精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(理科2015)和答案

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2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(文科2015)和答案

数学E 单元不等式E1 不等式的概念与性质12．A2、E1 “对任意x ∈0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．E1，M2 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a 0.故选项A 中的不是最低费用；(ay ＋bz ＋cx )－(az ＋by ＋cx )＝a (y －z )＋b (z －y )＝(a －b )(y －z )>0，故选项C 中的不是最低费用；(ay ＋bx ＋cz )－(az ＋by ＋cx )＝a (y －z )＋b (x －y )＋c (z －x )＝a (y －z )＋b (x －y )＋c (z －y ＋y －x )＝(a －c )(y －z )＋(b －c )(x －y )>0，选项D 中的不是最低费用．综上所述，选项B 中的为最低费用．E2 绝对值不等式的解法21．E2，B3，B12 设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．4．A2、E2 设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．A 由|x －2|<1，解得1<x <3.若1<x <2，则1<x <3，反之不成立，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”成立的充分不必要条件．E3 一元二次不等式的解法7．E3 不等式2x 2－x <4的解集为________．7．{x |－1<x <2}(或(－1，2)) 因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．15．K3、E3 在区间上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．15.23由题意，得⎩⎨⎧Δ＝4p 2－4（3p －2）≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或2≤p ≤5，所以所求概率P ＝1－23＋（5－2）5＝23.19．E3、B11、B12 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 19．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x . 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′－43＝0，即3a ·169＋2×－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝32x 2＋2x e x ＋12x 3＋x 2e x ＝12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数；当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数．11．E3 不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)11．(－4，1) 由－x 2－3x ＋4>0得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4，1)．E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题15．E5 若x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．15．4 作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点A (1，1)时，目标函数z 取得最大值，故z max ＝3×1＋1＝4.5．E5 已知x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．15．A 二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 内部及其边界，当直线y ＝2x ＋z 过A 点时z 最大，又A (1，1)，因此z 的最大值为－1，选A.4．E5 若变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．2B ．5C ．8D ．104．B 作出约束条件表示的可行域如图所示，易知目标函数在点A 处取得最大值，A 点坐标为(4，－1)，此时z max ＝2×4＋3×(－1)＝5.12．E5 若变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．12．10 作出约束条件表示的可行域如图所示，易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3，1)，(1，3)，(－1，－3)．将三个顶点的坐标依次代入3x ＋y ，求得的值分别为10，6，－6，比较可得3x ＋y 的最大值为10.15．E5 若x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．15．4 作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点A (1，1)时，目标函数z 取得最大值，故z max ＝3×1＋1＝4.14．E5 若x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．14．8 根据约束条件作出可行域如图所示，平移目标函数线，当它经过点A (3，2)时，目标函数取得最大值，z max ＝2×3＋2＝8.13．E5 如图13，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．图1313．7 根据题意，z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋13z ，直线AC 的斜率为k ＝2－10－2＝－12>－23，利用求目标函数最值的方法，当y ＝－23x ＋13z 过点A (2，1)时z 取得最大值z max ＝2×2＋3×1＝7.10．E5 变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 10．C 由约束条件可知，①若m ∈ 若变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．A 画出可行域如图中阴影部分所示，平移直线2x －y ＝0，可知在直线x ＋y ＝1与y －x ＝1的交点A (0，1)处z 取最小值，z min ＝0－1＝－1，选A.12．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．12．7 作出可行域如图所示，当直线x ＋3y －z ＝0过可行域内的点A 时，z 取得最大值．联立⎩⎨⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，故z max ＝1＋3×2＝7.11．E5 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元11．D 设该企业每天生产甲种产品x 吨、乙种产品y 吨，则x ，y 需满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，可获利润z ＝3x ＋4y .约束条件表示的平面区域是以(0，0)，(4，0)，(2，3)，(0，4)为顶点的四边形及其内部，把各顶点坐标代入检验可知，目标函数在点(2，3)处取得最大值3×2＋4×3＝18，即该企业每天可获得最大利润为18万元．2．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．142．C 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，3)处取得最大值，且z max ＝9.14．H4，E5 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．14．15 方法一：当x ，y 满足x 2＋y 2≤1时，2x ＋y －4<0，6－x －3y >0，设z ＝|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |，则z ＝－2x －y ＋4＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10，即3x ＋4y ＋z －10＝0.由题意可知，|z －10|5≤1，即|z －10|≤5，所以5≤z ≤15，故所求最大值为15.方法二：坐标原点到直线2x ＋y －4＝0和6－x －3y ＝0的距离分别是45，610，均大于1，在x ，y 满足x 2＋y 2≤1的条件下，2x ＋y －4≤0，6－x －3y ≥0恒成立．故在x 2＋y 2≤1下，|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－(2x ＋y －4)＋(6－x －3y )＝－3x －4y ＋10，令m ＝－3x －4y ，则y ＝－34x －m4，m 的几何意义是直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距的－4倍，若m 最大，则需要直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距最小．故只有当直线m ＝－3x －4y 与单位圆x 2＋y 2＝1相切于第三象限时，m 取得最大值．此时可求得切点坐标为－35，－45，故m max ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－3x －4y ＋10的最大值为15.10．E5 若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C.43D ．3 10．B 作出不等式组满足的平面区域，如图中阴影部分所示．由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则有m >－1.由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m )．由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B 23－43m ，23＋23m .因为S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－23＋2m 3＝13(m ＋1)2＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．故选B.E6 2a b+≤5．E6 若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．C 依题意有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·1a ＋1b ＝1＋a b ＋ba＋1≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 7．E6 若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．47．C 方法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，当且仅当b ＝2a ＝254时，等号成立，所以ab ≥2 2.方法二：ab ＝1a ＋2b≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当b ＝2a ＝254时，等号成立，选C.10．B7、E6 设f (x )＝ln x ，0<a pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q10．C r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln(ab )＝ln ab ＝p .因为b >a >0，所以a ＋b 2>ab ，又函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以q >p ＝r ，故选C.9．E5，E6 设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为()A.252 B.492C ．12D ．16 9．A 画出可行域如图所示．可知当曲线z ＝xy 与线段AC 相切时xy 取得最大值．此时2x ＋y ＝10，故xy ＝12·2x ·y ≤12⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝252，当且仅当x ＝52，y＝5时取等号，对应点落在线段AC 上，故xy 的最大值为252，选A.14．E6 设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 14．32 (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2×（a ＋1）2＋（b ＋3）22＝9＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3≤3 2.E7 不等式的证明方法E8 不等式的综合应用 14．E8 定义运算“：xy ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x y ＋(2y )x 的最小值为________．14. 2 由题意得xy ＋(2y )x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝2y 2＋x 22xy ＝y x ＋x 2y≥2y x ·x2y ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立 .E9 单元综合4．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．A 因为a ＋1a －b ＋1b ＝（a －b ）（ab －1）ab ，a >b >1，所以a ＋1a －b ＋1b＝（a －b ）（ab －1）ab>0，则充分性成立．当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a>b＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．故选A.6．设对任意实数x ∈，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >12C ．a >14 D ．a >0或a <－126．B 设f (x )＝x 2＋ax －3a .∵对任意实数x ∈，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立， ∴⎩⎨⎧f （－1）＝1－a －3a <0，f （1）＝1＋a －3a <0，即⎩⎨⎧1－4a <0，1－2a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >14，a >12，故a >12.3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．493．A 因为a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，则4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1）（b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )1a ＋1b ＝20＋4b a ＋4ab≥20＋4×2×b a ·4ab＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号，所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 6．若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)满足约束条件⎩⎨⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，且最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( )A.256B.94C ．1D ．4 6．B 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y －6＝0的交点(8，10)时，z 取得最大值40，即8a ＋10b ＝40，即4a ＋5b ＝20，所以5a ＋1b ＝5a＋1b ×4a ＋5b 20＝54＋5b 4a ＋a 5b ≥54＋1＝94，当且仅当a ＝103，b ＝43时取等号．。

2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 E单元不等式(文科2013年) Wor

单元不等式不等式的概念与性质．设，，∈，且>，则( )．> < ．> ．>．∵函数＝在上是增函数，>，∴>.．，设＝，＝，＝，则( )．>> ．>>．>> ．>>．－＝－＝－＝>>，＝>，<，<，所以>>，答案为.．、和设≤α≤π，不等式－( α)＋α≥对∈恒成立，则α的取值范围为．∪根据二次函数的图像可得Δ＝( α)－×α≤，即α－α≤，转化为α－(－α)≤，即α≤，即－≤α≤.因为≤α≤π，故α∈∪.．、和设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点，所成的角为°的直线和，使＝，其中，和，分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) ())，)) ())，))())，＋∞))())，＋∞))．设双曲线的焦点在轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤，所以<≤，<＋≤，即有<≤.又双曲线的离心率为＝＝，所以<≤.绝对值不等式的解法．不等式－<的解集是( )．(－，) ．(－，)．(－，)∪(，) ．(－，)∪(，)．－<等价于－<－<，即<<，即<<，解得－<<或者<<，故所求的不等式的解集是(－，)∪(，)．一元二次不等式的解法．，设函数()＝－(＋)，其中>，区间＝{()>}．()求的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；()给定常数∈(，)，当－≤≤＋时，求长度的最小值．．解：()因为方程－(＋)＝(>)有两个实根＝，＝，故()>的解集为{<<}，因此区间＝，，区间长度为.()设()＝，则′()＝，令′()＝，得＝，由于<<，故当－≤<时，′()>，()单调递增；当<≤＋时，′()<，()单调递减；因此当－≤≤＋时，()的最小值必定在＝－或＝＋处取得．而＝(－＋（－）) ,(＋＋（＋）))＝<，故(－)<(＋)．因此当＝－时，()在区间上取得最小值.．，函数＝＋＋的定义域为．．(，] 实数满足＋>且－≥.不等式＋>，即>，解得>或<－；不等式－≥的解为－≤≤.故所求函数的定义域是(，]．．、和设≤α≤π，不等式－( α)＋α≥对∈恒成立，则α的取值范围为．∪根据二次函数的图像可得Δ＝( α)－×α≤，即α－α≤，转化为α－(－α)≤，即α≤，即－≤α≤.因为≤α≤π，故α∈∪.．关于的不等式－－<(>)的解集为(，)，且－＝，则＝( )．由条件知，为方程－－＝的两根，则＋＝，＝－，由(－)＝(＋)－＝()－×(－)＝＝，解得＝(负值舍去)，故选.。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 M单元推理与证明(理科2012)和答案

M 推理与证明M1 合情推理与演绎推理11．M1观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为______________．11．1＋122＋132＋142＋152＋162<116本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果．从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋122＋132＋142＋152＋162，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为：3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.13．M1回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．13．(1)90 (2)9×10n 由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n ＋2位回文数与2n ＋1位回文数个数相等，均为9×10n 个．16．M1 设N ＝2n (n ∈N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i段，每段N2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置； (2)当N ＝2n (n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．16．(1)6 (2) 3×2n －4＋11 考查合情推理，以新定义题型为载体，依据排列，考查考生的逻辑推理能力，要求学生的想象能力相当出色．(1)由已知可得P 1＝x 1x 3x 5x 7x 9x 11x 13x 15…，P 2＝x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15…，故x 7位于P 2中的第6个位置；(2)当i ＝1时，P 1的排列中x 173的位置是173＋12＝87位；当i ＝2时，P 2的排列中x 173的位置是87＋12＝44位；当i ＝3时，P 3的排列中x 173的位置是2n －22＋442＝2n －3＋22位；当i＝4时，P4的排列中x173的位置是2n－3＋2n－3＋222＝2n－3＋2n－4＋11＝3×2n－4＋11位．6．M1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．1996．C 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系．由于a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，故选C.M2 直接证明与间接证明23．M2、D1对于数集X＝{－1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝(s，t)，s∈X，t∈X}，若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P，例如{－1,1,2}具有性质P.(1)若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1＝1；(3)若X具有性质P，且x1＝1、x2＝q(q为常数)，求有穷数列x1，x2，…，x n 的通项公式．23．解：(1)选取a1＝(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(－1，b)，所以x＝2b，从而x＝4.(2)证明：取a1＝(x1，x1)∈Y，设a2＝(s，t)∈Y，满足a1·a2＝0.由(s＋t)x1＝0得s＋t＝0，所以s，t异号．因为－1是X中唯一的负数，所以s，t之中一个为－1，另一个为1，故1∈X.假设x k＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n.选取a 1＝(x 1，x n )∈Y ，并设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0，即sx 1＋tx n ＝0，则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1. 若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ＞x 1，矛盾；若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾．所以x 1＝1.(3)设a 1＝(s 1，t 1)，a 2＝(s 2，t 2)，则a 1·a 2＝0等价于s 1t 1＝－t 2s 2，记B ＝⎩⎨⎧st |}s ∈X ，t ∈X ，|s |＞|t |，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B关于原点对称．注意到－1是X 中的唯一负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，所以B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数．由于x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x nx 1，已有n －1个数，对以下三角数阵x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x n x 1， x n －1x n －2＜x n －1x n －3＜…＜x n －1x 1， …x 2x 1. 注意到x n x 1＞x n －1x 1＞…＞x 2x 1，所以x n x n －1＝x n －1x n －2＝…＝x 2x 1，从而数列的通项为x k ＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1k －1＝q k －1，k ＝1,2，…，n .19．D2、D3、M2 已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．19．解：(1)对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列．于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n ＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B n A n ＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q a 1＋a 2＋…＋a na 1＋a 2＋…＋a n ＝q ，C n B n ＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B n A n ＝C n B n ＝q .所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．于是C (n )－B (n )＝q ，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．22．B12、M3、M2 (1)已知函数f(x)＝rx－x r＋(1－r)(x>0)，其中r为有理数，且0<r<1.求f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数．若b1＋b2＝1，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(xα)′＝αxα－1.22．解：(1)f′(x)＝r－rx r－1＝r(1－x r－1)，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．故函数f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝0.(2)由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，即x r≤rx＋(1－r)．①若a1，a2中有一个为0，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立；若a1，a2均不为0，又b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是在①中令x＝a1a2，r＝b1，可得⎝⎛⎭⎪⎫a1a2b1≤b1·a1a2＋(1－b1)，即ab11a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数且b1＋b2＝1，总有ab11ab22≤a1b1＋a2b2.②(3)(2)中命题的推广形式为：若a1，a2，…，a n为非负实数，b1，b2，…，b n为正有理数．若b1＋b1＋…＋b n＝1，则ab11ab22…ab nn≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n.③用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，b1＝1，有a1≤a1，③成立．②假设当n＝k时，③成立，即若a1，a2，…，a k为非负实数，b1，b2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1 ＝(ab 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k1－b k ＋1k)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得 a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k 1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．M3 数学归纳法21．D1、D3、E1、M3设数列{a n}的前n项和S n满足S n＋1＝a2S n＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{a n}是首项为1的等比数列；(2)若a2＞－1，求证：S n≤n2(a1＋a n)，并给出等号成立的充要条件．21．解：(1)证法一：由S2＝a2S1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1.因a2≠0，故a1＝1，得a2a1＝a2.又由题设条件知Sn＋2＝a2S n＋1＋a1，S n＋1＝a2S n＋a1，两式相减得S n＋2－S n＋1＝a2(S n＋1－S n)，即a n＋2＝a2a n＋1，由a2≠0，知a n＋1≠0，因此an＋2an＋1＝a2.综上，an＋1an＝a2对所有n∈N*成立，从而{a n}是首项为1，公比为a2的等比数列．证法二：用数学归纳法证明a n＝a n－12，n∈N*.当n＝1时，由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1，所以结论成立．假设n＝k时，结论成立，即a k＝a k－12，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝(a2S k＋a1)－(a2S k－1＋a1)＝a2(S k－S k－1)＝a2a k＝a k2，这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．综上可得，对任意n∈N*，a n＝a n－12.因此{a n}是首项为1，公比为a2的等比数列．(2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n2(a 1＋a n )，等号成立．设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知a 1＝1，a n ＝a n －12，所以要证的不等式化为 1＋a 2＋a 22＋…＋a n －12≤n2(1＋a n －12)(n ≥3)，即证：1＋a 2＋a 22＋…＋a n2≤n ＋12(1＋a n 2)(n ≥2)．当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a 2＜1时，a r 2－1与a n －r2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为负；当a 2＞1时，a r 2－1与a n －r 2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为正．因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r 2－1)(a n －r 2－1)＞0，即 a r 2＋a n －r 2＜1＋a n 2(r ＝1,2，…，n －1)．上面不等式对r 从1到n －1求和得2(a 2＋a 22＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n 2)，由此可得1＋a 2＋a 22＋…＋a n2＜n ＋12(1＋a n 2)．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．证法二：当n ＝1或2时，显然S n ≤n2(a 1＋a n )，等号成立．当a 2＝1时，S n ＝n＝n2(a 1＋a n )，等号也成立．当a 2≠1时，由(1)知S n ＝1－a n 21－a 2，a n ＝a n －12，下证： 1－a n 21－a 2＜n 2(1＋a n －12)(n ≥3，a 2＞－1且a 2≠1)．当－1＜a 2＜1时，上面不等式化为(n －2)a n 2＋na 2－na n －12＜n －2(n ≥3)．令f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2－na n －12.当－1＜a 2＜0时，1－a n －22＞0，故f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2(1－a n －22)＜(n －2)|a 2|n ＜n －2，即所要证的不等式成立．当0＜a 2＜1时，对a 2求导得f ′(a 2)＝n ＝ng (a 2)．其中g (a 2)＝(n －2)a n －12－(n －1)a n －22＋1，则g ′(a 2)＝(n －2)(n －1)(a 2－1)a n －32＜0，即g (a 2)是(0,1)上的减函数，故g (a 2)>g (1)＝0，从而f ′(a 2)＝ng (a 2)>0，进而f (a 2)是(0,1)上的增函数，因此f (a 2)＜f (1)＝n －2，所要证的不等式成立．当a 2＞1时，令b ＝1a 2，则0＜b ＜1，由已知的结论知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n 1－1a 2＜n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1，两边同时乘以a n －12得所要证的不等式．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．22．B12、M3、M2 (1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x >0)，其中r 为有理数，且0<r <1.求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.22．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )． ① 若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.②(3)(2)中命题的推广形式为：若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数．若b 1＋b 1＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1 ＝(a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k1－b k ＋1k)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k 1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．22． D3、M3 函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．22．解：(1)用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f－5(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f x k ＋1－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k ＋1＝－x k ＋1＋x k ＋12＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①、②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3. (2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n .设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－4.M4 单元综合23．M4 设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A . (1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．23．解：(1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *.由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数；若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是由m 是否属于A 确定的．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n ⎝⎛⎭⎪⎫或n ＋12，所以f (n )＝⎩⎨⎧2n2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.20．B3、D4、M4 设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S (m ，n )为所有这样的数表构成的集合．对于A ∈S (m ，n )，记r i (A )为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤m )，c j (A )为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤n )；记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，…，|r m (A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，…，|c n (A )|中的最小值．(1)对如下数表A，求k(A)的值；(2)设数表A∈S(2,3)求k(A)的最大值；(3)给定正整数t，对于所有的A∈S(2,2t＋1)，求k(A)的最大值．20．解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，所以k(A)＝0.7.(2)不妨设a≤b.由题意得c＝－1－a－b.又因c≥－1，所以a＋b≤0，于是a≤0.r(A)＝2＋c≥1，r2(A)＝－r1(A)≤－1，1c(A)＝1＋a，c2(A)＝1＋b，c3(A)＝－(1＋a)－(1＋b)≤－(1＋a)．1所以k(A)＝1＋a≤1.当a＝b＝0且c＝－1时，k(A)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t，任给数表A∈S(2,2t＋1)如下：任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*∈S(2,2t＋1)，并且k(A)＝k(A*)．因此，不妨设r 1(A )≥0，且c j (A )≥0(j ＝1,2，…，t ＋1)．由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c j (A )(j ＝1,2，…，t ＋1)．又因为c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c 2t ＋1(A )＝0，所以(t ＋2)k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c t ＋1(A ) ＝r 1(A )－c t ＋2(A )－…－c 2t ＋1(A )＝∑j ＝1t ＋1a j －∑j ＝t ＋22t ＋1b j≤(t ＋1)－t ×(－1)＝2t ＋1. 所以k (A )≤2t ＋1t ＋2.对数表A 0：－1＋t －1t t ＋－1＋t －1t t ＋则A 0∈S (2,2t ＋1)，且k (A 0)＝t ＋2.综上，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，k (A )的最大值为2t ＋1t ＋2.。

2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(文科2014)和答案

数学E 单元不等式E1 不等式的概念与性质5．B6，E1 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) D.1x 2＋1>1y 2＋15．A 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x 3>y 3恒成立．故选A. 5．E1 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d5．B 因为c ＜d ＜0，所以1d ＜1c ＜0，即－1d ＞－1c＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d ＞－b c＞0，所以a d －1），x ＋a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎪⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8.当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎪⎫x >－a 2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.10．E2 已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3410．A 由题可知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，函数f (x )单调递减，由cos πx ≤12，得13≤x ≤12；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，函数f (x )单调递增，由2x －1≤12，得12<x ≤34.故当x ≥0时，由f (x )≤12，得13≤x ≤34.又因为f (x )为偶函数，所以f (x )≤12的解解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，所以不等式f (x －1)≤12的解满足－34≤x －1≤－13或13≤x －1≤34，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74. 3．E2、E3 不等式组⎩⎨⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}3．C 由⎩⎨⎧x （x ＋2）>0，|x |<1，得⎩⎨⎧x >0或x <－2，－1<x <1，即0<x <1.E3 一元二次不等式的解法3．E2、E3 不等式组⎩⎨⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}3．C 由⎩⎨⎧x （x ＋2）>0，|x |<1，得⎩⎨⎧x >0或x <－2，－1<x <1，即0<x <1.E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题13．E5 不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．13．4 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S △ABD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×2×(2＋2)＝4.13．E5 若x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．13．1 可行域如图，当目标函数线z ＝y ＋3x 过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧y ＝1，x ＋y －1＝0，得A (0，1)，故z min ＝3×0＋1×1＝1.11．E5，H4 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4911．C作出不等式组⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得b ＝1.解方程组⎩⎨⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P .又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值，所以，a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37，故选C.4．E5 若变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．114．D 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线l ：2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (4，3)时，直线l 的截距最大，此时z ＝zx ＋y 取得最大值，最大值是11 .4．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是()A ．2B ．4C ．7D ．84．C作出约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z ＝2x ＋y ，平移直线2x ＋y ＝0，易知在直线x ＋y ＝4与直线x －y ＝2的交点A (3，1)处，z ＝2x ＋y 取得最大值7. 故选C.13．E5 若变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．13．7 依题意，画出可行域，如图所示．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，y ＝1得点B 的坐标为(3，1)，则z ＝2x ＋y 在B (3，1)处取得最大值7.14．E5 已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最大值为________．14．18 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z4 ，当直线经过点C 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，故C 点坐标为(2，3)，这时z ＝3×2＋4×3＝18.15．E5 设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．15．5 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界)，z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的截距最大时z 的值．结合题意知，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值，联立x －y ＝0和x ＋2y ＝3，可得点A的坐标为(1，1)，所以z max ＝1＋4＝5.9．E5 设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为()A ．8B ．7C ．2D ．19．B 作出约束条件表示的可行域(略)，可知该可行域为一三角形区域，当目标函数通过可行域的一个顶点(3，2)时，目标函数取得最大值，z max ＝3＋2×2＝7.11．E5 设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－311．B 当a <0时，作出相应的可行域，可知目标函数z ＝x ＋ay 不存在最小值．当a ≥0时，作出可行域如图，易知当－1a＞－1，即a ＞1时，目标函数在A点取得最小值．由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，知z min ＝a －12＋a 2＋a 2＝7，解得a ＝3或－5(舍去)．10．E5 已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．210．B 画出关于x ，y 的不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．显然当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最小值，即25＝2a ＋b ，所以25－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20.构造函数m (a )＝5a 2－85a ＋20(0<a <5)，显然当a ＝455时，函数m (a )取得最小值4.故a 2＋b 2的最小值为4.6．E5、L1 执行如图12的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )图12A ．0B ．1C ．2D ．36．C题中程序输出的是在⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取最大值2，2>1，故选C.2．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．B 作出可行域，如图中阴影部分所示．联立⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，可得点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z ＝1×1＋2×1＝3.12．E5 若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．12．实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎪⎫1，32.令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .当直线y ＝－x ＋z 经过A 点时，z 取最小值1；经过B 点时，z 取最大值3.故x ＋y 的取值范围是．E6 2a b+≤9．B7、E6 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋43 D ．7＋439．D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，则4a ＋3b＝1，所以a ＋b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24ba·3ab＝7＋4 3，当且仅当4ba＝3ab，即a＝4＋2 3，b＝2 3＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 3.16．E6某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900 (2)100 (1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，F＝76 000vv2＋18v＋121＝76 000v＋121v＋18≤76 0002 v·121v＋18＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F＝76 000vv2＋18v＋100＝76 000v＋100v＋18≤2000，当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．14．C8、E6若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是______．14.6－24设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得a＋2b＝2c.故cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－⎝⎛⎭⎪⎫a＋2b222ab＝34a2＋12b2－22ab2ab＝34a2＋12b22ab－24≥234a2·12b22ab－24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b＝23时等号成立． 16．E6 对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________．16．－1 因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a＋b |取得最大值．故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－1，其最小值为－1.21．H5，H8，E6 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程．(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(i)设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值；(ii)求△OMN 面积的最大值．21．解：(1)由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5. 因此2×25a 5＝4105，即a ＝2，所以b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(i)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)．因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，且AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8mk1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1. 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)．令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)．可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此，存在常数λ＝－12使得结论成立．(ii)直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－34y 1.由(i)知M (3x 1，0)，所以△OMN的面积S＝12×3|x1|×34|y1|＝98|x1||y1|.因为|x1||y1|≤x214＋y21＝1，当且仅当|x1|2＝|y1|＝22时，等号成立，此时S取得最大值9 8，所以△OMN面积的最大值为9 8 .E7 不等式的证明方法20．A1、D3、E7已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n＜b n，则s＜t.20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，bi∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.E8 不等式的综合应用16．E8 已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．16.63方法一：令b ＝x ，c ＝y ，则x ＋y ＝－a ，x 2＋y 2＝1－a 2，此时直线x ＋y ＝－a 与圆x 2＋y 2＝1－a 2有交点，则圆心到直线的距离d ＝|a |2≤1－a 2，解得a 2≤23，所以a 的最大值为63.方法二：将c ＝－(a ＋b )代入a 2＋b 2＋c 2＝1得2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0，此关于b 的方程有实数解，则Δ＝(2a )2－8(2a 2－1)≥0，整理得到a 2≤23，所以a 的最大值为63.9．E2、E8 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或8 9．D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8.当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >－a 2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.9．E8 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元9．C 设底面矩形的一边长为x .由容器的容积为4 m 3，高为1 m ．得另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C.19．B3、B4、B14、E8 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈ 当x ∈时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．D ．12．C 当－2≤x <0时，不等式可转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故函数f (x )在上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤f min (x )＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4，故函数g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥g max (x )＝g (1)＝1－4－31＝－6.综上，－6≤a ≤－2.21．B11、B12、E8 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意b＞a＞0，f（b）－f（a）b－a＜1恒成立，求m的取值范围．21．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋ex，则f′(x)＝x－ex2，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x>0)，设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝2 3 .又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a<1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x (x >0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h ′(x )＝1x －mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x >0)恒成立，∴m ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立，∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.E9 单元综合6．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤186．D 因为2＝a ＋b 2≤a 2＋b 22，所以a 2＋b 2≥8，所以1a 2＋b 2≤18. 8．已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：①若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋ba≥2；③若a ＞|b |，则a 2＞b 2. 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．08．C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，故①为假命题；当a 与b 异号时，a b <0，b a<0，故②为假命题；因为a >|b |≥0，所以a 2>b 2，故③为真命题．6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －3y 的最大值为()A ．4B ．3C ．2D ．16．A 依题意画出可行域如图所示，由图可知，z ＝x －3y 在点(1，－1)处取得最大值4.8．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A．(3，4)B．(－2，－1)∪(3，4)C．(3，4]D．8．D 由题意得，原不等式为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，解得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，则3<a≤4；当a＜1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1.故a∈．11．已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则1x＋13y的最小值是( )A．2 B．2 2 C．4 D．2 311．C 因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以1x＋13y＝1x＋13y(x＋3y)＝2＋3yx＋x3y≥4，当且仅当3yx＝x3y，即x＝12，y＝16时，取等号．17．设OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b，0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则1a＋2b的最小值是____________．17．8 易知AB→＝(a－1，1)，AC→＝(－b－1，2)．因为A，B，C三点共线，所以2(a－1)－(－b－1)＝0，即2a＋b＝1.又a>0，b>0，所以1a＋2b＝1a＋2b(2a＋b)＝4＋ba＋4ab≥4＋4＝8，当且仅当a＝14，b＝12时，取等号．。

2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 E单元不等式(文科20

数学E 单元不等式E1 不等式的概念与性质 8．B6，B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c c b8．B [解析] 当0<c <1时，函数y ＝log c x 单调递减，而a >b >0，所以log c a <log c b ，所以B 正确；当1>a >b >0时，有log a c >log b c ，所以A 错误；利用y ＝x c 在第一象限内是增函数即可得到a c >b c ，所以C 错误；利用y ＝c x 在R 上为减函数可得c a <c b ，所以D 错误．E2 绝对值不等式的解法 5．A2、E2[2016·天津卷] 设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．C [解析] 由x >|y |可得－x <y <x ，即由x >|y |可得x >y ，必要性成立；当x ＝1，y ＝－3时，x >y 成立，x >|y |不成立，即充分性不成立．1．E2[2016·上海卷] 设x ∈R ，则不等式|x －3|<1的解集为________．1．(2，4) [解析] 由题意得－1<x －3<1，解得2<x <4，故不等式的解集为(2，4)． E3 一元二次不等式的解法12．B12，C6，E3[2016·全国卷Ⅰ] 若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1，1]B ．[－1，13]C ．[－13，13 ]D ．[－1，－13]12．C [解析] 方法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x＋53，因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0，即－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0恒成立．设t ＝cos x ∈[－1，1]，则g (t )＝4t 2－3at －5≤0在[－1，1]上恒成立，所以有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝4×（－1）2－3a ×（－1）－5≤0，g （1）＝4×12－3a ×1－5≤0，解得－13≤a ≤13.方法二：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不满足f (x )在(－∞，＋∞)单调递增，排除A ，B ，D ，故选C. E4 简单的一元高次不等式的解法E5 简单的线性规划问题4．E5[2016·山东卷] 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．124．C [解析] 可行域如图所示，设z ＝x 2＋y 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，由图可知，当圆x 2＋y 2＝z 过点(3，－1)时z 取得最大值，即(x 2＋y 2)max ＝32＋(－1)2＝10.4．E5[2016·浙江卷] 若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355B. 2C.322D. 5 4．B [解析] 由题意得，可行域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)，B (2，1)，C (3，3)，斜率为1的两平行直线与AB 垂直，故这两条平行直线间的距离的最小值是|AB |＝（1－2）2＋（2－1）2＝ 2.7．E5[2016·北京卷] 已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．87．C [解析] 设z ＝2x －y ，则y ＝2x －z .易知当y ＝2x －z 的图像过点B 时，z 取得最大值，即最大值为7.7．E5[2016·上海卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________．7．－2 [解析] 由不等式组画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x －2y ，当直线y ＝12x －12z 经过点P (0，1)时，z 取得最大值，且最大值为－2.16．E5[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．16．216 000 [解析] 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z元，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝2100x ＋900y . 作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域．由图可知当直线z ＝2100x ＋900y 经过点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60，100)，所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2100×60＋900×100＝216 000.14．E5[2016·全国卷Ⅱ] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．14．－5 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0画出可行域(图中阴影部分所示)，则z ＝x －2y 在B处取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x －3＝0，得B (3，4)，所以z min ＝3－8＝－5.12．E5、H2[2016·江苏卷] 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．12.45，13 [解析] 可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即|－2|52＝45，最大值为OB 2＝22＋32＝13.E6 2a b+≤10．B7，E6[2016·四川卷] 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)10．A [解析] 不妨设P 1，P 2两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，其中0<x 1<1<x 2.由题意可知，f ′(x )＝⎩⎨⎧－1x，0<x <1，1x，x >1.由于l 1，l 2分别是点P 1，P 2处的切线，所以l 1的斜率为－1x 1，l 2的斜率为1x 2.又l 1与l 2垂直，且0<x 1<x 2，所以－1x 1·1x 2＝－1，即x 1·x 2＝1，可以写出l 1与l 2的方程分别为l 1：y ＝－1x 1(x －x 1)－ln x 1，l 2：y ＝1x 2(x －x 2)＋ln x 2.则点A 的坐标为(0，1－ln x 1)，点B 的坐标为(0，－1＋ln x 2)，由此可得|AB |＝2－ln x 1－ln x 2＝2－ln(x 1·x 2)＝2.联立⎩⎨⎧y ＝－1x 1（x －x 1）－ln x 1，y ＝1x 2（x －x 2）＋ln x 2，解得交点P 的横坐标为2x 1＋x 2，故S △P AB ＝12×2×2x 1＋x 2＝2x 1＋1x 1≤1，当且仅当x 1＝1x 1，即x 1＝1时，等号成立．而0<x 1<1，所以0<S △P AB <1，故选A.13．E6[2016·上海卷] 设a >0，b >0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________．13．(2，＋∞) [解析] 将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ，由方程组无解得1－ab ＝0且1－b ≠0，所以ab ＝1且b ≠1.由基本不等式得a ＋b >2ab ＝2，故a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．14．C8、E6[2016·江苏卷] 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．14．8 [解析] 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C －1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tan A tan B tan C ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号． E7 不等式的证明方法 E8 不等式的综合应用21．B11，B12，E8[2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a .当x ∈（0，12a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1e x －1>0.(3)由(2)知，当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0.当0<a <12时，12a >1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a）>0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0.因此，h (x )在区间(1，＋∞)单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈[12，＋∞）.E9 单元综合1．[2016·河北“五个一联盟”质检]若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，则实数a 的最小值为 ( )A ．1 B. 2 C.12 D.221．C [解析] 由题意得a ≥x x 2＋1恒成立，由于x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，故x x 2＋1的最大值为12，所以a ≥12，即实数a 的最小值为12.2．[2016·江西三校联考]若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A ．1或14 B.12或18 C ．1或12 D.12或142．D [解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，直线kx －y ＋1＝0过定点A (0，1)．当直线kx －y ＋1＝0与y 轴垂直时，围成的区域符合条件，区域面积为S △ABO ＝12；当直线kx －y ＋1＝0与直线x ＋y ＝0垂直时，围成的区域也符合条件，区域面积为S △ACO ＝14.6．[2016·西安一中模拟]某长方体的三视图如图K326，长度为10的体对角线在正视图中的投影长度为6，在侧视图中的投影长度为5，则该长方体的全面积为( )A ．3 5＋2B ．6 5＋4C ．6D ．106．B [解析] 设长方体的长、宽、高分别是x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝10，x 2＋z 2＝6，y 2＋z 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，z ＝1，所以该长方体的全面积为S ＝2(xy ＋yz ＋zx )＝2×(25＋2＋5)＝65＋4.后来，妈妈学会了包粽子，手法依然是奶奶的那套古法制作，妈妈的那个时代，物资开始丰富起来，包粽子的食材也多了，有红枣、红豆、蛋黄、花生、腊肉等。

2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类

数学E 单元不等式E1 不等式的概念与性质5．B6，B7，E1 已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 35．D 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D. 4．E1 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c b cD.a d －1c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d >－bc＞0，所以a d －1），x ＋a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8.当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎪⎫x >－a 2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.E3 一元二次不等式的解法2．A1、E3 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．2．B 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．12．E3、C4 设函数f (x )＝3sin πx m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题5．E5 x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 5．D方法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2), 则z A ＝2，z B ＝－2a ，z c ＝2a －2.要使对应最大值的最优解有无数组，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z ＝y －ax 可变为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，则由题意知l 0∥AB 或l 0∥AC ，故a ＝－1或a ＝2.6．E5 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－126．D 可行域如图所示，当k >0时，知z ＝y －x 无最小值，当k <0时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.11．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．11．1 作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得z min ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.3．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．83．B 本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．当目标函数线经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值；当目标函数线经过点B (2，－1)时，z 取得最大值．故m ＝3，n ＝－3，所以m －n ＝6.14．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.14．－2 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.14．E5 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)，所以z max ＝1＋4＝5.9．E5、A3 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 39．B 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示，设目标函数z ＝x ＋2y ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，－1)处取得最小值，且z min ＝2－2＝0，即x ＋2y 的取值范围是设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．29．B 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.9．E5 已知x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值2 5时，a 2＋b 2的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 29．B 画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即2 5＝2a ＋b ，所以2 5－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20，构造函数m (a )＝5a2－85a ＋20(5>a >0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－（8 5）24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B.18．F2，E5 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解：(1)方法一：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2. (2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.5．E5，L1 执行如图11所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )图11A ．0B ．1C ．2D ．35．C 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C.2．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．B 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.13．E5 当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．13.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎪⎫1，32.当a ≤0时，0≤y ≤32，1≤x ≤2，所以1≤ax ＋y ≤4不可能恒成立；当a >0时，借助图像得，当直线z ＝ax ＋y 过点A 时z 取得最小值，当直线z ＝ax ＋y 过点B 或C 时z 取得最大值，故⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.故a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.E6 基本不等式错误！未找到引用源。

[精品]2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(文科2013)和答案

E 单元不等式E1 不等式的概念与性质2．E1 设a ，b ，c∈R ，且a>b ，则( ) A ．ac>bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 32．D ∵函数y ＝x 3在R 上是增函数，a>b ， ∴a 3>b 3.8．B7，E1 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>a D ．c>a>b8．D a －b ＝log 32－log 52＝1log 23－1log 25＝log 25－log 23log 23log 25>0a>b ，c ＝log 23>1，a<1，b<1，所以c>a>b ，答案为D.15．C6、E1和E3 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x∈R 恒成立，则α的取值范围为________．15.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sinα)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 10．E1、H6和H8 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤2 33，2B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫2 33，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 33，＋∞ D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫2 33，＋∞ 10．A 设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率b a 必须满足33<b a ≤3，所以13<⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤3，43<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤4，即有233<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤2.又双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以23 3<e ≤2.E2 绝对值不等式的解法4．E2 不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1，1) B ．(－2，2)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－2，0)∪(0，2)4．D |x 2－2|<2等价于－2<x 2－2<2，即0<x 2<4，即0<|x|<2，解得－2<x<0或者0<x<2，故所求的不等式的解集是(－2，0)∪(0，2)．E3一元二次不等式的解法20．E3，B12设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．20．解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝a1＋a2，故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}，因此区间I＝0，a1＋a2，区间长度为a1＋a2.(2)设d(a)＝a1＋a2，则d′(a)＝1－a2（1＋a2）2，令d′(a)＝0，得a＝1，由于0<k<1，故当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增；当1<a≤1＋k时，d′(a)<0，d(a)单调递减；因此当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．而d （1－k ）d （1＋k ）＝ 1－k 1＋（1－k ）2 1＋k 1＋（1＋k ）2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1，故d(1－k)<d(1＋k)．因此当a ＝1－k 时，d(a)在区间上取得最小值1－k2－2k ＋k 2.11．B1，E3 函数y ＝ln1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．11．(0，1] 实数x 满足1＋1x >0且1－x 2≥0.不等式1＋1x >0，即x ＋1x >0，解得x>0或x<－1；不等式1－x 2≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．15．C6、E1和E3 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x∈R 恒成立，则α的取值范围为________．15.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sinα)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 7．E3 关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.1527．A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，由(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a)2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52(负值舍去)，故选A.E4 简单的一元高次不等式的解法13．E4 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则x ＋y 的最大值为________．13．6 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图，可知在点B(4，2)处x ＋y 取最大值为6.6．E4 下列选项中，使不等式x<1x <x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞) 6．A x －1x<0x 2－1x<0x<－1或0<x<1，x 2－1x>0x<0或x>1，求交集得x<－1，故选A.14．E4 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤3，－1≤x－y≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．14．3 点(x ，y)是平面内平行线x ＝1，x ＝3与平行线x －y ＝－1，x －y ＝0围成的平行四边形区域，区域的四个顶点坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分别代入得z ＝0，1，2，3，所以z ＝2x －y 的最大值为3.E5 简单的线性规划问题2．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．22．A 可行域如图：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得A(5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z ＝3－2×5＝－7.8．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤8，2y －x≤4，x≥0，y≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．168．C 画出约束条件表示的可行域，如图，由于目标函数z ＝5y －x 的斜率为15，可知在点A(8，0)处，z 取得最小值b ＝－8，在点B(4，4)处，z 取得最大值a ＝16.故a －b ＝24.7．E5 若点(x ，y)位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是( )A ．－6B ．－2C ．0D ．27．A 结合题目可以作出y ＝∣x∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A(－2，2)时，z 取最小值，为2×(－2)－2＝－6.14．E5 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．14. 2 可行域如图，当OM 垂直于直线x ＋y －2＝0时，|OM|最小，故|OM|＝|0＋0－2|1＋1＝2.图1－53．E5 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－33．B 画出可行域如图△ABC，易得A(3，－2)，B(3，4)，C(0，1)，作出直线y ＝23x ，平移易知直线过B 点时直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小．故选B.图1－17．E5 执行右面的程序框图1－2，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋14B ．1＋12＋13×2＋14×3×2C ．1＋12＋13＋14＋15D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2图1－27．B k ＝1，T ＝1，S ＝1；k ＝2，T ＝12，S ＝1＋12；k ＝3，T ＝12×3，S ＝1＋12＋12×3；k ＝4，T ＝12×3×4，S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，k ＝5>4成立，输出S ，答案为B.9．E5 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 由y ＝x 2得y′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜率k＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.作直线l 0：x ＋2y ＝0.当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2(－1)＝－2；当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝12.故x ＋2y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.9．E5 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元9．C由题意知⎩⎪⎨⎪⎧36A ＋60B≥900，A ＋B≤21，B －A≤7，其可行域如图中阴影部分，令z ＝1 600A ＋2 400BB ＝－23A ＋z 2 400，过点M(5，12)时，z min ＝1600×5＋2 400×12＝36 800.13．E5 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，－1≤x≤1，y≥1，则z ＝x ＋y的最大值是________．13．5 根据图知，线性目标函数z ＝x ＋y 在点C 处取得最大值，易求点C(1，4)，故z max ＝5.6．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，x≥1，y≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和06．B 可行域如图所示，直线z ＝2x ＋y 过点A(1，0)时，z min ＝2，过点B(2，0)时，z max ＝4，故选B.12．E5 设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，2x －y≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．12.2 55在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D 内的点到点(1，0)的距离最小值为点(1，0)到直线2x －y ＝0的距离，即d ＝|2－0|5＝2 55.12．E5 若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1，x ＋2y≤4，则x ＋y 的最大值为________．12．4 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，设z ＝x ＋y ，则z 的几何意义是直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距，结合图形，可知当直线y ＝－x ＋z 通过点A(4，0)时z 最大，此时z ＝4.15．E5 设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z的最大值为12，则实数k ＝________．15．2 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC 及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(2，3)，要使z 的最大值为12，只能经过B 点，此时12＝4k ＋4，k ＝2.E6 基本不等式7．E6 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A． B．C．7．D 1＝2x＋2y≥2 2x＋y2x＋y≤2－2x＋y≤－2，当且仅当x ＝y＝－1时，等号成立，故选D.14．E6在如图1－3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______(m)．图1－314．20 利用所给的图形关系，由图形关系可知三角形相似，设矩形的另一边长为y，则x40＝40－y40，所以y＝40－x，又有xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝400，当且仅当x＝y时等号成立，则x＝40－x，即x＝20，故矩形面积最大时x的值为20.13．E6已知函数f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.3．36 由基本不等式性质，f(x)＝4x＋ax (x>0，a>0)在4x＝ax，即x2＝a4时取得最小值，由于x＞0，a＞0，再根据已知可得a4＝32，故a＝36.E7 不等式的证明方法E8 不等式的综合应用12．E8 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98C ．2 D.9412．C 由题意得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥2 x y ·4yx－3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时，等号成立，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －()4y 2－6y 2＋4y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.20．H4，E8，B1 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q(m ，n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n表示为m 的函数．20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4，得 (1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k 2)×12>0，得k 2>3. 所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM|2＝(1＋k 2)x 21，|ON|2＝(1＋k 2)x 22.又|OQ|2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22，即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m 2<3，即m∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q 在圆C 内，则n>0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805.于是，n与m的函数关系为n＝15m2＋1805(m∈(－3，0)∪(0，3))．15．H1，C8，E8在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) 在以A，B，C，D为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC，BD交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC所在直线方程为y＝2x，BD所在直线方程为y＝－x＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．E9单元综合19．D5，E9设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n＝a2n＋1－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1<12.19．解：。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 N单元选修4系列(理科2014)和答案

数学N 单元选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲15．N1 (几何证明选讲选做题)如图13所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．图1315．9 本题考查相似三角形的性质定理，面积比等于相似比的平方． ∵EB ＝2AE ，∴AE ＝13AB ＝13CD .又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△AEF ∽△CDF ，∴△CDF 的面积△AEF 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9.15．N1 (选修41：几何证明选讲)如图13，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________．图1315．4 由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝PA ＝2QA ＝4.12．N1如图13所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于________．图1312.32设圆的半径为r，记AO与BC交于点D，依题可知AD＝1.由相交弦定理可得1×(2r－1)＝2×2，解得r＝3 2 .22．N1选修41：几何证明选讲如图17所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上—点且PG ＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.图1722．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又因为∠PGD＝∠EGA，所以∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.22．N1选修41：几何证明选讲如图16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.图16(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE 为等边三角形．22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．22．N1选修41：几何证明选讲如图14，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.图1422．证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA 2＝PB ·PC .因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2. 15．图13B ．N1(几何证明选做题)如图13，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．15． B ．3 B ．由题意，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽ACB ，所以AE AC ＝EFBC.因为AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3.6．N1图12如图12所示，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( )A．①②B．③④C．①②③D．①②④6．D 如图所示，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD 平分∠CBF，∴△ABF∽△BDF.∵ABBD＝AFBF，∴AB·BF＝AF·BD.∵AFBF＝BFDF，∴BF2＝AF·DF.故①②④正确．14．N1过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．14．4 根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得PA2＝PB·PC ＝PB·(PB＋BC)，即36＝PB·(PB＋9)∴PB＝3，∴PC＝12.由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴ABCA＝PBPA，即AB＝PB·CAPA＝3×86＝4.N2 选修4-2 矩阵21．N2 (Ⅰ)选修42：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵．(1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 21. (Ⅰ)解：(1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且||A －1＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎝⎛⎭⎪⎪⎫ 2 －1－1 2＝ .(2)矩阵A－1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1)是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11)是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．N3 选修4-4 参数与参数方程13．N3 在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．13．3 将ρ＝4sin θ与ρsin θ＝a 转化为直角坐标方程分别为x 2＋(y －2)2＝4与y ＝a .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，x 2＋（y －2）2＝4，得x 2＝－a 2＋4a ，且0<a <4. ∵△AOB 为等边三角形，∴a 2＝3(－a 2＋4a )，解得a ＝3或a ＝0(舍)．4．N3 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 24．D 直线l 的普通方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程是(x －2)2＋y 2＝4，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为222－（2）2＝22.3．N3 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上3．B 曲线方程消参化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心点为(－1，2)，验证知其在直线y ＝－2x 上．21． N3 (Ⅱ)选修44：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 21. (Ⅱ)解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝≤4，解得－25≤a ≤2 5.14．N3 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．14．(1，1) 本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程的方法．将曲线C 1的方程ρsin 2θ＝cos θ 化为直角坐标方程为y 2＝x ，将曲线C 2的方程ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1，1)． 16．N3 (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．16.()3，1 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1.11．N3 在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．11．ρcos θ－ρsin θ＝1 依题意可设直线l ：y ＝x ＋b ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.由|AB |＝2可知圆心(2，1)在直线l ：y ＝x ＋b 上，即l ：y ＝x －1，所以l 的极坐标方程是ρcos θ－ρsin θ－1＝0.11．N3 (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π411．(2)A 依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，整理得ρ＝1cos θ＋sin θ.因为0≤x ≤1，所以 0≤y ≤1，结合图形可知，0≤θ≤π2.23．N3 选修44：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.23．N3 选修44：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.23．N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.15． C ．N3(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．15． C ．1 C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的极坐标可化为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsinθ＝2sin π6＝1，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6在平面直角坐标系中的坐标为(3，1)．直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝ρsin θcos π6－ρcos θsin π6＝1，即该直线在直角坐标系中的方程为x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝1.自选模块2．N3 (1)在极坐标系Ox 中，设集合A ＝{(ρ，θ)|0≤θ≤π4，0≤ρ≤cos θ}，求集合A 所表示区域的面积；(2)在直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－4＋t cos π4，y ＝t sin π4(t 为参数)，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，其中a ＞0.若曲线C 上所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围．解：(1)在ρ＝cos θ两边同乘ρ，得ρ2＝ρcos θ.化成直角坐标方程，得x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.所以集合A 所表示的区域为：由射线y ＝x (x ≥0)，y ＝0(x ≥0)，圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14所围成的区域，如图所示的阴影部分，所求面积为π16＋18.(2)由题意知，直线l 的普通方程为x －y ＋4＝0.因为曲线C 上所有点均在直线l 的右下方，故对θ∈R ，有a cos θ－2sin θ＋4＞0恒成立，即a 2＋4cos(θ＋φ)＞－4⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝2a 恒成立，所以a 2＋4＜4.又a ＞0，得0＜a ＜2 3.15．N3 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．15.5 由题意，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的平面直角坐标方程为y 2＝4x ，联立直线l 与曲线C 的方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝（1－0）2＋（2－0）2＝ 5.N4 选修4-5 不等式选讲 21． N4 (Ⅲ)选修45：不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 21. (Ⅲ)解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.8．N4、J2 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．1308．D 本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设集合M ＝{0}，N ＝{－1，1}．当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有2个取值为0时，另外3个从N 中取，共有C 25×23种方法；当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有3个取值为0时，另外2个从N 中取，共有C 35×22种方法；当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有4个取值为0时，另外1个从N 中取，共有C 45×2种方法．故总共有C 25×23＋C 35×22＋C 45×2＝130种方法，即满足题意的元素个数为130.9．N4 不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．9．(－∞，－3]∪ 本题考查绝对值不等式的解法．|x －1|＋|x ＋2|≥5的几何意义是数轴上的点到1与－2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x ≤－3或x ≥2，即不等式的解集为(－∞，－3]∪ 若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________．13．－3 依题意可得－3＜ax －2＜3，即－1＜ax ＜5 ，而－53＜x ＜13，即－1＜－3x ＜5，所以a ＝－3.11．N4 (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．(1)C 易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立．故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. 24．N4 选修45：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x 2≤14.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34，因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·2＝xf (x )＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.24．N4 选修45：不等式选讲若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.24.解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6. 24．N4 选修45：不等式选讲设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．24．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2，所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋21.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 15． A ．N4(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．15．A. 5 A ．由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，代入数据，得m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，故m 2＋n 2 的最小值为 5.自选模块1．N4 (1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3；(2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立条件．解：(1)当x ≤－1时，2(2－x )＋(x ＋1)＞3，得x ＜2，此时x ≤－1；当－1＜x ≤2时，2(2－x )－(x ＋1)＞3，得x ＜0，此时－1<x <0；当x >2时，2(x －2)－(x ＋1)＞3，得x >8，此时x >8. 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)． (2)证明：由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立． 16．N4 若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋1a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．16.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，则①当x <－2时，f (x )＝－2x ＋1－x －2＝－3x －1>5；②当－2≤x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1＋x ＋2＝－x ＋3，故52≤f (x )≤5；③当x >12时，f (x )＝2x －1＋x ＋2＝3x ＋1>52.综合①②③可知f (x )≥52，所以要使不等式恒成立，则需a 2＋1a ＋2≤5，解得－1≤a ≤1.1．已知点P 所在曲线的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点Q 所在曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4＋2t (t 为参数)，则|PQ |的最小值是( )A ．2 B.4 55＋1C ．1 D.455－11．D 易知点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上，圆心为(1，0)，半径为1，点Q 在直线2x －y ＋2＝0上，故|PQ |的最小值是|2＋2|5－1＝4 55－1.4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C 1与C 2的交点的个数为________．4．2 由题意，曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)可化为一般方程x 24＋y 23＝1，直线C 2的极坐标方程ρ·(cos θ－sin θ)＋1＝0可化为普通方程x －y＋1＝0.联立两个方程，消去y 可得x 24＋（x ＋1）23＝1，即7x 2＋8x －8＝0.因为Δ＝82＋4×7×8>0，所以直线与椭圆相交，且有两个交点．5．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(a ＞0，θ为参数)．若圆C 1与圆C 2外切，则实数a ＝____________．5. 2 依题意，ρ＝42cos θ－π4＝4cos θ＋4sin θ，化成普通方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8，即该圆的圆心为C 1(2，2)，半径r 1＝22.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(a >0，θ为参数)化成普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，即圆心为C 2(－1，－1)，半径r 2＝a .由丙点间两圆外切可得|C 1C 2|＝3 2＝2 2＋a ，所以a ＝ 2.6．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) 由曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，可得其普通方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，所以曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．7．已知极坐标系下曲线ρ＝4sin θ表示圆，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心的距离为____________．7．2 3 将曲线ρ＝4sin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝4y ，则该圆的圆心为(0，2)，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(2 3，2)，由两点间距离公式可得d ＝（23）2＋（2－2）2＝2 3.8．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若直线l 经过圆C 的圆心，则常数a 的值为________．8．1 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)化为普通方程为y ＝x －a ，将圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，则圆心为(1，0)，代入直线y ＝x －a 可得a ＝1.9．在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(2，π)，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π4＝2，则点A 到直线l 的距离是____________．9．2 2 由题意，直线l 的极坐标方程为ρsin θcos π4＋cos θsin π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.又点A 的直角坐标为(－2，0)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|－2－2|2＝2 2.。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 K单元概率(理科2014)和答案

数学K 单元概率 K1 随机事件的概率20．K1、K5、K6、K8、K9 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：所以，E(Y)③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下：所以，E(Y)综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．17．K1，K5，K6，K8一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．17．解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－10＝18，P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18.所以X 的分布列为：(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．K2 古典概型11．J2、K2 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．11.16 本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C 710种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5中选三个，从7，8，9中选三个不同的数即可，有C 36C 33种方法．故这七个数的中位数是6的概率P ＝C 36C 33C 710＝16.18．K2、K6、K8 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(i)顾客所获的奖励额为60元的概率； (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．18．解：(1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2，(ii)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝1 2，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X1的期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2的期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.5．K2 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.785．D 每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－216＝78.6．K2 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.456．C 利用古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况有C 25＝10(种)，选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有：选取的2个点的连线为正方形的4条边长和2条对角线长，共有6种．故所求概率P ＝610＝35.16．K2、K4、K6 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．16．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)，所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.9．K2、K8 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1，2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1p 2；E (ξ1)＝1×36＋2×36＝32，E (ξ2)＝1×C 23C 26＋2×C 13C 13C 26＋3×C 23C 26＝2，则E (ξ1)<E (ξ2)．故选A. 方法二：p 1＝m m ＋n ×22＋n m ＋n ×12＝2m ＋n 2（m ＋n ），p 2＝C 2m C 2m ＋n ×33＋C 1m C 1mC 2m ＋n ×23＋C 2nC 2m ＋n×13＝ 3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n3（m ＋n ）（m ＋n －1），则p 1－p 2＝mn ＋n （n －1）6（m ＋n ）（m ＋n －1）>0；E (ξ1)＝1×nm ＋n ＋2×m m ＋n ＝2m ＋nm ＋n，E (ξ2)＝1×C 2n C 2m ＋n ＋2×C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3×C 2mC 2m ＋n＝3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n（m ＋n ）（m ＋n －1），E (ξ1)－E (ξ2)＝－m 2＋m －mn（m ＋n ）（m ＋n －1）<0，故选A.18．K2，K6 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数)18．解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384，P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×42＋2×84＋3×12＝28.K3 几何概型14．B13、K3 如图14，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1414.2e 2 因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝e x 的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝2⎠⎜⎛1eln x d x ＝2(x ln x －x)|e1＝2＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝2e2.7．K3 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.787．D 作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝12×1×12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D. 14．K3 正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图13所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．图1314.23 正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积S 1＝2⎠⎜⎛－11(1－x 2)d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 31－1＝83，故质点落在阴影区域的概率P ＝834＝23.K4 互斥事件有一个发生的概率17．K4、K6 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，故所求的分布列为数学期望为E(X)＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.16．K2、K4、K6某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13·C27＋C03·C37C310＝4960，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为49 60 .(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝C k4·C3－k6C310(k＝0，1，2，3)，所以随机变量X的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.K5 相互对立事件同时发生的概率17．K5、K6 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)． 17．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.16．K5、K6 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与x的大小．(只需写出结论) 16．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝AB∪AB，A，B相互独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.故P(C)＝P(AB)＋P(AB)＝35×35＋25×25＝13 25 .所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为13 25 .(3)EX＝x－.17．I2、K5随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．20．K1、K5、K6、K8、K9计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水X(年入流量：一年内上游来水与电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．有1年的年入流量超过120的概率．(1)求未来4年中，至多．．(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7， p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得Y 的分布列如下：所以，E(Y)综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．21．K6、K5、K9随机将1，2，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数．A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2.记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；(3)对(2)中的事件C，C－表示C的对立事件，判断P(C)和P(C－)的大小关系，并说明理由．21．解：(1)当n＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C36＝20(种)，所以ξ的分布列为：Eξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n－1，n，n＋1，…，2n－2. 又ξ和η恰好相等且等于n－1时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k2k 种．所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23，当n ≥3时，P (C )＝2⎝⎛⎭⎫2＋∑n －2k ＝1C k 2kC n2n. (3)由(2)得，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑n －2k ＝1C k 2k )<C n2n ，①用数学归纳法来证明：(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立．(ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k <C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时，左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m ＋1－2k ＝1C k 2k ＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4C m －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋12（m ＋1）· 2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）<C m ＋12（m ＋1）＝右边，即当n＝m＋1时，①式也成立．综合(i)(ii)得，对于n≥3的所有正整数，都有P(C)<P(C)成立．18．I2、K5、K6一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图14所示．图14将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．18．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P(A)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，1P(A)＝0.003×50＝0.15，2P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P(X＝0)＝C0·(1－0.6)3＝0.064，3P(X＝1)＝C1·0.6(1－0.6)2＝0.288，3P(X＝2)＝C2·0.62(1－0.6)＝0.432，3P(X＝3)＝C3·0.63＝0.216.3X的分布列为因为X～B(3，D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.20．K5、K8设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．20．解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝1P(A)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝10．31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.17．K1，K5，K6，K8一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．17．解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18，P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18.所以X 的分布列为：(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．K6 离散型随机变量及其分布列17．K5、K6 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)． 17．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.16．K5、K6 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)16．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝AB∪AB，A，B相互独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.故P(C)＝P(AB)＋P(AB)＝35×35＋25×25＝13 25 .所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为13 25 .(3)EX＝x－.18．K2、K6、K8为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．18．解：(1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2，(ii)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝1 2，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X1的期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2的期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.20．K1、K5、K6、K8、K9计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7， p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 17．K4、K6 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.12．K6 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．12.12 由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12. 21．K6、K5、K9 随机将1，2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数．A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2.记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；(3)对(2)中的事件C，C－表示C的对立事件，判断P(C)和P(C－)的大小关系，并说明理由．21．解：(1)当n＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C36＝20(种)，所以ξ的分布列为：Eξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n－1，n，n＋1，…，2n－2.又ξ和η恰好相等且等于n－1时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n＋k(k＝1，2，…，n－2)(n≥3)时，不同的分组方法有2C k2k种．所以当n＝2时，P(C)＝46＝23，当n≥3时，P(C)＝2⎝⎛⎭⎫2＋∑n－2k＝1C k2kC n2n.(3)由(2)得，当n＝2时，P(C)＝13，因此P(C)>P(C)．而当n≥3时，P(C)<P(C)．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑n －2k ＝1C k 2k )<C n2n ，①用数学归纳法来证明：(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立．(ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k <C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时，左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m ＋1－2k ＝1C k 2k ＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4C m －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋12（m ＋1）· 2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）<C m ＋12（m ＋1）＝右边，即当n ＝m ＋1时，①式也成立．综合(i)(ii)得，对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立．18．I2、K5、K6 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图14所示．图14。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 N单元选修4系列(理科2013)和答案

N单元选修4系列N1选修4-1 几何证明选讲图1－622．N1选修4－1：几何证明选讲如图1－6所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．22．解：(1)证明：联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝3 2 .设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE ＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于3 .15．N1 (几何证明选讲选做题)如图1－3所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED ＝2，则BC＝________．图1－315．2 3 由题知∠ACB＝90°，又BC＝CD，∴AD＝AB＝6，∠BAC＝∠CAE，∴AE＝AD－ED＝4.∵CE为切线，∴∠ACE＝∠ABC.∴∠ACE＋∠CAE＝∠ABC＋∠BAC＝90°.在△ACD中，∠ACD＝90°，CE⊥AD，∴CD2＝ED·DA＝12，解得CD＝2 3，故BC＝2 3.图1－515．N1 (选修4－1：几何证明选讲)如图1－5所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________． 15．8 设AB ＝6k ，则AD ＝2k ，DO ＝k ，CO ＝3k ，设EO ＝x ，由射影定理：DO 2＝EO·CO，k 2＝x·3k，x ＝k 3，故CE EO ＝3k －k 3k 3＝8. 图1－311．N1 如图1－2所示，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P.PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________． 11.32由相交弦定理可知PA·PB＝PC·PD，得PC ＝4，故弦CD ＝5，又半径r ＝7，记圆心O 到直线CD 的距离为d ，则d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝7，即d 2＝34，故d ＝3. 21．N1 A ．如图1－1所示，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC.求证：AC ＝2AD.图1－1证明：联结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ，所以BC OD ＝AC AD. 又BC ＝2OC ＝2OD.故AC ＝2AD.11．N1 如图1－2，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________．图1－211.954 由于PD∶DB＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a ，PB ＝25a ，根据切割线定理有PA 2＝PD·PB，∴a＝15，∴PD＝95，PB ＝5.又∵△PBA 为直角三角形，∴AB 2＋AP 2＝PB 2，∴AB＝4.22．N1 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，联结AE ，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF 2＝AD·BC.图1－822．证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB 为⊙O 的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2. 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF.类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF.又在Rt △AEB 中，EF⊥AB，故EF 2＝AF·BF，所以EF 2＝AD·BC .N1B ．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图1－46 利用已知可得，∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得PE PA ＝PD PE，而PD ＝2DA ＝2，则PA ＝3，则PE 2＝PA·PD＝6，PE ＝ 6. 15．C8，E8，N1 设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到P 1，P 2，…，P n 点的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…，P n 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．则有下列命题：①若A ，B ，C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)15．①④ 对于①，如果中位点不在直线AB 上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB 上时，如果不与C 重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C 为唯一的中位点，①正确；对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为5，显然25＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；对于③，当A ，B ，C ，D 四点共线时，不妨设他们的顺序就是A ，B ，C ，D ，则当点P 在B ，C 之间运动时，点P 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．13．N1 如图1－2所示，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ，若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．图1－213.83由切割线定理可得EA 2＝EB·ED，有EB ＝4，ED ＝9. 因为AB ＝AC ，所以∠ABC＝∠C＝∠ADB，由弦切角定理可得∠EAB＝∠ADB，所以∠EAB＝∠ABC，故AE∥BC.又BD∥AC，所以四边形AEBC 是平行四边形，可得BC ＝AE ＝6，又由平行线分线段成比例定理可得BF AE ＝BD DE ，因为AE ＝6，所以BF ＝103，故CF ＝BC －BF ＝83. 22．N1 选修4－1：几何证明选讲：如图1－5，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．图1－522．解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BC FA ＝DC EA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CF E ＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)联结CE ，因为∠CBE＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB·DA＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.1－614．N1 如图1－6所示，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD⊥CD，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．14．5 联结CE.由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以在Rt △BCD 中，∠CBD＝30°.又在Rt △ABC 中，∠ABC＝30°，AC ＝12AB ＝10，所以CE ＝AC ＝10.在Rt △CDE 中，∠DCE＝30°，故DE ＝12CE ＝5. N2 选修4-2 矩阵21． N2(Ⅰ)选修4－2：矩阵与变换已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝错误!)对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0y 0)，求点P 的坐标． (Ⅰ)解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x′y′)＝错误!))错误!)＝错误!)，得错误! 又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1，0)．N2B ．已知矩阵A ＝－1,0) 0,2)，B ＝1,0) 2,6)，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为a,c) b,d)，则－1,0) 0,2)a,c) b,d)＝1,0) 0,1)．即－a,2c) －b,2d)＝1,0) 0,1)，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0,12)))．所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0,12)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)． 2．N2，N3 已知a∈R “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若|PA|·|PB|＝83，求|AB|的值． 2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ.又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，故化成直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2.又(0，0)满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2.(2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2. 设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)．及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2. 将直线的参数方程代入x 2＋2y 2＝2得 (2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0. 即(1＋sin 2α)t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0.则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2α)>0，且t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）1＋sin 2 α，t 1t 2＝41＋sin 2 α，由|PA|·|PB|＝83得|t 1t 2|＝41＋sin 2 α＝83.故sin 2 α＝12.又由Δ>0得0<tan α<2.故t 1＋t 2＝823，t 1t 2＝83. 所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝4 23.N3选修4-4 参数与参数方程23．N3 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．23．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.7．N3 在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝17．B 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x ＝0，x ＝2，其极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.9．N3 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．9．1 极坐标系中点的⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应直角坐标系中的点的坐标为(3，1)，极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，所以距离为1.N3(Ⅱ)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．(Ⅱ)解：(1)由点A 2，π4在直线ρcos θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．14．N3 (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则l 的极坐标方程为________．14．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2 曲线C 的参数方程化为普通方程是x 2＋y 2＝2，点(1，1)在曲线上，易求得过(1，1)作圆C 切线的方程是：x ＋y ＝2，其极坐标方程是ρ(cos θ＋sin θ)＝2，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.16．N3 (选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin θ＋π4＝22m(m 为非零常数)与ρ＝b.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．16.6直线l 的直角坐标方程为x ＋y －m ＝0，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线与圆相切得：m 2＝2b 2.又椭圆C 的一般方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线过椭圆焦点，故m ＝c ，所以c 2＝2b2e ＝c a ＝63. 9．N3 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． 9．3 将参数方程化为普通方程可得，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，即y ＝x －a ，椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，即x 29＋y 24＝1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a ＝3.N3C ．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，12，－1.15． N3(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．N4 (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为__________________．15．(1)ρcos 2θ－sin θ＝0 (2)[]0，4(1)曲线方程为y ＝x 2，将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入得ρcos 2θ－sin θ＝0. (2)－1≤|x－2|－1≤10≤|x －2|≤2－2≤x－2≤2，得0≤x≤4.23．N3 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b2t 3＋1(t∈R 为参数)，求a ，b 的值．23．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.C ．N3(坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图1－5⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数) 设P(x ，y)，则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0x －122＋y 2＝14，表示以12，0为圆心，半径为12的圆，可得弦OP ＝1×cos θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OP·cos θ，y ＝OP·sin θ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ，故已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)．11．N3 已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为4，π3，则|CP|＝________.11．23 ∵圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，∴圆心C 的直角坐标为(2，0)．∵P 点极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，∴化为直角坐标为(2，23)，∴|CP|＝（2－2）2＋（0－23）2＝23.23．N3 选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．23．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．2．N2，N3 已知a∈R “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若|PA|·|PB|＝83，求|AB|的值．2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ. 又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，故化成直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2. 又(0，0)满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x ＋y(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2. (2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2. 设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)．及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2. 将直线的参数方程代入x 2＋2y 2＝2得 (2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0.即(1＋sin 2α)t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0.则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2α)>0，且t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）1＋sin 2 α，t 1t 2＝41＋sin 2 α，由|PA|·|PB|＝83得|t 1t 2|＝41＋sin 2 α＝83.故sin 2 α＝12.又由Δ>0得0<tan α<2.故t 1＋t 2＝823，t 1t 2＝83.所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝4 23.15．N3 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________．15．16 直线的普通方程为x ＝4，代入曲线的参数方程得t ＝±2，当t ＝2时x ＝4，y ＝8；当t ＝－2时x ＝4，y ＝－8，即有A(4，8)，B(4，－8)，于是|AB|＝8－(－8)＝16.N4(Ⅲ)选修4－5：不等式选讲24．N4 选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a ＞－1，且当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围．24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x<12，－x －2，12≤x≤1，3x －6，x>1.其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x∈(0，2)时，y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a≤43，从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43设不等式|x －2|<a(a∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12A.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值．(Ⅲ)解：(1)因为32∈A，且12A，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a.解得12<a≤32.又因为a∈N*，所以a＝1.(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.13．N4设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y ＋z＝________.13.3 147由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)＝14≥(x＋2y＋3z)2＝14，当x 1＝y2＝z3时取“＝”，故x＝1414，y＝147，z＝31414，则x＋y＋z＝3 147.10．N4已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．10．12 因a＋2b＋3c＝6，由柯西不等式可知(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，可知a2＋4b2＋9c2≥363＝12，即最小值为12.N4D．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0.从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.24.N4选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x －a|，其中a>1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x )|≤2的解集为{}x|1≤x≤2，求a 的值．24．解：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2.于是a ＝3. 15．N4 (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为________．2 利用柯西不等式式可得：(am ＋bn)(bm ＋an)≥(am an ＋bm bn)2＝mn(a ＋b)2＝2.14．N4 设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 14．－2 12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a 4|a|＋2 b 4|a|×|a|b ≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b时，等号成立．联立a ＋b ＝2，b>0，a<0.可解得a ＝－2.24．N4 选修4－5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 24．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13. (2)因为a 2b ＋b≥2a，b 2c ＋c≥2b，c 2a ＋a≥2c，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，所以a 2b ＋b 2c＋错误!≥1. 1．N4 (1)解不等式|x －1|＋|x －4|≥5.(2)求函数y ＝|x －1|＋|x －4|＋x 2－4x 的最小值．1．解：(1)当x<1时，1－x＋4－x≥5，得x≤0，此时x≤0；当1≤x≤4时，x－1＋4－x≥5，得3≥5，此时x∈；当x>4时，x－1＋x－4≥5，得x≥5，此时x≥5.综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪ 若关于实数x的不等式|x－5|＋|x ＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．16．(－∞，8] 要使不等式无解，则a必须小于或等于|x－5|＋|x＋3|的最小值，而|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，则a≤8，所以实数a的取值范围是(－∞，8]．N5 选修4-7 优选法与试验设计。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 I单元统计(理科2016)和答案

数学I单元统计I1 随机抽样16．I1，K5A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C班的学生人数．(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)16．解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×820＝40.(2)设事件A i为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1，2， (5)事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1，2，…，8. 由题意可知，P (A i )＝15，i ＝1，2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1，2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1，2，...，5，j ＝1，2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38. (3)μ1<μ0.I2 用样本估计总体4．I2 某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是________(米)．4．1.76 将这6位同学的身高按照从小到大的顺序排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，故答案为1.76.4．I2 已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．4．0.1 因为x －＝5＋－0.3－0.2＋0.1＋0.4＋0.55＝5.1，所以s2＝15×(0.42＋0.32＋0.32＋0.42)＝0.1.4．I2某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图11中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )图11A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个4．D 平均最高气温高于20℃的月份有七、八2个月．3．I2某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图11所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )图11A ．56B ．60C ．120D ．1403．D 由频率分布直方图得，每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(0.16＋0.08＋0.04)×2.5×200＝140.I3 正态分布I4 变量的相关性与统计案例18．I4 图14是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．图14注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：t i y i ＝40.17，＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝解：由折线图中数据和附注中参考数据得r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99. 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝＝2.8928≈0.103， a ^＝－b ^≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82，所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．I5 单元综合16．I5我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成9组，制成了如图13所示的频率分布直方图．图13(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．16．解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：( )A. 甲B．乙C．丙D．丁3．C 乙，丙的平均成绩最好，且丙的方差小于乙的方差，所以丙的发挥较稳定，故最佳人选为丙．4．一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}an，若a3＝8且前4项和S4＝28，则此样本的平均数和中位数分别是( ) A．22，23 B. 23，22C．23，23 D．23，244．C 设公差为d，则a1＋2d＝8且4a1＋6d＝28，即2a1＋3d＝14，解得a1＝4，d＝2，所以中位数是a10＋a112＝a1＋192d＝4＋19＝23，平均数是S2020＝a1＋192d＝23.5．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下表数据：根据上表可得回归直线方程y＝b x＋a，其中b＝－20，a＝y－b^x－，当单价定为8.3元时，预测销售的件数为( )A. 82 B．84 C．86 D．885．B 根据题意，得x－＝16×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y－＝16×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，因为线性回归方程y^＝b^x＋a^中b^＝－20，所以a^＝y－－b^x－＝80－(－20)×8.5＝250，所以线性回归方程为y^＝－20x＋250.当x＝8.3时，y^＝－20×8.3＋250＝84，所以当单价定为8.3元时，预测销售件数为84.。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 N单元选修4系列(文科2016)和答案

数学N单元选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲22．N1选修41：几何证明选讲如图16所示，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O为圆心，12 OA为半径作圆．(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.图1622．证明：(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°，所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.在Rt△AOE中，OE＝12AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切．(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB .同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD . 22．N1 选修41：几何证明选讲如图15，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．图1522．解：(1)证明：因为DF ⊥EC ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DGCB，所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF .因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆． (2)由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB .连接GB .由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.22．N1选修41：几何证明选讲如图16，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.图1622．解：(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为＝，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD ＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .21．A.N1 选修41：几何证明选讲如图17，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD .图1721．A.证明：在△ADB 和△ABC 中，因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角，所以△ADB ∽△ABC ，于是∠ABD ＝∠C . 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点，所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ，所以∠EDC ＝∠ABD .N2 选修4-2 矩阵21．B ．N2 选修42：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 －2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB . 21．B ．解：设B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则B －1B ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 14012.因此，AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 540 －1.N3 选修4-4 参数与参数方程 23．N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .23．解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，则由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.23．N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．23．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2.将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，则tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.23．N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ＋π4）＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 23．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin （α＋π3）－2|，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时点P 的直角坐标为(32，12).21．C ．N3 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．21．C ．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得1＋12t 2＋32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.N4 选修4-5 不等式选讲24．N4 选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图17中画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图1724．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，则y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由f (x )的表达式及图像知，当f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5}.24．N4 选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，因此|a＋b|<|1＋ab|.24．N4选修45：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．24．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.因此，f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝12时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是选修45：不等式选讲设a>0，|x－1|<a3，|y－2|<a3，求证：|2x＋y－4|<a.21．D．证明：因为|x－1|<a3，|y－2|<a3，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×a3＋a3＝a.N5 选修4-7 优选法与试验设计。

2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类汇编 E单元不等式理科2015年含答案精品

数学E 单元不等式E1 不等式的概念与性质10．H6、E1 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．A 由题意得A (a ，0)，不妨取Bc ，b 2a ，Cc ，－b 2a ，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D (x 0，0)，由BD ⊥AC 得b 2a －0c －x 0²b 2a a －c ＝－1，解得c －x 0＝b 4a 2（c －a ），由题可知c －x 0＝b 4a 2（c －a ）<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，所以b 4a 2<c 2－a 2＝b 2⇒b 2a 2<1⇒0<b a<1.因为双曲线渐近线的斜率为±b a，所以渐近线斜率的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．22．D3、E1、E7 在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n ＋λa n ＋1＋μa 2n ＝0(n ∈N ＋)． (1)若λ＝0，μ＝－2，求数列{a n }的通项公式；(2)若λ＝1k 0(k 0∈N ＋，k 0≥2)，μ＝－1，证明：2＋13k 0＋1<ak 0＋1<2＋12k 0＋1.22．解：(1)由λ＝0，μ＝－2，有a n ＋1a n ＝2a 2n (n ∈N ＋)．若存在某个n 0∈N ＋，使得an 0＝0，则由上述递推公式易得an 0－1＝0.重复上述过程可得a 1＝0，与a 1＝3矛盾，所以对任意n ∈N ＋，a n ≠0.从而an ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，即{a n }是一个公比q ＝2的等比数列．故a n ＝a 1qn －1＝3³2n －1.(2)证明：因为λ＝1k 0，μ＝－1，所以数列{a n }的递推关系式即为a n ＋1a n ＋1k 0a n ＋1－a 2n ＝0，变形为a n ＋1a n ＋1k 0＝a 2n (n ∈N ＋)．由上式及a 1＝3>0，归纳可得3＝a 1>a 2>...>a n >a n ＋1> 0因为a n ＋1＝a 2na n ＋1k 0＝a 2n －1k 20＋1k 2a n ＋1k 0＝a n －1k 0＋1k 0²1k 0a n ＋1，所以ak 0＋1＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(ak 0＋1－ak 0)＝a 1－k 0²1k 0＋1k 0²1k 0a 1＋1＋1k 0a 2＋1＋…＋1k 0ak 0＋1>2＋1k 0²13k 0＋1＋13k 0＋1＋…＋13k 0＋1k 0个＝2＋13k 0＋1.另一方面，由上已证的不等式知a 1>a 2>…>ak 0>ak 0＋1>2，得ak 0＋1＝a 1－k 0²1k 0＋1k 0²1k 0a 1＋1＋1k 0a 2＋1＋…＋1k 0ak 0＋1<2＋1k 0²12k 0＋1＋12k 0＋1＋…＋12k 0＋1k 0个＝2＋12k 0＋1. 综上，2＋13k 0＋1<ak 0＋1<2＋12k 0＋1.E2 绝对值不等式的解法4．A2、E2、E3 设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．A 由|x －2|<1，解得1<x <3；由x 2＋x －2>0，解得x >1或x <－2.由1<x <3可以推出x >1或x <－2，反之，不成立，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0 ”的充分不必要条件．故选A.E3 一元二次不等式的解法7．E3 不等式2x 2－x <4的解集为________．7．{x |－1<x <2}(或(－1，2)) 因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．4．A2、E2、E3 设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．A 由|x －2|<1，解得1<x <3；由x 2＋x －2>0，解得x >1或x <－2.由1<x <3可以推出x >1或x <－2，反之，不成立，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0 ”的充分不必要条件．故选A.E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题6．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235C ．6 D.3156．B 画出约束条件表示的可行域如图所示，易知目标函数在点A 处取得最小值，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45，所以z min ＝3＋2³45＝235.20．K6、K8、K5、E5 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．20．解：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y.(1)(2)(3)当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4³1000＋4.8³1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3³1000＋6³1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6³1000＋4³1200＝10 800. 故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160³0.3＋10 200³0.5＋10 800³0.2＝9708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973.14．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．14.32画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y ＝－x ＋z ，所以直线z ＝x ＋y 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z 取得最大值32. 15．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．15．3 y x的几何意义为点(x ，y )与坐标原点连线的斜率．画出可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得C (1，3)，由题易知可行域上的C 点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.2．E5 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．22．D 画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z ＝x ＋2y 可变为y ＝－12x ＋12z ，当函数y ＝－12x ＋12z 过点C (0，1)时，z 取得最大值2.5．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52 B ．－2C ．－32D ．25．A 可行域如图所示，当直线y ＝2x －z 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时，z 取得最小值，且z min ＝－52.4．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－7B ．－1C ．1D ．24．A 画出可行域，平移直线y ＝3x －z ，在直线x ＋y ＝－1与y ＝1的交点A (－2，1)处z 取最小值，故z min ＝3³(－2)－1＝－7.6．E5 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－36．B 可行域如图所示，当a >0时，直线y ＝－ax ＋z 的斜率为负，目标函数在点A (1，1)或B (2，0)处取得最大值．当在A 处取得最大值时，⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a <0，a ＋1＝4，不等式组无解；当在B 处取得最大值时，⎩⎪⎨⎪⎧－a <－1，2a ＝4，解得a ＝2.当a <0时，目标函数只能在点A (1，1)处取得最大值4，此时a ＝3(舍去)．故a 的值为2.10．E5 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元10．D 设该企业每天生产甲种产品x 吨、乙种产品y 吨，则x ，y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，利润z ＝3x ＋4y .约束条件表示的平面区域是以(0，0)，(4，0)，(2，3)，(0，4)为顶点的四边形及其内部，把各点坐标代入目标函数检验可知，目标函数在点(2，3)处取得最大值3³2＋4³3＝18，即该企业每天的最大利润为18万元．2．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．402．C 画出约束条件表示的可行域如图所示，目标函数可变形为y ＝－16x ＋16z .当直线y ＝－16x ＋16z 经过点A (0，3)时，z 取得最大值，z max ＝0＋6³3＝18.14．E5 若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．14．3 当x ，y 满足x 2＋y 2≤1时，6－x －3y >0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝1 ⇒5x 2－8x ＋3＝0⇒x ＝35或x ＝1，直线2x ＋y －2＝0把单位圆分成如图所示的两部分．①当(x ，y )在阴影部分内时，2x ＋y －2≥0，则原式＝2x ＋y －2＋6－x －3y ＝x －2y ＋4，由线性规划可知，经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45时，原式取得最小值3.②当(x ，y )在另一部分内时，2x ＋y －2≤0，则原式＝－2x －y ＋2＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋8，由线性规划可知，经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45时，原式取得最小值3. 综上，原式的最小值为3.E6 2a b+ 9．B7、E6 设f (x )＝ln x ，0<a pD ．p ＝r >q9．B r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln(ab )＝ln ab ＝p .因为b >a >0，所以a ＋b2>ab ，又函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以q >p ＝r ，故选B.14．J3，E6 若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小9．B12，E6 如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.8129．B (1)当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1，则0≤n <8，所以0≤mn <16. (2)m ＞2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2. 根据题意得－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，所以2m ²n ≤2m ＋n2≤6，所以mn ≤18(当且仅当m ＝3，n ＝6时取等号)． (3)当m ＜2时，由题意得－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，所以2m ²n ≤2m ＋n2≤9，所以mn ≤812，由2n ＋m ＝18，且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)．要使得mn 取得最大值，应有2n ＋m ＝18(m ＜2，n ＞8)，所以mn ＝(18－2n )n ＜(18－2³8)³8＝16. 综上所述，mn 的最大值为18.14．F4、E6 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →²AF →的最小值为________．14.2918 根据题意，可知DC ＝1，AE →²AF →＝(AB →＋BE →)²(AD →＋DF →)＝(AB →＋λBC →)²(AD →＋19λDC →)＝AB →²AD →＋19λAB →²DC →＋λBC →²AD →＋19BC →²DC →＝1＋29λ＋λ2－118≥1＋219－118＝2918，当且仅当λ＝23时，等号成立．E7 不等式的证明方法22．B3、M3、E7 已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n na n (n ∈N ＋)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x的单调区间，并比较⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b na 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )1n，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n <e S n . 22．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x. 当f ′(x )>0，即x <0时，f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即1＋x <e x. 令x ＝1n ，得1＋1n <e 1n，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <e .①(2)b 1a 1＝1³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111＝1＋1＝2；b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1²b 2a 2＝2³2³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2²b 3a 3＝32³3³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2…b n a 1a 2…a n＝(n ＋1)n.②下面用数学归纳法证明②.(i)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立． (ii)假设当n ＝k 时，②成立，即b 1b 2…b k a 1a 2…a k＝(k ＋1)k.当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ²b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋1)²⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，②也成立．根据(i)(ii)，可知②对一切正整数n 都成立．(3)证明：由c n 的定义，②，算术几何平均不等式，b n 的定义及①得T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(a 1)11＋(a 1a 2)12＋(a 1a 2a 3)13＋…＋(a 1a 2…a n )1n＝（b 1）112＋（b 1b 2）123＋（b 1b 2b 3）134＋…＋（b 1b 2…b n ）1nn ＋1≤b 11³2＋b 1＋b 22³3＋b 1＋b 2＋b 33³4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b n n （n ＋1）＝b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11³2＋12³3＋…＋1n （n ＋1）＋b 2⎣⎢⎡12³3＋⎦⎥⎤13³4＋…＋1n （n ＋1）＋…＋b n²1n （n ＋1）＝b 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＋…＋ b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1<b 11＋b 22＋…＋b n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n na n <e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n ，即T n <e S n .18．B3、B5、E7 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间上的最大值．(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值．18．解：(1)证明：由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，得f (x )的图像的对称轴为直线x ＝－a 2.由|a |≥2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2≥1，故f (x )在上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}．当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4，得max{f (1)，－f (－1)}≥2，即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4，得max{f (－1)，－f (1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2. (2)由M (a ，b )≤2得，|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2，|1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2，故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3，由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab <0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在上的最大值为2，即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.22．D3、E1、E7 在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n ＋λa n ＋1＋μa 2n ＝0(n ∈N ＋)． (1)若λ＝0，μ＝－2，求数列{a n }的通项公式；(2)若λ＝1k 0(k 0∈N ＋，k 0≥2)，μ＝－1，证明：2＋13k 0＋1<ak 0＋1<2＋12k 0＋1.22．解：(1)由λ＝0，μ＝－2，有a n ＋1a n ＝2a 2n (n ∈N ＋)．若存在某个n 0∈N ＋，使得an 0＝0，则由上述递推公式易得an 0－1＝0.重复上述过程可得a 1＝0，与a 1＝3矛盾，所以对任意n ∈N ＋，a n ≠0.从而an ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，即{a n }是一个公比q ＝2的等比数列．故a n ＝a 1qn －1＝3³2n －1.(2)证明：因为λ＝1k 0，μ＝－1，所以数列{a n }的递推关系式即为a n ＋1a n ＋1k 0a n ＋1－a 2n ＝0，变形为a n ＋1a n ＋1k 0＝a 2n (n ∈N ＋)．由上式及a 1＝3>0，归纳可得 3＝a 1>a 2>...>a n >a n ＋1> 0因为a n ＋1＝a 2na n ＋1k 0＝a 2n －1k 20＋1k 2a n ＋1k 0＝a n －1k 0＋1k 0²1k 0a n ＋1，所以ak 0＋1＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(ak 0＋1－ak 0)＝a 1－k 0²1k 0＋1k 0²1k 0a 1＋1＋1k 0a 2＋1＋…＋1k 0ak 0＋1>2＋1k 0²13k 0＋1＋13k 0＋1＋…＋13k 0＋1k 0个＝2＋13k 0＋1.另一方面，由上已证的不等式知a 1>a 2>…>ak 0>ak 0＋1>2，得ak 0＋1＝a 1－k 0²1k 0＋1k 0²1k 0a 1＋1＋1k 0a 2＋1＋…＋1k 0ak 0＋1<2＋1k 0²12k 0＋1＋12k 0＋1＋…＋12k 0＋1k 0个＝2＋12k 0＋1. 综上，2＋13k 0＋1<ak 0＋1<2＋12k 0＋1.E8 不等式的综合应用E9 单元综合8．若一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0(a >b )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b 的最小值是( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．18．A 由一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4ab ＝0且a >0，a ³1a 2－2a＋b ＝0，所以ab ＝1且a >0.又已知a >b ，所以a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2aba －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2a －b 时取等号．所以a 2＋b2a －b的最小值是2 2.3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．A 因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝()a －b ()ab －1ab ，所以若a >b >1，则a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝()a －b ()ab －1ab>0，故充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．故选A.5．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．495．A 因为a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，则4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1）（b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )1a ＋1b ＝20＋4b a ＋4ab≥20＋4³2³b a ²4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号，所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 9．已知点P (x ，y ) 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________．9．－6 画出x ，y 满足的可行域，如图中阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k 3，y ＝－k 3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，k 3.因此，目标函数z 在点A 处取得最大值，所以－k3＋3³⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝8，所以k ＝－6.12．已知存在实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0，x 2＋（y －1）2＝R 2（R >0），则R 的最小值是________．12．2 根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0作出可行域如图中阴影部分所示．由题知图中阴影部分与以(0，1)为圆心、R 为半径的圆有交点，当圆与图中阴影部分相切时R 最小，由图易知，R 的最小值为2.。

[精品]2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(2011)和答案

大纲理数3.E1下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3大纲理数3.E1 A 【解析】对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.大纲文数5.E1下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3大纲文数5.E1A 【解析】对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.课标文数 6.E1 若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件课标文数6.E1 D 【解析】当0<ab <1，a <0，b <0时，有b >1a；反过来b <1a ，当a <0时，则有ab >1，∴“0<ab <1”是“b <1a”的既不充分也不必要条件．课标理数9.E2不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．课标理数9.E2{x|x≥1} 【解析】由|x＋1|≥|x－3|两边平方得x2＋2x＋1≥x2－6x＋9，即8x≥8，解得x≥1.课标理数4.E2不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )A．B．C．(－∞，－5]∪∪ D 【解析】当|x－5|＋|x＋3|＝10时，求出x1＝6，x2＝－4，画出数轴，显然当x≥6或x≤－4时，满足|x －5|＋|x＋3|≥10.课标理数1.A1，E3已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1]B．D．(－∞，－1]∪ C 【解析】由P∪M＝P，可知M⊆P，而集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以－1≤a≤1，故选C.课标文数 1.A1，E3已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P＝( )A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)课标文数1.A1，E3 D 【解析】因为集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以∁U P＝{x|x<－1或x>1}，故选D.课标文数6.E3若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－2，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)课标文数6.E3 C 【解析】由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝m 2－4>0，解得m <－2或m >2，故选C.课标文数5.E3 不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)课标文数5.E3 D 【解析】不等式2x 2－x －1>0化为(x －1)(2x ＋1)>0，解得x <－12或x >1，故选D.课标文数1.E3 设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．C ．(2，3]D ．课标文数1.E3 A 【解析】由解不等式知识知M ＝{x |－3＜x ＜2}，又N ＝{x |1≤x ≤3}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．课标文数6.E5 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1课标文数6.E5 B 【解析】画出可行域(如图所示阴影部分)．可知当直线u ＝x ＋2y 经过A (0，1)，C (0，－1)时分别对应u 的最大值和最小值．故u max ＝2，u min ＝－2.课标理数4.E5 设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1课标理数4.E5 B 【解析】法一：特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，故排除A ，C ；当y ＝－1，x ＝0时，x ＋2y ＝－2，故排除D ，答案为B.法二：直接求解：如图，先画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，平移目标函数线易知当直线x ＋2y ＝u 分别经过点B ，D 时对应u 的最小值和最大值，所以u min ＝－2，u max ＝2.大纲文数4.E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －3y ≤－2，x ≥1，则z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．17B ．14C ．5D ．3大纲文数4.E5 C 【解析】通过约束条件画出可行域，可知z 的最小值为5，故选C.课标理数8.E5，F3 已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．课标理数8.E5，F3 C 【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)，又OA →·OM →＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，图1－2当它经过点C (1，1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0；当它经过点B (0，2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2. ∴ z 的取值范围是，即OA →·OM →的取值范围是，故选C.课标文数21.E5，C9 设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32，求f (θ)的值； (2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．课标文数21.E5，C9 【解答】 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图1－7所示，其中A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)．图1－7于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.课标理数5.E5 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA→的最大值为( ) A ．4 2 B ．3 2 C ．4 D ．3 课标理数5.E5图1－1C 【解析】 z ＝OM →·OA →＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.课标文数6.E5 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA→的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2 课标文数6.E5图1－1B 【解析】 z ＝OM →·OA →＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.课标理数8.E5 已知向量a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．课标理数8.E5 D 【解析】因为a ＝()x ＋z ，3，b ＝()2，y －z ，且a ⊥b ，所以a·b ＝2()x ＋z ＋3()y －z ＝0，即2x ＋3y －z ＝0.又||x ＋||y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)．图1－1所以当2x ＋3y －z ＝0过点B ()0，－1时，z min ＝－3；当2x ＋3y －z ＝0过点A ()0，1时，z max ＝3.所以z ∈[]－3，3.课标文数8.E5 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个课标文数8.E5 B 【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．图1－1因为直线2x ＋y －10＝0过点A ()5，0，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点()5，0.课标理数7.E5 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1，1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)课标理数7.E5 A【解析】先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1.表示的可行域，如图1－1.图1－1直线x ＋y ＝1与y ＝mx的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1.由图可知，当x ＝1m ＋1，y ＝m m ＋1时，目标函数z ＝x ＋my 有最大值小于2，则有1m ＋1＋m ×mm ＋1<2，得1－2<m <1＋ 2. 又因为m >1，故m 的取值范围为1<m <1＋2，故选A.课标文数14.E5 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．课标文数14.E5 3【解析】先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1表示的可行域：如右图1－3：图1－3直线x ＋y ＝1与y ＝mx 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，得到当x ＝1m ＋1，y ＝mm ＋1时目标函数z ＝x ＋5y 有最大值4，则有1m ＋1＋5×mm ＋1＝4，得m ＝3.课标理数13.E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z＝x ＋2y 的最小值为________．课标理数13.E5 －6 【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9 解得A (4，－5)．当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入，得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标文数14.E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z＝x ＋2y 的最小值为________________________________________________________________________．课标文数14.E5 －6 【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9 解得A (4，－5)．当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入，得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标文数7.E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5课标文数7.E5 B 【解析】画出x ，y 的可行域，如图1－1阴影部分，直线x ＋2y －5＝0与直线x －y －2＝0交于点A (3，1)，当z ＝2x ＋3y ＋1过A 点时，使得z ＝2x ＋3y ＋1取得最大值，z max ＝2×3＋3＋1＝10.图1－1图1－6课标文数12.E5如图1－6所示，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．课标文数12.E5 1 【解析】由图象知函数在点A(1，1)时，2x－y＝1；在点B(3，2)时，2x－y＝23－2>1；在点C(5，1)时，2x－y＝25－1＞1；在点D(1，0)时，2x－y＝2－0＝2>1，故最小值为1.大纲文数10.E5某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元大纲文数10.E5 C 【解析】设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝450x ＋350y －z .作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7，5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4900.大纲理数9.E5 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元大纲理数9.E5 C 【解析】设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7，5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4900.课标文数2.E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．4课标文数2.E5 D 【解析】作出可行域，如图1－1所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移至(2，2)时，z ＝3x －y 有最大值4.图1－1课标理数5.E5 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0，若x ，y为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19课标理数5.E5 B 【解析】可行域如图所示：图1－3联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.又∵边界线为虚线，且目标函数线的斜率为－34，∴当z ＝3x ＋4y 过点(4，1)时，有最小值16.课标文数3.E5 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．28课标文数3.E5 A 【解析】可行域如图阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴当z ＝3x ＋4y 过点(3，1)时，有最小值13.课标文数7.B10，E6 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件课标文数7.B10，E6 B 【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x＝800x＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80件(x >0)时，取最小值，故选B.课标文数10.B12，E6 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9课标文数10.B12，E6 D 【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D.课标理数10.N4，E6 设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．课标理数10.N4，E6 9 【解析】方法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4x 2y 2＋1x 2y 2＋4≥5＋24x 2y 2×1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，“＝”成立．方法二：利用柯西不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ×1x ＋1y ×2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，等号成立．课标文数3.E6 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b课标文数 3.E6 B 【解析】因为0<a <b ，由基本不等式得ab <a ＋b2，a <b ，故a ＋b 2<b ＋b2＝b ，a ＝aa <ab ，故答案为B.课标理数16.E6 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．课标理数16.E6 2105【解析】 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1， ∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.课标文数16.E6 若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．课标文数16.E6 233【解析】 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(x ＋y )2－xy ＝1，即(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1， ∴(x ＋y )2≤43，x ＋y ≤233.大纲理数7.E6 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5 大纲理数7.E6 C 【解析】 1a ＋4b ＝12(a ＋b )1a ＋4b ＝125＋b a ＋4a b ≥125＋2b a ·4a b ＝92. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝2即a ＝23，b ＝43时取到等号．∴y min ＝92.大纲文数7.E6 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4大纲文数7.E6 C 【解析】 ∵x ＞2， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．大纲文数15.E6 若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b ，2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，则c 的最大值是________________________________________________________________________．大纲文数15.E6 2－log 23 【解析】 2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，2a ＋b ≥4取“＝”．由2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c 得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，∴2c＝2a ＋b 2a ＋b －1＝1＋12a ＋b －1≤1＋14－1＝43，故c ≤log 243＝2－log 23.课标文数20.D5，E7设b ＞0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，2a n ≤b n ＋1＋1.课标文数20.D5，E7 【解答】 (1)由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋n －1>0，n a n ＝1b ＋1b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b，当n ≥2时，A n ＝1b ＋1bA n －1＝1b ＋…＋1b n －1＋1b n －1A 1＝1b＋ (1)n －1＋1bn .①当b ≠1时，A n ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1b n 1－1b＝b n －1b n （b －1），②当b ＝1时，A n ＝n .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n （b －1）b n －1，b ≠1，1， b ＝1.(2)证明：当b ≠1时，欲证2a n ＝2nb n （b －1）b n－1≤b n ＋1＋1，只需证2nb n ≤(b n ＋1＋1)b n －1b －1.∵(b n ＋1＋1)b n －1b －1＝b 2n ＋b 2n －1＋…＋b n ＋1＋b n －1＋b n －2＋…＋1＝b n⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋1b n ＋b n －1＋1b n －1＋…＋b ＋1b>b n (2＋2＋…＋2) ＝2nb n ，∴2a n ＝2nb n （b －1）b n－1<1＋b n ＋1. 当b ＝1时，2a n ＝2＝b n ＋1＋1. 综上所述2a n ≤b n ＋1＋1.大纲理数22.B12，E8 (1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－2xx ＋2，证明：当x >0时，f (x )>0；(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1e 2.大纲理数22.B12，E8 【解答】 (1)f ′(x )＝x 2（x ＋1）（x ＋2）2.当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )为增函数，又f (0)＝0.因此当x >0时，f (x )>0.(2)p ＝100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…，91×89<902，所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019.由(1)知：当x >0时，ln(1＋x )>2xx ＋2. 因此，⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x ln(1＋x )>2.在上式中，令x ＝19，则19ln 109>2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫10919>e 2.所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1e 2.课标文数22.B12，E8 设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k .问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．课标文数22.B12，E8【解答】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1＋1x2－ax＝x2－ax＋1x2.令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝a－a2－42，x2＝a＋a2－42.当0<x<x1时，f′(x)>0；当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x>x2时，f′(x)>0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．(2)由(1)知，a>2.因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋x1－x2x1x2－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝f（x1）－f（x2）x1－x2＝1＋1x1x2－a·ln x1－ln x2x1－x2.又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a·ln x1－ln x2 x1－x2.若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)．(*)再由(1)知，函数h (t )＝t －1t－2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2－2ln x 2>1－11－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .课标文数21.B12，E8 设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )＜1a对任意x ＞0成立．课标文数21.B12，E8 【解答】 (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x2.令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，故(0，1)是g (x )的单调减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g (x )的最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ＋x .设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－（x －1）2x2. 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，当x ∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h ′(1)＝0. 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0.即g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以，g (a )－g (x )<1a，对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a ＜1，从而得0＜a ＜e.课标理数19.E9(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1<a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .课标理数19.E9 【解析】本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力．【解答】 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得－＝－＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)立知所要证明的不等式成立．课标理数21.B12，E9(1)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1，x ∈(0，＋∞)，求函数f (x )的最大值；(2)设a k ，b k (k ＝1，2，…，n )均为正数，证明：①若a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤b 1＋b 2＋…＋b n ，则ab 11ab 22…ab nn ≤1； ②若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则1n≤bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n .课标理数21.B12，E9 【解答】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝1x－1＝0，解得x ＝1，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1)内是增函数；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)内是减函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：①由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≤f (1)＝0，即ln x ≤x －1.∵a k ，b k >0，从而有ln a k ≤a k －1，得b k ln a k ≤a k b k －b k (k ＝1，2，…，n )，于是由①得⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb 1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb 2b 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb n b n≤1，即1bb 11bb 22…bb nn ≤nb 1＋b 2＋…＋b n ＝n ， ∴bb 11bb 22…bb nn ≥1n.(ii)再证bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n ，记S ＝∑k ＝1nb 2k ，设a k ＝b kS (k ＝1，2，…，n )，则∑k ＝1na kb k ＝1S，于是由①得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1S b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2S b 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫b n S b n≤1，即bb 11bb 22…bb nn ≤Sb 1＋b 2＋…＋b n ＝S ，∴bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n .综合(i)(ii)，②得证．课标文数20.B12，E9 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．课标文数20.B12，E9 【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3.由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.又对任意的x ∈，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，得m <0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2.对任意的x ∈，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0，又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈的最大值为0.于是当－14<m <0时，对任意的x ∈，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.大纲理数10.E9 设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0，1)内有两个不同的根，则m ＋k 的最小值为( )A ．－8B ．8C ．12D ．13大纲理数10.E9 D 【解析】设f (x )＝mx 2－kx ＋2，由f (0)＝2，知f (x )的图象恒过定点(0，2)．因此要使已知方程在区间(0，1)内有两个不同的根，即f (x )的图象在区间(0，1)内有两个不同的交点，必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f （1）＝m －k ＋2>0，0<k 2m <1，Δ＝k 2－8m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，k >0，m －k ＋2>0，2m －k >0，k 2－8m >0，在直角坐标系mOk 中作出满足不等式平面区域，如图1－4所示，设z ＝m ＋k ，则直线m ＋k －z ＝0经过图中的阴影中的整点(6，7)时，z ＝m ＋k 取得最小值，即z min ＝13.图1－4。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 N单元选修4系列(文科2015)和答案

数学N单元选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲15．N1 (几何证明选讲选做题)如图11，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝23，则AD＝________.图1115．3 连接OC，则OC⊥DE，∴OC∥AD，∴OCAD＝OEAE.由切割线定理得CE2＝BE·AE，∴BE(BE＋4)＝12，解得BE＝2，∴AD＝OC·AEOE＝2×64＝3.22．N1选修41：几何证明选讲如图17，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．图1722．解：(1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0，可得x＝3，所以∠ACB＝60°.22．N1选修41：几何证明选讲如图19，O是等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．图1922．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB 的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O 的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°，因此△ABC和△AEF都是等边三角形．因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝12MN＝3，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝1033.所以四边形EBCF的面积为12×10332×3－12×(23)2×3＝1633.22．N1选修41：几何证明选讲如图17，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．图1722．解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED . 又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.6．N1 如图12，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )图12A.83 B ．3 C.103 D.526．A 根据相交弦定理知，CM ·MD ＝AM ·MB ，CN ·NE ＝AN ·NB .又因为M ，N 是弦AB 的三等分点，所以CM ·MD ＝CN ·NE ，即2×4＝3×NE ，所以NE ＝83.N2 选修4-2 矩阵N3 选修4-4 参数与参数方程 23．N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．23．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于圆C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.23．N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |最大值．23．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4sin α－π3.当α＝6时，|AB |取得最大值，最大值为4.12．N3 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．12．x 2＋y 2－2y ＝0 将曲线C 的极坐标方程ρ＝2sin θ两边同乘一个ρ，得ρ2＝2ρsin θ，即x 2＋y 2＝2y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.23．N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 23．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P 3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3，0)．14．N3 (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．14．(2，－4) 曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．N4 选修4-5 不等式选讲 24．N4 选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a ，所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a＋1)2>6，故a>2，所以a的取值范围为(2，＋∞)．24．N4选修45：不等式选讲设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．24．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)(i)若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得a＋b>c＋d.(ii)若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．24．N4选修45：不等式选讲已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2<x<4}．(1)求实数a，b的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．24．解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋ t ＝3×4－t ＋t ≤ [（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋ t )max ＝4.N4 选修4-7 优选法与试验设计。

2018版高考复习方案(数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 E单元不等式(理科2015年)含答案

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 L单元算法初步与复数(理科2016)和答案

数学L单元算法初步与复数L1 算法与程序框图3．L1执行如图11所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )图11A．1 B．2C．3 D．43．B 输入a＝1，当k＝0时，b＝1，a＝－12，不满足a＝b；当k＝1时，a＝－2，不满足a＝b；当k＝2时，a＝1，满足a＝b，结束循环，输出的k值是2.6．L1图11是一个算法的流程图，则输出的a的值是________．图116．9 初始值a＝1，b＝9，不满足a>b；第一次执行循环体后a＝5，b＝7，此时还不满足a>b；第二次执行循环体后a＝9，b＝5，满足a>b，结束循环，故输出的a的值为9.9．L1执行图13的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y 的值满足( )图13A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x9．C 第一次运行程序，n＝1，x＝0，y＝1；第二次运行程序，n＝2，x＝12，y＝2；第三次运行程序，n＝3，x＝32，y＝6，此时满足条件x2＋y2≥36，输出x＝32，y＝6，满足y＝4x.7．L1执行图12的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )图12A．3 B．4C．5 D．67．B 当n＝1时，s＝6；当n＝2时，s＝10；当n＝3时，s＝16；当n＝4时，s＝20，故输出的n＝4.6．L1秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图11所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为( )图11A．9 B．18C．20 D．356．B 初始值n＝3，x＝2，程序运行过程依次为i＝2，v＝1×2＋2＝4，i＝1；v＝4×2＋1＝9，i＝0；v＝9×2＋0＝18，i＝－1，跳出循环，输出v＝18.8．L1中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，图13是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝( )图13A．7 B．12C．17 D．348．C 第一次运算，a＝2，s＝2，k＝1，不满足k>n；第二次运算，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17.11．L1执行图13所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．图1311．3 当i＝1时，a＝1，b＝8；当i＝2时，a＝3，b＝6；当i＝3时，a＝6，b＝3，满足条件．故输出i的值为3.4．L1阅读如图11所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )图11A．2 B．4C．6 D．84．B 第一次执行循环体后S＝8，n＝2；第二次执行循环体后S＝2，n＝3；第三次执行循环体后S＝4，n＝4，满足n>3，结束循环．故输出S＝4.L2 基本算法语句L3 算法案例L4 复数的基本概念与运算9．L4设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________．9．－1 复数(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i，因为其对应的点位于实轴上，所以a＋1＝0，解得a＝－1.2．L4复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．2．5 因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以其实部为5.2．L4设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝( )A．1 B. 2C. 3 D．22．B 由已知得x＋x i＝1＋y i，根据两复数相等的条件可得x＝y＝1，所以|x＋y i|＝|1＋i|＝ 2.2．L4若z＝1＋2i，则4izz－1＝( )A．1 B．－1 C．i D．－i2．C4izz＝4i＝i.2．J3，L4设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x42．A 由题可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4.1．L4已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)1．A 由题易知m＋3>0，m－1<0，解得－3<m<1.1．L4 若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i1．B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．由题意得2a ＋2b i ＋a －b i ＝3－2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i. 9．L4 已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．9．2 (1＋i)(1－b i)＝a ，即1＋b ＋i －b i ＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，∴a b ＝2.2．L4 设z ＝3＋2ii ，其中i 为虚数单位，则Im z ＝________．2．－3 z ＝3＋2i i ＝3i ＋2i 2i 2＝2－3i ，所以Im z ＝－3.03 “复数与导数”模块(1)已知i 为虚数单位．若复数z 满足(z ＋i)2＝2i ，求复数z . (2)求曲线y ＝2x 2－ln x 在点(1，2)处的切线方程．解：(1)设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，由题意得a 2－(b ＋1)2＋2a (b ＋1)i ＝2i ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故z ＝1或z ＝－1－2i. (2)由于(2x 2－ln x )′＝4x －1x，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为3.因此，曲线在点(1，2)处的切线方程为y ＝3x －1.L5 单元综合3．设i 是虚数单位，则复数z ＝2i ＋31－i 的共轭复数的虚部为 ( )A ．－12B ．－52C.12D.523．B z ＝2i ＋31－i ＝（2i ＋3）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i －2＋3＋3i 1－i 2＝12＋52i ，所以z 的共轭复数为12－52i ，所以所求虚部为－52.5．如图K545所示的程序框图中，e 是自然对数的底数，则输出的i 的值为(参考数值：ln 2016≈7.609)( )A ．6B ．7C ．8D ．9图K5455．C ∵ln 2016≈7.609，∴e 7<2016，e 8>2016，∴当i ＝8时，符合a ≥2016，∴输出的i 的值为8.。

2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 E单元不等式(理科2014年) Wor

数学单元不等式不等式的概念与性质．，，已知实数，满足＜(＜＜)，则下列关系式恒成立的是( ). ＞ . (＋)＞(＋). ＞ . ＞．因为＜(＜＜)，所以＞，所以＞，(＋)＞(＋)，＞都不一定正确，故选.．若>>，<<，则一定有( )> <> <．因为＜＜，所以<＜，即－>－＞，与＞＞对应相乘得，－>－＞，所以<.故选.绝对值不等式的解法．、若函数()＝＋＋＋的最小值为，则实数的值为( )．或．－或．－或－．－或．当≥时，()＝由图可知，当＝－时，()＝＝－＝，可得＝.当<时，()由图可知，当＝－时，()＝＝－＋＝，可得＝－.综上可知，的值为－或.一元二次不等式的解法．、设集合＝{－－<}，＝{≤≤}，则∩＝( )．(，] ．．因为＝{－－<}＝{－<<}，＝{≤≤}，所以∩＝{－<<}∩{≤≤}＝{≤<}．．、设函数()＝，若存在()的极值点满足＋＜，则的取值范围是( )．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．函数()的极值点满足＝＋π，即＝，∈，且极值为±，问题等价于存在使之满足不等式＋<.因为的最小值为，所以只要＋<成立即可，即>，解得>或<－，故的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．简单的一元高次不等式的解法简单的线性规划问题．，满足约束条件若＝－取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数的值为( ) 或－．或．或．或－．。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 G单元立体几何(2011)和答案

课标理数12.G1三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．课标理数12.G1【答案】 3【解析】由已知，S△ABC＝12×22sinπ3＝3，∴V P－ABC＝13S△ABC·PA＝13×3×3＝3，即三棱锥P－ABC的体积等于3.课标文数8.G2 一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为( )图1－1A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80课标文数8.G2 C 【解析】由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为S ＝2×12×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.课标理数6.G2 一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为( )图1－1A．48 B．32＋817C．48＋817 D．80课标理数6.G2C 【解析】由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为S＝2×12×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.图1－3课标理数7.G2某四面体的三视图如图1－3所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A．8B．6 2C．10D．8 2课标理数7.G2 C 【解析】由三视图可知，该四面体可以描述为SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，且SA＝AB＝4，BC＝3，所以四面体四个面的面积分别为10，8，6，62，从而面积最大为10，故应选C.图1－4课标文数5.G2某四棱锥的三视图如图1－1所示，该四棱锥的表面积是( )图1－1A．32 B．16＋16 2C．48 D．16＋32 2课标文数5.G2 B 【解析】由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以其表面积为4×4＋4×12×4×22＝16＋162，故选B.课标理数7.G2 如图1－2，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )图1－2A ．6 3B ．9 3C ．12 3D ．18 3课标理数7.G2 B 【解析】由三视图知该几何体为棱柱，h ＝22－1＝3，S 底＝3×3，所以V ＝9 3.课标文数9.G2 如图1－2，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2课标文数9.G2 C 【解析】由三视图知该几何体为四棱锥，棱锥高h ＝（23）2－（3）2＝3，底面为菱形，对角线长分别为23，2，所以底面积为12×23×2＝23，所以V ＝13Sh ＝13×23×3＝2 3.图1－1课标理数3.G2 设图1－1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18课标理数3.G2 B 【解析】由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3、高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V ＝V 1＋V 2＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18，故选B.课标文数4.G2 设图1－1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图1－1A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 课标文数4.G2 D 【解析】由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为： V ＝V 1＋V 2＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18，故选D.课标文数9.G2 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图1－2所示，则该几何体的左视图为( )图1－2图1－3课标文数9.G2 D 【解析】被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为正方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(正方形)的两条边重合，另一条为正方体的对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图及对角线方向，只有选项D符合．课标理数6.G2在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图1－2所示，则相应的侧视图可以为( )图1－2 图1－3课标理数6.G2 D 【解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如下图，故侧视图选D.图1－5课标理数15.G2一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图1－5所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．课标理数15.G2 2 3 【解析】由俯视图知该正三棱柱的直观图为图1－6，其中M，N是中点，矩形MNC1C为左视图．由于体积为23，所以设棱长为a，则12×a2×sin60°×a＝23，解得a＝2.所以CM＝3，故矩形MNC1C面积为2 3.图1－6图1－3课标文数8.G2一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图1－3所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A．4 B．2 3 C．2 D. 3课标文数8.G2B 【解析】由俯视图知该正三棱柱的直观图为下图，其中M，N是中点，矩形MNC1C为左视图．图1－4由于体积为23，所以设棱长为a，则12×a2×sin60°×a＝23，解得a＝2.所以CM＝3，故矩形MNC1C面积为23，故选B.课标文数8.G2在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图1－2所示，则相应的侧视图可以为( )图1－2 图1－3课标文数8.G2D 【解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选D.图1－4图1－2课标理数11.G2如图1－2是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图1－2；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图1－2；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图1－2.其中真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0课标理数11.G2 A 【解析】①可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断②正确；③可以是放倒的圆柱，所以也正确．图1－3课标文数11.G2如图1－3是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图1－3；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图1－3；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图1－3.其中真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0课标文数11.G2 A 【解析】 ①可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断②正确；③可以是放倒的圆柱，所以也正确．课标理数5.G2 某几何体的三视图如图1－2所示，则它的体积是( )图1－2A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3课标理数5.G2 A 【解析】分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图形，应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1，高为2的圆锥，则对应体积为：V ＝2×2×2－13π×12×2＝8－23π.课标文数5.G2 某几何体的三视图如图1－2所示，则它的体积为( )图1－2A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3课标文数5.G2 A 【解析】主视图与左视图一样是边长为2的正方形，里面有两条虚线，俯视图是边长为2的正方形与直径为2的圆相切，其直观图为棱长为2的正方体中挖掉一个底面直径为2的圆锥，故其体积为正方体的体积与圆锥的体积之差，V 正＝23＝8，V 锥＝13πr 2h ＝2π3(r ＝1，h ＝2)，故体积V ＝8－2π3，故答案为A.课标理数10.G2 一个几何体的三视图如图1－5所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.图1－5课标理数10.G2 6＋π【解析】根据图中信息，可得该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体，V＝3×2×1＋13π×1×3＝6＋π.课标文数10.G2一个几何体的三视图如图1－4所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.图1－4课标文数10.G24 【解析】根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1，高为2的长方体叠加而成，故其体积V＝2×1×1＋1×1×2＝4.课标理数3.G2若某几何体的三视图如图1－1所示，则这个几何体的直观图可以是( )图1－1图1－2课标理数3.G2 D 【解析】由正视图可排除A、B选项，由俯视图可排除C 选项．课标文数7.G2若某几何体的三视图如图1－1所示，则这个几何体的直观图可以是( )图1－1图1－2课标文数7.G2 B 【解析】由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该该几何体的直观图是B.大纲理数3.G3l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面大纲理数3.G3 B 【解析】对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交2于同一个点时不一定共面. 所以选B.课标文数19.G4，G7 如图1－4，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．(1)证明直线BC ∥EF ； (2)求棱锥F －OBED 的体积．图1－4课标文数19.G4，G7 本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．【解答】 (1)证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点，由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，OA ＝1，OD ＝2，所以OB12DE ，OG ＝OD ＝2.同理，设G ′是线段DA 与FC 延长线的交点，有OC12DF ，OG ′＝OD ＝2，又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合．在△GED 和△GFD 中，由OB12DE 和OC 12DF ，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点．所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF .(2)由OB ＝1，OE ＝2，∠EOB ＝60°，知S △EOB ＝3.而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED＝ 3.所以S OBED＝S△EOB＋S△OED＝33.过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F－OBED的高，且FQ＝3，所以V F－OBED＝13FQ·S四边形OBED＝32.课标理数17.G4，G7如图1－4，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．(1)证明直线BC∥EF；(2)求棱锥F－OBED的体积．图1－4课标理数17.G4，G7【解析】本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．图1－5【解答】 (1)(综合法)证明：设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点，由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，OA ＝1，OD ＝2，所以OB12DE ，OG ＝OD ＝2.同理，设G ′是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有OC12DF ，OG ′＝OD ＝2，又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合．在△GED 和△GFD 中，由OB12DE 和OC 12DF ，可知B ，C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF .(向量法)过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，连QE . 由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED .以Q 为坐标原点，QE →为x 轴正向，QD →为y 轴正向，QF →为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系．图1－6由条件知E (3，0，0)，F (0，0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，32.则有BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，3，EF →＝(－3，0，3)．所以EF→＝2BC→，即得BC∥EF.(2)由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S△EOB＝3 .而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED＝ 3.所以S四边形OBED＝S△EOB＋S△OED＝33.过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F－OBED的高，且FQ＝3，所以V F－OBED＝13FQ·S四边形OBED＝32.课标文数17.G4图1－4如图1－4，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．课标文数17.G4【解答】(1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点，图1－5所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以平行四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点．由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝12 EG.分别取PC、AB的中点M，N，连接ME、EN、NG、MG、MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝12 EG.所以Q为满足条件的点．图1－3课标文数15.G4如图1－3，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．课标文数15.G4 2 【解析】∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝12AC＝12×22＝ 2.课标数学16.G4，G5如图1－2，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．图1－2求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.课标数学16.G4，G5本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．【解答】证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，图1－3所以直线EF∥平面PCD.(2)连结BD，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.课标文数4.G4若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交课标文数4.G4 B 【解析】在α内存在直线与l相交，所以A不正确；若α内存在直线与l平行，又∵l⊄α，则有l∥α，与题设相矛盾，∴B正确，C不正确；在α内不过l与α交点的直线与l异面，D不正确．图1－6课标理数16.G5，G11如图1－6，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．课标理数16.G5，G11【解答】(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝ 3.如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及点O所在且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0，－3，2)，A(0，－3，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)．图1－7所以PB→＝(1，3，－2)，AC →＝(0，23，0)．设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AC →|PB →||AC →|＝622×23＝64. (3)由(2)知BC→＝(－1，3，0)．设P (0，－3，t )(t ＞0)，则BP→＝(－1，－3，t )．设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则BC→·m ＝0，BP →·m ＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0，令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，3，6t .同理，可求得平面PDC 的法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3，6t .因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以m ·n ＝0，即－6＋36t2＝0.解得t＝ 6.所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA＝ 6.大纲理数6.G5、G11已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足．点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )A.2B.3C.63D．1大纲理数6.G5、G11 C 【解析】∵α⊥β，AC⊥l，∴AC⊥β，则平面ABC ⊥β，在平面β内过D作DE⊥BC，则DE⊥平面ABC，DE即为D到平面ABC的距离，在△DBC中，运用等面积法得DE＝6，故选C.大纲理数19.G5，G11如图1－1，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的大小．图1－1大纲理数19.G5，G11【解答】解法一：(1)取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2.图1－2连结SE，则SE⊥AB，SE＝ 3.又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角．由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD. SD与两条相交直线AB、SE都垂直．所以SD⊥平面SAB.(2)由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，SF＝SD×SEDE＝3.作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1. 连结SG，则SG⊥BC.又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG. 作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.FH＝SF×FGSG＝37，即F到平面SBC的距离为217.由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，故E到平面SBC的距离d也为21 7 .设AB与平面SBC所成的角为α，则sin α＝d EB ＝217，α＝arcsin 217. 解法二：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图1－3所示的空间直角坐标系C －xyz .图1－3设D (1，0，0)，则A (2，2，0)，B (0，2，0)．又设S (x ，y ，z )，则x >0，y >0，z >0.(1)AS→＝(x －2，y －2，z )，BS →＝(x ，y －2，z )，DS →＝(x －1，y ，z )，由|AS→|＝|BS →|得（x －2）2＋（y －2）2＋z 2＝x 2＋（y －2）2＋z 2，故x ＝1，由|DS→|＝1得y 2＋z 2＝1，又由|BS→|＝2得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4，即y 2＋z 2－4y ＋1＝0，故y ＝12，z ＝32.于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32， DS→·AS →＝0，DS →·BS →＝0.故DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，又AS ∩BS ＝S ，所以SD ⊥平面SAB .(2)设平面SBC 的法向量a ＝(m ，n ，p )，则a ⊥BS→，a ⊥CB →，a ·BS →＝0，a ·CB →＝0. 又BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，CB →＝(0，2，0)，故⎩⎪⎨⎪⎧m －32n ＋32p ＝0，2n ＝0.取p ＝2得a ＝(－3，0，2)．又AB →＝(－2，0，0)，所以cos 〈AB →，a 〉＝AB→·a |AB →|·|a |＝217.故AB 与平面SBC 所成的角为arcsin 217.大纲文数8.G5 已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则CD ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1大纲文数8.G5 C 【解析】 ∵α⊥β，AC ⊥l ，∴AC ⊥β，则AC ⊥CB ，∵AB ＝2，AC ＝1，可得BC ＝3，又BD ⊥l ，BD ＝1，∴CD ＝2，故选C.大纲文数20.G5，G11 如图1－1，四棱锥S －ABCD 中，图1－1AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的大小．大纲文数20.G5，G11【解答】解法一：(1)取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2.图1－2连结SE，则SE⊥AB，SE＝ 3.又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角．由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直．所以SD⊥平面SAB.(2)由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，SF＝SD×SEDE＝32.作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1. 连结SG，则SG⊥BC.又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG. 作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.FH＝SF×FGSG＝37，即F到平面SBC的距离为217.由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，故E到平面SBC的距离d也为21 7 .设AB与平面SBC所成的角为α，则sinα＝dEB＝217，α＝arcsin217.解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图1－3所示的空间直角坐标系C－xyz.图1－3设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)．又设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0.(1)AS→＝(x－2，y－2，z)，BS→＝(x，y－2，z)，DS→＝(x－1，y，z)，由|AS→|＝|BS→|得（x－2）2＋（y－2）2＋z2＝x2＋（y－2）2＋z2，故x＝1，由|DS→|＝1得y2＋z2＝1，又由|BS→|＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝12，z＝32.于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32， DS→·AS →＝0，DS →·BS →＝0. 故DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，又AS ∩BS ＝S ，所以SD ⊥平面SAB .(2)设平面SBC 的法向量a ＝(m ，n ，p )，则a ⊥BS→，a ⊥CB →，a ·BS →＝0，a ·CB →＝0. 又BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，CB →＝(0，2，0)，故⎩⎪⎨⎪⎧m －32n ＋32p ＝0，2n ＝0.取p ＝2得a ＝(－3，0，2)．又AB →＝(－2，0，0)，所以cos 〈AB→，a 〉＝AB→·a |AB →|·|a |＝217.故AB 与平面SBC 所成的角为arcsin 217.课标理数20.G5，G10，G11 如图1－7，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD .四边形ABCD 中，图1－7AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)设AB＝AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到P、B、C、D的距离都相等？说明理由．课标理数20.G5，G10，G11【解答】图1－8(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.图1－9(2)①以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图1－9)．在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE ⊥AD .在Rt △CDE 中，DE ＝CD ·cos45°＝1，CE ＝CD ·sin45°＝1.设AB ＝AP ＝t ，则B (t ，0，0)，P (0，0，t )．由AB ＋AD ＝4得AD ＝4－t ，所以E (0，3－t ，0)，C (1，3－t ，0)，D (0，4－t ，0)， CD→＝(－1，1，0)，PD →＝(0，4－t ，－t )．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ⊥CD →，n ⊥PD →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0.（4－t ）y －tz ＝0.取x ＝t ，得平面PCD 的一个法向量n ＝(t ，t ，4－t )．又PB→＝(t ，0，－t )，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°得cos60°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·PB |n |·|PB →|，即|2t 2－4t |t 2＋t 2＋（4－t ）2·2t 2＝12.解得t ＝45或t ＝4(舍去，因为AD ＝4－t >0)，所以AB ＝45.②法一：假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等．设G (0，m ，0)(其中0≤m ≤4－t )．图1－10→＝(0，4－t－m，0)，则GC→＝(1，3－t－m，0)，GDGP→＝(0，－m，t)．→|得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，由|GC→|＝|GD即t＝3－m；①→|＝|GP→|得(4－t－m)2＝m2＋t2.②由|GD由①、②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、C、D的距离都相等．从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．法二：假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等．由GC＝GD，得∠GCD＝∠GDC＝45°，图1－12从而∠CGD＝90°，即CG⊥AD.所以GD＝CD·cos45°＝1.设AB＝λ，则AD＝4－λ，AG＝AD－GD＝3－λ.在Rt △ABG 中，GB ＝AB 2＋AG 2 ＝λ2＋（3－λ）2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－322＋92>1. 这与GB ＝GD 矛盾．所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点B 、C 、D 的距离都相等．从而，在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．课标理数18.G5，G10 如图1－3，在锥体P －ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB ＝60°，PA ＝PD ＝2，PB ＝2，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(1)证明：AD ⊥平面DEF ； (2)求二面角P －AD －B 的余弦值．图1－3课标理数18.G5，G10 【解答】法一：(1)证明：设AD 中点为G ，连接PG ，BG ，BD .图1－1因PA ＝PD ，有PG ⊥AD ，在△ABD 中，AB ＝AD ＝1，∠DAB ＝60°，有△ABD 为等边三角形，因此BG ⊥AD ，BG ∩PG ＝G ，所以AD ⊥平面PBG ，所以AD ⊥PB ，AD ⊥GB .又PB ∥EF ，得AD ⊥EF ，而DE ∥GB 得AD ⊥DE ，又FE ∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面DEF .(2)∵PG ⊥AD ，BG ⊥AD ，∴∠PGB 为二面角P －AD －B 的平面角．在Rt △PAG 中，PG 2＝PA 2－AG 2＝74，在Rt △ABG 中，BG ＝AB ·sin60°＝32，∴cos ∠PGB ＝PG 2＋BG 2－PB 22PG ·BG＝74＋34－42·72·32＝－217.法二：(1)证明：设AD 中点为G ，因为PA ＝PD ，所以PG ⊥AD ，又AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，所以△ABD 为等边三角形，因此，BG ⊥AD ，从而AD ⊥平面PBG .延长BG 到O 且使PO ⊥OB ，又PO ⊂平面PBG ，所以PO ⊥AD ，又AD ∩OB ＝G ，所以PO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD 的直线为y 轴，建立如图1－2所示的空间直角坐标系．设P (0，0，m )，G (n ，0，0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，－12，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫n ，12，0.图1－2∵|GB →|＝|AB →|sin60°＝32，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32，1，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋34，12，m 2. ∴AD →＝(0，1，0)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，0，FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋3，0，－m 2，∴AD→·DE →＝0，AD →·FE →＝0，∴AD ⊥DE ，AD ⊥FE ，又DE ∩FE ＝E ，∴AD ⊥平面DEF .(2)∵PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，－12，－m ，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32，0，－m ，∴m 2＋n 2＋14＝2，⎝⎛⎭⎪⎫n ＋322＋m 2＝2，解得m ＝1，n ＝3.取平面ABD 的法向量n 1＝(0，0，－1)，设平面PAD 的法向量n 2＝(a ，b ，c )，由PA →·n 2＝0，得32a －b 2－c ＝0，由PD →·n 2＝0，得3a ＋b 2－c ＝0，故取n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，32.∴cos 〈n 1，n 2〉＝－321·74＝－217. 即二面角P －AD －B 的余弦值为－217.课标理数18.G5，G11 如图1－4，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C；(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值．图1－4课标理数18.G5，G11 【解答】解法1：过E 作EN ⊥AC 于N ，连结EF . (1)如图①，连结NF 、AC 1，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面A 1C ，又底面ABC ∩侧面A 1C ＝AC ，且EN ⊂底面ABC ，所以EN ⊥侧面A 1C ，NF 为EF 在侧面A 1C 内的射影，在Rt △CNE 中，CN ＝CE cos60°＝1，则由CF CC 1＝CN CA ＝14，得NF ∥AC 1.又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C ，由三垂线定理知EF ⊥A 1C .(2)如图②，连结AF ，过N 作NM ⊥AF 于M ，连结ME ，由(1)知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得EM ⊥AF ，所以∠EMN 是二面角C －AF －E 的平面角，即∠EMN ＝θ，设∠FAC ＝α，则0°<α≤45°.在Rt △CNE 中，NE ＝EC ·sin60°＝3，在Rt △AMN 中，MN ＝AN ·sin α＝3sin α，故tan θ＝NE MN ＝33sin α.又0°<α≤45°，∴0<sin α≤2，故当sin α＝22，即当α＝45°时，tan θ达到最小值， tan θ＝33×2＝63，此时F 与C 1重合．解法2：(1)建立如图③所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0，0，0)，B (23，2，0)，C (0，4，0)，A 1(0，0，4)，E (3，3，0)，F (0，4，1)，于是CA 1→＝(0，－4，4)，EF →＝(－3，1，1)，则CA 1→·EF →＝(0，－4，4)·(－3，1，1)＝0－4＋4＝0，故EF ⊥A 1C . (2)设CF ＝λ(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由(1)得F (0，4，λ)，AE →＝(3，3，0)，AF →＝(0，4，λ)，于是由m ⊥AE →，m ⊥AF →可得 ⎩⎨⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝0，4y ＋λz ＝0，取m ＝(3λ，－λ，4)，又由直三棱柱的性质可取侧面A 1C 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n||m|·|n|＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2＋162λ2＋4，所以tan θ＝λ2＋163λ＝13＋163λ2，由0<λ≤4，得1λ≥14，即tan θ≥13＋13＝63，故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值6.图1－2课标文数18.G5，G11 如图1－2，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E －CF －C 1的大小．课标文数18.G5，G11【解答】解法1：(1)证明：由已知可得CC1＝32，CE＝C1F＝22＋（22）2＝23，E＝22＋（2）2＝ 6.EF＝C1于是有EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC21.所以C1E⊥EF，C1E⊥CE.又EF∩CE＝E，所以C1E⊥平面CEF.又CF⊂平面CEF，故CF⊥C1E.(2)在△CEF中，由(1)可得EF＝CF＝6，CE＝23，于是有EF2＋CF2＝CE2，所以CF⊥EF.又由(1)知CF⊥C1E，且EF∩C1E＝E，所以CF⊥平面C1EF.又C1F⊂平面C1EF，故CF⊥C1F.于是∠EFC1即为二面角E－CF－C1的平面角．由(1)知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，即所求二面角E－CF－C的大小为45°.1图1－3解法2：建立如图1－3所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0，0，0)，B(3，1，0)，C(0，2，0)，C(0，2，32)，E(0，0，22)，1F(3，1，2)．(1)C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)， ∴C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0， ∴CF ⊥C 1E .(2)CE→＝(0，－2，22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎨⎧m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0，可取m ＝(0，2，1)．设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1，0)，CC 1→＝(0，0，32)，可取n ＝(1，3，0)，设二面角E －CF －C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝63×2＝2，所以θ＝45°，即所求二面角E －CF －C 1的大小为45°.图1－6课标理数19.G5，G11 如图1－6，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面PAC ； (2)求二面角B －PA －C 的余弦值．课标理数19.G5，G11 【解答】解法一：(1)连结OC ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD.图1－7又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC ⊥PO .因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ，而AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC .(2)在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，由(1)知，平面POD ⊥平面PAC ，所以OH ⊥平面PAC . 又PA ⊂面PAC ，所以PA ⊥OH .在平面PAO 中，过O 作OG ⊥PA 于G ，连结HG ，则有PA ⊥平面OGH .从而PA ⊥HG .故∠OGH 为二面角B －PA －C 的平面角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin45°＝22.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PO 2＋OD2＝2×222＋12＝105.在Rt △POA 中，OG ＝PO ·OA PO 2＋OA 2＝2×12＋1＝6.在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝10563＝155.所以cos ∠OGH ＝1－sin 2∠OGH ＝1－1525＝105. 故二面角B －PA －C 的余弦值为105.解法二：(1)如图1－8所示，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则图1－8O (0，0，0)，A (－1，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0. 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面POD 的一个法向量，则由n 1·OD →＝0，n 1·OP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 1＋12y 1＝0，2z 1＝0.所以z 1＝0，x 1＝y 1.取y 1＝1，得n 1＝(1，1，0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAC 的一个法向量，则由n 2·PA →＝0，n 2·PC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2z 2＝0，y 2－2z 2＝0.所以x 2＝－2z 2，y 2＝2z 2，取z 2＝1，得n 2＝(－2，2，1)．因为n 1·n 2＝(1，1，0)·(－2，2，1)＝0，所以n 1⊥n 2.从而平面POD ⊥平面PAC .(2)因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3＝(0，1，0)．由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－2，2，1)．设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝n2·n3|n2|·|n3|＝25＝105.由图可知，二面角B－PA－C的平面角与θ相等，所以二面角B－PA－C的余弦值为10 5 .课标文数19.G5，G11如图1－5，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，点C在AB上，且∠CAB＝30°，D为AC的中点．(1)证明：AC⊥平面POD；(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．图1－5课标文数19.G5，G11【解答】(1)因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO.而OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.(2)由(1)知，AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，则OH ⊥平面PAC.图1－6连结CH ，则CH 是OC 在平面PAC 上的射影，所以∠OCH 是直线OC 和平面PAC 所成的角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin30°＝12.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×122＋14＝23. 在Rt △OHC 中，sin ∠OCH ＝OH OC ＝23.故直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值为23.图1－9课标理数18.G5，G10，G11 如图1－9，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：PA ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．课标理数18.G5，G10，G11 【解答】 (1)因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ，所以BD ⊥平面PAD .故PA ⊥BD .图1－10(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，DA 、DB 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0，0，1)， AB→＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1，0，0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB→＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0.因此可取n ＝(3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎨⎧m ·PB→＝0，m ·BC→＝0，可取m ＝(0，－1，－3)．cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A －PB －C 的余弦值为－277.图1－8课标文数18.G5，G11如图1－8，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．课标文数18.G5，G11【解答】(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD.图1－9故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.由题设知PD＝1，则BD＝3，PB＝2.根据DE·PB＝PD·BD得DE＝3 .。

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