江苏省无锡市2020届高三上学期期末考试数学试卷【带答案】

数学试题(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈Z }，B ＝{1，2，3，4}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，且满足iz ＝9＋i(其中i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________．3. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4 人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学中午用餐平均用时为________分钟．4. 函数f(x)＝(a －1)x－3(a ＞1，a ≠2)过定点________．5. 已知等差数列{a n }(公差不为0)，其中a 1，a 2，a 6成等比数列，则这个等比数列的公比为________．6. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道做答，小李会做其中的3道题，则抽到的2道题小李都会的概率为________．7. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝1，点E 为BC 的中点，则点A 到平面A 1DE 的距离是________．(第7题)(第8题)8. 如图所示的流程图中，输出n 的值为________．9. 圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4关于直线y ＝2x －1对称的圆的方程为________________． 10. 已知正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点， 则PM →·PN →的取值范围是________．11. 双曲线C ：x 24－y23＝1的左右顶点为A ，B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连结PA 交圆O 于点Q ，设直线PB ，QB 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1＝λk 2，则λ＝________．12. 若对于任意的正数a ，b ，不等式(2ab ＋a 2)k≤4b 2＋4ab ＋3a 2恒成立，则k 的最大值为________．13. 在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，∠BAC ＞45°，点D 在线段BC 上，且CD ＝13 CB.若tan ∠DAB ＝12，则∠BAC 的正切值为________．14. 已知函数f(x)＝|x 2－1|＋x 2＋kx ＋9在区间(0，3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a－3b，3c)，向量n＝(cos B，cos C)，且m∥n.(1) 求角C的大小；(2) 求y＝sin A＋3sin(B－π3)的最大值．16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，点E为PD的中点，CD⊥DP.求证：(1) OE∥平面PAB；(2) CD⊥PA.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为4，且椭圆过点(2，53)，过点F 2且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M.(1) 求△PF 1Q 的周长；(2) 求△PF 1M 面积的最大值．18. (本小题满分16分)一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示)，其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450 m 3，深2 m ．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65 400元．(1) 求发酵池AD 边长的范围；(2) 在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4 m 和b m 的走道(b 为常数)．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．已知{a n }，{b n }均为正项数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且a 1＝12，b 1＝1，b 2＝2，当n≥2，n ∈N *时，S n －1＝1－2a n ，b n ＝2（T 2n －T 2n －1）b n ＋1＋b n －1－2T n －1.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝（b n ＋2）a nb 2n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和P n . 20. (本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x －ax ，a ∈R ，a ≠0. (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)＝0有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)． (Ⅰ) 求a 的取值范围；(Ⅱ) 求证：x 1·x 2随着x 2x 1的增大而增大．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知a ，b ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd .若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P(－2，1)在A 对应的变换作用下得到点P′(－1，2)，求矩阵A .22.(本小题满分10分)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(其中θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝2 3.设曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求AB 的长．如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，点O为AB的中点，∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝23，AD＝3.(1) 求异面直线OC与DE所成角的余弦值；(2) 求二面角ADEC的正弦值．24.(本小题满分10分)对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：e x－1>x nn！.数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. －83. 1524. (0，－2)5. 46. 127. 638. 49. (x －3)2＋y 2＝4 10. [0，1]11. －34 12. 2 2 13. 3 14. (－263，－8)15. 解：(1) ∵ m∥n ，∴ (2a －3b)cos C －3ccos B ＝0.(2分)由正弦定理可得2sin Acos C －3sin Bcos C －3sin Ccos B ＝0，(4分) 即2sin Acos C ＝3sin(B ＋C)＝3sin A ．(6分) 又A 为△ABC 的内角，∴ sin A ≠0，∴ cos C ＝32. 又C 为△ABC 的内角，故C ＝π6.(8分) (2) y ＝sin A ＋3sin(B －π3)＝sin(B ＋π6)＋3sin(B －π3)(10分)＝12cos B ＋32sin B ＋32sin B －32cos B ＝3sin B －cos B ＝2sin(B －π6)，(12分) 当B ＝2π3时，y 的最大值为2.(14分)16. 证明：(1) 连结BD ，因为底面是平行四边形，故BD 经过O 点，且点O 为BD 的中点． 又点E 为PD 的中点，所以OE∥PB.(4分) 因为OE ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以OE∥平面PAB.(6分)(2) 在平面PAD 内作PH⊥AD，由于△PAD 为锐角三角形， 设PH∩AD＝H.因为平面PAD⊥底面ABCD ，平面PAD∩底面ABCD ＝AD ，PH ⊥AD ，PH ⊂平面PAD ， 所以PH⊥平面ABCD.(8分)又CD ⊂平面ABCD ，所以PH⊥CD.(10分)而CD⊥DP，PH ∩PD ＝P ，PH ，PD ⊂平面PAD ，所以CD⊥平面PAD.(12分) 而PA ⊂平面PAD ，则CD ⊥PA.(14分)17. 解：(1) 由椭圆的焦距为4，则c ＝2，从而a 2－b 2＝4. 又椭圆过点(2，53)，所以4a 2＋259b 2＝1，即36b 2＋25a 2＝9a 2b 2，消去b ，得9a 4－97a 2＋144＝0，解得a 2＝9或a 2＝169(舍去)，所以a ＝3.(4分)则△PF 1Q 的周长为4a ＝12.(6分)(2) 由(1)得椭圆方程为x 29＋y25＝1，F 2(2，0)．设直线l 的方程为y ＝k(x －2)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(m ，0)，则R(x 2，－y 2)， 直线PR 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，则－y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，x ＝y 1（x 2－x 1）y 1＋y 2＋x 1，所以m ＝y 1（x 2－x 1）y 1＋y 2＋x 1＝y 1x 2＋y 2x 1y 1＋y 2＝2x 1x 2－2（x 1＋x 2）x 1＋x 2－4.(8分)将直线l 的方程与椭圆方程联立，并消去y ，得(5＋9k 2)x 2－36k 2x ＋36k 2－45＝0， 则x 1＋x 2＝36k 25＋9k 2，x 1x 2＝36k 2－455＋9k 2，(10分)从而m ＝2×36k 2－455＋9k 2－2×36k 25＋9k 236k 25＋9k 2－4＝－90－20＝92，(12分) S △PF 1M ＝12F 1M ·|y 1|＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪92＋2·|y 1|＝134|y 1|≤1354，所以△PF 1M 面积的最大值为1354.(14分) 18. 解：设发酵池AD 边长为x m ，则另一边长为225x m ，且x≥225x ，即x≥15.(2分)(1) 225×200＋4(x ＋225x )×150≤65 400，(4分)化简得x 2－34x ＋225≤0，解得9≤x≤25，(6分) 所以发酵池AD 边长的范围是[15，25]．(8分)(2) 发酵馆占地面积S ＝(x ＋8)(225x ＋2b)＝225＋16b ＋2bx ＋1 800x ，15≤x ≤25，(10分)令S′＝2b －1 800x 2＝2bx 2－1 800x 2＝0，解得x ＝30b ，(0，30b )30b(30b ，＋∞)S′ － 0＋ S递减递增当30b＜15，即b ＞4时，AD 边为15 m ，S 最小；(12分) 当15≤30b ≤25，即3625≤b ≤4时，AD 边长为30bm ，S 最小；(14分)当30b＞25时，即0＜b ＜3625时，AD 边长为25 m ，S 最小．(16分)答：(1) 发酵池AD 边长的范围是[15，25]．(2) 当b ＞4时，AD 边长为15 m ，S 最小；当3625≤b ≤4时，AD 边长为30b m ，S 最小；当0＜b ＜3625时，AD 边长为25 m ，S 最小．(注：答不写扣2分)19. 解：(1) 因为当n≥2，n ∈N *时S n －1＝1－2a n ，所以S n ＝1－2a n ＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n ＋1，即a n ＝2a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝12.(2分)当n ＝2时，a 1＝1－2a 2，所以a 2＝14，所以a 2a 1＝12，所以数列{a n }为等比数列，其通项公式为a n ＝12n .(4分)当n≥2，n ∈N *，b n ＝2（T 2n －T 2n －1）b n ＋1＋b n －1－2T n －1，所以(b n ＋2T n －1)(b n ＋1＋b n －1)＝2(T 2n －T 2n －1)，所以(T n ＋T n －1)(b n ＋1＋b n －1)＝2(T 2n －T 2n －1)．因为T n ＋T n －1＞0，所以b n ＋1＋b n －1＝2(T n －T n －1)＝2b n ，(6分)所以数列{b n }为等差数列，且b 1＝1，b 2＝2，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n.(8分) (2) 因为c n ＝b n ＋2b 2n ＋b n a n ＝n ＋2（n 2＋n ）·2n ＝1n·2n －1－1（n ＋1）·2n ，(12分)所以P n ＝(11×1－12×2)＋(12×2－13×22)＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n·2n －1－1（n ＋1）·2n ＝1－1（n ＋1）·2n ， 即P n ＝1－1（n ＋1）·2n .(16分)20. (1) 解：因为f′(x)＝1x －a ＝1－axx，x ＞0，当a ＜0时，f ′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2分) 当a ＞0时，x ∈(0，1a )，f ′(x)＞0，x ∈(1a ，＋∞)，f ′(x)＜0，所以f(x)在(0，1a )上单调递增，在(1a ，＋∞)上单调递减．综上，当a ＜0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，1a )，单调递减区间为(1a ，＋∞)．(4分)(2) (Ⅰ) 解：由(1)可知：当a ＜0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)至多有一个零点，不符合；(5分) 当a ＞0时，f(1a)＝－ln a －1，① 若f(1a )＝－ln a －1＜0，即a ＞1e 时，f(x)＜0恒成立，所以函数f(x)无零点，不符合；② 若f(1a )＝－ln a －1＝0，即a ＝1e 时，f(x)只有一个零点，不符合；③ 若f(1a )＝－ln a －1＞0，即0＜a ＜1e 时，此时1a ＞e.f(1)＝－a ＜0，所以f(x)在(0，1a )上只有一个零点，(8分)f(1a 2)＝2ln 1a －1a ，设1a＝t ＞e ，则g(t)＝2ln t －t ， 因为g′(t)＝2t －1＝2－t t ＜0，g(t)在(e ，＋∞)上单调递减，g(t)＜g(e)＝2－e ＜0，即f(1a2)＜0，所以f(x)在(1a ，1a 2)上只有一个零点，(9分)即0＜a ＜1e 时，f(x)有两个零点，函数有两个零点．综上，0＜a ＜1e 时，函数有两个零点．(10分)(Ⅱ) 证明： 因为函数f(x)有两个零点x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ln （x 1x 2）＝a （x 1＋x 2），ln x 2x 1＝a （x 2－x 1），两式相比可得ln(x 1x 2)＝（x 2＋x 1）lnx 2x 1（x 2－x 1）.(12分)令x 2x 1＝t(t ＞1)，则设ln(x 1x 2)＝（t ＋1）ln t（t －1）＝m(t)，m ′(t)＝t －1t －2ln t （t －1）2. 设φ(t)＝t －1t －2ln t ，φ′(t)＝1＋1t 2－2t ＝t 2－2t ＋1t 2＞0， 所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，φ(t)＞φ(1)＝0，(14分)即m ′(t)＞0，m(t)随着t 的增大而增大， 所以ln(x 1x 2)随着x 2x 1的增大而增大．又e ＞1，即x 1·x 2随着x 2x 1的增大而增大．(16分)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，c ＋d ＝5.(2分) 又⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝－1，－2c ＋d ＝2，(4分) 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4，(8分)∴ A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2314.(10分)22. 解：由ρcos (θ－π3)＝23可得ρ(cos θcos π3＋sin θsin π3)＝23，即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋3y －43＝0；(4分) 曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝16，(6分) 所以圆心到直线的距离为d ＝432＝23，(8分)所以AB ＝216－12＝4.(10分)23. 解：∵ AB＝23，∠EAB ＝30°，∠AEB ＝90°， ∴ EB ＝3，AE ＝3.以点E 为坐标原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系， 则E(0，0，0)，A(0，3，0)，B(3，0，0)，C(3，0，3)，D(0，3，3)，O(32，32，0)，(1) OC →＝(32，－32，3)，DE →＝(0，－3，－3)，∴ |OC →|＝23，|DE →|＝32， ∴ OC →·DE →＝92－9＝－92，∴ cos 〈OC →，DE →〉＝OC →·DE →|OC →||DE →|＝－9223×32＝－68，(2分)∴ 异面直线OC 与DE 所成角的余弦值68.(4分) (2) 设平面DCE 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z)，CE →＝(－3，0，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝3x －3y ＝0，m ·CE →＝－3x －3z ＝0，取x ＝3，得m ＝(3，1，－1)．(6分)平面EAD 的一个法向量n ＝(1，0，0)，(8分)∴ cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝35×1＝155， ∴ sin 〈m ，n 〉＝105， ∴ 二面角ADEC 的正弦值为105.(10分) 24. 证明：① 当n ＝1时，只需证e x －1＞x ，设f(x)＝e x －1－x(x ＞1)，则f(1)＝0.而x ＞1时，f ′(x)＝e x －1－1＞0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(2分)因此x ＞1时，f(x)＞0，即e x －1＞x.(4分)② 假设n ＝k 时不等式成立，即ex －1＞x k k ！， 则当n ＝k ＋1时，设h(x)＝ex －1－x k ＋1（k ＋1）！，(6分) 所以h′(x)＝ex －1－（k ＋1）x k （k ＋1）！＝e x －1－x k k ！＞0， 故h(x)＝e x －1－x k ＋1（k ＋1）！在(1，＋∞)上单调递增． 又h(1)＝1－1（k ＋1）！＞0， 则h(x)＝e x －1－x k ＋1（k ＋1）！＞0，即e x －1＞x k ＋1（k ＋1）！，n ＝k ＋1时也成立． 综上，对任意的x ＞1，n ∈N *，都有ex －1＞x nn ！.(10分)。