岩土工程的可靠度分析

岩土工程的可靠度分析与应用5.1结构可靠度的基本理论和研究概况5.1.1 岩土工程结构可靠度的概念岩土工程结构可靠度是指岩土工程结构在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的概率。

应当指出，经典可靠度理论与方法除了适合于一般意义上的结构以外，也适合于岩土工程结构的可靠度分析。

为了叙述及学习经典可靠度理论的方便，以下经常将岩土工程结构简称为结构、工程、工程结构等。

他包括以下三个方面的要求：（1）安全性。

结构在正常施工和正常使用时就能承爱可能出现的各种作用，以及在偶然事件发生时及发生后应能保持必需的整体稳定性。

（2）适用性。

结构在正常使用时就能满足预定的使用功能。

（3）耐久性。

结构在正常维护下，材料性能随时间变化，仍应能满足预定的功能要求。

结构的功能通常以极限状态为标志，结构到达他不能完成预定功能之前的一种临界状态，称为结构的极限状态。

极限状态可以通过功能函数体现。

功能函数中的随机变量一般可以用两个基本变量即抗力R 和荷载效应S 代表，通常R 是材料特性、单元或结构尺寸的函数，S 则是外荷载、材料密度、结构尺寸的函数。

我们约定，大写字母代表随机变量，大写黑体字母表示随机向量，含下标的大写字母表示随机向量的一个分量，小写字母代表随机变量的一个实现或确定性变量，小写黑体字母表示随机向量的一个实现或确定性设计向量。

岩土工程结构的功能函数可以写为S R Z -= （5-1）功能函数0<Z 表示失效，0>Z 表示安全。

假设抗力和荷载效应都是连续随机变量，概率密度函数分别用)(s f S 和)(r f R 表示，两者的联合概率密度函数写作),(s r f RS 。

结构的失效概率就定义为抗力小于作用在他上面的荷载效应的概率，即drds s r f S R P P S R RS f ⎰≤=≤-=),()0( （5-2）如果R 和S 相互独立，则)()(),(s f r f s r f S R RS =，从而⎰⎰+∞∞-≥∞-=≤-=rs S R f drds s f r f S R P P )()()0( （5-3）实际工程中许多随机参数不能简单地归结为抗力或荷载效应的变量，因此功能函数常表示为更一般的形式)(X g Z =，其中X 代表基本随机向量。

于是岩土工程的失效概率可以写成⎰≤=≤=0)()(]0)([x g X f d f g P P x x X （5-4）这里)(x X f 表示n 维基本随机向量X 的联合概率密度函数。

因此，岩土工程结构可靠度分析的关键是联合概率密度函数在失效域上的积分运算。

他的求解方法包括解析法、近似数值法和模拟法。

只有当积分域非常规则且被积函数比较简单的情况下才可能由解析法得到准确的失效概率值，更多的时候需要利用数值方法近似求解。

由于直接利用数值积分的办法（如Simpson 公式、Laguerre-Gauss 积分公式、Gauss-Hermite 积分公式等）需要花费大量的计算时间，其应用范围也非常有限，所以一次/二次可靠度算法以及其他一些近似计算方法得到发展和完善。

这些近似方法都要求概率密度函数连续，对于离散型的随机变量则不再适用，而Monte Carlo 模拟法则没有这个限制。

早在20世纪初，前苏联学者就开始应用统计数学的方法研究荷载及材料强度的离散性，从而开启了概率方法在结构设计中的应用。

随后一批学者在他们的研究中建立了二阶矩和失效概率的概念，在容许应力方法的框架内用统计的方法定量地分析安全系数的取值问题。

然而一直到70年代，Cornell （1969）提出在结构可靠度分析中直接应用与失效概率相联系的指标β来衡量结构可靠度，并建立了结构可靠度分析的一次二阶矩阵理论，这种方法才逐渐为人们所接受。

在国内，以赵国藩为代表的许多学者开展了深入研究，为可靠度理论的研究和应用做出了重要贡献（赵国藩，1996）。

5.1.2 Monte Carlo 模拟法Monte Carlo 模拟法又称随机抽样法或统计试验法。

采用Monte Carlo 模拟法求可靠度时，首先生成０到１之间均匀分布的随机数，根据各随机变量的分布类型进行概率转换，然后作为随机变量的一个实现把他代入功能函数判断是否小于０，小于０则认为失效，大于０则表示安全，最后定义失效概率等于导致结构失效的抽样点数与总抽样数的比值。

Monte Carlo 法的优点是程序容易实现，稳健性好，可以考虑任何分布类型，而且功能函数的形式对计算结果没有影响。

这种方法的最大缺点是效率比较低，为了获得一定精度的结果通常需要进行大量抽样，计算方面的花费比较多，特别是当功能函数的计算需要借助有限元分析时尤其费时。

Monte Carlo 法按照抽样方式的不同可以分为直接抽样法和改进抽样法。

改进抽样法主要有重要抽样法、方向抽样法、条件期望法、轴正交抽样法等等。

5.1.3 近似可靠度计算方法即使采用一些抽样技巧提高效率，Monte Carlo 法需要的计算量仍然比较大，所以工程界多采用近似的方法，一次/二次可靠度计算方法是应用最普遍的方法。

他们源自20世纪40年代提出的二阶矩模式。

需要指出的是通常的二阶矩模式仅利用了随机变量的均值和标准差，而一次/二次可靠度计算方法则考虑了随机变量的概率分布，是一种全概率的计算方法（Bjerager ，1990）。

1. Cornell 可靠指标Cornell 提出在结构可靠度分析中应用直接与失效概率相联系的指标β来衡量结构可靠度，并建立了结构可靠度分析的一次二阶矩理论。

由于当时的计算在随机变量的均值点完成，而且仅仅考虑了随机变量的均值和标准差，因而该方法通常被称作均值点一次二阶矩方法（mean value first order second moment ），或中心点一次二阶矩方法。

假定抗力R 和荷载效应S 都是服从正态分布的随机变量，于是功能函数S R Z -=也是正态随机变量。

Cornell 可靠指标C β定义为Z Z C σμβ=（5-5）定义失效概率等于 )()0(C f ΦZ P P β-=≤= （5-6）式中，)(∙Φ是标准正态分布函数。

将这种思想扩展到多个变量、功能函数非线性的情况。

即将结构功能函数在各随机变量的均值处x μ线性展开，即∑=-∂∂+=n i X i i i X X g g Z 1)()(~μx μ （5-7）他的均值和标准差为∑∑==∂∂∂∂==n i n j ji j i Z ZX X X g X g g 11~~),(Cov )(σμx μ （5-8）根据公式（5-5）可以得到他的Cornell 可靠指标。

2. HL 可靠指标许多算例表明，Cornell 定义的可靠指标，对于具有相同失效面而数学形式不同的功能函数，结果不具有唯一性。

Hasofer 和Lind （1974）从可靠指标的几何意义出发对他进行了重新定义，保证他的不变性。

把随机向量转换到标准形式（均值等于０，标准差等于１）)11x (X D L U μ-=--（5-9） 式中，][diag ii σ=D 表示标准差的对角矩阵；L 是对相关系数矩阵进行Cholesky 分解得到的下三角矩阵，功能函数转化为标准随机向量的形式 )()()(U DLU X x G g g ≡+=μ （5-10）HL 可靠指标就定义为在标准变换后的空间中坐标原点到失效面的最短距离⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<->+==0)(0)(0)(..min 0u 0u u u G G G t s HL 如果如果β （5-11） 该优化问题的最优解*u 被称作验算点（设计点）或最可能失效概率点（most probablefailure point ），因而该计算过程通常被称作改进的一次二阶矩方法（advanced first order second moment ）或验算点一次二阶矩方法。

如果功能函数是标准变量的线性函数，则利用式（5-11）可以直接计算出HL 可靠指标，如果他是非线性函数，则需要进行迭代求解。

Shinozuka （1983）根据HL 可靠指标的定义，利用优化方法进行求解。

Parkinson （1980）根据正态化的公式，把原本应该在标准正态空间迭代的计算过程转化到原始空间，建立了在原始空间的迭代公式，该公式在形式上与Newton-Raphson 公式是一致的。

利用HL 可靠指标计算结构的失效概率。

定义新的随机变量U T Y α=（α是从坐标原点到验算点的单位向量），他的概率密度函数和分布函数假定分别为)(y f Y 和)(y F Y （图5-1），故结构的失效概率)(H L Y f F P β-=（5-12）如果U 是标准正态向量，则根据概率论原理可知新的随机变量Y 是标准正态随机变量，即)(H L f ΦP β-=（5-13）图5-1 标准随机空间中的HL 可靠指标3. 广义可靠指标Ditlevsen （1979）指出HL 可靠指标对线性的功能函数是精确的，对于非线性的功能函数，则可能与真实的可靠度不一致。

从图5-1可以看出，线性的功能函数和非线性的功能函数只要验算点相同就具有相同的HL 可靠指标，而他们的真实失效概率并不相等。

为了克服这个困难，Ditlevsen 提出了广义可靠指标的概念。

首先精确计算结构失效概率，然后用标准正态分布函数计算广义可靠指标，即)(1f G P Φ--=β（5-14） 式中， )(1∙-Φ代表标准正态分布函数的逆函数。

4. 一次/二次可靠度算法在标准正态空间计算结构的可靠度具有显著优点。

正态分布概率密度函数值只与该点到原点的距离有关，而且随距离的增大呈指数形式衰减，从而结构失效概率主要取决于功能函数在验算点附近的性质，因此大量的可靠度计算都在标准正态空间进行。

如果原始变量不是标准正态分布，则需要实施转换。

如果只知道随机变量的均值向量和方差矩阵，通常假定他服从正态分布，线性变换公式（5-9）就建立在该假定基础上。

由于随机变量并非都服从正态分布，仅仅利用他的均值和标准差是不充分的，有必要包含他的具体分布形式。

从原始分布到标准正态分布的概率变换通常是非线性变换，他一般可以写成)(X T U = （5-15）利用该变换，如果可靠指标仍然表示为标准正态空间中坐标原点到失效面的最短距离，定义结构的失效概率为)(β-=ΦP f （5-16）由于该计算失效面用一个超平面近似，又因为在标准化变换中依据的不仅是随机变量的前两阶统计矩，还涉及他的概率分布函数，该计算过程被称作一次可靠度算法FORM(First1order Reliability Method)。

这里需要指出的是，FORM是全概率方法，从原始随机变量空间到标准正态空间的变换是精确的，而一次二阶矩法FOSM仅仅利用了各随机变量的均值和标准差，实际隐含了正态分布的假定（Bjerager，1990）。