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2016-2017学年上学期河北省衡水中学高二期中考试试卷 文科数学 Word版 含答案

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河北省衡水中学2017届高三(上)四调数学试卷(文科)(解析版)

河北省衡水中学2017届高三(上)四调数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．23．抛物线y=3x2的焦点坐标是（）A． B． C．D．4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量与2平行，则m=（）A．B．C．D．5．圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是（）A． B．C．k≥2 D．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，且a2016+a2017=0，则S101等于（）A．3 B．303 C．﹣3 D．﹣3037．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的S值为（）A．﹣ B．C．D．8．函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（）A．B．C．D．10．设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2，若tan∠PF1F2=，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π12．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，定点A（0，﹣2），若射线FA与抛物线C 交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|：|FN|的值是（）A．（﹣2）：B．2：C．1：2D．：（1+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，若直线l1∥l2，则m=．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A=3C，c=6，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，则△ABC的面积是．15．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．16．已知函数f（x）=|e x+|，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．18．设f（x）=4sin（2x﹣）+．（1）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调减区间．19．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；（2）求该组合体QPABCD的体积．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l 过点（﹣1，0）交椭圆E于A、B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax，a∈R，且a≠0．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy 的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．故选：B．2．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B 为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．3．抛物线y=3x2的焦点坐标是（）A． B． C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．【解答】解：化为标准方程为x，∴2p=，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选D4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量与2平行，则m=（）A．B．C．D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、的坐标计算可得与2的坐标，进而由向量平行的坐标计算公式可得（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（﹣1，2），=（m，1），则=（﹣1+2m，4），2=（﹣2﹣m，3），若向量与2平行，则有（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m=﹣；故选：B．5．圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是（）A． B．C．k≥2 D．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线kx﹣y﹣3=0的距离d=，即，∴k2+1≥9，即k2≥8，∴k或k，∴圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是k，故选：B．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，且a2016+a2017=0，则S101等于（）A．3 B．303 C．﹣3 D．﹣303【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出S101．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，且a2016+a2017=0，∴，解得a1=3，q=﹣1，∴a101==3×（﹣1）100=3．故选：A．7．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的S值为（）A．﹣ B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次进行循环体后，S=cos，n=1不满足输出的条件，则n=2，S=cos•cos；当n=2，S=cos•cos时，不满足输出的条件，则n=3，S=cos•cos•cos；当n=3，S=cos•cos•cos时，满足输出的条件，故S=cos•cos•cos=sin•cos•cos•cos÷sin=sin•cos•cos÷sin=sin•cos÷sin=sin÷sin=故选：B8．函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【考点】函数的图象．【分析】分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【分析】取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，求其面积，可得答案．【解答】解：取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，∴EF=HG=PC=2且EF∥HG∥PC，EH=FG=BD=2且EH∥FG∥BD，故四边形EFGH为矩形，面积是4，△EIH中，EI=HI=，故EH上的高IJ=，故△EIH的面积为，即平面EFGHI的面积为5，故选：C．10．设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2，若tan∠PF1F2=，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合已知及椭圆定义把|PF1|、|PF2|用a，c表示，再由勾股定理求得答案．【解答】解：如图，∵以PF1为直径的圆经过F2，∴PF2⊥F1F2，又tan∠PF1F2=，∴，则，由|PF1|+|PF2|=2a，得|PF1|=，在Rt△PF2F1中，得，即，解得：或（舍）．∴椭圆E的离心率为．故选：D．11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，∴得AG==a，所以正方体棱长a=2∴Rt△OGA中，OG=a=1，AO=，即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．故选A．12．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，定点A（0，﹣2），若射线FA与抛物线C 交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|：|FN|的值是（）A．（﹣2）：B．2：C．1：2D．：（1+）【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2．过M作MP ⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠NMP=k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，则答案可求．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，﹣2），∴抛物线的准线方程为l：x=1，直线AF的斜率为k=2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP=k=2，∴，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=|PM|，而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，∴|MN|：|FN|=：（1+），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，若直线l1∥l2，则m=﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据直线的平行关系得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，m=2时，l1：3x+2y+2=0，l2：x+1=0，不合题意，m≠2时，若直线l1∥l2，则=≠，即（m+1）（m﹣2）=4，解得：m=3（舍）或m=﹣2，故答案为：﹣2．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A=3C，c=6，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，则△ABC的面积是．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用三角形内角和定理可求A，C，进而利用正弦定理可求a，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：已知等式（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°．∵A=3C，c=6，可得：C=30°，A=90°，∴a===12，=acsinB==．∴S△ABC故答案为：．15．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是（3，5）．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a 的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）16．已知函数f（x）=|e x+|，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是a∈[﹣1，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．【解答】当a＞0时，f（x）=|e x+|=e x+，则函数的导数f′（x）=e x﹣=，且f（x）＞0恒成立，由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得e2x＜a，即x＜lna，此时函数单调递减，若f（x）在区间[0，1]上单调递增，则lna≤0，解得0＜a≤1，即a∈（0，1]当a=0时，f（x）=|e x+|=e x在区间[0，1]上单调递增，满足条件．当a＜0时，y=e x+在R单调递增，令y=e x+=0，则x=ln，则f（x）=|e x+|在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数则ln≤0，解得a≥﹣1综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]故答案为：a∈[﹣1，1]三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n可求通项，进而可求b n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和【解答】解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+518．设f（x）=4sin（2x﹣）+．（1）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调减区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数的单调性与值域即可得出．（2）利用坐标变换得到的图象．可得．再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）f（x）=4sin（2x﹣）+．sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值4+；sin（2x﹣）=﹣1时，函数f （x）取得最小值4﹣．（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象．∴．由．∴g（x）的单调减区间是．19．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；（2）求该组合体QPABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明平面PAB ⊥平面QBC．（2）连接BD，过B作BO⊥AD于O，该组合体的体积V=V B+V Q﹣BCD．由此﹣PADQ能求出结果．【解答】证明：（1）∵OD⊥平面ABCD，PA∥QD，∴PA⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，又∵BC⊂平面QBC，∴平面PAB⊥平面QBC．解：（2）连接BD，过B作BO⊥AD于O，∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴PA⊥BO，又BO⊥AD，AD⊂平面PADQ，PA⊂平面PADQ，PA∩AD=A，∴BO⊥平面PADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴．∴．∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，∴，∴．∵QD⊥平面ABCD，∴．∴该组合体的体积．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l 过点（﹣1，0）交椭圆E于A、B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意得b=1，由得a=，c=，b=1求得椭圆方程；（2）设直线l的方程为x=my﹣1，将直线方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积，再换元配方即可得出结论．【解答】解：（1）由题意得b=1，由得a=，c=，b=1，∴椭圆E的方程为+y2=1；（2）依题意设直线l的方程为x=my﹣1，联立椭圆方程，得（m2+3）y2﹣2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，S△AOB=|y1﹣y2|=，=，设m2+3=t（t≥3），则S△AOB∵t≥3，∴0＜≤，∴当=，即t=3时，△OAB面积取得最大值为，此时m=0．21．已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax，a∈R，且a≠0．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出a 的取值范围，（2）当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，转化为lnx﹣x＜2ax﹣ax2，在（1，+∞）恒成立，构造函数h（x）=lnx﹣x，利用导数求出函数最值，得到ax2﹣2ax ﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣a2x2+ax，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣2a2x+a==．①当a=0时，f′（x）=＞0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．②当a＞0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即x ＞．此时f（x）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得a≥1．③当a＜0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即x ＞﹣．此时f（x）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得a≤﹣．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．（2）∵g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，∴f（x）﹣g（x）=lnx﹣（2a+1）x+ax2＜0，即lnx﹣x＜2ax﹣ax2，在（1，+∞）恒成立，设h（x）=lnx﹣x，则h′（x）=﹣1＜0恒成立，∴h（x）在（1，+∞）为减函数，∴h（x）＜h（1）=﹣1，∴ax2﹣2ax﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，设φ（x）=ax2﹣2ax﹣1当a=0时，﹣1＜0，符合题意，当a＞0时，显然不满足题意，当a＜0，由于对称轴x=1，则φ（1）＜0，即a﹣2a﹣1＜0，解得﹣1＜a＜0，综上所述，a的取值范围为（﹣1，0]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy 的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐标方程．（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答．【解答】解（1）直线的斜率为，直线l倾斜角为…由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，得到曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1…（2）点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…直线l的直角坐标方程为y=x+…所以圆心（，）到直线l的距离d=．所以|AB|=，即|PA|+|PB|=…[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．2017年2月6日。

2016-2017年河北省衡水市枣强中学高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2016-2017年河北省衡水市枣强中学高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2016-2017学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知：命题p：∀x∈R，x2≥0，则命题¬p是（）A．∀x∈R，x2≤0 B．∀x∈R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≤0 D．∃x∈R，x2＜0 2．（5分）双曲线右支上一点P到右焦点的距离是4，则点P到左焦点的距离为（）A．10 B．16 C．9 D．153．（5分）已知p，q是两个命题，若“（¬p）∨q”是假命题，则（）A．p假q假B．p真q真C．p假q真D．p真q假4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣5．（5分）已知点（m，n）在椭圆=1上，则m的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．（﹣3，3）C．D．6．（5分）过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=07．（5分）某客运公司为了了解客车的耗油情况，现采用系统抽样方法按1：10的比例抽取一个样本进行检测，将所有200辆客车依次编号为1，2， (200)则其中抽取的4辆客车的编号可能是（）A．3，23，63，102 B．31，61，87，127C．103，133，153，193 D．57，68，98，1088．（5分）命题p：0＜x＜1，命题q：x2＜2x，命题p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件9．（5分）如图，是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间[150，170）内的学生人数为（）A．16 B．20 C．22 D．2610．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．811．（5分）如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为（）A．24πcm2，12πcm3B．15πcm2，12πcm3C．24πcm2，36πcm3D．以上都不正确12．（5分）已知抛物线y2=2px的焦点F 与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点（1，2）到直线y=2x+1的距离为．14．（5分）长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为．15．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点F 恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点，且渐近线方程为y=x，则双曲线方程为．16．（5分）将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，则直线ax+by=0与圆（x﹣2）2+y2=2无公共点的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，m∈R．（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？19．（12分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：（Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．（Ⅰ）求证：BF∥面PDE；（Ⅱ）求证：面PDE⊥面PAB．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A为椭圆C的右顶点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．22．（12分）已知函数r（x）=alnx，s（x）=b（x﹣），a，b为实数且a≠0．（1）设函数f（x）=r（x）+s（x）．当a=﹣2时，f（x）在其定义域内为单调增函数，求b的取值范围；（2）设函数g（x）=r（x）﹣s（x）+x．当b=1时，在区间（0，e]（其中e为自然对数的底数）上是否存在实数x0，使得g（x0）＜0成立，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知：命题p：∀x∈R，x2≥0，则命题¬p是（）A．∀x∈R，x2≤0 B．∀x∈R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≤0 D．∃x∈R，x2＜0【解答】解：命题p：∀x∈R，x2≥0，则命题¬p是：∃x∈R，x2＜0，故选：D．2．（5分）双曲线右支上一点P到右焦点的距离是4，则点P到左焦点的距离为（）A．10 B．16 C．9 D．15【解答】解：∵双曲线方程为，∴a2=9，可得a=3．设双曲线的左右焦点分别为F1、F2，∵点P到右焦点的距离是4，即|PF2|=4，且点P为双曲线的右支上一点∴|PF1|=|PF2|+2a=4+6=10，即点P到左焦点的距离为10故选：A．3．（5分）已知p，q是两个命题，若“（¬p）∨q”是假命题，则（）A．p假q假B．p真q真C．p假q真D．p真q假【解答】解：若“（¬p）∨q”是假命题，则¬p是假命题，q是假命题，即p是真命题，q是假命题，故选：D．4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=，即p=，所以：=，所以准线方程y=﹣．故选：D．5．（5分）已知点（m，n）在椭圆=1上，则m的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．（﹣3，3）C．D．【解答】解：∵（m，n）在椭圆=1上，∴，则﹣3≤m≤3．故选：A．6．（5分）过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【解答】解：过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（x+1）﹣2（y﹣3）=0，即x﹣2y+7=0，故选：A．7．（5分）某客运公司为了了解客车的耗油情况，现采用系统抽样方法按1：10的比例抽取一个样本进行检测，将所有200辆客车依次编号为1，2， (200)则其中抽取的4辆客车的编号可能是（）A．3，23，63，102 B．31，61，87，127C．103，133，153，193 D．57，68，98，108【解答】解：用系统抽样抽出的4辆客车的号码从小到大成等差数列，对照四个选项知，只须选项C中的四个数：103，133，163，193成等差数列中的部分项，故选：C．8．（5分）命题p：0＜x＜1，命题q：x2＜2x，命题p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【解答】解：对于命题q：不等式x2﹣2x＜0成立，解得：0＜x＜2，而命题p，0＜x＜1；则命题p是命题q的充分不必要条件．故选：A．9．（5分）如图，是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间[150，170）内的学生人数为（）A．16 B．20 C．22 D．26【解答】解：根据频率分布直方图得，身高在区间[150，170）内的频率为：（0.01+0.03）×10=0.4，所求学生的人数为：50×0.4=20．故选：B．10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵n=1，s=0，由于s=0＞60为否，∴s=s+4n，所以s=4，n=2；又∵n=2，s=4，由于s=4＞60为否，∴s=s+4n，所以s=12，n=3；又∵n=3，s=12，由于s=12＞60为否，∴s=s+4n，所以s=24，n=4；又∵n=4，s=24，由于s=24＞60为否，∴s=s+4n，所以s=40，n=5；又∵n=5，s=40，由于s=40＞60为否，∴s=s+4n，所以s=60，n=6；又∵n=6，s=60，由于s=60＞60为否，∴s=s+4n，所以s=84，n=7；又∵n=7，s=84，由于s=84＞60为是，∴输出n，此时n=7．故选：C．11．（5分）如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为（）A．24πcm2，12πcm3B．15πcm2，12πcm3C．24πcm2，36πcm3D．以上都不正确【解答】解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5=π•r2=9π则圆锥的底面积S底面侧面积S=π•r•l=15π侧面故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2，又由圆锥的高h==4故V=•S•h=12πcm3底面故选：A．12．（5分）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：由双曲线得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，∴，解得p=8．∴抛物线的方程为y2=16x．其准线方程为x=﹣4，∴K（﹣4，0）．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．∴|AK|=|AM|．∴∠MAK=45°．∴|KF|=|AF|．∴=32．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点（1，2）到直线y=2x+1的距离为．【解答】解：直线y=2x+1可整理为2x﹣y+1=0，故由点到直线的距离公式d==．故答案为．14．（5分）长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为50π．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．=4π×R2=50π．∴S球故答案为：50π．15．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点，且渐近线方程为y=x，则双曲线方程为x2﹣=1．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线焦点坐标为F（1，0），因此双曲线中a=1又∵双曲线﹣=1渐近线方程为y=x，∴=，可得b==由此可得双曲线方程为x2﹣=1故答案为：x2﹣=116．（5分）将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，则直线ax+by=0与圆（x﹣2）2+y2=2无公共点的概率为．【解答】解：将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，基本事件总数是36种，∵直线ax+by=0与圆（x﹣2）2+y2=2无公共点，则有＞⇒a＞b，∴满足该条件的基本事件有15种，故所求概率为P==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，m∈R．（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0可化为（x﹣1）2+（y ﹣2）2=﹣m+5∵方程C表示圆时，∴﹣m+5＞0，解得m＜5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心C（1，2），半径为，∵圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，∴，∴m=1．18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y=bx +a ；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型， 设抽到相邻两个月的数据为事件A ，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C 62=15种情况， 每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种， ∴P （A ）==； （Ⅱ）由数据求得=11，=24，由公式求得===，再由=﹣b ，求得=﹣，∴y 关于x的线性回归方程为=x ﹣，（Ⅲ）当x=10时，=，|﹣22|=＜2，当x=6时，=，|﹣12|=＜2，∴该小组所得线性回归方程是理想的．19．（12分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：（Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20． …（2分）设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A ，…（3分） 则，…（5分）． …（6分）所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是．（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为a i （i=1，2），教龄在5至10年的教师为b i（j=1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15个．…（9分）设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件B，…（10分）包括的基本事件为（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4）共8个，…（11分）则．…（13分）所以恰有一人教龄在5年以下的概率是．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．（Ⅰ）求证：BF∥面PDE；（Ⅱ）求证：面PDE⊥面PAB．【解答】证明：画出图象，如图示：（Ⅰ）取PD的中点G，连结FG，GE，∵F，G是中点，∴FG∥CD且FG=CD，∴FG与BE平行且相等，∴BF∥GE，∵GE⊂面PDE∴BF∥面PDE．（Ⅱ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°∴△ABD为正三角形E是AB的中点，DE⊥AB，∵PA⊥面ABCD，DE⊂面ABCD∴DE⊥AP，∵AB∩AP=A∴DE⊥面PAB∵DE⊂面PDE∴面PDE⊥面PAB．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A为椭圆C的右顶点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：，解得：，故椭圆的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，△MNA为等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，M，N不与左、右顶点重合，解得，此时，直线MN过点；当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，由方程组，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，．由已知AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），∴，，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得m=﹣2k或，均满足△=4k2﹣m2+1＞0成立．当m=﹣2k时，直线l的方程y=kx﹣2k过顶点（2，0），与题意矛盾舍去．当时，直线l的方程，过定点，故直线过定点，且定点是．22．（12分）已知函数r（x）=alnx，s（x）=b（x﹣），a，b为实数且a≠0．（1）设函数f（x）=r（x）+s（x）．当a=﹣2时，f（x）在其定义域内为单调增函数，求b的取值范围；（2）设函数g（x）=r（x）﹣s（x）+x．当b=1时，在区间（0，e]（其中e为自然对数的底数）上是否存在实数x0，使得g（x0）＜0成立，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1），定义域为（0，+∞）．∵，要使f（x）为单调递增函数，须f'（x）≥0恒成立，即bx2﹣2x+b≥0恒成立，即恒成立，又，∴b≥1，∴f（x）定义域（0，+∞）为单调递增函数时，b的取值范围是[1，+∞）；（2）b=1时，，且a ≠0，令g'（x）=0，得到，若在区间（0，e]上存在一点x0，使得g'（x）＜0成立，即g（x）在区间（0，e]上的最小值小于0．①当，即a＜0时，g'（x）＜0恒成立，即g（x）在区间（0，e]上单调递减，故g（x）在区间（0，e]上的最小值为，由，得即．②当，即a＞0时，（i）若，则g'（x）≤0对x∈（0，e）成立，∴g（x）在区间（0，e]上单调递减，则g（x）在区间（0，e]上的最小值为，显然g（x）在区间（0，e]上的最小值小于0不成立．（ii）若，即时，则有：∴g（x）在区间（0，e]上的最小值为．由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．综上①②可知，当时，在区间（0，e]上存在实数x0，使得g（x0）＜0成立．。

2016-2017年河北省衡水市武邑中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)

2016-2017年河北省衡水市武邑中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)

2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件2．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q 3．（5分）如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．a＞3或﹣6＜a＜﹣24．（5分）若存在x0∈R，使ax02+2x0+a＜0，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．﹣1＜a＜1 D．﹣1＜a≤15．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，那么此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．36．（5分）曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（）A．1 B．45°C．﹣45°D．135°7．（5分）已知点F1（﹣4，0）、F2（4，0），曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为（）A．﹣=1（y≥3） B．=1C．﹣=1（x≥3） D．﹣=18．（5分）点P为椭圆+=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为（）A．（±，1）B．（，±1）C．（，1）D．（±，±1）9．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣210．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．211．（5分）已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．+=4 B．+=2C．e12+e22=4 D．e12+e22=212．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是．14．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为．15．（5分）曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．16．（5分）①若椭圆+=1的左右焦点分别为F 1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞10，则动点P不一定在该椭圆外部；②椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则b=c（c为半焦距）；③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为1．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x 满足2＜x≤3．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．20．（12分）已知椭圆+=1及直线l：y=x+m，（1）当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．21．（12分）已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=﹣2e时，求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（x）+在[1，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件【解答】解：由＜1，得x＜0或x＞1，即q：x＜0或x＞1，∴¬q：0≤x≤1．∴p是¬q成立必要不充分条件．故选：B．2．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选：A．3．（5分）如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．a＞3或﹣6＜a＜﹣2【解答】解：由题意，∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴a2＞a+6＞0，解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2∴实数a的取值范围是a＞3或﹣6＜a＜﹣2故选：D．4．（5分）若存在x0∈R，使ax02+2x0+a＜0，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．﹣1＜a＜1 D．﹣1＜a≤1【解答】解：命题：存在x0∈R，使ax02+2x0+a＜0的否定为：对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立，下面先求对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立时a的范围：①当a=0时，该不等式可化为2x≥0，即x≥0，显然不合题意；②当a≠0时，则有，解得a≥1，综①②得a的范围为：a≥1，所以，存在x0∈R，使ax02+2x0+a＜0的a的取值范围为：a＜1．故选：A．5．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，那么此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．3【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，由两条渐近线互相垂直，可得﹣•=﹣1，可得a=b，即有c==a，可得离心率e==．故选：A．6．（5分）曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（）A．1 B．45°C．﹣45°D．135°【解答】解：∵∴y'=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲线在点（1，）处切线的斜率为：﹣1故曲线在点（1，）处切线的倾斜角为：135°故选：D．7．（5分）已知点F1（﹣4，0）、F2（4，0），曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为（）A．﹣=1（y≥3） B．=1C．﹣=1（x≥3） D．﹣=1【解答】解：∵点F1（﹣4，0）、F2（4，0），曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，∴动点P的轨迹是以F1（﹣4，0）、F2（4，0）为焦点，实轴长为6和双曲线的右支，∴（x≥3）．故选：C．8．（5分）点P为椭圆+=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为（）A．（±，1）B．（，±1）C．（，1）D．（±，±1）【解答】解：设P（x0，y0），∵点P是椭圆+=1上的一点，∴+=1，∵a2=5，b2=4，∴c=1，∴=|F 1F2|•|y0|=|y0|=1，∴y0=±1，∵+=1，∴x0=±．故选：D．9．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．故选：B．10．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选：C．11．（5分）已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．+=4 B．+=2C．e12+e22=4 D．e12+e22=2【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，则e1=，e2=，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，|PF1|﹣|PF2|=2m ①由椭圆的定义得，|PF1|+|PF2|=2a ②又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①2+②2得，|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2 ④将④代入③得，a2+m2=2c2，即，即，故选：B．12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为：+=1故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，）．【解答】解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2=y，p=∴焦点坐标为（0，）．当a＜0时，同样可得．故答案为：（0，）．14．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为．【解答】解：∵椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，∴，解得a2=4，b2=2，c2=2，∴椭圆C的方程为：．故答案为：．15．（5分）曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．【解答】解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f'（1）=2在点（1，）处的切线为：y=2x﹣与坐标轴的交点为：（0，），（，0）S=，故答案为：．16．（5分）①若椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞10，则动点P不一定在该椭圆外部；②椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则b=c（c为半焦距）；③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为1．其中真命题的序号为②③④．【解答】解：①若椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞10，则动点P一定在该椭圆外部，故错误；②椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则b=c=a（c为半焦距），正确；③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点（，0），正确；④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为=1，正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解答】解：由题意，设抛物线方程为y2=2px（p≠0），焦点F（），直线l：x=，∴A、B两点坐标为（），（），∴AB=2|p|．∵△OAB的面积为4，∴•||•2|p|=4，∴p=±2．∴抛物线的标准方程为y2=±4x．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x 满足2＜x≤3．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于命题p：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由已知q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是2＜x＜3．（Ⅱ）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|￢q}={x≤2或x＞3}，则0＜a≤2且3a＞3，∴实数a的取值范围是1＜a≤2．19．（12分）已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f'（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（﹣1）=3﹣2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）∵由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g'（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g'（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g'（x）＞0，∴x=﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．20．（12分）已知椭圆+=1及直线l：y=x+m，（1）当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．【解答】解：（1）将直线方程代入椭圆方程：，消去y，整理得：9x2+6mx+2m2﹣18=0，由△=36m2﹣36（2m2﹣18）=﹣36（m2﹣18），∵直线l与椭圆有公共点，∴△≥0，即﹣36（m2﹣18）≥0解得：﹣3≤m≤3，故所求实数m的取值范围为[﹣3，3]；（2）设直线l与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）可知：利用韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，故丨AB丨=•=•=•，当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为．21．（12分）已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为．设椭圆的标准方程是．则2a=AC+BC，即，所以a=2．所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2．所以椭圆的标准方程是．（2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．由得（1+2k2）x2+8kx+4=0．因为M，N在椭圆上，所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0．设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．则，若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，所以，，即，得k2=2，经验证，此时△=48＞0．所以直线l的方程为，或．即所求直线存在，其方程为．22．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=﹣2e时，求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（x）+在[1，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=﹣2e时，f′（x）=2x﹣=，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：）∴f（x）的单调递减区间是（0，）；单调递增区间是（，+∞），∴极小值是f（）=0，无极大值；（2）g（x）=x2+alnx+，x＞0，g′（x）=2x+﹣，∵函数g（x）在[1，2]上是单调增函数，∴g′（x）≥0在[1，2]恒成立，即a≥﹣2x2在[1，2]恒成立，令h（x）=﹣2x2，h′（x）=﹣﹣4x＜0在[1，2]恒成立，∴h（x）在[1，2]单调递减，∴h（x）max=h（1）=0，∴a≥0．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2016-2017学年河北省衡水中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)

2016-2017学年河北省衡水中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)

2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2B．1=2，s1＜s2C．1=2，s1=s2D．1＜2，s1＞s2 3．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？4．（5分）设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．8．（5分）a，b∈R，命题P：a＞；命题q：直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（）A．B．C．D．110．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（）A．1：4 B．1：5 C．1：7 D．1：611．（5分）椭圆x2+=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（）A．B． C． D．12．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若“m＞a”是“函数f（x）=（）x+m﹣的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为．14．（5分）在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率是．15．（5分）设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为．16．（5分）设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．18．（12分）已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l 的直线方程．19．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．20．（12分）如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M （4，m）满足|MF|=4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得•=0成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．22．（12分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．（1）求p的值；（2）试判断圆C与x轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：log2（2x﹣3）＜1，化为0＜2x﹣3＜2，解得．4x＞8，即22x＞23，解得x．∴“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2B．1=2，s1＜s2C．1=2，s1=s2D．1＜2，s1＞s2【解答】解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，2s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s1＜s2故选：B．3．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故选：A．4．（5分）设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P【解答】解：∵P∩Q=P，∴P⊆Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选：B．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选：D．6．（5分）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若φ（a，b）=﹣a﹣b=0，则=（a+b），两边平方解得ab=0，故a，b至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|﹣b=0，故b≥0，即a与b互补；若a与b互补时，易得ab=0，故a，b至少有一为0，若a=0，b≥0，此时﹣a﹣b=﹣b=0，同理若b=0，a≥0，此时﹣a﹣b=﹣a=0，即φ（a，b）=0，故φ（a，b）=0是a与b互补的充要条件．故选：C．7．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．8．（5分）a，b∈R，命题P：a＞；命题q：直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p，a＞等价于，命题q，直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交，圆心到直线的距离小于1，等价于即a2＞b2﹣1，显然由命题p可得命题q，反之不真；∴p 是q充分不必要条件，故选：A．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，∴，解得a=2，b=，∴椭圆方程为，∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，y1+y2=2，又，两式相减，得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴﹣（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴直线l的斜率k==．故选：C．10．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（）A．1：4 B．1：5 C．1：7 D．1：6【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|=|BN|=x2+1=，∴x2=，把x2=代入抛物线y2=4x，得，y2=﹣，∴直线AB过点M（2，0）与（，﹣）方程为y=（x﹣2），代入抛物线方程，解得，x1=8，∴|AE|=8+1=9，∵在△AEC中，BN∥AE，∴===，故选：D．11．（5分）椭圆x2+=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（）A．B． C． D．【解答】解：如图所示，B是右顶点线段FB的垂直平分线为：x=．线段AB的中点（，）．∵k AB=﹣b．∴线段AB的垂直平分线的斜率k=．∴线段AB的垂直平分线方程为：y﹣=（x﹣），把x==p代入上述方程可得：y==n．∵m+n＞0，∴+＞0．化为：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e==c=∈（0，）．B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，结论同样成立，故选：A．12．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A ．2B ．3C ．D ．【解答】解：设直线AB 的方程为：x=ty +m ，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 直线AB 与x 轴的交点为M （m ，0）， 由⇒y 2﹣ty ﹣m=0，根据韦达定理有y 1•y 2=﹣m ， ∵•=2，∴x 1•x 2+y 1•y 2=2， 结合及，得，∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1•y 2=﹣2，故m=2． 不妨令点A 在x 轴上方，则y 1＞0，又，∴S △ABO +S △AFO ═×2×（y 1﹣y 2）+×y 1，=．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3， 故选：B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若“m ＞a”是“函数f （x ）=（）x +m ﹣的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为 ﹣1 ． 【解答】解：∵，函数y=g （x ）的图象不过第三象限，∴，即．则“m＞a”是“”的必要不充分条件，∴，则实数a能取的最大整数为﹣1．故答案为：﹣114．（5分）在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率是．【解答】解：如图，当两数之和小于时，对应点落在阴影上，==，∵S阴影故在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率P=1﹣=．故答案为：．15．（5分）设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为15．【解答】解：由题意F2（3，0），|MF2|=5，由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|=10+|PM|﹣|PF2|≤10+|MF2|=15，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，故答案为：15．16．（5分）设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，则的最小值为﹣4p2．【解答】解：设A（x A，y A），B（x B，y B）．则+=（x A+x B，y A+y B），=﹣=（x B﹣x A，y B﹣y A），=4（x A•x B+y A•y B），若直线AB斜率存在，设为y=k（x﹣a），则，整理得：k2x2﹣2（ak2+p）x+k2a2=0，x A•x B=a2，y A•y B=k2（x A﹣a）（x B﹣a）=﹣2ap，=4（x A•x B+y A•y B）=4（a2﹣2ap）=4[（a﹣p）2﹣p2]≥﹣4p2，．若直线不存在，当x A=x B=a，y A=﹣y B=时，上式也成立．故所求最小值为﹣4p2．当且仅当直线AB过点（p，0）时等号成立，故答案为：﹣4p2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，则￢p是￢q的充分不必要条件．（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，若￢r是￢p的必要非充分条件，则p是r的必要非充分条件，即a≥2或a+1≤，即a≥2或a≤﹣，即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．18．（12分）已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l 的直线方程．【解答】解：（1）由题意可知：c=，a=2，∴b2=a2﹣c2=1．∵焦点在x轴上，∴椭圆C的方程为：．（2）设直线l的方程为y=x+b，由，可得x2+2bx+2b2﹣2=0，∵l与椭圆C交于A、B两点，∴△=4b2﹣4（2b2﹣2）≥0，即b2≤2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣2．∴弦长|AB|==，∵0≤b2≤2，∴|AB|=≤，∴当b=0，即l的直线方程为y=x时，弦长|AB|的最大值为．19．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．20．（12分）如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M （4，m）满足|MF|=4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．【解答】解：（1）抛物线C的准线方程为，∴|MF|=m+=4，由M（4，m）在椭圆上，∴16=2pm，∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，∴抛物线C的标准方程为x2=8y…（4分）（2）设EA：x=ky﹣1，联立，消去x得：k2y2﹣（2k+8）y+1=0，∵EA与C相切，∴△=（2k+8）2﹣4k2=0，解得k=﹣2，∴，求得，…（7分）设EB：x=ty﹣1，联立，消去x得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，∵EB与圆F相切，∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，即，∴，求得，…（10分）∴直线AB的斜率，可得直线AB的方程为，经过焦点F（0，2）…（12分）21．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得•=0成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1，解得c=1，a=2．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）存在直线l，使得•=0成立．理由如下：由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若•=0，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，得，即，化简得，7m2=12+12k2，将代入3+4k2＞m2中，得，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，即或．∴实数m的取值范围是：（﹣∞，]∪[，+∞）．22．（12分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．（1）求p的值；（2）试判断圆C与x轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）利用抛物线的定义得，故线段FA的中点的坐标为，代入方程y2=2px，得，解得p=1；（2）由（1）得抛物线的方程为y2=2x，从而抛物线的准线方程为，由，得方程，由直线与抛物线相切，得，且，从而，即，由，解得，∴PQ的中点C的坐标为．圆心C到x轴距离，，∵=∵k≠0，∴当时，，圆C与x轴相切，当时，，圆C与x轴相交；（3）方法一、假设平面内存在定点M满足条件，由抛物线对称性知点M在x 轴上，设点M坐标为M（x1，0），由（2）知，，，∴．由得，．∴，即或．∴平面上存在定点，使得圆C恒过点M．证法二、由（2）知，，PQ的中点C的坐标为.．∴圆C的方程为．整理得．上式对任意k≠0均成立，当且仅当，解得．∴平面上存在定点，使得圆C恒过点M．。

河北省衡水中学高二(上)期中数学(文)试卷

河北省衡水中学高二(上)期中数学(文)试卷

2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2B．1=2，s1＜s2C．1=2，s1=s2D．1＜2，s1＞s23．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？4．设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．8．a，b∈R，命题P：a＞；命题q：直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交，则p 是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l 的斜率为（）A．B．C．D．110．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（）A．1：4 B．1：5 C．1：7 D．1：611．椭圆x2+=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B 在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（）A．B．C．D．12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若“m＞a”是“函数f（x）=（）x+m﹣的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为．14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率是．15．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为．16．设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．18．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．19．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2（a﹣p）2﹣p2（a﹣p）2﹣p250，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在90，100）之间的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（Ⅰ）先由频率分布直方图求出50，60）的人数即可求得本次考试的总人数；（Ⅱ）根据茎叶图的数据，利用（Ⅰ）中的总人数减去50，80）内的人数，从而可计算频率分布直方图中50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在90，100）之间的概率是．20．如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由椭圆的定义可知：|MF|=m+=4，及16=2pm，联立即可求得p的值，求得抛物线C的标准方程；（2）由题意设直线EA：x=ky﹣1，代入抛物线方程，根据△=0，求得斜率k，求得A 点坐标，同理求得B点坐标，求得直线AB的方程，即可求得直线AB是否经过焦点FF （0，2）．【解答】解：（1）抛物线C的准线方程为，∴|MF|=m+=4，由M（4，m）在椭圆上，∴16=2pm，∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，∴抛物线C的标准方程为x2=8y…（2）设EA：x=ky﹣1，联立，消去x得：k2y2﹣（2k+8）y+1=0，∵EA与C相切，∴△=（2k+8）2﹣4k2=0，解得k=﹣2，∴，求得，…设EB：x=ty﹣1，联立，消去x得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，∵EB与圆F相切，∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，即，∴，求得，…∴直线AB的斜率，可得直线AB的方程为，经过焦点F（0，2）…21．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得•=0成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意设出椭圆的标准方程，并得到a，c的关系，联立求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系及判别式求得满足•=0成立的直线l：y=kx+m存在．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1，解得c=1，a=2．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）存在直线l，使得•=0成立．理由如下：由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若•=0，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，得，即，化简得，7m2=12+12k2，将代入3+4k2＞m2中，得，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，即或．∴实数m的取值范围是：（﹣∞，，+∞）．22．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．（1）求p的值；（2）试判断圆C与x轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由中点坐标公式求得FA的中点，由中点在抛物线上求得pD的值；（2）联立直线方程和抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q 的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系；（3）法一、假设平面内存在定点M满足条件，设出M的坐标，结合（2）中求得的P，Q的坐标，求出向量的坐标，由恒成立求解点M的坐标．法二、由（2）中求出的P，Q的坐标求出PQ的中点坐标，得到以PQ为直径的圆的方程，利用方程对于任意实数k恒成立，系数为0列式求解x，y的值，从而得到顶点M 的坐标．【解答】解：（1）利用抛物线的定义得，故线段FA的中点的坐标为，代入方程y2=2px，得，解得p=1；（2）由（1）得抛物线的方程为y2=2x，从而抛物线的准线方程为，由，得方程，由直线与抛物线相切，得，且，从而，即，由，解得，∴PQ的中点C的坐标为．圆心C到x轴距离，，∵=∵k≠0，∴当时，，圆C与x轴相切，当时，，圆C与x轴相交；（3）方法一、假设平面内存在定点M满足条件，由抛物线对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M（x1，0），由（2）知，，，∴．由得，．∴，即或．∴平面上存在定点，使得圆C恒过点M．证法二、由（2）知，，PQ的中点C的坐标为.．∴圆C的方程为．整理得．上式对任意k≠0均成立，当且仅当，解得．∴平面上存在定点，使得圆C恒过点M．2017年1月30日。

2017学年河北省衡水市重点中学高二上学期四调考试文科数学试题及答案

2017学年河北省衡水市重点中学高二上学期四调考试文科数学试题及答案

2017学年度上学期高二年级四调考试文科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离定于6，那么点P 到另一焦点2F 的距离是（ ）A ．4B ．6C ．14D ．16 2、函数1()2x x y e e -=+的导数是（ ）A ．1()2x x e e -- B ．1()2x x e e -+ C ．x x e e -- D ．x x e e -+3、命题“存在实数x ，使1x >”的否定是（ ）A ．对任意实数x ，使1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x ，使1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤ 4、若双曲线22221x y a b -=的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A ．2y x =± B ．y = C ．12y x =± D ．y x = 5、若抛物线22y px =上一点0(2,)P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）A ．24y x =B ．26y x =C ．28y x =D ．210y x =6、椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦7、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，过期左焦点F作x轴的垂线交双曲线于,M N 两点，且0MA NA ⋅>，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．()2,+∞B ．()1,2C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭8、已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点()1,3，则b 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．5D ．-59、设曲线21y x =+上任一点(,)x y 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（ ）11、给出下列命题：①若函数()221f x x =+，图象上点(1,3)P 及邻近点(1,3)Q x y +∆+∆，则42y x x∆=+∆∆；②加速度是动点位移函数()S t 对时间t 的导数； ③1(3)()lim()3h f a h f a f a h→∞+-'=； 其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 11、设抛物线28y x =-的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF PF =( )A ．．．8 D ．16 12函数()()sin 2(),3f x x xf f x π''=+为()f x 的导函数，令31,log 22a b =-=，则下列关系正确的是（ ）A ．()()f a f b >B ．()()f a f b <C ．()()f a f b =D ．()()f a f b <第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

河北省衡水市枣强中学高二数学上学期期中试卷 文(含解析)

河北省衡水市枣强中学高二数学上学期期中试卷 文(含解析)

2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列命题是真命题的有（）①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题．③“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题．A．0个B．1个C．2个D．3个2．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．pVq C．p∧（￢q）D．￢q3．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（）A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xyC．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy4．如图是计算1+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜205．如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，…，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为（）A．2 B．3 C．4 D．56．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是（）A．B．C．D．7．在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m，则方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为（）A．B．C．D．8．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．49．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右两个焦点．若C上存在一点P，使得| |•||=2a2，则C的离心率e的取值范围是（）A．（1，] B．[，+∞）C．（1，] D．[，+∞）10．已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A． B． C． D．11．过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k 的取值范围是（）A．|k|≥1B．|k|＞ C．|k|≤ D．|k|＜112．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的条件．14．已知函数f（x）=ax2﹣bx+1，若a是从区间[0，2]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，则此函数在[1，+∞）上递增的概率为．15．直线y=x+3与曲线=1的公共点个数为．16．若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，（1）p是q的什么条件？（2）求实数a的取值范围．18．公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于2011年4月1日起正式施行．酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q＜80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）．血酒含量（0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）[100，120] 人数194 1 2 1 1 1依据上述材料回答下列问题：（Ⅰ）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；（Ⅱ）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率．（酒后驾车的人用大写字母如A，B，C，D表示，醉酒驾车的人用小写字母如a，b，c，d表示）19．某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．20．没椭圆的左、右焦点分别F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F1F2的周长为16．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线l被椭圆C所截线段的中点坐标．21．已知圆M：（x+1）2+y2=16，定点N（1，0），P是圆M上任意一点，线段PN的垂直平分线l交PM于点Q，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列命题是真命题的有（）①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题．③“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】写出命题的逆命题并判断真假判断①；写出命题的否命题并判断真假判断②；由原命题是真命题可得其逆否命题为真命题判断③．【解答】解：①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题是，“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题是，“若两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不等”，是假命题；③当k＞0时，4+4k＞0，方程x2+2x﹣k=0有实根，∴“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”为真命题，其逆否命题为真命题．∴真命题有两个，故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的逆命题、否命题和逆否命题，是基础题．2．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．pVq C．p∧（￢q）D．￢q【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；阅读型．【分析】求出函数y=log2（x2﹣2x）的定义域，找出定义域内的内层函数t=x2﹣2x的增区间，结合外层函数y=log2t的单调性求出函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间，从而判断出命题p的真假，利用指数函数的值域求出函数y=的值域，判断出命题q的真假，最后结合复合命题的真假判断得到正确的结论．【解答】解：令t=x2﹣2x，则函数y=log2（x2﹣2x）化为y=log2t，由x2﹣2x＞0，得：x＜0或x＞2，所以，函数y=log2（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．函数t=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1，所以，函数t=x2﹣2x在定义域内的增区间为（2，+∞）．又因为函数为y=log2t是增函数，所以，复合函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是（2，+∞）．所以，命题p为假命题；再由3x＞0，得3x+1＞1，所以，所以，函数y=的值域为（0，1），故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，pVq为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢q为假命题．故选B．【点评】本题考查了复合命题真假的判断，考查了复合函数单调性的求解方法，复合函数的单调性满足“同增异减”，命题p中的函数是对数型的函数，求解时一定要注意定义域，这是该题易出错的地方，此题是中档题．3．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（）A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xyC．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy【考点】全称命题．【专题】证明题．【分析】由于对于任意实数x，不等式x2+y2≥2xy都成立，根据全称命题的定义改写即可．【解答】解：由于对于任意实数x，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为：“∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy”．故选A．【点评】理解全称命题的定义及形式是解决问题的关键．4．如图是计算1+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据已知中程序的功能是求S=1+++…+的值，由累加项分母的初值和终值可以判断循环次数，进而得到条件【解答】解：由于程序的功能是求S=1+++…+的值，分母n的初值为1，终值为39，步长为2，故程序共执行20次故循环变量i的值不大于20时，应不满足条件，继续执行循环，大于20时，应满足条件，退出循环故判断框内应填的是i＞20故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，利用当型循环结构进行累加运算时，如果每次累加的值为循环变量值时，一般条件为循环条件小于等于终值5．如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，…，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】系统抽样方法．【专题】计算题．【分析】系统抽样的特点是等间隔，在每段取的数构成等差数列，其中已知 a59=293，求得公差为=5，根据等差数列的通项公式求得a1的值，即为所求．【解答】解：根据系统抽样的定义和方法可得，抽取的学生号成等差数列{a n}，其中已知a59=293，求得公差为=5，求a1的值．由a1+（59﹣1）×5=293，解得a1=3，故在第1段抽到的数为3，故选B．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，等差数列的通项公式，判断抽取的学生号成等差数列，是解题的关键，属于基础题．6．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子点数分别为x、y得到复数x+yi的数是36，满足条件的事件是复数x+yi的实部大于虚部，可以列举出共有15种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子点数分别为x、y得到复数x+yi 的数是36，满足条件的事件是复数x+yi的实部大于虚部，当实部是2时，虚部是1；当实部是3时，虚部是1，2；当实部是4时，虚部是1，2，3；当实部是5时，虚部是1，2，3，4；当实部是6时，虚部是1，2，3，4，5；共有15种结果，∴实部大于虚部的概率是： =，故选B．【点评】本题考查古典概型，是一个基础题，解题的关键是正确列举出实部大于虚部的事件数，本题可以作为一个选择或填空出现．7．在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m，则方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则4﹣m＞m＞0，可得区间长度，求出在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m的区间长度，即可得出结论．【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则4﹣m＞m＞0，∴0＜m＜2，∴区间的长度为2，∵在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m，区间长度为6，∴方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为=．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是较基础题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．8．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；待定系数法．【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选 A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值．9．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右两个焦点．若C上存在一点P，使得| |•||=2a2，则C的离心率e的取值范围是（）A．（1，] B．[，+∞）C．（1，] D．[，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的性质，得到双曲线上点到焦点的距离大于等于a+c，或c﹣a，建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：∵||•||≥（a+c）（c﹣a）=c2﹣a2，∴若C上存在一点P，使得||•||=2a2，则2a2≥c2﹣a2，即c2≤3a2，即e2≤3，则e，∵e＞1，∴1＜e，故选：C【点评】本题主要考查双曲线离心率的求解，根据双曲线上的点，到焦点的距离的取值范围是解决本题的关键．10．已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．【解答】解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小，∵F（1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．11．过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k 的取值范围是（）A．|k|≥1B．|k|＞ C．|k|≤ D．|k|＜1【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，设直线AB的方程为y=k（x﹣4），与双曲线消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系与根的判别式建立关于k的不等式组，解之即可得到k的取值范围．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣4），由消去y，得（3﹣k2）x2+8k2x﹣16k2﹣12=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线AB与抛物线的右支有两个不同的交点，∴，化简此不等式组可得k2＞3，即|k|＞．故选：B【点评】本题已知经过定点的直线与双曲线右支交于不同的两点，求直线斜率的取值范围．着重考查了双曲线的简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．12．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选D【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的充分不必要条件．【考点】充要条件．【专题】阅读型．【分析】先求出条件q满足的条件，然后求出¬p，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题¬p的关系．【解答】解：条件q：，即x＜0或x＞1￢p：x＞1∴￢p⇒q为真且q⇒￢p为假命题，即¬p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．已知函数f（x）=ax2﹣bx+1，若a是从区间[0，2]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，则此函数在[1，+∞）上递增的概率为．【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；数形结合．【分析】a、b是从区间[0，2]上任取的数，故有无穷多种取法，在平面坐标系内作出a、b 对应的区域为一正方形．函数f（x）=ax2﹣bx+1在[1，+∞）上递增，由二次函数的单调性可得到a和b的关系，作出在平面坐标系内对应的区域，由几何概型面积之比求概率即可．【解答】解：函数f（x）在[1，+∞）上递增，由二次函数的单调性可知﹣≤1，即2a≥b．由题意得，画出图示得阴影部分面积．∴概率为P==．故答案为：【点评】本题考查几何概型的求法、二元一次不等式组表示的平面区域，考查数形集合思想解题．15．直线y=x+3与曲线=1的公共点个数为 3 ．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】作图题．【分析】分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线=1为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线=1为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=x+3与曲线=1的图象，就可找到交点个数．【解答】解：当x≥0时，曲线=1的方程为当x＜0时，曲线=1的方程为，∴曲线=1的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=x+3的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．故答案为3【点评】本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．16．若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣} ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】曲线表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围．【解答】解：曲线即 x2+y2=1 （x≥0），表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），如图：当直线经过点A（0，﹣1）时，求得b=﹣1；当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得b=（舍去），或 b=﹣，数形结合可得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣}，故答案为：（﹣1，1]∪{﹣}．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，（1）p是q的什么条件？（2）求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】（1）根据命题之间的关系判断即可；（2）分别求出关于p，q成立的x的范围，问题转化为q是p的必要不充分条件，根据集合的包含关系，解不等式组即可求出a的范围．【解答】解：（1）因为￢p是￢q的必要而不充分条件，其逆否命题是：q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件；…（2）∵|4x﹣3|≤1，∴．解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1．因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．∴[，1]⊊[a，a+1]．∴a≤且a+1≥1，得0≤a≤．∴实数a的取值范围是：[0，]．…【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．18．公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于2011年4月1日起正式施行．酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q＜80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）．血酒含量（0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）[100，120] 人数194 1 2 1 1 1依据上述材料回答下列问题：（Ⅰ）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；（Ⅱ）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率．（酒后驾车的人用大写字母如A，B，C，D表示，醉酒驾车的人用小写字母如a，b，c，d表示）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得检查的总数，又由表可得酒后违法驾车的人数与醉酒驾车的人数，由频率的计算公式计算可得答案；（Ⅱ）设酒后驾车的4人分别为A、B、C、D；醉酒驾车的2人分别为a、b，设取到的2人中含有醉酒驾车为事件E，由列举法可得从6人中抽取2人的情况，分析可得取到的2人中含有醉酒驾车的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）检查的总数为200，由表可知，酒后违法驾车的人数为6人，则违法驾车发生的频率为；酒后违法驾车中有2人是醉酒驾车，则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为．（Ⅱ）设酒后驾车的4人分别为A、B、C、D；醉酒驾车的2人分别为a、b，则从违法驾车的6人中，任意抽取2人的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）；共有15个．设取到的2人中含有醉酒驾车为事件E，则事件E含有9个结果：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）．则．【点评】本题考查古典概型的计算，解题时注意区分频率与概率两个概念，其次要正确运用列举法．19．某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】（I）由题意得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的概率．（Ⅱ）平均数为每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．（Ⅲ）由题意，根据直方图计算出[80，90）分数段的人数为15人；[90，100]分数段的人数为3人；由分层抽样得在[80，90）与[90，100]分数段抽取人数分别为5人，1人．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．再利用古典概型计算出事件发生的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．（Ⅱ）平均分为：．（Ⅲ）由题意，[80，90）分数段的人数为：0.25×60=15人；[90，100]分数段的人数为：0.05×60=3人；∵用分层抽样的方法在80（分）以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100]分数段抽取1人，记为M．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9”为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种．事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种．∴恰有1人的分数不低于9的概率为．【点评】解决此类问题的关键是熟悉频率分布直方图并且利用直方图计算平均数、众数、中位数；熟练的利用分层抽样抽取样本．20．没椭圆的左、右焦点分别F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F1F2的周长为16．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线l被椭圆C所截线段的中点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的标准方程及其参数a、b、c的关系即可得出；（Ⅱ）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系就线段的中点坐标公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由题意得，解得，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线l的方程为，与椭圆的方程联立，消去y得到x2﹣3x﹣8=0，∵x1+x2=3，∴线段AB的中点的横坐标为．∴线段AB的中点的纵坐标为=．∴线段AB的中点的坐标为．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、线段的中点坐标公式是解题的关键．21．已知圆M：（x+1）2+y2=16，定点N（1，0），P是圆M上任意一点，线段PN的垂直平分线l交PM于点Q，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过中垂线的性质、圆M的方程可得动点Q满足QM+QN=4，进而可得结论；（2）联立直线l与椭圆方程，利用•=0，结合韦达定理计算即得结论．【解答】（1）解：∵圆M方程为：（x+1）2+y2=16，∴点M（﹣1，0），半径R=4，∵线段PN的中垂线与线段PM相交于点Q，∴QN=QP，∴QM+QN=QM+QP=PM，∵点P是圆M上的动点，∴PM长为圆M的半径4，∴动点Q满足QM+QN=4，即点Q的轨迹C是以M、N为焦点，2a=4的椭圆，∴a2=4，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴曲线C的方程为：；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），易知椭圆C的右顶点为D（2，0），联立，消去y整理得：（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，且△=3+4k2﹣m2，而AD⊥BD，即•=0，∴，∴（1+k2）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4=0，整理得：7m2+16mk+4k2=0，解得：m1=﹣2k，m2=﹣，且均满足3+4k2﹣m2＞0，当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；当m2=﹣时，l的方程为，直线过定点；∴直线l过定点，定点坐标为．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）如图，设抛物线的准线为l，过P作PB⊥l于B，过A作AC⊥l于C，由抛物线定义知当且仅当A，P，C三点共线取等号．由题意知|AC|=8，从而求得p值，最后写出抛物线的方程；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣4），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值的范围，从而解决问题．．。

2016-2017学年河北省衡水中学高三(上)第三次调研数学试卷(文科)

2016-2017学年河北省衡水中学高三(上)第三次调研数学试卷(文科)

2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）第三次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|log x4=2}，则A∪B=（）A．{﹣2，1，2}B．{1，2}C．{﹣2，2}D．{2}2．（5分）若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）下列结论正确的是（）A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α4．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．365．（5分）若正实数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y取得最小值时y的值为（）A．1 B．3 C．4 D．56．（5分）若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．77．（5分）阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和B．计算数列{2n﹣1}前5项的和C．计算数列{2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和8．（5分）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．210．（5分）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）12．（5分）如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y （x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）＞，则∈（，）+）2cos cos2α，若关于bf （x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设S n为各项不相等的等差数列{a n}的前n项和，已知a3a5=3a7，S3=9．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，求的最大值．18．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．20．（12分）已知函数f（x）=x+aeπ（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x＜0，a≤1时，证明：x2+（a+1）x＞f'（x）．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC 与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n 的最小值．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）第三次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•江门模拟）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|log x4=2}，则A ∪B=（）A．{﹣2，1，2}B．{1，2}C．{﹣2，2}D．{2}【分析】先将A，B化简，再计算并集，得出正确选项．【解答】解：∵A={x|x2﹣3x+2=0}={x|（x﹣1）（x﹣2）=0}={1，2}B={x|log x4=2}={2}∴A∪B={1，2}故选B．2．（5分）（2015秋•嘉峪关校级期末）若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：满足，∴﹣i•（﹣i），∴z=，∴=i．则z的共轭复数的虚部是．故选：C．3．（5分）（2015•安徽一模）下列结论正确的是（）A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D中选项也可能相交．故选：B．4．（5分）（2016秋•桐城市期末）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．36【分析】利用a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a2•a3=2a1=a1q•=a1•a4，∴a4=2．∵a4与2a7的等差中项为，∴a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1==16．∴S5==31．故选：B．5．（5分）（2016•玉溪三模）若正实数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y取得最小值时y的值为（）A．1 B．3 C．4 D．5【分析】根据条件即可得到，从而，整理之后便可用上基本不等式求出4x+3y的最小值，同时得出取最小值时y的值．【解答】解：∵x，y为正数，且3x+y=5xy；∴；∴==5，当且仅当，即y2=4x2，y=2x=1时取“=”；即4x+3y取得最小值时y的值为1．故选：A．6．（5分）（2016•山东校级一模）若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过A时z最大，得到关于k的不等式，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过A（k，k+3）时，z最大，故2k+k+3=6，解得：k=1，故选：B．7．（5分）（2017•淮南一模）阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和B．计算数列{2n﹣1}前5项的和C．计算数列{2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和【分析】根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和公式，判断程序的功能．【解答】解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；第六次运行，A=2×31+1=63，i=7；满足条件i＞6，终止运行，输出A=63，∴A=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63．故选：C．8．（5分）（2015•衡阳二模）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．9．（5分）（2012秋•武昌区期末）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【分析】由条件求得a＞1，ab=1，由此把要求的式子化为．化简为，令=t＞2，则=（t﹣2）+4+，利用基本不等式求得的最小值为8，可得的最小值．【解答】解：∵已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a＞0，且△=4﹣4ab≤0，∴ab≥1．再由∃x0∈R，使+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1．∴==＞0．∴====．令=t＞2，则==（t﹣2）+4+≥4+4=8，故的最小值为8，故的最小值为=2，故选D．10．（5分）（2017•淮南一模）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（）A．B．C．D．【分析】利用等差数列的通项公式性质可得：=，可得+=+，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；等差数列的前n项和为：S n=．∴==∴+=+=+======故选：A．11．（5分）（2017•惠州模拟）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．12．（5分）（2015•益阳一模）如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】若P在线段AB上，设=λ，则有=，由于=x+y，则有x+y=1，由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，P落在线段MN上，则x+y=2．即可得到取值范围．【解答】解：若P在线段AB上，设=λ，则有==，∴=，由于=x+y（x，y∈R），则x=，y=，故有x+y=1，若P在线段MN上，设=λ，则有=，故x=1，y=0时，最小值为，当x=0，y=1时，最大值为故范围为[]由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，则=x+y=x+y（x，y∈R），则x=，y=，故有x+y=2，当x=2，y=0时有最小值，当x=0，y=2时，有最大值故范围为[]若P在阴影部分内（含边界），则∈．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016秋•桃城区校级月考）若实数a，b∈（0，1），且满足（1﹣a）b＞，则a，b的大小关系是a＜b．【分析】可根据条件，利用不等式的性质即可得到答案．【解答】解：∵a、b∈（0，1），且满足（1﹣a）b＞，∴＞，又≥，∴＞，∴a＜b．故答案为：a＜b．14．（5分）（2016秋•桃城区校级月考）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）+2cos cos2α的值为0．【分析】由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式化简所给的式子，求得结果．【解答】解：∵tanα+=，α∈（，），∴tanα=3，或tanα=（舍去），则sin（2α+）+2cos cos2α=sin2αcos+cos2αsin+•=sin2α+cos2α+=•+•+=•+•+=•+•+=0，故答案为：0．15．（5分）（2016秋•桃城区校级月考）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是2．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱切去一个四棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱切去一个四棱锥所得的组合体，棱柱的体积为：×2×2×2=4，棱锥的体积为：××（1+2）×2×2=2，故组合体的体积V=4﹣2=2，故答案为：216．（5分）（2016•静宁县一模）已知函数f（x）=，若关于x 的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（2，] ．【分析】作函数f（x）的图象，从而可得方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上，从而解得．【解答】解：作函数f（x）的图象如图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016•高安市校级模拟）设S n为各项不相等的等差数列{a n}的前n 项和，已知a3a5=3a7，S3=9．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，求的最大值．【分析】（1）通过设{a n}的公差为d，利用a3a5=3a7与S3=9联立方程组，进而可求出首项和公差，进而可得结论（2）通过（1）裂项、并项相加可知T n=，利用基本不等式即得结论．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，∵a3a5=3a7，S3=9，∴，解得（舍去）或，∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1；（2）∵，∴===，∴，当且仅当，即n=2时“=”成立，即当n=2时，取得最大值．18．（12分）（2015•济宁一模）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，然后求值；（Ⅱ）由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A的范围，然后求三角函数值的范围．【解答】解：（Ⅰ）向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•=sin cos+cos2=sin+cos+=sin（）+，因为f（x）=1，所以sin（）=，所以cos（x+）=1﹣2sin2（）=，（Ⅱ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC 所以2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，所以cosB=，又0＜B＜，所以B=，则A+C=，即A=﹣C，又0＜C＜，则＜A＜，得＜A+＜，所以＜sin（A+）≤1，又f（2A）=sin（A+），所以f（2A）的取值范围（]．19．（12分）（2015•东营二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）由已知，若证得AC⊥BC，则据面面垂直的性质定理即可．转化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易证成立．（Ⅱ）设AC∩BD=N，则面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：NA=1：2．故应有EM：FM=1：2【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120∴∠ACB=90，∴AC⊥BC又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．（Ⅱ）当EM=时，AM∥平面BDF．在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2．∵EM=而EF=AC=，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，∴四边形ANFM是平行四边形．∴AM∥NF．又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF．∴AM∥平面BDF．20．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知函数f（x）=x+aeπ（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x＜0，a≤1时，证明：x2+（a+1）x＞f'（x）．【分析】（1）求出函数的导数，通过a与0的大小讨论，导函数的符号，得到函数的单调性．（2）令F（x）=x2+（a+1）x﹣xf'（x），化简F（x）的表达式，令H（x）=x+a﹣ae x，求出H'（x）=1﹣ae x，判断H（x）在（﹣∞，0）上为增函数，得到H（x）＜H（0）=0，然后证明结果．【解答】解：（1）由f（x）=x+ae x可得f'（x）=1+ae x．当a≥0时，f'（x）＞0，则函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，当a＜0时，f'（x）＞0可得，由f'（x）＜0可得；则函数f（x）在上为增函数，在上为减函数…（4分）（2）证明：令F（x）=x2+（a+1）x﹣xf'（x），则F（x）=x2+（a+1）x﹣xf'（x）=x2+ax﹣axe x=x（x+a﹣ae x），令H（x）=x+a﹣ae x，则H'（x）=1﹣ae x，∵x＜0，∴0＜e x＜1，又a≤1，∴1﹣ae x≥1﹣e x＞0，∴H（x）在（﹣∞，0）上为增函数，则H（x）＜H（0）=0，即x+a﹣ae x＜0，由x＜0可得F（x）=x（x+a﹣ae x）＞0，所以x2+（a+1）x＞xf'（x）…（12分）21．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx （a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x ∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而f′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•商丘三模）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由CP•MD=CB•BM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA又因为∠PBC=∠BAC所以∠BAC=∠BCA所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•沈阳二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y ＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•宁城县模拟）已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t 成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n 的最小值．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．参与本试卷答题和审题的老师有：zwx097；沂蒙松；刘长柏；海燕；wkl197822；刘老师；w3239003；maths；caoqz；changq；szjzl；whgcn；豫汝王世崇；cst；qiss；lcb001；zhczcb（排名不分先后）菁优网2017年2月26日。

【免费】衡水中学高二数学第一学期期中考试试卷(文)+解析

【免费】衡水中学高二数学第一学期期中考试试卷(文)+解析

衡水中学高二数学第一学期期中考试试卷+解析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）．A ．3A =B ．M M =-C ．2B A ==D ．0x y += 【答案】B【解析】根据题意，A ．左侧为数字，故不是赋值语句；B ．赋值语句，把M-的值赋给M ；C ．连等，不是赋值语句；D ．不是赋值语句，是等式，左侧为两个字母的和．故选B ．2．1337与382的最大公约数是（ ）．A ．3B ．382C ．191D ．201 【答案】C【解析】133********=⨯+3821912=⨯．故1337与382的最大公约数为191． 故选C ．3．设x ，y ∈R ，则“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若“1x ≠或1y ≠”，则“1xy ≠”， 其逆否命题为：若1xy =，则1x =且1y =．由1x =且，11y xy =⇒=，反之不成立，例如取2x =，12y =． ∴1xy =是1x =且1y =的必要不充分条件．∴“1x ≠或1y ≠”是“1xy ≠”的必要不充分条件． 故选B ．4．直线:220l x y -+=与坐标轴的交点分别是一个椭圆的焦点和顶点，则此椭圆的离心率为（ ）．A B CD ．25【答案】C【解析】直线220x y -+=与坐标轴的交点为(2,0)-，(0,1)． ∵直线220x y -+=经过椭圆的焦点和顶点，∴2c =，1b a e =⇒==或1c =，2b =，∴a∴e ．故选C ．5．已知椭圆2221(0)2x y a a +=>与(2,1)A ，(4,3)B 为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ）． A．0a <<B．0a <或a >C．a <或a > Da <<【答案】B【解析】根据题意有：A ，B 两点同在椭圆内或椭圆外．∴22140291602a a ⎧+->⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩或22140291602a a ⎧+-<⎪⎪⎨⎪+-<⎪⎩，∴0a <<a >．故选B ．6．(2)101110转化为等值的八进制数是（ ）．A ．46B ．56C ．67D ．78 【答案】B【解析】01235(2)101110021212121246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，46856÷=， 5805÷=．故(10)(8)4656=．因此，本题的正确答案是56． 故选B ．7．向边长分别为5，6M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）．A ．π118-B ．π112-C ．π19-D ．π14- 【答案】A【解析】在ABC △中，设5AB =，6BC =，AC =则4cos 5B ==， 则3sin 5B =，1356925ABC S =⨯⨯⨯=△，分别以A ，B ，C 为圆心，以1为半径作圆， 则这个三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率为21π1π2118ABC ABC S S -⨯⨯=-△△．故选A ．8．（2014北京）当7m =，3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）．A ．7B ．42C ．210D ．840 【答案】C【解析】输入初始条件7m =，3n =，此时7k m ==，1S =，因为7731<-+不成立，所以继续循环：177S S k =⋅=⨯=，1716k k =-=-=，6731<-+不成立．继续循环：7642S S k =⋅=⨯=，1615k k =-=-=，5731<-+不成立，继续循环：425210S S k =⋅=⨯=，1514k k =-=-=，4731<-+成立．则循环结束，此时输出210S =． 故选C ．9．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（ ）． A ．19 B ．29 C ．49 D ．89 【答案】D【解析】2个人离开的方法种数为2981=，2个人在不同层离开的方法数为9872⨯=．则2个人在不同的离开的概率为728819=． 故选D ．10．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机．若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ）．A ．425B ．825C ．2425D ．1625 【答案】C【解析】分别设两个互相独立的短信收到的时间为x ，y ． 则所有事件集可表示为05x ≤≤，05y ≤≤．由题目得，如果手机受到干扰的事件发生，必有||2x y -≤．三个不等式联立，则该事件即为2x y -=和2y x -=在05x ≤≤，05y ≤≤的正方形中围起来的图形，即图中阴影区域而所有事件的集合，即为正方形面积2525=．阴影部分的面积21252(52)162-⨯-=． 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为1625． 故选C ．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b =>>+在左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条直线（不与x 轴垂直）与椭圆交于A ，B 两点，如果1ABF △恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为（ ）．A ．1±B ．2± C． D．【答案】C 【解析】可设12||2F F c =，1||AF m =．若1ABF △构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则1||||AB AF m ==，1||BF =．由椭圆的定义可得1ABF △的周长为4a ．即有42a m =，即2(2m a =，∴1||2(2AF a =，则2||22)AF a m a =-=．在12Rt AF F △中，1212||tan ||AF AF F AF ∠=∴直线AB的斜率为21tan k AF F =±∠=．故选C ．12．下列命题正确的个数是（ ）．①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的否命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y ≠+，则p 是q 的必要不充分条件； ③实数x y >是11x y <成立的充要条件；④若:1p x ≤，1:1q x <，则p ⌝是q 的充分不必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】①原命题的否命题为：在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤，为真命题；②充分性：由2x ≠或3y ≠不能推出5x y ≠+，例如当1x =，4y =；必要性：命题“若5x y ≠+，则2x ≠或3y ≠？”的逆否命题为“若2x =且3y =，则5x y =+？”是真命题，所以p 是q 的必要不充分条件； ③当11x y <，x y >不一定成立，例如当1x =-，1y =时 ④:1p x ⌝>，1:1q x <，故p ⌝是q 的充分不必要条件． 从而正确命题个数为3． 故选D ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计中位数__________．【答案】13【解析】在[15,20]上的矩形面积为10.0450.150.3-⨯-⨯=，故其中位数为13．14．袋里装有5个球，每个球都记有15中的一个号码，设号码为x 的球质量为2(530)x x -+克，这些球以同等的机会（不受质量的影响）从袋里取出．若同时从袋里任意取出两球，则它们质量相等的概率是__________． 【答案】15【解析】设两球的号码分别是m 、n ， 则有22530530m m n n -=-++． 所以5m n =+．而5个球中任意取两球的基本事件总数有54102⨯=（种）． 符合题意的只有两种，即两球的号码分别是1，4及2，3． 所以21105P ==．15．设P ，Q 分别为圆2(6)2x y 2-=+和椭圆221202x y =+上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是__________．【答案】【解析】如图：由圆22(6)2x y -=+，得圆心坐标为(0,6)C设(,)Q x y 是椭圆221202x y =+上的点．∴||QC==∵y，∴23y=-时，Q与圆心C的距离的最大值为∴P，Q两点间的距离的最大值为16．已知x，y∈R且43x yx yy⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥0≥+，则存在θ∈R，使得(4)cos sin0x yθθ-=+的概率为__________．【答案】π124-【解析】∵(4)cos sin0x yθθ-+，∴(4)cos sinx yθθ--=)θβ+（β为参数）．∵存在θ∈R，使得(4)cos sin0x yθθ-=+，．即22(4)2x y-≥+，对应的图象是以(4,0)为圆心，半径r作出不等式组对应的平面区域如图．则由430x y x y =⎧⎨-=⎩+，计算得出13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)A ．则AOB △的面积14362S =⨯⨯=．圆在AOB △内部的面积21ππ244S =⨯⨯=， 则22(4)2x y -≥+，对应的区域面积π64S =-． 则对应的概率π6π41624P -==-．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，点P到两点(0,，的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （1）写出C 方程．（2）若OA OB ⊥，求k 的值．【答案】（1）2214y x +=；（2）12± 【解析】（1）设(,)P x y ，由椭圆定义可以知道，点P 的轨迹C是以(0,，为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴1b =，故曲线C 的方程为2214y x =+．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其坐标满足22141y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=⎩++消去y 并整理得 22(4)230k x kx -=++．故12224k x x k =-++，12234x x k =-+． ∵OA OB ⊥， ∴12120x x y y =+．∵2121212()1y y k x x k x x =+++，∴22121222233210444k k x x y y k k k =---=+++++，化简得2410k -=+，所以12k =±．18．（本题满分12分）某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分． （1）若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率．（2）现从A 组这5名学生堆积抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求||8m n-≤的概率．【答案】（1）35；（2）12【解析】（1）设在B 中成绩看不清的那个人的成绩为x ，则根据题意可得919383759480868877155x ++++-=++++，计算得出88x =．故在B 组5个得分中，得分超过85分的有3个，故得分超过85分的概率为35． （2）现从A 这5名学生中随机抽取2名同学， 设其分数分别为m ，n ，则所有的(,)m n 共有25A 20=个． 其中满足||8m n -≤的有：(94,86)、(94,88)、(86,94)、(88,94)、(86,88)、(88,86)、(86,80)、(80,86)、(80,77)、(77,80)，共10个．故||8m n -≤的概率为101202=．19．（本题满分12分）设命题:p 函数21()lg 16f x ax x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭+的定义域是R ，命题:q 不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立． （1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围．（2）如果“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(2,)+∞；（2）[0,2]【解析】（1）根据题意，若p 是真命题， 则21016ax x a ->+对任意实数都成立． 若0a =，显然不成立． 若0a ≠，计算得出2a >．故如果p 是真命题时，实数a 的取值范围是(2,∞+)． （2）若命题q 为真命题时， 则39x x a -<对一切正实数x 均成立．21139324xx⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭+．∵0x >， ∴31x >， ∴39(,0)x x -∈-∞，所以如果q 是真命题时，0a ≥．又p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，所以命题p 与q 一真一假．∴2aa>⎧⎨<⎩或2aa⎧⎨⎩≤≥，计算得出02a≤≤，综上所述，实数a的取值范围是[0,2]．20．（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率．（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+．（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的．试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？【答案】（1）35；（2）532y x=-；（3）可靠【解析】（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，从5组数据中选取2组数，据共有10种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)． 其中数据为12月份的日期数，每种情况部是可能出现的，事件A 包括的基本事件有6种． ∴63()105P A ==，∴选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是35． （2）由数据，求得12x =，27y =． 由公式，求得52b =，3a y bx =-=-， ∴y 关于x 的线性回归方程为532y x =-．（3）当10x =时，5103222y =⨯-=，|2223|2-<；同样当8x =时，583172y =⨯-=，|1716|2-<； ∴该研究所得到的回归方程是可靠的．21．（本小题满分12分）已知函数4()f x ax x =+．（1）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)∞+上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率．（2）若连续掷两次（骰子六面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a 和b ，记事件2{()B f x b =>在(0,)x ∈∞+恒成立}．求事件B 发生的概率．【答案】（1）116；（2）13【解析】（1）因为函数()2y f x =-在区间(0,)∞+上有两个不同的零点， 所以()20f x -=，即2240ax x -=+有两个不同的正根1x 和2x ，所以1212020404160a x x ax x aa ≠⎧⎪⎪=>⎪⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩+，解得104a <<． 所以114()416P A ==．（2）由已知0a >，0x >，所以()f x ≥，即()f x ≥，所以min ()f x =因为3()f x b >在(0,)x ∈∞+恒成立，所以2b >，①当1a =时，1b =适合①；当2a =，3，4，5时，1b =，2，均适合①； 当6a =时，1b =，2，3均适合①． 满足①的基本事件个数为18312=++． 而基本事件总数为6636⨯=． 所以121()363P B ==．22．（本题满分12分）已知椭圆2222(0)x y a b a b >>+的离心率e =过点(0,)A b -和(,0)B a．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点(1,0)E -，若直线2(0)y kx k =≠+与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值．使以CD 为直径的圆过E 点？【答案】（1）2213x y +=；（2）76k =【解析】（1）∵直线过点(0,)A b -和(,0)B a ．∴直线:1xyLa b -==．①∵椭圆的离心率e ，∴2223c a =．②由①得2222433a b a b =+，即2222224()33()a a c a a c -=-+．③ 由②③得23a =，22c =， ∴2221b a c =-=．∴所求椭圆的方程是2213x y =+．（2）直线2y kx =+代入椭圆方程，消去y 可得：22(13)1290k x kx =+++， ∴236360k ∆=->，∴1k >或1k <-．设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则有1221213kx x k -=++，122913x x k =+． ∵11(1,)EC x y =+，22(1,)ED x y =+，且以CD 为圆心的圆过点E ， ∴EC ED ⊥．∴1212(1)(1)0x x y y =+++， ∴21212(1)(21)()50k x x k x x =+++++，∴222912(1)(21)501313kk k k k -⨯⨯=++++++，计算得出716k =>． ∴当76k =时以CD 为直径的圆过定点E ．。

2016-2017学年河北省衡水中学高三下学期期中数学试卷试卷(文科)【解析版】

2016-2017学年河北省衡水中学高三下学期期中数学试卷试卷(文科)【解析版】

2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）期中数学试卷试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，则集合B可以是（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2} 2．（5分）若复数z＝+（1﹣i）2，则|z|等于（）A．B．C．2D．3．（5分）已知tanα＝2，α∈（0，π），则cos（+2α）等于（）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）为了加强某站的安全检查，从甲乙丙等5名候选民警中选2名作为安保人员，则甲乙丙中有2人被选中的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知a＝log2，b＝0.33.2，c＝3.20.3，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）《孙子算经》是中国公元四世纪的数学著作，其中接受了求解依次同余式的方法，他是数论中一个重要的定理，又称《中国剩余定理》，如图所示的程序框图的算法就是源于《中国剩余定理》，执行该程序框图，若正整数N 除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如11≡3（mod4），则输出的等于（）A．8B．16C．32D．648．（5分）已知点F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F点作双曲线的一条渐近线垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，若A点恰好为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．（5分）已知函数f（x）＝A sin（wx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（2x﹣）B．g（x）＝2sin（2x+）C．g（x）＝﹣2sin（2x﹣）D．g（x）＝﹣2sin（2x+）10．（5分）已知函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，则函数f（x）的值域为（）A．（，]∪（，+∞）B．（，）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．（，]∪[，+∞）11．（5分）直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于第一象限，当点P（x，y）在不等式组表示的区域上运动时，m＝4x+3y的最大值为8，此时n＝的最大值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝1g（x+），若对于任意的x∈（1，2]时，f（）+f[]＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知向量＝（x，y）（x，y∈R），＝（1，2），若x2+y2＝1，则|﹣|的最小值为．14．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为．15．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠A+∠C＝．则BD的长为．16．（5分）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•＝﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}，a1＝0，a n＝a n+1+．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n+n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥1．18．（12分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二胎政策”的问题，调查统计的结果如下表：已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．20．（12分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|＝4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N是椭圆C上异于A点的两个动点，且满足AM⊥AN，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1+lnx，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝﹣（e为自然对数的底数）时，若函数g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，求实数b的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的极坐标方程＝2，而曲线C的参数方程为（其中φ为参数）；（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）当m＝﹣，求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤2；（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）期中数学试卷试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，则集合B可以是（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，可知集合B＝{x|x≤1}．故选：C．2．（5分）若复数z＝+（1﹣i）2，则|z|等于（）A．B．C．2D．【考点】A8：复数的模．【解答】解：因为z＝z＝+（1﹣i）2＝﹣2i＝1﹣i﹣2i＝1﹣3i，所以|z|＝＝，故选：A．3．（5分）已知tanα＝2，α∈（0，π），则cos（+2α）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：∵tanα＝2，α∈（0，π），∴cos（+2α）＝﹣sin2α＝﹣2sinαcosα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：D．4．（5分）为了加强某站的安全检查，从甲乙丙等5名候选民警中选2名作为安保人员，则甲乙丙中有2人被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，共有10种情况，甲、乙、丙中有2个被选中，有3种，故所求事件的概率P＝．故选：A．5．（5分）已知a＝log2，b＝0.33.2，c＝3.20.3，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：∵a＝log2＝﹣3＜1，0＜b＝0.33.2＜0.30＝1，c＝3.20.3＞3.20＝1，∴实数a，b，c的大小关系为a＜b＜c．故选：B．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V＝××π×22×4＝．故选：D．7．（5分）《孙子算经》是中国公元四世纪的数学著作，其中接受了求解依次同余式的方法，他是数论中一个重要的定理，又称《中国剩余定理》，如图所示的程序框图的算法就是源于《中国剩余定理》，执行该程序框图，若正整数N 除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如11≡3（mod4），则输出的等于（）A．8B．16C．32D．64【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝11，i＝1i＝2，n＝13不满足条件“n＝2（mod 3）“，i＝4，n＝17，满足条件“n＝2（mod 3）“，不满足条件“n＝1（mod 5）“，i＝8，n＝25，不满足条件“n＝2（mod 3）“，i＝16，n＝41，满足条件“n＝2（mod3）“，满足条件“n＝1（mod5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：B．8．（5分）已知点F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F点作双曲线的一条渐近线垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，若A点恰好为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为：y＝，则另一条渐近线方程为：y＝﹣，设A（m，），B（n，﹣），因为F（c，0），A为BF的中点，所以m＝，，解得m＝c，A（，），由F A⊥OA，可得：k F A•k OA＝﹣1，即：•＝﹣1，即b2＝3a2，解得e＝＝＝2．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（wx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（2x﹣）B．g（x）＝2sin（2x+）C．g（x）＝﹣2sin（2x﹣）D．g（x）＝﹣2sin（2x+）【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，＝﹣＝，即＝π求得ω＝2，∵f（）＝2sin（2×+φ）＝﹣2，即sin（+φ）＝1，∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+π﹣）＝﹣2sin（2x﹣）的图象，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，则函数f（x）的值域为（）A．（，]∪（，+∞）B．（，）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．（，]∪[，+∞）【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，可得：，解得a＝﹣1，b＝2，所以当x＞0时，f（x）＝（lnx）2﹣lnx+2＝（lnx﹣）2+，当x≤0时，可得＝，则函数f（x）的值域为（，]∪[，+∞）．故选：D．11．（5分）直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于第一象限，当点P（x，y）在不等式组表示的区域上运动时，m＝4x+3y的最大值为8，此时n＝的最大值是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于点A，解方程组，得A（），将直线4x+3y＝0平移经过A点时，m取最大值，∴，得a＝2．于是，点A的坐标为（），∵n＝表示点B（﹣3，0）与P（x，y）连线的斜率，由图可知，当P与点A重合时，n取最大值，∴n的最大值为．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝1g（x+），若对于任意的x∈（1，2]时，f（）+f[]＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：∵f（x）＝1g（x+），∴f（﹣x）＝1g（﹣x+）＝﹣f（x），∴函数为奇函数，由表达式显然知函数为增函数，∵f（）+f[]＞0恒成立，∴＞﹣，∴（x+1）（x﹣1）（x﹣6）＜﹣m恒成立，令h（x）＝（x+1）（x﹣1）（x﹣6），可知函数h（x）在x∈（1，2]时，单调递减，∴h（x）的最大值大于h（1）＝0，∴0≤﹣m，∴m≤0，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知向量＝（x，y）（x，y∈R），＝（1，2），若x2+y2＝1，则|﹣|的最小值为﹣1．【考点】91：向量的概念与向量的模．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|＝≥||﹣1＝﹣1＝﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣114．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为44．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【解答】解：设点O到矩形ABCD所在平面的距离为h，则h＝＝．∴棱锥O﹣ABCD的侧面积＝2×＝44．故答案为：44．15．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠A+∠C＝．则BD的长为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：在△ABD中由余弦定理可知：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos A，在△CDB中与余弦定理可知：BD2＝DC2+BC2﹣2AB•AD•cos C，将AB＝CD＝1，AD＝BC＝2代入，整理得：2cos A﹣cos C＝1，∠A+∠C ＝，2cos A﹣cos（﹣A）＝1，整理得：3cos A+sin A＝1，两边平方（3cos A+sin A）2＝9cos2A+6cos A sin A+sin2A＝cos2A+sin2A，整理得：sin A＝﹣，cos A＝，BD＝，BD＝，故答案为：．16．（5分）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•＝﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|＝．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为：x＝my+，将直线l的方程代入抛物线方程y2＝2px，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2＝0，∴y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣p2，∵•＝﹣3，即x1x2+y1y2＝﹣3，x1x2＝•＝，∴有﹣p2＝﹣3，解得，p＝2；（舍去负值），∴x1x2＝＝1，由抛物线的定义，可得，|AM|＝x1+1，|BM|＝x2+1，则|AM|+4|BM|＝x 1+4x2+5≥2+5＝9，当且仅当x1＝4x2时取得等号．由于x1x2＝1，可以解得，x2＝2（舍去负值），∴x1＝，代入抛物线方程y2＝4x，解得，y1＝，y2＝±2，即有A（，±）B （2，±2），∴|AB|＝＝＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}，a1＝0，a n＝a n+1+．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n+n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥1．【考点】8E：数列的求和．【解答】证明：（1）由a n＝a n+1+，则a n+1＝a n﹣，即（a n+1+1）＝（a n+1），∴{a n+1}是以a1+1＝1为首项，以为公比的等比数列，∴a n+1＝（）n﹣1，即a n＝（）n﹣1﹣1，∴数列{a n}的通项公式a n＝（）n﹣1﹣1；（2）由（1）b n＝na n+n＝n（）n﹣1，则S n＝1×（）0+2×（）1+3×（）3+…+（n﹣1）×（）n﹣2+n（）n﹣1，①∴S n＝1×（）1+2×（）2+3×（）4+…+（n﹣1）×（）n﹣1+n（）n，②①﹣②得：S n＝（）0+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣n（）n，＝2﹣，S n＝4﹣，∴＝＝，由n+3＜2n+4，则2n+2﹣（n+3）＞2n+2﹣（2n+4），由2n+2﹣（n+3）＞0，2n+2﹣（2n+4）＞0，则＞1，数列{S n}单调递增，故当n＝1时，数列{S n}取得最小值，即S n≥S1＝1．S n≥1．18．（12分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二胎政策”的问题，调查统计的结果如下表：已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．【考点】B3：分层抽样方法；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：（1）∵抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08，∴＝0.08，解得x＝120．∴持“无所谓”态度的人数共有4000﹣2200﹣680﹣200﹣120＝800．∴应在“无所谓”态度抽取800×＝80人．（2）∵y+z＝800，y≥710，z≥78，故满足条件的（y，z）有：（710，90），（711，89），（712，88），（713，87），（714，86），（715，85），（716，84），（717，83），（718，82），（719，81），（720，80），（721，79），（722，78），共13种．记本次调查“失效”为事件A，若调查失效，则2200+200+y＜4000×0.78，解得y＜720．∴事件A包含（710，90），（711，89），（712，88），（713，87），（714，86），（715，85），（716，84），（717，83），（718，82），（719，81）共10种．∴P（A）＝19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】解：（1）证明：连接BD1，如图，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则⇒EF∥平面ABC1D1．（2）⇒⇒⇒EF⊥B1C（3）∵CF⊥平面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1且，∵，，∴EF2+B1F2＝B1E2即∠EFB1＝90°，∴＝＝20．（12分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|＝4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N是椭圆C上异于A点的两个动点，且满足AM⊥AN，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|＝2a＝4，解得a＝2，∵离心率为e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆C的标准方程为；（2）由题意知A（﹣2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线MN斜率不存在，则N（x1，﹣y1），由AM⊥AN，•＝0，得•＝﹣1，又M和N在椭圆上，代入解得x＝﹣，则直线MN方程为x＝﹣．若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx+m，椭圆方程联立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．由AM⊥AN，得×＝﹣1，整理得（k2+1）x1x2+（km+2）（x1+x2）+m2+4＝0∴（k2+1）×+（km+2）×（）+m2+4＝0．解得m＝2k或m＝k．若m＝2k，此时直线过定点（﹣2，0）不合题意舍去．故m＝k，即直线MN过定点（﹣，0）．综上可知：直线l过定点（﹣，0）．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1+lnx，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝﹣（e为自然对数的底数）时，若函数g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，求实数b的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（1）f（x）＝2ax+＝，当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，令f'（x）＝0得x＝，∴f（x）在（，+∞）上递减，在（0，）上递增；（2）g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，∴|f（x）|＝+b有实数根，当a＝﹣时，f（x）＝﹣x2﹣1+lnx，f'（x）＝﹣m当0＜x＜时，f'（x）＞0，当x＞时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（0，）上递增，在（，+∞）上递减，函数的最大值为f（）＝﹣1，∴|f（x）|≥1，令h（x）＝+b，h'（x）＝，当0＜x＜时，h'（x）＞0，当x＞时，h'（x）＜0，∴h（x）的最大值为h（）＝+b，要使|f（x）|＝+b有实数根，∴h（）＝+b，≥1，∴b≥1﹣＝1﹣．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的极坐标方程＝2，而曲线C的参数方程为（其中φ为参数）；（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）当m＝﹣，求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程＝2，展开化为（ρsinθ+ρcosθ）＝2（m+1），即x+y﹣4（m+1）＝0．而曲线C的参数方程为（其中φ为参数），消去参数可得：x2+y2＝2．∵直线l与曲线C恰好有一个公共点，∴＝．∴m+1＝，解得m＝，或．（2）m＝﹣时，圆心到直线l的距离d＝＝．∴直线l被曲线C截得的弦长＝2＝2＝．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤2；（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）当a＝1，f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．不等式f（x）＞2化为|x﹣1|+|x﹣2|≤2．x＜1时，不等式可化为3﹣2x≤2，∴x≥，∴≤x＜1；1≤x≤2时，不等式可化为1≤2，成立；x＞2时，不等式可化为2x﹣3≤2，∴x≤，∴2＜x≤；综上所述，不等式的解集为[，]；（2）f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|≥|x﹣a﹣x+2|＝|a﹣2|，即f（x）的最小值为|a﹣2|．∵t＞0，＝t+≥4，当且仅当t＝2时，取得最小值4，由题意，|a﹣2|≤4，∴﹣2≤a≤6．。

2015-2016学年河北省衡水中学高二(上)一调数学试卷(文科)(1)

2015-2016学年河北省衡水中学高二(上)一调数学试卷(文科)(1)

2015-2016学年河北省衡水中学高二（上）一调数学试卷（文科）（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|x≤a+3}，B={x|x＜-1或x＞5}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A.a＜-2B.a＞-2C.a≤-4D.a＜-4【答案】D【解析】解：∵A={x|x≤a+3}，B={x|x＜-1或x＞5}，A⊆B∴a+3＜-1∴a＜-4．故选：D．由A⊆B得到集合A是集合B的子集，即集合A包含在集合B中，建立关于a的不等关系式即可求出a的取值范围．本题考查的知识点是集合的交、并、补集的混合运算，考查了集合的包含关系判断及应用，是一道基础题．2.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A. B.5 C.7 D.9【答案】B【解析】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：B．由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC.＜D.＜【答案】C【解析】解：A选项不正确，因为a=-2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为＜⇔a＜b，故当a＜b时一定有＜；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．4.已知，，，，则=（）A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】解：，，，，可得=（-1，0）则=0×（-1）+（-1）×0=0．故选：B．直接利用向量的坐标运算以及数量积求解即可．本题考查向量的数量积的运算，向量的坐标运算法则的应用，考查计算能力．5.对任意的实数k，直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.以上三个选项均有可能【答案】C【解析】解：将圆方程化为标准方程得：（x-1）2+y2=3，∴圆心（1，0），半径r=，∵直线y=kx-1恒过（0，-1），且（0，-1）到圆心的距离d==＜=r，∴（0，-1）在圆内，则直线与圆的位置关系是相交．故选C将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，根据直线y=kx-1恒过（0，-1），判断得到（0，-1）在圆内，可得出直线与圆相交．此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意判断出直线y=kx-1恒过（0，-1）是解本题的关键．6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A.12πB.4πC.3πD.12π【答案】C【解析】解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S-ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．7.已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4-1），则a2=（）A.2B.1C.D.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4-1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A.3×44B.3×44+1C.44D.44+1【答案】A【解析】解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n-1（n≥2），两式相减得：a n+1-a n=3（S n-S n-1）=3a n，则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n-2=3×4n-2（n≥2）则a6=3×44．故选A根据已知的a n+1=3S n，当n大于等于2时得到a n=3S n-1，两者相减，根据S n-S n-1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．9.函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0，-＜ϕ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A.2，-B.2，-C.，D.，【答案】A【解析】解：由图知，==-=，故ω=2．由“五点作图法”知，×2+ϕ=，解得ϕ=-∈（-，），故选：A．利用正弦函数的周期性可求得==，可求得ω=2；再利用“五点作图法”可求得ϕ，从而可得答案．本题考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期性与“五点作图法”的应用，考查识图能力，属于中档题．10.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|-|，其中O为原点，则实数a的值为（）A.2B.-2C.2或-2D.或-【答案】C【解析】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．11.数列{a n}满足a n+1=，＜，＜，若a1=，则a2014=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵a1=＞，∴a2=2a1-1=，∴a3=2a2=，a4=2a3=，∴a5=2a4-1=．∴a n+4=a n，∴a2014=a4×503+2=a2=．故选：A．探究数列的周期性即可得出．本题考查了数列的周期性，考查了计算能力与推理能力，属于基础题．12.已知数列{a n}满足a n+2-a n+1=a n+1-a n，n∈N*，且a5=，若函数f（x）=sin2x+2cos2，记y n=f（a n），则数列{y n}的前9项和为（）A.0B.-9C.9D.1【答案】C【解析】解：∵数列{a n}满足a n+2-a n+1=a n+1-a n，n∈N*，∴数列{a n}是等差数列，∵a5=，∴a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π，∵f（x）=sin2x+2cos2，∴f（x）=sin2x+cosx+1，∴f（a1）+f（a9）=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2，同理f（a2）+f（a8）=f（a3）+f（a7）=f（a4）+f（a6）=2，∵f（a5）=1，∴数列{y n}的前9项和为9．故选C．确定数列{a n}是等差数列，利用等差数列的性质，可得f（a1）+f（a9）=f（a2）+f（a8）=f（a3）+f（a7）=f（a4）+f（a6）=2，由此可得结论．本题考查等差数列的性质，考查数列与函数的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知数列ln3，ln7，ln11，ln15，…，则2ln5+ln3是该数列的第______ 项．【答案】19【解析】解：由题意可得对数的真数构成3为首项4为公差的等差数列，∴数列的第n项a n=ln[3+4（n-1）]=ln（4n-1），令ln（4n-1）=2ln5+ln3=ln75，解得n=19故答案为：19由题意可得对数的真数构成3为首项4为公差的等差数列，可得通项公式，进而可得n的方程，解方程可得．本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．14.正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为______ ．【答案】【解析】解：如图所示，连接EF．不妨设BC=2，由正四面体可知：每个面都为正三角形，∴DE⊥BC，=BF=CF，∴FE⊥BC，∴FE=，BC⊥平面DEF，因此∠DEF为直线DE与平面BCF所成角．在△DEF中，由余弦定理可得：cos∠DEF==，∴∠．∴直线DE与平面BCF所成角的正弦值为．故答案为．利用正四面体的性质、等边三角形的性质、余弦定理、线面角的定义即可得出．熟练掌握正四面体的性质、等边三角形的性质、余弦定理、线面角的定义是解题的关键．15.已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＜-2x的解集为（1，3），且方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，则f（x）的解析式为______ ．【答案】f（x）=x2-6x+3【解析】解：由题意得：设f（x）=ax2+bx+c，（a＞0），由题意得方程f（x）=-2x两个根是1，3，即ax2+（b+2）x+c=0两个根是1，3，故由韦达定理可得-=4，=3，∴b=-4a-2，c=3a，f（x）=ax2-2（2a+1）x+3a．再根据方程f（x）+6a=0，即ax2-2（2a+1）x+9a=0有两个相等的实根，∴△=4（2a+1）2-36a2=0，解得a=-（舍），或a=1，∴f（x）=x2-6x+3，故答案为：f（x）=x2-6x+3．设f（x）=ax2+bx+c，（a＞0），由题意得方程f（x）=-2x两个根是1，3，由韦达定理求得b=-4a-2，c=3a，可得f（x）=ax2-2（2a+1）x+3a．再根据△=4（2a+1）2-36a2=0，解得a的值，可得f（x）的解析式．本题主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，体现了转化的数学思想，属于基础题．16.如图，在△ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作正三角形BCD，则AD的最大值为______ ．【答案】2a【解析】解：如图所示，设BC=2x，∵△BCD是等边三角形，∴DE=x，在R t△ABE中，AE=，则AD=+x，设x=acosθ，，，则AD=asinθ+=2a，∵∈，．∴≤1，∴AD≤2a，因此AD的最大值为2a．故答案为：2a．如图所示，设BC=2x，由于△BCD是等边三角形，可得DE=x，在R t△ABE中，AE=，AD=+x，设x=acosθ，，，利用和差公式可得：AD=2a，利用三角函数的单调性即可得出．本题考查了等边三角形的性质、三角函数的单调性、和差公式、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知方程ax2+bx+2=0的两根为-和2．（1）求a、b的值；（2）解不等式ax2+bx-1＞0．【答案】解：（1）∵方程ax2+bx+2=0的两根为-和2，由根与系数的关系，得，解得a=-2，b=3．（2）由（1）知，不等式ax2+bx-1＞0，即为-2x2+3x-1＞0，化为2x2-3x+1＜0．解得＜＜．∴不等式ax2+bx-1＞0的解集为{x|＜x＜1}．【解析】（1）利用根与系数的关系即可得出；（2）利用一元二次不等式的解法即可得出．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法，属于基础题．18.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2a n+a n，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：（1）设数列{a n}公差为d≠0，∵a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．∴，∴（1+2d）2=1×（1+8d），d≠0．解得d=1．∴a n=1+（n-1）=n．（2）b n=2a n+a n=2n+n．∴数列{b n}的前n项和S n=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=+=2n+1-2+．【解析】（1）设数列{a n}公差为d≠0，由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．可得，即（1+2d）2=1×（1+8d），d≠0．解出即可得出．（2）b n=2a n+a n=2n+n．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=17，S10=100．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=a n cos（nπ）（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=17，S10=100．∴，解得a1=19，d=-2．∴a n=19-2（n-1）=21-2n．（2）∵b n=a n cos（nπ）=（-1）n（21-2n），当n=2k（k∈N*）为偶数时，数列{b n}的前n项和T n=（-a1+a2）+（-a3+a4）+…+（-a2k-1+a2k）=-2-2…-2=-2k=-n．当n=2k-1为奇数时，T n=-a1+（a2-a3）+…+（a n-1-a n）=-19+2×=n-20．∴T n=，为偶数，为奇数．【解析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）b n=a n cos（nπ）=（-1）n（21-2n），对n分类讨论分组求和即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”方法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知数列{a n}中，a1=1，二次函数f（x）=a n•x2+（2-n-a n+1）•x的对称轴为x=．（1）试证明{2n a n}是等差数列，并求{a n}通项公式；（2）设{a n}的前n项和为S n，试求使得S n＜3成立的n值，并说明理由．【答案】证明：（1）∵二次函数f（x）=a n•x2+（2-n-a n+1）•x的对称轴为x=．∴=，∴2n+1a n+1-2n a n=2，∵a1=1，∴2a1=2，∴{2n a n}是以2为首项，以2公差的等差数列，∴2n a n=2+2（n-1）=2n，∴a n==n．（2）∵S n=a1+a2+…+a n=1×+2×+3×+…+n，∴S n=1×+2×+3×+…+n，两式相减得，S n=++++…+-n=-n=2--n=2-∴S n=4-，∵S n＜3，∴4-＜3∴n+2＞2n-1，分别画出函数y=x+2（x＞0），与y=2x-1（x＞0）的图象，如图所示由图象可知，当n=1，2，3时，S n＜3成立．【解析】（1）根据对称轴，得到2n+1a n+1-2n a n=2，继而得到{2n a n}是以2为首项，以2公差的等差数列，根据等差数列的通项公式求出a n，（2）利用错位相加法求出数列的前n项和为S n，并利用函数的思想，得到S n＜3成立的n值．本题考查二次函数的性质，以及等差关系的确定，错位相减法求数列的和，培养可学生的转化思想与综合运算、推理证明能力，属于中档题．21.设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1．（1）求a4的值．（2）证明：{a n-1-a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．【答案】（1）解：∵a1=1，a2=，a3=，∴S1=1，S2=，S3=，又∵4S4+5S2=8S3+S1，∴S4=（8S3+S1-5S2）=（8•+1-5•）=，∴a4=S4-S3=-=；（2）证明：∵4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1，∴4S n+2-4S n+1+S n-S n-1=4S n+1-4S n，∴4a n+2+a n=4a n+1，整理得：a n-2a n+1=2a n+1-4a n+2，∴a n+1-2a n+2=（a n-2a n+1），即a n+2-a n+1=（a n+1-a n），又∵=-=1，∴数列{a n+1-a n}是以1为首项、为公比的等比数列；（3）解：由（2）可知a n+1-a n=，∴a n+1=a n+，∴2n+1a n+1=2n a n+4，又∵2a1=2，∴数列{2n a n}是以2为首项、4为公差的等差数列，∴2n a n=2+4（n-1）=4n-2，∴a n==．【解析】（1）通过4S4+5S2=8S3+S1，直接代入计算即可；（2）通过对4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1变形可知4S n+2-4S n+1+S n-S n-1=4S n+1-4S n，即4a n+2+a n=4a n+1，整理得a n+1-2a n+2=（a n-2a n+1），进而计算可得结论；（3）通过（2）可知a n+1-a n=，两边同时乘以2n+1可知2n+1a n+1=2n a n+4，进而数列{2n a n}是以2为首项、4为公差的等差数列，计算即得结论．本题考查等比数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．22.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a3+a6=9，a2a7=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，，求数列{b n}的前n项和T n；（3）对于（2）中的T n，若T n＜m-2014对一切n∈N*成立，求最小正整数m．【答案】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a3+a6=9，a2a7=8，∴＜，∴a3，a6是方程x2-9x+8=0的两个根，解方程x2-9x+8=0，得a3=1，a6=8，∴==8，解得q=2，，∴=2n-3．（2）由（1）得：S n===，===4（），∴数列{b n}的前n项和：T n=4（1-+-+…+）=4（1-）=．（3）∵T n=4（1-）＜4，且T n＜m-2014对一切n∈N*成立，∴m-2014≥4，解得m≥2018，∴最小正整数m为2018．【解析】（1）由已知解方程x2-9x+8=0，得a3=1，a6=8，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由已知条件利用等比数列的前n项和公式先求出S n，从而得到b n=4（），由此利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项和．（3）由T n=4（1-）＜4，得到m-2014≥4，由此能求出最小正整数m．本题考查数列的通项公式和数列的前n项和公式的求法，考查满足条件的最小正整数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．。

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2016-2017学年上学期河北省衡水中学高二年级期中考试 测试卷文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．“log 2（2x ﹣3）＜1”是“4x ＞8”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示， 1， 2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s 1，s 2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（ ）A． 1＞2，s 1＜s 2 B． 1=2，s 1＜s 2 C． 1=2，s 1=s 2 D． 1＜2，s 1＞s 23．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）A ．k ＞4？B ．k ＞5？C ．k ＞6？D ．k ＞7？4．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q=P ，则（ ） A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈PD ．∃x 0∈P ，使得x 0∉P5．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±2xB ．y=±x C ．y=±x D ．y=±x6．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab=0，则称a 与b 互补，记φ（a ，b ）=﹣a ﹣b 那么φ（a ，b ）=0是a 与b 互补的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要的条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知直线l 1：x+2ay ﹣1=0，与l 2：（2a ﹣1）x ﹣ay ﹣1=0平行，则a 的值是（ ） A ．0或1B ．1或C ．0或D．8．a ，b ∈R ，命题P ：a＞；命题q ：直线y=ax+b 与圆x 2+y 2=1相交，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知椭圆C：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M （﹣2，1），则直线l 的斜率为（ ） A．B．C．D ．110．设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点M （2，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（ ）A ．1：4B ．1：5C ．1：7D ．1：611．椭圆x 2+=1（|b|＜1）的左焦点为F ，A 为上顶点，B 为长轴上任意一点，且B 在原点O 的右侧，若△FAB 的外接圆圆心为P （m ，n ），且m+n ＞0，椭圆离心率的范围为（ ） A．B．C．D．12．已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（ ） A ．2B ．3C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．若“m＞a”是“函数f（x）=（）x+m﹣的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为．14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率是．15．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为．16．设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．18．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．19．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．20．如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．21．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得•=0成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．22．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．（1）求p的值；（2）试判断圆C与x轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年上学期河北省衡水中学高二年级期中考试 测试卷文科数学答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．“log 2（2x ﹣3）＜1”是“4x ＞8”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用函数的单调性分别化简log 2（2x ﹣3）＜1，4x＞8，即可判断出结论．【解答】解：log 2（2x ﹣3）＜1，化为0＜2x ﹣3＜2，解得．4x ＞8，即22x ＞23，解得x．∴“log 2（2x ﹣3）＜1”是“4x＞8”的充分不必要条件． 故选：A ．2．甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1， 2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s 1，s 2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（ ）A． 1＞2，s 1＜s 2 B． 1=2，s 1＜s 2 C． 1=2，s 1=s 2 D． 1＜2，s 1＞s 2【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论 【解答】解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92， 乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s 12= [（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，s 22= [（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s 1＜s 2故选：B3．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）A ．k ＞4？B ．k ＞5？C ．k ＞6？D ．k ＞7？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k ＞4故答案选A ．4．设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P【考点】特称命题．【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．【解答】解：∵P∩Q=P，∴P⊆Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选D．6．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】我们先判断φ（a，b）=0⇒a与b互补是否成立，再判断a与b互补⇒φ（a，b）=0是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到得到结论．【解答】解：若φ（a，b）=﹣a﹣b=0，则=（a+b），两边平方解得ab=0，故a，b至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|﹣b=0，故b≥0，即a与b互补；若a与b互补时，易得ab=0，故a，b至少有一为0，若a=0，b≥0，此时﹣a﹣b=﹣b=0，同理若b=0，a≥0，此时﹣a﹣b=﹣a=0，即φ（a，b）=0，故φ（a，b）=0是a与b互补的充要条件．故选C．7．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．8．a，b∈R，命题P：a＞；命题q：直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交，则p 是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出命题p和q的等价条件，利用充分必要的定义进行判断；【解答】解：命题p，a＞等价于，命题q，直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交，圆心到直线的距离小于1，等价于即a2＞b2﹣1，显然由命题p可得命题q，反之不真；∴p 是q充分不必要条件，故选A；9．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（）A．B．C．D．1【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】由椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，列出方程组求出a=2，b=，从而得到椭圆方程为，再由直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），利用点差法能求出直线l的斜率．【解答】解：∵椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，∴，解得a=2，b=，∴椭圆方程为，∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，y1+y2=2，又，两式相减，得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴﹣（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴直线l的斜率k==．故选：C．10．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（）A．1：4 B．1：5 C．1：7 D．1：6【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求得抛物线的焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义，求得点B的坐标，从而写出直线AB方程，联立抛物线方程求得A点坐标，从而得到A到准线的距离，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|=|BN|=x2+1=，∴x2=，把x2=代入抛物线y2=4x，得，y2=﹣，∴直线AB过点M（2，0）与（，﹣）方程为y=（x﹣2），代入抛物线方程，解得，x1=8，∴|AE|=8+1=9，∵在△AEC中，BN∥AE，∴===，故选：D．11．椭圆x2+=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（）A．B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】分别求出线段FB与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＞0，与离心率计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，B是右顶点线段FB的垂直平分线为：x=．线段AB的中点（，）．∵k AB=﹣b．∴线段AB的垂直平分线的斜率k=．∴线段AB的垂直平分线方程为：y﹣=（x﹣），把x==p代入上述方程可得：y==n．∵m+n＞0，∴+＞0．化为：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e==c=∈（0，）．B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，结论同样成立，故选：A．12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．若“m＞a”是“函数f（x）=（）x+m﹣的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为﹣1．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出当x=0时，f（0）的值，根据题意可得m的范围，根据必要条件的定义即可求出a的范围，问题得以解决．【解答】解：∵，函数y=g（x）的图象不过第三象限，∴，即．则“m＞a”是“”的必要不充分条件，∴，则实数a能取的最大整数为﹣1．故答案为：﹣114．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率是．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（）0，1）中随机地取出两个数所对应的平面区域的面积，及两数之和大于对应的平面图形的面积大小，再代入几何概型计算公式，进行解答．【解答】解：如图，当两数之和小于时，对应点落在阴影上，∵S阴影==，故在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率P=1﹣=．故答案为：．15．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为15．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，由此可得结论．【解答】解：由题意F2（3，0），|MF2|=5，由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|=10+|PM|﹣|PF2|≤10+|MF2|=15，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，故答案为：15．16．设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，则的最小值为﹣4p2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x A，y A），B（x B，y B）．则=4（x A•x B+y A•y B），分类讨论，结合韦达定理，=4（a2﹣2ap）=4[（a﹣p）2﹣p2]≥﹣4p2即可得出结论．【解答】解：设A（x A，y A），B（x B，y B）．则+=（x A+x B，y A+y B），=﹣=（x B﹣x A，y B﹣y A），=4（x A•x B+y A•y B），若直线AB斜率存在，设为y=k（x﹣a），则，整理得：k2x2﹣2（ak2+p）x+k2a2=0，x A•x B=a2，y A•y B=k2（x A﹣a）（x B﹣a）=﹣2ap，=4（x A•x B+y A•y B）=4（a2﹣2ap）=4[（a﹣p）2﹣p2]≥﹣4p2，．若直线不存在，当x A=x B=a，y A=﹣y B=时，上式也成立．故所求最小值为﹣4p2．当且仅当直线AB过点（p，0）时等号成立，故答案为：﹣4p2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，则￢p是￢q的充分不必要条件．（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，若￢r是￢p的必要非充分条件，则p是r的必要非充分条件，即a≥2或a+1≤，即a≥2或a≤﹣，即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．18．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=，a=2，又b2=a2﹣c2．即可得出椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为y=x+b，与椭圆方程联立可得x2+2bx+2b2﹣2=0，△≥0，即b2≤2．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得：弦长|AB|==，由于0≤b2≤2，即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：c=，a=2，∴b2=a2﹣c2=1．∵焦点在x轴上，∴椭圆C的方程为：．（2）设直线l的方程为y=x+b，由，。

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