2014·高三总复习数学(理)2第8章第6讲双曲线

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高三数学人教A数学(理)高考一轮复习课件：第八章第六节双曲线

栏目导引
第十二章
选考部分
知识点二
易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对 a，b 的要求只是 a>0，
知识点一
b>0 易误认为与椭圆标准方程中 a，b 的要求相同．若 a>b>0，则双曲线的离心率 e∈(1， 2)；若 a＝b>0，则双曲线的离心率 e＝ 2；若 0<a<b，则双曲线的离心率 e> 2. (2)注意区分双曲线与椭圆中的 a，b，c 的大小关系：在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2. (3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在 x b a 轴上，渐近线斜率为±a，当焦点在 y 轴上，渐近线斜率为±b.
知识点二
6 5 A．2 B. C. D．1 2 2
栏目导引
第十二章
选考部分
知识点二
试题
解析
知识点一
x2 y2 4．已知 F 是双曲线 2－ 2＝ 3a a 1(a>0)的右焦点， O 为坐标原点，设 P 是双曲线 C 上一点，则∠
3 ∵两条渐近线 y＝± x 的倾 3 斜角分别为 30° ，150° ， ∴ 0≤ ∠ POF<30°或 150° < ∠POF≤180° ，故选 C.
知识点二
F1，F2 _____________＝ ||MF1|－|MF2|| 2a 2a<|F1F2|
线
栏目导引
第十二章
选考部分
知识点一
知识点一
易误提醒双曲线的定义中易忽视 2a<|F1F2|这一条件．若 2a＝|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2 为端点的两条
知识点二
射线；若 2a>|F1F2|则轨迹不存在．

2014届高考数学一轮复习课件：第八章第6课时双曲线(新人教A版)

【方法提练】
求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数
法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a， b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程， x 2 y2 可利用有公共渐近线的双曲线的方程为 2－ 2＝λ(λ≠0)，再由 a b 条件求出 λ 的值即可．
标准方程渐近线性质离心率
x2 y2 －＝1(a＞0， b＞0) a2 b2
b y＝± x a __________ c (1，＋∞) e＝______，e∈____________ a
y2 x2 －＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 a y＝± x b
实虚轴 a，b，c 间的关系
线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a 线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴， ____；它的长|B1B2| ＝2b；a 叫作双曲线的半实轴长，b 叫作双曲线的半虚轴长 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线实轴与虚轴 _____________等长的双曲线叫作等轴双曲线，其方程为x2－
2 y＝±x y2＝λ(λ≠0)，其离心率为e＝_____，渐近线方程为________.
课前热身
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( A．2 C．4 B．2 2 D．4 2 )
答案：C
2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( x 2 y2 A. －＝1 4 12 x 2 y2 C. －＝1 10 6 ) x 2 y2 B. －＝1 12 4 x 2 y2 D. －＝1 6 10
定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||

2024届高考数学一轮复习第8章第6节双曲线课件

第八章平面解析几何
第六节双曲线
考试要求：1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解双曲线的简单几何性质．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差___的_绝__对__值___等于非零常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的_焦__点__，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦__距__．
焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边． (1)在椭圆中， ①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c. ②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦
定理： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ. ③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为
图2
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解． C 解析：如图，作PM⊥AF于点M，
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式． 2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式．本题的解答体现了数学运算的核心素养． 3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0， c>0. (1)当a<c时，点P的轨迹是双曲线． (2)当a＝c时，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线． (3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质

高三数学知识点总结双曲线

高三数学知识点总结双曲线双曲线是高中数学中的重要内容之一，在数学中应用广泛，所以熟练掌握双曲线的性质和运用方法对于高三学生来说非常重要。

本文将对高三数学知识点中的双曲线进行总结和归纳，以便帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

1. 双曲线的定义和性质双曲线是指平面上满足一定关系式的点的集合。

具体而言，设F1和F2是平面上两个固定点，且F1F2的距离是2a（a>0）。

对于平面上的任意点P，其到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数c（c>0），即|PF1 - PF2| = 2a。

双曲线的主轴是连接两个焦点的直线段F1F2，在主轴上的点P到两个焦点的距离之差为0。

双曲线的离心率定义为e = c/a，离心率是表征双曲线形状的重要参数。

2. 双曲线的方程和图像双曲线的一般方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b都是正实数。

由于a和b的取值不同，双曲线可以表现出不同的形状。

当a > b时，双曲线的中心在原点O，焦点在x轴上，x轴称为双曲线的对称轴，y轴称为双曲线的渐近线。

这种双曲线的形状是开口向左右两侧的。

当b > a时，双曲线的中心在原点O，焦点在y轴上，y轴成为双曲线的对称轴，x轴称为双曲线的渐近线。

这种双曲线的形状是开口向上下两侧的。

3. 双曲线的性质和运用双曲线有许多重要的性质和应用，下面列举其中几个重要的：（1）双曲线的渐近线：对于双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，当x 取绝对值较大的正值或负值时，方程右边的项趋近于0。

因此，当x趋近于正无穷或负无穷时，方程左边的项也趋近于0，即y趋近于±a/bx。

因此，双曲线的渐近线方程为y = ±a/bx。

（2）焦点和准线的坐标：对于双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，焦点的坐标为(F1, 0)和(-F1, 0)，其中F1 = √(a^2 + b^2)；准线的方程为x = a/e，其中e为离心率。

高中数学第八章第6讲双曲线

第6讲双曲线,[学生用书P158])1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双曲线的焦距2a<|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．1.教材习题改编双曲线y 264－x 216＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．20B ．16C ．12D ．8A [解析] 设P 到另一个焦点的距离为d ，则|d －4|＝2×8＝16，所以d ＝20，故选A.2.教材习题改编双曲线C 的焦点为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 220－y 24＝1B ．x 220－y 216＝1C ．y 220－x 216＝1D ．y 220－x 24＝1B [解析] 2a ＝|（－5＋6）2＋22－|（－5－6）2＋22＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6，所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.。

第8章第6讲双曲线

列说法正确的是
( BCD )
A．当 m<0 时，曲线 C 表示椭圆
B．当 m<－1 时，曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆
C．当 m>0 时，曲线 C 表示双曲线，其渐近线方程为 y＝± mx
D．当 m>－1 且 m≠0 时，曲线 C 的离心率是 1＋m
第八章解析几何
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〔变式训练 1〕
(1)在△ABC 中，B(4，0)，C(－4，0)，动点 A 满足条件 sin B－sin C ＝12sin A 时，则点 A 的轨迹方程为___x_42_－__1y_22_＝__1_(x_>_2__) ___.
(2)(2022·河南九师联盟摸底)双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点分别是 F1，
＝2a，
所以PF2＝a，PF1＝3a；
因为∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得 4c2＝9a2＋a2－2×3a·a·cos 60°，
整理可得
4c2＝7a2，所以
e2＝ac22＝74，即
e＝
7 2.
故选 A．
第八章解析几何
考点突破·互动探究
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考点一
双曲线的定义及其应用——自主练透
第八章解析几何
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(2)设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知，当点 A，P，F1 共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1| ＝5，故所求的最小值为 9.

[高考]2014年高三数学理2第8章双曲线

第八章第6 讲
质对称性
第11页
顶点
渐近线性离心率
质实虚轴
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) b y＝________ y＝± ax c e＝a，e∈________，其中 c＝ a2＋b2 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝
2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长
第八章
第6 讲
第19页
(2)由 x2－y2＝2，得 a＝b＝ 2，c＝2. ∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，|F1F2|＝2c＝4. 由余弦定理，得 cos∠F1PF2 |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 3 ＝＝4. 2|PF |· |PF |
第八章
第6 讲
第17页
(2)[2012· 大纲版全国卷]已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2 ＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上， |PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2 ＝( ) 1 A. 4 3 C. 4 3 B. 5 4 D. 5
第八章
第6 讲
第18页
[解析] (1)由焦距为 10，知 2c＝10，c＝5. b 将 P(2,1)代入 y＝ax 得 a＝2b. a2＋b2＝c2,5b2＝25，b2＝5，a2＝4b2＝20. x2 y 2 所以方程为20－ 5 ＝1.
第八章
第6 讲
第4页
2. 待定系数法：先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2、 b2 的值，即“先定型，再定量”； x2 y 2 如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 m2 － n2 ＝ λ(λ≠0)，再根据条件求 λ 的值．

高考新坐标高考数学总复习第八章第6节双曲线名师课件

(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设 m>n>0. 则 m＋n＝3b 且 m－n＝2a，
∴m＝3b＋2a，n＝3b－2a，①
2
2
又|PF1|·|PF2|＝mn＝94ab，②
将①代入②，得9b2－4a2＝9ab. 44
解之得ba＝43.则 e2＝ca22＝b2＋a2 a2＝1＋ba22＝295，故 e＝53.
又双曲线xa22－yb22＝1 的一条渐近线为 y＝2x. 所以b＝2，即 b＝2a，②
a 联立方程①②，得 a2＝5，b2＝20. 故所求双曲线方程为x2－ y2 ＝1.
5 20
[答案] (1)D (2)A
【通关锦囊】
1．(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2) 求离心率的关键是确定含 a，b，c 的齐次方程，但一定注意 e>1 这一条件．
【变式训练 2】已知双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)和椭圆1x62 ＋y2＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，
9 求双曲线的标准方程
[解]
由椭圆x2＋y2＝1，知 c＝ 16－9＝ 7， 16 9
∴焦点 F1(－ 7，0)，F2( 7，0)，且离心率 e′＝ 47.
【变式训练 1】已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
[解析] 由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|－ PF|2F| 1F2|2＝34.

2014一轮复习课件第8章第6节双曲线

答案： 3＋1
【考向探寻】
1．双曲线定义的应用．
2．求双曲线的标准方程． 3．双曲线方程的简单应用．
【典例剖析】
x2 y2 (2012· 湖南高考)(1)已知双曲线C： 2 － 2 ＝1的焦 a b 距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 x2 y2 A. －＝1 20 5 x2 y2 C.80－20＝1 x2 y2 B. －＝1 5 20 x2 y2 D.20－80＝1
± 15 )．由两点间距离
x2 y2 5．(文)已知F1，F2是双曲线 2 － 2 ＝1的左、右焦点， a b 双曲线恰好通过正三角形F1F2A两边F1A，F2A的中点，则双曲线的离心率为________．
解析：如图，双曲线恰好通过正三角形F1F2A两边 F1A，F2A的中点，所以F2M⊥AF1，在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝2c，∠MF2F1 ＝30° ， ∴|MF1|＝c，|MF2|＝ 3c，由双曲线的定义知：|MF2|－|MF1|＝2a， c 即 3c－c＝2a.∴e＝a＝ 3＋1.
【互动探究】
若将例(3)中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2 ＝2，及圆C2 ：(x－4)2＋y2 ＝2，一个内切、一个外切．那么动圆圆心的轨迹方程如何？
解：由例题可知：当圆M与圆C1外切与圆C2内切时， |MC1|－|MC2|＝2 2. 当圆M与圆C1内切，与圆C2外切时， |MC2|－|MC1|＝2 2. ∴||MC1|－|MC2||＝2 2＜|C1C2|＝8.
∴圆心的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线． x2 y2 设其方程为a2－b2＝1，则a＝ 2，c＝4， ∴b2＝c2－a2＝14. x2 y2 ∴动圆圆心的轨迹方程为：－＝1. 2 14

高三数学一轮总复习第八章解析几何8.6双曲线课件

C1，C2在第二、四象限的公共点。若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 ()
3
6
A. 2 B. 3 C.2 D. 2
24
(3)若双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)右顶点为A，过其左焦点F作x轴的垂线交双 →→
曲线于M，N两点，且MA·NA＞0，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A．(2，＋∞) B．(1,2) C.23，＋∞ D.1，32 解析：(1)∵e＝ac＝ 25， ∴e2＝ac22＝a2＋a2 b2＝54。 ∴a2＝4b2，ba＝12。 ∴渐近线方程为y＝±bax＝±12x。 (2)椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2 3。
15
5．若双曲线1y62 －xm2＝1的离心率e＝2，则m＝__4_8_______。解析：由题意得a2＝16，b2＝m， ∴c2＝a2＋b2＝16＋m，又e＝2，由ac22＝e2，得161＋6 m＝4，∴m＝48。
16
课堂学案考点通关
考点例析通关特训
17
考点一
双曲线的定义及标准方程
【例1】
25
又因为四边形AF1BF2为矩形，所以∠F1AF2＝90°。所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
所以|AF1|＝2－ 2，|AF2|＝2＋ 2。
所以在双曲线C2中，2c＝2
3，2a＝|AF2|－|AF1|＝2
2，故e＝ac＝
3＝ 2
26，故选D项。
(3)由题意，可得M－c，ba2，N－c，－ba2，A(a,0)，
23
考点二
双曲线的几何性质及应用
【例2】
(1)已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2

2014届高考数学(理)总复习：第八章第6讲双曲线

双曲线的定义及标准方程
[例 1] (1)(2012·湖南高考)已知双曲线 C：ax22－by22＝1
的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为
()
A.2x02 －y52＝1 C.8x02 －2y02 ＝1
B.x52－2y02 ＝1 D.2x02 －8y02 ＝1
(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2
2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．
2．(1)(2012·福建高考)已知双曲线xa22－y52＝1的右焦点为
(3,0)，则该双曲线的离心率等于
()
3 14 A. 14
32 B. 4
3
4
C.2
D.3
解析：由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该
双曲线的离心率e＝ac＝32. 答案：C
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|
性实虚轴＝ 2a ；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的
质
长|B1B2|＝ 2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，_b_
叫做双曲线的虚半轴长
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为
2b2 a
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足 |MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________. 解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在 y 轴上的双曲线的上支，
∵c＝5，a＝4，∴b＝3，e＝ac＝54，|k|＝43.
由y－＝xc－＋babyx＝，1，

高三数学复习课件第6节双曲线

索引
3.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2
＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( A)
7 A. 2
13 B. 2
C. 7
D. 13
解析设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝ m2＋9m2－2·3m·m·cos 60°＝ 7m，
索引
5.(易错题)双曲线x92－1y62 ＝1 上一点 P 到焦点 F1(－5，0)的距离为 7，则点 P 到焦
点 F2(5，0)的距离为___1_3____.
解析在双曲线x92－1y62 ＝1 中，a＝3，由题意得|PF1|＝7，由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|7－|PF2||＝6，解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.
索引
感悟提升
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
索引
训练1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1 及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_____x_2－__y_82_＝__1_(_x_≤__－__1.) 解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1| ＝|BC2|－|AC1|＝2，
索引
若 2＜t＜3，则 0＜3－t＜t－1，故方程3x－2 t＋t－y21＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆；若 1＜t＜2，则 0＜t－1＜3－t，故方程3x－2 t＋t－y21＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆；若 t＝2，则方程3x－2 t＋t－y21＝1，即为 x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选 AD.

高考数学一轮复习第八章第六节双曲线课件理

y2 4
1的左右
焦点，P（3，1）为双曲线内一点，A点在双
曲线上，则| AP | | AF2 |的最小值为
A. 37 4
B. 37 4
C. 37 2 5
D. 37 2 5
考点二渐近线与离心率问题
[多角探明] 角度一，已知离心渐率近求线方程
1. 已知a
b
0,
椭
圆
C1的方程为
x a
一条渐近线平行于 l : y直2线x10, 双曲
线的一个焦点在l上直，则线双曲线的方程为
x2 y2 A. 1
5 20 C. 3x2 3y2 1
25 100
x2 y2 B. 1
20 5 D. 3x2 3y2 1
100 25
3.

的圆与双曲线渐近一线个的交点(4是, 3),
则此双曲线的方程为
x2 y2 A. 1
9 16 x2 y2 C. 1 16 9
x2 y2 B. 1
43 x2 y2 D. 1 34
角度四，利用渐已近知线直与线位置关系求离心率范围
已知双曲 ax22 线 by22 1与直y线 2x有交点，则双曲的线取离值心范率围是
2 2
y2 b2
1，
双曲线 C 2的方程为
x2 a2
-
y2 b2
1，C1与C2的离心率
之积为
3 2
，则C
2的
渐
近
线
方
程
为
A. x 2 y 0
B. 2x y 0
C. x 2y 0
D. 2x y 0
角度二，已知渐近线离求心率

高三数学一轮复习第八章第6课时双曲线课件

顶点坐标：顶点 A1__(_－___a__,0__)__，
A2__(_a__,0__)__
顶点坐标：
A1__(_0_，____－___a_)__， A2_(_0_，___a__)_
渐近线 _y_＝__±_ba_x__
_y_＝__±_ab_x__
性
离心率
c e＝_a__，e∈(_1_，__＋__∞_)，其中c＝__a2_＋_b_2
(2)(2010·辽宁卷)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的
一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
3＋1 C. 2
5＋1 D. 2
解析： (1)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， ∴c＝4.∵e＝ac＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2 3. ∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝± 3x，
上存在点 P，满足|PF2|＝|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0
B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0
D．5x±4y＝0
【全解全析】如图，由题意得
|PF2|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝2a. 在△PF2M 中，|PF2|2＝|F2M|2＋ |PM|2，
3．若双曲线的渐近线方程是 y＝±bax，则双曲线
方程可表示为xa22－by22＝λ(λ≠0)．
求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；
(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点
M(2，－2)．
解析： (1)∵双曲线经过点 M(0,12)，

高考理科数学总复习第八章第六节双曲线 (2)

1．双曲线的定义中易忽视 2a<|F1F2|这一条件．若 2a＝|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线，若 2a>|F1F2|，则轨迹不存在． 2．注意区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a，b，c 关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2. 3．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在 x 轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在 y 轴上，渐近线斜率为±ab.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
图形
标准方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
范围 x≤－a 或 x≥a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R
对称轴：坐标轴性对称性对称中心：原点
第八章平面解析几何第六节双曲线
C目录 ONTENTS
高考·导航主干知识自主排查核心考点互动探究课时作业
高考·导航
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．知道双曲线的简单几何性质．
主干知识自主排查
1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线： (1)在平面内； (2)与两定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数； (3)非零常数小于 |F1F2|.
mn
m1 ，n1异号，所以 mn<0.综上，“mn<0”是“方程 mx2＋ny2＝1 表示双曲线”的充要条件．
答案：C
3．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：
x2 a2

第8章第6讲双曲线

第6讲双曲线[考纲解读] 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点)2．掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2021年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做□01双曲线．这两个定点叫做双曲线的□02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□03焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0： (1)当□04a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当□05a ＝c 时，P 点的轨迹是两条□06射线； (3)当□07a >c 时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 性范围x ≥□01a 或x ≤□02－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤□03－a 或y ≥□04a质对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1□05(0，－a)，A2□06(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1□07(0，－c)，F2□08(0，c)渐近线y＝±ba x y＝□09±ab x离心率e＝□10ca，e∈□11(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴实轴：|A1A2|＝□122a；虚轴：|B1B2|＝□132ba，b，c的关系c2＝□14a2＋b2(c>a>0，c>b>0)(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．1．概念辨析(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(2)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2－x2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．()答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)设双曲线C 的两个焦点分别为(－2,0)，(2,0)，一个顶点是(2，0)，则C 的方程为________．答案 x 22－y 22＝1解析由题意，得双曲线C 的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝2，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝2，b ＝2，所以C 的方程为x 22－y 22＝1.(2)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.答案 17解析由题意知|PF 1|＝9<a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.(3)(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________. 答案 4解析由已知，b 2＝4，e ＝c a ＝52，即c 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝54，又因为a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＋4a 2＝54，a 2＝16，a ＝4.(4)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±22x解析由已知，得2b ＝2,2c ＝23，所以b ＝1，c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x .题型一双曲线的定义及应用1．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12答案 B解析由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．∴|PF |＋|P A |的最小值为9.故选B.2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.答案 34解析由已知条件及双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.条件探究将本例中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积为________．答案 2 3解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以42＝(22)2＋|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝12 |PF1|·|PF2|sin60°＝2 3.1．利用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．利用焦点三角形需注意的问题在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a两边平方，建立与|PF1|·|PF2|有关的方程．见举例说明2及条件探究．1．设P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝()A．4 B．5C．6 D．7答案 C解析易知双曲线的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，所以|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝(|PF1|－|PF2|)＋3＝5，同理|PM|－|PN|的最小值为(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝(|PF1|－|PF2|)－3＝－1，所以|m－n|＝6.2．(2020·广东普宁市华侨中学月考)过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若|PQ |＝4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是________．答案 12解析由双曲线的定义知，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝2，|QF 2|－|QF 1|＝2a ＝2，所以|PF 2|＋|QF 2|－(|PF 1|＋|QF 1|)＝4，又|PQ |＝4，所以|PF 2|＋|QF 2|－4＝4，|PF 2|＋|QF 2|＝8，所以△PF 2Q 的周长是|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝12.题型二双曲线的标准方程及应用1．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) 答案 A解析设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故其标准方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)．条件探究将本例中的条件改为“动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9都外切”，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)与已知双曲线x 2－4y 2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)由已知，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，因为此双曲线经过点(2,2)，所以22－4×22＝λ，解得λ＝－12，所以双曲线方程为x 2－4y 2＝－12，即y 23－x 212＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．见举例说明1.(2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．见举例说明2(1)．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．见举例说明2(2)．注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解．见举例说明2(3)．1．(2019·昆明模拟)已知双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，则C 的方程是( )A ．x 2－y 22＝1B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1答案 B解析因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.2．设F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q (5，3)，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 22－y 22＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 24－y 212＝1答案 D解析F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，∵F 1，F 2，P (0,2b )构成正三角形，∴2b ＝3c ，即有3c 2＝4b 2＝3(a 2＋b 2)，∴b 2＝3a 2.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点Q (5，3)，∴5a 2－33a 2＝1，解得a 2＝4，∴b 2＝12，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.题型三双曲线的几何性质角度1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点及范围问题1．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 答案 A解析不妨令F 1为双曲线的左焦点，则F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 20－1<0.∴－33<y 0<33.故选A.2．(2019·武汉武昌区调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________．答案 8解析双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y a ±x b ＝0，即ax ±by ＝0，因为焦点(0，c )到直线ax ＋by ＝0的距离为3，所以|bc |a 2＋b 2＝3，又a 2＋b 2＝c 2，所以b＝3，又因为2c ＝10，c ＝5，所以a ＝c 2－b 2＝4，所以C 的实轴长为8.角度2 与双曲线渐近线有关的问题3．(2019·衡水模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案 A解析如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ，因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以ba ＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .4．(2019·湖北四地七校联考)已知直线x ＝4与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OP →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R ，O 为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≥12B ．a 2＋b 2≥18C ．a 2＋b 2≤12 D ．a 2＋b 2≤18答案 B解析因为双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线为y ＝±x2，与直线x ＝4交于A (4,2)，B (4，－2)，设P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，OA →＝(4,2)，OB →＝(4，－2)，因为OP →＝aOA →＋bOB →，所以x ＝4a ＋4b ，y ＝2a －2b ，由于点P (x ，y )在双曲线上，故(4a ＋4b )24－(2a －2b )2＝1，解得ab ＝116，则a 2＋b 2≥2a 2b 2＝18(当且仅当a 2＝b 2且ab ＝116时取“＝”)．故选B.角度3 与双曲线离心率有关的问题5．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析解法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴OF 2＝OB ， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，不妨设B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3， ∴离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.解法二：∵F1B→·F2B→＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图2，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得|BH||OH|＝b a，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．又F1A→＝AB→，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴ba ＝bc－a，∴c＝2a，∴离心率e＝ca＝2.1．与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．见举例说明1.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>1.(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．1．(2020·潍坊高三月考)双曲线C ：x 29－y 216＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的是( )A ．焦点坐标不变B ．顶点坐标不变C ．渐近线不变D ．离心率不变答案 C解析当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x 轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y 轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程x 29－y 216＝λ中，令λ＝0，得y ＝±43x ，即为双曲线C 的渐近线方程，不随λ的变化而变化．故选C.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y 轴相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOF 2S △AOB＝2，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5答案 B解析由题意，知|F 2A |＝|bc |a 2＋b 2＝b ，又S △AOF 2S △AOB＝2，则|AB |＝b2，|OA |＝|OF 2|2－|F 2A |2＝c 2－b 2＝a ，所以a 2＝b 22，得2a 2＝c 2－a 2，即3a 2＝c 2，e 2＝c 2a 2＝3，从而e ＝ 3.故选B.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53C ．(1,2]D ．[53，＋∞]答案 B解析由双曲线定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，结合|PF 1|＝4|PF 2|，得|PF 2|＝2a3，从而2a 3≥c －a ，得5a 3≥c ，所以e ＝c a ≤53，又双曲线的离心率大于1，所以双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.题型四直线与双曲线的综合问题1．过双曲线M ：x 2－y 23＝1的左焦点F 作圆C ：x 2＋(y －3)2＝12的切线，此切线与M 的左支、右支分别交于A ，B 两点，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析由题意知，切线过双曲线的左焦点F (－2,0)，且切线斜率存在，不妨设切线方程为y －0＝k (x ＋2)，易知|2k －3|1＋k 2＝22，解得k ＝1或k ＝177.当k ＝177时，切线不与双曲线M 的右支相交，故舍去，所以切线方程为y ＝x ＋2，与双曲线方程联立，消元得2y 2－12y ＋9＝0，所以y 1＋y 2＝6，即线段AB 中点的纵坐标为3，所以线段AB 的中点到x 轴的距离为3.2．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又因为－2<k <2且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤2．一个易错点联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论．3．一组常用结论直线与双曲线位置关系与右支交于两个不同点与左支交于两个不同点与左、右两支各有一个交点满足条件⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0⎩⎨⎧Δ>0，x 1x 2<01．(2019·武汉4月调研)过点P (4,2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．3 3D ．4 3答案 D解析解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋2.由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)＋2，x 22－y 2＝1消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4,2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－8k (2k －1)1－2k2＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2＝10. 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 3.故选D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 212－y 21＝1， ① x 222－y 22＝1. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为P (4,2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2.由⎩⎨⎧y ＝x －2，x 22－y 2＝1消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 3.2．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径，其长等于2b 2a (a ，b 分别为双曲线的实半轴与虚半轴长)．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ ⊥l 于点Q ，且|MQ |＋|MF 1|的最小值为3，则双曲线C 的通径长为________．答案 2解析如图所示，连接MF 2，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴|MQ |＋|MF 1|＝|MF 2|＋|MQ |＋2a ≥|F 2Q |＋2a ，当且仅当Q ，M ，F 2三点共线时，|MQ |＋|MF 1|取得最小值3.此时，F 2(c,0)到直线l ：y ＝－1a x 的距离|F 2Q |＝c 1＋a2，∴c1＋a 2＋2a ＝3⇒c c ＋2a ＝3⇒a ＝1，由定义知通径长为2b 2a ＝2.组基础关1．(2019·唐山统考)“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22 B ．1 C. 2 D ．2答案 C解析由题意可得ba ＝1，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝ 2.故选C.3．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案 A解析将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1，所以c 2＝19＋116＝25144，所以c ＝512，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0. 4．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 2169－y 225＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 2169－y 2144＝1 答案 A解析由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8<10＝|F 1F 2|.由双曲线的定义知曲线C 2为双曲线且a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.故选A.5．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则该双曲线的实轴长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 B解析圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为C (2,0)，半径r ＝1.双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆C 相切，所以圆心到渐近线的距离d ＝|2b |a 2＋b 2＝1，所以3b 2＝a 2.由x 2a 2－y23＝1，得b 2＝3，则a 2＝9，所以2a ＝6.故选B.6．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 A解析设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.故选A. 7．已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，经过点M (2,1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为( )A ．8x －y －15＝0B ．8x ＋y －17＝0C ．4x ＋y －9＝0D ．4x －y －7＝0答案 A解析设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧4x 21－y 21＝4，4x 22－y 22＝4，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (2，1)是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以16(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝162＝8，故直线l 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.8．(2019·东北三省四市教研联合体模拟)已知矩形ABCD ，AB ＝12，BC ＝5，以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的双曲线的离心率为________．答案 32解析解法一：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则c ＝a 2＋b 2＝6.①如图1，在x 2a 2－y 2b 2＝1中，令x ＝6，得y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2－1b 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2－1b 2＝25.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝20，所以a ＝4，所以离心率e ＝c a ＝32.解法二：如图2，不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，易知AC ＝13.由双曲线的定义可知2a ＝|AC |－|BC |＝8，即a ＝4.又c ＝12|AB |＝6，所以离心率e ＝c a ＝32.9．(2020·武汉摸底)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．答案－2解析由题意可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2. 10．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________．答案 a解析 ∵点P 是双曲线右支上一点， ∴由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，若设△PF 1F 2的内切圆圆心在x 轴上的投影为A (x,0)，则该点也是内切圆与x 轴的切点．设B ，C 分别为内切圆与PF 1，PF 2的切点．由切线长定理，则有|PF 1|－|PF 2|＝(|PB |＋|BF 1|)－(|PC |＋|CF 2|)＝|BF 1|－|CF 2|＝|AF 1|－|F 2A |＝(c ＋x )－(c －x )＝2x ＝2a ，所以x ＝a .所以内切圆圆心的横坐标为a .组能力关1．(2019·厦门一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x答案 B解析设双曲线的另一个焦点为F ′，由OA ＝OB ＝OF ＝OF ′＝c ，知圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，点F (－c,0)到直线y ＝－ba x (即bx ＋ay ＝0)的距离为|b ·(－c )|a 2＋b2＝b ，所以S △ABF ＝12·2c ·b ＝8，即bc ＝8.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2c ，所以|MN |＝2b 2c＝2，所以b 2＝c ，所以b ＝2，c＝4，所以a ＝23，所以C 的渐近线方程为y ＝±33x .2．(2019·河南六市第二次联考)已知直线y ＝2b 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的斜率为正的渐近线交于点A ，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，若tan ∠AF 2F 1＝15，则双曲线的离心率为( )A.1611 B ．2 C ．4或1611 D ．4答案 D解析由⎩⎨⎧y ＝2b ，y ＝b a x ，得点A (2a,2b )，所以tan ∠AF 2F 1＝2b|c －2a |＝15.所以4b 2＝15(4a 2－4ac ＋c 2)，即4(c 2－a 2)＝15(4a 2－4ac ＋c 2)，即64a 2－60ac ＋11c 2＝0，所以11e 2－60e ＋64＝0.解得e ＝4或e ＝1611.经检验，当e ＝1611时，tan ∠AF 2F 1＝－15，不符合题意，所以双曲线的离心率为4.3．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎨⎧x ＝3，x 2－y22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 2－y22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2＝0时，不符合题意，当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 2·16(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22.综上可知，这样的直线有3条．4．(2019·成都七中高三上学期入学考试)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上存在点P 与右焦点F 关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5答案 D解析过右焦点F 且与渐近线垂直的直线方程为y ＝±ab (x －c )，不妨取直线y ＝－a b (x －c )．设渐近线y ＝b a x 与直线y ＝－ab (x －c )的交点为M .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－a b (x －c )，解得x ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ，y ＝abc ，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .由中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a2c －c ，2ab c .将其代入双曲线的方程，得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2b 2c 2＝1，化简，得c 2＝5a 2，由此，得e ＝ca ＝ 5.5．已知等腰三角形ABC 的底边端点A ，B 在双曲线x 26－y 23＝1的右支上，顶点C 在x 轴上，且AB 不垂直于x 轴，则顶点C 的横坐标t 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0> 6.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216－y 213＝1，x 226－y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，于是x 0(x 1－x 2)－2y 0(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 02y 0.又k MC ＝y 0x 0－t ，由k MC ·k AB ＝y 0x 0－t ·x 02y 0＝－1，得x 0＋2(x 0－t )＝0，即t ＝3x 02>362.6．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________．答案 12 6解析如图，设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1，可知a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当|AP |＋|PF 1|最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为 y ＝26x ＋66，由⎩⎨⎧y ＝26x ＋66，x 2－y28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.7．(2020·济南摸底)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，则双曲线E 的离心率e ＝________；若双曲线E 的实轴长为2，过双曲线E 的右焦点F 可作两条直线与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋m ＝0相切，则实数m 的取值范围是________．答案 3 (－3,5)解析因为双曲线E 的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，所以ba ＝22，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋(22)2＝3.又因为双曲线E 的实轴长为2，所以2a ＝2，即a ＝1，所以c ＝3，F (3，0)．由题意得右焦点F 在圆C 外，所以需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧32＋02－2×3＋4×0＋m >0，(x －1)2＋(y ＋2)2＝5－m >0，解得－3<m <5，故实数m 的取值范围是(－3,5)．组素养关1．双曲线C 的中心在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C 交于A ，B 两点，当k 为何值时，以线段AB 为直径的圆过原点？解 (1)设双曲线的方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝233，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝33，b ＝1，故双曲线的方程是3x 2－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0且3－k 2≠0，得－6<k <6且k ≠±3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以线段AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，又因为x 1＋x 2＝－2kk 2－3，x 1x 2＝2k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1. 综上，当k ＝±1时，以线段AB 为直径的圆过原点．2．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM→＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解 (1)由题意，知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y203＝1，x 0>23，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.由OM→＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。

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