高中数学北师大版必修5课时作业：第2章 解三角形 15 Word版含答案
高中数学 第二章 解三角形 2.2 三角形中的几何计算课后习题(含解析)北师大版必修5-北师大版高二
§2 三角形中的几何计算课后篇巩固探究1.在△ABC 中,若A=105°,B=30°,BC=√62,则角B 的平分线的长是( )A.√32B.2√2C.1D.√2解析:设角B 的平分线与AC 交于点D ,则在△BCD 中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=√62,由正弦定理可知BD=1. 答案:C2.在△ABC 中,若AC=√7,BC=2,B=60°,则BC 边上的高等于( ) A.√32B.3√32 C.√3+√62 D.√3+√394解析:如图,在△ABC 中,由余弦定理可知,AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B ,即7=AB 2+4-2×2×AB×12. 整理得AB 2-2AB-3=0. 解得AB=3或AB=-1(舍去).故BC 边上的高AD=AB ·sin B=3×sin60°=3√32.答案:B3.若△ABC 的周长等于20,面积是 10√3,A=60°,则BC 边的长是( ) A.5B.6C.7D.8解析:在△ABC 中,分别用a ,b ,c 表示边BC ,CA ,AB.依题意及面积公式S=12bc sin A ,得10√3=12bc×sin60°,即bc=40.又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-2bc cos60°=b 2+c 2-bc=(b+c )2-3bc , 所以a 2=(20-a )2-120,解得a=7.答案:C4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 且满足c sin A=a cos C.当√3sin A-cos (B +π4)取最大值时,A 的大小为( ) A.π3 B.π4C.π6D.2π3解析:由正弦定理得sin C sin A=sin A cos C.因为0<A<π,所以sin A>0, 从而sin C=cos C.又cos C ≠0,所以tan C=1,则C=π4,所以B=3π4-A.于是√3sin A-cos (B +π4)=√3sin A-cos(π-A )=√3sin A+cos A=2sin (A +π6). 因为0<A<3π4,所以π6<A+π6<11π12,所以当A+π6=π2, 即A=π3时,2sin (A +π6)取最大值2. 答案:A 5.导学号33194042在△ABC 中,若C=60°,c=2√2,周长为2(1+√2+√3),则A 为( ) A.30° B.45° C.45°或75°D.60°解析:根据正弦定理,得2R=a+b+csinA+sinB+sinC=2(1+√2+√3)sinA+sinB+sinC =c sinC=2√2sin60°=4√63,所以sin A+sin B+sin60°=√32√2√322√2,sin A+sin B=√32√2,即sin A+sin(A+C )=√32√2⇒sin(A+60°)+sin A=√32√2⇒√3sin(A+30°)=√3(√3+12√2⇒sin(A+30°)=√6+√24,所以A+30°=75°或A+30°=105°,所以A=45°或A=75°. 答案:C6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是 .解析:设另两边分别为3x ,2x ,则cos60°=9x 2+4x 2-4912x 2,解得x=√7,故两边长为3√7和2√7, 所以S=12×3√7×2√7×sin60°=21√32. 答案:21√327.已知在△ABC 中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD 是△ABC 的角平分线,则AD= . 解析:如图,S △ABC =S △ABD +S △ACD ,所以12×3×2sin60°=12×3AD sin30°+12×2AD×sin30°,所以AD=6√35. 答案:6√358.在△ABC 中,若AB=a ,AC=b ,△BCD 为等边三角形,则当四边形ABDC 的面积最大时,∠BAC= .解析:设∠BAC=θ,则BC 2=a 2+b 2-2ab cos θ.S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD =12ab sin θ+√34BC 2=√34(a 2+b 2)+ab ·sin(θ-60°),即当∠BAC=θ=150°时,S 四边形ABDC 取得最大值. 答案:150°9.已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC 的面积为 .解析:设三角形的三边依次为a-4,a ,a+4,可得a+4的边所对的角为120°.由余弦定理得(a+4)2=a 2+(a-4)2-2a (a-4)·cos120°,则a=10,所以三边长为6,10,14, S △ABC =12×6×10×sin120°=15√3. 答案:15√310.已知△ABC 的重心为G ,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若2a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +√3bGB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3c GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则sin A ∶sin B ∶sin C= .解析:因为G 是△ABC 的重心,所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又2a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +√3bGB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3c GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以2a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +√3bGB⃗⃗⃗⃗⃗ -3c (GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即(2a-3c )GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(√3b-3c )GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则{2a -3c =0,√3b -3c =0,所以a ∶b ∶c=3∶2√3∶2,由正弦定理,得sin A ∶sin B ∶sin C=3∶2√3∶2. 答案:3∶2√3∶2 11.导学号33194043(2017全国2高考)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin(A+C )=8sin 2B2.(1)求cos B ;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b. 解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2B2,故sin B=4(1-cos B ).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=1517. (2)由cos B=1517得sin B=817, 故S △ABC =12ac sin B=417ac.又S △ABC =2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得 b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c )2-2ac (1+cos B ) =36-2×172×(1+1517) =4. 所以b=2. 12.导学号33194044(2017全国3高考)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求△ABD 的面积. 解(1)由已知可得tan A=-√3,所以A=2π3.在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4c cos 2π3, 即c 2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD =1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC=2√3,所以△ABD 的面积为√3.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos20B C +=，4a =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2+B ．4C ．6+D ．8+2．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ） A ．50米B ．57米C ．64米D ．70米3．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c △ABC 的面积Scos A ，则a ＝（ ）A ．1B ．C ．D ．4．一艘游轮航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75︒，距离为C 在A的北偏西30，距离为A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则此时灯塔C 位于游轮的（ ） A ．正西方向 B ．南偏西75︒方向 C ．南偏西60︒方向D ．南偏西45︒方向5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a =b =45B =︒，则A =（ ）A ．30B ．30或150︒C ．60︒或120︒D ．60︒7．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线2BD =，则△ABC 的周长为（ ） A ．15B ．14C ．16D ．129．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB 边上的一点，CD =ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（ ） A ．25B ．35C ．45D ．6510．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．1711．在ABC 中，若2a =，3b =30A =︒，则B 等于（ ） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒12．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是（ ） A ．35mB ．10mC ．490013m D ．521m二、填空题13．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则角B =______.14．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为____________.15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若8cos 3ABC bc A S =△，则22cos sin 122sin cos B CA A A++-=-________. 16．设角,,A B C 是ABC ∆的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥.则角C 的大小为_____________.17．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.18．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 的最大角的大小是________.20．已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，AB 边上的高为CD ，且2CD AB =，则a bb a+的取值范围是___________. 三、解答题21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()()sin cos cos sin c A A a C C -=-．（1）记AC 边上的高为h ，求b h； （2）若5c =1a =，求b ．22．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=． （1）求A ；（2）若2a =，ABC 3，求ABC 的周长．23．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -= （1）求tan tan AB的值； （2）若点D 为边AB 的中点，10,5AB CD ==，求BC 的值． 24．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，221sin cos 22A B C +-=． （1）求角C ； （2）若2c =，4A π=，求ABC 的面积．25．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程22320x x -+=的两根，()2cos 1A B +=.（1）求角C 的度数； （2）求AB 的长.26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】在ABC ∆中，()sin sin B A C +=，化简sin (sin cos )sin 0A B B C +-=可得4A π=，又sin cos20B C +=和34B C π+=，解得3B π=，512C π=，最后通过正弦定理求出1)c =，再根据三角形面积公式得到面积.【详解】由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得：sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin 0A B A B A B A B A B A B ⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-⋅=，∴sin cos A A =，又0()A π∈，，则4A π=，则34B C π+=，又3sin cos 2sin 22B C C π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则3222B C k ππ=-+或222B C k ππ=-+，(0)B C π∈、，，则322B C π+=或22C B π-=，又34B C π+=，则取22C B π-=，得3B π=，512C π=，又4a =，根据正弦定理，sin 1)sin a Cc A ⋅==，∴1sin 62ABC S ac B ∆=⋅=+ 故选C. 【点睛】思路点睛：在三角形中，由于A B C π++=,根据诱导公式，()sin sin A B C +=，()sin sin A C B +=,()sin sin C B A +=，()cos cos A B C +=-,()cos cos A C B +=-,()cos cos C B A +=-等，以上常见结论需要非常熟练. 2．D【分析】画出图形，在ABC 中，利用余弦定理，即可求解AC 的长，得到答案. 【详解】由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ， 则李华的行走路线，如图所示，在ABC 中，因为80,30,60AB BC B ===， 由余弦定理可得：222212cos 60803028030702AC AB BC AB BC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=米， 即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选：D .【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，以及余弦定理的应用，其中解答中作出示意图，结合余弦定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．A解析：A 【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝12cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cos A 25，运用余弦定理可求得边a . 【详解】因为b ＝2，c 5S 5cos A ＝12bc sin A 5A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以cos >0A ，故解得cos A 25. 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－525＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A.本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据题设中的方位角画出,ABD ACD ∆∆，在ABD ∆中利用正弦定理可求出AD 的长，在ACD ∆中利用余弦定理求出CD 的长，利用正弦定理求CDA ∠的大小（即灯塔C 的方位角）. 【详解】 如图，在ABD ∆中，45B =︒，由正弦定理有126242sin 45sin 603AD AB ===︒︒，24AD =. 在ACD ∆中，余弦定理有2222cos30CD AC AD AC AD =+-⨯⨯︒，因3AC=，24AD =，12CD =，由正弦定理有sin 30sin CD AC CDA =︒∠，3sin 2CDA ∠=，故60CDA ∠=︒或者120CDA ∠=︒.因AD CD >，故CDA ∠为锐角，所以60CDA ∠=︒，故选C. 【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.5．B解析：B 【分析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.6．C解析：C 【解析】∵45a b B ===︒∴根据正弦定理sin sin a b A B=，即sin sin a B A b ===∵a b =>=∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒ 故选C7．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．8．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =， 若AC边上的中线2BD =， 所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.9．C解析：C 【分析】先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ． 【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022AC ADACD ACD ∠=∠=，可得sin ACD∠=，ACD ∠为锐角，可得cos ACD ∠==在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得sin sin CD ACD A AD ∠=，由sin sin ACBC B A=可知sin sin 2AC A BC B ===．故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．10．D解析：D 【分析】由题意得出点D 为AF 的中点，由余弦定理得出AB =，结合三角形面积公式得出【详解】2,BD AD AF BD ==，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+解得：AB =)22ABC1()sin 601217sin 602DEF AD S S ︒︒∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bAB=，即sin sin sin 3022b B A a ==︒=， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．D解析：D 【分析】设塔底为O ，设塔高为h ，根据已知条件求得,OA OB 的长，求得AOB ∠的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ，设塔高为h ，由已知可知,OA OB h ==，且150AOB ∠=，在三角形AOB中，由余弦定理得222352cos150h h =+-⨯⨯⎝⎭，解得h =.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.二、填空题13．【分析】由正弦定理及可得结合两角差余弦公式可得进而可得到值【详解】由正弦定理及可得：在中∴即∴又B为三角形内角∴=故答案为:【点睛】本题考查三角形中求角的问题涉及到正弦定理两角差余弦公式考查计算能力解析：π3 B=【分析】由正弦定理及πsin cos6b A a B⎛⎫=-⎪⎝⎭可得πsin sin sin cos6B A A B⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合两角差余弦公式可得3tanB=B值.【详解】由正弦定理及πsin cos6 b A a B⎛⎫=-⎪⎝⎭可得：πsin sin sin cos6B A A B⎛⎫=-⎪⎝⎭,在ABC中，sin0A≠，∴πsin cos 6B B ⎛⎫=-⎪⎝⎭,即ππsin cos cos sin sin 66B B B =+ ∴tanB =B 为三角形内角， ∴B =3π 故答案为:3π. 【点睛】本题考查三角形中求角的问题，涉及到正弦定理，两角差余弦公式，考查计算能力，属于基础题.14．【分析】先利用正弦定理将条件中的角转化为边的关系再利用余弦定理求解出角A 的值再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值【详解】因为所以根据正弦定理得:化简可得:即(A 为【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值.【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +-=-，化简可得:222b c a bc +-=， 即2221cos 22b c a A bc +-==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又224b c bc bc +-=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.15．【分析】由三角形的面积公式结合等式可求得然后利用二倍角余弦公式结合弦化切可求得所求代数式的值【详解】因为所以则故故答案为：【点睛】本题考查利用三角形的面积公式二倍角余弦公式诱导公式以及弦化切求值考查解析：12- 【分析】 由三角形的面积公式结合等式8cos 3ABC bc A S =△，可求得3tan 4A =，然后利用二倍角余弦公式、结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】 因为881cos sin 332ABC bc A S bc A ==⨯△，所以4cos sin 3A A =，则3tan 4A =， 故()()22cos sin 1cos sin sin cos sin cos 22sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos B C A B C A A A A A A A A A A A A A π++-+++--===---- tan 112tan 12A A -==--. 故答案为：12-. 【点睛】 本题考查利用三角形的面积公式、二倍角余弦公式、诱导公式以及弦化切求值，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题 解析：3π【分析】先利用0m n ⋅=得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出cos C ，即得角C .【详解】因为()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥ 所以()()()sin sin sin sin sin sin sin 0m n A C A C B A B ⋅=+-+-=即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理得222a b c ab +-= 故根据余弦定理知222cos 122a b c C ab +-==，又因为()0,C π∈ 得3C π= 故答案为：3π. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题. 17．28【分析】作于延长线交地面于则由求得从而可得然后即得【详解】如图于延长线交地面于则而所以即所以故答案为：28【点睛】本题考查解三角形的应用掌握仰角概念是解题基础测量高度问题常常涉及到直角三角形因此 解析：28【分析】作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ．【详解】如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，tan DM AM β=，而BN AM =，所以tan tan BN BN h βα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40203tan 60tan 30BN ==︒-︒， 所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=．故答案为：28．【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．18．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化 解析：3(，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A C A B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解．【详解】 解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b a ab a +--=， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=，由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=， 即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A C A B ----==①， 由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠；sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =，则3B A C A ππ=--=-， 因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩， ∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)． 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．19．【分析】根据设根据大角对大边确定角C 是最大角再利用余弦定理求解【详解】因为所以设所以角C 是最大角因为所以则的最大角是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：23π【分析】根据sin :sin :sin 3:5:7A B C =，设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，根据大角对大边，确定角C 是最大角，再利用余弦定理求解.【详解】因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =，所以设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，所以角C 是最大角2221cos 22a b c C ab +-==-， 因为()0,C π∈，所以23C π=， 则ABC 的最大角是23π. 故答案为：23π 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．【分析】由余弦定理得出由三角形的面积公式得出进而可得出利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围【详解】如下图所示：由余弦定理得由三角形的面积公式得得则当时即当时取得最大值由基本不等式可得当 解析：2,22⎡⎤⎣⎦【分析】由余弦定理得出2222cos a b c ab C =++，由三角形的面积公式得出22sin c ab C =，进而可得出22sin 4b a C a b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得a b b a +的取值范围.【详解】如下图所示：由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，2222cos a b c ab C ∴+=+，1122CD AB c ==，由三角形的面积公式得11sin 222ABC c S ab C c ==⋅△，得22sin c ab C =，()222sin cos sin 4a b ab C C C π⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，则224b a a b C a b ab π+⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 0C π<<，5444C πππ∴<+<，当42C ππ+=时，即当4C π时，b a a b+取得最大值由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，因此，a b b a+的取值范围是2,⎡⎣.故答案为：2,⎡⎣.【点睛】本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2；（2）b =2． 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，应用两角和的正弦公式和诱导公式变形后再由正弦定理化角为边，从而可得结论；（2）由（1）所得角的关系中用正弦定理化角为边求得sin C （用b 表示），再用余弦定理求出cos C ，然后由22sin cos 1C C +=可求得b 值．【详解】解：（1）()()sin cos cos sin c A A a C C -=-，由正弦定理可得：()()sin sin cos sin cos sin C A A A C C -=-，化为：()2sin sin sin cos cos sin sin sin C A A C A C A C B =+=+=，∴2sin c A b =，∵sin h c A =，∴2sin b b h c A==． （2）由（1）有2sin sin sin C A B =，∴2sin a C b =，即sin 22b b C a ==． 由余弦定理可得：2222cosc a b ab C =+-，∴2512cos b b C =+-， 可得24cos 2b C b-=， ∴222224sin cos 122b b C C b ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化为：42680b b -+=，解得22b =或4，解得b =2． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式与诱导公式．解三角形问题已知边角关系时常用利用正弦定理进行边角转换，然后由三角恒等变换公式变形求解或由代数式运算求解．22．（1）3A π=；（2）6． 【分析】（1）根据cos cos 2cos b A a B c A +=，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到()sin 2sin cos A B C A +=，又A B C π+=-，由sin 2sin cos C C A =求解；（2）根据3A π=，ABC 4bc =，再结合余弦定理求得b c +即可.【详解】（1）因为cos cos 2cos b A a B c A +=所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以()sin 2sin cos A B C A +=，因为A B C π+=-，所以sin 2sin cos C C A =，因为sin 0C ≠， 所以1cos 2A =． 因为0A π<<， 所以3A π=．（2）因为3A π=，ABC所以1sin 23ABC S bc π==△ 解得4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得()22243b c bc b c bc =+-=+-，所以4b c +=，所以6a b c ++=．所以ABC 的周长为6．【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．23．（1）4；（2）【分析】（1）由3cos cos 5a B b A c -=，带入余弦定理整理可得22235a b c -=，所以222222222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B a c b ac b c a B A B b c a b bc+-⋅+-===+-+-⋅，带入22235a b c -=即可得解； （2）作AB 边上的高CE ，垂足为E ，因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所tan tan A BE B AE=． 又tan 4tan A B=，所以4BE AE =，因为点D 为边AB 的中点且10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===，再根据勾股定理即可得解.【详解】 （1）因为3cos cos 5a B b A c -=， 所以2222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=， 即22235a b c -=． 又222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B ac b c a B A B b bc+-⋅==+-⋅， 所以22222222tan 854tan 52A a c b c B b c a c+-==⨯=+-．（2）如图，作AB 边上的高CE ，垂足为E ， 因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所以tan tan A BE B AE =． 又tan 4tan A B=，所以4BE AE =． 因为点D 为边AB 的中点，10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===．在直角三角形CDE 中，5CD =，所以22534CE =-=．在直角三角形BCE 中，8BE =，所以224845BC =+=24．（1）2C π=或3C π=；（233+或1． 【分析】（1）利用二倍角余弦公式可得22cos cos C C -=-，从而可得cos 0C =或1cos 2C =，即求.（2）由（1）知3C π=或2C π=，当3C π=时，利用正弦定理求出,a b ，再根据三角形的面积公式即可求解；当2C π=时，根据直角三角形即可求解. 【详解】（1）由221sin cos 22A B C +-=，得222sin 2cos 12A B C +-=， 化简得222cos 12sin2A B C +-=-， 即()22cos cos C A B -=+，即22cos cos C C -=-，即()cos 2cos 10C C -=，解得cos 0C =或2cos 10C -=．即cos 0C =或1cos 2C =． 又0C π<<，所以2C π=或3C π=．（2）由（1）得3C π=或2C π=，当3C π=时，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得，sin sin c a A C =⋅=， 2sinsin 34c b B C ππ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22sin cos cos sin3434ππππ⎫=-⎪⎭122223⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭⎦，故113sin 223323ABC S ab C +==⨯⨯=△；当2C π=时，由2c =，4A π=，得4B π=，a b ==因此11122ABC S ab ===△．综上，ABC 或1． 25．（1）23C π=；（2）10AB . 【分析】 （1）利用诱导公式可得角C 的余弦值，从而可求C 的大小.（2）利用余弦定理和韦达定理可求AB 的长.【详解】（1）由题设可得()1cos 2C π-=即1cos 2C =-， 而C 为三角形内角，故23C π=.（2）由韦达定理可得2a b ab +==， 由余弦定理可得()2222222cos 10AB a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-=， 故10AB.26．4【分析】 根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =， 解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试(含答案解析)
一、选择题1．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72︒的等腰三角形（另一种是两底角为36︒的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=．根据这些信息，可得sin54︒=（ ）．A ．154B ．358+ C 45+ D 125- 2．在三棱锥A BCD -中，已知所有棱长均为2，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．36B ．16C ．13D 33．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，1b =，则23a c -的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．3-4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2a B c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 5．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A ．25B ．5 C ．310D ．10106．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，3a =，则tan C 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-7．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若3a =，2b =，45B =︒，则A =（ ）A ．30B ．30或150︒C ．60︒或120︒D ．60︒8．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB 边上的一点，25CD =，若ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（ ） A ．25B ．35C ．45D ．659．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知3a =，cos sin b A B =，则A =（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 10．在ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =，3AC =，则ABC 的面积为（ ） A ．32B ．32C ．22D ．3311．设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6a =，8b =，12c =，若D 为AB 边的中点，则CD 的值为（ ） A ．7B ．10C ．14D ．2712．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m二、填空题13．已知在锐角ABC 的面积为3，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的 最小值为_____________.14．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，a =24sin cos sin 2Aa Bb A =，则ABC 外接圆的面积为_________． 15．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则ba的取值范围是______．16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =____.17．甲船正离开岛A 沿北偏西10︒的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A 处南偏西50︒的B 处，且AB 的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时________海里. 18．在ABC 中，3A π∠=，D 是BC 的中点.若34AD BC ≤，则sin sin B C 的最大值为____________.19．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2222b a c ac +-=，sin B =，则C =__________． 20．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 三、解答题21．在ABC 中，2BAC π∠=，点D 在边BC 上，满足=AB .（1）若6BAD π∠=，求C ∠； （2）若2,4CD BD AD ==，求ABC 的面积.22．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b +c =2a ，3c sin B =4a sin C ． （1）求cos B ； （2）求sin(2)6B π+的值．23．已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()sin 2sin sin A B A C -=-.（1）求B ；（2）若点D 为BC 上一点，2DC =，π6C =，DE 平分ADC ∠交AC 于点E ，7ADE CDE S S =△△，求BD .24．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的变分别为a ，b ，c ，已知2cos 212sin 2B B += （1）求角B 的大小； （2）若3b =a c +的最大值.25．已知半圆O 的直径MN 为2，A 为直径延长线上一点，且2OA =.B 为半圆周上任意一点，以AB 为边，作等边ABC ，角AOB 等于何值时，四边形OACB 的面积最大?最大面积为多少?26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】在ABC ，由正弦定理可知sin sin BC BAC AC ABC ∠=∠可得51cos36︒+=，进而根据诱导公式得sin54cos36︒=51+= 【详解】在ABC ，由正弦定理可知：sin sin 36sin 36151sin sin 722sin 36cos362cos362BC BAC AC ABC ︒︒︒︒︒︒∠-=====∠， ∴51cos3651︒+==-， 由诱导公式()sin54sin 9036cos36︒=-=，所以51sin54︒+=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2．A解析：A 【分析】取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，于是得到异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠，然后计算出CEF ∆的三条边长，并利用余弦定理计算出CEF ∠，即可得出答案． 【详解】如下图所示，取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，由于E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则//EF BD ，且112EF BD ==， 所以，异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠或其补角，三棱锥A BCD -是边长为2的正四面体，则ABC ∆、ACD ∆均是边长为2的等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ⊥，且223CE AC AE =-3CF =在CEF ∆中，由余弦定理得2223cos 26231CE EF CF CEF CE EF +-∠===⋅⨯， 因此，异面直线CE 与BD 3，故选A ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角； （2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．3．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴2222a c b ac +-=，∴cos B =0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos 2C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<，所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.4．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =． ∵212cos sin sin (2cos )sin 222A AB C A --=+=，易知2cos 0A -≠，∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.5．C解析：C 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=，在Rt ADE ∆中，AD ==AC在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos2AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．6．D解析：D 【分析】首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由题知：222()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，整理得：222sin 222-+-=C a b c ab，即sin 2cos 2C C -=. 所以()2sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .2223cos 4sin cos 3sin cos -=+C C CC C，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3C =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 ∵3,2,45a b B ===︒∴根据正弦定理sin sin a b A B=，即23sin 32sin 2a B Ab ===∵32a b =>=∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒8．C解析：C 【分析】先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ． 【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022ACAD ACD ACD ∠=∠=，可得sin ACD∠=，ACD ∠为锐角，可得cos ACD ∠==在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得sin sin CD ACD A AD ∠=，由sin sin ACBC B A=可知sin sin 2AC A BC B ===．故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．9．D解析：D 【分析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,即1sin cos A A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a b A B=, 又a =即1sin cos A A=. 所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.10．A解析：A 【分析】先利用已知条件得到22B A π=-，再利用诱导公式和二倍角公式得到21sin 3A =，又0A π<<，可得sin A =；已知AC =BC 的长度，再根据三角形的面积公式in 12s S ab C =，即可得出结果. 【详解】由题意得：A B C π++=，()B A C π∴=-+，又22C A C A ππ-=⇒=+，()2222B A C A A ππππ⎛⎫∴=-+=-+=- ⎪⎝⎭，21sin sin 2cos 212sin 23B A A A π⎛⎫∴=-==-= ⎪⎝⎭，21sin 3A ∴=，0A π<<，sin A ∴=由正弦定理得，sin sin BC ACA B=， 即3BC =，2C A π=+，A ∴为锐角，cos 3A ==，sin sin cos 2C A A π⎛⎫∴=+==⎪⎝⎭，11632sin 332232ABCSBC AC C ∴=⋅=⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.11．C解析：C 【分析】由已知可求6AD BD ==，在ABC 中，由余弦定理可求cos B 的值，在BCD 中，利用余弦定理即可求得||CD 的值． 【详解】 解：6a =，8b =，12c =，若D 为AB 边的中点，6AD BD ∴==，∴在ABC 中，222222612829cos 2261236a cb B ac +-+-===⨯⨯，∴在BCD 中，可得222229||2cos 662661436CD BD BC BD CB B =+-=+-⨯⨯⨯=．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．12．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：302sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．二、填空题13．2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所解析：2 【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得)22cos 3sin A c A-=，构造函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，再用导数求得最值.【详解】 由212tan tan sin A B A +=，得2cos sin cos sin 2sin sin sin A B B A A B A+=， 即2cos sin cos sin 2sin A B B A B +=，结合正弦定理得2cos cos 2b A a B b +=，再由余弦定理可得2222222222b c a a c b b a b bc ac+-+-⋅+⋅=，整理22234c b a bc +-=.又由余弦定理可得2222cos b a bc A c -=-，代入上式得()22cos c bc A =-，又锐角ABC 的面积1sin 2bc A =bc =)22cos 3sin A c A-=， 设函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求导可得()212cos sin xf x x-'=，由()212cos 0sin x f x x -'==，得3x π=， 所以在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()3f x f π⎛⎫≥=⎪⎝⎭于是24c =≥，即2c ≥，当且仅当3A π=时，等号成立. 故答案为：2 【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.14．【分析】由正弦定理及降幂角公式可求得角的余弦值进而求得角的正弦值以及外接圆半径故可得解【详解】由正弦定理得：则设外接圆的半径为则外接圆的面积为故答案为：【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实 解析：7π【分析】由正弦定理及降幂角公式可求得角A 的余弦值，进而求得角A 的正弦值以及外接圆半径，故可得解. 【详解】 由正弦定理得：sin sin a bA B=则 sin sin a B b A =24sin cos sin 2Aa Bb A = ∴21cos 24A = ∴21cos 2cos 122A A =-=-∴sin A === 设ABC ∆外接圆的半径为R ，则2sin a R A ===∴R =ABC ∆外接圆的面积为27S R ππ==． 故答案为：7π. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.15．【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用考查两角和与差的正弦解析：【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A ，B 的关系，由ABC 为锐角三角形得到角A 的范围，进而利用二倍角公式得出ba的取值范围．【详解】由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC 为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<,cos 64A A ππ∴<<∴∈ sin 2sin cos2cos sin sin b B A A A a A A∴===∈故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题．16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：由故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解 解析：6π【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得c =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A .【详解】sin C B =根据正弦定理：sin sin b cB C=∴可得c =根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-由已知可得：22a b -=故可联立方程：22222232cos 3cb a bc bc A a b bc⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得：3cos A =. 由0A π<<∴6A π=故答案为：6π. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．【分析】由题意画出示意图三角形（假设在处追上）然后设乙船速度为由此表示出的长度求出的长度在借助于余弦定理求出的长则速度可求【详解】解：由题意设乙船的速度为且在处乙船与甲船相遇做出图形如右：所以由题意 解析：3【分析】由题意画出示意图三角形ABC （假设在C 处追上），然后设乙船速度为x ，由此表示出BC 的长度，求出AC 的长度，在借助于余弦定理求出BC 的长，则速度可求． 【详解】解：由题意，设乙船的速度为x ，且在C 处乙船与甲船相遇， 做出图形如右：所以1801050120BAC ∠=︒-︒-︒=︒．由题意知2AB =，122AC =⨯=，2BC x =，120BAC ∠=︒．在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠． 即2444222cos12012x =+-⨯⨯︒=， 所以23x =，3x =/小时）． 3【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题．18．【分析】设三角形三条边长分别为先分析得到再利用余弦定理得到最后利用正弦定理即得解【详解】设三角形三条边长分别为那么因为所以故由题意得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形意在考查学解析：1532【分析】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ，先分析得到222138b c a +≤，再利用余弦定理得到258bc a ≤，最后利用正弦定理即得解. 【详解】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ， 那么2243,169x a x a ≤∴≤， 因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠= 所以2222422+=+x a b c ，故2222222213168849,8x b c a a b c a =+-≤∴+≤由题意得222222221135cos ,,2288b c a A b c bc a a bc a bc +-==∴+=+≤∴≤255315sin sin sin =88432B C A ∴≤=⨯.故答案为：1532【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到根据正弦定理可得结合三角形内角的取值范围最后求得结果【详解】内角的对边分别为且整理得所以由正弦定理得整理得因为所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形 解析：6π【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到cos b C c =，根据正弦定理可得sin tan 3B C ==，结合三角形内角的取值范围，最后求得结果. 【详解】ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222b a c ac +-=，整理得222cos 22b a c ab ac C +-==，所以cos b C c =，由正弦定理得sin cos sin B C C =，整理得sin tan B C ==，因为(0,)C π∈，所以6B π=，故答案为：6π. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理、正弦定理、已知三角函数值求角，属于中档题.20．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化解析：，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解． 【详解】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b aab a +--=， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=， 由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=， 即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==①， 由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得 sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠； sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =， 则3B A C A ππ=--=-，因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．三、解答题21．（1）3π；（2）. 【分析】（1）在ABD △中，由正弦定理求得sin 2BDA ∠=，得到BDA ∠的大小，进而求得C ∠的大小；（2）由,2AB CD BD ==，得到,AB BC AC BC ==，根据向量的线性运算，求得2133AD AB AC =+，进而得到2224199AD AB AC =+，求得,,BC AB AC 的长，利用面积公式，即可求解. 【详解】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，所以sin6sin AB BDA BD π⋅∠==， 因为(0,)BDA π∠∈，所以23BDA π∠=或3BDA π∠=，当23BDA π∠=时，可得6B π∠=，可得3C π∠=；当3BDA π∠=时，可得2B π∠=，因为2BAC π∠=（舍去），综上可得3C π∠=.（2）因为,2AB CD BD ==，所以,AB AC ==， 由1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以2222222141441()3399999AD AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅=+， 即2224199AD AB AC =+， 又由4=AD，可得22241()()93934BC BC ⨯=⨯+，解得BC =则AB AC ==所以12ABCSAB AC =⨯= 22．（1）14-；（2）716-． 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合2b c a +=，把,b c 用a 表示，然后由余弦定理得cos B ；（2）由同角关系求出sin B ，利用二倍角公式求得sin 2,cos 2B B ，再由两角和的正弦公式求得结论． 【详解】（1）因为3c sin B =4a sin C ，由正弦定理得34cb ac =，所以43b a =， 又2b c a +=，所以23c a =，所以222222416199cos 22423a a aa cb B ac a a +-+-===-⋅． （2）因为(0,)B π∈，所以sin B ==sin 22sin cos 8B B B ==-，27cos 212sin 8B B =-=-，所以sin(2)sin 2coscos 2sin666B B B πππ+=+717()828216=-+-⨯=-． 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 23．（1）π4；（2）4+. 【分析】（1）根据两角和差公式展开化简可得cos B =，从而得解； （2）根据面积比及题中边长可得AD =ABC中，由ππsin sin 64BAC ⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭BD .【详解】（1）∵()sin sin A B A C -=-，∴()sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A A B A B -=-+，∴2sin cos A B A . ∵sin 0A >，∴cos 2B =. ∵()0,πB ∈，∴π4B =. （2）∵1sin 2ADE S AD DE ADE =⋅∠△， 1sin 2CDE S CD DE CDE =⋅∠△，2CD =，∴AD =在ACD △中，设AC x =，由余弦定理得24428x x +-=，即2240x --=，解得43x (舍负).在ABC中，ππsin sin 64BAC ⎛⎫∠=+=⎪⎝⎭由正弦定理得sin 6πsin 4BACBC AC ∠==+∴4BD =+【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序．出现多个三角形时，要从条件较多的三角形入手求解.．24．（1）3π；（2） 【分析】（1）根据降幂公式和升幂公式可求得结果；（2）利用正弦定理边化角得到)6a c A π+=+，根据角A 的范围可得结果.【详解】 （1）由2cos 212sin 2B B +=，得22cos 1cos B B =-， 得(2cos 1)(cos 1)0B B -+=， 得1cos 2B =或cos 1B =-（舍）， 因为0B π<<，所以3B π=. （2）由正弦定理可得2sin ,2sin a A cC == 所以22(sin sin )2(sin sin())3a c A C A A π+=+=+- 222sin 2sin cos 2cos sin 33A A A ππ=+-2sin sin A A A =++3sin A A =1cos )2A A =+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得当3A π=时，a c +最大为 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理边化角得到)6a c A π+=+是解题关键.25．150︒，24+ 【分析】2OA =，B 为半圆周上任意一点，那么OAB 是直角三角形，254cos AB α=-，三角形sin OAB S α=，三角形2ABC S AB =，可得四边形OACB 面积，利用三角函数的有界性，可求得面积的最大值.【详解】ABC 为正三角形，则面积为24AB ，半径1,2OB OA == 过B 作BE 垂直OA ，则sin sin BE OB αα=⋅=由余弦定理：2222cos 54cos AB OB OA OB OA αα=+-⋅⋅=-设所求的四边形面积S ，则)154cos sin 2AOB ABC S SS OA BE ααα=+=⋅⋅+-=()12sin 2sin 602ααα⎛⎫==-︒ ⎪ ⎪⎝⎭，()sin 601α∴-︒=时，max 2S =+，150α⇒=︒. 26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =，解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。
高中数学必修5(北师版)第二章解三角形2.2(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
√5 ． 5
2√5 √5 ，所以 sin C = ，tan C = 2 ．因为 A + B + C = π ，由诱 5 5 tan B = − tan(A + C ),
所以
tan B = − tan(A + C ) = −
且 0 < B < π ，所以 B = （2）由正弦定理得
tan A + tan C 3+2 =− = 1, 1−3×2 1 − tan A tan C
(a + b)2 − c 2 = 3ab,
又因为 a = b，所以 4b 2 − c 2 = 3b 2 ，所以 b 2 = c 2 ，所以
b = c,
所以△ABC 为等边三角形． （方法二）（利用角的关系判断）因为 A + B + C = π ，所以
sin C = sin(A + B).
因为 2 cos A sin B = sin C，所以
例题： 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 ∠B = 30∘ ，c = 2√3 ，b = 2 ，求 △ABC 的面积 S ． 解：由正弦定理得
sin C =
又因为
c sin B √3 = , b 2
c > b,
所以
∠C = 60∘ 或 ∠C = 120 ∘ .
当 ∠C = 60∘ 时，∠A = 90∘ ，所以
2 cos A sin B = sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B,
所以
sin A cos B − cos A sin B = 0,
即 sin(A − B) = 0，又因为 0 ∘ < A < 180 ∘ ，0 ∘ < B < 180 ∘ ，所以 −180 ∘ < A − B < 180 ∘ ，所以
新版高中数学北师大版必修5习题第二章解三角形2.2含解析
§2 三角形中的几何计算课时过关·能力提升1.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a sin B ·cos C+c sin B cos A=12b ,且a>b ,则B 等于( ) A.πB.π3C.2π3D.5π6a sin B cos C+c sin B cos A=12b 等价于sin A cos C+sin C cos A=12,即sin(A+C )=12. ∵a>b ,∴A+C=5π6,∴B=π6.故选A.2.某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成.该八边形的面积为( )A.2sin α-2cos α+2B.sin α-√3cos α+3C.3sin α-√3cos α+1 α-cos α+1x ,则x=√1+1-2×1×1×cosα=√2-2cosα, 所以S=4S 三角形+S 正方形=4×12×1×1×sin α+x 2 2sin α+2-2cos α=2sin α-2cos α+2.3.若△ABC 的周长等于20,面积是 10√3,A=60°,则BC 边的长是( ) A.5 B.6 C.7 D.8S=12bc sin A ,得10√3=12bc sin 60°,即bc=40.又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-2bc cos 60°=b 2+c 2-bc=(b+c )2-3bc , 故a 2=(20-a )2-120,解得a=7.4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若acosA =bcosB =ccosC ,则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形,得sinA cosA=sinB cosB=sinC cosC,即tan A=tan B=tan C , 所以A=B=C ,所以△ABC 为等边三角形.5.在△ABC 中,sin 2A ≤sin 2B+sin 2C-sin B sin C ,则A 的取值范围是( ) A.(0,π6] B.[π6,π) C.(0,π]D.[π3,π),得a 2≤b 2+c 2-bc ,即b 2+c 2-a 2≥bc , 由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc≥bc 2bc =12.∵0<A<π,∴0<A ≤π3,故选C .6.等腰三角形的腰长为2,底边中点到腰的距离为√32,则此三角形外接圆半径R 为( ) A .2√33B .4√33D .47.在△ABC 中,若AB=3,BC=√13,AC=4,则AB 边上的高为 .,得cos A=32+42-132×3×4=12,∴A=60°.∴AB 边上的高为AC ·sin 60°=4×√32=2√3.√38.在△ABC 中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD 是△ABC 的角平分线,则AD= .,∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,∴1×3×2sin 60°=12×3AD sin 30°+12×2AD×sin 30°,∴AD=6√35.9.在四边形ABCD 中,AD ⊥CD ,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC= .,如图所示.在△ABD 中,设BD=x.根据余弦定理,得AB 2=AD 2+BD 2-2·AD ·BD cos ∠BDA ,所以142=102+x 2-10x ,整理得x 2-10x-96=0,解得x=16或x=-6(舍去),即BD=16. 在△BCD 中,根据正弦定理,得BCsin∠BDC =BDsin∠BCD ,则BC=BDsin∠BDC sin∠BCD=16sin30°sin135°=8√2.√210.在△ABC 中,已知A=60°,AB ∶AC=8∶5,面积为10√3,则其周长为 .AB=8k ,AC=5k ,k>0,∴S △ABC =12AB ·AC sin A=10√3k 2=10√3, ∴k=1,AB=8,AC=5.由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos A=82+52-2×8×5×12=49,∴BC=7.∴△ABC 的周长为AB+BC+AC=20.★11.已知圆内接四边形ABCD 的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD 的面积S.,连接BD ,则S=S △ABD +S △CBD =12AB ·AD sin A+12BC ·CD sin C.∵A+C=180°,∴sin A=sin C. ∴S=12sin A (AB ·AD+BC ·CD )=16sin A. 在△ABD 中,由余弦定理,得 BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos A=20-16cos A. 在△CDB 中,由余弦定理,得 BD 2=CD 2+BC 2-2CD ·BC cos C=52-48cos C. ∴20-16cos A=52-48cos C.又cos C=-cos A ,∴cos A=-12,∴A=120°.∴S=16sin A=8√3.★12.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a cos C+12c=b. (1)求A 的大小;(2)若a=1,求△ABC 的周长l 的取值范围.由a cos C+12c=b ,得sin A cos C+12sin C=sin B.∵sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C , ∴12sin C=cos A sin C. ∵sin C ≠0,∴cos A=12. ∵0<A<π,∴A=π3. (2)由正弦定理, 得b=asinBsinA =√3sin B ,c=√3sin C , l=a+b+c=1+3(sin B+sin C )=1+√3[sin B+sin(A+B )]=1+2(√32sinB +12cosB)=1+2sin (B +π6).∵A=π3,∴B ∈(0,2π3).∴B+π6∈(π6,5π6).∴sin (B +π6)∈(12,1].故△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3].。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 解三角形 1.1 正弦定理(一) Word版含答案
1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理1．正弦定理的表示 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径符号 语言在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径．(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .3．正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝b c，∴c＝asin A＝bsin B＝csin 90°＝csin C，∴asin A＝bsin B＝csin C.(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，CD＝a sin_B＝b sin_A，∴asin A＝bsin B，同理，作AC边上的高BE，可得asin A＝csin C，∴asin A＝bsin B＝csin C.(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，过B作BD⊥AC于D，则BD＝a sin(π－C)＝a sin_C，BD＝c sin_A，故有a sin C＝c sin_A，∴asin A＝csin C，同理，asin A＝bsin B，∴asin A＝bsin B＝csin C.思考下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B. 知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考正弦定理能解决哪些问题？答案利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．。
新版高中数学北师大版必修5习题：第二章解三角形 2.1.1 Word版含解析
1.1正弦定理课时过关·能力提升1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=8,B=60°,C=75°,则b等于()A.4√2B.4√3C.4√6D.323A=180°-(B+C)=45°.由正弦定理,得b=asinBsinA =8sin60°sin45°=4√6.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=√3a,B=30°,则C等于()A.120°B.105°C.90°D.75°c=√3a,∴sin C=√3sin A=√3sin(180°-30°-C)=√3sin(30°+C)=√3(√32sinC+ 12cosC),即sin C=-√3cos C,∴tan C=-√3.∵C∈(0,π),∴C=120°.故选A.3.在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2a sin B=√3b,则A等于()A.πB.π4C.π6D.π122a sin B=√3b,∴2sin A sin B=√3sin B.∵sin B≠0,∴sin A=√32.∵A∈(0,π2),∴A=π3.故选A.4.在△ABC中,满足a cos B=b cos A,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形,得sin A cos B=sin B cos A,∴sin A cos B-cos A sin B=0,即sin(A-B)=0.∴A=B.故△ABC为等腰三角形.5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于()A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,∴b+c 4=c+a 5=a+b 6. 令b+c 4=c+a 5=a+b 6=k (k>0),则{b +c =4k ,c +a =5k ,a +b =6k ,解得{ a =72k ,b =52k ,c =32k ,∴sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=7∶5∶3.6.若满足条件C=60°,AB=√3,BC=a 的△ABC 有两个,则a 的取值范围是( ) A.(1,√2) B.(√2,√3) C.(√3,2) D.(1,2),知a sin 60°<√3<a ,解得√3<a<2,故选C .7.在△ABC 中,若a=2,A=30°,C=45°,则△ABC 的面积S △ABC 等于 . B=180°-A-C=105°,∴b=asinB sinA =2×sin105°sin30°=√6+√2.∴S △ABC =12ab sin C=(√6+√2)×√22=√3+1. √3+18.在△ABC 中,BC=x ,AC=2,B=45°,若这个三角形有两解,则x 的取值范围是 .,AB 边上的高CD=√22x ,要使三角形有两解,必须满足CD<2<x ,即√22x<2<x ,解得2<x<2√2.√2)9.在△ABC 中,已知tan A=12,cos B=3√1010,若△ABC 最长边长为√10,则最短边长是 . tan A=12,cos B=3√1010,∴sin B=√1010,tan B=13,tan C=-tan(A+B )=-1. ∴C=3π4,最长的边为c ,最短的边为b ,利用正弦定理√10sin3π4=bsinB ,得b=√2. √210.在锐角三角形ABC 中,边a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C ,A=2B ,求ab 的取值范围.ABC 中,角A ,B ,C 均小于90°,即{B <90°,2B <90°,180°-3B <90°,解得30°<B<45°. 由正弦定理,知ab =sinAsinB =sin2B sinB=2cos B ∈(√2,√3),故ab 的取值范围是(√2,√3).11.在△ABC 中,a=√3,b=1,B=30°,求边c 及S △ABC .由正弦定理asinA =bsinB ,得sin A=√3×121=√32, ∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=90°,c=2b=2,S △ABC =12ac sin B=√32; 当A=120°时,C=30°,c=b=1,S △ABC =12ac sin B=√34. 故c=2,S △ABC =√32或c=1,S △ABC =√34.★12.在△ABC 中,A ,B 为锐角,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cos 2A=35,sin B=√1010. (1)求A+B 的值;(2)若a-b=√2-1,求a ,b ,c 的值.∵A ,B 为锐角,sin B=√1010,∴cos B=√1-sin 2B =3√1010. ∵cos 2A=1-2sin 2A=35, ∴sin A=√55,cos A=√1-sin 2A =2√55. ∴cos(A+B )=cos A cos B-sin A sin B=2√55×3√1010−√55×√1010=√22. ∵0<A+B<π,∴A+B=π4. (2)由(1)知C=3π4,∴sin C=√22.由正弦定理a sinA =b sinB =csinC , 得√5a=√10b=√2c , 即a=√2b ,c=√5b.∵a-b=√2-1,∴√2b-b=√2-1,∴b=1. ∴a=√2,c=√5.。
2020_2021学年高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算课时作业含解析北师大版必修5
课时作业14 三角形中的几何计算时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．在△ABC 中，A ＝120°，a ＝21，S △ABC ＝3，则b 等于( C ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．5解析：S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝3，故bc ＝4，①又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝21，② 解①②组成的方程组，可得b ＝1或b ＝4，选C.2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为85，则这个三角形的面积为( A )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2解析：设另两边长为8x,5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2. 两边长是16与10，三角形的面积是12×16×10×sin60°＝40 3.3．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( B ) A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4解析：因为S ＝12bc sin A ，所以3＝12×2c sin120°，所以c ＝2，所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，所以2R ＝a sin A ＝2332＝4，所以R ＝2.4．△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a ＝1，B ＝45°，且其外接圆直径为52，则S △ABC＝( C )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由正弦定理得52＝b sin B ＝bsin45°， ∴b ＝5，由余弦定理得c ＝42，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×42×22＝2.5．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC 等于( A ) A.532B. 3C.52D ．5解析：由向量知识可知： AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝10cos A ＝－5，所以cos A ＝－12，所以sin A ＝32.所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|×sin A ＝12×2×5×32＝532.6．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则角A的取值范围是( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2解析：因为a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，所以A 为锐角，又因为a >b >c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.7．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高h 为( B ) A.322B.332C.32D ．3 3解析：由余弦定理，知(13)2＝32＋42－2×3×4cos A ，得cos A ＝12.又A 为三角形的内角，∴A ＝π3，∴h ＝AB sin A ＝332.8．如图，在△ABC 中，∠A ＝105°，∠ABC ＝30°，BC ＝62，BD 为∠ABC 的平分线，则BD ＝( C )A.32B．2 2C．1 D. 2解析：在△BCD中，∠BDC＝105°＋30°2＝120°，∠C＝180°－105°－30°＝45°，∴BDsin45°＝62sin120°，∴BD＝1.二、填空题9．在△ABC中，已知AB→·AC→＝tan A，当A＝π6时，△ABC的面积为16.解析：由AB→·AC→＝tan A，A＝π6，得|AB→|·|AC→|cosπ6＝tanπ6，即|AB→|·|AC→|＝tanπ6cosπ6＝2 3，所以S△ABC＝12|AB→|·|AC→|·sin A＝12×23×12＝16.10．等腰三角形的腰长为2，底边中点到腰的距离为32，则此三角形外接圆半径为233.解析：如图，设AB＝AC，D为底边中点，DE⊥AC，BF⊥AC，则由DE＝32，知BF＝ 3.又AB＝2，∴AF＝1，∴CF＝AC－AF＝1，tan C＝BFCF＝3，∴C＝60°，2R＝ABsin C＝433，∴R＝233.11．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sin A＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是③.(把你认为所有正确的都填上)解析：①sin2A ＝sin2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形．③sin 2A ＋sin 2B ＜1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2. ∴△ABC 为钝角三角形． 三、解答题12．等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，求腰上的中线．解：如图所示，过A 作AD ⊥BC ，交BC 于D .在等腰三角形ABC 中，BC ＝a ，AB ＝AC ＝2a ，BM 为腰上的中线，则CM ＝a ，∴△BCM 为等腰三角形，在Rt △ACD 中，cos α＝14，在△BMC 中，由余弦定理，得BM2＝BC 2＋MC 2－2BC ·MC cos α＝32a 2，∴BM ＝62a .13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解：(1)由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc，于是b 2＋c 2－a2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)(解法一)因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.(解法二)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1， 所以AD ＝1＋34＝72. ——能力提升类——14．如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，且∠BCD ＝120°，AD ＝2，AB ＝BC ＝1.现有以下结论：①B ，D 两点间的距离为3； ②AD 是该圆的一条直径； ③CD ＝32； ④四边形ABCD 的面积S ＝334.其中正确结论的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：如图，连接BD .因为四边形ABCD 是圆内接四边形，且∠BCD ＝120°，所以∠BAD ＝60°.又AD ＝2，AB ＝1，所以BD ＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，即①正确；因为AD2＝AB 2＋BD 2，所以∠ABD ＝90°，即AD 是该圆的一条直径，即②正确；在△BCD 中，因为BC ＝1，BD ＝3，所以3＝CD 2＋1－2·CD ·cos120°，即CD 2＋CD －2＝0，解得CD ＝1，即③错误；四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12×1×3＋12×1×1×32＝334，即④正确．故选C.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，且b cos C ＋c cos B ＝2a sin A .(1)求角A ；(2)求证：a 2≥(2－3)bc ；(3)若a ＝b ，且BC 边上的中线AM 长为7，求△ABC 的面积． 解：(1)∵b cos C ＋c cos B ＝2a sin A ， ∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A sin A . ∴sin(B ＋C )＝2sin A sin A ， 即sin A ＝2sin A sin A . ∵sin A >0，∴sin A ＝12.又a ≤b ≤c ，∴0<A ≤π3，∴A ＝π6.(2)证明：∵a 2－(2－3)bc ＝b 2＋c 2－2bc cos π6－(2－3)bc＝b 2＋c 2－2bc ＝(b －c )2≥0， ∴a 2≥(2－3)bc .(3)由a ＝b 及(1)，知A ＝B ＝π6，所以C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x .在△AMC 中，AC 2＋MC 2－2AC ·MC cos C ＝AM 2，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－2x ·x 2·cos 2π3＝(7)2，解得x ＝2，∴S △ABC ＝12x 2sin 2π3＝ 3.。
通用最新版高中数学北师大版必修5课时作业：第2章 解三角形 15 Word版含详解
§15 正余弦定理的应用时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223C ．－63 D.632．不解三角形，判断下列命题中正确的是( ) A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解 B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解 D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解3．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 为( ) A ．60° B．90° C ．120° D．150°5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则∠A ＝( )A ．30° B．60° C ．120° D．150°6．在△ABC 中，b ＝23，A ＝30°，则a 的取值范围是( ) A. [1，＋∞) B. [3，23] C. [3，＋∞) D. [1,3)二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，则直线sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是________．8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.9．在△ABC 中，已知∠A >∠B >∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，则c ＝________. 三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．11.在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，(1)求cos A的值；(2)求c的值．是否存在这样的三角形，三边是连续的三个偶数，且最大角是最小角的2倍？若存在，求此三角形的面积；若不存在，说明理由．一、选择题1．D 依题意得0°＜B ＜60°，a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.2．B 选项A 中，a ＝b sin A ，只有一解；选项B 中A 为钝角且a ＞b ，故只有一解；选项C 中a ＜b sin A ，无解；选项D 中c sin B ＜b ＜c ，有两解．3．D 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理得4R 2sin 2A sinB cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．4．C 由已知，得(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C . ∴cos C ＝－12.∵∠C ∈(0°，180°)， ∴∠C ＝120°.5．A 根据正弦定理，由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2.即a 2＝7b 2，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.6．C a ＝23sin30°sin B ＝3sin B ≥ 3.(也可画图求解)二、填空题 7．垂直解析：两条直线的斜率分别是－sin A a ，bsin B .根据正弦定理，b sin A ＝a sin B ， 得－sin A a ·bsin B ＝1，即两条直线垂直．8.102解析：由tan A ＝13，得sin A ＝1010.由正弦定理得，AB sin C ＝BC sin A ，则AB ＝BC sin C sin A ＝102.9.165解析：由正弦定理sin2C a ＝sin C c ，cos C ＝a 2c ＝a 2＋42－c 28a，把a ＝8－c 代入整理得5c 2－36c ＋64＝0，c ＝165或4(∵A >C ，∴a >c ，舍去4)．三、解答题10．由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B ，得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2，∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ， ∴b ＝a ·ca，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．11．(1)由已知△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴3sin A ＝26sin2A ＝262sin A cos A ，cos A ＝63.(2)由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 即9＝(26)2＋c 2－2×26×c ×63即c 2－8c ＋15＝0，c ＝3或c ＝5.当c ＝3时，此时B ＝90°，A ＝C ＝45°，△ABC 为等腰直角三角形，但此时不满足a 2＋c 2＝b 2，故舍去，综上，c ＝5.12．存在符合题意的三角形．设此三角形三边分别n ，n ＋2，n ＋4，(n 为偶数)最小角为a .由正弦定理n sin a ＝n ＋4sin2a ，∴cos a＝n ＋42n ，又由余弦定理cos a ＝n ＋22＋n ＋42－n 22n ＋2n ＋4，n ＋22＋n ＋42－n 22n ＋2n ＋4＝n ＋42n， 解得n ＝8，所以三边为8,10,12，可得三角形面积S ＝15 7.。
高中数学 课时作业15 解三角形的实际应用举例 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题
课时作业(十五)1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC 等于( )A．10°B．50°C．120°D．130°答案 D2．一只船速为23米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )A．120°B．90°C．60°D．30°答案 B3．一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距82海里，则灯塔S在B处的( ) A．北偏东75°B．南偏东15°C．北偏东75°或南偏东15°D．以上方位都不对答案 C4．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°，然后朝新方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值是( )A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．3答案 C5．一船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h后，该船实际航行为( )A．215 km B．6 kmC.84 km D．8 km答案 B6．有货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时答案 B7.(2015·某某高二检测)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜率15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( ) A.32B. 3C.3－1D.2－1答案 C8．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( ) A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时 D ．2小时答案 B9．河两岸A ，B 两点，现测得BC ＝32米，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________米(结果不要求取近似值)． 答案3263解析 AB ＝BC·sinC sinA ＝32·sin45°sin60°＝3263(米)．10．某市全运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A ，B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．答案30解析由题意可知∠BAM＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得ANsin45°＝106sin30°，解得AN ＝203米，在△AMN中，MN＝203×sin60°＝30(米)，故旗杆的高度为30米．11．如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案64解析在△BCD中，∠BDC＝30°＋60°＝90°，CD＝1，∠BCD＝45°，∴BC＝ 2.在△ACD中，∠CAD＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°，∴CDsin45°＝ACsin30°，∴AC＝22.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos60°＝32，∴AB＝62，∴船速为622＝64千米/分钟．12．在山脚A处测得山顶S的仰角为45°，沿倾斜角为15°的该斜坡向上走100 m到B，又测得S 的仰角为75°，求山高SD.解析在△ABS中，∠SAB＝45°－15°＝30°，∠ASB＝30°，∠ABS＝120°，AB＝100 m，由正弦定理，得SA＝100×sin120°sin30°＝1003(m)．在Rt△SAD中，SD＝SA·sin45°＝1003×22＝506(m)．所以山高SD为50 6 m.13. (2015·某某高二检测)如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3) 海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间．解析由题意知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB.所以DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5（3＋3）sin45°sin105°＝5（3＋3）sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝5（3＋3）·2222·12＋22·32＝10 3.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203，在△DBC中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD·BC·cos ∠DBC ＝(103)2＋(203)2－2·103·203·12＝900，所以CD ＝30.又航行速度为30海里/小时，所以该救援船到达D 点需要1小时．14．(2013·某某)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么X 围内？ 解析 (1)在△ABC 中，因为cosA ＝1213，cosC ＝35，所以sinA ＝513，sinC ＝45.从而sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C) ＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝513×35＋1213×45＝6365. 由AB sinC ＝AC sinB，得 AB ＝AC sinB ×sinC ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由BCsinA＝ACsinB，得BC＝ACsinB×sinA＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得1 25043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[1 25043，62514](单位：m/min)X围内．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．解析方法一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理，得AM＝dsinα2sin（α1＋α2）；第二步：计算AN，由正弦定理，得AN＝dsinβ2sin（β2－β1）；第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝AM 2＋AN 2－2AM×AN cos （α1－β1） 方法二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d(如图所示)． ②第一步：计算BM.由正弦定理，得BM ＝dsin α1sin （α1＋α2）；第二步：计算BN.由正弦定理，得BN ＝dsin β1sin （β2－β1）；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM×BN cos （β2＋α2）.1．(2013·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b ，且a>b ，则∠B＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 A解析 根据正弦定理，得asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b 等价于sinAcosC ＋sinCcosA ＝12，即sin(A ＋C)＝12.又a>b ，∴∠A ＋∠C＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项．2．(2014·某某)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 答案 2 3解析 方法一：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sinB ＝BC sinA ，所以4sinB ＝23sin60°，解得sinB ＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以C ＝30°，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12·AC ·BC ·sinC ＝2 3. 方法二：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sinB ＝BC sinA ，所以4sinB ＝23sin60°，解得sinB ＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以AB ＝42－（23）2＝2. 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12·AB ·BC ＝2 3.3．设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________． 答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，整理，可得a 2＋b 2－c 2＝－ab. ∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3.4．(2014·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B.(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值． 解析 (1)因为A ＝2B ，所以sinA ＝sin2B ＝2sinBcosB. 由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A<π，所以sinA ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sinAcos π4＋cosAsin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.5．(2013·)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1)求cosA 的值； (2)若c 的值．解析 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A， 所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sinA ＝26sin2A. 所以2sinAcosA sinA ＝263.故cosA ＝63.(2)由(1)知，cosA ＝63，所以sinA ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B＝2∠A，所以cosB ＝2cos 2A －1＝13.所以sinB ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝539.所以c ＝asinCsinA＝5.6．(2013·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cosB －sin(A －B)sinB ＋cos(A ＋C)＝－35，(1)求cosA 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 解析 (1)由2cos2A －B 2cosB －sin(A －B)sinB ＋cos(A ＋C)＝－35，得[cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－35，即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cosA ＝－35.(2)由cosA ＝－35，0<A<π，得sinA ＝45.由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝22. 由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22.7．(2013·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc. (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cosBcosC 的最大值，并指出此时B 的值． 解析 (1)由余弦定理，得 cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A<π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sinA ＝12，又由正弦定理及a ＝3，得S ＝12bcsinA ＝12·asinB sinA·asinC ＝3sinBsinC. 因此，S ＋3cosBcosC ＝3(sinBsinC ＋cosBcosC)＝3cos(B －C)．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cosBcosC 取最大值3.8．(2012·新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.解析 (1)由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理，得 sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0. 由于sinC ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A<π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bcosA ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.9．(2012·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cosB 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sinAsinC 的值．解析 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cosB ＝12.(2)方法一：由已知b 2＝ac ，及cosB ＝12，根据正弦定理，得sin 2B ＝sinAsinC. 所以sinAsinC ＝1－cos 2B ＝34.方法二：由已知b 2＝ac ，及cosB ＝12，根据余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－ac2ac ，解得a ＝c.所以A ＝C ＝B ＝60°，故sinAsinC ＝34.10．(2013·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC ＋(cosA －3sinA)cosB ＝0. (1)求角B 的大小；word11 / 11 (2)若a ＋c ＝1，求b 的取值X 围．解析 (1)由已知得－cos(A ＋B)＋cosAcosB －3sinAcosB ＝0，即有sinAsinB －3sinAcosB ＝0.因为sinA ≠0，所以sinB －3cosB ＝0.又cosB ≠0，所以tanB ＝ 3.又0<B<π，所以B ＝π3. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2accosB.因为a ＋c ＝1，cosB ＝12，所以b 2＝3(a －12)2＋14. 又0<a<1，于是有14≤b 2<1，即12≤b<1.。
北师大版高中数学必修五课时作业15 解三角形的实际应用举例.doc
课时作业15解三角形的实际应用举例时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，计算时应当用的数据为()A．α、a、b、βB．αC．a、b、γD．β、b【答案】 C【解析】根据实际情况，测量△ABC的边AC和BC及角C较容易，故选C.2．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，观测得∠ABC＝120°，则AC两地的距离为()A ．10km B.3km C ．10错误!kmD ．10错误!km【答案】 D 【解析】 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，B ＝120°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°＝102＋202－2×10×20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝700，∴AC ＝107km.∴选D.3．在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°(如图所示)，那么这座塔的高是( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20(1＋3)mC ．10(6＋2)mD ．20(6＋2)m【答案】 B 【解析】 由题意知CE ＝AE ·tan60°＝20 3.∴CD ＝DE ＋CE ＝20＋203＝20(1＋3)．4．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( )A.4003mB.40033mC.20033mD.2003m【答案】 A【解析】 作出示意图如图，由已知：在Rt △OAC 中，OA ＝200m ，∠OAC ＝30°，则OC ＝OA ·tan ∠OAC ＝200tan30°＝20033(m)．在Rt △ABD 中，AD ＝20033m ，∠BAD ＝30°，则BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝20033·tan30°＝2003(m)，∴BC ＝CD －BD ＝200－2003＝4003(m)．5．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a kmD ．2a km【答案】 B【解析】 易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2， ∴AB ＝3a (km)．6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( ) A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【答案】 A【解析】 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MN sin120°，∴MN ＝68×32＝346， ∴v ＝MN 4＝1726(海里/时)．7．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200km ，汽车以80km/h的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．( )A.6943B ．1 C.7043D ．2【答案】 C【解析】 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理，得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos60°＝(200－80t )2＋2500t 2－(200－80t )·50t ＝12 900t 2－42 000t ＋40 000.当t ＝7043时，DE 最小．二、填空题(每小题5分，共15分)8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝60°，则a ＝________.【答案】 1＋ 3【解析】 由余弦定理可得a 2＋4－2×2a ·cos60°＝6，即a 2－2a－2＝0，∴a ＝1±3，∵a >0，∴a ＝1＋ 3.9．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 和对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．【答案】 60(3－1)【解析】 过C 点作CD ⊥AB 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，AD＝120－x ，又∵∠CAB ＝30°，∴x 120－x ＝33，解之得，x ＝60(3－1)．10．某海域上有A 、B 、C 三个小岛，已知A ，B 之间相距8n mile ，A ，C 之间相距5n mile ，在A 岛测得∠BAC 为60°，则B 岛与C 岛相距________n mile.【答案】 7【解析】 由题意知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝82＋52－2×8×5×12＝49，则B 岛与C 岛相距7n mile.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)A 、B 是一条河岸边两点，相距800m ，河对岸有一铁塔，在A点测得塔顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求塔高CD .【解析】解：由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin15°＝ADsin45°，得AD＝AB·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∴CD＝AD＝800(3＋1)≈2 186(m)．12．(15分)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF ＝110m，求∠DEF的余弦值．【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力．解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝(BE－FC)2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665. 13．(20分)某市电力部门在一次救灾过程中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A ，B 两地距离．现测量人员在相距3km 的C ，D 两地(假设A ，B ，C ，D 在同一平面上)，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约是A ，B 距离的43倍，问施工单位至少应准备多长的电线？【解析】 在△ACD 中，由已知可得，∠CAD ＝30°，所以AC ＝3km ，在△BCD 中，由已知可得，∠CBD ＝60°，sin75°＝sin(45°＋30°)＝6＋24. 由正弦定理，得BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22.cos75°＝cos(45°＋30°)＝6－24，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ＝(3)2＋(6＋22)2－23·6＋22·cos75°＝5.所以AB ＝5(km)．施工单位应准备的电线长为435km.答：施工单位应准备的电线长为435km.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．在ABC 中，2sin 22C a b a-=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．直角三角形2．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．43kmB ．210kmC ．10kmD ．62km3．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ） A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直4．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A 85B ．4153C ．153D ．55．已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，3a =，2b =，且227cos 4ac B a b ⋅-=-，则B =（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 6．设a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知4cos 5C =，sin 5sin b C c A =，则ca=（ ）A ．5BC ．D7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知3a =，b ∈，且223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（ ）A ．[12，34] B ．(12，34) C ．[1324，34] D ．(1324，34)8．在ABC 中，60A ∠=︒，4AC =，BC =ABC 的面积为A ．B ．4C ．D9．在ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =，AC =ABC 的面积为（ ）A B ．C ．D 10．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BC ．D ．11．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，1a cc a+=+，则B = （ ） A ．56π B ．6π C ．3π D ．2π 12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，且8a c +=，则AC 边上中线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．D ．二、填空题13．已知在锐角ABC ，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的 最小值为_____________.14．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，a =24sin cos sin 2Aa Bb A =，则ABC 外接圆的面积为_________．15．在△ABC 中,若2,30,a b A ===︒则角B 等于______ .16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积2228a b c S +-=，D为线段BC 上一点．若ABD △为等边三角形，则tan DAC ∠的值为___________． 17．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________18．已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____19．在ABC 24cos 2sin a C c B =+，22b =，则ABC 面积的最大值是__________.20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2b =，2a c =，则当角C 取最大值时，△ABC 的面积为__________．三、解答题21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .请在①cos 3sin b b Cc B +=；②()2cos cos b a C c A -=；③222433ABCa b c S +-=这三个条件中任选一个，完成下列问题 （1）求角C ；（2）若5a =，7c =，延长CB 到点D ，使21cos 7ADC ∠=，求线段BD 的长度. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos cos cos aA b C c B=+.（1）求角A 的大小； （2）若3a =11b c+的取值范围.23．在①2222b ac a c =+，②cos sin a B b A =，③sin cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，3A π=，b =ABC 的面积.24．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 12+=A C a c ，且2b =.（1）证明：4+≥a c ；（2）若ABC 的周长为2+S .25．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin 2cos A a B =+. （1）求角B ；（2）若3b =，且ABC 11a c +的值.26．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二倍角公式、正弦定理可得出sin sin cos B A C =，利用两角和的正弦公式可得出cos sin 0A C =，求出A 的值，即可得出结论. 【详解】21cos sin 222C C a b a--==，cos b a C ∴=，由正弦定理可得sin sin cos B A C =，所以，()sin cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C =+=+，则cos sin 0A C =，0C π<<，则sin 0C >，cos 0A ∴=，0A π<<，2A π∴=，因此，ABC 为直角三角形.故选：D. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADC AC DAC⨯⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin CD BDC BC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.3．C解析：C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB， ∵sin sin A ba B -=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．4．B解析：B 【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD=∠∠，所以·sin 4?sin120sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，所以·sin 4sin45sin sin60CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：AB =所以A 与B 的距离AB = 故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．5．B解析：B 【分析】由余弦定理化简得2222b ac -+=，得到cos 4A =，进而求得3sin 4A =，再由正弦定理，解得1sin 2B =，即可求解. 【详解】在ABC 中，因为22cos 4ac B a b ⋅-=-，由余弦定理可得2222224a c b ac a b ac +-⋅-=-，即2222224a cb a b +--=-，整理得2222b a bc c -+=，所以222cos 24c b a A bc -+==，因为(0,)A π∈，所以3sin 4A ==，又由正弦定理，可得sin sin a b A B=，解得sin 1sin 2b A B a ==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=或56B π=，又因为a b >，所以A B >，所以6B π=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.6．C解析：C 【分析】先根据正弦定理对sin 5sin b C c A =边角互化得5b a =，再结合余弦定理整理得ca=. 【详解】解：因为sin 5sin b C c A =，所以5bc ac =，即5b a =． 所以由余弦定理得：222242525185c a a a a a =+-⋅⋅=，整理化简得：ca= 故选：C. 【点睛】本题考查边角互化，余弦定理解散三角形，考查运算能力，是基础题.7．D解析：D 【分析】本题先求9c b=，再化简22222819cos 218b bc a b A bc +-+-==，接着求出22817545()42b b +∈，，最后求出cos A 的取值范围即可. 【详解】 解：由题意有3a =，223cos cos a b B b A =+，由余弦定理得：2222222233232a c b b c a b b c bc+-+-=⋅+⋅⨯⨯，整理得：9bc = ，所以9c b=， 则22222819cos 218b bc ab A bc+-+-==.因为b ∈，所以2(1218)b ∈，，所以22817545()42b b +∈，， 则133cos (,)244A ∈. 故选：D. 【点睛】本题考查余弦定理，利用函数ky x x=+，（0k >）的单调性求范围，是中档题. 8．C解析：C 【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，利用三角形内角和求出角C ，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果. 【详解】因为ABC ∆中，60A ∠=︒，4AC =，BC = 由正弦定理得：sin sin BC ACA B=，4sin B=，所以sin 1B =， 所以90,30B C ︒︒∠=∠=，所以14sin 302ABC S ︒∆=⨯⨯= C. 【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得sin 1B =，从而求得90,30B C ︒︒∠=∠=，之后应用三角形面积公式求得结果.9．A解析：A 【分析】先利用已知条件得到22B A π=-，再利用诱导公式和二倍角公式得到21sin 3A =，又0A π<<，可得sin 3A =；已知AC =BC 的长度，再根据三角形的面积公式in 12s S ab C =，即可得出结果. 【详解】由题意得：A B C π++=，()B A C π∴=-+，又22C A C A ππ-=⇒=+，()2222B A C A A ππππ⎛⎫∴=-+=-+=- ⎪⎝⎭，21sin sin 2cos 212sin 23B A A A π⎛⎫∴=-==-= ⎪⎝⎭，21sin 3A ∴=，0A π<<，sin 3A ∴=， 由正弦定理得，sin sin BC ACA B=， 即3BC =，2C A π=+，A ∴为锐角，cos A ==，sin sin cos 23C A A π⎛⎫∴=+==⎪⎝⎭，11sin 3222ABCSBC AC C ∴=⋅=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.10．B解析：B 【分析】由等差数列性质得3B π=，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值． 【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+， 又A B C π++=，∴3B π=，23C A π=-，2(0,)3A π∈，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===， ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，∴2sin 2sin 2sin 2a A c Cb B ac +-=，即222a b c R R R +-=2222cos a c b ac B R R+-==，∴R =又由正弦定理得2sin ,33a R A A c C ===，∴112sin sin sin()2233ABC S ac B A C A A △ππ==⨯=-21sin )cos 2sin )2A A A A A A =+=+21cos 2)A A =+-)6A π=-，∵2(0,)3A π∈，∴3A π=时，sin(2)16A π-=，即ABC S 取得最大值33+= 故选：B ． 【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力，本题属于中档题．11．B解析：B 【分析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c b c a ac+-+-=，利用余弦定理求角. 【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴2221a c a c b c a ac+-+-==∴cos B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.12．C解析：C 【分析】根据等差中项的性质，结合正弦定理化简可得3B π=，设AC 中点为D ，再利用平面向量的线性运算可得1||||2BD BA BC =+，再平方利用基本不等式求解即可. 【详解】cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，2cos cos cos b B a C c A ∴=+，根据正弦定理有2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，2sin cos sin B B B ∴=，又sin 0B ≠，1cos 2B ∴=，可得3B π=，设AC 中点为D ，则AC 边上中线长为1||||2BD BA BC =+， 平方可得()()2222221112()444BD BA BC BA BC c a ac a c ac ⎡⎤=++⋅=++=+-⎣⎦ 2221()3()()124416a c a c a c ⎡⎤+≥+-=+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当4a c ==时取等号，故2BD 的最小值为12，即AC 边上中线长的最小值为 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算，属于中档题.二、填空题13．2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所解析：2 【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得)22cos 3sin A c A-=，构造函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，再用导数求得最值.【详解】 由212tan tan sin A B A +=，得2cos sin cos sin 2sin sin sin A B B A A B A+=， 即2cos sin cos sin 2sin A B B A B +=，结合正弦定理得2cos cos 2b A a B b +=，再由余弦定理可得2222222222b c a a c b b a b bc ac+-+-⋅+⋅=，整理22234c b a bc +-=.又由余弦定理可得2222cos b a bc A c -=-，代入上式得()22cos c bc A =-，又锐角ABC 的面积1sin 2bc A =bc =)22cos 3sin A c A-=，设函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求导可得()212cos sin xf x x-'=，由()212cos 0sin x f x x -'==，得3x π=，所以在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()3f x f π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭于是24c =≥，即2c ≥，当且仅当3A π=时，等号成立. 故答案为：2 【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.14．【分析】由正弦定理及降幂角公式可求得角的余弦值进而求得角的正弦值以及外接圆半径故可得解【详解】由正弦定理得：则设外接圆的半径为则外接圆的面积为故答案为：【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实 解析：7π【分析】由正弦定理及降幂角公式可求得角A 的余弦值，进而求得角A 的正弦值以及外接圆半径，故可得解.【详解】 由正弦定理得：sin sin a bA B=则 sin sin a B b A = 24sin cos sin 2Aa Bb A = ∴21cos 24A = ∴21cos 2cos 122A A =-=-∴sin A === 设ABC ∆外接圆的半径为R ，则2sin a R A ===∴R =ABC ∆外接圆的面积为27S R ππ==． 故答案为：7π. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.15．或【解析】∵∴由正弦定理得：∵∴或故答案为或解析：060或0120 【解析】∵2,30a b A ===︒∴由正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 22b A B a === ∵b a > ∴60B =︒或120︒ 故答案为060或012016．【分析】由及三角形面积公式余弦定理可得又利用两角差的正切公式展开计算即可【详解】因为所以由三角形面积公式及余弦定理得所以又为等边三角形所以故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用涉及到解析：853-+【分析】由2228a b c S +-=及三角形面积公式，余弦定理可得1tan 2C =，又()tan tan 60DAC C ︒∠=-，利用两角差的正切公式展开计算即可.【详解】因为2228a b c S +-=, 所以，由三角形面积公式及余弦定理得12cos sin 28ab C ab C =， 所以tan C =sin 1cos 2C C =， 又ABD △为等边三角形，所以()tan tan 60DAC C ︒∠=-=3tan 23185313tan 23C C --==-+++．故答案为：853-+【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角差的正切公式，三角形面积公式，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.17．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角 10【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值． 【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =． 设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，∴sin sin AC BCB A=∠∠，即32sin(3)sin παα=-，整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=， 结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=，即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==．再由ABC 得：2sin sin 2ABαα=，∴= 解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．18．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案解析：43【分析】设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代入化简ABC S ∆=223x <<，由二次函数的性质求得ABC S ∆取得最大值． 【详解】解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 21sin sin 12ABC S AC BC C x C x ∆=== 由余弦定理可得2224443cos 44x x x C x x+--==，可得：ABCS ∆==由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x+>，解得：223x <<， 故当x =时，ABC S ∆取得最大值43，故答案为：43． 【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．19．【分析】根据已知条件利用边角互化即可求得再由余弦定理结合均值不等式即可求得的最大值则面积的最大值可解【详解】因为故可得即则又因为故可得又故可得由余弦定理可得即当且仅当时取得等号故故答案为：【点睛】本解析：)21【分析】根据已知条件，利用边角互化即可求得B ，再由余弦定理，结合均值不等式，即可求得ac 的最大值，则面积的最大值可解. 【详解】4cos sin C B =，b =，=+，即sinA sinBcosC sinCsinB =+ 则cosBsinC sinCsinB =， 又因为sin 0C ≠，故可得1tanB =， 又()0,B π∈，故可得4B π=.由余弦定理可得222222(2b a c accosB a c ac =+-+≥--=,即(42ac ≤+，当且仅当a c =时取得等号.故()11cos 4221222ABC S ac B =≤⨯⨯+=△.故答案为：)21【点睛】本题考查利用正余弦定理以及均值不等式求三角形面积的最值，属综合中档题.20．【分析】由余弦定理可得再利用基本不等式的性质可得的最大值再利用三角形面积计算公式即可得出【详解】解：在中由余弦定理可得：时取等号此时当取最大值时的面积故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理基本不等式的解析：3【分析】由余弦定理可得cos C ，再利用基本不等式的性质可得C 的最大值，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】解：2b =，2a c =，∴在ABC ∆中，由余弦定理可得：22222441311cos ()22222242a b c c c c C ab c c +-+-===+⨯⨯⨯=，(0,)C π∈，3c =时取等号．此时，3a =， 06Cπ∴<，∴当C 取最大值6π时，ABC 的面积11222S =⨯=． 【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）条件选择见解析，3C π=；（2）5BD =.【分析】（1）利用所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形面积公式，化简条件等式，结合三角形内角的性质，求角C ；（2）由正余弦定理，结合诱导公式及两角和正弦公式求CD ，进而求BD 的长度. 【详解】（1）若选①：∵cos sin b b C B +=，∴sin sin cos sin B B C C B +=，又sin 0B ≠， ∴1cos C C +=，即1sin62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0C π<<，∴5666C πππ-<-<，即66C ππ-=，故3C π=. 若选②：∵()2cos cos b a C c A -=， ∴()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B C A C C A A C B =+=+=， 又sin 0B ≠，∴1cos 2C =，又0C π<<，∴3C π=，若选③：由222433ABCa bc S +-=⋅，则有4312cos sin 32ab C ab C =⨯， ∴tan 3C =，又0C π<<， ∴3C π=.（2）ABC 中，由余弦定理：22525cos 493AC AC π+-⋅⋅=，得8AC =或3AC =- (舍)， 由21cos 7ADC ∠=，可得27sin ADC ∠=，△ACD 中，()()32112757sin sin sin 272714CAD C ADC C ADC π∠=--∠=+∠=⋅+⋅=， 由正弦定理得：sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，即5727=，解得10CD =，∴5BD CD BC =-=.【点睛】 关键点点睛：（1）根据所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形性质求角； （2）利用正余弦定理及三角恒等变换求边长.22．（1）3A π=；（2）23⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【分析】（1）利用正弦定理边化角可化简已知关系式求得cos A ，结合A 的范围可求得结果；（2）解法一：利用正弦定理边化角可整理得到1161sin 262B b c B ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=⎛⎫-+⎪⎝⎭，利用B 的范围可求得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，代入整理可求得结果； 解法二：利用余弦定理和基本不等式可求得3bc ≤，整理得到11b c +=合二次函数的性质可求得所求的范围. 【详解】（1）由正弦定理得：()sin sin 2cos sin cos sin cos sin A AA B C C B B C ==++.B C A π+=-，()sin sin B C A ∴+=，2cos 1A ∴=，即1cos 2A =，()0,A π∈，3A π∴=.（2）解法一：由正弦定理知，2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，sin sin 1111sin sin 3612sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 2362B B B B C b c B C B C B B B ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∴+=+===⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3A π=，20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭. 令6B πθ=+，则5,66ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则1sin ,12θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.则11cos 24sin sin 22sin 22b cθθθθ⎫+====+∞⎪⎪⎣⎭-+--+⎪⎝⎭. 解法二：3a =，3A π=，∴由余弦定理知：2232b c bc bc bc +-=≥-（当且仅当b c =时取等号），3bc ∴≤，()233b c bc +=+，则113bc ≥，11b c b c bc +∴+===.11b c ∴+的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；将所求式子化为符合基本不等式的形式或配凑成函数的形式来进行求解；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.23．条件选择见解析；ABC【分析】选择①，用余弦定理求得B 角，选择②，用正弦定理化边为角后求得B 角，选择③用两角和的正弦公式变形后求得B 角，然后利用正弦定理求得a ，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得sin C ，最后由面积公式计算出面积． 【详解】解：（1）若选择①，222b a c =+由余弦定理，222cos 222a cb B ac ac +-===， 因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭所以113sin 2244ABC S ab C +===△. （2）若选择②cos sin a B b A =，则sin cos sin sin A B B A =， 因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =， 因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sin sin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭，所以113sin 2244ABC S ab C +===△. （3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以42B ππ+=，所以4B π=； 由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin b A a B π=== 因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sin sin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 【点睛】 关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序．用正弦定理进行边角转换是一种重要技巧，它的目的是边角分离，公式应用明确．本题是求三角形面积，一般要知道两边和夹角的正弦，在已知一角和一边情况下还需要求得一条边长及两边夹角，这样我们可以采取先求B 角，再求a 边和sin C ，从而得面积．24．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）解法一：用正弦定理化边为角，得到2sin sin sin B A C =，再变成2b ac =，运用基本不等式可证明解法二：用余弦定理化角为边，得到关系式2b ac =，再用基本不等式求解即可. （2）用余弦定理求出3cos 4B =，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解法一：由已知及正弦定理，得cos cos 1sin sin sin A C A C B += 因为cos cos cos sin cos sin sin()sin sin sin sin sin sin sin sin sin +++===A C A C C A A C B A C A C A c A c所以sin 1sin sin sin =B A c B，2sin sin sin B A C =由正弦定理得2b ac =，即4ac =.4a c +≥=. 解法二：由已知及余弦定理，得222221222+-+-+=b c a a b c abc abc ，得24==ac b ，所以4a c +≥=.（2）因为ABC 的周长为2+a c +=因为22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-⋅=+--⋅又因为4ac =，所以3cos 4B =得sin 4B =.所以1sin 2sin 22===ABC S ac B B . 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）2π3；（2）2. 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解.（2）根据三角形的面积公式可得2ac =，再利用余弦定理可得a c +=.【详解】解：（1sin (2cos )A a B =+，sin sin (2cos )A B A B =+.∵(0π)A ∈，，∴sin 0A >， ∴cos 2B B -=，∴π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴ππ62B -=，∴2π3B =.（2）因为2ABC S =，∴12πsin 23ac =，∴2ac =. 又∵22222cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-， ∴a c +=∴11a c a c ac ++==.26．（1）3B π=；（2）1(,12-. 【分析】 （1）根据等差数列的性质可知cos cos 2cos a C c A b B +=，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sin 2sin cos B B B =，求得cos B ，进而求得B ；（2）先利用二倍角公式及辅助角对原式进行化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的单调性求得()2sin cos A A C 2+-的范围. 【详解】因为2cos cos cos b B a C c A =+由正弦定理得， 2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+即：()sin 2sin cos A C B B +=，则sin 2sin cos B B B =，因为sin 0B ≠ 所以1cos 2B =，又0B π<< 得3B π= （2）∵3B π=， ∴23AC π+= ∴2222sin cos()2sin cos(2)3A A C A A π+-=+-=131cos 2cos 2212cos 222A A A A A --+=-=1)3A π-， ∵203A π<<，233A πππ-<-<∴sin(2)123A π-<-≤则()2sin cos A A C 2+-的范围为1,12⎛-⎝ 【点睛】 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。
北师大版高中数学必修五课时作业15 解三角形的实际应用举例.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作课时作业15解三角形的实际应用举例时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，计算时应当用的数据为()A．α、a、b、βB．αC．a、b、γD．β、b【答案】 C【解析】根据实际情况，测量△ABC的边AC和BC及角C较容易，故选C.2．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，观测得∠ABC＝120°，则AC两地的距离为()A ．10km B.3km C ．10错误!km D ．10错误!km【答案】 D【解析】 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，B ＝120°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°＝102＋202－2×10×20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝700，∴AC ＝107km.∴选D.3．在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°(如图所示)，那么这座塔的高是( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33mB ．20(1＋3)mC ．10(6＋2)mD ．20(6＋2)m【答案】 B【解析】 由题意知CE ＝AE ·tan60°＝20 3. ∴CD ＝DE ＋CE ＝20＋203＝20(1＋3)．4．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( )A.4003m B.40033m C.20033m D.2003m【答案】 A【解析】 作出示意图如图，由已知：在Rt △OAC 中， OA ＝200m ，∠OAC ＝30°，则OC ＝OA ·tan ∠OAC ＝200tan30°＝20033(m)．在Rt △ABD 中，AD ＝20033m ，∠BAD ＝30°，则BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝20033·tan30°＝2003(m)，∴BC ＝CD －BD ＝200－2003＝4003(m)．5．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km【答案】 B【解析】 易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2，∴AB ＝3a (km)．6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/时 B ．346海里/时 C.1722海里/时 D ．342海里/时【答案】 A【解析】 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×32＝346， ∴v ＝MN 4＝1726(海里/时)．7．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200km ，汽车以80km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．( )A.6943 B ．1 C.7043 D ．2【答案】 C【解析】 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理，得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos60°＝(200－80t )2＋2 500t 2－(200－80t )·50t ＝12 900t 2－42 000t ＋40 000.当t ＝7043时，DE 最小．二、填空题(每小题5分，共15分)8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝60°，则a ＝________.【答案】 1＋ 3【解析】 由余弦定理可得a 2＋4－2×2a ·cos60°＝6，即a 2－2a －2＝0，∴a ＝1±3，∵a >0，∴a ＝1＋ 3.9．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 和对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．【答案】 60(3－1)【解析】 过C 点作CD ⊥AB 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，AD ＝120－x ，又∵∠CAB ＝30°，∴x 120－x ＝33，解之得，x ＝60(3－1)．10．某海域上有A 、B 、C 三个小岛，已知A ，B 之间相距8n mile ，A ，C 之间相距5n mile ，在A 岛测得∠BAC 为60°，则B 岛与C 岛相距________n mile.【答案】 7【解析】 由题意知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝82＋52－2×8×5×12＝49，则B 岛与C 岛相距7n mile.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)A 、B 是一条河岸边两点，相距800m ，河对岸有一铁塔，在A 点测得塔顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求塔高CD .【解析】解：由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin15°＝ADsin45°，得AD＝AB·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∴CD＝AD＝800(3＋1)≈2 186(m)．12．(15分)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF ＝110m，求∠DEF的余弦值．【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力．解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝(BE－FC)2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理 cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.13．(20分)某市电力部门在一次救灾过程中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A ，B 两地距离．现测量人员在相距3km 的C ，D 两地(假设A ，B ，C ，D 在同一平面上)，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约是A ，B 距离的43倍，问施工单位至少应准备多长的电线？【解析】 在△ACD 中，由已知可得，∠CAD ＝30°，所以AC ＝3km ，在△BCD 中，由已知可得，∠CBD ＝60°，sin75°＝sin(45°＋30°)＝6＋24.由正弦定理，得BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22. cos75°＝cos(45°＋30°)＝6－24，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ＝(3)2＋(6＋22)2－23·6＋22·cos75°＝5.所以AB ＝5(km)．施工单位应准备的电线长为435km. 答：施工单位应准备的电线长为435km.。
(北师大版)北京市必修五第二章《解三角形》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积222221()22a b c S ab ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为（ ） A ．6B ．23C ．3D ．322．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72︒的等腰三角形（另一种是两底角为36︒的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=．根据这些信息，可得sin54︒=（ ）．A ．154+ B ．35+ C ．458+ D ．1254- 3．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km4．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22212a b c =+，则tan A 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．[)2,+∞5．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+ 的值为（ ）A ．2BC ．2D ．46．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a =b =45B =︒，则A =（ ）A ．30B ．30或150︒C ．60︒或120︒D ．60︒8．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知a =cos sin b A B =，则A =（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 9．在ABC 中，若2a =，b =30A =︒，则B 等于（ ） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒10．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ）A ．2a >B ．02a <<C ．2a <<D ．2a <<11．设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6a =，8b =，12c =，若D 为AB 边的中点，则CD 的值为（ ）A ．7B ．10C D ．12．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C ．4D ．4二、填空题13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC 的面积是______________. 14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则a =_______．15．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，ABC 的面积为24b c，且221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=，则A =_______.16．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC 的面积为S ，若,,B A C 成等差数列，3cos cos 3S a B b A =+，3c =，则a =__________. 17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.18．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______19．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a +c ＝2b ，3sin B ＝5sin A ，则C ＝_____．20．在ABC ∆中，60A ∠=︒，且最大边与最小边是方程2327320x x -+=的两个实根，则ABC ∆的外接圆半径R =外______________.三、解答题21．在ABC 中，2BAC π∠=，点D 在边BC 上，满足3=AB BD .（1）若6BAD π∠=，求C ∠； （2）若2,4CD BD AD ==，求ABC 的面积.22．在①()22sin sin sin sin sin A B C B C --=，②sin sin 2B Cb a B +=，③2sin sin 3a B b A π⎛⎫=-⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 2b c +=，______求A 和C ．23．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且c b >.（1）求角B 的值；（2）若6A π=，且ABC 的面积为BC 边上的中线AM 的长.24．在①222b a c =+，②cos sin a B b A =，③sin cos B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，3A π=，b =ABC 的面积.25．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，4c =，面积sin S bc B =． （1）若60C ∠=，求S ；（2）若S ABC 的周长． 26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，1cos 2A ∴=, 222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S === 故选：C 【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为S =2．A解析：A 【分析】在ABC ，由正弦定理可知sin sin BC BAC AC ABC ∠=∠可得1cos364︒=，进而根据诱导公式得sin54cos36︒== 【详解】在ABC ，由正弦定理可知：sin sin 36sin 3611sin sin 722sin 36cos362cos362BC BAC AC ABC ︒︒︒︒︒︒∠=====∠，∴cos36︒== 由诱导公式()sin54sin 9036cos36︒=-=，所以sin54︒=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADC AC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.4．B解析：B 【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得tan 3tan A B =，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan 0A >，tan 0C >，解不等式可得所求范围． 【详解】因为22212a b c =+，由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，则222212cos 2b c b c bc A +=+-，可得4cos c b A =，由正弦定理可得：sin 4sin cos C B A =，可得sin()sin cos sin cos 4sin cos A B A B B A B A +=+=， 化为3sin cos sin cos B A A B =， 在锐角ABC 中，cos 0A ≠，cos 0B ≠， 则tan 3tan A B =，又21tan tan tan tan 3tan tan()11tan tan 1tan 3A AA B C A B A B A ++=-+=-=---，由tan 0A >，tan 0C >，可得211tan 03A -<，解得tan A >，【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．5．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos 0b A B =，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.6．B解析：B 【分析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形.故选：B本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.7．C解析：C 【解析】∵45a b B ===︒∴根据正弦定理sin sin a b A B=，即sin sin a B A b ===∵a b =>=∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒ 故选C8．D解析：D 【分析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=, 由正弦定理有sin sin a b A B=,又a =1cos A=.所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.9．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案.由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即sin sin sin 3022b B A a ==︒=， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．C解析：C 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin 2a b A B ==sin A =，三角形有两解，sin 1A <=<，解得2a << 故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．C解析：C 【分析】由已知可求6AD BD ==，在ABC 中，由余弦定理可求cos B 的值，在BCD 中，利用余弦定理即可求得||CD 的值． 【详解】 解：6a =，8b =，12c =，若D 为AB 边的中点，6AD BD ∴==，∴在ABC 中，222222612829cos 2261236a cb B ac +-+-===⨯⨯，∴在BCD中，可得||CD =故选：C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．12．D解析：D 【分析】根据()2243S a b c =+-3cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()2243S a b c =+-，可得222143sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以23sin 2cos 2ab C ab C ab =+，3cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =， 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32126222224=+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理解析：2【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++-，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC 的面积是11sin 622ABC S ac B ==⨯=△【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．4【分析】先由正弦定理可得再由余弦定理可得即可由解出【详解】abc 为三个连续自然数由正弦定理可得即由余弦定理可得解得故答案为：4【点睛】本题考查正余弦定理的应用解题的关键是分别利用正弦定理和余弦定理解析：4 【分析】先由正弦定理可得2cos 2a Aa，再由余弦定理可得5cos 22a Aa ，即可由52222a a a a解出a .【详解】a ，b ，c 为三个连续自然数，1,2b a c a ∴=+=+， 由正弦定理可得sin sin a cA C =，即22sin sin 22sin cos a a a AA A A，2cos 2a Aa，由余弦定理可得22222212155cos 221221222a a a a abc a a Abca a a aa ，52222a a a a ，解得4a =.故答案为：4. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是分别利用正弦定理和余弦定理表示出cos A ，即可得出52222a a a a.15．【分析】先由的面积为得到再用正弦定理余弦定理化简已知得解【详解】由三角形的面积公式可知得由得由正弦定理得即所以所以又所以又故故答案为：【点睛】方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时要注意观察等式再利用解析：4π【分析】先由ABC 的面积为24b c得到sin 2b A =，再用正弦定理余弦定理化简已知得解.【详解】由三角形的面积公式可知21sin 24b cS bc A ==，得sin 2b A =，由221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=得222sin (1)sin sin C c B A +-=， 由正弦定理得222(1)c c b a +-=即2222c b a b c +-=， 所以2cos b A = ， 所以sin cos A A =， 又2A π≠，所以tan 1A =，又0A π<<，故4A π=故答案为：4π 【点睛】方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时，要注意观察等式，再利用正弦定理余弦定理角化边或边化角化简求解.16．【分析】由三角形内角和为及内角的等差关系可得再由面积公式和正弦定理可得再由余弦定理可得解【详解】由成等差数列可知即解得由可知根据正弦定理知即因此由余弦定理得故故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形【分析】由三角形内角和为π及内角的等差关系可得3A π=，再由面积公式和正弦定理可得4b =，再由余弦定理可得解. 【详解】由,,B A C 成等差数列可知2A B C =+，即3A π=，解得3A π=.由cos cos 3S a B b A =+可知1sin cos cos 32ab C a B b A =+，1sin sin sin cos 2A b C AB ⋅=sin cos sin B AC +=，即sin b A =4b =，由余弦定理得22212cos 169243=132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯，故a =.【点睛】本题主要考查了解三角形的相关知识，涉及等差中项的应用，属于基础题.17．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，∴=c ， 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，又222a b =，故可联立方程：222222cos 2c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A =.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中即则由正弦定理得：故答案为：【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键解析：【分析】由ACB ∠与BAC ∠，求出ABC ∠的度数，根据sin ACB ∠，sin ABC ∠，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长． 【详解】解：在ABC ∆中，50AC m =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒， 即30ABC ∠=︒， 则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得：50sin 21sin 2AC ACBAB ABC∠===∠．故答案为：. 【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．【分析】由正余弦定理可得的余弦值进而求出的值【详解】因为则由正弦定理可得所以又所以由余弦定理可得又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用考查了运算能力属于中档题 解析：23π 【分析】由正余弦定理可得C 的余弦值，进而求出C 的值. 【详解】因为3sin 5sin B A =，则由正弦定理可得35b a =，所以35a b =， 又2a c b +=，所以725c b a b =-=，由余弦定理可得22222294912525cos 32225b b b a bc C ab b b+-+-===-⋅⋅， 又因为(0,)C π∈，所以23C π=， 故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题．20．【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得a 接着由正弦定理可得本题答案【详解】由题意得所以得因为即得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用【分析】 综合韦达定理与余弦定理可算得a ，接着由正弦定理可得本题答案. 【详解】由题意得，329,3b c bc +==， 所以222264322cos ()22cos 814933a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=--=，得7a =，因为2sin a R A =2R =，得R =【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用.三、解答题21．（1）3π；（2）. 【分析】（1）在ABD △中，由正弦定理求得sin BDA ∠=，得到BDA ∠的大小，进而求得C ∠的大小；（2）由,2AB CD BD ==，得到,33AB BC AC BC ==，根据向量的线性运算，求得2133AD AB AC =+，进而得到2224199AD AB AC =+，求得,,BC AB AC 的长，利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，所以sin6sin 2AB BDA BD π⋅∠==， 因为(0,)BDA π∠∈，所以23BDA π∠=或3BDA π∠=，当23BDA π∠=时，可得6B π∠=，可得3C π∠=； 当3BDA π∠=时，可得2B π∠=，因为2BAC π∠=（舍去），综上可得3C π∠=.（2）因为,2AB CD BD ==，所以,33AB BC AC BC ==， 由1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以2222222141441()3399999AD AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅=+， 即2224199AD AB AC =+， 又由4=AD，可得22241()()93934BC BC ⨯=⨯+，解得BC =则AB AC ==所以12ABCSAB AC =⨯= 22．选择见解析，3A π=，512C π=． 【分析】选择条件①，利用正弦定理结合余弦定理求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得A2b c +=sin 2sin A B C +=，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由角C 的取值范围可求得结果；选择条件②，利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出sin2A的值，结合角A 的取值范围可求得角A2b c +=可得出sin 2sin A B C +=，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由角C 的取值范围可求得结果；选择条件③，由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 2b c +=sin 2sin A B C +=，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由角C 的取值范围可求得结果. 【详解】（1）选择条件①，由()22sin sin sin sin sin A B C B C --=及正弦定理知()22a b c bc --=，整理得，222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为()0,A π∈，所以3A π=，2b c +=sin 2sin A B C +=，由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即1sin 2sin 222C C C ++=，即3sin C C =6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而64C ππ-=，解得512C π=； 选择条件②，因为A B C π++=，所以222B C Aπ+=-， 由sinsin 2B C b a B +=得cos sin 2Ab a B =，由正弦定理知，sin cossin sin 2sin cos sin 222A A AB A B B ==， ()0,B π∈，()0,A π∈，可得0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，sin 0B >，cos02A >，可得1sin 22A =，所以，26A π=，故3A π=.以下过程同（1）解答； 选择条件③，由2sin sin 3a B b A π⎛⎫=-⎪⎝⎭，及正弦定理知，2sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,B π∈，则sin 0B >，从而21sin sin sin 32A A A A π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，则sin A A =，解得tan A =又因为()0,A π∈，所以3A π=，以下过程同（1）解答．【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.23．（1）6π；（2） 【分析】（1）先由正弦定理边角互化，计算求得sin B ；（2）由（1）可知ABC 是等腰三角形，根据面积公式求边长a ，AMC 中，再根据余弦定理求中线AM 的长. 【详解】（1）∵1sin cos 2a B Ab =， 由正弦定理边角互化得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=， 由于(0,),sin 0B B π∈≠，∴1sin cos sin cos 2A C C A +=，即1sin()2A C +=，得1sin 2B =. 又c b >，∴02B π<<，∴6B π=.（2）由（1）知6B π=，若6A π=，故a b =，则2112sin sin 223ABC S ab C a π∆=== ∴4a =，4a =-（舍）又在AMC 中，22222cos3AM AC MC AC MC π=+-⋅，∴222221121()2cos 42242()282232AM AC AC AC AC π=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅-=，∴AM =24．条件选择见解析；ABC【分析】选择①，用余弦定理求得B 角，选择②，用正弦定理化边为角后求得B 角，选择③用两角和的正弦公式变形后求得B 角，然后利用正弦定理求得a ，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得sin C ，最后由面积公式计算出面积． 【详解】解：（1）若选择①，222b a c =+由余弦定理，222cos 222a cb B ac ac +-===， 因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭所以11sin 22ABC S ab C ===△. （2）若选择②cos sin a B b A =，则sin cos sin sin A B B A =， 因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =， 因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以113sin2244ABCS ab C+===△.（3）若选择③sin cosB B+=4Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin14Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因为()0,Bπ∈，所以5,444Bπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以42Bππ+=，所以4Bπ=；由正弦定理sin sina bA B=，得sinsinsinb AaBπ===因为3Aπ=，4Bπ=，所以53412Cππππ=--=，所以5sin sin sin sin cos cos sin124646464Cπππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以11sin22ABCS ab C===△.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序．用正弦定理进行边角转换是一种重要技巧，它的目的是边角分离，公式应用明确．本题是求三角形面积，一般要知道两边和夹角的正弦，在已知一角和一边情况下还需要求得一条边长及两边夹角，这样我们可以采取先求B角，再求a边和sin C，从而得面积．25．（1；（2）4或4．【分析】（1）利用三角形的面积公式可得出2a b=，利用余弦定理可求得b、a的值，再利用三角形的面积公式可求得S；（2）由已知条件可得sin6Bb=，由余弦定理得出2316cos16bBb+=，结合22sin cos1B B+=可求得b的值，由此可得出ABC的周长.【详解】（1）1sin sin2S bc B bc A==，所以，sin2sinA B=，2a b∴=，由余弦定理可得2222222162cos423c a b ab C b b b b==+-=+-=，b∴=3a =，因此，11sin2223S ab C ===；（2）sin 4sin 3S bc B b B ===，可得sin 6B b =，2222316cos 216a c b b B ac b+-+==，由22sin cos 1B B +=可得222316116b b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得422748010880b b -+=，即()()223891340b b --=，解得3b =或b =.当b =时，ABC 的周长为34a b c b c ++=+=；当b =时，ABC 的周长为34a b c b c ++=+=.综上所述，ABC 的周长为4或4.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=， 又由已知222a c b -=，所以24b b =， 解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC 的面积为315，则a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos20B C +=，4a =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．243+B ．43+C ．623+D ．843+3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin 3sin 2B A B A A -++=，且7c =，3C π=，则a =（ ）A ．1B ．221C ．1或221D ．2134．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，△ABC 的面积S ＝5cos A ，则a ＝（ ） A ．1 B ． 5 C ． 13D ． 175．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，以下四个结论中，正确的是（ ）A ．若a b c >>，则sin sin sin ABC >> B ．若A B C >>，则sin sin sin A B C << C ．cos cos sin a B b A c C +=D ．若222a b c +<，则ABC 是锐角三角形6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106 m （如图），则旗杆的高度为（ ）A ．10 mB ．30 mC ．3mD ．6 m7．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是（ ）A ．2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．23,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭8．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ） A ．223+B ．31+C ．232-D ．31-9．如图所示，在DEF 中，M 在线段DF 上，3DE =，2DM EM ==，3sin 5F =，则边EF 的长为（ ）A ．4916B ．15716C ．154D ．57410．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB 边上的一点，25CD =ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（ ） A ．5B ．35C ．45D ．511．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是（ ） A ．35mB ．10mC ．490013m D ．521m12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，2b =B 为（ ） A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒二、填空题13．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=，15BDC DCA ∠=∠=，120ACB ∠=，则A 、B 两点的距离为______m .14．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，ABC 的面积为24b c，且221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=，则A =_______.15．在ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，2BD =，则ABC 的面积为_________.16．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别是a ，b ，c ．若()224c a b =-+，23C π=，则ABC 的面积是________． 17．如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），在所在的河岸边选取相距30m 的C ，D 两点，测得75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，其中A ，B ，C ，D 四点在同一平面内，则A ，B 两点之间的距离是_______m .18．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______19．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝α（0＜α＜2π），已知AB 的取值范围是（1，2），则cos α的值为_____．20．在三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD CD =，AD BD =，则2tan cos BAC B ∠⋅的最大值为__________．三、解答题21．在①222b c a bc +-=；②4AB AC ⋅=；③2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积.问题：已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin C B =，2b =， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知：5,2,45b c B ==∠=︒．（1）求边BC 的长和三角形ABC 的面积；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB，求tan DAC ∠的值． 23．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c CB A b a-=-+.（1）求A ；（2）若2a =，求11tan tan B C+的最小值. 24．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2cos cosA cosC b 0a C c ++=（1）求角C 的大小；（2）求22sin sin A B +的取值范围．25．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,),(1,sin )m A a n B ==（1）当2sin m n A =时，求b 的值；（2）当//m n 时，且1cos 2C a =，求tan tan A B 的值．26．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A ，并利用1sin 2ABCSbc A ==求a的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =， 14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，sin A ==，1131sin 2242ABCSbc A a a ==⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C2．C解析：C 【分析】在ABC ∆中，()sin sin B A C +=，化简sin (sin cos )sin 0A B B C +-=可得4A π=，又sin cos20B C +=和34B C π+=，解得3B π=，512C π=，最后通过正弦定理求出1)c =，再根据三角形面积公式得到面积.【详解】由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得：sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin 0A B A B A B A B A B A B ⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-⋅=，∴sin cos A A =，又0()A π∈，，则4A π=，则34B C π+=，又3sin cos 2sin 22B C C π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则3222B C k ππ=-+或222B C k ππ=-+，(0)B C π∈、，，则322B C π+=或22C B π-=，又34B C π+=，则取22C B π-=， 得3B π=，512C π=，又4a =，根据正弦定理，sin 1)sin a Cc A ⋅==，∴1sin 62ABC S ac B ∆=⋅=+ 故选C. 【点睛】思路点睛：在三角形中，由于A B C π++=,根据诱导公式，()sin sin A B C +=，()sin sin A C B +=,()sin sin C B A +=，()cos cos A B C +=-,()cos cos A C B +=-,()cos cos C B A +=-等，以上常见结论需要非常熟练. 3．C解析：C 【分析】由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，可得结果． 【详解】∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴3sin3a π==．②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =， 由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-， 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅， 解得1a =． 综上可得，a =1故选：C ． 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查学生分类讨论思想，属于中档题．4．A解析：A 【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝12cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cosA ，运用余弦定理可求得边a . 【详解】因为b ＝2，c S cos A ＝12bc sin A A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以cos >0A ，故解得cos A .所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A. 【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可判定A 正确；由大边对大角定理和正弦定理可判定B 错误；由正弦定理，可判定C 错误；根据余弦定理，可判定D 错误． 【详解】对于A 中，由于a b c >>，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 可得sin sin sin A B C >>，故A 正确；对于B 中，A B C >>，由大边对大角定理可知，则a b c >>，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin sin A B C >>，故B 错误； 对于C 中，由正弦定理可得cos cos 2(sin cos sin cos )a B b A R A B B A +=+2sin()2sin()2sin R A B R C R C c π=+=-==，故C 错误；对于D 中，由222a b c +<，根据余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为(0,)C π∈，可得C 是钝角，故D 错误．故选：A. 【点睛】本题主要考查了以解三角形为背景的命题真假判定问题，其中解答中熟记解三角形的正弦定理、余弦定理，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】作图，分别求得∠ABC ，∠ACB 和∠BAC ，然后利用正弦定理求得AC ，最后在直角三角形ACD 中求得AD ． 【详解】 解：如图，依题意知∠ABC ＝30°+15°＝45°，∠ACB ＝180°﹣60°﹣15°＝105°， ∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°， 由正弦定理知BC ACsin BAC sin ABC=∠∠，∴AC BC sin BAC=∠•sin ∠ABC10622==3m ）， 在Rt △ACD 中，AD 3=AC 3=3=30（m ） 即旗杆的高度为30m ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．7．C解析：C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角，结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =，由锐角三角形得出A 角范围，再代入化简求值式，利用余弦函数性质可得结论． 【详解】∵2()c a a b =+，∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-，∴(12cos )b a C =+，由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+，∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+，整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-，∵,A C 是三角形的内角，∴A C A =-，即2C A =，又三角形是锐角三角形，∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得64A ππ<<，由2C A =得22cos cos 23cos ,cos()cos 22A A A C A A ⎛⎫==∈ ⎪ ⎪-⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换，考查两角与差的正弦公式，余弦函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．8．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．9．D解析：D 【分析】利用余弦定理求得cos EMD ∠，由此求得cos EMF ∠，进而求得sin EMF ∠，利用正弦定理求得EF . 【详解】在三角形DEM 中，由余弦定理得2222231cos 2228EMD +-∠==-⨯⨯，所以1cos 8EMF ∠=，由于0EMF π<∠<， 所以237sin 1cos EMF EMF ∠=-∠=. 在三角形EFM 中，由正弦定理得3725783sin sin 45EF EMEF EMF F=⇒==∠.故选：D 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ． 【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022AC ADACD ACD ∠=∠=，可得sin ACD∠=，ACD ∠为锐角，可得cos ACD ∠==在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得sin sin CD ACD A AD ∠=，由sin sin ACBC B A=可知sin sin 2AC A BC B ===．故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．11．D解析：D 【分析】设塔底为O ，设塔高为h ，根据已知条件求得,OA OB 的长，求得AOB∠的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ，设塔高为h ，由已知可知,3OA hOB h ==，且150AOB ∠=，在三角形AOB 中，由余弦定理得222352cos150h h =+-⨯⨯⎝⎭，解得h =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.12．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.二、填空题13．【分析】在中利用正弦定理计算出分析出为等腰三角形可求得然后在中利用余弦定理可求得【详解】在中在中由正弦定理可得在中由余弦定理可得因此故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边 解析：5【分析】在BCD △中，利用正弦定理计算出BD ，分析出ACD △为等腰三角形，可求得AD ，然后在ABD △中，利用余弦定理可求得AB . 【详解】在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=，15DCA ∠=，15DAC ∴∠=，()45AD CD m ∴==，在BCD △中，15BDC ∠=，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=，30CBD ∴∠=，由正弦定理可得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，)45212BD m ∴==，在ABD △中，()45AD m =，)BD m =，135ADB ∠=， 由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯，因此，)AB m =.故答案为： 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．【分析】先由的面积为得到再用正弦定理余弦定理化简已知得解【详解】由三角形的面积公式可知得由得由正弦定理得即所以所以又所以又故故答案为：【点睛】方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时要注意观察等式再利用解析：4π【分析】先由ABC 的面积为24b c得到sin 2b A =，再用正弦定理余弦定理化简已知得解.【详解】由三角形的面积公式可知21sin 24b cS bc A ==，得sin 2b A =，由221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=得222sin (1)sin sin C c B A +-=，由正弦定理得222(1)c c b a +-=即2222c b a b c +-=， 所以2cos b A = ， 所以sin cos A A =， 又2A π≠，所以tan 1A =，又0A π<<，故4A π=故答案为：4π 【点睛】方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时，要注意观察等式，再利用正弦定理余弦定理角化边或边化角化简求解.15．【分析】设将利用三角形面积公式表示出来可得在中利用余弦定理可得解得即可求出进而可得的值再利用三角形面积公式即可求解【详解】因为平分所以设则因为设所以所以因为所以即在中所以可得解得：所以所以所以故答案【分析】设12BAD CAD BAC θ∠=∠=∠=，AB x =，将BAD CAD ABC S S S +=△△△利用三角形面积公式表示出来，可得1cos 2x xθ+=，在ABD △中，利用余弦定理可得212cos 2x xθ+-=，解得2x =，即可求出cos θ，sin θ，进而可得sin BAC ∠的值，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠， 设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=， 因为BAD CAD ABC S S S +=△△△，设AB x =， 所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=， 所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=， 因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x xθ+=， 在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=， 可得220x x --=，解得：2x =，所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以sin BAD ∠==，3sin 2sin cos 24BAC θθ∠===，所以1sin 28ABCSAC AB BAC =⋅∠=，【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将BAD CAD ABC S S S +=△△△用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积.16．【分析】利用余弦定理结合求出利用即可求出三角形的面积【详解】由可得：在中由余弦定理得：即所以即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理面积公式的应用属于中档题【分析】利用余弦定理，结合()224c a b =-+，23C π=求出43ab =，利用1sin 2ABCS ab C =，即可求出三角形的面积． 【详解】由()224c a b =-+可得：22224c a b ab =+-+， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 即222c a b ab =++， 所以24ab ab -+=， 即43ab =，所以114sin 223ABCSab C ==⨯=，【点睛】本题主要考查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题.17．【分析】本题先在中得出得的值然后在中由正弦定理得出的长最后在中由余弦定理算出即可得到AB 之间的距离【详解】解：如图所示∵∴∴在中∴∵在中∴由正弦定理得可得在中由余弦定理得∴（米）即AB 之间的距离为米解析：1015. 【分析】本题先在ACD △中，得出30CAD ADC ∠=∠=︒，得CD 的值，然后在BCD 中由正弦定理得出BC 的长，最后在ABC 中由余弦定理，算出21500AB =，即可得到A ，B 之间的距离. 【详解】解：如图所示，∵75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒， ∴7545120ACD ACB BCD ︒︒∠=∠+∠=+=︒，∴在ACD △中，18030CAD ACD ADC ADC ∠=︒-∠-∠=︒=∠， ∴30AC CD ==.∵在BCD 中，60CBD ∠=︒， ∴由正弦定理，得30sin 75sin 60BC =︒︒，可得sin 7530203sin 75sin 60BC ︒=⋅=︒︒. 在ABC 中，由余弦定理，得()222222cos 30203sin 75230203sin 75cos 75AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+︒-⨯⨯︒︒1500=，∴1015AB =（米），即A ，B 之间的距离为1015米. 故答案为：1015.【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际应用问题，是中档题.18．【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中即则由正弦定理得：故答案为：【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键 解析：502m【分析】由ACB ∠与BAC ∠，求出ABC ∠的度数，根据sin ACB ∠，sin ABC ∠，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长． 【详解】解：在ABC ∆中，50AC m =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒， 即30ABC ∠=︒， 则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得：250sin 25021sin 2AC ACBAB m ABC⨯∠===∠．故答案为：502m . 【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得 解析：24【分析】延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CFAD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==,设BC x =，在BCE ∆与BCF ∆中，分别运用正弦定理可得关于cos α的方程，联立可得答案. 【详解】解：如图，，延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==, 设BC x =，在BCE ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BEE BCE=∠∠,即：2sin(2)sin x παα=-，可得22cos xα=，同理，在BCF ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BFBFC BCF=∠∠,即：1sin sin(2)x απα=-，可得2cos 1x α=， 故可得：2124cos α=，可得21cos 8α=，又02＜＜πα，故cos 4α=,故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数学建模的能力与运算能力，属于中档题.20．【分析】设则在△ABD 和△ACD 中由正弦定理化简可得由两角差的正弦公式化简可得根据正弦函数的值域即可求解的最大值【详解】如图由已知设则在△ABC 中由正弦定理可得:在△ACD 中由正弦定理可得:所以化简解析：32【分析】设,BD x =则,2xAD x CD ==,在△ABD 和△ACD 中,由正弦定理化简可得3sin 2sin cos 22sin sin()x x B B BBAC BAC B ⋅⋅=∠∠-,由两角差的正弦公式,化简可得23tan cos sin 22BAC B B ∠⋅=,根据正弦函数的值域即可求解2tan cos BAC B ∠⋅的最大值.【详解】如图,由已知,设,BD x =则,2x AD x CD ==, 在△ABC 中,由正弦定理可得: 32sin sin xb BAC B=∠, 在△ACD 中,由正弦定理可得: 2sin()sin 2xb BAC B B=∠-. 所以3sin 2sin cos 2sin cos 222=sin sin()sin cos cos sin x x x B B B B BBAC BAC B BAC B BAC B⋅⋅⋅=∠∠-∠-∠ 化简可得:tan cos 3sin BAC B B ∠⋅=,可得: 233tan cos sin 222BAC B B ∠⋅=≤.可得2tan cos BAC B ∠⋅的最大值为32.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形和化简中的应用,能借助公共边把两个三角形联系起来是解答本题的关键,属于中档题.三、解答题21．答案见解析 【分析】利用边角互化可得24c b ==，选①：利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解；选②：利用向量数量积的定义可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解；选③：利用诱导公式以及二倍角的余弦公式可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为sin 2sin C B =，2b =，所以24c b ==，选①：因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0,A π∈，所以3A π=.所以ABC 的面积113sin 242322S bc A ==⨯⨯=. 选②：若4AB AC ⋅=，故cos 4AB AC A ⋅⋅=， 则1cos 2A =，故3A π=， 所以ABC 的面积113sin 2423222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选③：若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，则cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =（cos 1A =-舍去），故3A π=. 所以ABC 的面积113sin 2423222S bc A ==⨯⨯⨯=. 22．（1）3BC =；32ABCS =；（2）211. 【分析】（1）法一：ABC 中，由余弦定理求BC 的长，应用三角形面积公式求ABC 的面积；法二：过A 作出高交BC 于F ，在所得直角三角形中应用勾股定理求,BF FC ，即可求BC ，由三角形面积公式求ABC 的面积；（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求sin C 、cos C 、sin ADB ∠、cos ADB ∠，由sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠结合两角差正弦公式求值即可；法二：求tan C 、tan ADB ∠，再由tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角△AFD 中求sin ADB ∠，进而求sin ADC ∠，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可. 【详解】（1）法一：在ABC 中，由5,2,45b c B ==∠=︒，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得2252222a a =+-⨯⨯⨯，解得3a =或1a =-（舍），所以3BC a ==，1123sin 32222ABCSac B ==⋅⋅⋅=. 法二：（1）过点A 作出高交BC 于F ，即ABF 为等腰直角三角形，2AB =1AF BF ==，同理△AFC 为直角三角形，1,5AF AC ==2FC ∴=，故3BC BF FC =+=，13||||22ABCSBC AF =⋅=. （2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =，即52sin 45sin C=︒，得5sin 5C =，又52b c =>=，所以C ∠为锐角，法一：由上，225cos 1sin 5C C =-=，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠3254525sin cos cos sin 55ADB C ADB C =∠⋅∠-∠⋅∠=⨯-⨯=， 由图可知：DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.法二：由上，1tan 2C =，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得3tan 4ADB ∠=， ADB ADC π∠+∠=，3tan 4ADC ∴∠=-，故tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠tan()tan()tan()1tan()tan()ADC C ADC C ADC C ∠+∠=-∠+∠=--∠⋅∠312423111142⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭.法三：△AFD 为直角三角形，且4||1,cos 5AF ADB =∠=，所以2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， 5423,cos ,,sin sin 3335AF AD DF AD ADB CD ADC ADB ∴===⋅∠==∠=∠，在ADC 中，由正弦定理得，sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，故25sin DAC ∠=，由图可知DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠. 【点睛】 关键点点睛：（1）应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长，由三角形面积公式求面积；（2）综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值.23．（1）3π；（2）3. 【分析】（1）根据题设条件和正弦定理，化简得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理，求得cos A 的值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得2bc a ≤，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得22sin 22si 11tan tan n 2sin R R A R a R B R C B bcC ⋅⋅==⋅+，即可解. 【详解】（1）由()sin sin sin b c CB A b a -=-+，可得()()()sin sin sin b cC B A b a -=-+，由正弦定理得()()()b c c b a b a -=-+，即222b c a bc +-=， 由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，可得3A π=.（2）由（1）知3A π=，设三角形的外接圆的半径为R ，可得2sin 3a R A ==， 又由余弦定理得222222cos abc bc A b c bc bc =+-=+-≥，即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号， 又由11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B C B C B C B C ++=+=()sin sin sin sin sin sin B C A B C B C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=⋅2R a bc ⋅==≥=， 其中R 是ABC 外接圆的半径，所以11tan tan B C +. 24．（1）23C π=；（2）13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解.（2）利用二倍角公式以及三角形的内角和性质可得22sin sin A B +11sin 226A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）由已知及正弦定理得2(sin cos sin cos )cos sin 0A C C A C B ++=，2sin()cos sin 0A C C B ++=，因为A B C π+=-，所以sin (2cos 1)0B C +=，因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =-， 因为0C π<<，所以23C π=． （2）221cos 21cos 21sin sin 1(cos 2cos 2)222A B A B A B --+=+=-+12111cos 2cos 21cos 2cos 2223222A A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-+-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1111cos 221sin 22226A A A π⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为03A π<<，所以52666A πππ<+<，1sin 2126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 111sin 22264A π⎛⎫-≤-+<- ⎪⎝⎭，1131sin 22264A π⎛⎫≤-+< ⎪⎝⎭， 所以2213sin sin 24A B ≤+<，即22sin sin A B +的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 25．（1）1；（2）2．【分析】（1）由题意得sin sin 2sin m n A a B A =+=，即1sin sin a A B=，由正弦定理有：sin sin a b A B=，联立即可得解b 的值． （2）由平行条件得sin sin a A B =，由1cos 2C a =，则可得1cos cos 2A B a =，联立即可得解．【详解】解：（1）由题意得：sin sin 2sin m n A a B A =+=， 即得1sin sin a A B=， 在三角形中由正弦定理有：sin sin a b A B=，由以上两式可知：1b =．（2）由平行条件得sin sin a A B =，1cos cos()sin sin cos cos 2C A B A B A B a =-+=-=， 则可得到：1cos cos 2A B a =， ∴sin sin tan tan 2cos cos A B A B A B ==．26．（1）3B π=；（2）1(,12-. 【分析】 （1）根据等差数列的性质可知cos cos 2cos a C c A b B +=，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sin 2sin cos B B B =，求得cos B ，进而求得B ；（2）先利用二倍角公式及辅助角对原式进行化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的单调性求得()2sin cos A A C 2+-的范围. 【详解】因为2cos cos cos b B a C c A =+由正弦定理得， 2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+即：()sin 2sin cos A C B B +=，则sin 2sin cos B B B =，因为sin 0B ≠ 所以1cos 2B =，又0B π<< 得3B π= （2）∵3B π=， ∴23AC π+= ∴2222sin cos()2sin cos(2)3A A C A A π+-=+-=131cos 2cos 2212cos 222A A A A A --+=-=1)3A π-， ∵203A π<<，233A πππ-<-<∴sin(2)123A π-<-≤则()2sin cos A A C 2+-的范围为1,12⎛- ⎝ 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。
高中数学北师大版必修5习题：第二章解三角形 2.1.2.2 含解析
第2课时 正弦定理与余弦定理的综合应用课时过关·能力提升1.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,若b+c=2a ,3sin A=5sin B ,则C 等于( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π6 3sin A=5sin B ,化为3a=5b , ∴a=53b ,代入b+c=2a ,得c=73b.∴由余弦定理,得cos C=a 2+b 2-c 22ab =-12.∵C ∈(0,π),∴C=2π3.故选B .ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( )B.9C.8D.523cos 2A+cos 2A=0,得25cos 2A-1=0,∴cos 2A=125. ∵△ABC 为锐角三角形,∴cos A=15.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即49=b 2+36-2×6×1·b , ∴b 2-125b-13=0,解得b=-135(舍去)或b=5. D .,则新三角形的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形 D.由增加的长度确定a ,b ,c ,且a 2+b 2=c 2.三边都增加x ,则(a+x )2+(b+x )2-2+b 2+2x 2+2(a+b )x-c 2-2cx-x 2=2(a+b-c )x+x 2>0,所以新三角形中最大边所对的角是锐角,所以.中,若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C 等于( )B.45°C.135°D.45°或135°cos C=a 2+b 2-c 22ab , ∴cos 2C=a 4+b 4+c 4-2a 2c 2-2b 2c 2+2a 2b 24a 2b 2.∵a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),∴a 4+b 4+c 4-2c 2a 2-2c 2b 2=0,∴cos 2C=2a 2b 24a 2b 2=12,∴cos C=±√22. C=45°或135°.5.在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,a ·b <0,△ABC 的面积为15√34,|a |=3,|b |=5,则边BC 的长为( ) B.6 C.7 D.9S △ABC =12|a |·|b |sin A=15√34,且a ·b <0,∴sin A=√32,A=120°.∵BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A , ∴BC 2=32+52-2×3×5×(-12)=49.BC=7.6.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,如果2b=a+c ,B=30°,△ABC 的面积为3,那么b 等于( ) A.1+√32 B.1+√3C.2+√32D.2+√32b=a+c ,∴a 2+c 2=4b 2-2ac.∵S △ABC =32,B=30°,∴12ac sin B=32,即14ac=32.∴ac=6,∴a 2+c 2=4b 2-12. ∴cos B=a 2+c 2-b 22ac =4b 2-12-b 22×6=√32.b 2=4+2√3,∴b=1+√3.,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,则AB=AD ,2AB=√3BD ,BC=2BD ,则sin C 的值为()A.√33B.√36 C.√63 D.√66AB=c ,则AD=c ,BD=√3,BC=√3.在△ABD 中,cos A=c 2+c 2-43c 22c 2=13,∴sin A=2√23.在△ABC 中,AB sinC =BCsinA ,∴sin C=√66,故选D .8.在△ABC 中,BC=3,AB=2,且sinC sinB =25(√6+1),则A= .△ABC 中,设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.由题意,得a=3,c=2,且sinC sinB =25(√6+1)=cb , ∴b=225(√6+1)=√6-1, ∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =-12,A=120°.°9.在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC = .10.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且S △ABC =a 2+b 2-c 24,则C= .,可知cos C=a 2+b 2-c 22ab , ∴a 2+b 2-c 24=12ab cos C.∵S △ABC =12ab sin C=12ab cos C ,∴C=π4.△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,已知a 2-c 2=2b ,且sin A cos C=3cos A sin C ,求b.△ABC 中,sin A cos C=3cos A sin C ,则由正、余弦定理,得a ·a 2+b 2-c 22ab =3·b 2+c 2-a 22bc ·c ,化简并整理,得2(a 2-c 2)=b 2.由已知a 2-c 2=2b ,∴4b=b 2.∴b=4或b=0(舍去).★12.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°,(1)若PB=12,求PA ;APB=150°,求tan ∠PBA.由已知得,∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA 中,由余弦定理,得PA 2=3+14-2×√3×12cos 30°=74,故PA=√72.(2)设∠PBA=α,则∠PCB=α,∴PB=BC ·sin ∠PCB=sin α.在△PBA 中,由正弦定理,得AB sin∠APB =PBsin∠PAB ,即√3sin150°=sinαsin (30°-α),∴√3cos α=4sin α,∴tan α=√34,即tan ∠PBA=√34.。
高中数学北师大版必修5课时作业第2章 解三角形 13 Word版含答案
． 根据正弦定理得＝，＝＝，°＜＜°，∴＝°或°.
． ＝，＝，＝，
∴＝＝.
∴＝＝.
二、填空题
．°
解析：∵＝，∴＝＝.又∵>，∴>，∴＝°.
．
解析：根据正弦定理有＝＝＝＝(其中是其外接圆的半径)，故由已知得＝.
．°
解析：∵＝，根据正弦定理，得＝＝.
化简为－＝，
．°或°．°或°
．°或°．°或°
．在△中，若＝＝，则△的形状是()
．直角三角形
．等腰三角形
．等腰直角三角形
．等边三角形
二、填空题：(每小题分，共×＝分)
．在△中，已知＝°，＝，＝，则＝.
．在△中，已知＝，则其外接圆的直径为．
．在△中，、、分别为角、、的对边，且＝.求角的大小为．
三、解答题：(共分，其中第小题分，第、小题各分)
∴＝(＋)．
在△中，(＋)＝，∴＝.
∵°<<°，∴＝°.
三、解答题
．由得－＝－，即＝，
∴＝.∴＝.
∴＝，则＝.
由正弦定理知：＝＝.
答：＝.
．∵＝，＝，＝，∴＝，
∵＞，∴＞，
∴＝，＝±，
∴＝(＋)＝＋
＝×(±)＋×＝，
∴＝或＝，
由正弦定理＝，∴＝或.
．∵∥，∴＝.
由正弦定理得，＝＝①，
又－＝，＋＋＝π，
．在△中，＋＝＋＝，求.
.在△中，角、、所对的边分别为、、，已知＝，当＝，且＝时，求的长．
在△中，，，所对的边分别为，，，若＝()，＝(，)，且∥，－＝，
求.
一、选择题
． 由正弦定理直接判断．
． 由正弦定理＝，可知＝＝.
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§15 正余弦定理的应用
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223
C ．－
63 D.63
2．不解三角形，判断下列命题中正确的是( ) A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解 B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解 D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解
3．在△ABC 中，已知a 2
tan B ＝b 2
tan A ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
4．在△ABC 中，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 为( ) A ．60° B．90° C ．120° D．150°
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2
－b 2
＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则∠A ＝( )
A ．30° B．60° C ．120° D．150°
6．在△ABC 中，b ＝23，A ＝30°，则a 的取值范围是( ) A. [1，＋∞) B. [3，23] C. [3，＋∞) D. [1,3)
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，则直线sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是________．
8．在△ABC 中，若tan A ＝1
3
，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.
9．在△ABC 中，已知∠A >∠B >∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，则c ＝________. 三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．
11.在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
是否存在这样的三角形，三边是连续的三个偶数，且最大角是最小角的2倍？若存在，求此三角形的面积；若不存在，说明理由．
一、选择题
1．D 依题意得0°＜B ＜60°，a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝33
，cos B ＝1－sin 2
B ＝
6
3
，选D. 2．B 选项A 中，a ＝b sin A ，只有一解；选项B 中A 为钝角且a ＞b ，故只有一解；选项C 中a ＜b sin A ，无解；选项D 中c sin B ＜b ＜c ，有两解．
3．D 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin A
cos A
，
由正弦定理得4R 2
sin 2
A sin
B cos B ＝4R 2
sin 2
B sin A
cos A ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，
∴sin2A ＝sin2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，
即A ＝B 或A ＋B ＝π
2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
4．C 由已知，得(a ＋b )2
－c 2
＝ab ， ∴c 2
＝a 2
＋b 2
＋ab ＝a 2
＋b 2－2ab cos C .
∴cos C ＝－1
2
.
∵∠C ∈(0°，180°)， ∴∠C ＝120°.
5．A 根据正弦定理，由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，把它代入a 2
－b 2
＝3bc ，得
a 2
－b 2
＝6b 2
.即a 2
＝7b 2
，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b
＝3
2，又
∵0°<A <180°，∴A ＝30°.
6．C a ＝23sin30°sin B ＝3
sin B ≥ 3.(也可画图求解)
二、填空题 7．垂直
解析：两条直线的斜率分别是－sin A a ，b
sin B .
根据正弦定理，b sin A ＝a sin B ， 得－sin A a ·b
sin B ＝1，即两条直线垂直．
8.
102
解析：由tan A ＝13，得sin A ＝1010.由正弦定理得，AB sin C ＝BC sin A ，则AB ＝BC sin C sin A ＝10
2.
9.16
5
解析：由正弦定理sin2C a ＝sin C c ，cos C ＝a 2c ＝a 2
＋42
－c 2
8a ，把a ＝8－c 代入整理得5c 2
－
36c ＋64＝0，c ＝16
5
或4(∵A >C ，∴a >c ，舍去4)．
三、解答题
10．由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B ，得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac
，∴c 2＋b
2
＝a 2
，
∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ， ∴b ＝a ·c
a
，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．
综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．
11．(1)由已知△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，
由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴3sin A ＝26sin2A ＝262sin A cos A ，cos A ＝6
3
.
(2)由余弦定理可得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A 即9＝(26)2
＋c 2
－2×26×c ×
6
3
即c 2
－8c ＋15＝0，c ＝3或c ＝5.
当c ＝3时，此时B ＝90°，A ＝C ＝45°，△ABC 为等腰直角三角形，但此时不满足a 2
＋c 2
＝b 2
，故舍去，
综上，c ＝5.
12．存在符合题意的三角形．
设此三角形三边分别n ，n ＋2，n ＋4，(n 为偶数)最小角为a .由正弦定理n sin a ＝n ＋4
sin2a ，
∴cos a ＝n ＋42n ，又由余弦定理cos a ＝
n ＋2＋n ＋
2
－n
2
n ＋n ＋
，
n ＋
2
＋
n ＋2
－n
2
n ＋
n ＋
＝
n ＋4
2n
， 解得n ＝8，所以三边为8,10,12，可得三角形面积S ＝15 7.。