九年级综合练习(一)数学试卷附答案
中考数学 综合能力提升练习一(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
综合能力提升练习一一、单选题1.如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度与时间的函数关系的图象可能是( )①②③④A. ①B. ③C. ①或③D . ②或④2.已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A. 3B. 5C. 8D. 112﹣x﹣2=0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（）x 1 2 3 42x2﹣x﹣2 ﹣14 13 26A. 4B. 3C. 2D. 14.三棱柱的顶点个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 62+3x+1=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根6.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式符号的判断正确的是（）A. a2﹣b＞0B. a+|b|＞0 C. a+b2＞0 D. 2a+b＞07.满足x-5＞3x+1的x的最大整数是（）A. 0B. -2C. -3D. -48.如图，Rt△APC的顶点A，P在反比例函数y＝的图象上，已知P的坐标为（1，1），tanA=（n≥2的自然数）；当n=2，3，4…2010时，A的横坐标相应为a2， a3， a4，…，a2010，则+++…+=（)A. B. 2021 054 C. 2022060D.二、填空题9.已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30°，∠C=2∠B，则∠B=________ °．10.如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 M，N 在边 BC 上，且∠MAN=45°．若 BM=1， =3，则 MN 的长为________ ．11.计算：（ +1）（3﹣）=________．12.一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是________ 边形，它的内角和是________m________时，不等式mx＜7的解集为x＞-5℃,冷库乙的温度是-15℃,则温度高的是冷库________.三、计算题15.计算:16.计算：（）2+（π﹣2016）0﹣4cos60°+（）﹣3．17.先化简，再求值：÷（a﹣），其中a=2+ ，b=2﹣．18.计算（1）计算：+（）﹣1﹣2cos60°+（2﹣π）0；（2）化简：．19.已知x﹣y=5，xy=4，求x2+y2的值．20.解方程：﹣= ．四、解答题21.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的长．22.如图，在四边形ABCD中，AD、BD相交于点F，点E在BD上，且．（1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE与△AC D是否相似？并说明理由．23.计算：|﹣3|﹣2．24.解方程组：．五、综合题25.甲、乙两人周末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲坐地铁先出发，甲出发0.2小时后乙开汽车前往．设甲行驶的时间为x（h），甲、乙两人行驶的路程分别为y1（km）与y2（km）．如图①是y1与y2关于x的函数图象．（1）分别求线段OA与线段BC所表示的y1与y2关于x的函数表达式；（2）当x为多少时，两人相距6km？（3）设两人相距S千米，在图②所给的直角坐标系中画出S关于x的函数图象．答案解析部分一、单选题1.如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度与时间的函数关系的图象可能是( )①②③④A. ①B. ③C. ①或③D . ②或④【答案】C【考点】二次函数的图象【解析】【分析】由图中可知：长度d是一开始就存在的，如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小；当运动到点A时，距离d为0，然后继续运动，d开始变大；到点P时，回到原来高度相同的位置．①对，②没有回到原来的位置，应排除．④回到原来的位置后又继续运动了，应排除．如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，到点A的位置时，距离d为0；继续运动，d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小，到点P时，回到原来高度相同的位置．③对．故选C.2.已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A. 3B. 5C. 8D. 11【答案】C【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于：8﹣3=5，小于：3+8=11．则此三角形的第三边可能是：8．故选：C．【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值X围，再进一步选择．2﹣x﹣2=0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（）x 1 2 3 42x2﹣x﹣2 ﹣14 13 26A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【考点】估算一元二次方程的近似解【解析】【解答】解：根据表格中的数据，知：方程的一个解x的X围是：1＜x＜2，所以方程的其中一个解的整数部分是1．故选D．【分析】根据表格中的数据，可以发现：x=1时，2x2﹣x﹣2=﹣1；x=2时，2x2﹣x﹣2=4，故一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的其中一个解x的X围是1＜x＜2，进而求解．4.三棱柱的顶点个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【考点】认识立体图形【解析】【解答】解：一个直三棱柱由两个三边形的底面和3个长方形的侧面组成，根据其特征及欧拉公式V+F﹣E=2可知，它有6个顶点，故选：D．【分析】一个直三棱柱是由两个三边形的底面和3个长方形的侧面组成，根据其特征及欧拉公式V+F﹣E=2进行填空即可．2+3x+1=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根【答案】A【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵a=1，b=3，c=1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5＞0，∴有两个不相等的实数根．故选A．【分析】首先求得△=b2﹣4ac的值，然后即可判定一元二次方程x2+3x+1=0的根的情况．6.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式符号的判断正确的是（）A. a2﹣b＞0B. a+|b|＞0 C. a+b2＞0 D. 2a+b＞0【答案】A【考点】数轴【解析】【解答】解：根据数轴得a＜﹣1，0＜b＜1，∴a2＞1，b2＜1，∴a2﹣b＞0，故A正确；∴a+|b|＜0，故B错误；∴a+b2＜0，故C错误；∴2a+b＜0，故D错误，故选A．【分析】根据数轴可得出a＜﹣1，0＜b＜1，再判断a2， b2的X围，进行选择即可．7.满足x-5＞3x+1的x的最大整数是（）A. 0B. -2C. -3D. -4【答案】D【考点】解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解【解析】【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，即可求得结果.x-5>3x+1-2x>6x<-3所以满足条件的x的最大整数是-4故选D.【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.8.如图，Rt△APC的顶点A，P在反比例函数y＝的图象上，已知P的坐标为（1，1），tanA=（n≥2的自然数）；当n=2，3，4…2010时，A的横坐标相应为a2， a3， a4，…，a2010，则+++…+=（)A. B. 2021 054 C. 2022060D.【答案】B【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，探索数与式的规律【解析】【分析】设CP=m，由tanA==得AC=mn，则A（1-m，1+mn)，将A点坐标代入y＝中，得出a n=1-m的表达式，寻找运算规律．【解答】依题意设CP=m，∵P点横坐标为1，则C点横坐标为1-m，即a n=1-m，又∵tanA==，∴AC=mn，则A（1-m，1+mn)，将A点坐标代入y＝中，得（1-m)（1+mn)=1，1-m+mn-m2n=1，m（n-1-mn)=0，则n-1-mn=0，1-m=，则a n=1-m=，即=n，∴+++…+=2+3+4+…+2010==2021054．故选B．【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，关键是根据三角函数值设直角三角形的边长，表示A点坐标，根据A点在双曲线上，满足反比例函数解析式，从而得出一般规律．二、填空题9.已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30°，∠C=2∠B，则∠B=________ °．【答案】50【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴30°+3∠B=180°，∴∠B=50°．故答案是：50．【分析】根据三角形内角和是180°列出等式∠A+∠B+∠C=180°，据此易求∠B的度数．10.如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 M，N 在边 BC 上，且∠MAN=45°．若 BM=1， =3，则 MN 的长为________ ．【答案】【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用【解析】【解答】将逆时针旋转得到，连接，是等腰直角三角形，在和中，由勾股定理得，【分析】根据旋转的性质得到对应边、对应角相等；由△ABC是等腰直角三角形，得到△MAN≌△FAN，得到对应角、对应边相等，再根据勾股定理求出MN 的长.11.计算：（ +1）（3﹣）=________．【答案】2【考点】二次根式的混合运算【解析】【解答】解：原式= （ +1）（﹣1）= ×（3﹣1）=2 ．故答案为2 ．【分析】先把后面括号内提，然后利用平方差公式计算．12.一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是________ 边形，它的内角和是________【答案】五；540°【考点】多边形内角与外角【解析】【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于108°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣108°=72°，∴边数n=360°÷72°=5，内角和为（5﹣2）×180°=540°．故答案为：五；540°．【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以一个外角的度数即可得到边数．m________时，不等式mx＜7的解集为x＞【答案】＜0【考点】不等式的性质【解析】【解答】根据不等式mx＜7的解集为x＞，可以发现不等号的方向发生了改变，根据不等式的性质，所以m＜0．【分析】可根据不等式的性质，两边同时除以负数，不等号发生改变.-5℃,冷库乙的温度是-15℃,则温度高的是冷库________.【答案】甲【考点】有理数大小比较【解析】【解答】解：∵-5＞-15∴温度高的是冷库甲故答案为：甲【分析】比较-5和-15的大小，可解答。
人教版九年级数学上册综合题练习卷：第21章 一元二次方程(包含答案)
第21章一元二次方程1．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？2．某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？3．关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0（1）求方程的解；（2）若方程的解为整数，求k值．4．某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个．（1）求该市这两年养老床位数的年平均增长率：（2）该市2018年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间（一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间）共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m（12≤m≤15），双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？5．为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？6．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m＝时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．7．（1）解方程：2x2﹣x﹣1＝0；（2）解不等式组：8．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．9．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．10．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．12．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．13．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．（1）求2018年甲类芯片的产量；（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．14．（1）关于x，y的方程组满足x+y＝5，求m的值．（2）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根x1，x2满足x12+x22＝5，求的值．15．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．17．（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．（2）解不等式组：18．已知关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0．（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由．19．建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？20．2019长春国际马拉松于5月26日上午在长春体育中心鸣枪开跑．某公司为赛事赞助了5000瓶矿泉水，计划以后每年逐年增加，到2021年达到7200瓶，若该公司每年赞助矿泉水数量增加的百分率相同．（1）求平均每年增加的百分率；（2）假设2022年该公司赞助矿泉水增加的百分率与前两年相同，请你预测2022年该公司赞助的矿泉水的数量．参考答案1．【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．【分析】（1）可设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，根据等量关系：①一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元；②购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元；列出方程组求解即可；（2）根据该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有，解得．故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；（2）依题意有：（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，整理，得150a2﹣180a＝0，解得a1＝，a2＝0（舍去）．故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．【点评】考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．3．【分析】（1）根据一元二次方程的定义，利用因式分解法可解；（2）根据（1），利用整数根可解．【解答】解：（1）∵该方程是关于x的一元二次方程，∴k≠6，k≠9∵（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0∴[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]＝0解得x＝或∴方程的解为x＝或．（2）∵方程的解为x＝或．若方程的解为整数，①当6﹣k＝±1，±3，±9时，x是整数，此时k＝7、5、3、9、15、﹣3；②当9﹣k＝±1，±2，±3，±6时，x是整数，此时k＝10、8、11、7、12、6、15、3．综上可知，k＝3、7、15时原方程的解为整数．【点评】本题考查了一元二次方程的定义及整数根的求解问题，难度中等．4．【分析】（1）设该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2018年的床位数＝2016年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，三人间的房间数为100﹣3m，设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y＝m+4m+3（100﹣3m）＝﹣4m+300∵y随m的增大而减小∴当m＝12时，y的最大值为252．当m＝15时，y的最小值为240．答：该养老中心建成后最多提供养老床位252个，最少提供养老床位240个．【点评】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系找出y关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．5．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数＝9×5，把相关数值代入即可．【解答】解：该县团委应邀请x个足球队参赛．每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）＝9×5．整理，得x2﹣x﹣90＝0．解得x1＝﹣9（不合题意，舍去），x2＝10．答：该县团委应邀请10个足球队参赛．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．6．【分析】（1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝5，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论．【解答】（本题6分）解：（1）∵方程有实数根，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×2m≥0，（1分）m≤，（2分）∴当m≤时，原方程有实数根；（3分）（2）当m＝时，原方程可化为：x2﹣5x+5＝0，设方程的两个根分别为x1、x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝5，（4分）∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示，∴AC＝＝＝＝，（5分）∴该矩形外接圆的直径是．（6分）【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键．7．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，（2x+1）（x﹣1）＝0，2x+1＝0，x﹣1＝0，x1＝﹣，x2＝1；（2）∵解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤3．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．8．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本＝3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．9．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．11．【分析】（1）由于关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，整理得，4k﹣3＞0，解得：k＞，故实数k的取值范围为k＞；（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2k+1＝3，解得：k＝1，∴原方程为x2﹣3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．12．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．【解答】（1）解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1又∵+＝x1•x2，∴∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根∵k≤1∴．【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．13．【分析】（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），即可得出答案．【解答】解：（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400；答：2018年甲类芯片的产量为400万块；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，则：400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，400（1+t）2+2×400（1+t﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．14．【分析】（1）观察到方程组两方程相加，左边出现3（x+y），把x+y作为一个整体来计算．（2）根据韦达定理求出用m表示x1+x2和x1x2的值，利用完全平方公式的变形得到x12+x22的式子，进而得到关于m的方程．【解答】解：（1）根据题意把方程组两式相加得：2x+y+x+2y＝m+3m+13（x+y）＝4m+1∴x+y＝又∵x+y＝5∴解得：m＝（2）∵a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m∴△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4•（﹣m）＝m2﹣2m+1+4m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0∴无论m为何值时，方程一定有实数根．∵x1+x2＝＝m﹣1，x1x2＝＝﹣m∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（m﹣1）2+2m∵x12+x22＝5∴（m﹣1）2+2m＝5解得：m＝±2当m＝2时，＝＝当m＝﹣2时，＝＝∴的值为或【点评】本题考查了解二元一次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式的加减．15．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．16．【分析】（1）求出△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2，再判断即可；（2）求出方程的根是±1，再代入方程，即可求出答案．）【解答】（1）证明：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，∴此根是±1，当根是1时，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，即0＝0，此时m为任何数；当根是﹣1时，1+（m+3）+m+2＝0，解得：m＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．17．【分析】（1）利用配方法解方程；（2）分别解两个一次不等式得到x＞﹣2和x≤2，然后根据确定不等式组的解集．【解答】解：（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝，所以x1＝1+，x2＝1﹣；（2）解①得x＞﹣2，解②得x≤2，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了解一元一次不等式组．18．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）先计算出△并且设△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．【解答】（1）证明：①当2m﹣1＝0即m＝时，此时方程是一元一次方程，其根为x＝，符合题意；②当2m﹣1≠0即m≠时，△＝[﹣（2m+1）]2﹣4（2m﹣1）＝（2m﹣1）2+4＞0，∴当m≠时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要△＝b2﹣4ac为完全平方数，而△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，设△＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m＝，②2m﹣1＝0时，m＝（不合题意舍去）．所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．【点评】考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式为△＝b2﹣4ac．△＝b2﹣4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．同时考查了不定方程特殊解的求法．19．【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．【解答】解：（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，依题意，得：（33﹣2x）x＝130，解得：x1＝6.5，x2＝10，∴33﹣2x＝20或13．答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．（2）∵10≤a＜18，∴33﹣2x＝13，∴养鸡场的长为13米宽为10米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．【分析】（1）设平均每年增加的百分率为x，根据该公式2019年及2021年赞助矿泉水的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2022年该公司赞助的矿泉水数量＝2021年该公司赞助的矿泉水数量×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设平均每年增加的百分率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均每年增加的百分率为20%．（2）7200×（1+20%）＝8640（瓶）．答：预测2022年该公司赞助矿泉水8640瓶．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。
2023届北京朝阳区初三一模数学试卷及答案
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷2023.4学校 班级 姓名 考号一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个． 1.右图是某几何体的三视图，该几何体是 （A ）长方体 （B ）三棱柱 （C ）圆锥（D ）圆柱2.我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖 1 040 000 000人左右，将1 040 000 000用科学记数法表示应为（A ）1.04⋅1010 （B ）1.04⋅109 （C ）10.4⋅109 （D） 0.104⋅1011 3．如图，若数轴上的点A 表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（A ）（B （C （D ）π 4. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为 （A ）60︒ （B ）40︒ （C ）20︒ （D ）10︒5. 经过某路口的汽车，只能直行或右转. 若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为 （A ）14 （B ）13（C ）12 （D ）34 6．正六边形的外角和为（A ）180︒ （B ）360︒ （C ）540︒ （D ）720︒ 7．某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了200名进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图. 若该校有2000名学生，估计喜欢木工的人数为（A ）64 （B ）380 （C ）640 （D ）7208. 下面的三个问题中都有两个变量： ⎺矩形的面积一定，一边长y 与它的邻边x ;α某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S 与全村总人口n ; β汽车的行驶速度一定，行驶路程s 与行驶时间t .其中，两个变量之间的函数关系可以用形如0ky k k x=≠（为常数，）的式子表示的是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③二、填空题（共16分，每题2分）9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10．分解因式：2363a a -+= ．11． 若关于x 的一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ． 12．方程322x x=+的解为 ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数6y x=的图象经过点()2A m ，和点()2B n -，，则m n += ．14．如图，在≥ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC =6. 若≥ABD 的周长为13，则≥ABC的周长为 ．15．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，连接BE 并延长，交CD 的延长线于点F . 若AB =2，BC =4，2AEDE=，则BF 的长为 ． 16. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元.（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住. 三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元.） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了 间一人间;（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为 元.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）第14题图第15题图20. 下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.的角平分线AD.21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，AE∥CF，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若∠EAO+∠CFD=180°，求证：四边形AECF是矩形．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数0y kx b k =+≠（）的图象经过点（0，1），（-2，2），与x 轴交于点A .（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x ≥时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数0y kx b k =+≠（）的值，直接写出m 的取值范围.23. 如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，过点A 作⊙O 的切线，交OC的延长线于点D ，连接OB . （1）求证：∠B =∠D ；（2）延长BO 交⊙O 于点E ，连接AE ，CE ，若AD =，sin B ，求CE 的长．24．某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min ），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息.a . 七、八年级学生平均每天阅读时间统计图：b . 九年级学生平均每天阅读时间：21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50 c . 七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数：根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ； （2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数；（3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为21s ，22s ，23s ，则21s ，22s ，23s 之间的大小关系为 .七年级学生平均每天阅读时间 八年级学生平均每天阅读时间25．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种. 测得一些数据如下：（1）s 是t 的 函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）； （2）求s 关于t 的函数表达式；（3）已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足函数关系2522s t t =+. 记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t 1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t 2，则t 1 t 2（填“<”，“=”或“＞”）.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，.（1）求a 的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，在抛物线上，若231y y y ＜≤，求m 的取值范围.27. 如图，∠MON=α，点A在ON上，过点A作OM的平行线，与∠MON的平分线交于点B，点C在OB上（不与点O，B重合），连接AC，将线段AC绕点A顺时针旋转180°-α，得到线段AD，连接BD.（1）直接写出线段AO与AB之间的数量关系，并证明∠MOB=∠DBA；（2）连接DC并延长，分别交AB，OM于点E，F. 若α=60°，用等式表示线段EF与AC之间的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，C，Q（点P与点C不重合），给出如下定义：若∠PCQ=90°，且1CQCP k，则称点Q为点P关于点C的“k-关联点”.已知点A（3，0），点B（0，），⊙O的半径为r.（1）①在点D（0，3），E（0，-1.5），F（3，3）中，是点A关于点O的“1-关联点”的为；②点B关于点O关联点”的坐标为；（2）点P为线段AB上的任意一点，点C为线段OB上任意一点（不与点B重合）.①若⊙O上存在点P关于点O关联点”，直接写出r的最大值及最小值；②当r=O上不存在点P关于点C的“k-关联点”，直接写出k的取值范围：.北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2023.4一、选择题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分） 17. 解：原式12=-1=+.18. 解：原不等式组为17242.3x x xx +⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤ 解不等式①，得 2.x > 解不等式②，得 4.x ≤∴ 原不等式组的解集为2 4.x <≤19. 解：(2)(2)(2)x x x x +---2242x x x =--+222 4.x x =--∵230x x --=，∴23.x x -=∴原式22()4 2.x x =--=20. 方法一证明：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD =CD .① ②在△ABD 和△ACD 中，A B A CA D A DB DCD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，， ∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C . 方法二证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠CAD . 在△ABD 和△ACD 中，A B A CB A DC AD A D A D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C.21. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC . ∵AE ∥CF ， ∴∠EAO =∠FCO . ∵∠AOE =∠COF ， ∴△AEO ≌△CFO . ∴OE =OF .∴四边形AECF 为平行四边形.（2）∵∠EAO +∠CFD =180°，∠CFO +∠CFD =180°， ∴∠EAO=∠CFO .∵∠EAO =∠FCO ， ∴∠FCO=∠CFO . ∴OC=OF . ∴AC=EF .∴四边形AECF 是矩形．22. 解：（1）∵一次函数0y kx b k =+≠（）的图象经过点（0，1），（-2，2）， ∴12 2.b k b =⎧⎨-+=⎩，解得 121.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴该一次函数的表达式为11.2y x =-+令0y =，得 2.x =∴()20.A ，（2） 4.m ＞-23. （1）证明：如图，连接OA .∵AD 为⊙O 的切线，∴∠OAD =90°.∴∠CAD +∠OAB =90°.∵OC ⊥AB ，∴∠ACD =90°.∴∠CAD +∠D =90°.∴∠OAB =∠D .∵OA =OB ，∴∠OAB =∠B .∴∠B =∠D .（2）解：在Rt △ACD 中，AD=，sin D =sin B，可得sin 2AC AD D =⋅=.∴AB =2AC =4.根据勾股定理，得CD =4.∴tan B =tan D =12.∵BE 为⊙O 的直径，∴∠EAB =90°.在Rt △ABE 中,tan 2AE AB B =⋅=.在Rt △ACE 中，根据勾股定理，得CE =24．解：（1）37．（2）根据题意可知，三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为 1526.41535.21536.832.8.45⨯+⨯+⨯= （3）22s ＜21s ＜23s ．25．解：（1）二次.（2）设s 关于t 的函数表达式为s =at 2+bt ，根据题意，得2426.a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得11.a b =⎧⎨=⎩， ∴s 关于t 的函数表达式为s =t 2+t.（3）＞.26．解：（1）∵抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，，∴2m -4=a +（2m -6）+1.∴a =1（2）由（1）得抛物线的表达式为y =x 2+（2m -6）x +1.∴抛物线的对称轴为3.x m =-（3）①当m ＞0时，可知点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布.根据23y y ＜可得232m m m ++-＜. ∴ 1.m ＞根据31y y ≤可得232m m m -++-≥. ∴ 2.m ≤∴1 2.m ＜≤②当m ≤0时，∵3m m m +≤-＜-，∴21y y ≥，不符合题意.综上，m 的取值范围为1 2.m ＜≤27．解：（1）AO =AB .证明：∵OB 平分∠MON ， ∴∠MOB =∠NOB. ∵OM //AB ，∴∠MOB =∠ABO. ∴∠NOB =∠ABO. ∴AO =AB .根据题意，得AC =AD ，∠OAB =∠CAD .∴∠CAO =∠DAB.∴△OAC ≌△BAD. ∴∠COA =∠DBA.∴∠MOB =∠DBA.（2）EF =.证明：如图，在OM 上截取OH =BE ，连接CH .∵△OAC ≌△BAD ，∴OC=BD.又OH =BE ，∴△OHC ≌△BED.∴CH=DE ，∠OHC=∠BED ，∵OM//AB ，∴∠MFC=∠BED.∴∠MFC=∠OHC.∴CF=CH.∴CF=DE.∴CD=EF .∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°，作AK ⊥CD 于点K.∵AC=AD，∴∠ACK=30°，1.2 CK CD=∴.CK AC=∴CD.∴EF=. 28．解：（1）①D.②（-3，0）或（3，0）.（2）①3，3 2 .②k≥3.。
2019-2020学年九年级(华师大版)数学上册期末综合练习卷(含答案) (1)
九年级上册期末综合练习卷一．选择题1．下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cos B的值是（）A．B．C．D．3．四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图3所示，若AD⊥CD，AB∥CD，AB＝5，A点坐标为（﹣2，7），则点B坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，12）C．（3，7）D．（﹣7，7）4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1B．C．D．5．已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1，x2，则代数式的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20146．如图，在△ABC中，点D在边AB上，则下列条件中不能判断△ABC∽△ACD的是（）A．∠ABC＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AE 7．若分式的值是正整数，则m可取的整数有（）A．4个B．5个C．6个D．10个8．一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个点．甲乙两人各掷一次，如果朝上一面的两个点数之和为奇数，则甲胜；若为偶数，则乙胜，下列说法正确的是（）A．甲获胜的可能性大B．乙获胜的可能性大C．甲乙获胜的可能性一样大D．乙一定获胜9．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210二．填空题10．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．12．把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是．13．如图，ED为△ABC的中位线，点G是AD和CE的交点，过点G作GF∥BC交AC于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE 折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为．三．解答题（共8小题，满分75分）15．计算下列各题（1）（2）（3）（4）16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．18．在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是；（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝2，BD＝1，求CE的长．参考答案一．选择题1．C．2．B．3．C．4．B．5．D．6．C．7．A．8．C．9．B．二．填空题10．解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．11．解：如图，tanα＝＝故答案为：．12．解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）2+2﹣2，即y＝（x+2）2，故答案为y＝（x+2）2．13．解：∵ED为△ABC的中位线，∴AD、CE为△ABC的中线，∴点G为△ABC的重心，∴AG＝2GD，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，∴CD＝GF＝×4＝6，∴BC＝2CD＝12．故答案为12．14．解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴AM＝BN＝AD＝1，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E＝AE，A′B＝AB＝1，∴A′N＝＝0，即A′与N重合，∴A′M＝1，∴A′E2＝EM2+A′M2，∴A′E2＝（1﹣A′E）2+12，解得：A′E＝1，∴AE＝1；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，∴A′B＝2PB，∴∠P A′B＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B×tan30°＝1×＝；综上所述：AE的长为1或；故答案为：1或．三．解答题15．解：（1）原式＝﹣1+4﹣2＝+1；（2）原式＝2﹣3﹣（3﹣2）+3＝2﹣；（3）原式＝10+3+2＝15；（4）原式＝3+4+4﹣4+2＝9．16．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．18．解：（1）∵转动转盘①一共有3种可能，∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：；故答案为：；（2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以）45 6BA11，41，51，622，42，52，633，43，53，6共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A ）＝．（说明：通过枚举、画树状图或列表得出全部正确情况得（4分）；没有说明等可能性扣（1分）．）19．解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD ＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．20．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，又因为∠DEC＝∠ADE+∠CAD＝45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB＝∠C+∠CAD＝45°+∠CAD，∴∠DEC＝∠ADB，又∠ABD＝∠DCE＝45°，∴△ABD∽△DCE；（2）∵AB＝2，∴BC＝2，∵△ABD∽△DCE，∴＝，即＝，＝，CE＝﹣．。
2020年北京朝阳区九年级中考数学一模试卷带讲解
∴S1=1080°-720°=360°，
∴ =360°，
故答案为：360．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，掌握知识点是解题关键．
14.用一个 的值说明命题“若 为实数，则 ”是错误的，这个值可以是 _________．
【14题答案】
【分析】举出一个反例：a＝0，说明命题“若 为实数，则 ”是错误的即可．
【详解】解：由题意，得 ，所以这四个数中，相反数最大的是a．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴的知识、相反数的定义和实数的大小比较，属于基础题型，明确哪个数越大则其相反数就越小是解本题的关键．
4.一个不透明的袋中装有8个黄球， 个红球， 个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列 与 的关系一定正确的是（）
【详解】原式
，
当 时，原式 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
6.如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为 ， ， ，则 的长为（）
A.2.5B.4C.5D.10
【6题答案】
C
【分析】先根据垂径定理得出CE=DE=2，易得∠B=∠C，然后在Rt△ACE和Rt△BDE中分别利用∠C和∠B的正切求出AE与BE的长，进而可得答案．
乙返回办公室用了14-10=4（分钟），故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图象获取条件是解题关键．
16.某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：
乘坐缆车方式
乘坐缆车费用（单位：元/人）
往返
180
单程
100
北师大版初中数学九年级上册第一章综合测试试卷-含答案01
第一章单元综合测试一、单选题1.已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是（ ） A .OA OC =，OB OD =B .当AB CD =时，四边形ABCD 是菱形C .当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形D .当AC BD =且AC BD ⊥时，四边形ABCD 是正方形2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE CE =，则OE 的长是（ ）A .2B .52C .3D .4 3.如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 单位中点，过点E 作EF BD ⊥于F ，EG AC ⊥与G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A .14SB .18SC .112S D .116S 4.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点.若菱形ABCD 的周长为32，则OE 的长为（ ）A .3B .4C .5D .65.如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）A .310B .13C .25D .496.如图，正方形ABCD 的边长8AB =，E 为平面内一动点，且4AE =，F 为CD 上一点，2CF =，连接EF ，ED ，则2EF ED +的最小值为（ ）A .B .C .12D .10二、填空题7.如图，在菱形ABCD 中，50B ∠=︒，点E 在CD 上，若AE AC =，则BAE ∠=________.8.如图，在矩形ABCD 中，E ,F 分别为边AB ，AD 的中点，BF 与EC ，ED 分别交于点M ，N .已知4AB =，6BC =，则MN 的长为________.9.如图，在矩形ABCD 中，9AB =，AD =，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，则CQP ∠=________.10.如图，正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE AB =，则BEA ∠的度数是________度.三、作图题11.在正方形ABCD 中，E 是CD 边上的点，过点E 作EF BD ⊥于F .（1）尺规作图：在图中求作点E ，使得EF EC =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接FC ，求BCF ∠的度数.四、综合题12.如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ⊥，分别交AB ，DC 于点E 、F ，连接AF 、CE .（1）若32OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.13.如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF .（1）求证：A BDE F E △≌△；（2）求证：四边形ADCF 为矩形.14.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点D 作DE BC ⊥于E ，延长CB 到点F ，使BF CE =，连接AF ，OF .（1）求证：四边形AFED 是矩形；（2）若7AD =，2BE =，45ABF ∠=︒，试求OF 的长.15.如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且EBF △是等腰直角三角形，其中90EBF ∠=︒，连接CE 、CF（1）求证：ABF CBE △≌△；（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由.16.如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF .（1）求证：HEA CGF ∠∠=；（2）当AH DG =时，求证：菱形EFGH 为正方形.第一章单元综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，OA OC =∴，OB OD =，故A 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB CD =，不能推出四边形ABCD 是菱形，故B 错误，∵四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒， ∴四边形ABCD 是矩形，故C 正确，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，AC BD ⊥， ∵四边形ABCD 是正方形.故D 正确.故答案为：B . 2.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，8AC =，6BD =，142CO AC ==∴，132OD BD ==，AC BD ⊥，5DC =∴，90EOC DOE ∠+∠=︒，90DCO ODC ∠+∠=︒，OE CE =∵，EOC ECO ∠=∠∴，DOE ODC ∠=∠∴，DE OE =∴，1522OE CD ==∴故答案为：B . 3.【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是菱形，OA OC =∴，OB OD =，AC BD ⊥，12S AC BD =⨯， EF BD ⊥∵于F ，EG AC ⊥于G ，∴四边形EFOG 是矩形，EF OC ∥，EG OB ∥，∵点E 是线段BC 的中点，EF ∴、EG 都是OBC △的中位线，1124EF OC AC ==∴，1124EG OB BD ==，∴矩形EFOG 的面积11111=44828EF EG AC BD AC BD S ⎛⎫=⨯=⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭；答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
2010北京朝阳区九年级数学综合练习
北京朝阳区初三年级综合练习（一）数 学 试 卷 2010.5第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母涂黑． 1．16的平方根是A ．4B ．-4C ．4或-4D ．8或-8 2．上海世博会志愿者招募工作已于2009年5月1日启动，预计总共招募170000人，将170000这个数用科学记数法表示正确的是 A ．0.7610⨯ B ．1.7510⨯ C ．1.7410⨯ D ．17410⨯ 3．点A （-3，4）与点B （m ，n ）关于x 轴对称，则点B 的坐标为 A ． (-3,-4) B ． (-3,4) C ． (3,-4) D ． (3,4) 4．函数21xy x =+中，自变量x 的取值范围是 A ．x>-1 B ．x ＞1 C ．x≠-1 D ．x≠05．若两圆的半径分别是3cm 和4cm ，圆心距为7cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，如果∠BOC=70°， 那么∠A 的度数为 A ．70° B ．35° C ．30° D ．20°7．已知关于x 的方程2(2)310m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是A ．124m m ≠-＜且 B ． 124m m ≠-＜-且 C ．14m ＜D ． 14m ＜-8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC, ∠B=60o ,AB=AD=BO=4,OC=8,点P 从B 点出发，沿四边形ABCD 的边BA →AD →DC 以每分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为t,△POD 的面积为S ，则S 与t 的函数图象大致为第Ⅱ卷（填空题和解答题，共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．分解因式22am am a -+ =_____________．10．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．则两次取出小球上的数字相同的概率为_____________． 11．九(3) 班要在两名同学中选成绩比较稳定的1人参加学校秋季运动会的跳远比赛，同学甲近两天的5次试跳成绩分别为3.5，3，2.5，3，3（单位米），同学乙在这5次试跳中成绩的平均数、方差分别为3和0.2，则根据以上数据应选取那个同学参赛比较合适（填甲或乙）．12．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．三、解答题（13题—22题每小题5分，23题7分，24题7分，25题8分，共72 分） 13．（本小题满分5分）计算：01)3()21(60sin 227-+-+︒--π．14．（本小题满分5分）解方程 32322x x x-=+-．15．（本小题满分5分） 求不等式组⎩⎨⎧---≤-xx x x 152,34)2(2＜的整数解．16．（本小题满分5分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠BAD 、∠CDA 的平分线AE 、DF 分别交直线BC 于点E 、F ．求证： CE=BF ． 17．（本小题满分5分）某校组织了“展示我美丽祖国”庆国庆60周年的自拍照片的评比活动.根据获奖同学在评比中的成绩制成的统计图表如下：根据以人口图书馆表提供的信息，解答下列问题： （1）写出表中x,y 的数值：x________,y________； （2）补全频数分布直方图；（3）如果评比成绩在95分以上（含95分）的可以获得特等奖，那么特等奖的获奖率是多少？（4）获奖成绩的中位数落在哪个分数段？18．列方程（或方程组）解应用题（本小题满分5分）春暖花开的时节，同学们到公园去划船，看了有关规定和价目表（如右图所示）后，老师租了电动船和脚踏船共24条，同学们都上了船，恰好每条船都坐满了，大家玩儿得很开心，划船1小时共用了1050元．求（1）电动船和脚踏船各租用了多少条？（2）参加划船的同学共有多少人？19．（本小题满分5分）如图，小高同学观景塔AD 顶端A 点处，在地面上一条河的两岸各选择一点B 、C 使得点B 、C 、D 在一条直线上，用测角仪器测得B 、C 两点的俯角分别是30°和60°．已知观景塔的高度是24米，求河宽BC 的值（精确到0.1米）．( 1.41, 1.73==)20．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中，将直线y kx =向上平移3个单位后，与反比例函数k y x=的图象的一个交点为(2,)A m ，试确定平移后的直线解析式和反比例函数解析式．21．（本小题满分5分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径长；（3）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．22．（本小题满分5分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD绕点C 顺时针旋转90°得到矩形CGEF．（1）求点A在旋转过程中所走过的路径的长（结果保留π和根号）；（2）点P为线段BC上一点（不包括端点），且AP⊥EP，求△APE的面积．23．（本小题满分7分）请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．24．（本小题满分7分）已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．25．（本小题满分8分）已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处．（1）当CE BE=1 时，CF=______cm ， （2）当CEBE=2 时，求sin ∠DAB′的值；图3（3）当CEBE= x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．草 稿 纸北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷评分标准及参考答案2010.5一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBACCBAD二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9．a( m-1)210．31 11．甲 12．81 三、解答题（共13个小题，共72 分） 13．（本小题5分）解：原式1223233+-⨯-= …………………………………………………………4分132-=． …………………………………………………………………………5分14．（本小题5分）解： 整理，得 3x 23x 2x 2+=+-，…………………………………………………………1分CA DB去分母，得 3x(x-2)+2(x+2)=3(x 2-4) ．…………………………………………………2分∴ 3x 2-6x+2x+4=3x 2-12． ……………………………………………………………3分解这个方程，得 x=4． (4)分经检验x=4是原方程的解． ……………………………………………………………5分 15．（本小题5分）解：由①得 21-≥x ； ………………………………………………………………………2分由②得 x< 2． (3)分∴ 此不等式组的解集为221<≤-x ．…………………………………………………4分∴ 此不等式组的整数解为0，1． (5)分16．（本小题5分）证明：在梯形ABCD 中，AB=DC ，∴ ∠ABC ＝∠DCB ，∠BAD ＝∠CDA ． ………………………………………………1分∵ AE 、DF 分别为∠BAD 与∠CDA 的平分线，∴ 11BAE BAD,CDF CDA 22∠=∠∠=∠．∴∠BAE＝∠CDF ． ………………………………………………………………………2分∴△ABE ≌△DCF ． ………………………………………………………………………3分∴BE=CF ……………………………………………………………………………………4分 ∴ BE-BC=CF-BC ． 即BF=CE ．……………………………………………………………………………………5分 17．（本小题5分）解：（1）40 (1)分0.4 ………………………………………………………………………………………2分（2）如图………………………………………………………………3分（3）10% ………………………………………………………………………………………4分（4）85~90分数段 ……………………………………………………………………………5分18．（本小题5 分）解：（1）设电动船租了x 条，脚踏船租了y 条， ……………………………………… 1分 依题意，得x y 24,50x 40y 1050.+=⎧⎨+=⎩……………………………………………………………3分 解得x y 1=⎧⎨=⎩ ………………………………………………………………………………4分（2）4x+6y=36+90=126． ……………………………………………………………5分 答：电动船租了9条，脚踏船租了15条，这次划船的同学共有126人．19．（本小题5分）解：由已知可得∠B=30°，∠ACD=60°．……………………………………………………1分在Rt △ADC 中，sin ∠ACD=ACAD，…………………………………………………………2分∵ AD=24， ∴……………………………………………………………………………3分∵∠BAC=∠ACD－∠B=30°=∠B ， ………………………………………………………4分∴BC=AC=16≈27.7米． ………………………………………………………………5分∴ 河宽BC 的值约是27.7米． 20．（本小题5分）解：将直线y kx =向上平移3个单位后的解析式为3+=kx y ，………………………1分∵ 点(2,)A m 是直线3+=kx y 与双曲线ky x=的交点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=2,32km k m ……………………………………………………………………………2分 解得 k = -2． ………………………………………………………………………………3分∴ 平移后的直线解析式为32+-=x y ，反比例函数解析式为xy 2-=．………………5分21．（本小题5分）（1）证明：连接CO.∵ ∠CDB=∠OBD=30°， ∴ ∠BOC=60°． ……………………………………1分 ∵ AC ∥BD ，∴ ∠A=∠OBD=30°． ∴ ∠ACO=90°．∴ AC 为⊙O 切线． ……………………………………2分 （2）解：∵ ∠ACO =90°，AC ∥BD ， 90BEO ACO∴∠=∠=°．（第21题图）∴ DE=BE=3321=BD ． …………………………………………………………………3分 在Rt BEO △中，sin ∠O=sin60°=OB BE ， ∴ OB3323=．∴OB=6． 即O ⊙的半径长为6cm ． ······················································································ 4分（3）解：∵∠CDB=∠OBD=30°，又CED BEO ∠=∠ ，BE ED =，CDE OBE ∴△≌△ ．∴ ππ6360660S 2OBC =⨯==扇阴S (cm 2) ········································································· 5分 答：阴影部分的面积为6πcm 2．22．（本小题5分）（1）连接AC ，在Rt △ABC 中，AB=4，BC=8，由勾股定理得AC=54．………………………………………………………………………1分∴ππ521805490=⨯． ……………………………………………………………………3分即点A 在旋转过程中所走过的路径的长为ππ521805490=⨯； （2）如图，设BP=x ，则PG=12-x ．∵ AP ⊥EP ，∴ ∠APB+∠EPG=90°．又 ∠EPG+∠PEG=90°，∴ ∠APB=∠PEG ．∴ tan ∠APB=tan ∠PEG ．∴EGPG PB AB =．即8124x x -=． 解得x 1=4，x 2=8（不符合题意，舍去）．∴x=4，即BP=4． ……………………………………………………………………………4分当BP=4时，PG=8，∴ AP=42，PE=82，3228242121=⨯⨯=⋅=∆PE AP S APE ． …………………5分23．（本小题7分）解：（1）如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP′A ，则△BPC ≌△BP′A ．∴AP′=PC=1，．连结P P′，在Rt △BP′P 中，∵ P BP′=90°， ∴ P P′=2，∠BP′P=45°． ………………………………2分在△AP′P 中， AP′=1，P P′=2，∵ 22212+=，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP 2．∴ △AP′P 是直角三角形，即∠A P′ P=90°．∴ ∠AP′B=135°．∴ ∠BPC=∠AP′B=135°． ……………………………………………………………… 4分（2）过点B 作BE ⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E ．∴ ∠EP′ B=45°.∴ EP′=BE=1. ∴ AE=2.∴ 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得 ……………………………………… 7分∴ ∠BPC=135°24．（本小题7分）解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A （4，0），∴ 0 = 4k -3，解得k=34． ∴直线的解析式为 y=34x-3． ………………………………………………………………1分 由直线y=34x-3与y 轴交于点C ，可知C(0,-3) ．∵ 抛物线234y x mx n =-++经过点A(4,0)和点C, ∴ 2344304m -⨯+-=，解得 m=154． ∴ 抛物线解析式为2315 3.44y x x =-+- ……………2分 （2）对于抛物线3x 415x 43y 2-+-=，令y=0，则03x 415x 432=-+-，解得x 1=1，x 2=4． ∴ B(1，0).∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t ，AQ=5-2t.① 若∠Q 1P 1A=90°,则P 1Q 1∥OC （如图1），∴ △AP 1Q 1∽△AOC. ∴ 11AP AQ AO AC =, ∴3t 52t 45--=．解得t= 53； ………………………………………………3分 ② 若∠P 2Q 2A=90°, ∵∠P 2AQ 2 =∠OAC ，∴ △AP 2Q 2∽△AOC. ∴22AP AQ AC AO =, ∴ 3t 52t 54--=．解得t=136； ………………………………………………4分 ③ 若∠Q A P=90°,此种情况不存在. ………………………………………………………5分综上所述，当t 的值为53或136时，△PQA 是直角三角形． （3）答：存在．过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为E ，交AC 于点F （如图2）.∴ S △ADF =12DF·AE ，S △CDF =12DF·OE ．∴ S △ACD = S △ADF + S △CDF =12DF·AE +12DF·OE =12DF×(AE+OE) =12×(DE+DF)×4 =12×(23153x x 3x 3444-+--+)×4 =23x 6x 2-+． ……………………………………………………………………6分∴ S △ACD =23(x 2)62--+（0<x<4）． 又0<2<4且二次项系数023<-，∴ 当x=2时，S △ACD 的面积最大．而当x=2时，y=32． ∴ 满足条件的D 点坐标为D (2,32)． …………………………………………………7分25．（本小题8分） 解：（1）CF= 6 cm ； …………………………………………2分（2）① 如图1，当点E 在BC 上时，延长AB ′交DC 于点M ，∵ AB ∥CF ，∴ △ABE ∽△FCE ，∴FC AB CE BE =． ∵ CEBE =2， ∴ CF=3． ∵ AB ∥CF ，∴∠BAE=∠F ．又∠BAE=∠B ′ AE ， ∴ ∠B ′ AE=∠F ．∴ MA=MF ．设MA=MF=k ，则MC=k -3，DM=9-k ．在Rt △ADM 中，由勾股定理得：k 2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=132． ∴ DM=52． ∴ sin ∠DAB ′=135=AM DM ； ……………………………4分 ②如图2，当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ′ E 于点N ，同①可得NA=NE ．设NA=NE=m ，则B ′ N=12-m ．在Rt △AB ′ N 中，由勾股定理，得m 2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=152． ∴ B ′ N=92． ∴sin ∠DAB ′=53='AN N B ． ………………………………………………………………6分 （3）①当点E 在BC 上时，y=18x x 1+； ………………………………………………………7分（所求△A B ′ E 的面积即为△ABE 的面积，再由相似表示出边长）②当点E 在BC 延长线上时，y=18x 18x-． ……………………………………………8分说明：各解答题其他正确解法请参照给分.图2 图1。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册阶段性(第1—4章)综合练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册阶段性（第1—4章）综合练习题（附答案）一、选择题（共8小题，计24分）1．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx＝0的根，则下列式子成立的是（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a+b＝1D．a﹣b＝12．下列说法正确的是（）A．菱形不是轴对称图形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的菱形是正方形D．正方形有2条对称轴3．已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB＝2，则BC＝（）A．﹣1B．（+1）C．3﹣D．（﹣1）4．将一元二次方程x2﹣6x+7＝0化成（x+a）2＝b的形式，下列变形正确的是（）A．（x+3）2＝7B．（x﹣3）2＝9C．（x﹣6）2＝2D．（x﹣3）2＝2 5．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．以B为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交AB、BC于点F、G，以D为圆心，以相同的半径画弧，交AD于点M，以M为圆心，以FG的长度为半径画弧，交于点N，连接DN并延长交AC于点E．则下列式子中错误的是（）A．B．C．D．6．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（）A．24B．10C．D．7．如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（）A．B．C．D．8．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与点B、D重合），连接AE，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG、DG，DG与BA的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段PG的最小值是（）A．1B．C．2D．2二、填空题（共5小题，计15分）9．方程（x+1）2＝4的根是．10．若线段a，b，c，d成比例，其中a＝3cm，b＝6cm，c＝4cm，则d＝cm．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是．12．如图，点E是矩形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若AB＝4，BC＝6，则△EDF的周长为．13．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，则每个横彩条的宽度是cm．三、解答题（共13小题，计81分）14．解方程：（x+4）2＝5（x+4）15．在一个不透明的盒子中装有黄、白两种颜色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其它都相同，小明每次摸出一个球记录下颜色后放回，通过多次试验后发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2，请你估计盒子中黄色乒乓球的个数．16．已知方程（a+1）x+（a﹣2）x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，求a的值．17．已知，如图l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝10，DF＝24，求DE和EF的长．18．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．19．有四个从外观看毫无差别的鸡蛋，其中有两个是熟鸡蛋，两个是生鸡蛋．（1）随机取出一个是熟鸡蛋的概率是；（2）若从中随机取出两个鸡蛋，请用列表法或画树状图的方法求取出的正好是两个熟鸡蛋的概率．20．如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s 的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm2？21．如图，已知菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC边上一动点，F是CD边上一动点，且BE＝CF，连接AE、AF．求证：AE＝AF．22．如图，小华站在两栋楼AB、CD间线段AC的中点F处，调整帽檐使视线通过帽檐边沿正好看到楼AB的顶端点B，她保持身体姿势不变，向着楼AB的方向走去，当她到达楼AB的底端A处时，原地转身，视线通过帽檐边沿正好看到大楼CD的顶端点D，已知楼AB的高度为7米，小华眼睛距离地面的高度EF为1.5米，请你计算大楼CD的高度．23．如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接DF，分别交AE、AB于点G、P，连接PE．已知∠BAF＝∠BFD．（1）求证：∠GAD＝∠GDA；（2）判断四边形APED的形状，并说明理由．24．如图，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，E为AD上一点，连接CE，且CD＝CE．（1）求证：△ACE∽△BAD；（2）若AB＝8，BC＝6，试求线段AD的长．25．科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径，在居民接种疫苗高峰期时段，相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器，经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天．（1）现该厂要保证每天生产一次性注射器2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？（2）是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．26．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点（点E不与B、C 重合），DF⊥AE，垂足为点F，过点D作DG∥AE，交BC的延长线于点G．（1）若DF＝AB，①求证：四边形AEGD是菱形；②求四边形CDFE的周长；（2）如图2，AM⊥DG于点M，EN⊥DG于点N，探究：①当CE为何值时，四边形AFDM是正方形；②点E在BC边上的运动过程中，四边形AENM的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题，计24分）1．解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx＝0的根，∴a﹣b＝0，故选：B．2．解：A、错误，菱形是轴对称图形；B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，对角线相等的菱形都是正方形；D、错误，正方形有4条对称轴；故选：C．3．解：由于C为线段AB＝2的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC＝2×＝﹣1．故选：A．4．解：x2﹣6x+7＝0，x2﹣6x＝﹣7，配方得：x2﹣6x+9＝﹣7+9，即（x﹣3）2＝2，故选：D．5．解：由题意可得：∠ABC＝∠ADE，∴DE∥BC，∴，，，故选项A，B，D不合题意，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故选项C符合题意，故选：C．6．解：如图，对角线AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∴BC＝＝＝5，∵菱形ABCD的面积＝×6×8＝24，∴AH＝，故选：C．7．解：如图，把分隔线上方的两个扇形记为A、B，下方的半圆分成两个小扇形记为C、D，画树状图如下：共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4种，∴两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率为＝，故选：C．8．解：四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AD＝AB，AG＝AE，∠ABD＝45°，∴∠DAB﹣∠DAE＝∠GAE﹣∠DAE，即∠GAD＝∠EAB，在△GAD和△EAB中，，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴∠PDG＝∠ABD＝45°，∴点G在线段DH上，∴当PG⊥DH时，PG最短，∵正方形ABCD的边长为8，点P为AD的中点，∴DP＝4，∵PG⊥DH，∠PDG＝45°，∴△PDG为等腰直角三角形，∴PG＝＝＝2，故选：D．二、填空题（共5小题，计15分）9．解：由原方程，得x+1＝±2．解得．故答案是：．10．解：∵线段a、b、c、d成比例，∴a：b＝c：d，∴d＝6×4÷3＝8．故答案为：8．11．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣62°＝28°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，∵E是BC的中点，∴DE＝，CE＝BC，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE＝62°，故答案为：62°．12．解：∵，BC＝AD＝6，∴DE＝2，AE＝4，在直角三角形ABE中，由勾股定理可得BE＝＝，∴△ABE的周长为4+4+＝8+4，∵∠A＝∠EDF，∠AEB＝∠DEF，∴△ABE∽△DFE，∴，∴△ABE和△DFE的周长比为2，∴△DFE的周长为4+2．故答案为：4+2．13．解：设每个横彩条的宽度是2xcm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，空白部分可合成长为（30﹣2×3x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的矩形，依题意得：（30﹣2×3x）（20﹣2×2x）＝30×20×（1﹣），整理得：（5﹣x）2＝16，解得：x1＝1，x2＝9（不合题意，舍去），∴2x＝2×1＝2．故答案为：2．三、解答题（共13小题，计81分）14．解：移项得：（x+4））2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0，x+4﹣5＝0，x1＝﹣4，x2＝1．15．解：设袋中有黄球x个，由题意得：＝0.2，解得：x＝16．答：估计盒子中黄色乒乓球的个数有16个．16．解：由关于x的方程（a+1）x+（a﹣2）x﹣1＝0是一元二次方程，得．解得：a＝1．17．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝6，BC＝10，DF＝24，∴＝，解得：DE＝9，∴EF＝24﹣9＝15．18．证明：当m＝0时，原方程为x﹣2＝0，解得x＝2；当m≠0时，Δ＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）＝（m+1）2≥0，所以方程有两个实数根，所以无论m为何值原方程有实数根．19．解：（1）随机取出一个是熟鸡蛋的概率是＝；故答案为：；（2）画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中正好是两个熟鸡蛋的共有2种．所以P（两个熟鸡蛋）＝＝．20．解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴QE＝QB．设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根据题意得：•（6﹣t）•t＝4，整理得：t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，∴t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．21．证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC、△ACD是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACF＝60°，∴∠B＝∠ACF＝60°，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF．22．解：如图，延长ME交CD于点N，由题意得：AM＝EF＝CN＝1.5米，ME＝EN＝MN，∠BEM＝∠DMN，∠BME＝∠DNM ＝90°，∴△BME∽△DNM，∴，∵AB＝7米，∴BM＝AB﹣AM＝7﹣1.5＝5.5（米），∴，解得：DN＝11，∴CD＝CN+DN＝1.5+11＝12.5（米），答：大楼CD的高度为12.5米．23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥DC，∠BAD＝90°．∴∠BAE+∠GAD＝90°．∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE＝90°．∴∠GAD＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠GDA．∴∠GAD＝∠GDA．（2）解：四边形APED是矩形．理由如下：在△APD与△DEA中，．∴△APD≌△DEA（ASA）．∴AP＝DE，∵AB∥DC，∴四边形APED是平行四边形．∵∠P AD＝90°．∴▱APED是矩形．24．（1）证明：∵CD＝CE∴∠CDE＝∠CED∴∠AEC＝∠BDA又∵∠DAC＝∠B∴△ACE∽△BAD；（2）解：∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝CE＝BC＝3，∵∠DAC＝∠B，∴∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，∴AC＝3，∵△ACE∽△BAD，∴，即，∴AD＝4．25．解：（1）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/天，依题意得：（1+m）（600﹣20m）＝2600，整理得：m2﹣29m+100＝0，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线；（2）不能，理由如下：设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/天，依题意得：（1+a）（600﹣20a）＝5000，整理得：a2﹣29a+220＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣29）2﹣4×1×220＝﹣39＜0，∴该方程无实数根．∴不能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．26．证明：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BG，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，又∵DG∥AE，∴四边形AEGD是平行四边形，又∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠B，又∵DF＝AB，∴△DF A≌△ABE（AAS），∴AD＝AE，∴四边形AEGD是菱形；②在矩形ABCD中，DC＝AB＝4，BC＝AD＝5，∵△DF A≌△ABE，∴AF＝BE，DF＝AB＝4，AE＝BC＝AD＝5，∴在Rt△ABE中，BE＝，∴AF＝BE＝3，CE＝EF＝2，∴四边形CDFE的周长＝2（CE+DC）＝12；（2）①∵DG∥AE，DF⊥AE，∴∠AFD＝∠FDM＝90°．∵AM⊥DG．∴∠AMD＝90°．∴四边形AFDM是矩形．要使四边形AFDM是正方形，必须AF＝DF．∵∠AFD＝90°∴△AFD是等腰直角三角形，∴∠DAF＝45°．∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF＝45°，又∵∠AFD＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，∴当CE＝1时，四边形AFDM是正方形；②点E在BC边上的运动过程中，四边形AENM的面积不发生变化，∵AM⊥DG，EN⊥DG，∴AM∥EN，∵MG∥AE，∴四边形AENM是矩形．∴S矩形AENM＝S▱AEGD＝S矩形ABCD＝AB×BC＝4×5＝20，即点E在BC边上的运动过程中，四边形AENM的面积为定值20．。
人教版九年级数学上册综合题练习卷：第21章 一元二次方程(包含答案)
第21章一元二次方程1．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？2．某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？3．关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0（1）求方程的解；（2）若方程的解为整数，求k值．4．某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个．（1）求该市这两年养老床位数的年平均增长率：（2）该市2018年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间（一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间）共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m（12≤m≤15），双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？5．为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？6．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m＝时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．7．（1）解方程：2x2﹣x﹣1＝0；（2）解不等式组：8．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．9．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．10．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．12．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．13．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．（1）求2018年甲类芯片的产量；（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．14．（1）关于x，y的方程组满足x+y＝5，求m的值．（2）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根x1，x2满足x12+x22＝5，求的值．15．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．17．（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．（2）解不等式组：18．已知关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0．（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由．19．建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？20．2019长春国际马拉松于5月26日上午在长春体育中心鸣枪开跑．某公司为赛事赞助了5000瓶矿泉水，计划以后每年逐年增加，到2021年达到7200瓶，若该公司每年赞助矿泉水数量增加的百分率相同．（1）求平均每年增加的百分率；（2）假设2022年该公司赞助矿泉水增加的百分率与前两年相同，请你预测2022年该公司赞助的矿泉水的数量．参考答案1．【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．【分析】（1）可设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，根据等量关系：①一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元；②购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元；列出方程组求解即可；（2）根据该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有，解得．故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；（2）依题意有：（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，整理，得150a2﹣180a＝0，解得a1＝，a2＝0（舍去）．故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．【点评】考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．3．【分析】（1）根据一元二次方程的定义，利用因式分解法可解；（2）根据（1），利用整数根可解．【解答】解：（1）∵该方程是关于x的一元二次方程，∴k≠6，k≠9∵（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0∴[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]＝0解得x＝或∴方程的解为x＝或．（2）∵方程的解为x＝或．若方程的解为整数，①当6﹣k＝±1，±3，±9时，x是整数，此时k＝7、5、3、9、15、﹣3；②当9﹣k＝±1，±2，±3，±6时，x是整数，此时k＝10、8、11、7、12、6、15、3．综上可知，k＝3、7、15时原方程的解为整数．【点评】本题考查了一元二次方程的定义及整数根的求解问题，难度中等．4．【分析】（1）设该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2018年的床位数＝2016年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，三人间的房间数为100﹣3m，设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y＝m+4m+3（100﹣3m）＝﹣4m+300∵y随m的增大而减小∴当m＝12时，y的最大值为252．当m＝15时，y的最小值为240．答：该养老中心建成后最多提供养老床位252个，最少提供养老床位240个．【点评】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系找出y关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．5．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数＝9×5，把相关数值代入即可．【解答】解：该县团委应邀请x个足球队参赛．每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）＝9×5．整理，得x2﹣x﹣90＝0．解得x1＝﹣9（不合题意，舍去），x2＝10．答：该县团委应邀请10个足球队参赛．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．6．【分析】（1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝5，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论．【解答】（本题6分）解：（1）∵方程有实数根，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×2m≥0，（1分）m≤，（2分）∴当m≤时，原方程有实数根；（3分）（2）当m＝时，原方程可化为：x2﹣5x+5＝0，设方程的两个根分别为x1、x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝5，（4分）∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示，∴AC＝＝＝＝，（5分）∴该矩形外接圆的直径是．（6分）【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键．7．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，（2x+1）（x﹣1）＝0，2x+1＝0，x﹣1＝0，x1＝﹣，x2＝1；（2）∵解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤3．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．8．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本＝3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．9．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．11．【分析】（1）由于关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，整理得，4k﹣3＞0，解得：k＞，故实数k的取值范围为k＞；（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2k+1＝3，解得：k＝1，∴原方程为x2﹣3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．12．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．【解答】（1）解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1又∵+＝x1•x2，∴∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根∵k≤1∴．【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．13．【分析】（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），即可得出答案．【解答】解：（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400；答：2018年甲类芯片的产量为400万块；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，则：400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，400（1+t）2+2×400（1+t﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．14．【分析】（1）观察到方程组两方程相加，左边出现3（x+y），把x+y作为一个整体来计算．（2）根据韦达定理求出用m表示x1+x2和x1x2的值，利用完全平方公式的变形得到x12+x22的式子，进而得到关于m的方程．【解答】解：（1）根据题意把方程组两式相加得：2x+y+x+2y＝m+3m+13（x+y）＝4m+1∴x+y＝又∵x+y＝5∴解得：m＝（2）∵a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m∴△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4•（﹣m）＝m2﹣2m+1+4m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0∴无论m为何值时，方程一定有实数根．∵x1+x2＝＝m﹣1，x1x2＝＝﹣m∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（m﹣1）2+2m∵x12+x22＝5∴（m﹣1）2+2m＝5解得：m＝±2当m＝2时，＝＝当m＝﹣2时，＝＝∴的值为或【点评】本题考查了解二元一次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式的加减．15．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．16．【分析】（1）求出△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2，再判断即可；（2）求出方程的根是±1，再代入方程，即可求出答案．）【解答】（1）证明：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，∴此根是±1，当根是1时，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，即0＝0，此时m为任何数；当根是﹣1时，1+（m+3）+m+2＝0，解得：m＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．17．【分析】（1）利用配方法解方程；（2）分别解两个一次不等式得到x＞﹣2和x≤2，然后根据确定不等式组的解集．【解答】解：（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝，所以x1＝1+，x2＝1﹣；（2）解①得x＞﹣2，解②得x≤2，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了解一元一次不等式组．18．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）先计算出△并且设△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．【解答】（1）证明：①当2m﹣1＝0即m＝时，此时方程是一元一次方程，其根为x＝，符合题意；②当2m﹣1≠0即m≠时，△＝[﹣（2m+1）]2﹣4（2m﹣1）＝（2m﹣1）2+4＞0，∴当m≠时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要△＝b2﹣4ac为完全平方数，而△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，设△＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m＝，②2m﹣1＝0时，m＝（不合题意舍去）．所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．【点评】考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式为△＝b2﹣4ac．△＝b2﹣4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．同时考查了不定方程特殊解的求法．19．【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．【解答】解：（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，依题意，得：（33﹣2x）x＝130，解得：x1＝6.5，x2＝10，∴33﹣2x＝20或13．答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．（2）∵10≤a＜18，∴33﹣2x＝13，∴养鸡场的长为13米宽为10米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．【分析】（1）设平均每年增加的百分率为x，根据该公式2019年及2021年赞助矿泉水的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2022年该公司赞助的矿泉水数量＝2021年该公司赞助的矿泉水数量×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设平均每年增加的百分率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均每年增加的百分率为20%．（2）7200×（1+20%）＝8640（瓶）．答：预测2022年该公司赞助矿泉水8640瓶．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。
2022年北京市朝阳区中考一模数学试题(解析版)
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷学校__________ 班级__________ 姓名__________ 考号__________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称，班级、姓名和考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 三棱柱B. 长方体C. 圆锥D. 圆柱【答案】A【解析】【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：A．【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是熟记一些简单的几何体的三视图．2. 2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报告．报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就．2021年国内生产总值达114万亿元，增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为（）A.70.11410´ B.51.1410´ C.61.1410´ D.411.410´【答案】C 【解析】【分析】先确定a =1.14，再确定n =6，用科学记数法形式表示出来即可．【详解】解：∵1140000=61.1410´，故选C ．【点睛】本题考查了大数的科学记数法，熟练掌握如何确定a 值，n 值是解题的关键．3. 实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. 0a b +> B. 0ab > C. 0a b -> D.||||a b >【答案】D 【解析】【分析】根据数轴上的位置确定a ，b 的正负和绝对值大小，再根据实数运算法则判断即可．【详解】解：根据实数a ，b 在数轴上对应点的位置可知，a <0，b >0，|a |>3>|b |，所以，a +b <0，ab <0，a −b <0， |a |>|b |，故选：D ．【点睛】本题考查了实数在数轴上表示和实数的运算法则，解题关键是树立数形结合思想，熟练运用实数运用法则判断式子符号．4. 将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中1Ð的大小为（ ）A. 100°B. 105°C. 115°D. 120°【答案】B 【解析】【分析】先根据平行线的性质求出∠BCE的度数，然后根据平角的定义求解即可．【详解】解：如图所示，由题意得，∠ABC=30°，∠DCE=45°，AB∥CE∴∠BCE=∠ABC=30°，∴∠1=180°-∠BCE-∠DCE=105°，故选：B．【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．5. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式和多边形的外角和等于360°求解即可；【详解】解：多边形的外角和等于360°不变；A、三角形的内角和为：180°，不符合题意；B、四边形的内角和为：360°，符合题意；C、五边形的内角和为：540°，不符合题意；D、六边形的内角和为：720°，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角和、多边形的外角和；熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．6. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）A. 23 B. 12C. 13D. 14【答案】D 【解析】【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：第一次 第二次开始 ììíïïîíìïíïîî红球红球绿球红球绿球绿球∴P 两次都是红球14=．故选D ．【点睛】考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．7. 下图是国家统计局公布的2021月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为,环同x x ，方差分别为22,环同s s ，则（）A. 22,>>环环同同x x s s B. 22,><环环同同x x s s C. 22,<>环环同同x x s s D.22,<<环环同同x x s s 【答案】A【解析】【分析】先确定数组中的数据，分别计算平均数和方差，比较判断即可．【详解】解：∵环比的数据为：1，0.6，-0.5，-0.3，-0.2，-0.4，0.3，0.1，0，0.7，0.4，-0.3，∴10.60.50.3(0.3)=0.112+--++-»K 环，22222(10.1)(0.60.1)(0.50.1)(0.30.1)=0.212S -+-+--++--»K 环∵同比的数据为：-0.3，-0.2，0.4，0.9，1.3，1.1，1.0，0.8，0.7，1.5，2.3，1.5，∴(0.3)+(0.2)0.4+0.9+ 1.5=0.912x --++»K 同，22222(0.30.9)(0.20.9)(0.40.9)(1.50.9)=0.512S--+--+-++-»K 同∴22,>>环环同同x x s s ，故选A ．【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，方差的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．8. 点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数1y x =的图象上，下列推断正确的是（ ）A. 若12x x <，则12y y< B. 若12x x <，则12y y>C. 若120x x +=，则120y y += D. 存在12x x =，使得12y y ¹【答案】C 【解析】【分析】反比例函数1y x =的图象在一三象限，且在每个象限内，y 随x 到增大而减小．据此可判断．【详解】解：反比例函数1y x =的图象在一三象限，且在每个象限内，y 随x 到增大而减小，那么：A 、若12x x <，且（x 1，y 1）、(x 2，y 2)在同一个象限，则12y y >，故选项错误，不符合题意；B 、若12x x <，且（x 1，y 1）、(x 2，y 2)分别在三、一象限内，则12y y <，故选项错误，不符合题意；C 、若120x x +=，则12121212110x x y y x x x x ++=+==g ，故选项正确，符合题意；D 、若12x x =，则1211y y =，即y 1=y 2，另外，还可根据函数的定义：对于自变量x 的值，y都有唯一确定的值和它相对应，所以当12x x =时，12y y ¹不可能．故选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．二、填空题（共16分，每题2分）9. 使分式11x -有意义的x 的取值范围是_________．【答案】x ≠1【解析】【详解】根据题意得：x -1≠0，即x ≠1. 故答案为：x ≠1．10. 分解因式：22242a ab b -+=_________．【答案】()22a b -【解析】【分析】首先提取公因式2，再根据完全平行方公式即可分解因式．【详解】解：22242a ab b -+()2222a ab b =-+()22a b =-，故答案为：()22a b -．【点睛】本题考查了利用提公因式法和完全平方公式分解因式，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．11. 写出一个比4大且比5小的无理数：__．【答案】17（答案不唯一）【解析】【分析】由于4=5=，所以可写出一个二次根式，此根式的被开方数大于16且小于25即可．【详解】解：比4大且比5．（答案不唯一）．【点睛】本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．12. 如图，,AC BC 是O e 的弦，,PA PB 是O e 的切线，若60C Ð=°，则P Ð=_________°．【答案】60【解析】【分析】因为,PA PB 是O e 的切线，由切线的性质得出P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，得出∠P AO =∠PBO =90°，由圆周角定理可得∠AOB =2∠C =120º．，再由四边形内角和等于360°，即可得出结果．【详解】解：如图，连接OA ，OB ，∵,PA PB 是O e 的切线，∴P A ⊥OA ，PB ⊥OB ∴∠P AO =∠PBO =90°∵60C Ð=°，∴∠AOB =2∠C =120º，∵四边形内角和等于360º．∴在四边形AOBP 中，∠P =360º-90º-90º-120º=60º．故答案为：60．【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形内角和定理；解题的关键是利用切线的性质和圆周角定理结合四边形内角和等于360º求角．13. 如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 在AC 上（不与点A ，C 重合），只需添加一个条件即可证明ABC V 和BDC V 相似，这个条件可以是____________（写出一个即可）．【答案】∠A =∠CBD 或∠ABC =∠BDC 或=BC DCAC BC 或BC 2=AC ·DC （答案不唯一）【解析】【分析】相似三角形的判定定理：①两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；②两角对应相等的两个三角形相似．据此解答即可．【详解】解：∵∠C =∠C∴添加∠A =∠CBD 或∠ABC =∠BDC 或=BC DCACBC 或BC 2=AC ·DC ．故答案为：∠A =∠CBD 或∠ABC =∠BDC 或=BC DCAC BC 或BC 2=AC ·DC （答案不唯一）．【点睛】此题考查了补充条件使两个三角形相似．解题的关键是熟知相似三角形的判定定理，特别注意用对应边成比例和一个角相等判定三角形相似的时候，其中相等的角一定要是这两条边的夹角．14. 如图，2022年北京冬奥会上，一些可看作正六边形的“小雪花”对称地排列在主火炬周围，中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬，在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，此外还有几个“小雪花”上面只有中国结图案，这些只有中国结图案的“小雪花”共有_________个．【答案】5【解析】【分析】根据图形先计算图中共有的小雪花的数量，再减去上面写有此次参会的国家或地区名称的小雪花，即可得答案．【详解】解：仔细观察图像可知，图中共有小雪花3×2+4×2+4×2+9×2+10×2＋9×2+6×2+3×2=96（个）其中有在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，“∴小雪花”上面只有中国结图案有 96-91=5（个）故答案为：5．【点睛】本题考查了图形的规律，以及有理数的加减运算，解题的关键是仔细看图．15. 若关于x 的一元二次方程22(1)0-+-=a x a x a 有一个根是1x =，则=a ___________．【答案】-1【解析】【分析】根据一元二次方程和一元二次方程根的定义，可得2a a a-+-=，且10a-¹，即可求解．10【详解】解：根据题意得：2-+-=，10a a a解得：1a=-，a=或1∵10a¹，a-¹，即1∴1a=-．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程和一元二次方程根的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．16. 尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表：从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序___________（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．【答案】EBDC##ECDB【解析】【分析】根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定了第四个节目，即可得到答案．【详解】由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、7，由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E ；第三个节目为不含2、7的节目，即节目B 或C第五个节目为不含5、7的节目，即节目B 或C所以，可确定第四个节目为节目D综上，演出顺序为节目AEBDCF 或AECDBF故答案为：EBDC 或ECDB （写一种即可）．【点睛】本题考查了统计表、利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17. 计算：02cos30|3|(p +---°-．【答案】-1【解析】【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行计算即可．【详解】解：原式=212´+-1--=-1．【点睛】本题考查了实数的混准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次根式的化简是解题的关键．18. 解不等式组：()3242113x x x x ì--³-ïí+-<ïî【答案】4x <【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式()324x x --³-，得：5x £，解不等式2113x x +-<，得：4x <，则不等式组的解集为4x <．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19. 已知230x x +-=，求代数式(23)(23)(3)+---x x x x 的值．【答案】0【解析】【分析】根据整式的乘法对代数式进行化简，整体代入即可得到答案．【详解】解：(23)(23)(3)+---x x x x =222(2)3(3)x x x ---=22493x x x --+=2339x x +- =23(3)x x +-∵230x x +-=∴原式=0即代数式(23)(23)(+---x x x x 的值为0．【点睛】本题考查整式的化简求值，根据整式的运算法则和乘法公式进行准确计算是解题的关键．20. 已知关于x 的一元二次方程210x ax a -+-=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a 的值．【答案】（1）见解析 （2）a 的值为3【解析】【分析】（1）根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹，根的判别式为△=24b ac =-△，进行化简即可证明；（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．【小问1详解】证明：()()()22241442a a a a a =---=-+=-n ， ∵()220a -³，∴该方程总有两个实数根．【小问2详解】解：设该方程的一个根为x 1，则另外一个根为2 x 1，则1121221x x a x a +=ìí=-î①②，由①得13a x =，代入②可得：22990a a -+=，解之得13a =，232a =，又因为该方程的两个实数根都是整数，所以3a =．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．21. 中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．由记载可得作法如下：①作M e ，在M e 上取一点N ，以点N 为圆心，MN 为半径作N e ，两圆相交于A ，B 两点，连接AB ；②以点B 为圆心，AB 为半径作B e ，与M e 相交于点C ，与N e 相交于点D ；③连接AC ，AD ，BC ，BD ．ABC V ，ABD △都是圆内接正三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明，证明：连接AM，AN，MN，BM．∵==MA MN NA，∴AMNV为①_________．∴60Ð=°．AMN同理可得，60BMNÐ=°．∴120Ð=°．AMB∴60Ð=°（②____________）（填推理的依据）．ACB∵BA BC=，∴ABCV是等边三角形．同理可得，ABD△是等边三角形．【答案】（1）见解析 （2）①等边三角形，②同弧上的圆周角等于圆心角的一半【解析】【分析】(1)按照作图的基本步骤规范画图即可．(2)根据圆的性质，等边三角形的判定解答．【小问1详解】根据作步骤，画图如下：【小问2详解】证明：如图，连接AM，AN，MN，BM．∵==MA MN NA，∴AMNV为等边三角形．∴60Ð=°．AMN同理可得，60BMNÐ=°．∴120Ð=°．AMB∴60Ð=°（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．ACB∵BA BC=，∴ABCV是等边三角形．同理可得，ABD△是等边三角形．【点睛】本题考查了圆的基本作图，等边三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用圆周角定理是解题的关键．22. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，//BE AC．AE BD，//（1）求证：四边形AEBO 是菱形；（2）若2AB OB ==，求四边形AEBO 的面积．【答案】（1）见解析 （2）23【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得出OA =OB ，进而利用菱形的判定解答即可；(2)根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．【小问1详解】证明：//AE BD Q ，//BE AC \四边形AEBO 是平行四边形又Q 四边形ABCD 是矩形=BD AC \，1=2AO AC ，1=2BO BD =AO BO \ \四边形AEBO 是菱形【小问2详解】解：如图：连接EO ，交AB 于点FQ 四边形ABCD 是矩形=BD AC \，1=2AO AC ，1=2BO BD =AO BO \ 又2AB OB ==Q 2AB OB OA \===ABO \△是等边三角形，=60BAO аQ 四边形AEBO 是菱形AB EO \^，=EF OF=2=2sin 60222EO OF OA \×°=´´= \四边形AEBO 的面积为：11=22EO AB ×´【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．23. 如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ．（1）求证：AC 平分DAB Ð；（2）若4cos 5CAD Ð=，5AB =，求CD 的长．【答案】（1）证明见详解（2）125【解析】【分析】（1）连接OC ，可证明//OC AD ，推导出OCA CAD Ð=Ð，又因为OA OC =，可得OCA OAC Ð=Ð，即可证明CAD OAC Ð=Ð，即AC 平分DAB Ð；（2）连接BC ，由AB 为O e 的直径可证明90ACB Ð=°，由（1）可知CAD OAC Ð=Ð，利用三角函数分别解Rt ABC V 、Rt ADC V ，解得AC 、AD 长度，再由勾股定理计算CD 的长即可．【小问1详解】证明：如图1，连接OC ，∵CD 为O e 切线，∴OC CD ^，∵AD CD ^，∴//OC AD ，∴OCA CAD Ð=Ð，又∵OA OC =，∴OCA OAC Ð=Ð，∴CAD OAC Ð=Ð，即AC 平分DAB Ð；【小问2详解】解：如图2，连接BC ，∵AB 为O e 的直径，∴90ACB Ð=°，∵CAD OAC Ð=Ð，∴cos cos AC OAC CAD AB==∠∠，即455AC =，解得4AC =，∵cos 45CAD AD AC Ð==，∴44164555AD AC ==´=，∴125CD ===．【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、三角函数解直角三角形以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．24. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面高度为h 米．（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；（3）求h关于d的函数表达式；（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．【答案】（1）图见解析；（2）4米 （3）h=-d2+2d+3（4）水枪高度调节到5米以上【解析】【分析】（1）建立坐标系，描点，用平滑的曲线连线即可；（2）结合图象，得出最高点坐标为（1，4），进而得出结论；（3）利用顶点式h=a(d-1)2+4和点（3，0）即可求出h关于d的函数表达式；（4）设平移后的解析式为h1=-d2+3+m，根据题意求解即可.【小问1详解】解：如图所示【小问2详解】解：由图象得，最高点坐标为（1，4），∴水柱最高点距离湖面的高度为4米；【小问3详解】解：由题意，得设顶点式为h=a (d -1)2+4，又图象过点（3，0），∴a (3-1)2+4=0，解得a =-1，∴函数解析式h=-(d -1)2+4=-d 2+2d+3；【小问4详解】解：设水枪高度向上调整m 米时，游船恰好能从喷泉拱门下穿过，则平移后的解析式为h 1=-d 2+2d+3+m ，当横坐标为1+2=3时，纵坐标的值大于等于1+1=2，∴-32+6+3+m ≥2，解得m ≥2，∴水枪高度至少向上调整2米，∴水枪高度调节到5米以上.【点睛】本题考查二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．25. 某校初三年级有两个校区，其中甲校区有200名学生，乙校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．甲校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：6070x £<，7080x £<，8090x £<，90100x ££）；b ．甲校区成绩在7080x £<这一组的是：74 74 75 77 77 77 77 78 79 79c ．甲、乙两校区成绩的平均数、中位数如下：（1）写出表中m 的值；（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A ，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A 的学生更多，并说明理由；（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平直接写出结果）．【答案】（1）78.5（2）乙校区赋予等级A 的学生更多，理由见解析（3）78【解析】【分析】（1）根据中位数的定义，将甲校区同学的成绩按从小到大顺序排序，找到第10、第11位的成绩，取平均值即可；（2）根据两个校区成绩的中位数和平均数，求出成绩超过平均数的人数，进行比较即可；（3）利用抽样调查学生的平均数估计总体学生的平均数即可求出答案．【小问1详解】解：甲校区成绩的中位数787978.52m +==．【小问2详解】解：乙校区赋予等级A 的学生更多，理由如下：甲校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，8090x £<之间有7人，90100x ££之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A 的学生有8人；乙校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A 的学生至少有10人；所以乙校区赋予等级A 的学生更多．【小问3详解】解：估计甲校区200名学生成绩的平均数为79.5，乙校区300名学生成绩的平均数为77，因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为79.52007730078200300´+´=+，故答案为：78．【点睛】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()()()123(2,0),1,,1,,2,--y y y 在抛物线2y x bx c =++上．（1）若12y y =，求3y 的值；（2）若213y y y <<，求3y 值的取值范围．【答案】（1）0 （2）340y -＜＜【解析】【分析】（1）将()11,y -和()21,y 分别代入函数解析式，根据12y y =，可解出b 的值，再将(2,0)-代入函数解析式，可解出c 的值；（2）若213y y y <<，由于函数图像开口向上，函数值越小离对称轴越近，函数值越大离对称轴越远，结合二次函数对称性可判断出对称轴2b 的取值范围，把点(2,0)-带入2y x bx c =++中求出24c b =-，进而可求出3y 值的取值范围．【小问1详解】解：将()11,y -和()21,y 分别代入解析式2y x bx c =++，得21(1)1y b c b c =--+=-+，2211y b c b c =++=++，12y y =Q ，11b c b c \-+=++，解得0b =，把点(2,0)-带入2y x c =+中，得20(2)c =-+，解得4c =-，\函数解析式为24y x =-当2x =，23240y =-=；【小问2详解】解：，2y x bx c =++Q 中，a 10=＞，\函数图像开口向上，又213y y y <<Q 1102-+=Q ，12122-+=，1022b \-＜＜，解得10b -＜＜，把点(2,0)-带入2y x bx c =++中，得420b c -+=，24c b \=-，将()32,y 代入解析式2y x bx c =++，得342y b c =++，24c b =-Q ，34444y b b \=+-=，10b -Q ＜＜，440b \-＜＜，即340y -＜＜．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的性质，牢固掌握以上知识点并学会数形结合是做出本题的关键．27. 在ABC V 中，D 是BC 的中点，且90¹°∠BAD ，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB ¢，作CE AB ∥交直线AB ¢于点E ．（1）如图，若AB AC >，①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；（2）若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．【答案】（1）①见解析；②AB AE CE =+ ，理由见解析（2）不成立，AB AE CE =-或CE AB AE=+【解析】【分析】（1）①根据题意作图即可；②连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案；（2）分两种情况，连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案．【小问1详解】①补全图形如图所示：②AB AE CE =+ ，理由如下：如图，连接B D B C ¢¢， ，Q 将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB ¢，,AB AB B AD BAD ¢¢\=Ð=Ð ，又AD AD =Q ，(SAS)B AD BAD ¢\D @D ，,AB D ABD B D BD ¢¢\Ð=Ð=，CE AB ∥Q ，BCE ABD \Ð=Ð，AB D BCE ¢\Ð=Ð，Q D 是BC 的中点，BD CD \= ，B D CD ¢\=，DB C DCB ¢¢\Ð=Ð，即AB D EB C BCE ECB ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð，EB C ECB ¢¢\Ð=Ð，B E CE ¢\= ，AB AE B E AE CE ¢¢\=+=+ ，AB AB AE CE ¢\==+；【小问2详解】不成立，①AB AE CE =-，理由如下：如图，连接B D B C ¢¢，，Q 将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB ¢，,AB AB B AD BAD ¢¢\=Ð=Ð ，又AD AD =Q ，(SAS)B AD BAD ¢\D @D ，,AB D ABD B D BD ¢¢\Ð=Ð=，Q D 是BC 的中点，BD CD \= ，B D CD ¢\=，DB C DCB ¢¢\Ð=Ð，CE AB ∥Q ，180DCE ABD \Ð+Ð=°，即180ABD DCB ECB ¢¢Ð+Ð+Ð=°，180AB D DB C EB C ¢¢¢Ð+Ð+Ð=°Q ，180AB D DB C EB C ABD DCB ECB ¢¢¢¢¢\Ð+Ð+Ð=°=Ð+Ð+Ð，DCB DB C ¢¢Ð=ÐQ ，ECB EB C ¢¢\Ð=Ð，B E CE ¢\= ，AB AE B E AE CE ¢¢\=-=- ，AB AB AE CE ¢\==-．②CE AB AE =+，理由如下如图，连接B C¢，由题意得，,,AB AB BD B D B AB D ¢¢¢==Ð=Ð，Q D 是BC 的中点，BD CD \=，B D CD ¢\=，DB C DCB ¢¢\Ð=Ð，CE AB ∥Q ，B ECB \Ð=Ð，AB D ECB ¢\Ð=Ð，EB C ECB ¢¢\Ð=Ð，∴EC EB AE AB ¢==+．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:º+l y kx b ，给出如下定义：若直线l 与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l 关于该圆的“圆截距”．（1）如图1，O e 的半径为1，当1,1k b ==时，直接写出直线l 关于O e 的“圆截距”；（2）点M 的坐标为(1,0)，①如图2，若M e 的半径为1，当1b =时，直线l 关于M e 的“圆截距”小于45，求k的取值范围；②如图3，若M e 的半径为2，当k 的取值在实数范围内变化时，直线l 关于M e 的“圆截距”的最小值为2，直接写出b 的值．【答案】（1）2（2）①2k <-或102k -<£ ②b =【解析】【分析】(1)直线与圆的交点分别为()0,1A 和()1,0B -，则1OA OB ==，根据勾股定理计算即可．(2) ①根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析式，根据直线的增减性，确定k 的范围．②根据题意作出图形，然后利用等边三角形的性质及解三角形求解即可．【小问1详解】解：如图1，∵1,1k b ==，∴直线l 的解析式为1y x =+，∴直线与y 轴的交点为()0,1A ，与x 轴的交点为()1,0B -，∵O e 的半径为1，∴圆O 与y 轴的正半轴交点为()0,1A ，与x 轴的负半轴交点为()1,0B -，∴直线l 关于该圆的“圆截距”为AB ，∵1OA OB ==，∴AB =2211+=．【小问2详解】①如图2，设直线与y 轴正半轴交点为A ，且()0,1A ∵点M 的坐标为(1,0)，M e 的半径为1，∴圆与x 轴正半轴交点为B (2，0)，当1b =时，直线l 的解析式为1y kx =+，当直线经过点B 时，210k +=，解得k =12-；过点M 作MF AB ^，垂足为F ，∵1OA =，2OB =，∴AB ==，∴sin ABO Ð=5OA AB ==，∵1MB =，sin ABO Ð=5MF MB=，∴5MF =，5BF ==，设直线AB 与圆M 的另一个交点为C ，则2BC BF ==5，∵关于的“圆截距”小于45，∴k 的取值范围是102k -<£；设直线AM 与圆的一个交点为N ，∵点()0,1A ，点M 的坐标为(1,0)，∴OA OM =，∴45AMO Ð=°，∴45BMN Ð=°，根据圆的对称性，直线AB 和直线AD 关于直线AN 对称，此时ED CB =，∴45DMN Ð=°，∴90DMB Ð=°，∴D 的坐标为()1,1-，∴11k +=-，解得2k =-，直线AD 的解析式为21y x =-+，∵关于的“圆截距”小于45，∴k的取值范围是2k<-；综上所述，k的取值范围是2k<-或12k-<£．②当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于Me的“圆截距”的最小值为2，设直线与y轴交点为点()0,Q m，则过Q点的“圆截距”的最小值为2，如图所示：2RT=，MQ RT^，由题意得，RMT△为等边∴60MRQÐ=°，∴2sin60QM=´°=，∴OQ==，∴由对称性得b=．【点睛】本题考查了了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．。
北京市丰台区2011-2012学年度第二学期初三综合练习(一)数学试题及答案
(2) 此 车 速 度 v=100( 31) 4
25( 31)……4 分 2 5 0 .7 3 1 8 .2 5 (米/秒) ．
18.25 米/秒 =65.7 千米/小时．
∴∠OAE=90°，即 OA⊥AE． 又∵点 A 在⊙O 上， ∴AE 是⊙O 的切线. ………2 分 （2）解：∵BD 是⊙O 的直径，
到达 x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点 Q 处， 求使点 D 运动的总路径最短的路径的长．.
7.北京市丰台区 2011-2012 学年度第二学期初三综合练习（一）参考
答案
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
题号
1
2
3
4
答案
D
C[来源:Z*xx*]
=45°． （1）求 A、B 之间的路程； （2）请判断此车是否超过了万丰路每小时 70 千米的限制速度？
（参考数据： 21.41， 3 1.73）．
A
B
O 万丰路
P
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）
19．如图，在 ABCD 中，过点 B 作 BE∥AC，在 BG 上取点 E，联结 DE 交 AC 的延长线于
4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的．
1． 3 的相反数是
A． 3
B． 3
C． - 3
D． 1
3
2．据统计，今年北京市中考报名确认考生人数是 96 200 人，用科学记数法表示 96 200 为
北京市朝阳区九年级综合练习(一)数学试卷
地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面） 北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷2009.5第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 1．3-的绝对值是 A ．3B ．3-C ．13D ．13-2．为积极转化奥运会、残奥会志愿者工作成果，完善和健全志愿者服务体系及长效机制，北京市将力争实现每年提供志愿服务时间11000万小时. 11000万小时用科学记数法表示为 A ．61011.0⨯万小时 B ．5101.1⨯万小时 C ．4101.1⨯万小时 D ．31011⨯万小时3. 方程x x 62=的解是 A ．6=xB ．6=xC ．6=x 或0x =D ．0x =4. 某市2008年4月的一周中每天最低气温如下：13，11，7，12，13，13，12，则在这一周中，最低气温的众数和中位数分别是A. 13和11B. 12和13C. 11和12D. 13和12 5. 如图，圆锥的高A O 为12，母线A B 长为13，则该圆锥的侧面积等于 A ．π36 B ．π27 C ．π18D ．π96. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C =45°，AB =2，则⊙O 的半径为 A ．1 B ．2 C ．2D ．22（第6题）7．把4张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1，2，3，4，洗匀后正面朝下放在桌子上，Ａ ＯＢ地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面） 随机从中抽取一张卡片，记下数字后放回，再随机从中抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上的数字之和等于5的概率是 A ．21 B ．31 C ．41 D ． 158. 如图，在直角梯形A B C D 中，AD ∥BC ，90C ∠= ，6cm C D =，AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿B C 运动到C 点停止， 两点运动时的速度都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为（第8题）y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （填空题和解答题，共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．计算：xy x 322⋅＝ .10. 因式分解：=+-x x x 4423．11．如图，A B C △中，90C ∠=，B D 平分A B C ∠交AC 于 点D ，若CD=6，则点D 到AB 的距离为 ．12. 已知抛物线22)1(2m x m x y ++-=与x 轴的两个交点的 （第11题） 横坐标均为整数，且m <5，则整数m 的值为 .三、解答题（共13个小题，共72 分）地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面）13．（本小题5分）计算：32-— tan30°÷ 31＋8.14．（本小题5分）解方程：xx 321=-.15.（本小题5分）先化简，再求值：4)122(22--÷+-a a a a ，其中1-=a ．解：16. （本小题5分）已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝BC ，E 为BC 上一点，且AE ＝AB . 求证：DE ＝AC .17. （本小题5分）如图，点A 在反比例函数xk y =的图象与直线2-=x y 交于点A ，且A 点纵坐标为1，求该反比例函数的解析式．19. （本小题5分）北京市居民人均常规工作日时间利用情况地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面）通常情况居民一周时间可以分为常规工作日（周一至周五）和常规休息日（周六和周日）. 居民一天的时间可以划分为工作时间、个人生活 必须时间、家务劳动时间和可以自由支配时间等 四部分. 2008年5月，北京市统计局在全市居民 家庭中开展了时间利用调查，并绘制了统计图：图②（1）由图①，调查表明，我市居民人均常规工作日工作时间占一天时间的百分比为 ；（2）调查显示，看电视、上网、健身游戏、读书看报是居民在可自由支配时间中的主要活动方式，其中平均每天上网占可自由支配时间的12%，比读书看报的时间多8分钟. 请根据以上信息补全图②；（3）由图②，调查表明，我市居民在可自由支配时间中看电视的时间最长. 根据这一信息，请你在可自由支配时间的利用方面提出一条建议：___ ____________.19. （本小题5分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，CD ＝4， ∠ACB ＝∠D ，32tan =∠B ，求梯形ABCD 的面积.20. （本小题5分）图①地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面） 改革开放30年来，我国的文化事业得到了长足发展，以公共图书馆和博物馆为例， 1978年全国两馆共约有1550个，至2008年已发展到约4650个. 2008年公共图书馆的数量比1978年公共图书馆数量的2倍还多350个，博物馆的数量是1978年博物馆数量的5倍. 2008年全国公共图书馆和博物馆各有多少个？21. （本小题5分）响应“绿色环保，畅通出行”的号召，越来越多的市民选择 乘地铁出行，为保证市民方便出行，我市新建了多条地铁线路， 与旧地铁线路相比，新建地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍 增加，已知原楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度（BC ）不发生 改变的前提下，楼梯的倾斜角由30°增大到45°，那么新修建 的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：414.12≈，732.13≈）22. （本小题7分）已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O 半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.23. （本小题5分）地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面） 将图①，将一张直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合，这时DE 为折痕， △CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.图① 图② 图③（1）如图②，正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜三角形ABC ，使其顶点A 在格点上，且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ； （4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是 .24. （本小题7分）抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S △ACM ，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.25. （本小题8分）B地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面）图① 图② （1） 已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE 的值．北京市朝阳区九年级综合练习（一）地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面）数学试卷评分标准及参考答案 2009.5一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACDDCBCB二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9. y x 3610. 2)2(-x x11. 612. 0或4（答对一个给2分；在答出0或4的基础上，多答的只给2分.）三、解答题（共13个小题，共72 分） 13. （本小题5分）解：原式＝2233323+⨯--……………………………………………4分2=. ……………………………………………………………………5分14. （本小题5分）解： )2(3-=x x . ……………………………………………………………………2分63-=x x . ……………………………………………………………………3分解得 3=x . ………………………………………………………………………4分经检验，3=x 是原分式方程的解. …………………………………………………5分15. （本小题5分）解：原式＝)1()2)(2(222--+⋅--+a a a a a a ………………………………………………3分 12-+=a a . ……………………………………………………………………4分当1-=a 时，原式211121-=--+-=.…………………………………………5分地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面） 16. （本小题5分）证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠1. …………………… 1分 ∵AE ＝AB ，∴∠1＝∠B. ……………………… 2分∴∠B ＝∠D AE. …………………………………………………………… 3分 又AD ＝BC ，∴△ABC ≌△A ED. …………………………………………………… 4分 ∴DE ＝AC. ………………………………………………………………… 5分17. （本小题5分）解：把1=y 代入2-=x y ，得3=x .∴点A 的坐标为（3，1）. ……………………………………………………2分 把点A （3，1）代入xk y =，得3=k . ……………………………………4分∴该反比例函数的解析式为xy 3=. …………………………………………5分18. （本小题5分）解：（1）31.6%；………………………………………………………………………1分 （2）补全统计图；……………………………………………………………………4分 （说明：本问共3分，①补全“上网”给1分；②补全“健身游戏”给2分.）（3）答案不惟一，如：适当减少看电视的时间，多做运动，有益健康.（合理即给分）……………………5分地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面） 19. （本小题5分）解：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠1＝∠2. ∵∠ACB ＝∠D ＝90°. ∴∠3＝∠B. ∴32tan 3tan =∠=∠B . ………………………………………………………… 1分在Rt △ACD 中，CD ＝4，∴63tan =∠=CD AD . ……………………………………… 2分∴13222=+=CDAD AC .…………………………………………………… 3分在Rt △ACB 中，32tan =B ，∴132sin =B .∴13sin ==BAC AB . ……………………………………………………………… 4分 ∴51)(21=⋅+=AD CD AB S ABCD 梯形.…………………………………………… 5分20. （本小题5分）解：设1978年全国有公共图书馆x 个，博物馆y 个，………………………………1分 由题意，得⎩⎨⎧=++=+.465053502,1550y x y x …………………………………………………3分解得⎩⎨⎧==.400,1150y x …………………………………………………………………4分则26503502=+x ，20005=y .答：2008年全国有公共图书馆2650个，博物馆2000个. …………………………5分21. （本小题5分）解：由题意，可得△ABC 和△BDC 都是直角三角形， 在Rt △BDC 中，BD ＝20，∠DBC ＝30°， ∴1021==BD CD ，31022=-=CDBD BC .………………………………2分在Rt △ABC 中，∠ABC ＝45°，地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面）∴310==BC AC . ………………………………………………………………3分 ∴10310-=-=CD AC AD .……………………………………………………4分 ∴7≈AD （米）. ……………………………………………………………………5分 答：新修建的楼梯高度会增加7米.22. （本小题7分）证明：（1）连接OC （如图①）， ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A.∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°.又∠FCA ＝∠AOE ， 图① ∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°.∴FD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………2分（2）连接BC （如图②），∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ， ∴OE ∥BC 且BC OE 21=.……………3分∴△OEG ∽△CBG . 图② ∴21==CBOE CGOG .∵OG ＝2，∴CG ＝4.∴OC ＝6. ………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6.（3）∵OE ＝3，由（2）知BC ＝2OE ＝6.∵OB ＝OC ＝6，∴△OBC 是等边三角形.∴∠COB ＝60°. ………6分 在Rt △OCD 中，3660tan =︒⋅=OC CD . ∴OBC OCD S S S 扇形阴影-=∆360660366212⨯-⨯⨯=ππ6318-=. ………………………………………………7分地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面） 23. （本小题5分）（1）…………………………………………………………………1分（说明：只需画出折痕.） （2）…………………………………………………………………2分（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可.）（3）三角形的一边长与该边上的高相等. …………………………………………3分 （4）对角线互相垂直.（注：回答菱形、正方形不给分）………………………5分24. （本小题7分）解：（1）设直线AC 的解析式为3-=kx y ，把A （－1，0）代入得3-=k .∴直线AC 的解析式为33--=x y . ………………………………………………1分 依题意知，点Q 的纵坐标是－6.把6-=y 代入33--=x y 中，解得1=x ，∴点 Q （1，6-）. ………………2分 ∵点Q 在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线1=x . 设抛物线的解析式为n x a y +-=2)1(，由题意，得⎩⎨⎧-=+=+304n a n a ，解得 ⎩⎨⎧-==.4,1n a∴抛物线的解析式为4)1(2--=x y .………………………………………………3分 （2）如图①，过点C 作AC 的垂线交抛物线于点D ， 交x 轴于点N ，则ANC ACO ∠=∠ ∴ACO ANC ∠=∠tan tan ，∴OCOA ONOC =.∵1=OA ，3=OC ，∴9=ON . ∴点N 的坐标为（9，0） 可求得直线CN 的解析式为331-=x y . 图①B地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面）由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=4)1(3312x y x y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==92037y x ，即点D 的坐标为（37，920-）.………5分 （3）设抛物线的对称轴交x 轴于点E ， 依题意，得2=AE ，4=EM ，=AM ∵1=-+=∆∆∆AME OCME AOC ACM S S S S 梯形且PM AE PM S PAM =⨯=∆21，又ACM PAM S S ∆∆=3，∴3=PM .设P （1，m ）， ①当点P 在点M 上方时，PM ＝m ＋4＝3∴1-=m ，∴P （1，－1）. …………………………………………………………6分 ②当点P 在点M 下方时，PM ＝－4－m ＝3，∴7-=m ，∴P （1，－7）. …………………………………………………………7分 综上所述，点P 的坐标为1P （1，－1），2P （1，－7）.25. （本小题8分）（1）证明：如图①，∵∠ACB ＝90°，AC=BC ，∴∠A ＝∠B ＝45°.以CE 为一边作∠ECF ＝∠ECB ，在CF 上截取CF=CB ，则CF=CB=AC . 图①连接DF 、EF ，则△CFE ≌△CBE. ………………………………………………1分∴FE=BE ，∠1＝∠B ＝45°. ∵∠DCE ＝∠ECF ＋∠DCF ＝45°， ∴∠DCA ＋∠ECB ＝45°. ∴∠DCF ＝∠DCA.∴△DCF ≌△DCA. ……………………………………………………………2分 ∴∠2＝∠A ＝45°，DF ＝AD. ∴∠DFE ＝∠2＋∠1＝90°. ∴△DFE 是直角三角形. 又AD=DF ，EB=EF ，∴线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形. ……………………………4分地址：北京市海淀区车公庄西路38号逸升轩520室（首师大对面）（2）当AD=BE 时，线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形.如图②，与（1）类似，以CE 为一边，作 ∠ECF=∠ECB ，在CF 上截取CF=CB ，可得 △CFE ≌△CBE ，△DCF ≌△DCA.∴AD=DF ，EF=BE. 图②∴∠DFE ＝∠1＋∠2＝∠A ＋∠B ＝120°. ……………………………………5分 若使△DFE 为等腰三角形，只需DF=EF ，即AD=BE.∴当AD=BE 时，线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形. ……………6分 且顶角∠DFE 为120°.（3）证明：如图①，∵∠ACE ＝∠ACD ＋∠DCE ，∠CDB ＝∠ACD ＋∠A. 又∠DCE ＝∠A ＝45°， ∴∠ACE ＝∠CDB. 又∠A ＝∠B ， ∴△ACE ∽△BDC. ∴BDAC BCAE =.∴BC AC AE BD ⋅=⋅. ∵Rt △ACB 中，由222210==+ABBC AC ，得5022==BCAC.∴502==⋅=⋅ACBC AC AE BD .…………………………………………8分说明：各解答题不同的正确解法参照以上标准给分.。
2023年上海市虹口区九年级中考一模数学试卷含答案
2022学年度学生学习能力诊断练习初三数学（满分150分，时间100分钟）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°2.如图，在Rt ABC △中，9012C AC BC ∠=︒==，，，那么cos A 的值为（）A.12B.2C.55D.3.已知抛物线()221y a x =-+有最低点，那么a 的取值范围是（）A.0a > B.a<0C.2a > D.2a <4.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（）A.a<0B.0b < C.0c > D.abc <5.如果点()12,A y -与点()23,B y -都在抛物线2y x k =+上，那么1y 和2y 的大小关系是（）A.12y y >B.12y y < C.12y y = D.不能确定6.如图，点D E 、分别在ΔABC 边AB AC 、上，3AB AEAD CE==，且AED B ∠=∠，那么ADAC的值为（）A.12B.13C.14D.23二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且2a =，8c =，那么b =________．8.计算：()12622b a b --=__________．9.抛物线243y xx =-+与y 轴的交点坐标是___________．10.沿着x 轴正方向看，抛物线22y x x =-+在其对称轴右侧的部分是___________的．（填“上升”或“下降”）11.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x x =+沿着y 轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为__________________．12.已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x (1)-0234…y…522510…如果点()2,m -在此抛物线上，那么m =___________．13.已知111ABC A B C ∽△△，顶点、、A B C 分别与111A B C 、、对应，1112,9AC A C ==，1A ∠的平分线的长为6，那么A ∠的平分线的长为________．14.如图，在ABC 中，点D 在边AC 上，已知ABD △和BCD △的面积比是12：，AB a=，DB b= ，那么用向量、a b 表示向量AC为________．15.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E F 、分别在边AB CD 、上且EF AD ∥，已知:1:2AE EB =，3,4AD EF ==，那么BC 的长是________．16.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点G 为ABC 的重心，过点G 作GD BC ∥交AB 于点D ．已知310sin 5AB B ==，，那么GD 的长为________．17.魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD 、四边形EFGD 和四边形EAIH 都是正方形．如果图中EMH ∆与DMI ∆的面积比为169，那么tan GDC ∠的值为_________________．18.我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线12l l ∥，1l 与2l 之间的距离是3，“等高底”ABC ∆的“等底”BC 在直线1l 上（点B 在点C 的左侧），点A 在直线2l 上，AB =，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，点A C 、的对应点分别为点11A C 、，那么1AC 的长为____________．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：cos 245°tan302sin60︒-︒＋cot 230°.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A 和()5,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）将此抛物线沿x 轴向左平移()0m m >个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C ，求m 的值．21.如图，在Rt ABC 中，290,9,sin 3BAC BC B ∠=︒==，点E 在边AC 上，且2AE EC =，过点E 作DE BC ∥交边AB 于点D ，ACB ∠的平分线CF 交线段DE 于点F ，求DF 的长．22.如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．AB 是缓降器的底板，压柄BC 可以绕着点B 旋转，液压伸缩连接杆DE 的端点D E 、分别固定在压柄BC 与底板AB 上，已知12cm BE =．（1）如图2，当压柄BC 与底座AB 垂直时，DEB ∠约为22.6︒，求BD 的长；（2）现将压柄BC 从图2的位置旋转到与AB 成37︒角（即37ABC ∠=︒），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆DE 的长．（结果保留根号）（参考数据：5125sin 22.6,cos 22.6tan 22.6131312︒≈︒≈︒≈；343sin37,cos37,tan37554︒≈︒≈︒≈）23.如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点F ，ADB ACB ∠=∠．（1）求证：ABD ACD ∠=∠；（2）过点A 作AE DC ∥交BD 于点E ，求证：EF BC AD AF = ．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y x kx k k =-+-<的顶点为P ，抛物线与y 轴交于点A ．（1）如果点A 的坐标为()0,4，点()3,B m -在抛物线上，联结AB ．①求顶点P 和点B 的坐标；②过抛物线上点D 作DM x ⊥轴，垂足为M ，DM 交线段AB 于点E ，如果DE EM =，求点D 的坐标；（2）联结OP ，如果OP 与x 轴负半轴的夹角等于APO ∠与POA ∠的和，求k 的值．25.如图，在ABC 中，310,sin 5AB AC B ===，点D E 、分别在边AB BC 、上，满足CDE B ∠=∠．点F 是DE 延长线上一点，且ECF ACD ∠=∠．（1）当点D 是AB 的中点时，求tan BCD ∠的值；（2）如果3AD =，求CFDE的值；（3）如果BDE △是等腰三角形，求CF 的长．2022学年度学生学习能力诊断练习初三数学（满分150分，时间100分钟）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】A 【2题答案】C 【3题答案】D 【4题答案】B 【5题答案】B 【6题答案】A二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【7题答案】4【8题答案】33b a -【9题答案】()0,3【10题答案】下降【11题答案】222y x x =+-【12题答案】10【13题答案】8【14题答案】33a b -【15题答案】6【16题答案】83【17题答案】47【18题答案】3三、解答题（本大题共7题，满分78分）【19题答案】196.【20题答案】（1）265y x x =-+，点C 的坐标是()0,5（2）6【21题答案】4【22题答案】（1）5cm（2【24题答案】（1）①顶点()15P -，；点()31B -，；②点()24D -，；（2）2k =【25题答案】（1）1tan 4BCD ∠=（2）107CF DE =（3）CF =。
2022-2023学年鲁教版九年级数学上册(第1—3章)阶段性综合练习题(附答案)
2022-2023学年鲁教版九年级数学上册（第1—3章）阶段性综合练习题（附答案）一、选择题（满分30分）1．在RtABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则下列式子一定成立的是（）A．a＝c•sin B B．a＝c•cos B C．c＝D．c＝a•sin A2．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x﹣1）2+2 3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．4．如图正方形的边长为1，A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（）A．y＝2x2+B．y＝﹣x2+C．y＝D．y＝﹣（x﹣2）2 5．直线y＝ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么y＝ax2+bx的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知二次函数y＝x2+（2a+1）x+a2﹣1的顶点在x轴上，则a的值是（）A．B．﹣C．D．﹣7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）A．5元B．10元C．15元D．20元8．把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（）A．B．a2C．D．9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA ＝，则AD的长是（）A．B．2C．1D．210．如图，Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（共15分）11．在△ABC中，（tan A﹣）2+|﹣cos B|＝0，则∠C的度数为．12．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝．13．已知抛物线y＝2mx2﹣4mx+n与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），则一元二次方程2mx2﹣4mx+n＝0的解为．14．如下图公路桥离地面的高度AC为6米，引桥AB的水平宽度BC为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD，使其坡度为1：6，则BD的长．15．如图1，已知等边△ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象如图2所示，则△EFG的最小面积为．三、解答题（共75分）16．计算：（1）+tan60°；（2）．17．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠ADC＝90°，∠A＝60°，AB＝6，CD＝4，BC 的延长线与AD的延长线交于点E，求BC的长．18．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）若二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．19．如图1，大桥桥型为低塔斜拉桥，图2是从图1抽象出的平面示意图．现测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离AC 为4米，两拉索底端距离BD为20米，试求立柱AE的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）20．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100110120130…月销量（件）200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（）元；②月销量是（）件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？21．“数学兴趣小组”对函数的对称变换进行探究，以下是探究过程，请补充完整．（1）操作发现：在作函数y＝|x|的图象时，采用了分段函数的办法，该函数转化为y＝并在如图1所示的平面直角坐标系中作出了函数的图象；（2）类比探究：作函数y＝|x﹣1|的图象，可以转化为分段函数y＝，然后分别作出两段函数的图象．聪明的小昕利用坐标平面上的轴对称知识，把函数y＝x﹣1在x轴下面的部分沿x轴进行翻折，与x轴上及上面部分组成了函数y＝|x﹣1|的图象，如图2所示．（3）拓展提高：方格纸中是函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，请在方格纸画出函数y＝|x2﹣2x ﹣3|的图象．（4）由函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象得到：①函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象与x轴有个交点，对应方程|x2﹣2x﹣3|＝0有个实数根．②函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象与直线y＝4有个交点．③方程|x2﹣2x﹣3|＝5有个实根．④关于x的方程|x2﹣2x﹣3|＝a有4个实根时，a的取值范围是．22．某中学创客拓展小组研制的智能操作机器人．如图（1）水平操作台为L．底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm，点B、C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图（2），求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．tan53°≈1.33）．（2）物品在操作台1上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC 于点Q，求线段PQ的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（满分30分）1．解：在RtABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，∴a＝c•sin A，故A不符合题意；a＝c•cos B，故B符合题意；c＝，故C不符合题意；c＝，故D不符合题意；故选：B．2．解：y＝x2﹣2x+3，＝（x2﹣2x+1）+2，＝（x﹣1）2+2．故选：D．3．解：如图所示：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB＝＝2，cos∠ABC＝＝；故选：B．4．解：由题意可得，OA＝，∴A（0，），设y＝ax2+，作CD⊥x轴，如图所示：在正方形ABOC中，OC＝1，∠AOC＝45°，∴∠DOC＝45°，△OCD为等腰直角三角形，∴OD＝CD，由勾股定理得OD＝OC＝，∴C（，），把C（，），代入y＝ax2+，得a＝，解得a＝﹣，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+，故选：B．5．解：一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴﹣＞0，二次函数y＝ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，交坐标轴于（0，0）点．故选：B．6．解：∵二次函数y＝x2+（2a+1）x+a2﹣1的顶点在x轴上，∴＝0，解得a＝﹣，故选：D．7．解：设应降价x元，则（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，∵﹣1＜0∴当x＝5元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价5元．故选：A．8．解：设将铁丝分成xcm和（4a﹣x）cm两部分，面积和为y，列方程得，y＝（）2+（）2＝x2﹣+a2＝（x﹣2a）2+，∵＜0，∴当x＝2a时，y有最小值，最小值为．故选：C．9．解：作DE⊥AB于E点．∵tan∠DBA＝＝，∴BE＝5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴AE＝DE．∴BE＝5AE，又∵AC＝6，∴AB＝6．∴AE+BE＝5AE+AE＝6，∴AE＝，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD＝AE＝2．故选：B．10．解：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M，∵Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2∴tan∠CAB＝＝∴A'M＝x其面积y＝x•x＝x2故此时y为x的二次函数，排除选项D．当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN其面积y＝x•x﹣（x﹣2）•（x﹣2）＝x﹣1故此时y为x的一次函数，故排除选项C．当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCNAF'＝x﹣2，F'N＝（x﹣2），F'B＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，BC＝2其面积y＝[（x﹣2）+2]×（6﹣x）＝﹣x2+x+3故此时y为x的二次函数，其开口方向向下，故排除A综上，只有B符合题意．故选：B．二、填空题（共15分）11．解：由题意得tan A＝，cos B＝．∠A＝60°，∠B＝45°．∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，故答案为：75°12．解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数∴∴m＝1故答案为：1．13．解：函数的对称轴为：x＝﹣＝1，一个交点坐标为（2，0），则另外一个交点坐标为：（0，0），故答案为：x1＝2、x2＝0．14．解：∵坡面AD的坡度为1：6，AC＝6米，∴CD＝6×6＝36（米），∴BD＝CD﹣BC＝36﹣24＝12（米），故答案为：24米．15．由图2可知，x＝2时△EFG的面积y最大，此时E与B重合，所以AB＝2，∴等边三角形ABC的高为，∴等边三角形ABC的面积为×2×＝，由图2可知，x＝1时△EFG的面积y最小，此时AE＝AG＝CG＝CF＝BF＝BE，显然△EGF是等边三角形且边长为1，所以△EGF的面积为，故答案为：．三、解答题（共75分）16．解：（1）原式＝＝1+；（2）原式＝﹣＝﹣17．解：∵AB⊥BC，∴∠ABE＝90°，∵∠A＝60°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AE＝2AB＝2×6＝12，∴BE＝＝＝6，∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∵∠E＝30°，CD＝4，∴CE＝2CD＝8，∴BC＝BE﹣CE＝6﹣8，即BC的长为6﹣8．18．解：（1）根据题意知，22﹣4×（﹣1）×m＞0，解得：m＞﹣1；（2）将点A（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m，得：﹣9+6+m＝0，解得：m＝3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝3，即点B（0，3），令直线AB解析式为y＝kx+b，将点A（3，0）、B（0，3）代入，得：，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，由可得，∴P点的坐标为（1，2）．19．解：设DE＝x，∵∠CDE＝60°，∠E＝90°，∴CE＝DE•tan60°＝x，∴AE＝AC+CE＝4+x，∵∠B＝30°，∴BE＝AE＝4+3x，∴4+3x＝20+x，解得：x＝10﹣2，∴AE＝4+（10﹣2）＝10﹣2≈15.3答：AE的长度为15.3米20．解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；②由表中信息可知，售价每增加10元，销售量减少20件，设月销量W与x的关系式为w＝kx+b，由题意得，，解得，，∴W＝﹣2x+400；（2）由题意得，y＝（x﹣60）（﹣2x+400）＝﹣2x2+520x﹣24000＝﹣2（x﹣130）2+9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．21．解：（1）操作发现：如图1，（2）类比探究作函数y＝|x﹣1|的图象，可以转化为分段函数y＝，故答案为：y＝；（3）拓展提高把函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下面部分，沿x轴进行翻折，与x轴上及上面部分组成了函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象，如图：（4）实际运用①函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象与x轴有2个交点，对应方程|x2﹣2x﹣3|＝0有2个实根；②函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象与直线y＝4有3个交点；③方程|x2﹣2x﹣3|＝5有2个实根；④关于x的方程|x2﹣2x﹣3|＝a有4个实根时，a的取值范围是0＜a＜4．故答案为：①2，2；②3；③2；④0＜a＜4．22．解：（1）过点C作CP⊥AE，垂足为P，过点B作BQ⊥CP，垂足为Q，∵BA⊥AM，∴四边形ABQP是矩形，∴∠ABQ＝90°，AB＝PQ＝50cm，∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝∠ABC﹣∠ABQ＝53°，在Rt△BCQ中，BC＝70，∴CQ＝BC sin53°＝70×0.8＝56（cm），∵CD∥l，∴CP＝DE＝CQ+QP＝56+50＝106（cm），∴手臂端点D离操作台l的高度DE的长为106cm；（2）能，理由：当B、C、D共线时，手臂端点D能碰到最远的距离，如图：在Rt△ABD中，AB＝50，BD＝BC+CD＝70+60＝130，∴AD＝＝＝120（cm），∵AM＝110cm，∴120cm＞110cm，∴手臂端点D能碰到点M．23．解：（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入y＝ax2+bx+c，得，解得，则抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，将点B，C坐标代入y＝mx+n，得，解得，所以直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设P点坐标为（t，t2﹣4t+3），则Q坐标为（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，PQ的值最大，最大值为；（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵点M是对称轴与直线BC的交点，∴将x＝2代入y＝﹣x+3，得y＝﹣2+3＝1，即M（2，1）．∵PQ∥y轴，∴∠PQB＝∠OCB，∴以M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况：△PMQ∽△OBC或△MPQ ∽△OBC．①当△PMQ∽△OBC时，∠QPM＝∠COB＝90°，即PM⊥PQ，∴y P＝y M＝1，将y P＝1代入y＝x2﹣4x+3，得x2﹣4x+3＝1，解得x1＝2﹣，x2＝2+（舍去），∴此时P（2﹣，1）；②当△MPQ∽△OBC时，∠QMP＝∠COB＝90°，即PM⊥BC，∴k PM＝＝1，∴可设直线PM的解析式为y＝x+d，将M（2，1）代入y＝x+d，得2+d＝1，解得d＝﹣1，∴y＝x﹣1，解方程组，得，（舍去），∴此时P（1，0）．综上所述，存在点P，使以点M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似，P点坐标为（2﹣，1）或（1，0）．。
广东省河源市新河实验学校2022-2023学年九年级上学期综合能力练习数学试题(含答案解析)
广东省河源市新河实验学校2022-2023学年九年级上学期综合能力练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示三棱柱的主视图是（）A．B．C．D．2．九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，其中8名男生，4名女生，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是（）A．23B．13C．14D．1123．若关于x的一元二次方程220x x m-+=的一个实数根是1x=，则m的值为（）A．1B．14-C．0D．24．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24°，则∠ABD=（）A．54°B．56°C．64°D．66°5．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB 的是（）A ．AB AP＝AC AB B ．BCBP ＝AC AB C ．∠ABP ＝∠C D ．∠APB ＝∠ABC6．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则sin A 的值为()A ．35B ．34C ．45D ．547．反比例函数3y x=图象上的两点为（1x ，1y ），（2x ，2y ），且120x x <<，则1y 与2y 的大小关系是（）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定8．如图，ABC 与111A B C △位似，1A 、1B 、1C 分别为OA 、OB 、OC 的中点，若111A B C △面积是5，则ABC 的面积为（）A ．10B ．20C ．25D ．509．已知1x 、2x 是一元二次方程2630x x -+=的两个实数根，则1222x x +的值为（）A ．4B ．－4C ．14D ．210．已知，平面直角坐标系中，直线y1=x+3与抛物线y2=﹣212x +2x 的图象如图，点P是y2上的一个动点，则点P 到直线y1的最短距离为（）A ．2B ．4C ．4D 二、填空题11．如果34b a =，那么a b a +=______．12．将抛物线221y x =-向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_______．13．如图，四边形ABCD 内接于O ，128BCD ︒∠=，则BOD ∠的大小为______°．14．如图，O 是坐标原点，点A 在函数(0)ky x x=<的图象上，AB x ⊥轴于B 点，AOB 的面积为4，则k 的值为____________．15．如图．AB 和CD 两幢楼在同一水平面上．楼AB 高30米．从楼AB 的顶部A 测得楼CD 的底部C 的俯角为30︒，顶部D 的仰角为45︒．则楼CD 的高度是______1.732，用四舍五入法将结果取整数）．16．如图，菱形ABCD 的边长为2，45A ∠=︒，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N 两点，直线MN 交AD 于点E ，连接CE ，则CE 的长为______．17．把两块形状不同的直角三角板按如图放置，90ACB DCB ∠=∠=︒，45BAC ∠=︒，60D ∠=︒，过点A 作AM BD ⊥于点M ，交BC 于点N ，连接CM ，若1CD =，则CM 的长为______．三、解答题18．解方程：28150x x -+=．19．点(),M x y 的坐标x ，y 可以在数2-，1-，1，2中任意选取．试求点M 在双曲线2y x=上的概率的概率．（用树状图或者列表法表示）20．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 边上任意一点，连接AE ，作BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，垂足分别为F 、G ．求证：AF ＝DG21．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？22．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且AFE B ∠=∠．(1)求证：ADF DEC ∽△△；(2)若 3.5AB =，4=AD ， 2.8AF =，求平行四边形ABCD 的面积．23．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 是BC 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点D ，连接CD ，且CD AC =．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若4,2AC CE ==，求半径的长．24．已知二次函数()20y ax a =¹与一次函数2y kx =-的图象相交于A 、B 两点，如图所示，其中()1,1A --，(1)求B 点的坐标．(2)直接写出当x 为何范围时，一次函数值大于二次函数值？(3)在x 轴上是否存在点C ，使CAB △的面积是4，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由？25．如图1，矩形ABCD 中，10cm AB =，6cm AD =，在BC 边上取一点E ，将ABE 沿AE 翻折，使点B 落在DC 边上的点F 处．(1)则CF =______，EF =______；(2)如图2，一动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿AF 向终点F 做匀速运动，过点P 作PM EF ∥交AE 于点M ，过点M 作MN AF ∥交EF 于点N ．设点P 运动的时间为()010t t <<，四边形PMNF 的面积为S ，试探究S 的最大值？(3)以A 为坐标原点，AB 所在直线为横轴，建立平面直角坐标系，如图3，在（2）的条件下，连接FM ，若AMF 为等腰三角形，求点M 的坐标．参考答案：1．C【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【详解】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选：C ．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．注意本题不要误选D ．2．B【分析】由九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，一共有12种情况，其中抽出的同学是女生的有4种情况，根据概率公式计算即可．【详解】解：九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，一共有12种情况，其中抽出的同学是女生的有4种情况，∴抽出的同学为女生的概率是41123=．故选择：B ．【点睛】本题考查列举法求概率，掌握列举法求概率的方法，随机抽出一名同学代表班级参加比赛，所有种情况，找出其中抽出的同学是女生的情况是解题关键．3．A【分析】根据方程的解满足方程代入求解即可得到答案．【详解】解：∵一元二次方程220x x m -+=的一个实数根是1x =，∴21210m -⨯+=，解得1m =，故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值．4．D【分析】根据圆周角定理得到∠ADB =90°，∠A =∠BCD =24°，然后利用互余计算∠ABD 的度数．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∵∠A=∠BCD=24°，∴∠ABD=90°-∠A=90°-24°=66°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．5．B【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．【详解】解：A、∵∠A=∠A，ABAP＝ACAB∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；B、根据BCBP＝ACAB和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．6．C【分析】根据正弦的定义解得即可．【详解】解：4 sin5BCAAB==．故选：C【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边比值，余弦等于邻边比斜边的比值，正切等于对边比邻边的比值是解题的关键．7．A【分析】根据反比例函数的性质直接求解即可．【详解】解：∵反比例函数3yx=，k=3>0∴两个分支在各自的象限y随x的增大而减小，∵120x x <<∴12y y >故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．8．B【分析】由△ABC 和△111A B C 是位似三角形，1C 为OC 中点，可知△ABC ∽△111A B C ，相似比为2：1，根据可得答案.【详解】∵△ABC 和△111A B C 是位似三角形，A 1、B 1、C 1分别为OA 、OB 、OC 的中点，∴△ABC ∽△111A B C ，相似比为2：1，∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，又∵△111A B C 的面积为5，∴△ABC 的面积为：5⨯4=20．故选：B ．【点睛】本题考查位似图形，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握位似图像的定义是解题关键.9．A【分析】根据根与系数的关系得126x x +=，123x x =，利用代数式变形得到12122()x x x x +，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得126x x +=，123x x =，则1212122()222643x x x x x x +⨯+===．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，12b x x a+=-，12cx x a =．10．B【分析】设过点P 平行直线y 1的解析式为y=x+b ，当直线y=x+3与抛物线只有一个交点时，点P 到直线y 1的距离最小，如图设直线y 1交x 轴于A ，交y 轴于B ，直线y=x+12交x 轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，想办法求出CD的长即可解决问题.【详解】解：设过点P平行直线y1的解析式为y=x+b，当直线y=x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线y1的距离最小，由21y=-2{2y=x xx b++，消去y得到：x2-2x+2b=0，当△=0时，4-8b=0，∴b=12，∴直线的解析式为y=x+12，如图设直线y1交x轴于A，交y轴于B，直线y=x+12交x轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，则A（-3，0），B（0，3），C（-12，0）,∴OA=OB=3，OC=12，AC=52，∴∠DAC=45°，∴=4，∵AB∥PC，CD⊥AB，PE⊥AB，∴PE=CD=4，故选B．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数图象上的点的特征，二元二次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．7 4【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．【详解】∵34b a =，∴371144a b a b b a a a a +=+=+=+=，故答案为：74．【点睛】本题考查了比例的性质，把所求的式子变形为1ba +是解题的关键．12．y =2（x +1）2－3或y =2x 2﹢4x ﹣1【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y 将抛物线y =2x 2-1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y =2（x +1）2-1-2，即y =2（x +1）2-3，故答案为：y =2（x +1）2－3或y =2x 2﹢4x ﹣1．【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．13．104【分析】根据圆内接四边形对角互补及圆周角定可直接得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于O ，128BCD ︒∠=，∴18012852BAD ∠=︒-︒=︒，BAD ∠，BOD ∠对的弧都是弧BD ，∴2104BOD BAD ∠=∠=︒，故答案为104．【点睛】本题考查圆内接四边形对角互补及同弧或等弧所对圆心角等于圆周角两倍．14．﹣8【分析】利用反比例函数k 的几何意义得到12|k |＝4，然后根据反比例函数的性质确定k 的值．【详解】解：∵AB ⊥x 轴，∴ABO S ＝12|k |，即12|k |＝4，∵k ＜0，∴k ＝﹣8．故答案为﹣8．【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，准确计算是解题的关键．15．82【分析】过点A 作AE DC ⊥于点E ，根据锐角三角函数即可求出结果．【详解】解：过点A 作AE DC ⊥于点E ，∵四边形ABCE 是矩形，∴30AB CE ==（米），∵从楼AB 的顶部A 测得楼CD 的底部C 的俯角为30︒，顶部D 的仰角为45︒，∴tan 30CE AE ==︒，∵45DAE D ∠=∠=︒，∴DE AE ==，∴3082CD CE DE =+=+（米），故答案为82．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．16【分析】如图，连接EB ．证明△AEB 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE ，EB ，EC 即可．【详解】如图，连接EB ．由作图可知，MN 垂直平分线段AB ，∴EA=EB ，∴∠A=∠EBA=45°，∴∠AEB=90°，∵AB=2，∴，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠EBC=∠AEB=90°，∴==【点睛】本题主要考查菱形的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练掌握上述三个性质，是解题的关键．17．2【分析】过M 作ME AD ⊥于E ，根据60D ∠=︒，AM BD ⊥，90ACB DCB ∠=∠=︒得到30MAD CBD ∠=∠=︒，结合1CD =，得到2212BD CD ==⨯=，根据勾股定理求出BC =45BAC ∠=︒，AM BD ⊥得到AC =即可得到1AD AC CD =+=，即可得到11222DM AD ==+，根据ME AD ⊥，90ACB DCB ∠=∠=︒，即可求出ME ，从而得到AE ，CE ，最后根据勾股定理即可得到答案．【详解】解：过M 作ME AD ⊥于E ，∵60D ∠=︒，AM BD ⊥，90ACB DCB ∠=∠=︒，∴30MAD CBD ∠=∠=︒，∵1CD =，∴2212BD CD ==⨯=，在Rt BCD ∆中根据勾股定理可得，BC =∵45BAC ∠=︒，AM BD ⊥，∴45BAC ABC ∠=∠=︒，∴AC BC ==，∴1AD AC CD =+=，∵30MAD ∠=︒，∴11222DM AD ==+，∵ME AD ⊥，90ACB DCB ∠=∠=︒，∴BC ME ∥，∴30EMD CBD ∠=∠=︒，∴11244DE DM ==+，∴131)44CE CD DE =-=-+=在Rt DEM ∆中根据勾股定理可得，34ME =+在Rt CEM ∆中根据勾股定理可得，CM ==故答案为2，．【点睛】本题考查直角三角形30︒角所对直角边等于斜边一半，等腰三角形性质及勾股定理，解题的关键是作出辅助线求得AE ，CE ，．18．13x =，25x =【分析】移项、配方、两边开平方即可得到答案．【详解】解：移项得，2815x x -=-，两边同时加上24得，22841516x x -+=-+，即2(4)1x -=，两边开平方得，41x -=±，即41x -=-或41x -=，∴原方程的解为：13x =，25x =．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握几种解法及选择适当的方法求解．19．14【分析】列出所有点情况，找出在2y x =上的点，根据概率公式直接求取即可得到答案．【详解】解：由题意可得，由上图可得总共有：(1,1)--、(1,2)--、(1,1)-、(1,2)-、(2,1)--、(2,2)--、(2,1)-、(2,2)-、(1,1)-、(1,2)-、(1,1)(1,2)、(2,1)-、(2,2)-、(2,1)、(2,2)，16种情况，其中(1,2)--、(2,1)--(1,2)、(2,1)四点在双曲线2y x=上，∴41==164P ．【点睛】本题考查利用树状图树状图法求概率及反比例函数图像上点的问题，解题的关键是列出树状图．20．详见解析【分析】根据正方形的性质可得AB ＝AD ，再利用同角的余角相等求出∠BAF ＝∠ADG ，再利用“角角边”证明△BAF ≌△ADG ，根据全等三角形对应边相等可得AF ＝DG ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠DAB ＝90°，∵BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，∴∠AFB ＝∠AGD ＝∠ADG +∠DAG ＝90°，∵∠DAG +∠BAF ＝90°，∴∠ADG ＝∠BAF ，在△BAF 和△ADG 中，BAF ADG AFB DGA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAF ≌△ADG （AAS ），∴AF ＝DG ．【点睛】此题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定及性质,掌握正方形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．21．(1)20%(2)5元【分析】（1）设每次下降的百分率为a ，根据题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据总盈利=每千克盈利⨯数量，列出一元二次方程，然后求出其方程解答即可得到结果．【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a ，根据题意，得：()250132a -=，解得： 1.8a =（舍去）或0.2a =，答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x 元，由题意，得：()()10500206000x x +-=，整理，得215500x x -+=，解得：15=x ，210x =，因为要尽快减少库存，所以5x =符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．22．(1)见详解(2)12【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形得到BAD C ∠=∠，B ADC ∠=∠，AD BC ∥，即可得ADF DEC ∠=∠，180B BAD ∠+∠=°，结合AFE B ∠=∠，180AFE AFD ∠+∠=︒可得AFD C ∠=∠，即可得到证明；（2）根据四边形ABCD 是平行四边形得到 3.5AB DC ==，再根据ADF DEC ∽△△即可求出DE ，根据勾股定理即可求出AE ，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵根据四边形ABCD 是平行四边形，∴BAD C ∠=∠，B ADC ∠=∠，AD BC ∥，∴ADF DEC ∠=∠，180B BAD ∠+∠=°，∵AFE B ∠=∠，180AFE AFD ∠+∠=︒，∴AFD C ∠=∠，又∵ADF DEC ∠=∠，∴ADF DEC ∽△△；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形， 3.5AB =，∴ 3.5AB DC ==，∵ADF DEC ∽△△，4=AD ， 2.8AF =，∴AD AF DE DC =，即4 2.83.5DE =，∴5DE =，∵AE BC ⊥，AD BC ∥，∴90EAD ∠=︒，在Rt EAD ∆中根据勾股定理可得，3AE ==，∴平行四边形ABCD 的面积为：4312⨯=答：平行四边形ABCD 的面积为12．【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，平行四边形的性质，平行线性质及勾股定理，解题的关键是根据四边形得到线平行及角相等从而找到三角形相似的条件．23．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）连接OD ，证明90ODC ∠=︒可得结论；（2）在Rt ODC △中用勾股定理列方程计算即可．【详解】（1）连接OD ．OB OD= ,B BDO ∴∠=∠AC CD= A ADC∴∠=∠90A B ∠+∠=︒90BDO ADC ∴∠+∠=︒90ODC ∴∠=︒∴CD 是O 的切线；（2）设半径为r ，则OD OE r==∵4,2AC CE ==∴4AC CD ==，2OC OE EC r =+=+在Rt ODC △中，222OD DC OC +=∴2224(2)r r +=+解得3r =即半径的长为3．【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．24．(1)(2,4)-(2)2x >或1x <-(3)18(,0)5-或2(,0)5-【分析】（1）将()1,1A --分别代入()20y axa =¹与2y kx =-写出解析式，联立解方程即可得到答案；（2）根据函数图像写出一次函数图像在上方的x 的取值范围即可得到答案；（3）求出一次函数与x 轴交点D 的坐标，设点C 的坐标为(,0)C m ，根据4CAB CDB CDA S S S ∆∆∆=-=列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：将()1,1A --分别代入()20y axa =¹与2y kx =-得，2(1)1a ⨯-=-，解得1a =-，21k --=-，解得1k =-，∴二次函数解析式为：2y x =-，一次函数解析式为：2y x =--，联立可得22x x -=--，解得12x =，21x =-，当2x =时，224y =--=-，∴B 点的坐标为：(2,4)-；（2）解：由函数图像可得，当2x >或1x <-时一次函数图像在二次函数上方，∴2x >或1x <-时一次函数值大于二次函数值；（3）解：当0y =时，20x --=，解得2x =-，∴一次函数与x 轴交点D 的坐标为(2,0)-，设点C 的坐标为(,0)C m ，如图所示：CAB CDB CDAS S S ∆∆∆=-∵CAB △的面积是4，∴112421422m m ⨯+⨯-⨯+⨯=，解得：185m =-或25m =-，∴点C 的坐标为18(,0)5-或2(,0)5-．【点睛】本题考查一次函数与二次函数交点问题，利用函数图像解决不等式问题及动点围成三角形面积问题，解题的关键是求出解析式及根据4CAB CDB CDA S S S ∆∆∆=-=列方程．25．(1)2，103(2)253(3)5(5,3M【分析】（1）根据折叠得到10cm AB AF ==，BE EF =，在Rt ADF ∆中根据勾股定理即可求出DF ，即可得到CF ，在Rt CEF ∆中根据勾股定理即可得到EF ；（2）用t 表示出AP ，根据PM EF ∥可得APM AFE ∆∆∽，即可用t 表示出PM ，根据PM EF ∥，MN AF ∥，即可得到四边形PMNF 为矩形，根据矩形面积公式即可根据函数性质得到答案；（3）根据直角坐标系求出E 点，根据AMF 为等腰三角形及PM EF ∥得到M 点为中点，根据中点坐标公式即可得到答案．【详解】（1）解：∵ABE 沿AE 翻折得到AEF △，矩形ABCD 中10cm AB =，∴10cm AB AF ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，在Rt ADF ∆中根据勾股定理可得，8DF ===，1082CF DC DF =-=-=，设EF x =，则有6CE x =-，在Rt CEF ∆中根据勾股定理可得，222(6)2x x --=，解得：103x =，故答案为：2，103；（2）解：根据题意可得，AP t =，∴10PF t =-，∵PM EF ∥，∴APM AFE ∆∆∽，∴AP PM AF EF=，即10103t PM =，解得3t PM =，∵PM EF ∥，MN AF ∥，90AFE ∠=︒，∴四边形PMNF 为矩形，∴2210125(10)(5)33333t t t S PF PM t t =⨯=-⨯=-+=--+0t 10<<，∵13a =-，∴当5t =时，S 最大，S 的最大值为253；（3）解：由题意可得，(0,0)A ，10(10,)3E ，∵四边形PMNF 为矩形，∴PM AF ⊥，∵AMF 为等腰三角形，∴P 为AF 的中点，∵PM EF ∥，∴12AP AM AF AE ==，∴M 为AE 的中点，∴点M 的坐标为5(5,)3M ．【点睛】本题考查折叠性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，中点性质，解题的关键是根据折叠性质得到对应线段相等及根据平行得到相似．。
2019初三一模试题与答案
21CBAA 2019年初三年级综合练习（一）数 学 试 卷2019年4月一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．“蛟龙号”是一艘由中国自行设计、自主集成研制的载人潜水器，也是“863”计划中的一个重大研究专项．2010年5月至7月，“蛟龙号”在中国南海中进行了多次下潜任务，其中最大下潜深度超过了7 000米．将7 000用科学记数法表示为 A ．7 × 104B ．7 × 103C ．0.7 × 105D ．70×1022．如果实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是A ．a b <B ．a b >-C ．2a >-D ．b a >3．京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介．在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是A B C D4．如图，△ABC 为等边三角形，如果沿图中虚线剪去∠B ， 那么∠1+∠2等于 A ．120° B ．135° C ．240°D ．315°5．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 A ．5B ．6C ．7D ．86．如果30x y -=，那么代数式()2222x yx y x xy y +⋅--+的值为A ．27-B ．27C ．72-D ．727．如图，⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，半径OD ⊥弦BC 于D ，如果∠BAC =60°那么OD 的长是 A ．2BC ．1DC B A8．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分解因式：22ab ab a-+10．函数y=x11．写出一个图象经过点（1，1），且在第一象限内函数值随着自变量的值增大而减小的函数表达式：．12．如果在多项式241a+中添加一个单项式，可使其成为一个完全平方式，那么添加的单项式为．（写出一个即可）13．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C = 90°，AC = 6，BC = 8．如果小明同学将纸片做了两次折叠．第一次使点A落在C处，在纸片上的折痕长记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，在纸片上的折痕长记为n．那么m，n之间的关系是m n．（填“＞”，“=”或“＜”）14．某农科院在相同条件下做了某种苹果幼树移植成活率的试验，结果如下：那么该苹果幼树移植成活的概率估计值为．（结果精确到0.1）15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A’O B’，其中点A’与点A对应，点B’与点B对应．如果A （3-，0），B （1-，2）．那么点A ’ 的坐标为 ，点B 经过的路径¼'BB 的长度为 ．（结果保留π）16．顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：那么最短交货期为 工作日．三、解答题 （本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．计算：()201122cos 453π-⎛⎫+---︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式组()41710,853x x x x ⎧++⎪⎨--⎪⎩≤＜并求该不等式组的所有非负整数解.19．下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O ．求作：正方形ABCD ，使正方形ABCD 内接于⊙O ． 作法：如图2，① 过点O 作直线AC ，交⊙O 于点A 和C ；② 作线段AC 的垂直平分线MN ，交⊙O 于点B 和D ；图1③ 顺次连接AB ，BC ，CD 和DA ； 则正方形ABCD 就是所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明： ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ABC =∠ADC = °， 又∵点B 在线段AC 的垂直平分线上， ∴ AB = BC ，∴ ∠BAC = ∠BCA = °． 同理 ∠DAC = 45°．∴ ∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°． ∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，∴ 四边形ABCD 是矩形（ ）（填依据）， 又∵ AB = BC ，∴ 四边形ABCD 是正方形．20．已知：关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，m ≠0）．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．图2DBA21．如图，在△ABD 中，∠ABD = ∠ADB ，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，连接BC ，DC 和AC ，AC 与BD 交于点O ． （1）用尺规补全图形，并证明四边形ABCD 为菱形；（2）如果AB = 5，3cos 5ABD ∠=，求BD 的长．22． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数6y x=的图象交于点A （m ，3）和B （6-，n ），与x 轴交于点C ． （1）求直线y kx b =+的表达式； （2）如果点P 在x 轴上，且S △ACP =32S △BOC ，直接写出点P 的坐标．PA23．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 的延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ．（1）求证：DB 平分∠PDC ； （2）如果DC = 6，3tan 4P ∠=，求BC 的长．24．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是AB 的中点，P 是线段BC 上一动点，连接AP 和DP ．如果BC = 8cm ，设B ，P 两点间的距离为x cm ，D ，P 两点间的距离为y 1 cm ，A ，P 两点间的距离为y 2 cm ．PDCB A小明根据学习函数经验，分别对函数y 1和y 2随自变量x 变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请将它补充完整：（1）按下表中自变量x 值进行取点、画图、测量，得到了y 1和y 2与x 几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y 2）和（x ，y 1），并画出函数y 1和y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DP = AP 时，BP 的长度约为 cm （结果精确到0.01）．25．某工厂的甲、乙两个车间各生产了400个新款产品，为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围在165≤x ＜180为合格），分别从甲、乙两个车间生产的产品中随机各抽取了20个样品迸行检测，获得了它们的数据（尺寸），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a ．甲车间产品尺寸的扇形统计图如下(数据分为6组：165≤x ＜170，170≤x ＜175，175≤x ＜180，180≤x ＜185，185≤x ＜190，190≤x ≤195)：b ．甲车间生产的产品尺寸在175≤x ＜180这一组的是：175 176 176 177 177 178 178 179 179 c ．甲、乙两车间生产产品尺寸的平均数、中位数、众数如下：A ：165≤x ＜170B ：170≤x ＜175C ：175≤x ＜180D ：180≤x ＜185E ：185≤x ＜190F ：190≤x ≤195根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m的值为；（2）此次检测中，甲、乙两车间生产的产品合格率更高的是（填“甲”或“乙”），理由是；（3）如果假设这个工厂生产的所有产品都参加了检测，那么估计甲车间生产该款新产品中合格产品有个．26．在平面直角坐标系xOy中，一次函数4=+的图象与x轴交于点A，与过点（0，5）平行于x轴的y x直线l交于点B，点A关于直线l的对称点为点C．（1）求点B和点C坐标；（2）已知某抛物线的表达式为22y x mx m m=-+-．2①如果该抛物线顶点在直线4=+上，求m的值；y x②如果该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．27．如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE 交OA 于点E ．以点P 为旋转中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F ． （1）根据题意补全图1，并证明PE = PF ；（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明； （3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系．PPEECCBBOOAA图1 图228．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”． 如图，M （1，2），N （4，2）．（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ；（2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围； （3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．备用图2019年初三年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2019年4月三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）17．（本小题满分5分）解：()21122cos45.3π-⎛⎫+----︒⎪⎝⎭9112=--……………………………………………………………………………4分7.=…………………………………………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分）解：原不等式组为()41710,853x xxx⎧++⎪⎨--⎪⎩≤＜解不等式①，得x≥2-．…………………………………………………………………………1分解不等式②，得72x<．…………………………………………………………………………2分∴该不等式组的解集为2-≤x<72．………………………………………………………………3分∴该不等式组的非负整数解为0，1，2，3．……………………………………………………5分19．（本小题满分5分）解：（1）尺规作图正确；…………………………………………………………………………………3分（2）填空正确．………………………………………………………………………………………5分20．（本小题满分5分）（1）证明：∵m≠0，∴方程2(3)30mx m x+--=为一元二次方程. …………………………………1分依题意，得22(3)12(+3)m m m∆=-+=2(+3)m=. ……………………………………2分①②A ∵ 无论m 取何实数，总有2(+3)m ≥0，∴ 此方程总有两个实数根. …………………………………………………………… 3分（2）解：由求根公式，得(3)(3)2m m x m--±+=.∴ 11x =，23x m=-（m ≠0）. ……………………………………………………… 4分 ∵ 此方程的两个实数根都为正整数，∴ 整数m 的值为1-或3-． …………………………………………………………… 5分21．（本小题满分5分）（1）补全的图形如图所示．…………………………………………………………………………… 1分证明：由题意可知BC = DC = AB ． ∵ 在△ABD 中，=ABD ADB ∠∠， ∴ AB = AD ．∴ BC = DC = AD = AB ．∴ 四边形ABCD 为菱形．…………………………… 3分（2）解：∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ BD ⊥AC ，OB=OD ．…………………………………………………………………… 4分在Rt △ABO 中，90AOB ∠=︒，AB =5，3cos 5ABD ∠=，∴ cos 3OB AB ABD =⋅∠=．∴ 2=6BD OB =．……………………………………………………………………………… 5分22．（本小题满分5分）解：（1）由题意可求：m = 2，n = -1．………………………………………………………………… 2分将（2，3），B （-6，-1）带入y kx b =+，得32,16.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩ 解得 1,22.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴ 直线的解析式为122y x =+. …………………………………………………………… 3分 （2）（-2，0）或（-6，0）. …………………………………………………………………… 5分23．（本小题满分6分）（1）证明：如图1，连接OD ． ∵ DP 是⊙O 的切线，∴ OD ⊥DP ．∴ 90ODP ∠=︒ 1分 ∴ 90.ODB BDP ∠+∠=︒ 又 ∵DC ⊥OB ，∴ 90DCB ∠=︒．……………………………………………………………………… 2分∴90BDC OBD ∠+∠=︒． ∵OD =OB ，∴.ODB OBD ∠=∠ ∴BDP BDC ∠=∠．∴DB 平分∠PDC ．……………………………………………………………………… 3分（2）解：如图2，过点B 作BE ⊥DP 于点E ． ∵,BDP BDC ∠=∠ BC ⊥DC ，∴BC =BE . ……………………………………………………………………………………… 4分 ∵DC =6，3tan 4P ∠=， ∴DP =10，PC =8．………………………………… 5分 设CB = x , 则BE = x ，BP = 8 - x ． ∵ △PEB ∽△PCD ， ∴8610x x-=． ∴ 3=x ．∴ 3BC = …………………………………………………………………………………… 6分24．（本小题满分6分）解：（1）2.50；………………………………………………………………………………………… 2分（2）略；…………………………………………………………………………………………… 4分 （3）4.67. …………………………………………………………………………………………… 6分 25．（本小题满分6分）解：（1）177.5；………………………………………………………………………………………… 2分（2）略；......................................................................................................... 4分 （3）280 . (6)分26．（本小题满分6分）解：（1）∵ 直线4y x =+与x 轴交于点A ，∴ 点A 坐标为（-4，0）.∵ 直线4y x =+与与过点（0，5）且平行于x 轴的直线l 交于点B ，∴ 点B 坐标为（1，5）. …………………………………………………………………… 1分 ∵ 点A 关于直线l 的对称点为点C ，∴ 点C 坐标为（-4，10）. (2)分（2）① ∵ 抛物线的表达式为222y x mx m m =-+-，∴ 顶点坐标为（m ，-m ）. …………………………………………………………… 3分∵ 抛物线顶点在直线4y x =+上， ∴4m m -=+，∴ m = - 2. …………………………………………………………………………… 4分 ② 6 4.m ≤≤-……………………………………………………………………………… 6分27．（本小题满分7分）A解：（1）补全图形（如图1）； ……………………………… 1分证明：略. ……………………………………… 3分 （2）线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系是OF +OE . ……………………………… 4分证明：如图2，作PQ ⊥PO 交OB 于Q .∴ ∠2+∠3 = 90°，∠1+∠2 = 90°. ∴ ∠1=∠3.又∵ OC 平分∠AOB ，∠AOB =90°， ∴∠4 =∠5 = 45°. 又∵ ∠5 +∠6 = 90°， ∴∠6 = 45°，∴∠4 = ∠6 . ∴ PO= PQ .∴ △EPO ≌ △FPQ .……………………… 5分 ∴ PE =PF ，OE = FQ .又∵OQ = OF +FQ = OF + OE .又∵ OQ=OP ，∴OF + OE . ……………………… 6分（3）线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系是OF - OE OP . ………………………… 7分28．（本小题满分7分）解：（1）P 1和P 3；……………………………………………………………………………………… 2分 （2）线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示，∵ 直线1y x =+经过点M （1，2），∴ x ≥1. …………………………………………………………………………………… 3分 设直线1y x =+与P 4N 交于点A .过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C .由题意易知，在△AMN 中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°. 设AB = MB = a ，∴ tan ABANM BN ∠=，即tan303aa︒=-，解得a = ………………………4分∴ 点A 的横坐标为11x a =+=∴x …………………………5分综上1x ≤ ………………………………………………………………………… 6分 （33r ≤ …………………………………………………………………………… 7分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
浙教版九年级数学上册期末综合检测试卷(含答案)
浙教版九年级数学上册期末综合检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（）A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm2.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A. ∠ABD=∠CB. ∠ADB=∠ABCC.D.3.抛物线y=3x2，y=-3x2，y= x2+3共有的性质是（）A. 开口向上B. 对称轴是y轴C. 都有最高点D. y随x值的增大而增大4.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（）A. k＞-B. k＞- 且k≠0C. k≥-D. k≥- 且k≠05.小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A. 0.5mB. 0.55mC. 0.6mD. 2.2m6.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AD=2BD，则的值为（）A. B. C. D.7.平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(，1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为( )A. (1，)B. ( －1，)C. (0，2)D. (2，0)8.如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为（）A. 70°B. 50°C. 40°D. 35°9.两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为25cm2，则较大三角形的面积是（）A. 75cm2B. 65cm2C. 50cm2D. 45cm210.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD=；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤ S四边形CDEF=S△ABF ,其中正确的结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（共10题；共30分）11.如图，锐角三角形ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D．请写出图中的一对相似三角形，如________．12. 如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=________.13.如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为________．14.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图像如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根的和等于________．15.如图，点G是△ABC的重心，连结AG并延长交BC于点D，过点G作EF∥AB交BC于E，交AC于F．若AB=12，那么EF=________．16.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，则将每件的销售价定为________ 元时，可获得最大利润．17.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：①2a+c＜0；②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；④当n=﹣时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确结论是________（填写序号）．18.如果2+ 是方程的一个根，那么c的值是________.19.如图，在直角坐标系中，点Ａ在y轴上，△OAB是等腰直角三角形，斜边OA=2，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△′′，则点′的坐标为________20.如图，△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m （0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=________ ．三、解答题（共8题；共60分）21.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2,3），B（-3，-1），C（-1,1）（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）直接回答：∠AOB与∠A2OB2有什么关系？22.已知：如图所示，AD=BC。
九年级数学上册 第二十一章综合测试题含答案
人教版九年级数学上册第二十一章综合测试卷01一、选择题（30分）1.一元二次方程22(32)10x x x --++=的一般形式是（）A .2550x x -+=B .2550x x +-=C .2550x x ++=D .250x +=2.一元二次方程260x +-=的根是（）A .12x x ==B .10x =，2x =-C .1x 2x =-D .1x =2x =3.用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为（）A .2(2)1x +=B .2(2)1x -=C .229x +=（）D .229x -=（）4.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x 则12x x 为（）A .2-B .1C .2D .05.关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定6.若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x ax a -+=的一个根，则a 的值为（）A .1或4B .1-或4-C .1-或4D .1或4-7.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2680x x -+=的根，则该三角形的周长为（）A .8B .10C .8或10D .128.若α，β是一元二次方程定2260x x +-=的两根，则22αβ+=（）A .8-B .32C .16D .409.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的方程为（）A .1(1)282x x +=B .1(1)282x x -=C .(1)28x x +=D .(1)28x x -=10.已知关于的一元二次方程2(1)2(1)0a x bx a ++++=有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A .1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根B .0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根二、填空题（24分）11.如果关于x 的方程220x x k -+=（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________.12.若将方程定267x x +=化为2()16x m +=，则m =__________.13.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程210210x x -+=的根，则三角形的周长为__________.14.已知一元二次方程21)10x x -++-=的两根为1x ，2x ，则1211x x +=__________.15.已知关于x 的方程224220x x p p --++=的一个根为p ，则p =__________.16.关于x 的一元二次方程2(5)220m x x -++=有实根，则m 的最大整数解是__________.17.若关于x 的一元二次方程号2124102x mx m --+=有两个相等的实数根，则2 2 2)1)((m m m ---的值为__________.18.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方程2260a x m +++=（）的解是__________.三、解答题（8+6+6+6+6+7+7=46分）19.解方程.（1）3(2)2(2)x x x -=-（2）2220x x --=（用配方法）（3）()()11238x x x +-++=（）（4）22630x x --=20.已知关于x 的一元二次方程()22(22)20x m x m m --+-=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根，（2）如果方程的两实数根为1x ，2x ，且221210x x +=求m 的值.21.已知关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根1x ，2x .（1）求m 的取值范围.（2）若1x ，2x 满足1232x x =+，求m 的值.22.在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y （千克）与该天的售价x （元/千克）满足如下表所示的一次函数关系。
2021-2022学年沪科版九年级数学第一学期期末复习综合练习题1(附答案)
2021-2022学年沪科版九年级数学第一学期期末复习综合练习题1（附答案）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A．B．C．D．3．下列命题①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；④圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，那么tan B的值等于（）A．B．C．D．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝7．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数y＝min{x2+1，1﹣x2}，则y的图象为（）A．B．C．D．8．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为（）A．3B．2C．6D．129．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＝0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，Rt△ABC中，AB＝BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，下列结论正确的是（）A．EF＝GF B．∠ADF＝∠CDB C．AF＝AB D．S△ABC＝5S△BDF11．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝．12．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为．13．点A，B，C，D都在⊙O上，，D为⊙O上的一点，∠ABC＝∠ODC＝67.5°，CO的延长线交AB于点P，若CD＝2，则BP＝．14．已知抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，已知A（﹣1，0），B （1，1），则a的取值范围是．15．计算：|﹣|+﹣（﹣2）﹣2﹣（3.14﹣π）0﹣4cos30°+|2﹣|．16．先化简，后求值：，其中17．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．（1）画出△A1B1C；（2）求在旋转过程中，CA所扫过的面积．18．如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC；（3）是否在y轴上存在一点D，使得BD+CD的值最小，并求出D坐标．19．中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米．某天该深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°．请判断沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由；（精确到0.01）（参考数据：≈1.414，≈1.732）20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE．（1）求证：DB＝DE；（2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE＝，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积．21．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG⋅FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．22．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝﹣x+120．（1）若该服装获得利润为w（元），试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得利润最大，最大利润是多少元？（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的取值范围．23．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝3．（1）求证：∠A＝120°．（2）在（1）的基础上，请画一个三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角三角形．（3）以BC为边向下侧作一个等边△BCD，连接AD，那么AD的长是多少？参考答案1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选：B．2．解：A、函数y＝x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；B、函数中的k＜0，y随着x增大而减小，故本选项正确；C、D两个答案考虑其增减性时，需要考虑自变量的取值范围，故C、D错误．故选：B．3．解：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，本小题说法是真命题；②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法是真命题；③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，本小题说法是真命题；④圆内接四边形的对角互补，本小题说法是真命题；故选：A．4．解：如图，由勾股定理得，AC＝＝＝，∴tan B＝＝，故选：C．5．解：①当k＞0时，y＝kx+1过一、二、三象限；y＝过一、三象限；②当k＜0时，y＝kx+1过一、二、四象象限；y＝过二、四象限．观察图形可知，只有C选项符合题意．故选：C．6．解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，若，∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；若∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；若∠C＝∠AED，∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；∵，∠DAE＝∠BAC，∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意；故选：D．7．解：根据题意，min{x2+1，1﹣x2}表示x2+1与1﹣x2中的最小数，不论x取何值，都有x2+1≥1﹣x2，所以y＝1﹣x2；可知，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝±1；则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．故选：C．8．解：∵tan∠AOD＝＝，∴设AD＝3a、OA＝4a，则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），∵CE＝2BE，∴BE＝BC＝a，∵AB＝4，∴点E（4+4a，a），∵反比例函数y＝经过点D、E，∴k＝12a2＝（4+4a）a，解得：a＝或a＝0（舍），则k＝12×＝3，9．解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，∴①正确；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点（1，0），故当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴②错误；③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1得b＝2a，∴2a﹣b＝0，∴③正确；④因为抛物线与x轴有两个交点，所以Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0．∴④错误；⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．∴⑤正确．故选：C．10．解：如图，∵BG⊥CD，∴∠BED＝∠ABC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG与△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），又BD＝AD，∴AG＝AD；在△AFG与△AFD中，，∴△AFG≌△AFD（SAS），∴FG＝FD，∠5＝∠2，在Rt△DEF中，DF＞FE∴GF＞FE，∴EF≠FG，故A选项错误；又∠5+∠3＝∠1+∠3＝90°，∴∠5＝∠1，∴∠1＝∠2，即∠ADF＝∠CDB．故B选项正确；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB，∵△AFG≌△AFD，∴AG＝AD＝AB＝BC，∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB，故C选项错误；∵AF＝AC，所以S△ABF＝S△ABC；又D为中点，∴S△BDF＝S△ABF，∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝6S△BDF．故D选项错误．故选：B．11．解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0的一个根，∴4+2m+2n＝0，∴n+m＝﹣2，故答案为：﹣2．12．解：∵底面圆的面积为100π，∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r，则＝20π，解得：母线长为30，∴扇形的面积为πrl＝π×10×30＝300π，故答案为：300π．13．解：连接AC、OB，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°，∴∠DOC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∵，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴OC＝BC，∵∠BCP＝∠COD＝45°，∠PBC＝∠OCD＝67.5°，∴△CPB∽△ODC，∴，∴，∴PB＝2，故答案为：2．14．解：由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x+，∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0，∴△＝9﹣8a＞0，∴a＜；①当a＜0时，此时函数的对称轴在y轴左侧，当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+1＝0，解得a＝﹣2，故a≤﹣2；②当a＞0时，此时函数的对称轴在y轴右侧，当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B的坐标代入抛物线表达式得：a﹣1+1＝1，解得a＝1，即：a≥1∴1≤a＜综上所述：1≤a＜或a≤﹣2．故答案为1≤a＜或a≤﹣2．15．解：原式＝+3﹣﹣1﹣4×+2﹣2＝＝．16．解：＝＝＝，当a＝﹣2+时，原式＝．17．解：（1）则△A1B1C为所求作的图形．（2）∵AC＝，∠ACA1＝90°，∴在旋转过程中，CA所扫过的面积为：S扇形CAA1＝．18．解：（1）∵反比例函数过点A（2，3），∴k＝2×3＝6，∴反比例函数的关系式为；（2）方程组的解为，，又∵A（2，3），∴点B（﹣3，﹣2），又∵BC⊥x轴，∴点C（﹣3，0），BC＝2，∴S△ABC＝×2×（2+3）＝5；（3）存在，理由为：作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于点D，连接CD，此时DB+CD最小，∵C（﹣3，0），∴C'（3，0），设直线BC'的关系式为y＝mx+n，将B（﹣3，﹣2），C'（3，0）代入得，，解得m＝，n＝﹣1，∴一次函数的关系式为y＝x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，∴点D（0，﹣1）．19．解：（1）过点C作CD垂直AB延长线于点D，设CD＝x米，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AD＝x，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，∴BD＝x，∴AB＝AD﹣BD＝x﹣x＝2000，解得：x≈4732.05，∴船C距离海平面为4732.05+1800＝6532.05米＜7062.68米，∴沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内．20．（1）证明：∵E是△ABC的内心．∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE．（2）解：连接CD、OD．∵∠BAD＝∠DAC，∴＝，∴BD＝CD，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵FC是切线，∴∠BCF＝90°，∴∠DCF＝45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∵DE＝DB＝3，∴OD＝OC＝3，DF＝CD＝BD＝3，∴S阴＝S△CDF﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）＝×3×3﹣（﹣×3×3）＝﹣．21．证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴，且∠AFG＝∠EF A，∴△F AG∽△FEA，∴∠F AG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠F AG，且∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴，且∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴，∵AE∥BC，∴∴，∴，∴DG•AE＝AB•AG．22．解：（1）由题意得：w＝（﹣x+120）（x﹣60）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，∵二次项系数为负，抛物线开口向下，∴当x≤90时，w随x的增大而增大，∵销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于45%，∴60≤x≤45%×60+60，即60≤x≤87，∴当x＝87时，商场可获得最大利润，此时，w＝﹣（87﹣90）2+900＝891（元）．∴利润w与销售单价x之间的关系式为w＝﹣x2+180x﹣7200；销售单价定为87元时，商场可获得利润最大，最大利润是891元．（2）当w＝500时，则有：500＝﹣x2+180x﹣7200，整理得：x2﹣180x+7700＝0，解得：x1＝70，x2＝110，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝90，∴若该商场获得利润不低于500元，则有70≤x≤110，又∵60≤x≤87，∴销售单价x的取值范围为：70≤x≤87．23．（1）证明：如图，延长BA，过点C作CE⊥BA延长线于点E，设AE＝x，在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2，在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2，∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2，∴72﹣（5+x）2＝32﹣x2，∴，在Rt△ACE中，AC＝2AE，∴∠ACE＝30°，∴∠EAC＝60°，即∠BAC＝120°；（2）解：如图，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BE的延长线于点F，连接CF，则AC＝CF，∵∠EAC＝60°，∴△ACF为等边三角形，∴AF＝CF＝AC＝3，BF＝5+3＝8，又BC＝7，∴△BCF为三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角三角形．故△BCF即为所求；（3）解：以BC为边向下作一个等边△BCD，如图所示，由（1）可知：∠BAC＝120°且∠BDC＝60°，∴∠BAC+∠BDC＝180°，∴A、B、D、C四点共圆．∵△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝CD，∴∠1＝∠BCD＝60°，在AD上截取AH＝AC，连接CH，∴△ACH为等边三角形，∴AC＝AH＝HC，∠ACH＝∠BCD，即∠ACH﹣∠BCH＝∠BCD﹣∠BCH，∴∠3＝∠2，∴△ABC≌△CHD（SAS），∴AB＝HD，即AD＝AH+AD＝AC+AB＝8．。
2024年春学期九年级数学第一次综合练习
2024年春学期第一次综合练习九年级数学试卷分值：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1．实数－5的相反数是 （ ） A ．－5B ．51C ．51-D ．52．北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列式子中，运算正确的是（ ）A ．a+a=a 2B ．a 6+a 2=a 3C ．(a 3)2=a 6D ．(a+2)2=a 2+44．下面不是正方体展开图的是（ ）A B C D5．今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少 1109万．数字1109 万用科学记数法可表示为（ ）A ．1.109×106B ．1.109×107C ．0.1109×108D ．11.09×1066．正八边形的内角和为（ ）A ．360°B ．540°C ．1080°D ．720°7．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为（ ）A. {4x +6y =383x +5y =48B. {4y +6x =483y +5x =38C. {4x +6y =485x +3y =38D. {4x +6y =483x +5y =388．如图，点A 、B 分别是反比例函数x k y 1=，xk y 2=图象上的点，当∠AOB =90°时tanA =2，则21k k 的值为（ ）A ．41B ．41-C ．4D ．－4二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。
） 9．因式分解：a 2－2a=______.10．一组数据2，0，2，1，5，1，8 的中位数为__________．11．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机抽取了400个家长进行调查，结果有360个家长持反对态度．则这次调查的样本容量是____ 12．如图，圆锥的底面半径OC=1，高AO=3，则该圆锥的侧面积等于 ．13．巳知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过2千克，收费10元；超过2千克的部分每千克加收2元.小丽在该快递公司寄一件5千克的物品，需要付费________元.14．若点（m,y 1）(m+1,y 2)都在函数y=kx+b(k ≠0)的图像上，若y 1－y 2=3,则k=______. 15．有一张矩形纸片ABCD ，已知AB=2，AD=4，上面有一个以AD 为直径的半园（如图1），E 为边AB上一点，将纸片沿DE 折，A 点恰好落在BC 上，此时半圆还露在外面的部分（如图2，阴影部分）的面积是 ______.16．如图，已知点A （3，0）、B （－1，0）点Q 是y 轴上一点，当∠AQB ＝135°时点Q 的坐标是__________第12题图 第15题图 第16题图三、解答题 （本大题共有11小题，共102分) 17．（本题满分6分）计算： 30tan 3)21()2021(93+-+---π18．（本题满分6分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->++<-x x x x 38432519．（本题满分8分）20．（本题满分8分）如图，△ABC 的顶点都在网格点上，点M 的 坐标为（0，1）．（1）以点M 为位似中心，把△ABC 按2：1放大，在y 轴的左 侧，画出放大后的△DEF ；（2）点A 的对应点D 的坐标是 ； （3）S △ABM ：S 四边形ABED = ．yC BAO21．（本题满分8分）放假期间，小明和小华准备到大众湖度假区(记为A)、东台森林公园(记为B)、欧风花街(记为C)的其中一个景点去游览，他们各自在这三个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同.（1）小明选择去大众湖度假区的概率是_______；（2）用树状图或列表的方法求小明和小华分别去不同景点游览的概率22．（本题满分10分）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC （1）求证：△AEF≌△DCE．（2）若DE=5cm，矩形ABCD的周长为38cm，求AE的长．23．（本题满分10分）如图是我们日常生活中经常使用的订书器，AB是订书机的托板，压柄BC绕着点B4cm. 旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动、在滑动过程中，DE的长保持不变、已知BD=2（1）如图1，当∠ABC=45°，BE=12cm时，求连接杆DE的长度；（结果保留根号）（2）现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座AB垂直，如图2所示，求出此过程中，点E滑动的距离.（结果保根号）24．（本题满分10分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60 元），每天可售出50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少1 件．设销售单价增加x元，每天售出y件．（1）请写出y与x之间的函数表达式；（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？25．（本题满分10分）如图，AB是⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上，连接AE、ED、DA，使得∠DAC=∠AED.（1）求证：AC 是⊙O的切线；（2）若点E 是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②若⊙O的半径为3，BF=2，求AC的长．26．（本题满分12分）【性质探究】如图,在矩形ABCD 中,对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ．作DF ⊥AE 于点H ，分别交AB ，AC 于点F ，G ．（1）判断△AFG 的形状并说明理由． （2）直接写出BF 与OG 的数量关系。
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九年级综合练习（一）数学试卷 2015.5学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界 平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A ．0.8×1013B ．8×1012C ．8×1013D ．80×10112. 如图，下列关于数m 、n 的说法正确的是A ．m ＞nB ．m =nC ．m ＞－nD ．m =－n3．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于 A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°4．下列计算正确的是A ．2a +3a =6a B. a 2+a 3=a 5 C. a 8÷a 2=a 6 D. (a 3)4= a 75．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差7为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为 A.16 B. 51C. 310D. 12 8. 若正方形的周长为40，则其对角线长为A ．100B ．C ．D ．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河 垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m ， ST =120 m ，QR =80 m ，则河的宽度PQ 为A ．40 mB ．60 mC ．120 mD ．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的 时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若分式21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．12．分解因式：2236+3m mn n -= ．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为 ．14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－，2）的函数，所写的函数表达式是 ．15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a ，417a -，526a ，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：1012sin 45(2015)3-⎛⎫+--︒+- ⎪⎝⎭π．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，20．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁 于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为万吨；（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量（万辆）利用公共自行车出行人数（万人）2012 1.4 约9.92013 2.5 约17.62014 4 约27.62015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）25.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.（1）求证：∠BAD =∠DAE ；（2）若AB =6，AD =5，求DF 的长.26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：APPD的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求APPD的值； （2）若CD=2，则BP = ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.28．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE .图1图2图3（1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ；②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．图1 图2数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a ，nn a n 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分 21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分12436--=k① ②244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根， ∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数.∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意，得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分 解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ． ∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，CE =………………4分 在Rt △ACE 中，=………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分 （2）如图. …………… 3分 （3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD ，∵ED 为⊙O 的切线，∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. ………………………………………………………………………… 2分 ∵BC ∥ED ,∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分 （2）连接BD ， ∴∠ADB =90°. ∵AB =6，AD =5，∴BD =……………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ，∴tan ∠CBD = tan ∠BAD . 在Rt △BDF 中， ∴DF =BD ·tan ∠CBD =115. ……………………………………………………………5分 26. 解：PD AP 的值为23. …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点， ∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ， ∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP . ∴DBAFPD AP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分（2） 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°. ∵DF ⊥BC ，∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠ABC =∠DFB =90°.∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中，∵AC =8，DF =3，∴AC=，DF=. ………………………………………………………………4分AF =AB －BF=即BE=. …………………………………………………………………………5分（2=BE +AB. ……………………………………………………………………7分29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，图1∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=，根据题意，有⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P . ∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分。