河南省漯河高中高一数学竞赛试题

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河南省漯河市高级中学2022-2023学年高一上学期学科竞赛数学试题

漯河高中2022-2023学年（上）高一年级学科竞赛数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.每小题只有一个正确选项）1．设集合{}21,A x x n n ==+∈N ，{}41,B x x n n ==+∈N ，则=B C A （）A ．{}41,x x n n =+∈NB ．{}42,x x n n =+∈NC ．{}43,x x n n =+∈ND ．∅2．已知函数f (x )＝11x +，则函数f [f (x )]的定义域是()A．{}1x x ≠- B.{}2x x ≠- C.{x|x≠－1或x≠－2} D.{x|x≠－1且x≠－2}3．设2202020222021a ⨯=，2202120232022b ⨯=，2202220242023c ⨯=，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<4.设函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）＝f（x+2），且当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣x（x+2）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤3，则m 的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．[，+∞）5．已知:0+>p x y ，:))0+++>q x y ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知函数f （x ）＝x 2﹣2（a +1）x +a 2，g （x ）＝﹣x 2+2（a ﹣1）x ﹣a 2+2，记H 1（x ）＝，H 2（x ）＝，则H 1（x ）的最大值与H 2（x ）的最小值的差为（）A ．﹣4B ．4C ．a 2﹣a +4D ．a 2+a +8二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)7.已知关于x 的一元二次不等式()22120ax a x --->，其中0a <，则该不等式的解集可能是（）A.∅B.12,a ⎛⎫-⎪⎝⎭C.()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.1,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭8.若1a b >>，01c <<，则（）A.c ca b > B.c cab ba > C.log log b a a c b c < D.log log a b c b c<9.定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，下列命题中正确的有（）A.若0a >，0b >，则()ln lnln ab a b +++=+；B.若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=；C .若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥-⎪⎝⎭；D.若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2n a b a b +++++≤++.10．设函数()f x=，则下列说法正确的是（）A ．若0a <，则()f x 在[0,1]上单调递减B ．若(0,1)a ∈，()f x 无最大值，也无最小值C ．若1a =，则()f x ≤D ．若1a >，则min 1()(f x f a=三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.每一题请给出最简答案）11.函数()||f x x a a=++为奇函数，则a 的取值范围是__________.12.光线通过某种玻璃，强度损失10%．要使光线强度减弱为原来的15，至少要通过____块这样的玻璃．（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈．）13.已知函数2()1f x a =-)1(±=a ，在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是.14．已知函数2||,,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是______.15.设[]x 表示不超过x 的最大整数（如：[]22=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的*n ∈N ，定义()[]()()[]()1111x n n n n x C x x x x --+=--+ ，[)1,x ∞∈+，则当3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8xC 的值域是_____.16.设,a b ∈R ．若当||1x ≤时，恒有2|()|1x a b -+≤，则a b +的取值范围是_____.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分15分）计算下列各式的值：（1）132(12)-+116(12)-+18(12)-+14(12)-+12(12)-+；.18.（本题满分15分）已知二次函数f (x )=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c ,使f(c)＞0，求实数p 的取值范围.19.（本题满分20分）已知函数()2x xa tf x a +=（0a >，1a ≠）是奇函数.（1）若()10f <，对任意[]0,1x ∈有()212f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 的取值范围；（2）设()()22log x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦（0m >，1m ≠），若()312f =，问是否存在实数m 使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.20.（本题满分20分）设关于x 的方程2220x tx --=的两根为,αβ（αβ<）.已知函数24()1x tf x x -=+，（1）求()f α和()f β；（2）求证：()f x 在[,]αβ上是增函数；（3）对任意正数12,x x ，求证：12121212|()()|2||x x x x f f x x x x αββααβ++-<-++.。

高一数学下学期竞赛试题

一中2021年下学期高一数学竞赛试题一、选择题〔一共8题，每一小题4分〕1．集合M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+013|x x x ，N ={}3|-≤x x ，那么集合{}1|≥x x =〔〕A ．N M ⋂B ．N M ⋂C ．C R )(N M ⋂D ．C R )(N M ⋃2．假设函数)1(-=x f y 的图像与函数1ln +=x y 的图像关于直线x y =对称，那么=)(x f 〔〕 A ．12-x eB ．x e 2C ．12+x eD ．22+x e3．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，那么不等式0)()(<--xx f x f 的解集为〔〕 A ．),1()0,1(+∞⋃-B ．)1,0()1,(⋃--∞C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)0,1()0,1(⋃-4．假设直线0=++c by ax 通过第一、二、三象限，那么〔〕 A ．0,0>>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0><bc abD ．0,0<<bc ab5．设有直线n m ,和平面βα,，以下四个命题中正确的选项是〔〕 A ．假设,//,//ααn m 那么n m //B ．假设,//,//,,ββααn m n m ⊂⊂那么βα//C ．假设,,a m ⊂⊥βα那么β⊥mD ．假设,,,αββα⊄⊥⊥m m 那么α//m 6．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，那么BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为〔〕 A ．36B ．552 C ．515 D ．510 7．连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为34,72，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有以下四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于M 。

高一数学竞赛试题参考答案

高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立，当a ＝0时，－3≠0成立；当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

漯河高中高一第二次学科联赛任付中

漯河高中高一第二次学科联赛物理试题命题人任付中（时间90分钟满分：100分） 2012. 05. 20一、选择题（本题共60分，全部选对得5分，选不全的得3分，有选错的得0分） 1、下列关于作用力、反作用力的做功问题中，说法正确的是（） A ．作用力做功，反作用力也必定做功 B ．作用力做正功，反作用力一定做负功C ．作用力做功的数值一定等于反作用力做功的数值D ．单纯根据作用力的做功情况不能判断反作用力的做功情况2、斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，如图所示，ab ＝bc ＝cd ，从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点，若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（） A ．b 与c 之间某一点 B ．c 点 C ．c 与d 之间某一点 D ．d 点 3．如图所示，在向右运动的汽车上，一个人用力向前推车，若人与车始终保持相对静止，则下列说法正确的是（）Ａ．当车匀速运动时，人对车不做功Ｂ．当车加速运动时，人对车做正功Ｃ．当车减速运动时，人对车做负功Ｄ．不管车做何种运动，人对车都做正功4．小球P 用一根不可伸长的细绳拴住，绳的一端固定在O 点，Q 为一个斜面体。

P 与Q 的粗糙斜面接触，现用水平外力F 向左推动Q ，使它在水平光滑平面上向左移动，如图所示，在细线与斜面的方向达到平行之前的这一过程中（）A ．斜面对P 的摩擦力对P 做负功B ．斜面对P 的支持力对P 不做功C ．小球P 对斜面Q 的摩擦力对斜面不做功D ．P 与Q 间相互作用的弹力对P 所做的功与对Q 做的功绝对值相等5、如图所示，DO 是水平面，AB 是斜面，初速度为v 0的物体从D 点出发沿DBA 滑动到顶点A 时速度刚好为零；如果斜面改为AC ，让该物体从D 点出发沿DCA 滑动到A 点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与接触面之间的动摩擦因数处处相同且不为零）（）A.、大于v 0 B 、等于v 0C 、小于v 0D 、取决于斜面的倾角6．如图所示，两个质量相同的小球A 、B 分别用线悬在等高的O 1、O 2点，A 球的悬线比B 球的长，把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经最低点时（以悬点为零势能点）（） A ．A 球的动能大于B 球的动能 B ．A 球的加速度大于B 球的加速度 C ．A 球的机械能大于B 球的机械能D ．A 球受到悬线的拉力大于B 球受到的悬线的拉力7．质量为m 1、m 2的两物体，静止在光滑的水平面上，质量为m 0的人站在m 1上用恒力F 拉绳子，经过一段时间后，两物体的速度大小分别为v 1和v 2，位移的大小分别为x 1和x 2，如图所示．则这段时间内此人所做的功的大小等于（） A ．F x 2 B ．F(x 1+x 2)C ．21102222121v m m v m ）（++D ．22221v m8．汽车在平直公路上以速度v 0匀速行驶，发动机功率为P ，牵引力为F 0，t 1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t 2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动．能正确表示这一过程中汽车牵引力F 和速度v 随时间t 变化的图象是（）9、如图所示，小车内的物体质量为m =10kg ，车底板摩擦系数为0.1，物体被一根水平方向上拉伸了的弹簧拉住而静止在小车内，这时弹簧的弹力为5N ．现沿水平向右的方向对小车施以作用力，使小车由静止开始运动起来，运动中加速度由零逐渐增大到1m/s 2，在这一过程中．以下说法中正确的是（） A ．物体与小车发生相对滑动，弹簧的弹力变大 B ．物体受到的摩擦力先减小后增大C ．当小车加速度为0.5m/s 2时，物体不受摩擦力作用A B C DD ．小车以1m/s 2的加速度向右做匀加速直线运动时，物体受到的摩擦力为10N 10、2007年11月5日，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在 P 点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道绕月飞行，如图所示. 已知“嫦娥一号”的质量为 m ，远月点 Q 距月球表面的高度为 h ，运行到 Q 点时它的角速度为ω，加速度为 a. 月球的质量为M 、半径为R ，月球表面的重力加速度为 g ，万有引力常量为 G . 则它在远月点时对月球的万有引力大小为（） A 、2RMmGB 、maC 、22)(h R gmR + D 、)(2h R m +ω11．如图所示，一个质量为m 的圆环套在一根固定的水平直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个向右的初速度，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F 的作用，已知力F 的大小F ＝kv (k 为常数，v 为环的运动速度)，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功(假设杆足够长)可能为（） A ．2021mv B ．22320221kg m mv + C ．0D ．22320221kg m mv - 12．如图所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度υ0沿水平方向射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度υ运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L ，子弹进入木块的深度为s ，若木块对子弹的阻力f 视为恒定，则下列关系式中正确的是（）A ．fL ＝12Mυ2B ． fs ＝12Mυ2C ．fs ＝12mυ20－12(M+m )υ2D ．f (L +s )＝12mυ20－12mυ2v 0纸带橡皮筋二、填空实验题（每空3分，共15分）13、某同学设计一个测定平抛运动初速度的实验装置，设计示意图如图所示，O 点是小球抛出点，在O 点有一个频闪的点光源，闪光频率为30 Hz ，在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，在小球抛出后当光源闪光时，在毛玻璃上有一个小球的投影点，在毛玻璃右边用照相机多次曝光的方法，拍摄小球在毛玻璃上的投影照片．已知图中O 点与毛玻璃水平距离L ＝1.2m ，两个相邻小球投影点的实际距离Δh ＝5cm ，则小球在毛玻璃上投影像点做运动，小球平抛运动的初速度是 m/s ．14、探究力对原来静止的物体做的功与物体获得的速度的关系，实验装置如图所示，实验主要过程如下：（1）设法让橡皮筋对小车做的功分别为W 、2W 、3W 、；（2）分析打点计时器打出的纸带，求出小车的速度1v 、2v 、3v 、；（3）作出W v -草图；（4）分析W v -图像。

河南省漯河市高级中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题

河南省漯河市高级中学2023-2024学年高一上学期1月月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
6．2021年是中国共产党建党100周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展．某学校高一年级举办了班级合唱活动．现从全校学生中随机抽取部分学生，并邀请他们为此次活动评分（单位：分，满分100分），对评分进行整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）
A ．
0.028
a =B ．若该学校有3000名学生参与了评分，则估计评分超过90分的学生人数为600C ．学生评分的众数的估计值为85D ．学生评分的中位数的估计值为83
()31-=
10
n =
【详解】（1）设甲组插花作品所得分数的中位数为x，
由频率分布直方图可得甲组得分在前三个分数区间的频率之和为0.3，在最后三个分数区间的频率之和为0.26，故[)
xÎ，
84,88
所以()840.1100.50.3
x».
x-´=-，解得85.82
即估计甲组插花作品所得分数的中位数为85.82
（2）由频率分布直方图可知，甲组插花作品的最后得分约为
()´+´+´+´+´+´+´
0.010740.025780.040820.110860.040900.020940.00598
´=
485.6
由乙组插花作品所得分数的频数分布表，得下表。

河南省2020学年高一数学上学期期末竞赛选拔考试试题

高一年级竞赛考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知集合{}{}332,6,4,2,0<∈==xN x B A ，则集合A B 的子集个数为( )A.4B. 6C. 7D. 8 2、函数lg(1)1x y x +=-的定义域是（）A . (1,)B . [1,)C . (1,1)(1,)D . [1,1)(1,)-+∞-+∞-+∞-+∞3．已知直线a x y l 2:1+-=与直线2)2(:22+-=x a y l 平行，则a 的值为( ) A ．3± B. 1± C. 1 D. 1-4.设a ， b 是两条不同的直线， α， β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A. 若//αβ， a α⊂， b β⊂，则//a b B. 若//a α， b β⊥，且αβ⊥，则//a b C. 若a α⊥， //a b ， //b β，则αβ⊥ D. 若a b ⊥， a α⊂， b β⊂，则αβ⊥5. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是( )A ．4 cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 36．半径为R 的半圆做成一个圆锥面（无重叠），则由它围成的圆锥的体积为（）A 3RB 3RC 3RD 3R 7.已知⎩⎨⎧≥<+-=1log 14)13()(x xx a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（）A ．)1,0( B. )31,0( C.)31,71[ D.)1,71[ 8.圆心为)1 , 1(-M 且与直线027=+-y x 相切的圆的方程为( ) A ．2)1()1(22=++-y x B ．2)1()1(22=-++y x C ．100)1()1(22=++-y x D ．100)1()1(22=-++y x9. 已知三棱锥P ABC -的三条棱PA ,PB ,PC 长分别是3、4、5，三条棱PA ,PB ,PC 两两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ( ) A ．25π B.50π C. 125π D.都不对10.已知函数)(x f 的图象向右平移a (0>a )个单位后关于直线1+=a x 对称，当112>>x x 时，[]0)()()(1212<--x x x f x f 恒成立，设)21(-=f a ，)2(f b =)，)(e f c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b a c >>B.c a b >>C.b c a >>D. a b c >>11. 四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于（）A ．090B ．060C ．045D ．03012. 已知偶函数)(x f 的定义域为}{0≠∈x R x x 且， ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2),2(2120,12)(1x x f x x f x ，则函数)1(log )(4)(7+-=x x f x g 的零点个数为（）．A. B. C. D. 二、填空题 (每小题5分，共20分)13.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且0x >时，则当0x <时，()f x =14.光线由点P （2，3）射到直线1-=+y x 上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在的直线方程为15、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD=a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 16、在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．三、解答题（共70分。

河南省漯河市高级中学2023-2024学年高一下学期7月月考数学试卷(含解析)

漯河市高级中学2023-2024学年高一下学期7月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知两个非零向量，在方向上的投影向量为( )B. C. D.2．在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体（如图2）.设这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为3cm ，若半球的体积不小于圆柱体积，则S 的取值范围是( )A. B. C. D.4．过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有( )A.4条B.5条C.6条D.7条5．已知函数在一个周期内的图象如图所示；若为偶函数，则的值可以为( )A.a b b a +=- 2b - b2b12b- 2b- 32i2iz -=-2cm S [)24π,+∞(]18π,24π(]18π,30π[)30π,+∞P ABCD -PBD ()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()y f x θ=+θπ6．如图，正四面体的棱长为2，在上有一动点E ，过E 作平行于底面的截面，以该截面为底面向下挖去一个正三棱柱，则该正三棱柱侧面积的最大值为( )7．如图所示；测量队员在山脚A 测得山顶P 的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走到达B 处，在B 处测得山顶P 的仰角为.若，，，（参考数据：，，，，），则山的高度约为( )A.181.13B.179.88C.186.12D.190.218．已知非零不共线向量，，则的取值范围为( )A. B. C. D.；复数对应点为，D.点在以原点O 为圆心；以2为半径的圆上A BCD -AB BCD αβ200m γ45α=︒34β=︒75γ=︒sin340.56︒≈sin410.66︒≈cos340.83︒≈cos41︒≈ 1.41≈1.73≈a b 2b -= a b ⋅3,84⎛⎫-⎪⎝⎭2,83⎛⎫-⎪⎝⎭()1,8-8,89⎛⎫-⎪⎝⎭(11,=2z Z 2()21z =22Z10．在三棱锥中，.记二面角、、的大小分别为、、，V 为三棱锥的体积，则下列结论正确的是( )C. D.11．如图；正方体的棱长为2，M 是侧面上的一个动点（含边界）；点P 在棱上；则下列结论正确的有( )，三棱锥被正方体三、填空题12．在中，若，则角A 的最大值为______.13．设中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，为边上的中线；已知且，.则______.四、双空题14．为以C 为直角顶点的直角三角形，且，，P 为上一动点，沿将三角形折起形成直二面角，当长度最短时，______，此时二面角的平面角的正弦值为______.P ABC -11123PA PB PC ===B PA C --C PB A --A PC B --A θB θC θP ABC -=sin sin sin A V APB APC θ=⋅∠⋅∠cos sin sin B V BPA BPCθ=⋅∠⋅∠ABCD A B C D -''''ADD A ''CC 'PC '=1PC '=B '-PC '=PM '⊥PC '=AD P 'ABCD A B C D -'''ABC △3AB BC BC AC ⋅=⋅ABC △AD BC 1c =12sin cos sin sin sin 4A B a A b B b C =-+tan BAD ∠=AD =ABC △4AC =5BC =AB CP ACP A CP B '--A B 'ACP ∠=A BC P '--五、解答题15．如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，为底面直径，.若是底面的内接正三角形，P 为上一点，.（1）求该圆锥的表面积；（2）求三棱锥的体积.16．已知函数的最大值为；（1）求常数m 的值；（2）若在上单调递增；求a 的最大值.17．如图；正四棱柱中；；点P 为的中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.18．在平面四边形中；；（1）若四边形圆内接四边形；求；（2）求四边形面积最大值.为AE 4AE AD ==ABC △DO 13PO DO =D APB -()π2sin cos 3f x x x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2m ()f x []()0,0a a >1111ABCD A B C D -12AA AB =1DD 1//BD PAC 1BC APC ABCD 2AB BC CD ===AD =ABCD AC ABCD19．如图；在三棱柱中；侧面为矩形.（1）若面；，，求证：；（2）若二面角的大小为；，且和平面所成角为；问当变化过程中请说明理由.ADP BCQ -ABCD PD ⊥ABCD PD AD ==2NC PN =DN BN ⊥Q BC D --θπ2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2AD AB =⋅QCB αθα参考答案1．答案：D.解得故选D 2．答案：D 解析：，其在复平面内对应的点为，在第四象限.故选D 3．答案：C解析：设圆柱的高为，因为半球的体积不小于圆柱体积，，解得，即.所以.故选：C.4．答案：C解析：如图，设E ，F ，G ，H ，I ，J ，M ，N 为相应棱的中点，则，且平面，平面，所以平面，同理可得：，，，，与平面平行，由图可知：其他的任意两条棱的中点的连线与平面相交或在平面内，所以与平面平行的直线有6条.故选C.2b a =- 2222a b a b a⋅=+- a b ⋅= 2222222a b b b b b b b b ⋅--===- 32i (32i)(2i)8i 81i 2i (2i)(2i)555z --+-====---+81,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(0)h h >3233h ≥π⨯⨯2h ≤(0,2]h ∈(]2232318,30S h =π⨯+π⨯⨯∈ππ//NE PB NE ⊂/PBD PB ⊂PBD //NE PBD HE NH GF MF MG PBD PBD PBD PBD5．答案：B解析：根据函数，在一个周期内的图象，可得.若，即，故的值可以为，故选：B.6．答案：A解析：如图，设正三棱柱为，其上下底面的中心为O ，，由于为正三角形，故也为其中心，设正三棱柱底面正三角形边长为x ，，由题意可知为正三角形，故，所以，又所以正三棱柱的高为故该正三棱柱侧面积为$()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭A=12243ωππ=⋅=ω=23ϕπ+=ϕ=()26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()226x y f x θθπ⎛=+=++ ⎝6k π=π+∈Z 2k θ=π+∈Z θ43π-EFG E FG ''-O 'BCD △O '(0,2)x ∈AEG △AE EG x ==2BE x =-223O B '==23E x '==O B O E ''''=-=EFG E F G '''-)h x ===-)23))2S x x x x x x =-=-=-+当时，取到最大值为1，故.故选：A.7．答案：C解析：在三角形中，，，所以故选：C.8．答案：D，，则，又非零向量，不共线，1x =22y x x =-+)22S x x =-+ABP 180ABP γβ∠=︒-+()180()180()180BPA ABP αβαβγβγα∠=︒---∠=︒---︒-+=-sin ABAPB=∠sin sin AB ABP AP APB ∠==∠sin sin()sin 45sin 41sin 20041186.12sin()sin 30PQ AP ABαγβαγα-︒︒===⨯=︒≈-︒2b =22224b a a b b -=-⋅+= 2522a b b ⋅=- a b 2则所以.故选：D.9．答案：ABD解析：对于A ，由题意得：，故A 正确；对于B ，，，，故B 正确；对于C ，设，得，，故C 错误；，，在以原点O 为圆心，以2为半径的圆上，故D 正确.故选：ABD.10．答案：AC解析：过点C 作平面，垂足为H ，过H 分别作棱，的垂线，垂足分别为D ，E ，连接，，因为平面，平面，则，又因为，，平面，2b >> 2582,829a b b ⎛⎫⋅=-∈- ⎪⎝⎭11z =-12OZ ==221(12z =-=--212z ∴=-+1=()212z =-+2i z a b =+,a b ∈R 2224a b +=21z z ∴==1===2224a b ∴+=2Z ∴CH ⊥PAB PA PB CD CH CH ⊥PAB PA ⊂PAB CH PA ⊥DH PA ⊥CH DH H = ,CH DH ⊂CDH所以平面，且平面，可得，同理平面，，所以，，可得，，且，即$又因为所以，故C 正确；同选项A 分析得：同选项C 分析得：，显然不一定相等，故D 错误；故选：AC.11．答案：BCD解析：对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接，PA ⊥CDH CD ⊂CDH PA CD ⊥PB ⊥CEH PB CE ⊥A CDH θ=∠B CEH θ=∠sin CD PC CPA =∠sin CE PC BPC =∠sin sin A B CH CD CE θθ==sin sin sin sin A B PC CPA PC BPC θθ∠⋅=∠⋅=111sin sin 332PAB A V CH S CD PA PB APBθ=⋅=⨯⋅∠△11sin sin sin 32A PC CPA PA PB APB θ=∠⋅⨯⋅∠113sin sin 12sin 32A CPA APB θ=⨯∠⋅⨯⨯⨯∠sin sin sin A APB APCθ=⋅∠⋅∠sin sin sin A V APB APC θ=⋅∠⋅∠sin sin sin sin A BBPC CPA θθ==∠∠=sin sin sin B V BPA BPC θ=⋅∠⋅∠sin B θsin sin B BPA BPC θ⋅∠⋅∠AP，所以中，，，则外接圆半径为r ，则由正弦定理知：又平面，设三棱锥的外接球半径为R ，则的外接球表面积，故B 正确；对于C ，如图：因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，，平面.所以平面，所以过点P 作交交于G ，过G 作交交于F ，所以平面，同理可得平面，，平面，所以平面平面，所以平面，取，，，=<1BPB '△PB BP '==2BB '=sin PBB '∠==BPB '2sin PB r PBB '=='∠=AB ⊥BPB 'B ABP '-222251216AB R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭B ABP '-24144S R =π=πDD '⊥ABCD AC ⊂ABCD DD AC '⊥AC BD ⊥DD BD D '= ,DD BD '⊂DD B 'AC ⊥DD B 'BD '⊂DD B 'AC BD '⊥BD AB ''⊥AC AC A '= ,AC AB '⊂ACB 'BD '⊥ACB '//PG CD CD //GF AC AD //PG ACB '//GF ACB 'GF PG G = ,GF PG ⊂PFG //PGF ACB 'BD '⊥PFG AE A Q C K '''===EQ QK KP EF，则E，Q，K，P，E，F均在平面上，则M的运动轨迹为线段，由于平面，平面，所以，由点P在棱，可得对于D，如图：延长，交于点H，连接交于I，连接，，所以为梯形为等腰梯形，设梯形的高为h，则，所以故选：BCD.解析：PGF EF BD'⊥PFG PM⊂PFG BD PM'⊥CC12PC'=1,2DG DF AF AE===34A D'=DC D P'AH BC PI~PCH D DH'△△||||||||PH PC HCD H DD DH===''~ICH ADH△||||||||HC IHDH AH===||||||IH PIAH AD=='//AD AIPD'=AIPD'h===()1122AIPDS AD IP h'=⨯+==3AB BC BC AC⋅=⋅()3()AB BA AC BA AC AC∴⋅+=+⋅2233AB AB AC AB AC AC∴-+⋅=-⋅+2243AB AC AB AC∴⋅=+时取等号，且，解析：因为且，由正弦定理及余弦定理可得整理可得，因为，所以设，则，所以而，所以，解得||3||cos 4||4||AB AC A AC AB ∴=+≥|||AB AC =(0,)A ∈π1c =12sin cos sin sin sin 4A B a A b B b C =-+2222212,24a cb a a b bc ac +-⋅=-+4b =tan BAD ∠=cos BAD ∠==BAC θ∠=1()2AD AB AC =+AD ===2111111()14cos 2cos 222222AB AD AB AB AC AB AB AC θθ⋅=⋅+=+⋅=+⨯⨯=+ cos cos AB AD AB AD BAD AD BAD ⋅=⋅⋅∠=⋅∠ 12cos 2θ=+cos θ=AD =228210AD -⨯= AD =解析：如图，在平面内作于H ，连结因为二面角为直二面角，平面，故，，设，则，，在中，由余弦定理可得故当，垂足为M ，连接.则二面角的平面角为，，故15．答案：（1）；解析：（1）圆锥底面周长为，底面积为，侧面展开为以D 圆心，半径，弧长为的扇形，所以侧面积为所以该圆锥的表面积为.A CP 'A H CP '⊥BHA CPB '--A H '∴⊥BCP A H BH '⊥222A B A H BH ''∴=+ACP α∠=4sin A H α'=4cos CH α=BCH △()22222cos 9016cos 2540sin cos BH CH BC CH BC αααα=+-⋅⋅︒-=+-2222216sin 16cos 2540sin cos 4120sin 2A B A H BH a αααα''=+=++-=-α=A 'BC ⊥A M 'A BC P '--A MH '∠4sin4A H π'==sin 4cos sin 2444MH CH πππ=⋅==tan A H A MH MH ''∠==sin A MH '∠=12π4π4S =π底面4AD =4π14482S =⨯⨯π=π侧面12S S S =+=π表侧面底面（2）直角三角形中，，，所以16．答案：（1）解析：（1）由于函数由于，故函数的最大值为，解得（2）由于，，解得；故函数的单调递增区问为，；ADO 4AD =2AO =DO =23DP DO ==13DO ==1122sin1si 2022n ABO BO AOB S AO ==⨯⨯⋅⨯︒=△1111433333ABO ABO ABO D APB D ABO P ABO S S V V V DO O S P DP ---⨯=-=-==⨯⨯=△△△1m =1()2sin cos 2sin cos 32f x x x m x x x m ⎛⎫π⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin cos sin 2cos 2)sin 223x x x m x x m x m π⎛⎫=+=-+=++-⎪⎝⎭1sin 213x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x 12m m +-=1m =222232k x k πππ-+π≤+≤+π()k ∈Z 512k x k π-+π≤≤π+)k ∈Z ()f x 5,1212k k ππ⎡⎤-+ππ+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z故，故取，则故，17．答案：（1）证明见解析；解析：（1）证明：设和交于点O ，则O 为的中点，连接，P 是的中点，，又平面，平面，直线平面，（2）设，则三角形为正三角形，设点D到平面的距离为d ，由等体积法：，，则由点P 为中点，所以点D ，到平面距离相等，由，所以直线与平面所成线面角与直线与平面所成线面角相等，设直线与平面所成线面角为，所以直线与平面[]50,,1212a k k ππ⎡⎤⊆-+ππ+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 0k =[]50,,1212a ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦0,12a π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦AC BD BD PO 1DD 1//PO BD ∴PO ⊂ PAC 1BD ⊄PAC ∴1//BD PAC 124AA AB ==APC AP AC PC ===2APC S AP ==△APC P ADC D APC V V --=13ADC APC PD S d S ⋅=⋅△△ADC APC PD S d S ⋅===△△1D APC 11//AD BC 1BC APC 1AD APC 1AD APC θ1sin d AD θ==∴1BC APC18．答案：（1）解析：（1）连接，在中，由余弦定理知，，在中，由余弦定理知，，所以，即，又四边形为圆内接四边形，所以，即，所以，所以，所以（2）由（1）知，，所以①，因为的面积，的面积，所以四边形的而积②，由①②分别平方相加可得AC =AC ABC △2222cos 44222cos 88cos ACAB BC AB BC B B B =+-⋅=+-⨯⨯⨯=-ACD△2222cos 12422cos 16AC AD CD AD CD D D D =+-⋅=+-⨯⨯=-88cos 16B D -=-cos 1B D =-ABCD B D +=πcos cos B D =-cos B =288cos 4(1AC B =-=+AC =cos 1B D =-2cos 2B D -=-ABC △11sin 2sin 2S AB BC B B =⋅=ACD △21sin 2S AD CD D D =⋅=ABCD 122sin S S S B D =+=+()()2222244sin cos 12sin cos cos sin sin )S B B D D B D B D +=+++--当且仅当，即时，等号成立，所以故四边形19．答案：（1）证明见解析；（2）解析：（1）证明：由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，在中，设，所以，，，所以，所以，又，，平面，则平面，平面，所以.（2）在平面中，过点C 作直线，因为底面为矩形，所以，所以为二面角的平面角，且，又，平面，所以平面，在平面中，过点D 作，垂足为G ，连接，因为平面，平面，所以，又，平面，平面.所以平面.所以为直线和平面所成角，即，所以为点D 到平面的距离，且，又16)16B D =-+≤+cos()1B D +=-B D +=π2416S +≤+≤αPD ⊥ABCD BC ⊂ABCD PD BC ⊥CD BC ⊥PD CD D = ,PD CD ⊂PCD BC ⊥PQCD ND ⊂PQCD ND BC ⊥Rt PCD △PD ===3PC =2NC =1PN ==DPN CPD =∠~PDN PCD △△DN PC ⊥ND BC ⊥PC BC C = ,PC BC ⊂BCP DN ⊥BCP BN ⊂BCP DN BN ⊥QBC CF BC ⊥ABCD BC CD ⊥DCF ∠Q BC D --DCF θ∠=CF CD C = ,CD CF ⊂CDF BC ⊥CDF DCF DG FC ⊥BG BC ⊥CDF DG ⊂DCF DG BC ⊥BC FC C = BC ⊂BCQ FC ⊂BCQ DG ⊥BCQ DBG ∠BD QCB DBG α∠=DG BCQ sin DG DC θ=2cos2AD AB θ=⋅则由，可得，，，所以，，所以与平面又sin DGBDα====π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1cos 2θ⎡∈-⎢⎣21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t =∈cos θ=sin θ==1sin t α==≤=2t =PAD sin sin α≤<=。

高一数学竞赛试题

高一数学竞赛试题一、单选题1．若集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2＋2x <0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1}B ．{－1，0}C ．{－2，－1，0}D ．{－1，0，1} 2．对于任意0a >且1a ≠，函数()log (1)3a f x x =-+的图象必经过点（） A ．（4，2） B ．（2，4） C ．（2，3） D ．（3，2） 3．在ABC 中､角A ，B 均为锐角，cos sin A B >，则C ∠是（）A ．直角B ．锐角C ．钝角D ．不确定4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 5．下列说法正确的是（）A ．若0a b >>，则b b m a a m+<+ B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则11a b b a +>+ D ．若,R a b ∈，则2a b +6．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 7．已知0.22a -=，ln3b =，0.2log 3c =，则（）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．若关于x 的方程(||)1x x a +=有三个不同的实数解，则实数a 的可能取值（） A ．－5B ．－2C ．2D ．3二、多选题9．下列命题正确的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α<π2 ＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α 10．已知函数)123f x =，则（） A ．()17f = B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258- D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 11．命题“x R ∀∈，则2x <”的一个必要不充分条件是（）A ．1x <B ．3x <C ．3x >D ．5x ≤12．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则下列说法正确的是（）A ．41a b +的最小值为9B ．222a b +的最小值为23CD三、填空题 13.函数()f x =______.14． 3log 5lg5lg321-+=____________ 15．223(8)--⨯ __． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．四、解答题17．已知集合{}1A x x =≥，集合{}33,B x a x a a R =-≤≤+∈.（1）当4a =时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知α为第三象限角，且3sin cos tan()22()sin tan(2)2f ππαααπαπαπα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()f α=，求cos()πα+的值.19．已知函数2()21f x x ax =+-，[1,1]x ∈-.（1）若12a =，求函数()f x 的最值；（2）若a ∈R ，记函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 关于a 的函数解析式.20．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件（025x <≤）并全部销售完，每千件的销售收入为()R x （单位：万元），且21108(010),3()17557(1025).x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩（1）写出年利润()f x （单位：万元）关于年产量x （单位：千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）21．已知函数()y f x =的图像与()log (0a g x x a =>，且1)a ≠的图像关于x 轴对称，且()g x 的图像过点(9,2).(1)求函数()f x 的解析式；(2)若(31)(5)f x f x ->-+成立，求实数x 的取值范围.22．已知函数f(x)＝log a(2＋3x)－log a(2－3x)(a>0，a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)当0<a<1时，求关于x的不等式f(x)≥0的解集．。

2022-2023学年河南省漯河市高级中学高一上学期期末考试数学模拟试题(二)(解析版)

2022-2023学年河南省漯河市高级中学高一上学期期末考试数学模拟试题（二）一、单选题1．设全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{2,2},{2,1}A B =-=-，则()U A B ⋃=（） A ．{2,1,1,2}-- B ．{2,1,0}-- C ．{1,0}- D ．{0}【答案】C【分析】根据集合运算定义先求并集，再求补集即得．【详解】因为全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{2,2},{2,1}A B =-=-，所以{2,1,2}A B =-，所以(){1,0}UA B =-．故选：C ．2．已知函数()f x =[)0,∞+，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,4 B ．[]{}1,40C ．][()0,14,⋃+∞D ．[][)0,14,⋃+∞【答案】D【分析】根据复合函数的性质，由题意，可得内函数的值域，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由题意，令()()24841g x ax a x =+-+，则[)0,∞+为其值域的一个子集，当0a =时，()f x 810x +≥，解得18x ≥-，故当1,8x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ≥；当a<0时，()()24841g x ax a x =+-+，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意；当0a >时，()()24841g x ax a x =+-+，该函数为开口向上的二次函数，令0∆≥，则()284440a a --⨯≥，整理可得2540a a -+≥，即()()140a a --≥，解得1a ≤或4a ≥，此时符合题意.综上，可得[][)0,14,a ∈+∞.故选：D.3．设x ∈R ，则“1x ≥”是“20x x -≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法解20x x -≥，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由20x x -≥，可得1x ≥或0x ≤， ∴“1x ≥”是“20x x -≥”的充分不必要条件，故选：A.4．幂函数()()2222m f x m m x -=--在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-【答案】A【分析】依据题意列出关于实数m 的方程即可求得实数m 的值. 【详解】因为22()(22)m f x m m x -=--是幂函数，故2221m m --=，解得3m =或1-，又因为幂函数在(0,)+∞上单调递减，所以需要20m -<，则 1.m =- 故选：A5．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，且x y z ==，令32,,a x b y c z ===，则a ，b ，c的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【答案】D【分析】根据条件==，可设k ===，由x ，y ，z 均大于1可知0k >，从而可得出2232,3,6kkk a b c ===，利用幂函数的单调性，从而得出结论．【详解】由==，令k ===；x ，y ，z 均大于1；0k ∴>；∴2222,3,6k k kx y z ===； ∴2232,3,6kkk a b c ===；∴,3,k k k a b c ===，3>>(0)ky x k => 是单调增函数，b ac ∴>>，故选：D ．6．若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)【答案】A【详解】关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a ＜2maxx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈[1，4]；设f （x ）=2x﹣x ，x ∈[1，4]，则函数f （x ）在x ∈[1，4]单调递减，且当x=1时，函数f （x ）取得最大值f （1）=1；所以实数a 的取值范围是（﹣∞，1）．故选A ．7．设sin 2cos sin 77ππαα⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，则sin 75cos 14παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【分析】根据两角差的正弦公式和同角三角函数的基本关系化简得到tan 37tanπα=，再利用两角和与差的正、余弦公式将sin 75cos 14παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭化简为tan tan tan 7tan 7παπα-+即可解题. 【详解】解：∵77sin 2cos sin ππαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin coscos sin2cos sin777πππααα-=，即sin cos3cos sin77ππαα=，∴tan 37tan πα=，∵5cos()cos ()sin()sin cos cos sin 1427777ππππππααααα⎡⎤-=-+=+=+⎢⎥⎣⎦ ∴sin cos cos sin tan tan 3tan tan 777777sin cos cos sin tan tan 3tan sin 152c tan os 7771747πππππαααπππππαααπαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭---+++====⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故选：B.8．已知函数2170()ln e e x x f x x x -⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，，，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,)-+∞B ．(,1][3,)-∞-⋃+∞C ．[1,3]-D ．(,3]-∞【答案】C【分析】由含绝对值的函数和对数函数的单调性，可求得2170()ln e e x x f x x x -⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，，的值域记为A ，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，即2()g a A ∈,结合二次不等式的解法可解得a 的取值范围【详解】,当70x -≤≤时，()1f x x =+的值域为[]0,6 当2e x e -≤≤时，()f x lnx =的值域为[]2,1-所以2170()ln e ex x f x x x -⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，，的值域记为[]2,6A =- 若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，即2()g a A ∈，即224a a -∈[]2,6-, 解得a 的取值范围为[1,3]- 故答案为：C二、多选题9．已知0a >，0b >，且2a b +=，则（） A ．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +< D2≤【答案】ABD【分析】对于A 、D 可依据待证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形式子进行推理判断；对于B ，利用分析法来判断；对于C ，观察式子结构特征，利用对数运算法则，将真数化为积的形式，利用基本不等式得出命题的真假. 【详解】对于A ，0a >，0b >，且2a b +=，12a b +=，即222a b +≥，当且仅当a b =时，等号成立，A 正确；同理对于D 1≤=2≤，当且仅当a b =时，等号成立，D 正确；对于B ，利用分析法：要证124a b->，只需证：2a b ->-，即证2a b >-，0a >，0b >，且2a b +=，0a ∴>，20b -<，B 正确；对于C ，()222222log log log log log 102a b a b ab +⎛⎫+=≤== ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，C 错误；故选：ABD.10．下列几种说法中，正确的是（） A ．“2x >”是“24x >”的充要条件B ．命题“Z x ∃∈，20x >”的否定是“Z x ∀∈，20x ≤”C ．若不等式20x ax b +-<的解集是()2,3-，则20ax x b -+>的解集是()3,2-D ．“(]3,0k ∈-”是“不等式23208kx kx +-<对一切x 都成立”的充要条件【答案】BCD【分析】根据命题的推断关系判断是否是充要条件，含有量词的命题的否定先改量词再否定结论，对选项中的命题进行计算和化简，判断选项的正误.【详解】对于A ，24x >即<2x -或2x >，所以“2x >”能推断出“24x >”， “24x >”不能推出“2x >”， “2x >”是“24x >”的充分不必要条件，A 错误.对于B ，含有量词的命题的否定先改量词再否定结论，“Z x ∃∈，20x >”的否定是“Z x ∀∈，20x ≤”，B 正确.对于C ，不等式20x ax b +-<的解集是()2,3-，则2323ab -+=-⎧⎨-⨯=-⎩，得1a =-，6b =，所以20ax x b -+>即260x x +-<，解集为()3,2-，C 正确.对于D ，若0k =，不等式可化为308-<对一切x 都成立，合题意；若0k ≠，因为23208kx kx +-<对一切x 都成立，所以2203Δ808k k k <⎧⎪⎨⎛⎫=-⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得30k -<<，综上，(]3,0k ∈-，所以D 正确. 故选：BCD.11．若()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的有（） A ．()f x 的最小正周期是π B ．方程2x π=-是()f x 的一条对称轴 C ．()f x的值域为⎡⎣D ．a ∃，0b >，对R x ∀∈都满足()()2f x a f a x b ++-=，（a ，b 是实常数）【答案】BC【分析】根据()π=2f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可判断A,根据()()π=f x f x -可判断B,根据周期性以及三角函数的性质可判断C,根据图象可判断D.【详解】对A,因为()sin cos f x x x =+，所以()πππsin cos cos +sin =222f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故π2是()f x 的一个周期，故最小正周期是π是错误的，对B ，因为()()()()πsin πcos πsin cos =f x x x x x f x -=-+-=+，故2x π=-是()f x 的一条对称轴是正确的，对C,当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ3π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故,πs 1n 42i x ⎪⎭⎤∈⎢⎥⎣⎫ ⎝⎦⎛+因此()f x ⎡∈⎣，由A 知π2是()f x 的周期，故()f x 的值域为⎡⎣，C 正确，对D ,因为当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin cos sin cos 2sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，且π2是()f x 的周期，故画出()f x 的图象如图：由图可知，()f x 没有对称中心，故不存在,a b ，使得()()2f x a f a x b ++-=，故D 错误. 故选：BC12．（多选）已知函数()42log 4,0log ,0241,2x x f x x x x x ⎧+≤⎪=<≤⎨⎪-->⎩，若方程()f x a =有六个不同的解1x ，2x ， 3x ，4x ，5x ，6x 且123456x x x x x x <<<<<，则下列说法正确的是（） A ．()0,1a ∈B ．12343x x x x ++⋅=-C ．()412234162,24x x x x x ⎡⎤-++∈⎣⎦⋅ D ．()63123,04x f x x x ⎛⎫∈- ⎪+⎝⎭【答案】AD【分析】根据解析式可得其函数图象，数形结合可得128x x +=-，341x x =以及12,x x， 3x ，4x ，5x ，6x 的取值范围，将其代入选项计算即可.【详解】如图为()f x 的函数图象由图可知当()0,1a ∈时，曲线()y f x =与直线y a =存在六个交点，即方程()f x a =有六个不同的解，故A 正确；由图及函数解析式可知，128x x +=-，且2324log log x x -=，可得341x x =，所以12347x x x x ++=-，故B 错误；由图可知()41,2x ∈，()4124423444161616828162x x x x x x x x x -++=≥⋅⋅+当且仅当44168x x =，即42x =()168g x x x +=，()()1224g g == 故())412234162,24x x x x x ⎡-++∈⎣⋅，故C 错误；由解析式可知()()36f x f x =，即236236log 41log 5x x x x =--⇒=--所以()()6263666125588x f x x x x x x x --==-+-，其中()65,6x ∈，令()258x h x x-=-，()h x 在()5,6上单调递减，所以()50h =，()364h =-，所以()63123,04x f x x x ⎛⎫∈- ⎪+⎝⎭，故D 正确. 故选：AD三、填空题13．已知38sin cos α⋅α=，且42ππα<<，则cos sin αα-=___________.【答案】12-【分析】由42ππα<<可知，sin cos αα>，再根据()2cos sin 12sin cos αααα-=-，即可求出cos sin αα-的值．【详解】因为42ππα<<，所以sin cos αα>，而()231cos sin 12sin cos 1284αααα-=-=-⨯=，所以1cos sin 2αα-=-．故答案为：12-．14．设1,2x y >->-，且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是__________. 【答案】167【分析】令1(0)x a a +=>，2(0)y b b +=>，将2212x y x y +++变形整理成141(14)7b aa b++++，再利用基本不等式即可求解.【详解】令1(0)x a a +=>，2(0)y b b +=>，则1x a =-，2y b =-，因为4x y +=，则有7a b +=，所以2222(1)(2)142412x y a b a b x y a b a b --+=+=+-++-++ 14724()a b=--++1141()()7a b a b =+++141(14)7b a a b=++++1161(577≥+⨯+=当且仅当2b a =，即714,33a b ==时取等号，则,x y 分别等于48,33时，2212x y x y +++的最小值是167. 故答案为：167. 15．若函数()()2f x x a a =-∈R 满足()()11f x f x +=-，且()f x 在[),+∞m 上单调递增，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】[)1,+∞【分析】根据()()11f x f x +=-代入化简得到1a =，得到函数解析式，确定函数的单调区间，再计算得到答案.【详解】()()2f x x a a =-∈R ，()()11f x f x +=-，故()()2121x a x a +-=--，()()2211x a x a +-=-+-，展开得到()410x a -=，故1a =.故()22,12122,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，故函数在(),1-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增. ()f x 在[),+∞m 上单调递增，故m 1≥.故答案为：[)1,+∞.16．已知函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，则实数b的取值范围是_________________________ ．【答案】(3,22)--【分析】根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，进而数形结合，将问题转化为方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，再结合二次函数零点分布求解即可.【详解】解：根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，如图：令()t f x =，因为方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，所以方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，故令()22g t t bt =++，则函数()22g t t bt =++在区间()1,2上有两个不相等的零点.所以()()100220g b g g ⎧>⎪⎪⎛⎫-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，即230204620b b b +>⎧⎪⎪-<⎨⎪+>⎪⎩，解得3b -<<-所以实数b的取值范围是(3,--.故答案为：(3,--四、解答题17．计算：（1）1210133211()(6)3274π---++-；（2）已知14x x -+=，其中01x <<，求221x x --的值. 【答案】（1）1-（2）-【详解】试题分析：（1）根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案；（2）由14x x -+=，可得2214x x -+= ，结01x 合＜＜，可得1122x x -+＝，代入可得答案．试题解析：（1）原式121313322125181343-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 151113223=-++- 1=-（2）∵14x x -+=，∴()2122216x x x x --+=++=，∴2214x x -+=，则()2122212x x x x ---=+-=，∵01x <<，∴1x x -<，∴1x x --=- 又21112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，∴1122x x -+= ∴()()1122111122224x x x x x x x x x x -----⨯-+--===-++18．已知π0,,sin 2cos 2ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭(1)求2sin24cos 2tan ααα-+的值； (2)若()0,πβ∈，且πsin 4β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求αβ+的值. 【答案】(1)2425-(2)π4【分析】（1）利用换元法及同角三角函数的平方关系，结合二倍角的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解；（2）利用两角差的正弦公式及换元法，结合同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解.【详解】（1）令 cos ,t α=则由于π0,,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以(0,1)t ∈， sin α从而2t2t =，即22154,t t -=+-于是有2540t -+=，即22)0,-=解得t =所以cos αα==所以4sin 22sin cos 25ααα=⋅==，sin 1tan cos 2ααα==，所以244124sin 24cos 24555152tan 25222ααα-⨯-==-=-++. （2）πsin cos )4βββ⎛⎫--= ⎪⎝⎭从而sin cos ββ-=sin cos ββ<，从而π 0,,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3π0,4αβ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭+，令sin t β=，则 cos 2t β⎛=∈ ⎝⎭，从而tt =，于是有22215t t ++=-，即23205t -=，即21030,Δ40410(3)160t +-==-⨯⨯-=，从而 t ==t =，即 sin ββ==，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-==因为3π0,4αβ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭+，所以π4αβ+=. 19．已知函数()21x b f x x +=+为奇函数. (1)求b 的值；(2)解关于x 的不等式()()221240f x f x x +++-->. 【答案】(1)0b = (2)32x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇函数的性质()00f =，b 求出，再证明函数()21x f x x =+是定义域在R 上的奇函数；（2）()()221240f x f x x +++-->转化为()()22124f x f x x -++>--，根据奇函数转化为()()22124f x f x x +>-+，判断单调性解不等式.【详解】（1）因为函数()21x b f x x +=+的定义域为R ，所以()00f b ==，故()21x f x x =+ 因为函数()21x f x x =+的定义域为R 关于原点对称， ()()()2211xx f x f x x x ---===-++-满足奇函数的解析式故函数()21x f x x =+是定义域在R 上的奇函数. （2）因为()()221240f x f x x +++-->所以()()22124f x f x x -++>--又因为()f x 是定义域在R 上的奇函数，所以()()222424f x x f x x --+-=-+ 故()()22124f x f x x +>-+ 在()0,∞+上任取12,x x ，设12x x <因为()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()()()()()()()2212211212222212121111111x x x x x x x x x x x x ⋅+-⋅+--⋅==+⋅++⋅+当1201x x 时，12120,10x x x x -<-⋅>所以()()()()()()12121222121011x x x x f x f x x x --⋅-=<+⋅+，即()()12f x f x <所以函数()f x 在()0,1上单调递增；当121x x <<时，12120,10x x x x -<-⋅<所以()()()()()()12121222121011x x x x f x f x x x --⋅-=>+⋅+，即()()12f x f x >所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减；又因为函数()21x f x x =+是定义域在R 上的连续奇函数所以()f x 在()(),1,1,-∞-+∞单调递减，在()1,1-上单调递增.又因为不等式()()22124f x f x x +>-+中()22211,24133x x x x +≥-+=-+≥ 所以22124x x x +<-+ 即32x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭20．已知函数ππ()2sin cos cos 2cos 266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . (1)求π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 【答案】(1)π212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； (2)()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为π7π,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用三角恒等变换可得()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据特殊角的三角函数值即得；（2）根据正弦函数的单调性结合条件即得.【详解】（1）∵ππ()2sin cos cos 2cos 266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππππsin 2cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin 6666x x x x x +++-=1sin 222sin 222x x x x ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭ π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴ππππ2sin 22sin 2121232f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）∵ππ2x ≤≤， ∴4ππ7π2333x ≤+≤，所以当4ππ3π2332x ≤+≤时，即π212π7x ≤≤时，()f x 单调递减，当3ππ7π2233x ≤+≤时，即7ππ12x ≤≤时，()f x 单调递增，故()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为π7π,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【答案】(1)(－1，1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)(0，1)．【分析】（1）结合真数大于零得到关于x 的不等式组即可求得函数的定义域；（2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于x 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．【详解】（1）要使函数有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(1,1)-；（2）函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-()f x ∴是奇函数．（3）若1a >时，由()0f x >得log (1)log (1)a a x x +>-，则1111x x x-<<⎧⎨+>-⎩，求解关于实数x 的不等式可得01x <<，故不等式的解集为(0,1)．22．已知函数()164x x f x λ=-⋅，R λ∈.(1)设()f x 在[]0,1上的最小值为M ，将M 表示为λ的函数；(2)若函数()()()214g x f x f x λ=+-++存在零点，求实数λ的取值范围.【答案】(1)21,2,284164,8M λλλλλλ-≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩ (2)[)2,+∞【分析】(1)令4x t =，[]1,4t ∈，问题转化为求函数2y t t λ=-在[]1,4上的最小值，对λ分2λ≤、28λ<<、8λ≥三类讨论，分别求得对应的M ，综合可得答案；(2)依题意，可得()164164214x x x x g x λλλ--=-⋅+-⋅++，令()0g x =，再令()442x x s s -+=≥，可转化为22120s s λλ-++=在[)2,+∞上有解，显然2s ≠，分离参数λ，利用基本不等式可得答案.【详解】（1）依题意，()164x x f x λ=-⋅()244x x λ=-⋅，[]0,1x ∈，令4x t =，则[]1,4t ∈，故问题转化为求函数2y t t λ=-在[]1,4上的最小值；当12λ≤，即2λ≤时，2y t t λ=-在[]1,4上单调递增，此时1M λ=-；当42λ≥，即8λ≥时，2y t t λ=-在[]1,4上单调递减，此时164M λ=-；当142λ<<，即28λ<<时，2y t t λ=-在1,2λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,42λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时222224M λλλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；综上所述，21,2,284164,8M λλλλλλ-≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩. （2）依题意，()()()214g x f x f x λ=+-++164164214x x x x λλλ--=-⋅+-⋅++，令()0g x =，可得()1616442140x x x x λλ--+-+++=，令()442x x s s -+=≥，则216162x x s -+=-，故22120s s λλ-++=在[)2,+∞上有解，显然2s ≠，所以()()22242161222s s s s s λ-+-++==--()1624122s s =-++≥-，当且仅当1622s s -=-，即6s =时取等号，故实数λ的取值范围为[)2,+∞.。