． 2．(2018·绍兴模拟)已知函数f ()的图象关于(1,0)对称，当＞1时，f ()＝log a (－1)，且f (3)＝－1，若1＋2＜2，(1－1)(2－1)＜0，则( )A ．f (1)＋f (2)＜0B ．f (1)＋f (2)＞0C ．f (1)＋f (2)可能为0D ．f (1)＋f (2)可正可负解析：选B ∵当＞1时，f ()＝log a (－1)， f (3)＝log a 2＝－1，∴a ＝12，故函数f ()在(1，＋∞)上为减函数，若1＋2＜2，(1－1)(2－1)＜0，不妨令1＜1，2＞1，则2＜2－1， f (2)＞f (2－1)，又∵函数f ()的图象关于(1,0)对称， ∴f (1)＝－f (2－1)，此时f (1)＋f (2)＝－f (2－1)＋f (2)＞0，故选B.3．已知函数f ()＝log 4(4－||)，则f ()的单调递增区间是________；f (0)＋4f (2)＝________. 解析：令y ＝log 4u ，其中u ＝4－||，且u ＝4－||＞0，由于函数y ＝log 4u 是单调递增函数，故要求f ()的单调递增区间，只需求u ＝4－||的单调递增区间，得⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |＞0，x ≤0，解得－4＜≤0，所以f ()的单调递增区间是(－4,0]；易得f (0)＋4f (2)＝log 44＋4log 42＝1＋2＝3.答案：(－4,0] 34．函数y ＝x －(≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即＝14时，y ma ＝14.答案：145．(2018·杭州十二校联考)设min{，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x ＜y ，若定义域为R 的函数f ()，g ()满足f ()＋g ()＝2xx 2＋8，则min{f ()，g ()}的最大值为____________．解析：设min{f ()，g ()}＝m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤f (x )，m ≤g (x )⇒2m ≤f ()＋g ()⇒m ≤xx 2＋8，显然当m 取到最大值时，＞0，∴x x 2＋8＝1x ＋8x ≤12 x ·8x＝28，∴m ≤28，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )，x ＝8x ，x ＞0时等号成立，即m 的最大值是28. 答案：28二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f ()＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝2－2－3，由t ≥0，即2－2－3≥0，解得≤－1或≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝2－2－3的图象的对称轴为＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f ()的单调递增区间为[3，＋∞)．2．(2018·浙江名校协作体联考)函数y ＝＋x 2－2x ＋3的值域为( )A ．[1＋2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选D 因为函数y ＝＋x 2－2x ＋3＝＋(x －1)2＋2，所以当≥1时，函数为增函数，所以y ≥2＋1；当＜1时，设－1＝t ，则t ＜0，函数y ＝t ＋t 2＋2＋1＝2t 2＋2－t＋1，所以函数在(－∞，0)上为增函数，当t →0时，y →2＋1，当t →－∞时，y →1，所以1＜y ＜2＋1.综上所述，函数y ＝＋x 2－2x ＋3的值域为(1，＋∞)．3．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f ()＝(1⊕)－(2⊕)，∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤≤1时，f ()＝－2，当1＜≤2时，f ()＝3－2.∵f ()＝－2，f ()＝3－2在定义域内都为增函数． ∴f ()的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a ＞0，且a ≠1.又函数f ()在R 上单调，则二次函数y ＝a 2－－14的图象开口向上，所以函数f ()在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.5．(2018·湖州模拟)若f ()是定义在(－1,1)上的减函数，则下列不等式正确的是( ) A ．f (sin )＞f (cos )B ．f⎝⎛⎭⎫x 2＋12＞f () C ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1D ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x解析：选D A ．∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，sin ＞cos ， ∵f ()在(－1,1)上为减函数， ∴f (sin )＜f (cos )，∴该选项错误； B ．∈(－1,1)，∴x 2＋12－＝12(－1)2＞0，∴x 2＋12＞，且f ()在(－1,1)上单调递减，∴f⎝⎛⎭⎫x 2＋12＜f ()，∴该选项错误；C.13x ＋1－12x ＋1＝2x－3x(3x ＋1)(2x ＋1)＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1(3x ＋1)(2x ＋1)， ∵∈(－1,1)，∴∈(－1,0)时，⎝⎛⎭⎫23＞1， ∴13x＋1＞12x ＋1，且f ()在(－1,1)上为减函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1＜f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1，∴该选项错误；D.13x ＋3－x －12x ＋2－x ＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫16x (3x ＋3－x )(2x ＋2－x )， ∴①∈(－1,0]时，⎝⎛⎭⎫23－1≥0,1－⎝⎛⎭⎫16≤0， ∴13x＋3－x ≤12x ＋2－x. ②∈(0,1)时，⎝⎛⎭⎫23－1＜0,1－⎝⎛⎭⎫16＞0， ∴13x ＋3－x ＜12x ＋2－x，∴综上得，13x ＋3－x ≤12x ＋2－x ，∵f ()为(－1,1)上的减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x ，∴该选项正确．6．(2019·金华四校联考)若函数f ()＝2＋a |－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ()＝2＋a |－2|，∴f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2.又∵f ()在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]7．设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g ()是二次函数，若函数f (g ())的值域是[0，＋∞)，则函数g ()的值域是________．解析：因为函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f ()的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f ()的值域是(－1，＋∞)， f (g ())的值域是[0，＋∞)，因为g ()是二次函数，所以g ()的值域是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．若函数f ()＝a (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g ()＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g ()在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f ()在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f ()在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．(2018·杭州五校联考)函数y ＝f ()的定义域为R ，若存在常数M ＞0，使得|f ()|≥M ||对一切实数均成立，则称f ()为“圆锥托底型”函数．(1)判断函数f ()＝2，g ()＝3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． (2)若f ()＝2＋1是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．解：(1)函数f ()＝2.∵|2|＝2||≥2||，即对于一切实数使得|f ()|≥2||成立， ∴函数f ()＝2是“圆锥托底型”函数．对于g ()＝3，如果存在M ＞0满足|3|≥M ||，而当＝M 2时，由⎪⎪⎪⎪M 23≥M ⎪⎪⎪⎪M 2， ∴M2≥M ，得M ≤0，矛盾， ∴g ()＝3不是“圆锥托底型”函数．(2)∵f ()＝2＋1是“圆锥托底型”函数，故存在M ＞0，使得|f ()|＝|2＋1|≥M ||对于任意实数恒成立．∴≠0时，M ≤⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝||＋1|x |，此时当＝±1时，||＋1|x |取得最小值2， ∴M ≤2.而当＝0时，也成立． ∴M 的最大值等于2. 10．已知函数f ()＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f ()在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f ()＜2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：当∈(0，＋∞)时，f ()＝a －1x ，设0＜1＜2，则12＞0，2－1＞0，f (2)－f (1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0，所以f ()在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2在(1，＋∞)上恒成立，设h ()＝2＋1x ，则a ＜h ()在(1，＋∞)上恒成立．任取1，2∈(1，＋∞)且1＜2，h (1)－h (2)＝(1－2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1＜1＜2，所以1－2＜0，12＞1，所以2－1x 1x 2＞0，所以h (1)＜h (2)，所以h ()在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知减函数f ()的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n ＞0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n ＞0解析：选A 设F ()＝f ()－f (－)，由于f ()是R 上的减函数，∴f (－)是R 上的增函数，－f (－)是R 上的减函数， ∴F ()是R 上的减函数， ∴当m ＜n 时，有F (m )＞F (n )，即f (m )－f (－m )＞f (n )－f (－n )成立．因此，当f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A. 2．已知函数f ()＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f ()的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f ()在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意∈[2，＋∞)恒有f ()＞0，试确定a 的取值范围．解：(1)由＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，2－2＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{|＞0且≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{|0＜＜1－1－a 或＞1＋1－a }．(2)设g ()＝＋a x －2，当a ∈(1,4)，∈[2，＋∞)时，g ′()＝1－a x 2＝x 2－ax 2＞0恒成立，所以g ()＝＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f ()＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f ()＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意∈[2，＋∞)恒有f ()＞0，即＋ax －2＞1对任意∈[2，＋∞)恒成立．所以a ＞3－2，令h ()＝3－2，而h ()＝3－2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h ()ma ＝h (2)＝2，所以a ＞2. 即a 的取值范围为(2，＋∞)．第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f ()的定义域内任意一个，都有f (－)＝f ()，那么函数f ()就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f ()的定义域内任意一个，都有f (－)＝－f ()，那么函数f ()就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f ()，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的任何值时，都有f (＋T )＝f ()，那么就称函数f ()为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f ()的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f ()的最小正周期．[小题体验]1．(2018·杭州模拟)已知函数f ()是奇函数，且当＜0时，f ()＝22－1x ，则f (1)的值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 因为函数f ()为奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－1(－1)＝－3，故选A.2．(2018·台州月考)偶函数y ＝f ()在区间[0,4]上单调递减，则有( ) A ．f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (－π) B ．f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (－1)＞f (－π) C ．f (－π)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．f (－1)＞f (－π)＞f ⎝⎛⎭⎫π3解析：选A 由题意得，0＜1＜π3＜π＜4⇒f (－1)＝f (1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (π)＝f (－π)，故选A. 3．(2018·金华模拟)已知函数y ＝f ()为R 上的偶函数，当≥0时，f ()＝log 2(＋2)－3，则f (6)＝____________，f (f (0))＝________________.解析：∵当≥0时，f ()＝log 2(＋2)－3， ∴f (6)＝log 2(6＋2)－3＝3－3＝0， f (0)＝1－3＝－2，∵函数y ＝f ()为R 上的偶函数， ∴f (f (0))＝f (－2)＝f (2)＝2－3＝－1. 答案：0 －11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f ()的奇偶性时，必须对定义域内的每一个，均有f (－)＝－f ()或f (－)＝f ()，而不能说存在0使f (－0)＝－f (0)或f (－0)＝f (0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f ()＝a 2＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析：选B ∵f ()＝a 2＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－)＝f ()，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．(2018·宁波模拟)若函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，a ，x ＝0，g (2x )，x ＜0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由题意a ＝f (0)＝0，g (2)＝f ()，所以g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25. 答案：0 －25考点一函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f ()＝(＋1)1－x1＋x； (2)f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f ()＝4－x 2x 2；(4)f ()＝log a (＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)．解：(1)因为f ()有意义，则满足1－x1＋x≥0，所以－1＜≤1，所以f ()的定义域不关于原点对称，所以f ()为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)当＞0时，f ()＝－2＋2＋1，－＜0，f (－)＝(－)2＋2(－)－1＝2－2－1＝－f ()；当＜0时，f ()＝2＋2－1，－＞0，f (－)＝－(－)2＋2(－)＋1＝－2－2＋1＝－f ()．所以f ()为奇函数．法二：(图象法)作出函数f ()的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f ()为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤≤2且≠0，所以定义域关于原点对称．又f (－)＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2，所以f (－)＝f ()．故函数f ()为偶函数． (4)函数的定义域为R ，因为f (－)＋f ()＝log a [－＋(－x )2＋1]＋log a (＋x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－)＋log a (x 2＋1＋) ＝log a [(x 2＋1－)(x 2＋1＋)] ＝log a (2＋1－2)＝log a 1＝0，即f (－)＝－f ()，所以f ()为奇函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f ()，g ()的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－)与f ()的关系，只有对各段上的都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二函数的周期性(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，若对任意的n ∈N *，定义f n ()＝f {f [f …n 个f ()]}，则f 2019(2)的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f ()满足f (＋2)＝f ()，且当∈[0,2)时，f ()＝2－2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：(1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C. (2)∵f (＋2)＝f ()， ∴函数f ()的周期T ＝2， ∵当∈[0,2)时，f ()＝2－2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0， f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. 答案：(1)C (2)1 010[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法．2．周期性3个常用结论 (1)若f (＋a )＝－f ()，则T ＝2a . (2)若f (＋a )＝1f (x )，则T ＝2a . (3)若f (＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a ＞0)． [即时应用]1．已知函数f ()的定义域为R ，当＜0时，f ()＝3－1；当－1≤≤1时，f (－)＝－f ()；当。

高三数学一轮复习导数及其应用第15课时导数概念及运算

第15课时导数的概念及运算本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、考纲要求三、考点梳理1、函数)(x f 在1=x 处的导数为1,当0→∆x 时,A x f x f →∆⋅-∆-2)1()1(, 那么A= .2、函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为 y =2x -1,那么函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为__________.3、某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么t ＝2s 时，汽车瞬时速度为________．瞬时加速度为________. 4、假设2/)1(2)(x xf x f +=，那么f′(0)=_______.5、过坐标原点作函数ln y x =图像的切线,那么切线斜率为____________.6、抛物线c bx ax y ++=2通过点(1,1),且在点)1,2(-处与直线3-=x y 相切,那么c b a ,,的值为7、函数c b a c x b x a x x f ,,)()()(()(---=是两两不等的实数〕那么'()'()'()a b cf a f b f c ++等于四、典例精讲例1、利用导数的定义求函数f(x)＝1x在x ＝1的导数：例2、求以下函数的导数：〔1〕)13)(12(2+-=x x y 〔2〕2cos 2sinx x x y -= 〔3〕y=tanx 〔4〕y=22log xy x x =+例3、曲线34313+=x y ，（1）求曲线在点P 〔2,4〕处的切线方程；（2）求曲线过点P 〔2,4〕的切线方程；（3）求曲线的斜率为4的切线方程。

变式3：A 、B 是曲线ax x y -=3上不同的两点,在A 、B 两点的切线都与直线AB 垂直.证明: (1) A 、B 两点关于原点对称; (2).3≥a五、反应练习1、曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为_______________．2、如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，那么f (5)＋f ′(5)＝______.3、曲线()sin f x x x =在2x π=处的切线方程为______________.4、曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为________. 5、函数)10()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，那么=)1(/f .6、函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=，假设直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，那么a 的取值范围是 .六、小结反思本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第15讲导数的概念及运算含答案

1．导数的概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景．(2)通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．导数的运算(1)能根据导数的定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．(2)能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则：C ′＝0(C 为常数)；(x n )′＝nx n －1，n ∈N *； (sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；(e x )′＝e x ；(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)； (ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x log a e(a >0，且a ≠1)．法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；法则3：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )v 2(x )(v (x )≠0)．3．导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．4．生活中的优化问题会利用导数解决实际问题．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况续表导数及其应用是高考考查的重点和热点内容，在2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本部分内容的试题共19道，其中客观题9道，解答题10道，一般是“一小一大”，占17分，多时达到22分．客观题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数求函数的最值，研究函数的零点，研究不等式的解集，通过导数讨论有关参数的取值范围．一般属于中等难度题或偏难题．解答题主要是考查导数的综合应用，主要包括两方面的综合：一是导数本身的综合，主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等；二是和其他知识的综合，主要包括导数与不等式、导数与方程的综合，考查不等式的证明，由不等式求参数的范围及讨论函数的零点等．试题难度大，每年都将导数综合问题作为压轴题，着重考查化归与转化的思想、函数与方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想，考查考生运算求解能力、综合运用知识的能力和分析问题解决问题的能力．导数是高中数学中的重要内容，是解决实际问题必不可少的数学工具，导数为解决函数问题、曲线问题提供了一般性的方法．由于求导可以解决函数的单调性、极值和最值等问题，这样既丰富了函数的内容，也增大了函数综合题的难度，因此成为高考命题的热点．通过对近几年高考试题的分析研究，可以看出高考对导数的考查主要有三个层次：第一个层次是考查导数的概念、几何意义，求导的公式和求导的法则；第二个层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三个层次是综合考查，主要是将导数内容与传统内容中不等式、方程等有机地结合在一起考查，以函数为载体，以导数为工具，以考查考生综合运用知识为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向．在复习过程中，要注意：1．研究函数的单调性、极值、最值、切线等问题离不开求导，因此要熟练掌握导数的运算法则和常用函数的导数，这是综合运用的基础．2．熟练掌握可导函数单调区间的极值、最值的研究方法，尤其重视单调性在研究函数中的作用，从而从“数”和“形”两方面把握函数的特征，为研究不等式、方程等提供方法，为综合应用打下基础．由于高考重视导数的应用，特别注意利用导数研究不等式及方程的零点等有关问题，在本单元综合应用中，增加了“导数与不等式”“导数与方程”等内容，要求通过复习掌握利用导数处理不等式的基本方法和技巧，掌握利用导数研究函数零点的基本方法．第二轮复习还将进一步深化.第15讲导数的概念及运算1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程． 3．能根据导数的定义，求一些简单函数的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)平均变化率：函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率ΔyΔx ＝ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →ΔyΔx通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 f ′(x 0)＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，称作f (x )的导函数，记作 y ′或f ′(x ) .2. 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率 .曲线在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) . 3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式 ①C ′＝ 0 (C 为常数)；②(x n )′＝ nx n －1 (n ∈Q )； ③(sin x )′＝ cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ；⑤(a x )′＝ a x ln a (a >0且a ≠1)； ⑥(e x )′＝ e x ；⑦(log a x )′＝1x ln a(a >0且a ≠1)； ⑧(ln x )′＝ 1x.(2)导数的运算法则 ①和差的导数 [f (x )±g (x )]′＝ f ′(x )±g ′(x ) . ②积的导数 [f (x )·g (x )]′＝ f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) . ③商的导数[f (x )g (x )]′＝ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)．热身练习1．若f (x )＝2x 2图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于(C)A ．3＋2ΔxB ．4＋ΔxC ．4＋2ΔxD ．3＋ΔxΔy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2(1＋Δx )2－2 ＝2[2Δx ＋(Δx )2]，所以ΔyΔx ＝4＋2Δx .2．设函数f (x )可导，则lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)2Δx等于(C)A ．f ′(1)B ．2f ′(1) C.12f ′(1) D ．f ′(2)因为f (x )可导，所以lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)2Δx ＝12lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝12f ′(1)．3．下列求导运算中正确的是(B)A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(lg x )′＝1x ln 10C ．(ln x )′＝xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x(x ＋1x )′＝1－1x 2，故A 错；(ln x )′＝1x，故C 错；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 错．4．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 2x －y －2＝0 .因为y ′＝2x，y ′| x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 5．(1)(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为 3 . (2)y ＝x x ＋1，则y ′x ＝2＝ 19 .(1)因为f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3.(2)因为y ′＝(x x ＋1)′＝x ′(x ＋1)－x (x ＋1)′(x ＋1)2＝1(x ＋1)2，所以y ′x ＝2＝1(2＋1)2＝19.导数的概念利用导数的定义求函数f (x )＝1x ＋2的导数．因为Δy ＝1x ＋Δx ＋2－1x ＋2＝－Δx (x ＋Δx ＋2)(x ＋2)，所以ΔyΔx ＝－1(x ＋Δx ＋2)(x ＋2)，所以f ′(x )＝li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0[－1(x ＋Δx ＋2)(x ＋2)] ＝－1(x ＋2)(x ＋2)＝－1(x ＋2)2.利用定义求导数的基本步骤： ①求函数的增量：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； ②求平均变化率：Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ；③取极限得导数：f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx.1．设函数f (x )在x 0处可导，则li m Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx等于(B)A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)li m Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－li m Δx →f [x 0＋(－Δx )]－f (x 0)(－Δx )＝－f ′(x 0)．导数的运算求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x; (2)y ＝1＋sin x1－cos x .(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(1＋sin x )′(1－cos x )－(1＋sin x )(1－cos x )′(1－cos x )2＝cos x (1－cos x )－(1＋sin x )sin x(1－cos x )2＝cos x －sin x －1(1－cos x )2.利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结构特点，准确运用常用的导数公式．2．(1)(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为 e . (2)设y ＝1＋cos x sin x ，则y ′π2＝－1 .(1)因为f (x )＝e xln x ，所以f ′(x )＝e xln x ＋e xx，所以f ′(1)＝e.(2)因为y ′＝(1＋cos x )′sin x －(1＋cos x )(sin x )′sin 2x＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，所以y ′π2＝－1.求切线方程(1)(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为____________________．(2)若曲线y ＝x ln x 存在斜率为2的切线，则该切线方程为________________．因为y ′＝2x －1x 2，所以y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.(2)因为y ′＝ln x ＋1，设切点为P (x 0，y 0)，则y ′x ＝x 0＝ln x 0＋1＝2，所以x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，所以切点为(e ，e)．故所求切线方程为y －e ＝2(x －e)，即2x －y －e ＝0.(1)x －y ＋1＝0 (2)2x －y －e ＝0(1)求切线方程有如下三种类型： ①已知切点(x 0，y 0)，求切线方程； ②已知切线的斜率k ，求切线方程； ③求过(x 1，y 1)的切线方程．其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理． (2)三种类型的求解方法：类型①，利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)直接求出切线方程．类型②，设出切点(x 0，y 0)，再由k ＝f ′(x 0)，再由(x 0，y 0)既在切线上，又在曲线上求解；类型③，先设出切点(x 0，y 0)，利用k ＝f ′(x 0)及已知点(x 1，y 1)在切线上求解．3．(2018·广州市模拟)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为(D) A ．ln 2 B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2本题实质上是求曲线过点(0，－2)的切线问题，因为(0，－2)不是切点，可先设出切点，写出切线方程，再利用切线过(0，－2)得到所求切线方程．设切点为(x 0，x 0ln x 0)，因为y ′＝ln x ＋1，所以k ＝ln x 0＋1，所以切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，因为切线过点(0，－2)，所以－2－x 0ln x 0＝－x 0ln x 0－x 0，所以x 0＝2，所以k ＝ln 2＋1.1．函数y＝f(x)的导数实质上是“增量(改变量)之比的极限”，即f′(x)＝li mΔx→0ΔyΔx＝li mΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.2．关于函数的导数，要熟练掌握基本导数公式和求导的运算法则，一般要遵循先化简再求导的基本原则．3．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若设点(x0，y0)是切线l与曲线C的切点，则有如下结论：①f′(x0)是切线l的斜率；②点(x0，y0)在切线l上；③点(x0，y0)在曲线C上．。