江西省高三模拟试卷数学文科试卷【含答案及解析】
高三文科数学模拟试题含答案
高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。
A。
2.B。
-1.C。
2i。
D。
-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。
A。
{-3,-2,0}。
B。
{0,1,2}。
C。
{-2,0,1,2}。
D。
{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。
A。
2.B。
11/22.C。
-1.D。
-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。
A。
4π/3.B。
π。
C。
3π/2.D。
2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。
A。
(π/6,0)。
B。
(π/3,0)。
C。
(π/2,0)。
D。
(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。
开始是否输出结束A。
-10.B。
-3.C。
4.D。
57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。
A。
x-y+1=0.B。
x-y-1=0.C。
x+y-1=0.D。
x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。
A。
4.B。
6.C。
9.D。
369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。
A。
1.B。
2.C。
11.D。
3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。
江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题(含解析)
江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题一、单选题1．（2023·江西宜春·统考模拟预测）设全集U =R ，{1A x x =<-或}2x ≥，{}2,1,0,1,2B =--，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-2．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知复数z 满足()1i 2z +=-，则z 等于（ ）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）非零向量a r ，b r ，c r 满足()a cb ⊥-r r r ，a r 与b r 的夹角为π3，2b =r ，则c r 在a r 上的投影为（ ）A ．－1B．C ．1D4．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知实数,x y 满足约束条件0,30,1,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则23x yz -+=的最大值是（ ）A ．3B ．13CD ．1275．（2023·江西宜春·统考模拟预测）从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（ ）A ．π6B ．π4C ．π16-D ．π14-6．（2023·江西宜春·统考模拟预测）若30.04,ln1.04,log 1.04a b c ===则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．b<c<a7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数,m n 只有1为公约数，则称,m n 互质，对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()()32,76ϕϕ==，()96ϕ=.记n S 为数列(){}3nϕ的前n 项和，则10S =（ ）A ．9312-B ．931-C ．10312-D ．1031-8．（2023·江西宜春·统考模拟预测）函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象(04)ω<<关于直线π6x =对称，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后与函数()y g x =图象重合，下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 图象关于直线π6x =对称B ．函数()g x 图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．函数()g x 最小正周期为π29．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在Rt ABC V 中，1,2CA CB ==.以斜边AB 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）ABC ．32π81D ．4π8110．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，点A ，B 分别在两条渐近线上，且满足22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r ，20OA BF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2CD11．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足1321223n n a a a a n+++++=L ，若数列()21n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1λ>B ．1λ≥C ．58λ≥D ．58λ>12．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()()()ln 1,ln (0)1m xf x xg x x m x m =+-=+>+，且()()120f x g x ==，则()2111em xx -+的最大值为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e二、填空题13．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知)114d πa x x -=+⎰，则到点(),0M a 的距离为2的点的坐标可以是___________.（写出一个满足条件的点就可以）14．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知点()()1,1,1,1A B ---，若圆22()(24)1x a y a -+-+=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值的范围是___________.15．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是___________________16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF DE ∥，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH P 平面ABE ；②存在点H ，使得GH AC ⊥；③直线GH 与BE ④三棱锥A BCF -的外接球的表面积为9π.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos a b c B +=.(1)求证：2C B =；(2)求3cos a bb B+的最小值.18．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90,224AB CD DAB CD AB AD ∠====o ，点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，现将CEF △沿EF 边折起，使点C 到达点P 的位置（如图2所示），且2BP =.(1)求证：平面APE ⊥平面ABD ；(2)求点B 到平面ADP 的距离.19．（2023·江西宜春·统考模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份编号t12345竞拍人数y （万人）1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy bt a =+，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：报价区间（万元）[)1,2[)2,3[)3,4[)4,5[)5,6[]6,7频数206060302010（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均数x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及方差2s 估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.附：()()()121ˆ 1.3niii nii x x y y bx x ==--=≈-∑∑，若()0,1Y N :，则( 1.11)0.8660<=P Y ，( 1.12)0.8686P Y <=.20．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求函数的最小值；(2)若方程()f x a =有两个不同的实数根1x ，2x 且12x x <，证明：1223x x +>.21．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心，6为半径的圆与以2F 为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的右焦点2F 的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且122k k =-，直线1l 交椭圆C 于,M N 两点，直线2l 交椭圆C 于,G H 两点，线段,MN GH 的中点分别为,R S ，直线RS 与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 的左､右顶点，记PQA △与PQB △的面积分别为12,S S ，证明：12S S 为定值.22．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程11222122t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos 2sin 10m ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()244f x x x =++-.(1)求不等式24410x x ++-≥的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m++≥+++.参考答案：1．D【分析】先计算得到U A ð，进而求出交集.【详解】{}12U A x x =-≤<ð，故(){}1,0,1U B A =-I ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义求解.【详解】由题可得2(1i)1i 1iz -==--=-++，所以1i z =--，故选:A.3．C【分析】根据投影公式计算出正确答案.【详解】由于()a c b ⊥-r r r，所以()0,a c a b a c a a b b c ⋅-=⋅-⋅=⋅=⋅r r r r r r r r r r r ，由于a r 与b r 的夹角为π3，所以πcos 3a c a b a b a ⋅=⋅=⋅⋅=r r r r r r r，c r 在a r 上的投影为1a a c a a⋅==rr r r r .故选：C 4．B【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界位置，由此求得23x y z -+=的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界点()1,1B 的位置，此时z 取得最大值为1max 12111,3z z --⨯+=-==，.故选：B.5．C【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为334π1π31126⨯-=-.故选：C 6．A【分析】构造函数()()ln 1f x x x =+-，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.【详解】因为0.04a =，ln1.04b =，3log 1.04c =，当()0,1x ∈时，设()()ln 1f x x x =+-，则()11011xf x x x -'=-=<++，所以()f x 在()0,1上单调递减且()00f =，所以()()()0.04ln 10.040.0400f f =+-<=，即()0.04ln 10.04>+，所以a b >；又因为3e >，所以ln 3ln e 1>=，3ln1.04log 1.03ln1.04ln 3=<，即b c >，所以c b a <<.故选：A.7．D【分析】根据题意分析可得()1323nn ϕ-=⋅，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：若正整数3nm ≤与3n不互质，则m 为3的倍数，共有1333n n -=个，故()1133332n n n n ϕ---=⋅=，∵()()113233233n n n n ϕϕ+-⋅==⋅，即数列(){}3n ϕ是以首项()32ϕ=，公比3q =的等比数列，故()1010102133113S -==--.故选：D.8．C【分析】由对称性求得ω，由图象平移变换求得()g x ，然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．【详解】由已知ππππ662k ω+=+，62k ω=+，Z k ∈，又04ω<<，∴2ω=，ππ2π()sin[2()sin(2463g x x x =++=+，π2ππ2ππ,Z 632k k ⨯+=≠+∈，A 错；π2ππ2()π,Z 633k k ⨯-+=≠∈，B 错；π(0,3x ∈时，2π2π4ππ3π2(,)(,)33322x +∈⊆，C 正确；()g x 的最小正周期是2ππ2T ==，D 错．故选：C ．9．C【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心O 位于对称轴AB 上，由平行线性质求得球半径r 后可得球体积．【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，由对称性知其内切球球心O 在AB 上，O 到,CA CB 的距离,OE OF 相等为球的半径，设其为r ，因为C 是直角，所以OECF 是正方形，即CF CE r ==，由//OF CA 得OF BF CA BC =，即212r r -=，解得23r =，球体积为3344232ππ(π33381V r ==⨯=．故选：C ．10．C【分析】先求出AB 所在的直线方程，分别与两条渐近线联立方程组，求出,A B 两点的坐标，再根据22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r，求出,a c 之间的关系，从而可得双曲线的离心率【详解】由题意：OA b k a = ，20OA BF =u u u r u u u u r Q g ,2OA BF ∴⊥ ,2BF ak b ∴=-所以直线2BF 的方程为：()ay x c b=-- ①直线OA 的方程为：by x a =②直线OB 的方程为：by x a=-③联立①②可得：2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即2(,)a ab A c c 联立①③可得22222a c x a babcy a b ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即22222(,a c abc B a b a b ---又22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r Q 22222221(,)(,0)(,)33a ab a c abcc c c a b a b-∴=+--可得222222233()3()a a c c c a b ab abcc a b ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，化简可得223a c = ，即2e 3=，e ∴= 故选：C 11．C【分析】根据1321223n n a a a a n+++++=L 求得 n a ,再因为对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，()max n S λ>，求出实数λ的取值范围.【详解】1321223n n a a a a n+++++=L ①,31212231n n a a a a n -++++=-L ②,由①-②可得，当 2n ≥ 时,2n na n=,当211,2n a ==,当2n ≥,()()()122211222111n n n n n n n a n n n n +⎛⎫++==- ⎪ ⎪++⨯⨯+⨯⎝⎭,当1,n =()2318n n n a +=+，所以()()2312131111311228223221282212n n n n S n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ,对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立,所以 ()max n S λ>,()21332528882221181n n S n +⎛⎫=+<+=⎪ ⎪-⨯+⎝⎭⨯.所以58λ≥.故选:C.12．A【分析】根据题意表示出()()21121ln 1e ,x x x x m ++==从而推导出21e 1,xx =+将问题转化为()21111e em m x x m--+=，利用导数求得函数的最值.【详解】()()()()()ln 10,ln 10,1ln 1,11m mf x x x m x x x x =+-=+-==++++()ln0,e ,x xg x x m x m=+==由题意知，()()21121ln 1e ,x x x x m ++==即()()2221121ln 1e e ln e ,x x xx x x m ++===因为0m >，所以21e 1,11xx >+>，设()ln ,1p x x x x =>，则()1ln 0p x x '=+>，()()211e ,xp x p m +==所以211e x x +=，所以()22121111e e e e x m m m x x x m---+==，1(),0e m m t m m -=>，则11(),em mt m --'=当01m <<时，()0;t m '>当1m >时，()0;t m '<所以()t m 在()0,1时单调递增，在()1,+∞时单调递减，所以max ()(1)1,t m t ==故选：A.13．22(2)4x y -+=上的任意一点都可以【分析】根据定积分的几何意义先求出a ，再写出到点(),0M a 的距离为2的点表示一个圆.【详解】由于11d x -⎰表示以()0,0为圆心，1为半径且在第一、二象限的圆弧与坐标轴围成的面积，其面积是半径为1的圆的面积的一半，即为π2.所以)111144π4d d 202ππ2πa x x x x --==⨯+=+=⎰⎰,到点()2,0M 的距离为2的点是圆22(2)4x y -+=上的点.故答案为：22(2)4x y -+=上的任意一点.14．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设(,)M x y ，由数量积的坐标表示求得M 点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得a 的范围．【详解】设(,)M x y ，则(1,1),(1,1)MA x y MB x y =----=---u u u r u u u r，2(1)(1)(1)3MA MB x x y ⋅=---+--=u u u r u u u r，即22(1)4x y ++=，M 在以(0,1)-为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆22()(24)1x a y a -+-+=有公共点，所以2121-≤≤+，解得1205a ≤≤．故答案为：12[0,]5．15．112【分析】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，他们能搭乘同一班公交车，则4560x ……，4560y ……．试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ，由此能求出结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，则试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为4550{(,)|4550x A x y y ⎧=⎨⎩…………或50555055x y ⎧⎨⎩…………或5560}5560x y ⎧⎨⎩…………，则他们能搭乘同一班公交车的概率5531303012P ⨯⨯==⨯．故答案为：11216．①④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合异面直线所成角，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则H G //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ，故H G //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,1,2,0A C B E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AC ⊥，则()()1,2,2,2,020GH AC m ⋅=--⋅-=-≠u u u r u u u r，不满足题意，故②错误；对③：()1,2,GH m =--u u u r，()2,2,2BE =--u u u r ，()()()()1222262GH BE m m ⋅=-⨯-+-⨯-+=+u u u r u u u r，GH ==u u u r，BE =u u u r []0,2m ∈，,cos GH =u u u r u=[]0,2m ∈，令2325m y m +=+，设32t m =+，[]2,4t ∈，23t m -=，则29492453ty t t t==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，当[]2,4t ∈时，根据对勾函数的性质得4949454,42t t ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，则236,549y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当25y =时，cos ,GH BE u u u r u u u r有最小值，最小值为，故③错误；对④：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形，∴,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，∴AB ⊥平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直，∴AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径，又22222212219AF AB BC CF =++=++=，∴三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故④正确.故答案为：①④.17．(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=24cos cos B B =+，根据第一问解得π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后结合不等式求解.【详解】（1）在ABC V 中，2cos a b c B +=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B C B +=，又()πA B C =-+，因为()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅,所以sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=,所以()sin sin C B B -=,又sin 0B >,所以0πC B C <-<<，且πB C B C +-=<,所以B C B =-，故2C B =.（2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，所以π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos ,2a b c B C B +==，所以32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅24cos cos B B=+≥当且仅当24cos cos B B =即cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即当且仅当π4B =时等号成立，所以当π4B =时，3cos a bb B +的最小值为18．(1)证明见解析【分析】（1）连接,BD BF ，由等腰三角形的性质和勾股定理，证明PE EF ⊥，PE BE ⊥，可证得PE ⊥平面ABD ，即可证得平面APE ⊥平面ABD .（2）取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由勾股定理求,,PD PA PO ，又B PAD P ABD V V --=，利用体积法求点B 到平面ADP 的距离.【详解】（1）证明：由题意，连接,BD BF ，因为224CD AB AD ===，//AB CD ，90,DAB F ∠=o 是边CD 的中点，所以2BF CF ==，则BC =又E 是边BC 的中点，则EF BC ⊥，在折起中PE EF ⊥.又222224BE PE BP +=+==，所以PE BE ⊥，又BE EF E =I ，BE ⊂平面ABD ，EF ⊂平面ABD ，故PE ⊥平面ABD ，又PE ⊂平面APE ，所以平面APE ⊥平面ABD .（2）由（1）中取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由（1）可知，PE ⊥平面ABD ，所以,,PE DE PE AE PE OE ⊥⊥⊥，而()132OE AB DC =+=，112OD AD ==，所以DE =同理AE =所以PD PA PO ======所以PAD V 是等腰三角形，所以1122PAD S AD PO =⋅=⨯=V 又B PAD P ABD V V --=，即1133PAD ABD S h S PE ⋅=⋅V V ，所以ABD PADS PE h S ⋅==VV =，即点B 到平面ADP19．(1)0.41.7ˆ12=+yt ，预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人(2)（i ） 3.5x =，2 1.7s =；（ii ）预测竞拍的最低成交价为4.943万元【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，6t =代入回归方程可得预测值；（2）（i ）由均值与方差公式计算出均值与方差；（ii ）由预测值求得报价在最低成交价以上人数占总人数比例，然后由正态分布的性质求得预测竞拍的最低成交价．【详解】（1）11(12345)3,(1.7 2.1 2.5 2.8 3.4) 2.555t y =++++==++++=，55211149162555, 1.7 4.27.511.21741.6,ii i i i tt y ===++++==++++=∑∑，241.653 2.5ˆˆ0.41, 2.50.413 1.275553ba -⨯⨯∴===-⨯=-⨯，y 关于t 的线性回归方程0.41.7ˆ12=+y t 2023年5月份对应6t =，所以0.416 1.27 3.73ˆ=⨯+=y所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.（2）（i ）由题意可得：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(5.5 3.5)0.1(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯+-⨯=（ii ）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为a 万元，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为5000100%13.40%37300⨯≈根据假设报价X 可视为服从正态分布()22,, 3.5, 1.7, 1.3===≈N μσμσσ，令 3.51.3--==X X Y μσ，由于( 1.11)0.8660<=P Y ，1( 1.11)0.1340P Y ∴-<=，3.5() 1.110.86601.3a P Y a P Y -⎛⎫∴<=<== ⎪⎝⎭，所以 3.5 1.111.3a -=得 4.943=a ，所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元．20．(1)1-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数法求函数最值的步骤解求解；(2)根据题意构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而利用函数的最值得出()()212f x f x >-，再结合（1）中函数的单调性即可得证.【详解】（1）由题意可知：函数()ln 2f x x x =--的定义域为：()0,∞+.则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =.当()0,1x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.所以1x =为极小值点，且()()min 11f x f ==-.所以函数()f x 的最小值为1-.（2）根据题意可知：()()12f x f x =，根据（1）设101x <<，21x >，构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.()()()()()221202x F x f x f x x x -'''=+-=<-，所以()F x 在()0,1上单调递减.则有()()10F x F <=，也即()()1120f x f x -->.因为()()12f x f x =，所以()()2120f x f x -->，也即()()212f x f x >-因为121x ->，21x >，由（1）可知()f x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-，也即122x x +>.由已知21x >，所以1223x x +>.21．(1)2211612x y +=；(2)证明见解析．【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得,a c ，再计算出b 后得椭圆方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点,R S 的坐标，当直线PQ 斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，代入整理得12,k k 是一个一元二次方程的根，由韦达定理得12k k ，从而得出,m n 关系，得出直线PQ 过定点E ，再确定直线PQ 斜率不存在时也过这个定点E ，然后结合该定点得出三角形面积比．【详解】（1）依题意得12622c a a⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则4,2,a c =⎧⎨=⎩则22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）直线()11:2l y k x =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由122(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616480k x k x k +-+-=，所以2112211634k x x k +=+，211221164834k x x k -=+，且0∆>，则中点211221186,3434k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可算222222286,3434k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，点,R S 坐标代入整理得()()21122284630,84630,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知12,k k 为方程()284630m n k k n +++=的两个根，则123284n k k m n==-+，所以1611n m =-，所以直线16:11PQ y mx m =-，则直线恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，由122k k =-，不妨设12k k ==，所以221222128816343411k k k k ==++，直线16:11PQ x =过16,011⎛⎫⎪⎝⎭，根据①②可知，直线PQ 恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQA △的面积11212S AE y y =⋅-，PQB △的面积21212S BE y y =⋅-，所以121641511167411AE S S BE +===-.【点睛】方法点睛：椭圆中的直线过定点问题的解决方法：斜率存在时，设出直线方程为y mx n =+，根据已知条件确定,m n 的关系后，由直线方程得出定点坐标．本题中，动直线PQ 是由点,R S 确定的，因此可由已知直线12,l l 确定,R S 的坐标，再把坐标代入所设直线方程，发现12,k k 是一个一元二次的两根，这样可由韦达定理求得,m n 的关系，得出结论．22．(1)()22441x y x -=≥(2)4m <<【分析】（1）在曲线C 的参数方程中消去参数t ，可得出曲线C 的普通方程，利用基本不等式求出x 的取值范围，即可得解；（2）求出直线l 的普通方程，分析可知直线l 与双曲线2214y x -=的右支有两个交点，将直线l 与双曲线2214y x -=方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为112122t t x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()222222221422,2441122,2t t t t x x y x y ⎧=++⎪⎪-=≥⎨⎪=+-⎪⎩则则曲线的普通方程为()22441x y x -=≥（2）cos 2sin 10m ρθρθ+-=则210mx y +-=由得()22210,1,14mx y y x x +-=⎧⎪⎨-=≥⎪⎩得()22162170m x mx -+-=有两个不等正根()22222160,Δ468160,20,1617016m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪⎪->-⎩则4m <<23．(1)[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即m 的值，再利用柯西不等式证明即可.【详解】（1）不等式24410x x ++-≥，所以224410x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩，解得103x ≤-，或2424410x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩，解得24x ≤<，或424410x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得4x ≥，所以原不等式解集为[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.（2）()244242f x x x x x x =++-=++-++()2406x x ≥+--+=，当且仅当2x =-时取得，即min ()6f x =，所以6a b c m ++==，因为()1112a b c a b b c a c ⎛⎫++⨯++ ⎪+++⎝⎭()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2≥()21119=++=，当且仅当12a b c ===时取等号，所以()1119922a b b c c a a b c m ++≥=+++++成立.。
江西省赣州市2023届高三年级(一模)丨文数答案
赣州市2023年高三年级摸底考试数学（文科）参考答案一、选择题题号123456789101112答案CDCABDBDABCA8.解：因为0.70.7log 0.3log 0.71>=，0.30.30.3log 1log 0.7log 0.3<<，0.3000.70.7<<，即1a >，01b <<，01c <<，又0.50.30.30.31log 0.7log 0.30.70.70.72<=<=<，所以b c a <<，故选D .12.由120MF MF ⋅=，所以1F MN ∆为直角三角形，故内切圆半径111222MF MN NF MF MN NF r +-+-==121222MF MN MN MF MF MF a b +---====，所以2e =，故选A .二、填空题13.163-；14.30x y --=；15.5（取4m >的整数即可）；16.33(2,)2.16.解：由正弦定理，2cos c b b A -=，即为sin sin 2sin cos C B B A -=，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，展开整理得()sin sin A B B -=，因为锐角ABC △中，π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2A B +>，ππ,22A B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以A B B -=，即2A B =，ππ64B <<.又()()22sin cos sin 2cos sin 2cos 21C B A B A B B B ++-=+=++2214B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为ππ64B <<，所以ππ232B <<，所以7ππ3π21244B <+<，所以范围为33(2,)2.三、解答题17.解：（1）甲的平均成绩为17078848593825x ++++==………………………………1分乙的平均成绩为27374819092825x ++++==……………………………………………2分甲的成绩方差()()()()()222222117082788284828582938258.85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦…3分乙的成绩方差为22222221(82)(82)(82)(82)(82)6257374819092s ⎡⎤=-----=⎣+⎦+++…4分由于12x x =，2212s s <，甲的成绩较稳定………………………………………………………5分故派甲参赛比较合适…………………………………………………………………………6分（2）记四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》的作者依次记为ABCD ，则游戏互动中，观众丙随机连线的结果有:ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB ；BCDA,BCAD,BDAC,BDCA,BACD,BADC ；CABD,CADB,CBDA,CBAD,CDAB,CDBA ；DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCBA,DCAB .共24种连法……………………………………………………………………………………8分其中恰好连对1个的结果有：ACDB,ADBC ；BDCA,BCAD ；CABD ，CBDA ；DACB,DBAC 共8种…………………………………………………………………………10分所以观众丙恰好连对1个的概率为81243=…………………………………………………12分18.解：（1）由数列{}n b 是等比数列，11b =，设其公比为q ，由题设323b b m -=，得23q q m -=，即230q q m --=（*）…………………………1分因为数列{}n b 是唯一的，所以对于方程（*），①若方程（*）有一个根为0，另一个不为0，把0代入方程，得0m =，当0m =时，13q =或0（舍去），故13q =，满足唯一性………………………………3分②若方程（*）有两个相等的实根，且根不为0，则2(1)120m ∆=-+=，解得112m =-，代入（*）式，解得16q =，又11b =，所以{}n b 是唯一的等比数列，符合题意…………5分所以，0m =或112-…………………………………………………………………………6分（2）由0m =，所以3230b b -=，得230q q -=，解得13q =或0（舍去），此时11(3n n b -=…………………………………………………7分所以3293a b ==，所以等差数列{}n a 的公差313113131a a d --===--，所以()111n a n n =+-⨯=，即113n n n a b n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭…………………………………………8分所以211111123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ……①()2311111111231333333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ……②………9分①-②得21211113231133333223n nnn n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L …………11分所以19231443n n n T -+=-⨯……………………………………12分19．解：（1）因为2DC PC ==，π3PDC ∠=所以PCD △是正三角形，所以2PD =…………………………1分又1AD =，π3PDA ∠=，由余弦定理得22π12212cos 33AP =+-⨯⨯⨯则222AD AP DP +=，所以π2DAP ∠=,即AD AP ⊥……………………………………2分因为点M 是PD 的中点．所以CM DP ⊥，点N 是AD 的中点，所以MN AP ∥，所以AD MN ⊥………………………………………………………………………………3分又平面PCD ⊥平面APD ，平面PCD 平面APD DP =，CM ⊆平面PCD所以CM ⊥平面APD ，因为AD ⊆平面APD ，所以CM AD ⊥………………………4分因为CM MN M = ，CM 、MN ⊆平面CMN …………………………………………5分所以AD ⊥平面CMN ………………………………………………………………………6分（2）由（1）得CM ⊥平面APD ，π2sin 3CM ==122MN AP ==………8分在直角CMN △中2CN =，设点P 到平面ABCD 的距离为h ，由P ACD C APD V V --=…………………………………10分即1115111132232h ⎛⎫⎛⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪⎪⎝⎝⎭解得5h =，所以点P 到平面ABCD 的距离为5………………………………12分20.解：（1）因为函数()f x 在()0,π上单调递减，所以()e sin 0xf x x m '=--≤在()0,π上恒成立…………………………………………1分又()e cos 1cos 0xf x x x ''=->-≥，所以()f x '在()0,+∞上单调递增………………2分要使得()e sin 0xf x x m '=--≤在()0,π上恒成立，则()ππe 0f m '=-≤，解得πe m ≥…………………………………………………………4分即所求的实数m 的取值范围为)πe ,⎡+∞⎣……………………………………………………5分（2）由（1）知()e sin xf x x m '=--在()0,+∞上单调递增，因为ππ2e 1e m -<<，所以π2πe 102f m ⎛⎫'=--< ⎪⎝⎭，()ππe 0f m '=->，所以函数()f x '在()0,+∞上存在唯一零点π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()0f t '=，又0x 为()f x 的极值点，即()00f x '=，所以0π,π2t x ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，此时00e sin xm x =-…………………………………………………8分所以当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增……………………………………………9分又()0000e cos xf x x mx =+-()00000e cos e sin xxx x x =+--()000001e cos sin x x x x x =-++，记()()1e cos sin xg x x x x x =-++，π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则()()()e cos e cos 1cos 0x xg x x x x x x x x '=-+=--<--≤，所以()g x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以()π2πππ 3.14 3.141e 1 4.81022222g x g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=-+≈-⨯+< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()00f x <………………………………………………………………………………11分又()020f =>，()()2π2ππππ2πe12πe 12πe e e 2π10f m =+->+-=-+>，所以函数()f x 在()00,x 及()0,2πx 上各存在一个零点，即函数()f x 在()0,+∞上有两个零点……………………………………………………12分21．解：（1）因为点0(2,)M y 在C 上，则204y p =，而01422OFM pS y =⋅⋅=△……2分所以016y p=…………………………………………………………………………………3分∴2164p p=，所以4p =……………………………………………………………………4分∴该抛物线的方程为28y x =………………………………………………………………5分⑵法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，120x x ≠，不妨设10y >，∵90BOA ∠=，则2212121212088y y x x y y y y +=⋅+=，解得1264y y =-………………6分①当AB 与x 轴不垂直时，120y y +≠，12x x ≠，此时直线AB 的方程为：()121112y y y x x y x x -=-+-，整理得1212128y y y x y y y y =+++……7分∵1264y y =-，∴AB 的方程为：()1288y x y y =-+，则直线AB 恒过定点()8,0M ………………………………………………………………8分∵ON AB ⊥，即ON NM ⊥，∴N 在以OM 为直径的圆上，该圆方程为()22416x y -+=……………………………9分即当Q 为该圆心()4,0时，4NQ =为定值………………………………………………10分②当AB x ⊥轴时，128y y =-=，此时128x x ==，∵ON AB ⊥，∴()8,0N ；当()4,0Q 时，也满足4NQ =……………………………………………………………11分综上，平面内存在一个定点()4,0Q ，使得QN 为定值4………………………………12分法二：设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y联立22,8808,x my n y my n y x =+⎧⇒--=⎨=⎩……………………………………………………6分由题意264320m n ∆=+>由韦达定理得：12128,8y y m y y n +=⋅=-…………………………………………………7分由90BOA ∠=，即2212121212064y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+= 解得1264y y =-………………………………………………………………………………8分即128648y y n n ⋅=-=-⇒=，直线AB 恒过定点()8,0M ……………………………10分下同法一22.解：（1）由曲线1C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），得2222cos sin 1y θθ+=+=,所以曲线1C 的普通方程为2212x y +=………………………………………………………1分又由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2222cos 2sin 2ρθρθ+=，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos 2sin 2ρθρθ+=…………………………………3分又曲线2C ：r ρ=，得22r ρ=，即222x y r +=…………………………………………4分所以曲线2C 的普通方程为222(0)x y r r +=>……………………………………………5分（2）由题意°90AOB ∠=，设()1,A ρα，则()°2,90B ρα+，又曲线2C 与直线AB 有且仅有一个公共点，故r 为点O 到直线AB 的距离，由曲线1C 的极坐标方程为2222cos 2sin 2ρθρθ+=，得2221cos 2sin 2θθρ+=，所以22211cos 2sin 2ααρ+=………………………………6分()()222222cos 902sin 901sin 2cos 22ααααρ+︒++︒+==……………………………7分所以22121132ρρ+=，即()221221232ρρρρ+=…………………………………………………………8分3==…………………………………………………………………9分又OA OB AB r ⨯=⨯，所以3OA OB r AB⨯==，即所求实数r的值为3……………………………………………………………………10分23.解:(1)不等式()6f x ≤即2216x x ++-≤，⇔12316x x ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≤或12236x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩≤或2316x x -⎧⎨--⎩≤≤……………………………………………2分解得1523x ≤≤，或122x -<<，或723x --≤≤………………………………………4分所以原不等式的解集为75[,]33-………………………………………………………………5分(2)证明：()122f x x a x a =++-11222x a x x a a=++-+-………………………6分11222a x a a ++-≥（当且仅当1(2)()02x a x a+-≤时取等号）……………………8分122a a+≥（当且仅当12x a =时取等号），1222a a =+≥（当且仅当12a =±时取等号）…………………………………………9分所以()2f x ≥（当且仅当12a =±，12x a =时等号成立）………………………………10分法二：()122f x x a x a =++-11222x a x x a a=++-+-…………………………6分知()f x 在1,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增………………………………8分所以()min 11222f x f a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭1222a a =+≥……………………………………9分所以()2f x ≥（当且仅当12a =±，12x a=时等号成立）……………………………10分。
江西省赣州市2023届高三下学期3月摸底考试数学(文)试题(含答案解析)
江西省赣州市2023届高三下学期3月摸底考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合()(){|120},{|2}A x x x B x =+-<=，则A B = （）A ．()1,4-B ．()0,2C ．[)0,2D ．()1,2-2．已知i 为虚数单位，若i1i 2ia +=+-，则实数a 的值为（）A ．-1B ．1C ．2D ．33．已知命题:R,cos 1p x x ∀∈≤；命题000:R,e e 2x xq x -∃∈+<，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q∧B ．()p q⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q⌝∨4．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制扇形统计图如图所示，在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（）A ．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%B ．该公司在华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多C ．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多D ．该公司2022年营收总额约为30800万元5．若α为锐角，1tan cos21αα=+，则tan α=（）A ．12B ．1C ．2D 6．若等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且9801a a <<<，则下列正确的是（）A ．1q >B ．101a <<C ．n S 的最大值为8S D ．n T 的最大值为8T 7．古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第三卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即V Sl =（V 表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，S 表示平面图形的面积，l 表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知Rt △ACB 中，,2,4AB AC AB AC ⊥==，则△ACB 的重心G 到AC 的距离为（）A ．43B ．23C ．1D ．28．已知0.70.3log 0.3,log 0.7,0.5a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b<<D ．b<c<a9．已知函数()()()221010x x x f x x x x⎧+<⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，则方程()()260f x f x --=的实根个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知函数()()cos 04f x x b πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，若将()y f x =的图像向右平移()0m m >个单位长度后图像关于y 轴对称，则实数m 的最小值为（）A ．10πB ．310πC ．710πD ．1110π11．已知棱长为3的正四面体S ABC -的内切球球心为O ，现从该正四面体内随机取一点P ，则点P 落在球O 内的概率为（）ABCD12．M 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且120MF MF ⋅= ，直线2MF 交y 轴于点N .若1NF M △的内切圆的半径为b ，则双曲线的离心率为（）ABC ．2D ．3二、填空题13．已知4,3a b == ，且()a ab ⊥+ ，则向量a 在向量b 上的投影为__________.14．已知函数()()3215233f x x f x x '=-+-，则曲线()y f x =在()()22f ,处的切线方程为__________.15．已知函数()1log 2(0a y x a =+->且1)a ≠的图像恒过定点P ，且点P 在圆220x y mx m +++=外，则符合条件的整数m 的取值可以为__________.（写出一个值即可）16．已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c ､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.三、解答题17．双减政策落地后，五项管理原则出台.某学校为了加强落实其中的“读物管理”，鼓励优质读物进校园，营造学校良好的阅读氛围，充分发挥课外读物帮助学生开阔视野､陶冶情操､增长知识､启迪智慧､塑造良好品质和健康人格等方面的积极作用，决定举办“阅读经典·收获未来”知识竞赛.班主任张老师拿到班委推选的参赛名单后，按要求需从甲､乙两人中先淘汰一人，为此特意调取了甲､乙两人5次模拟大赛的成绩，统计结果如下茎叶图：(1)你认为派谁去参赛合适？请用统计知识说明理由：(2)据悉，知识大赛现场有一个观众互动游戏环节：将四大名著《红楼梦》､《西游记》､《三国演义》､《水浒传》及作者用红线连起来，求观众丙恰好连对1个的概率.18．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且满足11321,3a b b b m ==-=.(1)若数列{}n b 是唯一的，求实数m 的值；(2)若320,9m a b ==，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面π,3APD PDA PDC ∠∠==，底面ABCD 是平行四边形，22DC PC AD ===，且点,M N 分别是棱,PD AD 的中点.(1)证明：AD ⊥平面CMN ；(2)求点P 到平面ABCD 的距离.20．已知函数()()e cos ,0,xf x x mx x =+-∈+∞.(1)若函数()f x 在()0,π上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若ππ2e 1e m -<<，证明：函数()f x 有两个零点.参考数据：πππ32e 4.81,e 2.85,e 23.14≈≈≈21．已知抛物线2:2(0),C y px p F =>为其焦点，点()02,M y 在C 上，且4OFM S = （O 为坐标原点）.(1)求抛物线C 的方程；(2)若,A B 是C 上异于点O 的两个动点，当AOB 90∠= 时，过点O 作ON AB ⊥于，问平面内是否存在一个定点Q ，使得NQ 为定值？若存在，请求出定点Q 及该定值：若不存在，请说明理由.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1:sin x tC y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2:(0)C r r ρ=>，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)曲线1C 的极坐标方程及曲线2C 的直角坐标方程；(2)已知,A B 是曲线1C 上的两个动点（异于原点），且90AOB ∠=︒，若曲线2C 与直线AB 有且仅有一个公共点，求r 的值.23．已知函数()()1220f x x a x a a=++-≠.(1)1a =，解不等式()6f x ≤；(2)证明：()2f x ≥.参考答案：1．C【分析】解一元二次不等式、根式不等式求集合，利用集合交运算求结果即可.【详解】由题设，{|12},{|04}A x x B x x =-<<=≤<，所以[0,2)A B = .故选：C 2．D【分析】利用复数除法化简等式左侧，根据复数相等列方程组求参数值.【详解】由题设i (i)(2i)(21)(2)i1i 2i (2i)(2i)5a a a a +++-++===+--+，所以21525a a -=⎧⎨+=⎩，可得3a =.故选：D 3．C【分析】根据余弦函数性质、基本不等式判断已知命题的真假，再确定对应否命题真假，进而判断各选项中复合命题的真假.【详解】由余弦函数性质知：p 为真，又R,2e e x x x -∀∈+≥，当且仅当0x =时等号成立，故q 为假，所以p ⌝为假，q ⌝为真，综上，p q ∧为假，()p q ⌝∧为假，()p q ∧⌝为真，()p q ⌝∨为假.故选：C 4．A【分析】根据左图中华中地区的营收额，湖南省的营收额与中华中地区的营收额的比值即得出A 答案是错误的，由两个扇形图中可以得出华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多，即选项B 正确，同理结合A ，B 选项求出C 正确，根据湖南省的营收额及所占的比例，即可求出该公司2022年营收总额，选项D 正确.【详解】选项A ，由右图华中地区的扇形图及湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，可知湖北省的营收额约为7.29%，河南省的营收额约为6.19%，则湖南省的营收额约为7.00%，因为华中地区的总营收额为20.48%，所以该公司湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为7.00%100%34.18%20.48%⨯≈，所以A 错误.选项B ，由左图2022年的营收额的扇形图知，华东地区的营收额约为35.17%，西南地区的营收额约为13.41%，东北地区营收额约为11.60%，由选项A 中得出湖北省的营收额约为7.29%，所以西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和为13.41%11.60%7.29%32.3%++=，因为35.17%32.3%>，所以该公司华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多，所以B 正确.选项C ，由左图2022年的营收额的扇形图知，华南地区的营收额约为19.34%，由选项A 中得出河南省的营收额约为6.19%，因为6.19%318.57%⨯=，19.34%18.57%>，所以该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多，所以C 正确.选项D ，由已知湖南省的营收额约2156万元，由选项A 中得出湖南省的营收额约为7.00%，所以该公司2022年营收总额约2156308007.00%=万元，所以D 正确.故选：A.5．B【分析】根据二倍角的余弦公式与同角三角函数的关系化简得出只关于tan α的式子，即可解得答案.【详解】αQ 为锐角，cos 0α∴≠222222111sin cos 11tan tan cos212cos 112cos 2cos 22αααααααα+∴=====++-+，即2tan 2tan 10αα-+=，解得tan 1α=，故选：B.6．D【分析】根据等比数列定义以及9801a a <<<可得()0,1q ∈且11a >，即AB 均错误，再由等比数列前n 项和的函数性质可知n S 无最大值，由前n 项积定义解不等式可知n T 的最大值为8T .【详解】由9801a a <<<可知公比()980,1a q a =∈，所以A 错误；又1871a q a =>，且()0,1q ∈可得11a >，即B 错误；由等比数列前n 项和公式可知()111n n a q S q-=-，由指数函数性质可得n S 为单调递增，即n S 无最大值，所以C 错误；设n T 为数列{}n a 前n 项积的最大值，则需满足11n n nn T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，可得11n n a a +<<，又9801a a <<<可得8n =，即n T 的最大值为8T ，所以D 正确.故选：D 7．B【分析】根据题意，用式子分别表示出圆锥体积、三角形面积以及重心绕旋转轴旋转一周的周长，进而求出距离.【详解】直角三角形绕AC 旋转一周所得的圆锥的体积为116π4π433V =⨯⨯=；三角形ABC 的面积14242S =⨯⨯=，记重心G 到AC 的距离为h ，由V Sh =，可得()16π2π43h =⨯，解得23h =，所以ACB 的重心G 到AC 的距离为23.故选：B.8．D【分析】利用对数、指数的性质判断大小关系即可.【详解】因为0.50.50.310log 0.7log 0.250.712b c <=<===<<0.70.7log 0.7log 0.3a =<=，所以b<c<a .故选：D 9．A【分析】根据已知得出()2f x =-或()3f x =，再根据分段函数已知函数值求自变量的方法分类求出，即可得出答案.【详解】()()260f x f x --=，解得()2f x =-或()3f x =，当0x <时，()2f x =-，解得=1x -，()3f x =，解得302x ±=>（舍）；当0x >时，()2f x =-，解得1x =-10x =-<（舍），()3f x =，解得x或0x =<（舍）；综上，方程()()260f x f x --=的实根为=1x -或1x =-32x =，即方程()()260f x f x --=的实根个数为3个，故选：A.10．B【分析】根据周期范围得出ω范围，根据对称中心得出b 的值，并结合ω范围得出ω的值，即可得出()f x 的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出()f x m -，即可根据图像关于y 轴对称，得出()524m k k ππ--=∈Z ，再根据m 的范围得出实数m 的最小值.【详解】2T πω= ，0ω>，且23T ππ<<，223πππω<∴<，即23ω<<，()y f x = 的图像关于点3,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，1b ∴=，且3cos 024ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()3242k k πππωπ-=+∈Z ，解得()1223k k ω=+∈Z ，23ω<< ，∴取3k =，52ω=，()5cos 124f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴，将()y f x =的图像向右平移()0m m >个单位长度后得到()55cos 1224x m f x m π-=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的图像，()f x m - 的图像关于y 轴对称，()524m k k ππ--=∴∈Z ，解得()2105k m k ππ=--∈Z ，0m > ，m ∴的最小值，令1k =-，得min 2310510m πππ=-+=，故选：B.11．C【分析】根据正四面体的结构特征及性质求其内切球的半径，求出内切球体积和四面体体积，利用几何概型—体积比求概率即可.【详解】由正四面体各侧面为等边三角形，若O'为△ABC的中心，连接SO'，则内切球球心O在线段SO'上，如下图示：22πsin333BO BD AB'==⋅，所以内切圆半径r OO'=，而SO⊥面ABC，BO⊥面SAC，BD⊂面ABC，SD⊂面SAC，故,BO SD SO BD⊥⊥，注意O在面BDS上，又SD BD=，所以O为等腰三角形BSD的垂心，故BO SO=，又SO'==BO SO x==，则r x=，所以223)x x=+-，可得x=r=而正四面体S ABC-的体积211113332ABCV SO S'=⋅=⨯=，其内切球体积为324ππ38V r==，P落在球O内的概率为21π18VV=.故选：C12．A【解析】根据120MF MF⋅=，得到三角形1F MN为直角三角形，再利用直角三角形内切圆切线长定理，求得半径，再根据内切圆的半径为b，建立方程求解.【详解】如图所示：因为120MF MF ⋅= ，所以三角形1F MN 为直角三角形，故它的内切圆半径111222MF MN NF MF MN NF r +-+-==121222MF MN MN MF MF MF a b +---===，所以e =故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及直角三角形内切圆问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.13．163-【分析】先求出a b ⋅ ，再利用投影公式可得向量a 在向量b上的投影.【详解】因为()a a b ⊥+ ，所以()0a a b ⋅+= ，即20a a b +⋅=；由4,3a b == 可得2216a b a a ⋅=-=-=- ；则向量a 在向量b 上的投影为163a b b⋅=- .故答案：163-.14．30x y --=【分析】先求(2)f '，得到()f x ，再利用点斜式可得方程.【详解】因为()()3215233f x x f x x '=-+-，所以2()=2(2)1f x x x f '-'+，则(2)=4(2)14f f '-'+，所以(2)=1f '；所以()321533f x x x x =-+-，所以85(2)42133f =-+-=-，曲线()y f x =在()()22f ,处的切线方程为()12y x --=-，即30x y --=.故答案为：30x y --=.15．5（不唯一，取4m >的整数即可）【分析】先求定点P 的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m 的取值.【详解】因为函数()1log 2a y x =+-的图像恒过定点()1,1，所以()1,1P ；因为点P 在圆220x y mx m +++=外，所以22110m m +++>且240m m ->，解得10m -<<或4m >；又m 为整数，所以m 的取值可以为5,6,7, .故答案为：5（不唯一，取4m >的整数即可）.16．32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系化简整理可得,A B 的关系，将,A C 用B 表示，求出B 的范围，再利用三角恒等变换结合三角函数的性质即可得解.【详解】因为2cos c b b A -=，所以sin sin 2sin cos C B B A -=，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，展开整理得()sin sin A B B -=，因为锐角ABC 中，ππππ,0,,,,2222A B A B A B ⎛⎫⎛⎫∈+>-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B B -=，即2A B =，由π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，得π6π4B <<，()()22πsin cos sin 2cos sin2cos21214C B A B A B B B B ⎛⎫++-=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为π6π4B <<，所以7ππ3π21244B <+<，π24B ⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以()()2sin 2cosC B A B ++-的范围为⎛ ⎝⎭.17．(1)派甲参赛比较合适，理由见解析(2)13【分析】（1）分别求出甲乙的平均成绩和方差，再根据平均成绩和方差即可得出结论；（2）利用列举法，再结合古典概型即可得出答案.【详解】（1）甲的平均成绩为17078848593825x ++++==，乙的平均成绩为27374819092825x ++++==，甲的成绩方差22222211(7082)(7882)(8482)(8582)(9382)58.85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦，乙的成绩方差为22222221(7382)(7482)(8182)(9082)(9282)625s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦，由于221212,x x s s =<，则甲的成绩较稳定，故派甲参赛比较合适；（2）记四大名著《红楼梦》､《西游记》､《三国演义》､《水浒传》的作者依次记为ABCD ，则游戏互动中，观众丙随机连线的结果有：ABCD ，ABDC ，ACBD ，ACDB ，ADBC ，ADCB ，BCDA ，BCAD ，BDAC ，BDCA ，BACD ，BADC ，CABD ，CADB ，CBDA ，CBAD ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DACB ，DBAC ，DBCA ，DCBA ，DCAB 共24种连法，其中恰好连对1个的结果有：ACDB ，ADBC ，BDCA ，BCAD ，CABD ，CBDA ，DACB ，DBAC 共8种，所以观众丙恰好连对1个的概率为81243=.18．(1)0m =或112-(2)19231443n n n T -+=-⨯【分析】（1）利用等比数列的通项公式和323b b m -=得到关于公比的二次方程，讨论根的情况可得答案；（2）求出等差数列的通项公式，得到113n n n a b n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减法求和.【详解】（1）由数列{}n b 是等比数列，11b =，设其公比为q ，由题设323b b m -=，得23q q m -=，即230q q m --=（*）因为数列{}n b 是唯一的，所以对于方程（*），①若方程（*）有一个根为0，另一个不为0，把0代入方程，得0m =，当0m =时，13q =或0（舍去），故13q =，满足唯一性;②若方程（*）有两个相等的实根，且根不为0，则2Δ(1)120m =-+=，解得112m =-，代入（*）式，解得16q =，又11b =，所以{}n b 是唯一的等比数列，符合题意所以，0m =或112-.（2）由0m =，所以3230b b -=，得230q q -=，解得13q =或0（舍去），此时113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；所以3293a b ==，所以等差数列{}n a 的公差313113131a a d --===--，所以()111n a n n =+-⨯=，即113n n n a b n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭；所以211111123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①()2311111111231333333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②得21211113231133333223n nnn n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以19231443n n n T -+=-⨯.19．(1)证明见解析【分析】（1）先利用长度关系得出AD AP ⊥，再根据面面垂直得出线面垂直；（2）利用等体积法由P ACD C APD V V --=可得答案.【详解】（1）因为π2,3DC PC PDC ∠===，所以PCD 是正三角形，所以2PD =；又π1,3AD PDA ∠==，由余弦定理得AP =则222AD AP DP +=，所以2πDAP ∠=，即AD AP ⊥；因为点M 是PD 的中点，所以CM DP ⊥，点N 是AD 的中点，所以//MN AP ，所以AD MN ⊥；又平面PCD ⊥平面APD ，平面PCD 平面,APD DP CM =⊂平面PCD ，所以CM ⊥平面APD ，因为AD ⊂平面APD ，所以CM AD ⊥，因为,,CM MN M CM MN ⋂=⊂平面CMN ，所以AD ⊥平面CMN .（2）由（1）得CM ⊥平面π1,2sin322APD CM MN AP ====，在直角CMN 中，CN ==设点P 到平面ABCD 的距离为h ，由P ACD C APD V V --=，即11111132232h ⎛⎛⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ ⎝⎝⎭，解得5h =，所以点P 到平面ABCD 的距离为5.20．(1))πe ,∞⎡+⎣(2)证明见解析【分析】（1）由题设可得()e sin 0x f x x m =--≤'在()0,π上恒成立，进而研究()()g x f x '=的单调性并求最值，即可得参数范围；（2）应用零点存在性定理判断()e sin xf x x m =--'在()0,∞+上的零点，根据其符号确定()f x 的单调性并得到极值，进而判断其零点分布，即可证结论.【详解】（1）由()f x 在()0,π上单调递减，则()e sin 0x f x x m =--≤'在()0,π上恒成立，令()()g x f x '=且x >0，则()e cos 1cos 0x g x x x '=->-≥，故()()g x f x '=在()0,∞+上单调递增，要使()0f x '≤在()0,π上恒成立，则π(π)e 0f m ='-≤，解得πe m ≥，即所求的实数m 的取值范围为)πe ,∞⎡+⎣（2）由（1）知：()e sin xf x x m =--'在()0,∞+上单调递增，因为ππ2e 1e m -<<，所以()ππ2πe 10,πe 02f m f m ⎛⎫=--<=-> ⎪⎝''⎭，所以函数()f x '在()0,∞+上存在唯一零点0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()00f x '=，此时00e sin xm x =-，当()00,x x ∈时()()0,f x f x '<单调递减；()0,x x ∈+∞时()()0,f x f x '>单调递增，又()()000000000e cos e cos e sin x x x f x x mx x x x =+-=+--()000001e cos sin xx x x x =-++，记()()π1e cos sin ,,π2xg x x x x x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，则()()()e cos e cos 1cos 0x x g x x x x x x x x =-+=--<-'-≤，所以()g x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则()π2πππ 3.14 3.141e 1 4.81022222g x g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=-+≈-⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()00f x <，又()()()2π2ππππ020,2πe 12πe 12πe e e 2π10f f m =>=+->+-=-+>，所以()f x 在()00,x 、()0,2πx 上各有一个零点，即()f x 在()0,∞+上有两个零点.【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.21．(1)28y x=(2)存在，定值4，定点()8,0【分析】（1）由点在抛物线上及三角形面积列方程求出参数p ，即可得方程；（2）法一：设()()112212,,,,0A x y B x y x x ≠，10y >，利用AOB 90∠= 求得1264y y =-，讨论AB 与x 轴是否垂直，求直线AB 所过的定点；法二：设直线AB 的方程为()()1122,,,,x my n A x y B x y =+，联立抛物线及韦达定理、AOB 90∠= 得1264y y =-；最后结合ON AB ⊥确定N 的轨迹，即可确定定点和定值；【详解】（1）因为点()02,M y 在C 上，则204y p =，而01422OFM pS y =⋅⋅= ，所以016y p =，22564p p∴=，所以4p =，故该抛物线的方程为28y x =.（2）法一：设()()112212,,,,0A x y B x y x x ≠，不妨设10y >，90BOA ∠=，则2212121212088y y x x y y y y +=⋅+=，解得1264y y =-，①当AB 与x 轴不垂直时，12120,y y x x +≠≠，此时直线AB 的方程为：()121112y y y x x y x x -=-+-，整理得1212128y y y x y y y y =+++1264y y =- ，则AB 的方程为：()1288y x y y =-+，则直线AB 恒过定点()8,0M 由ON AB ⊥，即⊥ON NM ，故N 在以OM 为直径的圆上，该圆方程为22(4)16x y -+=，即当Q 为该圆心()4,0时，4NQ =为定值；②当AB x ⊥轴时，128y y =-=，此时128x x ==，而ON AB ⊥，故()8,0N ；当()4,0Q 时，也满足4NQ =，综上，平面内存在一个定点()4,0Q ，使得QN 为定值4法二：设直线AB 的方程为()()1122,,,,x my n A x y B x y =+联立22,8808,x my n y my n y x =+⎧⇒--=⎨=⎩，且264320m n +∆=>，由韦达定理得：12128,8y y m y y n +=⋅=-，由90BO A ∠=，即2212121212064y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+= ，解得1264y y =-，即128648y y n n ⋅=-=-⇒=，直线AB 恒过定点()8,0M ，由ON AB ⊥，即⊥ON NM ，故N 在以OM 为直径的圆上，该圆方程为22(4)16x y -+=，即定点Q 为该圆心()4,0时，4NQ =为定值；【点睛】关键点点睛：第二问，根据90BO A ∠= 求,A B 纵坐标乘积，并确定直线AB 过的定点坐标，最后利用ON AB ⊥判断N 的轨迹，即可得结论.22．(1)2222cos 2sin 2ρθρθ+=，222(0)x y r r +=>【分析】（1）先求曲线1C 的直角坐标方程，再由cos ,sin x y ρθρθ==写成极坐标方程；由222x y ρ=+写出曲线2C 的直角坐标方程；（2）根据曲线2C 与直线AB 有且仅有一个公共点，得出r 是直角三角形AOB 斜边上的高，根据等面积法转化为OA OB r AB⨯=求解即可.【详解】（1）由曲线1:sin x tC y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t，得2222cos sin 1y t t +=+=，所以曲线1C 的直角坐标方程为2212x y +=.又由cos ,sin x y ρθρθ==，得2222cos 2sin 2ρθρθ+=，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos 2sin 2ρθρθ+=.由曲线2:C r ρ=，得22r ρ=，即222x y r +=，所以曲线2C 的普通方程为222(0)x y r r +=>.（2）由题意90AOB ∠=︒，设()1,A ρα，则()2,90B ρα+，又曲线2C 与直线AB 有且仅有一个公共点，故r 为点O 到直线AB 的距离，由曲线1C 的极坐标方程2222cos 2sin 2ρθρθ+=，得2221cos 2sin 2θθρ+=，所以22211cos 2sin 2ααρ+=，()()222222cos 902sin 901sin 2cos 22ααααρ++++==，所以22121132ρρ+=，即()221221232ρρρρ+===又OA OB AB r ⨯=⨯，所以OA OB r AB⨯====，即所求实数r的值为3.23．(1)75,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式的解集；（2）法一：根据绝对值三角不等式求证不等式；法二：由绝对值对应函数的单调性求函数最小值范围，即可证结论.【详解】（1）由题设31,21()2213,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=++-=--<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，所以，不等式等价于2316x x ≤-⎧⎨--≤⎩或12236x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-≤⎩或12316x x ⎧>⎪⎨⎪+≤⎩，解得723x -≤≤-或122x -<≤或1523x <≤，所以原不等式的解集为75,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）法一：()11122222f x x a x x a x x a a a=++-=++-+-11222a x a a ≥++-（当且仅当()1202x a x a ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭时取等号）122a a ≥+（当且仅当12x a =时取等号）1222a a =+≥（当且仅当12a =±时取等号），所以()2f x ≥（当且仅当11,22a x a=±=时等号成立）.法二：()1222f x x a x a=++-，当0a >时，()1322112,2211322x a x a a f x a x a x a a x a x a a ⎧--+≤-⎪⎪⎪=+--<≤⎨⎪⎪+->⎪⎩；当a<0时，()1132,2112,221322x a x a a f x x a x a a a x a x a a ⎧--+≤⎪⎪⎪=--<≤-⎨⎪⎪+->-⎪⎩，综上，结合各分段上一次函数的性质知：()f x 在1,2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min 111()222222f x f a a a a a ⎛⎫==+=+≥ ⎪⎝⎭，（当且仅当11,22a x a =±=时等号成立），所以()2f x ≥.。
江西高三上学期第二次模拟预测数学(文科)试卷有答案
江西省上饶师范学校高三上学期第二次模拟预测数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．第Ⅰ卷1．答题前，考生务必将自己的学校、座位号、姓名填写在答题卡上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2犅铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束后，监考员将答题卷一并收回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案） 1．在复平面内，复数31114i i -+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．公比为2的等比数列｛n a ｝的各项都是正数，且3112116,log a a a ==则A ．4B ．－4C ．2D ．－23．在数列｛n a ｝中，111,,2,n n a a a n n -==+≥为计算这 个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图 （如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是A ．i ≥8B ．i ≥9C ．i ≥10D ．i ≥114．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 则下列命题正确的是 A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C ．若α∩β＝n ，n ⊂α，则n ⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β5．设函数则实数a ＝ A ．4 B ．－2 C ．4或－12D ．4或－26．以下命题中： ①p ∨q 为假命题，则狆与狇均为假命题其中真命题个数为A．0个B．1个C．2个D．3个7．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中犘，犙分别是这段图象的最高点和最低点，犕，犖是图象与狓轴的交点，且∠犘犕犙＝90°，则犃的值为ABC．1D．2A．－4B．－16 C．4 D．－810．如图，不规则四边形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动（与线段AB有公共点）时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的图象大致为第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取60 名学生，将其数学成绩分成六段：［40，50），［50，60）， …，［90，100］，它的频率分布直方图如图所示．则该批 学生中成绩不低于60分的人数为 ．12．由直线y=x+2上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 ．13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点犘，作与实轴平行的直线，交两渐近线M 、N 两点，若22PM PN b ⋅=，则该双曲线的离心率为 ．14．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n ＞1，n ∈N ）个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则．15．已知集合．．三、解答题（本大题共6小题，共75分．其中第16—19小题每题12分，第20题13分，第21题14分）16．已知函数（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知a ，b ，c 是△ABC 三边长，且f （C ）＝2，△ABC 的面积，c ＝7．求角C 及a ，b 的值．17．已知正方形ABCD 的边长为2，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． （1）从C 、D 、E 、F 、G 、H 这六个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为ξ，求概率P （ξ ≤ 4）． （2）在正方形ABCD 内部随机取一点P ，求满足｜PE ｜＜2的概率．18．圆锥PO 如图1所示，图2是它的正（主）视图．已知圆O 的直径为AB ，C 是圆周 上异于A 、B 的一点，D 为AC 的中点 （1）求该圆锥的侧面积S ； （2）求证：平面犘PAC ⊥平面POD ； （3）若∠CAB ＝60°，在三棱锥A －PBC 中，求点A 到平面PBC 的距离．19．数列｛n a ｝满足犪1＝3，犪狀＋1＋犪狀＝2狀＋5． （1）求n a 的表达式； （2）令20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，直线2a x c=与x 轴交于点犅且与直线by x a=交于点犆，点犗为坐标原点2,8OB OA OA OC =⋅=， 过点犉的直线犾与椭圆交于不同的两点M 、N ． （1）求椭圆的方程；（2）求△BMN 的面积的最大值．21．已知1()2(2)ln(0) f x ax a x ax=-+≥（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（2，4），x1，x2∈［1，3］，恒有（m－lｎ3）a－2lｎ3＞｜f（x1）－f（x2）｜成立，求实数犿的取值范围．上饶市第二次高考模拟考试数学（文科）试卷答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，共50分）二、填空题（5×5=25分） 11. 4512. 13.2614.15.[)(]4,22,5--三、解答题：16.解：（Ⅰ）x x x x f 2cos 2)62sin()62sin()(+-++=ππ12cos 6sin2cos 6cos2sin 6sin2cos 6cos2sin ++-++=x x x x x ππππ--------1分12cos 2sin 3++=x x 1)62sin(2++=πx --------------------------------3分ππωπ===22||2T -----------------------------------------------------4分 Z k k x k ∈+≤+≤+-,226222πππππ,Z k k x k ∈+≤≤+-∴,63ππππ， 函数)(x f 的递增区间是Z k k k ∈++-∴],6,3[ππππ------------------6分（Ⅱ）;8,53C a b π===…或a=5,b=8……………12分17解：（1）)4(≤ξP =1115………………………6分(2)这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=．满足2<PE 的点P 构成的平面区域是以E 为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以E 为圆心、2为半径、圆心角为3π的扇形的内部与两个直角边分别为1和3的直角三角形内部构成.其面积是3323121223212+=⨯⨯⨯+⨯⨯ππ． 所以满足2<PE 的概率为.4364332+=+ππ…………………………12分18.解：（Ⅰ）解：由正（主）视图可知圆锥的高PO =，圆O 的直径为2AB =，故半径1r =．∴圆锥的母线长PB ===2012 2013∴圆锥的侧面积1S rl ππ==⨯=． 4分（Ⅱ）证明：连接OC ，∵OA OC =，D 为AC 的中点，∴OD AC ⊥．∵PO O ⊥圆，AC O ⊂圆，∴PO AC ⊥．又ODPO O =，∴AC POD ⊥平面．又PAC AC 平面⊂，∴平面⊥PAC 平面POD …8分(Ⅲ)︒=∠∴90ACB AB 是直径， ，又60=∠CAB ,3323==∴∆V S CAB ，利用等体积法可求出距离，3d =12分 19.（1）由125n n a a n ++=+得：2127n n a a n +++=+，两式作差得：22n n a a +-=，于是135,,,a a a 是首项13a =，公差为2的等差数列，那么*2121()k a k k -=+∈N ， 且246,,,a a a 是首项24a =，公差为2的等差数列，那么*222()k a k k =+∈N ， 综上可知：*2()n a n n =+∈N ．……6分（2）12233445212221n n n n n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++-21343522121()()()n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-2422()n a a a =-+++22()22n n a a +=-⋅2(422)26n n n n =-++=--． (12)20.解：(1) 因为2OB OA = , 8OA OC =，则22a a c =且38a c=，得2,1a c ==则 椭圆方程为：22143x y +=………5分 (2) ①当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:(1)l y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y 则22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得222(34)84120k x k x k +-+-=，所以 221212228412,3434k k x x x x k k-+==++ ………7分 记d 为B 到l的距离，则d =， ………8分2M N x = 所以1322S d MN ==92<……11分② 当l x ⊥轴时，92S =，所以BMN ∆的面积的最大值为92………13分21.解：（1）当a=1时可知()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数. 在 (1,)+∞上是增函数 ∴()f x 的极大值为1()3ln 212f =-，()f x 的极小值. (1)1f =………………4分2221112(2)1(2)()2(2)ln ()=2(2)ax a x f x ax a x f x a a x x x x -++=--+⇒+-+=、①当02a <<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数…6分 ②当2a =时，()f x 在()0,+∞上是增函数； ………… 7分 ③当2a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 9分 （3）当24a <<时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是增函数， ∴ 122()()(3)(1)4(2)ln 33f x f x f f a a -≤-=-++…………… 10分 由12(ln 3)2ln 3()()m a f x f x -->-对任意的a ∈(2, 4)，x 1, x 2∈[1, 3]恒成立， ∴12max (ln 3)2ln 3()()m a f x f x -->- ……… 11分 即2(ln 3)2ln 34(2)ln 33m a a a -->-++对任意24a <<恒成立， 即243m a>+对任意24a <<恒成立， ……… 12分 由于24a <<，∴133m ≥. …………… 14分。
江西省南昌市高三第二次模拟考试数学文科试题有答案
ABCDEFG年 高 三 测 试 卷数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D D B C A C C B B B A D 13． 2 14． 2- 15． 13 16． 2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠2123()2=-62-=；……………………………………………6分 （Ⅱ）因为3,c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以32sin sin 32a b A B ===，…8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………11分 所以当3A π=时，a b +最大，最大值是2312分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中遇到空气重度污染的选择有：5日，6日，7日，11日，12日，13日，……3分 所以运动会期间未遇到空气重度污染的概率是16711313P =-=；…………………6分 （Ⅱ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，……………………………………9分 所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得23AC =90ACB ∠=︒即BC AC ⊥， 又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEFC ，所以BC AG ⊥，………………………………3分在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=，tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=， 所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知道,,CA CB CF 两两垂直，所以可以把四棱锥B AEFC -补成以,,CA CB CF 为同一顶点的一个长方体，………………………………………………8分 其外接球的直径2222124319R CA CB CF =++++=所以球O 的表面积是2194()19S ππ==．………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为913||142OD =+=，所以2133()242r =+=，…………………………2分 因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以2914134b b+=⇒= 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；…………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||23PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积3S = 当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…6分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--，圆心O 到直线m 的距离为：21d k =+，所以222243||221k PQ r d k +=-=+8分将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=， 2222228412||(1)[()4]4343k k MN k k k -=+-⨯++所以：四边形PMQN 的面积422164||||1648243k S PQ MN k k =⋅=-++222481484313434k k k--=+=+++(6,3)，综上：四边形PMQN 的面积的取值范围是[6,43]．………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+…………………………………………………………………2分 （一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………………………………………………………………………………………3分 （二）当02a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………………………………………………………………………4分(三)当2a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得2222(a a a a x --+-∈， 所以函数()f x 在区间2222()22a a a a --+-上单调递减， 在区间2222(0,),()22a a a a --+-+∞上单调递增．……………………………………6分 （Ⅱ）由（1）知道当2)a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的2)a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln f x a a a +>-成立，等价于对任意的2)a ∈，不等式222ln a a a a -+>-都成立，…………………………8分即对任意的2)a ∈，不等式2ln 320a a a +-+>都成立，记2()ln 32h a a a a =+-+，则(1)0h =，1(21)(1)'()23a a h a a a a--=+-=，…………………………………………………10分 因为2)a ∈，所以'()0h a >，当对任意2)a ∈， ()(1)0h a h >=成立。
江西省高三高考仿真模拟数学(文)试题(解析版)
一、单选题 1．已知，则（ ） 43i2iz -=-z =A B ．5C ．D【答案】A【分析】利用复数除法运算和复数模长求法直接求解即可． 【详解】因为， 43i (43i)(2i)112i 112i 2i (2i)(2i)555z --+-====---+所以， z ==故选：A ．2．已知集合，，则（ ） {}23A x x =-{|ln(3)}B x y x ==+A B = A ． B ．C ．D ．(1,)-+∞[3,)-+∞(3,1)--[3,1)-【答案】C【分析】先求出集合A ，B 的具体区间，再按照交集的运算规则计算. 【详解】由题意：，，所以； {}1A x x =<-{}3B x x =>-()3,1A B =-- 故选：C.3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的，分别为8，3，则a b 输出的的值是（ ）nA ．3．B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】按流程图顺序运算可得结果.【详解】a =8，b =3，n =1n =2n =3n =4 a =8+4=12 a =12+6=18 a =18+9=27 27812722a =+=b =2×3=6 b =2×6=12 b =2×12=24 b =2×24=4812≤6？否 18≤12？否27≤24？否？是 81482≤所以输出n 为4. 故选：B.4．在矩形中，，，为边的中点，则（ ） ABCD 2AB =BC =P AB CP BD ⋅=A ．B ．C ．D 1-1【答案】A【分析】利用向量表示，结合数量积的定义求.,AB AD ,CP BD CP BD ⋅【详解】由已知，，12CP CB BP AD AB =+=-- BD AD AB =-又2AB = 0AB AD ⋅=u u u r u u u r所以.()1132122CP BD AD AB AD AB AD AD AB AB ⎛⎫⋅=--⋅-=-⋅+⋅=-+=-⎪⎝⎭所以.1CP BD ⋅=-故选：A.5．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若ABO A B O '''1B A B O '=''='，那么原三角形的周长是（ ）ABOA ．B ． 14+C ． D22+【答案】B【分析】由斜二测画法原理将直观图转化为原图，根据原图运算求解即可.【详解】由题意可得：A O ''===由直观图可得原图，如图所示，可知：， 90,1,2AOB BO B O AO A O ''''∠=︒====可得，3AB ===所以原三角形的周长. ABO 134BO AO AB ++=+=+故选：B.6．南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶《》《》等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为71251017263720（ ） A ． B ． C ． D ．324325362399【答案】C【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再121n n a a n +-=-利用累加法求得，进而可求得．()211n a n =-+20a 【详解】设该数列为，则由，，，{}n a 21211a a -=-=32523a a -=-=431055a a -=-=，5417107a a -=-=L 可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为，公差为，故， {}n b 12()12121n b n n =+-=-故，则，，，，， 121n n n a a b n +-==-211a a -=323a a -=435a a -=L 123n n a a n --=-上式相加，得，()()()()()21112313523122n n n a a n n n -+--=++++-==-≥ 即，故221(1)(1)1n a n a n =-+=-+220191362.a =+=故选：C ．7．已知函数（a ，b 为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确()log a y x b =+0a >1a ≠的是（ ）A ．，B ．， 0.5a =2b =2a =2b =C ．，D ．，0.5a =0.5b =2a =0.5b =【答案】D【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A ，C ；代入,得，从而得答1a >(0.5,0)0.5b =案.【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增， 所以，排除A ，C ； 1a >又因为函数过点, (0.5,0)所以，解得． 0.51b +=0.5b =故选：D8．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象恰好关于直线对称，则sin 2y x =(0)ϕϕ>6x π=的最小值是（ ）ϕA ．B ．C ．D ．12π6π4π3π【答案】A【分析】由三角函数的相位变换可得变换后的图象对应的解析式，再根据正弦函数的对称轴可得ϕ以及的最小值.ϕ【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数图象对应的函数解析式为sin 2y x =(0)ϕϕ>，sin(22)y x ϕ=+因为其图象关于直线对称，所以，6x π=22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈解得，则正数的最小值为，,122k k Z ππϕ=+∈ϕ12π故选：A ．【点睛】本题考查了三角函数的图象的相位变换，考查了正弦函数的对称轴．属于基础题.9．已知函数是定义在上的连续函数，且对，满足()f x R a ∀∈R b ∈R ()()122a b f f a f b +⎛⎫=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，，.则的值为（ ） ()15f =()39f =()2023f A ．5 B ．9 C ．4023 D ．4049【答案】D【分析】令，代入原式可得，利用等差数列通项公式基1,1a n b n =-=+()()()211f n f n f n =-++本量计算即可.【详解】令，代入可得1,1a n b n =-=+()()122a b f f a f b +⎛⎫=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()111122f n f n n n f -++-++⎛⎫=⎪⎝⎭即，，()()()211f n f n f n =-++()N n *∈所以数列为等差数列，又，f (3)=9，所以公差，(){}f n ()15f =()()31231f f d -==-所以. ()()202352202314049f =+-=故选：D10．已知为球的直径，，是球面上两点，且，，若球的体PC O A B 2AB =4APC BPC π∠=∠=O 积为，则棱锥的体积为（ ） 323πA PBC -A ．BCD 【答案】B【解析】由球体积求出球半径为2，从而可得和都是等腰直角三角形，从而APC ∆BPC ∆，平面，这样的体积易求．,AO PC BO PC ⊥⊥PC ⊥AOB A PBC -【详解】由，得，如图，由为球的直径，∴，343233R ππ=2R =PC O 2OP OC OA OB AB =====，，2PAC PBC π∠=∠=4APC BPC ACP BCP π∠=∠=∠=∠=，∴平面，,AO PC BO PC ⊥⊥PC ⊥AOB，AOB S ∆212sin 23π=⨯∴1()3A PBC P AOB C AOB AOB V V V S PO OC ---∆=+=+143==故选：B ．【点睛】本题考查球的体积和棱锥的体积，解题关键证得平面，用两个小棱锥体积相加PC ⊥AOB 得所求体积．11．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点1F 2F P 122PF PF =，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在“阿圆点”的是（ ）12PF F △A ．B ．C ．D ． 2213635x y +=2211615x y +=221x y -=221616115y x -=【答案】C【分析】利用椭圆定义和题给条件求得的值，再利用到焦点距离的取值范围检验，进12,PF PF P 而判断选项AB ；利用双曲线定义和题给条件求得的值，再利用到焦点距离的取值范围12,PF PF P 检验，进而判断选项CD.【详解】对于A 选项，，、，，2213635x y +=()11,0F -()21,0F 6a =所以，，到焦点距离的最小值为，最大值为，7a c +=5a c -=P 57假设存在点，满足，则，P 122PF PF =1212212PF PF PF PF ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得，不合乎题意， 245PF =<所以A 选项中的椭圆不存在“阿圆点”；对于B 选项，，、，，2211615x y +=()11,0F -()21,0F 4a =所以，，5a c +=3a c -=到焦点距离的最小值为，最大值为，P 35假设存在点，满足，则，P 122PF PF =121228PF PF PF PF ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得，不合乎题意， 2833PF =<所以B 选项中的椭圆不存在“阿圆点”；对于C 选项，双曲线的方程为， 221x y -=则双曲线的两个焦点为，、，()1F)2F 1,a c ==，P 1-若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，P P 1F 2F 2:1可得121222PF PF PF PF =-=由且221PF =>所以C 选项中的双曲线存在“阿圆点”；对于D 选项，双曲线的标准方程为，2211151616x y -=则，，、，所以，，14a =1c =()11,0F -()21,0F 54a c +=34c a -=到焦点距离的最小值为， P 34若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，P P 1F 2F 2:1则，解得，1212212PF PF PF PF ⎧=⎪⎨-=⎪⎩21324PF =<所以D 选项中的双曲线不存在“阿圆点”． 故选：C ．12．已知在上恒成立，则的最小值是（ ） 2ln 0x ax b --≤()0,∞+2+a b A ．0 B ．C ．D ．1-ln 4-ln 2-【答案】D【分析】先将条件转化为在上恒成立，再构造函数，ln 220x ax b --≤()0,∞+()ln 22f x x ax b =--，分，两种情况讨论，再结合导函数分析函数的单调性，进而即可求解．()0,x ∈+∞0a ≤0a >【详解】在上恒成立，等价于在上恒成立， 2ln 0x ax b --≤()0,∞+22ln 220x ax b --≤()0,∞+等价于在上恒成立， ln 220x ax b --≤()0,∞+令，，()ln 22f x x ax b =--()0,x ∈+∞当时，则在上单调递增，则若时，，不符合题意； 0a ≤()f x ()0,∞+x →+∞()f x →+∞当时，则， 0a >()12f x a x'=-若时，，此时单调递增； 102x a<<()0f x ¢>()f x 若时，，此时单调递减，所以12x a >()0f x '<()f x ()()()max 1ln 21202f x f x f a b a ⎛⎫≤==---≤ ⎪⎝⎭，则，即，()2ln 21b a ≥--()2ln 21a b a a +≥--令，，则，()()ln 21g a a a =--0a >()11g a a '=-当时，，此时单调递减； 01a <<()0g a '<()g a 当时，，此时单调递增，1a >()0g a '>()g a 所以，所以， ()()()min 1ln 2g a g a g ≥==-()2ln 21ln 2a b a a +≥--≥-所以的最小值是． 2+a b ln 2-故选：D ．二、填空题13．若实数满足约束条件，则的最大值为__________.,x y 2021012x y x y y ⎧⎪+-≤⎪--≥⎨⎪⎪≥-⎩11y z x +=+【答案】1【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义，利用斜率公式，即11y z x +=+可求解.【详解】画出约束条件 所以表示的平面区域，如图所示，2021012x y x y y ⎧⎪+-≤⎪--≥⎨⎪⎪≥-⎩则目标函数，即为平面区域内一点与定点连线的斜率， 11y z x +=+(,)Q x y (1,1)--P 由图形可知，当直线过两点时，斜率最大，即取得最大值，,P A z 又由，解得，即，20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩1,1x y ==(1,1)A 此时，即的最大值为.1(1)11(1)PA k --==--z 1故答案为：.114．设数列的前项和为，且，则满足的最小值为___________{}n a n n S 21log 1n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10n S >n 【答案】1024【分析】先求得，由，可得，由此即可求解n S ()2=log 1n +10n S >()2log 110n +>【详解】因为，2211log 1=log n n a n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以 22222341=log log log log 123n n n S +++++ ，()222331=log =log 1122n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭ 由，可得，解得， 10n S >()2log 110n +>1023n >所以满足的最小值为， 10n S >n 1024故答案为：102415．我省高考实行3+1+2模式.高一学生A 和B 两位同学都选了历史，再从化学、生物、政治及地理四科中选择两科，选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为_________. 【答案】56【分析】利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法．由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N =6×6=36种，由此利用对立事件概率计算公式能求出他们的选科至少有一科不相同的概率.【详解】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有:{化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理}共6种选法.由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N =6×6=36种， 其中两人的选科完全相同的选法有6种， 所以她们的选科至少有一科不相同的概率 651.366P =-=故答案为：5616．已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条M 24x y =C 22(3)4x y +-=M P C 切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．PA PB A B CA CB ⋅【答案】(]4,0-【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出.在，有()00,P x y P PC Rt PAC △，进而可推出，根据的范围，即可得到结果.222cos CA PCA PC∠=()2032418C y CB A --⋅=+0y 【详解】由已知，，.()0,3C 2r =如图，设点，则，()00,P x y 2004x y =，()222003PC x y =+-()220002918y y y =-+=-+在中，有Rt PAC △，222cos CA PCA PC∠=()()2220041818r y y ==-+-+易知，则，2ACB PCA ∠=∠()2208cos 2cos 1118ACB PCA y ∠=∠-=--+则， cos B C A CB CB C A C A ⋅=∠ ()()22008321418841y y ⎡⎤=-=-⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦因为，，所以当时，取得最大值，00≥y 01y =CA CB ⋅ 32408-=又，所以，.()2032018y >-+4CB CA ⋅>- 所以，的取值范围是.CA CB ⋅(]4,0-故答案为：.(]4,0-三、解答题17．某科技公司对其主推产品在过去5个月的月科技投入（百万元）和相应的销售额（百万i x i y 元）进行了统计，其中，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量1i =如下：，，，，，，516.8i i x ==∑5110.3i i w ==∑5115.8i i y ==∑5122.76i i i x y ==∑5134.15i i i w y ==∑()5210.46i i x x=-=∑，其中，，2，3，4，5．()5213.56ii w w =-=∑2i i w x =1i =（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为月销售额关于月科技投入的回y bx a =+2y cx d =+i y i x 归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立关于的回归方程，并据此估计月科技投入y x 300万元时的月销售额．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估()11,s t ()22,s t (),n n s t ˆˆt s αβ=+计分别为， ()()()121ˆniii nii s s t t s s β==--=-∑∑ˆˆt s αβ-=-【答案】（1）选作为回归方程类型；（2），投入300万元时的月销2y cx d =+20.45 2.233y x =+售额百万元.6.283【分析】（1）由散点图的变化趋势知，与是非线性关系，即可判断回归方程的类型； x y （2）令，则为，由已知条件结合最小二乘法求参数、，进而写出2w x =2y cx d =+y cw d =+ˆcˆd 回归方程并估计月科技投入300万元时的月销售额．【详解】（1）由散点图知：随着月科技投入的增大，月销售额变化率增大，即它们是非线性x y 关系，∴应选择作为回归方程类型. 2y cx d =+（2）令，则为，2w x =2y cx d =+y cw d =+∵，，，，510615 2.i i w w =-==∑51.61531i i y y -===∑5134.15i i i w y ==∑()5213.56i i w w=-=∑∴，而，5 2.06 3.134.1563.56ˆ0.45c-⨯==⨯ 3.16ˆ0.45 2.06 2.233ˆd y w c --=-⨯==-∴，即， 0.45 2.233y w =+20.45 2.233y x =+∴当时，百万元.3x =0.459 2.233 6.283y =⨯+=18．已知的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC ()()()sin sin sin c C B a b A B =-+． (1)求A ；(2)若，点为边的中点，求的长． ABC sin 1cos B C =+D BC AD 【答案】(1) π6A =(2) AD【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出； 222b c a +-=π6A =（2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积sin 1cos B C =+π6B =得到，由余弦定理求出答案.2a b ==【详解】（1）因为，()()()sin sin sin c C B a b A B =-+所以由正弦定理可得，即， ()()()c c a b a b =-+222b c a +-由余弦定理可得， 222cos 2b c A bc a +===-又，所以．()0,πA ∈π6A =（2）因为，sin 1cos B C =+所以， 5π5π5π1sin 1cos 1cos cos sin sin 1sin 6662B B B B B B ⎛⎫=+-=++=+ ⎪⎝⎭即， 1πsin sin 123B B B ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又，则，所以，0πB <<2ππ3B +=π6B =所以，， a b =2π3C =所以， 21sin 2ABC S ab C ===△所以，故，， 2a b ==2AC b ==11122CD BC a ===故在中，由余弦定理可得， ACD 222222π12cos21221732AD AC CD AC CD ⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭则AD =19．如图，在多面体ABCDE 中，，平面ABC ，，，，BE CD ∥CD ⊥4BC BE ==AB AC =5AD =F 为BC 的中点，且.EF DF ⊥(1)求证:平面ADF ； EF ⊥(2)求多面体ABCDE 的体积. 【答案】（1）证明；（2）V =【分析】（1）由已知条件，证明平面CDEB ，所以，又因为，进而证的AF ⊥EF AF ⊥EF DF ⊥结论.(2)可以把求转化为：，借助三个小三棱锥的性质求得体积. ABCDE V D ACF E AFD E ABF V V V ---++【详解】（1）因为平面ABC ，所以 CD ⊥CD AF ⊥因为，F 为BC 的中点，所以 AB AC =BC AF ⊥所以平面CDEB ，所以 AF ⊥EF AF ⊥又因为 EF DF ⊥所以平面ADF.EF ⊥（2）由可得：EF DF ⊥DCF FBE ∆∆，又，∴1DC BFDC CF BE∴=∴=5AD =AC =AF =因此：111154333ABCDE D ACF E AFD E ABFV V V V ---=++=⨯⨯⨯+⨯=【点睛】本题考查了空间中的线面垂直关系证明，空间几何体的体积，考查了学生的空间想象，演绎推理，数学运算能力. 20．已知函数. ()21(21)2ln 2f x x a x a x =-++(1)讨论的单调性；()f x (2)若恒成立，求实数的范围. ()0f x ≥a 【答案】(1)答案见解析 (2)1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）由题可得 后分四种情况()(1)(2).x x a f x x--'=20021,,a a ≤<<2121,a a =>在条件下解不等式可得单调性；0x >()(1)(2)00x x a --><()f x （2）方法1，，由（1）可注意到当时，，当时，()()min 00f x f x ≥⇔≥0a ≤()()min 1f x f =0a >，据此可得答案；方法2，，后构造，利用()10f <()21202ln x xf x a x x -≥⇒≤-212()(0)ln x x g x x x x -=>-导数知识求出其最小值，可得答案. 【详解】（1）的定义域为，()f x (0,)+∞()22(21)2(1)(2)(21).a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=-++==当，即时，由，得，由，得， 20a ≤0a ≤()0f x ¢>1x >()0f x '<01x <<所以在上是增函数，在上是减函数； ()f x (1,)+∞(0,1)当，即时，由，得或，由，得， 021a <<102a <<()0f x ¢>02x a <<1x >()0f x '<21a x <<所以在和上是增函数，在上是减函数，()f x (0,2)a (1,)+∞(2,1)a 当，即时，恒成立，所以在上是增函数；21a =12a =()2(1)0x f x x -'=≥()f x (0,)+∞当，即时，由，得或，由，得， 21a >12a >()0f x ¢>01x <<2x a >()0f x '<12x a <<在和上是增函数，在上是减函数()f x (0,1)(2,)a +∞(1,2)a （2）（方法一）由（1）知，当时，，0a ≤()()()min 1122f x f x f a ≥==--要使恒成立，只需，即，可得.()0f x ≥()10f ≥1202a --≥14a -≤当时，注意到，不符合题意，故，即实数的取值范围为.0a >1(1)202f a =--<14a -≤a 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（方法二）由，可得.构造函数，()0f x ≥212(ln )02x x a x x ---≥()ln h x x x =-，易知， ()()()111110m i n x h x h x h x x-'=-=⇒==>ln 0x x ->所以.令，则. 2122ln x xa x x-≤-212()(0)ln x x g x x x x -=>-()21(1)(1ln )2(ln )x x x g x x x -+-'=-令，则，1()1ln 2x x x ϕ=+-2()2x x x ϕ-'=由，得，由，得，()0x ϕ'>2x >()0x ϕ'<02x <<易知在上是减函数，在上是增函数，所以， ()ϕx (0,2)(2,)+∞()(2)2ln 20x ϕϕ≥=->所以当时，，当时，，1x >()0g x '>01x <<()0g x '<所以在上是减函数，在上是增函数，， ()g x (0,1)(1,)+∞1()(1)2g x g ≥=-由，得，故实数的取值范围为.122a ≤-14a -≤a 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦21．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为，P 为椭圆C 上一()222210x y a b a b+=>>12点（除左、右顶点），直线PF ₁，PF ₂与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，且，11PF mF A =，当m =1时，．22PF nF B =3PA =(1)求椭圆C 标准方程；(2)试判断是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由．m n +【答案】(1)22143x y +=(2)的定值是m n +103【分析】（1）根据得出轴，设出P 点坐标，利用以及离心率可得方程； 1m =1PF x ⊥3PA =（2）设出的方程，分别与椭圆联立，利用，，表示出结合韦达,PA PB 11PF mF A = 22PF nF B =m n +定理可求答案.【详解】（1）当时，轴，1m =1PF x ⊥设P 点坐标为代入椭圆方程得：，()0,c y -220221y c a b +=所以，即，又因为，，4202b y a =223b PA a==12c e a ==222a b c =+解得：，，所以椭圆C 的标准方程为：．2a =b =1c =22143x y +=（2）设，，，，，其中()00,P x y ()11,A x y ()22,B x y 11PA x t y =-:21PB x t y =+:. 001200,11x x t t y y ==+-由得：，所以， 2211431x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()221134690t y t y +--=1021934y y t =-+同理可得：，由可得， 2022934y y t =-+1122PF mF A PF nF B ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()()()001100221,1,1,1,x y m x y x y n x y ⎧---=+⎪⎨--=-⎪⎩即 10200,0,my y ny y +=⎧⎨+=⎩所以 2222000001201022212993434y y y y y y m n y y y y y y t t ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪+=-+=-+=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪++⎝⎭， ()()222222220000120000111301033833868699993y y x x t t x y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪=++=++=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以的定值是. m n +10322．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点xOy C 11x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩θ为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.O x (1)求曲线的极坐标方程；C (2)设射线和射线分别与曲线交于、两点，求()1:π0l θρ=≥2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭C A B 面积的最大值.AOB 【答案】(1) 2sin 2cos ρθθ=-1【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得C 出曲线的极坐标方程；C（2）求出、，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换可得，OA OB π214AOB S α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△结合可求得的最大值.π02α≤<AOB S【详解】（1）解：由可得，11x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩()()))2222112x y θθ++-=+=即，故曲线的普通方程为， 22220x y x y ++-=C 22220x y x y ++-=因为，，cos x ρθ=sin y ρθ=所以曲线的极坐标方程为，即.C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=2sin 2cos ρθθ=-（2）解：由题意知，，2sin π2cos π2OA =-=ππ2sin 2cos 2cos 2sin 22OB αααα⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ ()21π·sin π2cos 2sin cos 2cos sin222AOB S OA OB αααααα⎡⎤⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，πsin2cos21214ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭因为，则，π02α≤<ππ5π2444α≤+<所以当，即当时，. 242ππα+=π8α=AOB 123．已知函数. ()f x x a x b =-+-(1)若，解不等式；a b c ->()f x c >(2)若，且不等式的解集非空，求的取值范围. 1b =()21f x a <--a 【答案】(1)R (2) 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据三角形不等式得，结合已知条件可()()f x x a x b x a x b a b =-+-≥---=-得结果；（2）由题意，存在x 使不等式成立，即成立，而()122f x x a x a =-+-<--()min 22f x a <--，则，分类讨论求解即可.()min =1f x a -122a a -+-<【详解】（1）根据三角形不等式得，， ()()f x x a x b x a x b a b =-+-≥---=-当且仅当时，等号成立,()()0x a x b --≤因为，所以恒成立，不等式的解集为. a b c ->()f x c >()f x c >R （2）当时，不等式的解集非空，1b =()22f x a <--即存在x 使不等式成立，即成立， ()122f x x a x a =-+-<--()min 22f x a <--因为，当且仅当时，等号成立, ()()()1=1f x x a x a ≥----()()10x a x --≤即，所以，即， ()min =1f x a -122a a -<--122a a -+-<当时，，解得，所以， 1a ≤12322a a a -+-=-<12a >112a <≤当时，恒成立，所以， 12a <<121212a a a a -+-=-+-=<12a <<当时，，解得，所以， 2a ≥12232a a a -+-=-<52a <522a ≤<综上所述：a 的取值范围是.15,22⎛⎫⎪⎝⎭。
2023届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试文科数学试题及参考答案
2023届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试文科数学试题及参考答案一、单选题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,0,1-=A ，集合{}Z x x x B ∈<<-=,22，则=B A （）A .{}1B .{}1,0,1-C .{}2,1,0D .{}0,1-2.已知复数z 满足：()i z i +=⋅-11，则z 的虚部等于（）A .1B .iC .1-D .i-3.在ABC ∆中，D 为线段BC 上一点，且DC BD 3=，AC n AB m AD +=，则=-n m （）A .2B .5.0C .5.0-D .2-4.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（）A .9=x B .6=y C .乙的成绩的中位数为28D .乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差5.已知将()x x x f cos 3sin +=图象向左平移ϕ个单位长度后，得到函数()x g 的图象，且()x g 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（）A .12πB .6πC .3πD .125π6.已知抛物线x y 182=的焦点为F ，准线为l ，点P 为C 上一点，过P 作l 的垂线，垂足为A ，若AF 的倾斜角为150°，则=PF （）A .6B .5C .4D .37.已知53sin 3cos =+αα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos πα（）A .5047B .5047-C .5041-D .50418.使0>∀x p ：，a x x ≥+4的否定为假命题的一个充分不必要条件是（）A .4≥aB .4≤a C .2≥a D .2≤a 9.函数()x f 的部分图象如图所示，则()x f 的解析式可能为（）A .()221sin 3x xx x f +=B .()221sin x xx x f +=C .()2221cos 3x x x x f +=D .()221cos x xx x f +=10.如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下列错误的是（）A .BD ∥平面11D CB B .平面1ADC ⊥平面11D CB C .C D 1与1AC 共面D .异面直线D A 1与1AC 所成的角为90度11.D 3打印时快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为D 3打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为cm 4，下底直径为cm 6，高为cm 9，则喉部（最细处）的直径为（）A .cm 324B .cm 429C .cm 22D .cm 32812.若函数()xmx x x f 21ln -+=有两个零点b a ,，且存在唯一的整数()b a x ,0∈，则实数m的取值范围是（）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛20e ，B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,42ln e C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,42ln e D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,93ln e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.观察下列等式：233321=+，23336321=++，23333104321=+++，根据上述规律写出第九个等式为.14.已知函数()131223+++=x b ax x x f ，若a 是从3,21，三个数中任取的一个数，b 是从2,1两个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为.15.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A a B c C b sin 5cos 3cos 3=+，且A 为锐角，则当bca 2取得最小值时，c b a +2的值为.16.直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，其侧面积是28，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为.三、解答题（共80分）17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，()()*12N n a n S n n ∈+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）对于任意的正整数n ，⎪⎩⎪⎨⎧=+为偶数，为奇数n n a a c n a n n n 2,12，求数列{}n c 的前n 2项和n T 2.18.（12分）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为20222018-年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份20222018-对应的代码分别为51-.（1）由上表数据知，可用指数函数模型xb a y ⋅=拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（b a ,的值精确到1.0）；（2）综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y 关于x 的回归方程后，通过修正，把3.1-b 作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模.参考数据：其中i i y v ln =，∑==5151i i v v .参考公式：对于一组数据()()()n n v u v u v u ,,,,2211 ，，其回归直线u a v βˆˆˆ-=的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为∑∑==-⋅-=n i i ni i i u n u vu n vu 1221ˆβ，u v aβˆˆ-=.年份代码x 12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0v∑=51i iiyx 524.0e 472.0e 1.9433.821.71.619.（12分）如图，三棱锥111C B A ABC -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点.（1）证明：⊥BD 平面11ACC A ；（2）求异面直线11C B 与D A 1所成角的余弦值；（3）求点1B 到平面BD A 1的距离.20.（12分）已知函数()xex f 2=，()()()012≠+=m x m x g （e 为自然对数的底数），()()()x g x f x h -=.（1）若e m =，求函数()x h 的单调区间；（2）若()m x h -≥1恒成立，求实数m 的值.21.（12分）已知椭圆G 的中心在原点O ，对称轴为坐标轴且交点在x 轴上，抛物线M ：x y 82=，若抛物线M 的焦点在椭圆G 上，且椭圆G 的离心率为21.（1）求椭圆G 的方程；（2）已知斜率存在且不为零的直线l 满足：与椭圆G 相交于不同两点B A ,，与直线04=+x 相交于点Q .若椭圆G 上一动点P 满足：P A BO PB AO ∥，∥，且存在点()0,0x T ，使得TQ OP ⋅恒为定值23，求0x 的值.请考生在22/23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（10分）（选修44-：极坐标与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：C θρcos 4=，直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧+-=+=t y tx 123（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若点()13-，P ，求PNPM 11-的值.23.（10分）（选修54-：不等式选讲）已知关于x 的不等式321-+-≥+t x x 有解.（1）求实数t 的最大值M ；（2）在（1）的条件下，已知c b a ,,为正数，且M abc 32=，求()22c b a ++的最小值.参考答案一、选择题二、填空题13.233335510321=++++ ；14.21；15.1510；16.π8三、解答题17.解：（1）当2≥n 时，由()n n a n S 12+=可得112--=n n na S ，（2≥n ，*N n ∈），上述两个等式做差可得：()112--+=n n n na a n a ，∴()11-=-n n na a n （2≥n ，*N n ∈），则11-=-n n a a n n ，（2≥n ，*N n ∈），∴n n n a a a a a a a a n n n =-⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=-123121123121 ，（2≥n ，*N n ∈），11=a 也满足n a n =，故对任意的*N n ∈，n a n =，∴{}n a 的通项公式为n a n =.（2）对于任意的正整数n ，()⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n c n n ,2,21，∴()()nn n n T 242221212125312311++-+++⨯++⨯=()()()nn n 24222212121531311++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯= ()41414121121513131121--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=n n n 344121-++=+n n n .18.解：（1）∵xb a y ⋅=，∴两边同时取常用对数，得b x a y ln ln ln +=，设y v ln =，∴b x a v ln ln +=，设b a ln ln ==βα，，123456789101112D CCCBADDDCDC∵94.13==v x ，，∴472.0355594.13582.3355ˆ21221=⨯-⨯⨯-=-⋅-=∑∑==ni ini i i x xvx vx β，524.03472.094.1ˆˆ=⨯-=-=x v βα，∴472.0ˆln 524.0ˆln ==b a ，，∴7.1ˆ524.0==e a，6.1ˆ472.0==e b，∴xy6.17.1ˆ⨯=.（2）由题意知2023年与2024年这两年的年平均增长率3.03.16.1=-，2022年中国车载音乐市场规模为17，故预测2024年中国车载音乐市场规模()73.283.01172=+⨯（十亿元）19.解：（1）∵⊥1AA 平面ABC ，⊂BD 平面ABC ，∴AD AA ⊥1，∵ABC ∆是等边三角形，D 是AC 中点，∴AC BD ⊥，又A AA AC =1 ，⊂1,AA AC 面11ACC A ，∴⊥BD 面11ACC A .（2）如图所示，F 是AB 中点，连接F A DF 1，，则11C B BC BC DF ∥，∥，故11C B DF ∥，∴异面直线11C B 与D A 1所成角为DF A 1∠，在DF A 1∆中，121==BC DF ，512221=+=D A ，512221=+=F A 根据余弦定理：105512515cos 1=⨯⨯-+=∠DF A ，故异面直线11C B 与D A 1所成角的余弦值为105.（3）过点D 作AB DH ⊥于H ，∵⊥1AA 平面ABC ，⊂HD 平面ABC ，∴1AA HD ⊥，又A AB AA = 1，⊂AB AA ，1面11A ABB ，∴HD ⊥面11A ABB ，又23321=⨯=HD ，∴3323231311111=⨯⨯=⨯⨯=∆-HD S V B B A B B A D，又21535211=⨯⨯=∆BD A S ，故332153131111=⨯=⨯⨯=∆-d d S V DB A DB A B ，解得552=d 所以，所求的距离为552.20.解：（1）当e m =时，()()122+-=x e e x h x，函数定义域为R 则()e e x h x 222-='.令()0='x h 得21=x .当21<x 时，()0<'x h ；当21>x 时，()0>'x h ，∴()x h 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21，，单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21.（2）若()m x h -≥1恒成立，即()1122+≥+-m x m e x恒成立，即122≥-mx ex恒成立，设()mx e x F x 22-=，则()m e x F x 222-='，当0≤m 时，()0>'x F 恒成立，∴()x F 是()∞+∞-，上的增函数，注意到()10=F ，∴0>x 时，()1>x F ，不合题意当0>m 时，若m x ln 21<，则()0<'x F ；若m x ln 21>，则()0>'x F ，∴()x F 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-m ln 21，上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛∞+，m ln 21上是增函数，故只需()1ln ln 21min ≥-=⎪⎭⎫⎝⎛=m m m m F x F ，令()()011ln >-+=x x x x u ，则()22111xx x x x u -=-='.当10<<x 时，()0<'x u ；当1>x 时，()0>'x u ，∴()x u 是()1,0上的减函数，是()∞+，1上的增函数，故()()01=≥u x u ，当且仅当1=x 时取等号，∴1ln ≤-x x x 时，即1ln ≤-m m m ，从而1=m .21.解：（1）由条件可设椭圆G ：()012222>>=+b a by a x ∵抛物线M ：x y 82=的焦点为()0,2，∴1022222=+ba ，解得2=a .∵椭圆的离心率为21，∴21=a c ，则1=c ，322=-=c a b ，故椭圆G 的方程为13422=+y x .（2）设直线l ：()0≠+=k m kx y ，()()2211,,y x B y x A ，，把直线l 的方程代入椭圆G 的方程，可得()0124834222=-+-+m kmx x k ，∴348221+-=+k km x x ，∴34622121+=+++=+k m m kx m kx y y ，∵P A BO PB AO ∥，∥，∴四边形OAPB 为平行四边形，得OB OA OP +=，即()2121,y y x x P ++，∴⎪⎭⎫⎝⎛++-34634822k m k kmP ，，由P 在椭圆G 上可得，1334643482222=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k m k km ，整理得34422+=k m ,∵()0,0x T ，又()k m Q 4,,4--，∴()k m x TQ 4,40---=，⎪⎭⎫⎝⎛++-=34634822k m k kmOP ，∴()()3488643464348202202+++=-⨯++--⨯+-=⋅k kmx km m k m k mx k km TQ OP ，将34422+=k m 代入得：()2312230=++=⋅m x k TQ OP ∴010=+x ，即10-=x .22.解：（1）将C ：θρcos 4=等号两边同时乘以ρ，可得θρρcos 42=，∴x y x 422=+，即()4222=+-y x ，∴曲线C 的普通方程为()4222=+-y x .将l ：⎩⎨⎧+-=+=ty tx 123消去参数t 可得，()123++=y x ，整理得052=--y x ，11即直线l 的普通方程为052=--y x .（2）注意到()13-，P 在直线l 上，直线l 倾斜角为α，21tan =α，∴ααsin 2cos =.∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα，，∴0sin >α，0cos >α，∵1cos sin 22=+αα，解得55sin =α，552cos =α，∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+-='+=t y t x 5515521，（t '为参数），联立C 的直角坐标方程与l 的参数方程得4551552122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+t t ，整理得025522=-'+'t t ，设方程的解为21,t t ''，则25522121-=''-='+'t t t t ，21,t t ''异号，不妨设21t PN t PM '-='=，，有551111212121='''+'='+'=-t t t t t t PN PM .23.解：（1）∵()()32121=--+≤--+x x x x ，当且仅当2≥x 时等号成立，∴21--+x x 的最大值为3.∵不等式()3-≥t x f 有解，∴33≤-t ，解得60≤≤t ，∴实数t 的最大值6=M .（2）由（1）知，312=abc ，∵()2224c ab c b a +≥++（当且仅当b a =时，等号成立），()()36312434322322432323222===⋅⋅≥++=+abc c ab ab c ab ab c ab ，当且仅当22c ab =，即6==b a ，32=c 时，等号成立，∴()22c b a ++的最小值为36.。
2020年江西省高考数学(文科)模拟试卷(1) 含详细答案解析
17．（ 12 分）已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，满足 Sn＝ 2an﹣ 2．
（ 1）求数列 { an} 的通项公式；
（ 2）设 bn＝（ 2n﹣ 1） an，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn．
18．（ 12 分）每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影《泰
90），[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 （ ）
A ．72.5
B ．75
C． 77.5
D． 80
??2 ??2
4．（ 5 分）过双曲线 ??2 - ??2 = 1（ a＞ 0， b＞ 0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于
A，
B 两点，若线段 AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（
16 4
PF1F2 的面积为（
）
A ．8
B ．4√2
C． 4
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
D． 2 √2
13．（ 5 分）函数 f（ x）＝（ x+2019 ）?lnx 在 x＝ 1 处的切线方程为
．
14．（ 5 分）已知数列 { an} 满足 a1+2a2+3a3+… +nan＝ 2n，则 an＝
2．（ 5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z＝（ 1+i ）（ 2+ i），则其共轭复数 ??= （ ）
A ．1+3 i
B ．1﹣ 3i
C．﹣ 1+3i
D．﹣ 1﹣ 3i
3．（ 5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这
l00 名
江西省南昌市2020届高三第一次模拟测试文科数学试题(含答案)
3
2
32
6
所以 BC
2
sin A
2
2
3
；
BA 3 sin C 3 3
………5 分
（Ⅱ） 1 BC BD sin 2 2 1 BA BD sin ，
2
2
所以 4 2 sin cos 2 2 2 sin cos
2
，
2
所以 ， ABC 3 3 ，
4
4
………8 分 ………10 分
所以 AC2 16 8 2 4 2 2 ( 2 ) 40 ，所以边 AC 2 10 . 2
f (0) m ln(1 m) ，（ 0 m 1），由②构造的函数知， f (0) m ln(1 m) 0 ，
则 f (x) 只有一个零点，符合题意.
综上所述， m 1时，函数 f (x) 有且只有一个零点.
………12 分
21.【解析】（Ⅰ）由题意知 a1 2 ， a2 4 ， b2 b12 ，
增, f (0) m ln(1 m) ，令 g(m) m ln(1 m) ，（ m 0 ），
显然 g(m) 单调递减，有 g(m) g(0) 0 ，即 f (0) 0 ，
则 f (x) 只有一个零点，符合题意；
………9 分
③当 0 m 1 时， f (x) 在 (, 0) 单调递增，在 (0, 2m) 单调递减，在 (2m, ) 单调递增，
NCS20200607 项目第一次模拟测试卷
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
题号1
2
3
4
5
6
2023年江西省高三教学质量检测卷文科数学答案
2023年江西省高三文科数学质量监测卷参考答案一、选择题1.【答案】A【解析】由题意，得=<−1,或>3，={U <−3}，所以∩={U <−3}.2.【答案】A【解析】设=+i，由（2+i ）z =4+i 计算可得，2−=4，+2=1，得z =95−25i ，则z 的共轭复数的虚部为25.3.【答案】C【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以(−4,−4),(0,4),(4,0)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线=3+经过平面区域内的点(4,0)时,=3+取得最大值B =3×4+0=12.4.【答案】C【解析】由Hg 5>Hg 5可知>>0，所以A 错误；−>0，但无法判定−与1的大小，所以B 错误；当≤0时，D 错误；5K >1可以转变为5K >50，由−>0，C 正确.5.【答案】A【解析】由|21|x x -≤得210,21,x x x -≥⎧⎨-≤⎩或21021x x x -<⎧⎨-+≤⎩，，解得113x ≤≤.由220x x +-≤解得21x -≤≤，所以“|21|x x -≤”是“220x x +-≤”的充分不必要条件.6.【答案】D【解析】由已知可得当2n ≥时，1=4+1n n a S +，1=4+1n n a S -，1=4n n n a a a +-所以，即1=5n n a a +，且当1n =时，211=4+14+15a S a ==，21=5a a 所以也满足上式，11=155n n n a --⨯=所以，所以2023120222023=55.a -=7.【答案】C【解析】取1x =-，得(14)(1)(1)(21)1f f f --=--=-=--=-，所以(5)(5)1f f =-=-，故A 正确；因为(4)()f x f x -=-，则(4)()f x f x +=-，即(4)(4)f x f x +=-，又由()f x 为偶函数(4)(4)f x f x -=-，即(4)(4)f x f x +=-，所以函数()f x 关于直线4x =对称，故B 正确；令)()(2+=x f x g ，()(2)(2)g x f x f x -=-+=-则)()(242+-=-+=x f x f )(x g -=，为奇函数，所以)(x g (2)f x +即函数是奇函数，故C 错误；画出函数图象可知，方程所有根的和为0，故D 正确.8.【答案】A【解析】23131cos cos()cos (sin )cos cos sin 62222y x x x x x x x x π=⋅+=⋅-=-34=+1cos(2)26x π+，将31cos(2)426y x π=++的图象沿x 轴向左平移(0)a a >个单位长度，得1cos(22426y x a π=+++关于y 轴对称，所以2,6a k k Z ππ+=∈即1,122a k ππ=-+k Z ∈，所以当1k =时，a 取最小值512π.9.【答案】B【解析】如图所示，该几何体B -ACDE 为正方体的一部分，其中ACDE 四点共面，1141222323V =⨯⨯⨯⨯⨯=所以故选B.10.【答案】D【解析】2222 9O xy a b +=+=根据蒙日圆定义，圆方程为，l O AB 直线与圆交于两点，229912(,)(3,0)55230x y A B x y ⎧+=-⎨+-=⎩，联立得，，，P A B MPN ∠当点与点，重合时，为直角，1245,0935OAOB k k =-=-=.11.【答案】A【解析】因为三棱锥的对棱相等，所以可以把它看成长方体的面对角线组成的图形，也外接于球，且长方体的面对角线长为，体对角线即为三棱锥外接球的直径，d ==它外接球半径等于2所以球的表面积为2477R ππ=，12.【答案】C2'()cos ()sin()'()cos ()sin 0()'()cos ()sin ()'()cos cos 0,'()0()2f x x f x x f x x f x x f x f x x f x xF x F x x xx F x F x π>-+>+==⎛⎫∈> ⎪⎝⎭因为，化简得，构造函数即当时【解析，】，单调递增，()()()()()()()2222()0()tan tan cos sin cos cos()2f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x πππππ----->⇒>⇒>⇒>-所以由()().2F x F x π>-即()0,2F x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为为偶函数且在上单调递增，022.222422x x x x x x ππππππππ⎧-<<≠⎪⎪⎪⎛⎫-<-<∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>-⎪⎩，且，所以，解得，，二.填空题13.【答案】244【解析】800人一共分成50组，每组16人，所以组距为16，系统抽样可以看成是一个组距为16的等差数列，由第三组336a =可得16244a =.14.【答案】1m =-【解析】由题意可得22||||||27a b a b a b +=++⋅=r r ur uu r r r，则1a b ⋅=r r ，所以||a mb +r r =222||||2a m b ma b ++⋅ur uu r r r =224m m ++=2(1)3 1.m m ++=-，所以15.【答案】4150【解析】设小张每天等待的时长都在0-5分钟之内，连续两天等待的时长分别为x y ，，则0505x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，根据题意可知3x y +>，15533412.2550S P S ⋅-⋅⋅===阴影正方形16.【答案】（1,0）4（第一空2分，第二空3分）21682(1,0)4.E p pF y x ===点在抛物线上，所以，所以，所以，所以抛物线方程为【解析】因为221212221212222222121212121212(,)(,)44440034()()()2444161664 4.3 4.y y A y B y y x y n n x n y y y y n y y y y n AD DB n n y y y y y y n y y n n n n ⎧=⎪--=∆>>-⎨=+⎪⎩+==-⎡⎤⋅=---=+----⎣⎦===±>-= 设，，，所以所以.由题意可知，即，，所以，，所以因为，所以三、解答题()()()1721771177117141.7249.73 2.8,42.80.96.0.960.42829.7341.720.557552 2.646i i i i i iii i i i i itt t ty t ty y t y r r y t y t y =====--==-⨯=-===-=≈≈⨯⨯∑∑∑∑∑．解：（）由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得分所以因为近似为，所以的线性相，，分，，与关LLLLLLLLLLLLL L 6程度较高.分L ()()()71721210.96.9.73 2.81.3910.1087281.390.1040.990.100.992iii ii y t y t y t tty y y b tta y bt y t y t y ==--=====-=-=-⨯==+>∑∑ （）由（）知，与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系由及（）得，分，所以关于的回归方程为.9分因为，所以0.100.99210.120262.12t t +>> ，，11分所以到年该市农村居民人均可支配收入超过万元分213cos 20,(0,).4B C B A B C A A B A A A A A A A A πππ+-=∈ 18.解：（）若=,则2=-.1分因为cos(-)cos +cos2=1+cos(+C)cos ，所以cos +cos2=1+cos(-)cos ,分整理得3cos 分2cos 1.63A =- 解得（舍），cosA=分[](2)cos()cos cos 21cos()cos cos()cos()cos 1cos 27B C A A B C A B C B C A A -+=++--+=- 因为，所以，分222222222,9,102,113.12A a b c a a b c a +-=+= 整理得2sinBsinCcosA=2sin 分由正弦定理得2bccosA=2分由余弦定理得分所以分..3,.,,.6ABCD AC BD AC PB PB BD B AC PBD PD PBD PD AC PD DC AC DC C PD ABCD ⊥⊥⋂⊥⊂⊥⊥⋂=⊥ 19.解：（1）因为为菱形，所以又因为,=,所以平面分因为平面所以又由已知所以平面分27112260,2,91103PBD M BCD D BCM BCD M BCD BCD BCM M PD P MCB D MCB PD ABCD BD PD BAD BD PD D BCM d V V S V S MD S ∆--∆-∆∆⊥=⋅=∠======⋅= （）因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.分由（）知，平面，所以S 又因为所以所以分设点到平面的距离为,所以.因为所以分因为13,312D BCM BCM V S d d -∆==⋅⋅==所以所以分1212112222112222221212222222222222()())2210.213,3472AB OM x x y y A x y B x y M x y x x y y a b a b x y a b b b k k a a e ++⎧-=⎪--⎪-=⎨⎪-=⎪⎩⋅== 20.解：（1）设，，，，则(，，，由题意得所以分，所以即，分解得=5 分（2）因为双曲线的右顶点N （2，0），所以双曲线C 的标准方程为221.43x y -=………6分max max () 2.1101321225()(2)4 3.3f x mm x mm m m f x f m ==--=-->=-≤≥==- 21.解：若时，在区间上单调递减，所以分若，则对称轴当，即时，离对称轴近，离对称轴远，所以分[]max max max 13212253()(1) 2.4210,0,()1,23()(1) 2.52243,5()322,.25m m m f x f m mm x f x m f x f m m m f x m m -><<==--<=<==-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩ 当，即0时，离对称轴远，离对称轴近，分若对称轴在区间上单调递减，分综上，6 分()()22ln 1ln 1102x mx x f x x m -≥+-+≤（）因为恒成立，即恒成立，令()()21ln 1172G x x mx m x =-+-+ ，分选修4-4：坐标系与参数方程π22.1cos 0sin cos 20.cos s 32in 0.5.m m x m y x ρθθρθρθρθ⎛⎫-+=++= ⎪⎝⎭=⎧⎨+=⎩+= 解：（）由，由得分，选修4-5：不等式选讲22223(1)(1)333.2a b b a ab a b b a ab b a ba -=-+=+++ 23.证明：（1）由，得，即（3）=分13003.5a b b a a b>>+=+ 因为，，所以分1323b a a b+=+（）由（1）得1333b a b a a b +=+≥= 所以时，等号成立.8分31132222310a b a b +≥ 所以分。
江西省2022_2023高三文科数学上学期入学摸底考试试题
江西省2023届新高三入学摸底考试数学(文)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}6U x x =∈≤N ,集合{}{}1,2,3,4,1,3,5A B ==, 则()UA B =A. {}1,2,3,4,5B. {}6C. {}0,6D. {}0,1,3,5,62. 已知复数z 满足(1i)i 2z ++=(i 为虚数单位), 则z 在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 曲线3()2f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线的斜率为A. 1B. 2C. 5D. 64. 已知向量,a b 的夹角的余弦值为14-，且||2||4==a b ,则(2)⋅-=a b aA. -34B. -32C. 32D. 345. 双曲线2221y x a-=的实轴长为4 , 则其渐近线方程为A. 40x y ±=B. 40x y ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±= 6. 新能源汽车的核心部件是动力电池, 电池成本占了新能源整车成本很大的比例, 从 2022 年年初开始, 生产电池的某种有色金属的价格一路水涨船高. 下表是 2022 年前 5 个月我国某电池企业采购的该有色金属价格y (单位:千元/kg )与月份x 的统计数据.已知y 与x 之间满足线性相关关系, 且ˆˆˆybx a =+, 由此方程预测到6x =时,8.82y =,则ˆb = A. 1.38B. 1.40C. 1.42D. 1.447. 函数1()sin f x x x x=+的图象大致为8. 已知函数(),()f x g x 都是定义域为R 的函数, 函数(1)g x -为奇函数，(1)()0,(3)(2)0f x g x f x g x +==----=，则(2)f = A. -1 B. 0 C. 1 D. 2测量地球半径的方法: 先用边长带有刻度的正方形ABCD 测得一座山的高GT h =(如图①), 再于山顶T 处悬一直圆环SP 且可以转动的恛环(如图②) , 从山顶T 处观浰地平线上的一点I , 测得OTI α∠=. 由此可以算得地球的半径r =A.sin 1sin h αα-B.cos 1sin h αα-C.sin 1cos h αα- D. cos 1cos h αα-10. 已知函数2()sin sin 0)2f x x x x πωωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则()f x 在区间 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ⎡⎢⎣⎦C. ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ⎡-⎢⎣⎦ 11. 已知数列{}n a 是公比不等于1±的等比数列, 若数列{}{}{}2,(1),n n n n a a a -的前2023项的和分别为 ,8,20m m -,则实数m 的值 A. 只有 1 个 B. 有 2 个 C. 无法确定 D. 不存在12. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F , 点,M N 在C 上 (M 位于第一象限), 且点,M N 关于原点O 对称, 若1222||MN F F NF ==, 则C 的离心率为B. 12二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分.13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 若435660,a a a a +=+=, 则7S =_____. 14. 中国的“五岳"是指在中国境内的五座名山: 东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于东、西、南、北、中五个方位. 在甲决定从嵩山、泰山、华山、 庐山、黄山这5座名山中,选择2座名山在2022年国庆期间去旅游，则甲至少选中一座属于“五岳”的名山的概率为_____(用数字作答).15. 写出经过三点(2,0),(2,2),(0,0)--中的两点且圆心在直线:0l x y +=上的一个圆的标准方程为_____.16. 如图, 在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中, 点,,M N P 分别在棱111,,A D AB CC 上(不含端点). 若 1D M AN CP ==, 则三棱锥1M B NP -的体积的取值范围为_____ (用区间表示).三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17. (本小题满分 12 分)已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且2sin sin 3sin sin sin A C A C B +=+. (1) 证明: 2A C B +=;(2) 记ABC 的面积为S , 若343S b ==, 求a c +的值.18.(本小题满分12分)2022年6月17日,我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰"下水试航,这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰,采用平直通长飞行甲板,配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨“福建舰"的建成、下水及试航,是新时代中国强军建设的重要成果。
2020-2021学年江西省高考全真模拟数学(文)试卷及答案解析
高三全真模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分1.设全集U N *=，集合{}{}1,2,3,5,2,4,6A B ==，则图中的阴影部分表示的集合为( )A.{}4,6 B. {}2,4,6 C. {}2 D. {}1,3,52.已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i z i -=，则z 的虚部为( )A.12-B. 12C. 12iD. 12i-3.已知3sin ,25πθπθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，，则()tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.71-B.7C.71D. 7- 4.抛物线24y x =的准线方程为( )A. 1y =-B.12y =-C. 18y =-D. 116y =-5.命题“20,0x x x -∀>≥”的否定是( )A.20,0x x x -∃≤< B.20,0x x x -∃><C.0,02x x ∃>≤<D.0,02x x ∃><<.6. 各项均为实数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13010124==S S ，，则=8S ( )A. -30B. 40C.40或-30D.40或-507.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石8.已知0,a >实数x y 、满足约束条件()132x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最大值为112，则a =A ．5B ．12 C ．2D ．19.在ABC △中，角AB C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知2,3b A π==，且1cos cos c bC A =-，则ABC △的面积为（ ）A ．B．C.D或10. 秦九韶是我国南宋时代的数学家，其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一；如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ）A ．()()1030020a x a x a a x +++的值 B ．()()3020100a x a x a a x +++的值C.()()0010230a x a x a a x +++的值 D ．()()2000310a x a x a a x +++的值11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的最短棱长为（ ） A ．4B ．5C． D12.若()32sin cos f x x a x=+在()0,π上存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,+∞ C.3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦ D ．3(0,]2 二、填空题：每题5分，满分20分13.已知圆122=+y x 和圆外一点()2,1P ，过点P 作圆的切线，则切线方程为 14.已知向量()()2,1,,1,a b R λλ==∈r r , a br r 与的夹角为θ , 若θ为锐角，则λ的取值范围为15. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x ≤<≤≤+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2a b -=_______．16. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A B 、两点．设直线AC BC 、的斜率分别为12k k 、，当()12122ln k k k k +最小时，双曲线的离心率为___________．三、解答题:本大题共小6题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12 分）已知函数()22sin cos f x x x x =+ .（1）求函数()f x 的单调减区间；（2）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g y x =的图象，求()g y x =在,128ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域．18. （本题满分12 分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展的战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注，为了解某地区社会人士对“放开二胎生育政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000人调查（若所选择的已婚人数低于被调查人群总数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开二胎生育政策”的问题，调查统计的结果如下表：已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08. （1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知710,78y z ≥≥，求本次调查“失效”的概率.19.在三棱拄111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C，已知11,3BC BCC π=∠=，21==CC AB .（Ⅰ）求证：1C B ABC⊥平面；（Ⅱ）若点E 在棱1CC 上(不包含端点1,)C C ,且1EA EB ⊥，求直线AE 和平面1ABC 所成角正弦值的大小.E1B 1A 1CBA20.已知圆(221:9F x y ++=与圆(222:1F x y +=，以圆12,F F 的圆心分别为左右焦点的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两圆的交点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线x =,M N （M 在第一象限）满足120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，直线1MF 与2NF 交于点Q ，当MN最小时，求线段MQ 的长.21．已知函数()ln xf x x =，()e xg x =.（Ⅰ）若关于x 的不等式()()f x mxg x ≤≤恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若120x x >>，求证：()()1122x f x x f x -⎡⎤⎣⎦()2212x x +()2122x x x >-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为3cos ,13sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线6πθ=（R ρ∈）与曲线1C 交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()31f x x x =++-的最小值为m .（Ⅰ）求m 的值以及此时的x 的取值范围；（Ⅱ）若实数p ，q ，r 满足2222p q r m ++=，证明：()2q p r +≤.高三全真模拟答案AACDC BBDDC AB 13. 10543==+-x y x 或 14.122λλ>-≠且 15. 10 16.17.解：（1）3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f Θ)32sin(22cos 32sin )(π+=+=∴x x x x f时，解得当Z k k x k ∈+≤+≤+∴,2233222πππππ： Z k k x k ∈+≤≤+,12712ππππ因此，函数)(x f 的单调减区间为)](127,12[Z k k k∈++ππππ（2）由题得：()2g 2sin 43x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ∴274336x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴21sin 4,132x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴()g y x =值域为(]1,2- ．19.解：（Ⅰ）∵11,3BC BCC π=∠=CC1=2 ∴BC1=3 21212CC BC BC =+ ∴BC BC 1⊥∵AB ⊥侧面11BB C C CC BB BC 111平面⊂ ∴AB BC 1⊥ 且BC ⋂AB=B 得证：1C B ABC⊥平面（Ⅱ）连接BE 则∵AB ⊥侧面11BB C C CC BB EB 111平面⊂ ∴AB EB 1⊥∵1EA EB ⊥且AB EA ABE ⊂、面11EB ABE EB EB∴⊥∴⊥面∴在平行四边形11BB C C中，易得：11CE C E ==∵AB ⊥侧面11BB C C1ABC AB 平面⊂ 得111ABC B BCC 平面平面⊥过E 做BC1的垂线交BC1于F EF ⊥平面ABC1 连接AF 则为所求EAF ∠ ∵BC ⊥BC1 EF ⊥BC1 ∴BC ∥EF E 为C1C 的中点 得 F 为C1B 的中点21EF =由（2）知5AE = ∴105521sin ==∠EAF 20.解：（1）设圆1F 与圆2F 的其中一个交点为P ，则121242PF PF R R a+=+==，∴2,a c == ∴2221b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设()()12,M y N y ，则120y y >>，∴())1122,F M y F N y ==u u u u r u u u u r， ∴121290FM F N y y ⋅=+=u u u u r u u u u r， ∴129y y =-，∴121196MN y y y y =-=+≥=，∴min 6MN =，当且仅当119y y =时“=”号成立，此时13y =，∴11230F M k MF F MNQ =∠=︒=∠， ∴132MQ MN ==.21．解：（Ⅰ）Q 对任意0x >，不等式()()f x mxg x ≤≤恒成立，2ln e xx m x x ∴≤≤在0x >上恒成立，进一步转化为2max min ln e xx m x x ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设()2ln x h x x =，()312ln xh x x -'=，当(x ∈时，()0h x '>，当)x ∈+∞时，()0h x '<，∴当x =()max 12e h x =⎡⎤⎣⎦.设()e x t x x =，则()2e e x x x t x x -'=()2e 1xx x -=，当()0,1x ∈时，()0t x '<，当()1,x ∈+∞时，()0t x '>，所以1x =时，()min et x =⎡⎤⎣⎦，综上知1e 2e m ≤≤，所以实数m 的取值范围为1,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （Ⅱ）当120x x >>时，要证明()()1122x f x x f x -⎡⎤⎣⎦()2212x x +()2122x x x >-，即证12ln ln x x ->()21222122x x x x x -+，即证112221222ln01x x x x x x ⋅-->⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令121x t x =>，设()222ln 1t u t t t -=-+，则()()()()22221211tt t u t t t -+-'=+，Q 当()1,t ∈+∞时，210t ->，2210t t +->，()0u t '∴>，()u t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10u t u ∴>=，故112221222ln01x x x x x x ⋅-->⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()()1122x f x x f x -⎡⎤⎣⎦()2212x x +()2122x x x >-. 22．解：（Ⅰ）因为3cos ,13sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩故(()2219x y ++=，故22x y +-250y +-=，故曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ-+2sin 50ρθ-=.因为2cos ρθ=，故22cos ρρθ=，故2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=（或写成()2211x y -+=）.（Ⅱ）设P ，Q 两点所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将6πθ=（R θ∈）代入2cos ρθ-2sin 50ρθ+-=中，整理得2250ρρ--=，故122ρρ+=，125ρρ=-，故12PQ ρρ=-==23．选修4-5：不等式选讲已知函数()31f x x x =++-的最小值为m .（Ⅰ）求m 的值以及此时的x 的取值范围；（Ⅱ）若实数p ，q ，r 满足2222p q r m ++=，证明：()2q p r +≤.23．解：（Ⅰ）依题意，得()31f x x x =++-314x x ≥+-+=，故m 的值为4.当且仅当()()310x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，即x 的取值范围为[]3,1-.（Ⅱ）因为2222p q r m ++=，故()()22224p q q r +++=.因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立，222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立，所以()()22224p q q r +++=22pq qr≥+，故()2q p r +≤，当且仅当p q r ==时等号成立.。
2020年江西省高考数学(文科)模拟试卷(1) 含详细答案解析
21．（ 12 分）设函数
f（ x）＝
sinx﹣ ax+
1 6
x3（
a∈R
）．
（ 1）讨论 f（ x）的导函数 f′（ x）零点的个数；
（ 2）若对任意的 x≥ 0， f（ x）≥ 0 成立，求 a 的取值范围．
第 4页（共 18页）
四．解答题（共 1 小题，满分 10 分，每小题 10 分）
22．（ 10 分）在直角坐标系
D．﹣ 1﹣ 3i
∴ ??= 1 - 3?．?
故选： B．
3．（ 5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这
l00 名
同学的得分都在 [50， 100] 内，按得分分成 5 组： [50 ，60）， [60， 70）， [70 ， 80）， [80 ，
90），[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 （ ）
1 3
×
→
???+?
2 3
→
×???，?
→
→
→
又由 ????= ????- ???，?
→→
1
→
则 ?????????= （ × ????+
3
2→
→
× ???）??（ ???-?
3
→
???）? =
2 3
× ?→??2?-
1 3
× ?→??2?-
1 3
→→
×?????????=
32 ； 3
故选： C．
??
五．解答题（共 1 小题） 23．设函数 f （x）＝ x2+|x﹣ a|（x∈R ，a 为实数）．
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<和{}4,2,0,2,4B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}2,0-C ．2,0,2D ．{}0,2,42．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-3．在ABC ∆中AB =AC=1，B=30°，和ABC S ∆=，则C = A ．60或120B ．30C ．60D ．454．已知x 与y 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为0.7 1.05y x =+，则m 的值是（ ）A ．3.8B ．3.85C ．3.9D ．4.05．已知tan 2x =，则sin cos 1x x +=（ ） A ．25B ．75C ．2D ．36．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 为（ ） A ．1-B ．2-C ．0D ．27．若0a >，0b >且24a b +=，则4ab的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知命题:p 已知实数,a b ，则0ab >是0a >且0b >的必要不充分条件，命题:q 在曲线cos y x =上存在 （ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题9．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入（ ）A ．7S >？B ．15S >？C ．21S >？D ．28S >？10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F ∠的角平分线，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为（ ）A ．B ．CD ．3二、填空题13．已知向量(),2AB m =，()1,3AC =和()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．14．双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16．已知过点(0,1)M 的直线与抛物线22(0)x py p =>交于不同的A ，B 两点，以A ，B 为切点的两条切线交于点N ，若0NA NB ⋅=，则p 的值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13log n n b a =，n C ={}n C 的前n 项和n T18．如图，三棱柱111ABC A B C 各棱长均为2，且13C CA π∠=.(1)求证1AC BC ⊥；(2)若1BC 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱柱111ABC A B C 的体积. 19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与期望()E X ． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.21．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时f (x )<0，且(1)2f =-. (1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程()1cos a ρθ=+（0a >）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(1)求直线l 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为()2,0，若P 为心形线上的点，直线l 与心形线交于A ，B 两点（异于O 点），求ABP 的面积.23．已知函数()2|1|||(R)f x x x a a =-+-∈． (1)若()f x 的最小值为1，求a 的值；(2)若()||6f x a x <+恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D【分析】求出集合A 中元素范围，然后求A B ⋂即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--<=-<<，又{}4,2,0,2,4B =--{}0,2,4A B ∴=.故选：D. 2．B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+ 又22z i =-+所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+因此其虚部为75-.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 3．C【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解.【详解】在ABC ∆中AB 1AC =与30B =12ABC S AB ACsinA ∆=⋅=，可得1sinA =，所以90A = 所以18060C A B =--=【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．D【分析】计算样本中心，将样本中心 710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为()17234542x =⨯+++= ()1102.5 3.0 4.544m y m +=⨯+++=．所以样本中心为710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归方程0.7 1.05y x =+得1070.7 1.0542m +=⨯+，解得4m =． 故选：D ． 5．B【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为2tan 1tan 1xx ++，结合已知即可求值.【详解】222sin cos tan 27sin cos 1111sin cos tan 155x x x x x x x x +=+=+=+=++． 故选：B ． 6．A【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k . 【详解】设圆心()0,0到直线:210l x y k +++=的距离为d ，则由点到直线的距离公式得|1|d k ==+由题意得：42==1k =-．故选：A 7．A【分析】利用基本不等式可求出2ab ≤，即可得出所求. 【详解】0a > 0b >42a b ∴=+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立所以2ab ≤，则42ab≥，即4ab 的最小值为2.故选：A. 8．C【分析】首先判断命题,p q 的真假，再判断选项.【详解】00ab a >⇒> 且0b >，反过来0a >且00b ab >⇒>，所以0ab >是0a > 且0b >的必要不充分条件，所以命题p 是真命题cos y x =，[]sin 1,1y x '=-∈-根据导数的几何意义可知曲线cos y x =所以命题q是假命题根据复合命题的真假判断可知()p q ∧⌝是真命题. 故选：C 9．C故选：C. 10．B【分析】根据题意和椭圆定义可得到2MF ，AM 和a ，c 的关系式，再根据122MF F MF A ∽△△，可得到关于a ，c 的齐次式，进而可求得椭圆C 的离心率e ． 【详解】由题意得1122F M F F c == 又由椭圆定义得222MF a c =- 记12MF F θ∠=则212AF F MF A θ∠=∠= 121222F F M F MF MAF θ∠=∠=∠= 则2122AF AF a c ==- 所以42AM c a =- 故122MF F MF A ∽△△则2122MF AMF F MF = 则2a c c a c a c --=-，即222010c ac a e e e +-=⇔+-=⇒=（负值已舍）． 故选：B ． 11．A【分析】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a ，得到22e 0-=x x或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，易知有一个零点，转化为则e 0x x a -=有两个根求解.【详解】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x当(,0)x ∈-∞时()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增； 当,()0x ∈+∞时()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减 所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '< 所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-< 所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e = 令()x x k x e =，则()1xx e xk -=' 当(,1)x ∞∈-时()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e≤= 所以()xxk x e =与y a =的部分图象大致如图所示由图知10a e<< 故选：A ． 12．B【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF所以MC ⊥平面DEF又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥ NC MC C =则DE ⊥平面1A MCN 所以平面1A MCN 即平面α四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形其对角线1AC = MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．1-【分析】根据给定条件，求出向量BC 坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因为向量(),2AB m =，()1,3AC =则(1,1)BC AC AB m =-=-，而()4,2BD =-- 又B ，C ，D 三点共线，则有//BC BD ，因此2(1)4m --=-，解得1m =- 所以1m =-. 故答案为：-1 14．30x y ±-=【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键. 15．163【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象关于6324x πππ+==对称 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题． 16．2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,设直线AB 的方程为1y kx =+，利用“设而不求法”得到122x x p =-.利用导数求出两条切线斜率为1x p 和2x p，得到121x x p p ⋅=-,即可求出p =2.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,且设直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线的方程得2220x pkx p --=,则122x x p =-.又22x py =,得22x y p=,则x y p '=，所以两条切线斜率分别为1x p 和2x p .由0NA NB ⋅=,知NA NB ⊥,则121x x p p ⋅=-,所以221pp -=-,即p =2. 故答案为：2 17．(1)13n n a =(2)1n T =【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ； （2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T . (1)当1n =时111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. (2)由（1）得：131log 3n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭n C ∴==11n T ∴=⋅⋅⋅=18．(1)证明见解析【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，则进一步知平面1BDC ⊥平面ABC ，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则1C E ⊥平面ABC ，求出1C E 的大小即可求解.【详解】（1）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，1C D 和1C A ，则BD AC ⊥因为12CC CA ==，13C CA π∠=所以1ACC △为等边三角形又D 为AC 的中点，所以1C D AC ⊥ 因为1C D BD D =，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以AC ⊥平面1BDC ，.又1BC ⊂平面1BDC ，所以1AC BC ⊥.（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面1BDC ⊥平面ABC平面1BDC 平面ABC BD =，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则E 一定在直线BD 上，因为1BC 与平面ABC 所成的角为6π，所以16C BD π∠= 由题意知1C D BD =，所以123C DB π∠=所以13BC == 所以113sin 62C E BC π==.（或：由题意知1C D BD =13C DE π∠=，所以113sin 32C E CD π===）所以11322sin 232ABC V S C E π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△19．(1)14(2)分布列见解析，()34E X =【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率（2）由题意得X 0=，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．【详解】（1）产品正品的概率为：11131111011124P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以为次品的概率为31144-= （2）由题意得X 0=，1，2，3，且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列如下：∴()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)221124x y += (2)证明详见解析，定点坐标3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得222,,a b c ，从而求得椭圆C 的方程.（2）根据直线MN 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及·0AM AN =求得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：22222911c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221248a b c ===，， 故椭圆方程为221124x y +=. （2）设点()()1122,,,M x y N x y若直线MN 斜率存在时设直线MN 的方程为：y kx m =+代入椭圆方程消去y 并整理得：()2221363120k x kmx m +++-= 可得122613km x x k +=-+ 212231213m x x k -=+ 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121233110x x y y --+--=根据1122,kx m y kx m y =+=+有()()()()221212121239110x x x x k x x k m x x m -++++-++-=整理可得： ()()()()22121213190k x x km k x x m ++--++-+= 所以()()()222223126131901313m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭ 整理化简得2299210k km m m ++--=则有()()321310k m k m +++-=得3210k m ++=或310k m +-=若3210k m ++=，则直线MN 的方程为：3122y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，恒过3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 若310k m +-=，则直线MN 的方程为：()31y k x =-+，过A 点，舍去.所以直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时可得()11,N x y -由·0AM AN =得：()()()()121233110x x y y --+--=得()1221210x y -+-=()2211310x y -+-=，结合22111124x y += 解得：132x = 或23x =（舍去），此时直线MN 方程为32x =,过点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 21．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-【分析】（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x2）+f (﹣x1）=f （x2﹣x1）＜0； ∴f （x2）＜﹣f （﹣x1）又∵f （x ）为奇函数∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要()()2max 2212m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立令()[]22,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者 所以实数m 的取值范围是{}2,2m m m <-或者【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22．(1)极坐标方程为π3θ=或4π3θ=；()()222222x y ax a x y +-=+【分析】（1）先消去参数t 得到直线l 的普通方程，进而得到极坐标方程，由()1cos a ρθ=+，得到2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=求解.（2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+得到1a =，进而得到1cos ρθ=+，分别与直线l 的极坐标方程联立，求得A ，B 坐标求解.【详解】（1）解：消去参数t 得到直线l 的普通方程为y = 所以极坐标方程为π3θ=或4π3θ=； （π3θ=（ρ∈R 也正确）由()1cos a ρθ=+，得2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=化简得心形线的直角坐标方程为()()222222x y ax a x y +-=+. （2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+，得1a =∴1cos ρθ=+.由π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得3π,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由4π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得14π,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴13π112π2sin 2sin 223223ABP AOP BOP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△23．(1)0或2(2)[)3,4【分析】（1）根据1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-结合取等条件即可得解；（2）把()||6f x a x <+恒成立，转化为()2160g x x x a a x =-+---<恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【详解】（1）因为1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()(1)0x a x --≤时取等号()2|1||||1||1||1|f x x x a x a a =-+-≥-+-≥-，当且仅当1x =时取等号 所以11a -=，解得0a =或2a =故a 的值为0或2；（2）令g()2|1|||6x x x a a x =-+---，由题意知()0g x <恒成立 当{1x x x ∈≥且}x a ≥时 ()()()g()21638x x x a ax a x a =-+---=---,要使得()0g x <恒成立则30,a -≤可得3,a ≥当3a ≥时()()()()()34,034,0118,138,a x a x a x a x g x a x a x a a x a x a ⎧-+-<⎪-++-≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪---≥⎩因为()0g x <恒成立, 则max ()0g x <,由图像可知()max ()0g x g = 所以()g()g 040x a ≤=-<,所以4a < 综上可知实数a 的取值范围为[)3,4．。
2023年江西省南昌市高考数学一模试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 设复数z满足，则( )A. 2B.C.D.3. 如图，一组数据，，，…，，，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，4. 双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.5. 已知x，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知x，y满足，则的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 77. 对食道和胃粘膜有刺激性的粉末或颗粒，或口感不好、易于挥发、在口腔中易被唾液分解，以及易吸入气管的药需要装入胶囊，既保护了药物药性不被破坏，也保护了消化器官和呼吸道.在数学探究课中某同学设计一个“胶囊形”的几何体，由一个圆柱和两个半球构成，已知圆柱的高是底面半径的4倍，若该几何体表面积为，则它体积为( )A. B. C. D.8. 已知，，，则( )A. B. C. D.9. 已知函数，，，且，则的最小值为( )A. B. C. 1 D. 210. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：，用这样的方法，估计的近似值约为( )A. B. C. D.11. 如图，已知正四棱台中，N分别为，，，，点M，的中点，则下列平面中与垂直的平面是( )A. 平面B. 平面DMNC. 平面ACNMD. 平面12. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.13. 已知向量，，若，则______ .14.函数在处的切线平行于直线，则切线在y轴上的截距为______ .15. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为______ .16. 已知一簇圆，直线l：是它们的一条公切线，则______ .17. 已知正项数列满足，，，且求k的值；求数列的通项公式.18. 随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多.伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多，为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比见图：已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在岁年龄段的游客概率为请将下列列联表补充完整.预订旅游不预订旅游合计岁18岁以下及36岁以上合计能否在犯错误概率不超过的前提下，认为旅游预订与年龄有关？请说明理由.将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是岁年龄段的概率.附：，其中k19. 已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点E为的中点.证明：平面；求三棱锥的体积.20. 已知函数若时，函数有2个极值点，求b的取值范围；若，，方程有几个解？21. 已知抛物线C：上一点P，若P处的切线斜率为，且该切线与y 轴相交于求抛物线C的标准方程；过点D的直线与曲线C相交于A，B两点，若直线PA，PB分别与x轴相交于M，N两点，求M，N两点横坐标的和.22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：当时，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.直线l与曲线C交于A，B两点，若，求的值.23. 已知，且求证：；求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：，所以，故选：根据立方和公式，结合配方法、集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，所以，故故选：根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的运算公式进行求解即可．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义和复数模的运算公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意可得：，则，故，，是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故故选：根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断．本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线的标准方程为：，双曲线的渐近线方程为：，即故选：由双曲线的标准方程直接写出渐近线方程．本题考查双曲线的几何性质，属基础题．5.【答案】B【解析】解：当时，没有意义，故充分性不成立，而在上单调递增，所以必然可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：举反例“时，没有意义”可说明充分性不成立；再根据在上单调递增，可得必然可得，故必要性成立，从而可知“”是“”的必要不充分条件．本题考查充分、必要条件，考查学生归纳推理与运算求解的能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：作出可行域，如图内部含边界，作直线l：，在直线中，表示直线的纵截距，直线向下平移时，纵截距减小，则z减小，由得，即，平移直线l，当它过点时，取得最小值4，故选：作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：设圆柱的底面半径为r，则球的半径为r，圆柱的高是4r，圆柱的侧面积为，两个半球的表面积为，该几何体表面积为，解得，该几何体的体积为故选：设圆柱的底面半径为r，可求得该几何体表面积为，解得，进而求出该几何体的体积．本题考查圆锥的侧面积与体积的求解，球的表面积与体积的求解，方程思想，化归转化思想，属中档题．8.【答案】A【解析】解：，设，则有，所以单调递减，从而，所以，故，即，而，故有故选：化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了三个数比较大小问题，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：因为，又因为，，且，所以函数的最小正周期T满足，则，所以，，故当时，取最小值故选：利用三角恒等变换化简函数解析式为，分析可知函数的最小正周期为，利用正弦型函数的周期公式可求得的最小值．本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：，故选：变形，然后根据题意，计算即可得解．本题考查二项式定理的应用，近视值的估算，属基础题．11.【答案】C【解析】解：延长，，，交于一点P，取PB中点Q，连接AQ，CQ，如图所示：因为正四棱台，所以为正四棱锥，因为，，，且，所以，即，解得，所以，即为等边三角形，因为Q为PB中点，所以，且，同理可得，因为，所以，即，因为M，N为，中点，所以，故，，因为，，所以，，所以，，因为，，所以M在AQ上，N在CQ上，因为，，所以，，即，，因为平面AMCN，平面AMCN，，所以平面故选：延长，，，交于一点P，取PB中点Q，连接AQ，CQ，根据三角形相似及长度关系可得为等边三角形，即可得，，由长度关系及平行可证明，，即可证明M在AQ上，N在CQ上，再根据线面垂直的判定定理即可得出结果．本题主要考查线面垂直的判定，棱台的结构特征，考查逻辑推理能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：因为在R上单调递增，所以在R上单调递减．因为，所以由，得，即，所以，即对于任意的恒成立，而，则，即实数a的取值范围是故选：可求得在R上单调递减，且，所以由得，得，即对于任意的恒成立，从而得解．本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：因为，，所以，，因为，所以，解得故答案为：求出向量、的坐标，利用平面向量的模长公式可得出关于m的等式，解之即可．本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量模公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，由题意，即，所以，则，故函数在处的切线方程为，即，则切线在y轴上的截距为故答案为：由题意，求得，所以，则，进而求出函数在处的切线方程，从而得解．本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：在中，由正弦定理得，所以，即，因为锐角，所以，，即，，解得，所以，所以，故，即故答案为：根据正弦定理得到b关于的等式，根据锐角，求得角A的范围，进而求得b的取值范围即可．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由圆，知圆心，半径为，由题意圆心到直线l：的距离，则，对任意恒成立，则，解得，故故答案为：由题意圆心到直线l：的距离，则，对任意恒成立，列式求解即可．本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．17.【答案】解：当时，，当时，；因为，所以，则，令，所以，则是等比数列，因为，，所以，所以，则【解析】运用代入法进行求解即可；通过换元法、等比数列的定义，结合等比数列的通项公式、累积法、等差数列前n项和公式进行求解即可．本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：预定旅游中，岁年龄段的人数为：人，18岁以下及36岁以上人数为人．在所有调查对象中随机抽取1人，抽到不预订的旅游客群在岁年龄段的人的概率为，故不预订旅游客群岁年龄段的人为：人，18岁以下及36岁以上人数为人．所以列联表中的数据为：预订旅游不预订旅游合计岁1207519518岁以下及36岁以上80125205合计200200400，则能在犯错误概率不超过的前提下，认为旅游顸订与年龄有关．按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，其中在岁年龄段的人数为，分别记为：A，B，C；18岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，从5人中任取2人，则有：，，，，，，，，，，共有10种情况其中恰有1人是岁年龄段的有：，，，，，，共 6种情况，故2人中恰有1人是岁年龄段的概率为：【解析】根据题意完善列联表，根据表中数据求，并与临界值比较分析；根据分层抽样求每层抽取的人数，再结合古典概型运算求解．本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．19.【答案】解：证明：连接AC交BD于点F，连接，在直四棱柱中，，，四边形为平行四边形，，，又底面ABCD为菱形，点F为AC的中点，E为的中点，即点E为的中点，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；在直棱柱中平面，平面，，又上底面为菱形，，又，，平面，平面，在中，，且点F为BD的中点，，，【解析】根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理，即可证明；根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，进行计算，即可求解．本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，三棱锥的体积的求解，属中档题．20.【答案】解：时，，，则方程有两实根，即有两实根．设，，则时，，单调递减；时，，单调递增，所以，且，时，，所以当有两个实根时，实数b的取值范围为；当，时，设，则，，因为在R上单调递增，且，所以恰有一根，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，且，所以有且仅有两个实根，即方程有且仅有两个实根．【解析】根据极值的定义，结合构造函数法、导数的性质进行求解即可；构造新函数，结合导数的性质、函数零点存在原理进行求解即可．本题考查函数与导数的综合运用，根据极值的定义，问题转化为方程解的问题，通过构造新函数，利用导数的性质是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意可知直线m的方程为，联立方程，消去y得，因为直线m与抛物线相切，则，解得，所以抛物线C的方程为，故，解得，把代入，得，可得切点设直线的方程为，且，，，，与抛物线C联立方程，消去y得，则，得，故，，直线AP的方程，把代入得：，解得，同理可得：，所以，因为点，在拋物线上，则，，故，由于韦达定理可得【解析】根据直线与抛物线相切联立方程求解，即可得结果；根据题意求M，N的坐标，结合韦达定理运算求解．本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：当时，直线l的参数方程为为参数，消去参数t得，即直线l的普通方程为，，，，，，故曲线C的直角坐标方程为；将直线l的参数方程代入到曲线C的直角坐标方程中得，化简得，设A，B两点对应的参数为，，则，，，解得【解析】根据加减消元法，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；根据直线参数方程参数的意义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于基础题．23.【答案】证明：因为，且，所以，故，即，当且仅当时等号成立；解：因为，，且，所以，则，，所以，当且仅当时，即当时等号成立，所以M最小值为【解析】由已知条件可得出，等式两边平方，并结合基本不等式可证得结论成立；分析可知，，可得出，展开后利用基本不等式可求得M的最小值．本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．。
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江西省高三模拟试卷数学文科试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 设复数且，则的虚部为（）
A. -2
B. -4
C. 2
D. 4
2. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
3. 若，，，则的
值为（）
A. B. C. D.
4. 若，则的值为（）
A. B. C. D.
5. 已知直线与椭圆：交于两点，若椭圆
的两个焦点与两点可以构成一个矩形，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
6. 下图是函数求值的程序框图，若输出函数的值域为，则输入函数的定义域不可能为（）
A. B. C. D.
7. 函数的部分图象如图，且，则图中
的值为（）
A. 1
B.
C. 2
D. 或2
8. 在公差大于0的等差数列中，，且成等比
数列，则数列的前21项和为（）
A. 21
B. -21
C. 441
D. -441
9. 中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）
A. 3795000立方尺________
B. 2024000立方尺________
C. 632500立方尺________
D. 1897500立方尺
10. 已知，实数满足约束条件，且的最小值为
，则的值为（）
A. B. C. D.
11. 设分别是双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一
点使得，（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
12. 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、填空题
13. 设函数，则 __________ ．
14. 若公比为2的等比数列满足，则的前7项和为
__________ ．
15. 若曲线在曲线的上方，则的取值范围为
__________ ．
16. 体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且
，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 __________ ．
三、解答题
17. 在中，内角所对的边分别为，已知 . （1）求；
（2）若，，求的面积.
18. 某家电公司销售部门共有200位销售员，每位部门对每位销售员都有1400万元的
年度销售任务，已知这200位销售员去年完成销售额都在区间（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组对应的区间分别为，，，，，绘制出频率分布直方图.
（1）求的值，并计算完成年度任务的人数；
（2）用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；
（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2位，奖励海南三亚三日游，求获
得此奖励的2位销售员在同一组的概率.
19. 如图，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相
垂直，，，且 .
（1）求证：平面；
（2）过作平面，垂足为，求三棱锥的体积.
20. 已知圆心在轴上的圆与直线切于点 . （1）求圆的标准方程；
（2）已知，经过原点，且斜率为正数的直线与圆交于
两点.
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）求的最大值.
21. 已知函数， .
（1）讨论函数的单调区间；
（2）求证：；
（3）求证：当时，，恒成立.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线
的方程为，以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求 .
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）求不等式的解集；
（2）若且直线与函数的图象可以围成一个三角形，求的取值范围.
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】。