三角恒等变换技巧之七变

高中2008年第12期数学有数三角恒等变换是三角的精华，三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和、差、倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转化.概括起来就是：利用和、差、倍等三角公式实行各种转化，从而达到问题解决的目的，本文归纳以下七种主要的变换技巧，供同学们在学习时参考.一、变“名”三角变换的主要目的在于“消除差异，化异为同”，而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要变“名”，即化异名函数为同名函数.变换的依据是同角三角的关系式和诱导公式，切化弦、弦化切等.已知tanθ-1tanθ+1=13，求sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ的值.由已知可得tanθ=2.若由tanθ=2分别求出sinθ，cosθ的话可以解答此题，但需要对θ分别在第一、三象限两种情形进行讨论，相当繁琐且运算量大，仔细阅读sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ的话，发现这是一个关于正弦和余弦的三项齐次式，倘若能把所求的式子转化为只含有tanθ的式子，则题目就相当容易解答了.联想所学过的公式知道sin2θ+cos2θ=1，sinθ=tanθ因此得到下面的简单解法.由已知可得tanθ=2.sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ=sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ=sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ=tan2θ+tanθ+2=22+2+2=8.解答本题的关键是实施变“名”，即将sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ化成只含有tanθ的式子，从而快速解题.已知A为三角形的一个内角，且满足tan（π4+A）=12，求sin2A-cos2A2cos2A的值.因为sin2A-cos2A2cos2A是齐次式，分子分母同除于cos2A，便可得到2tan A-12，所以由已知条件只要求出tan A的值即可.由tan（π4+A）=12可得1+tan A1-tan A=12，解得tan A=-13.∴sin2A-cos2A=2tan A-1=-1-1=-5.cos2A后得到含有tan A的式子,因此达到快速解题目的.二、变“角”在三角化简、求值中，题目中的表达式中往往会出现较多的相异角，根据角与角之间的和差、倍角、互补、互余的关系，这时需要变“角”，即寻找已知条件与结论中角的差异，从而使问题获解.常见的变角方式有α=（α+β）-β，2α=（α+β）+（α-β），等等.已知tan（α+β）=25，tan（β-π5）=14，求tan（α+π5）的值.已知角为α+β、β-π5，未知角α+π5，发现有α+π5=（α+β）-（β-π5）成立，且tan（α+π5）=tan[（α+β）-（β-π）]问题便迎刃而解.因为α+π=（α+β）-（β-π），所以tan（α+π5）=tan（α+β）-tan（β-π5）1+tan（α+β）tan（β-π5）=25-141+25×14=322.通过变“角”巧妙地解答了此题.已知sinβ=m sin（2α+β），且α+β≠π2+kπ（k∈Z），α≠kπ2（k∈Z），m≠1.求证：tan（α+β）=1+m1-mtanα.已知角为β、2α+β，未知角为α+β、α，发现有β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α成立，且sin[（α+β）-α]=m sin[（α+β）+α]，又tanα=sinα，tan（α+β）=sin（α+β），所以（1+m）sinαcos（α+β）=（1-m）cosαsin（α+β），因此我们找到了解题的思路.由sinβ=m sin（2α+β），得sin[（α+β）-α]=m sin[（α+β）+α]，展开得sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=m sin 三角恒等变换技巧之七变■梅州市五华中学黄伟军泛舟学海24高中2008年第12期数学有数（α+β）cosα+m cos（α+β）sinα，整理得（1+m）sinαcos（α+β）=（1-m）cosαsin（α+β），因为α+β≠π2+kπ（k∈Z），α≠kπ2（k∈Z），m≠1.所以（1+m）sinα（1-m）cosα=sin（α+β）cos（α+β），得tan（α+β）=（1+m）（1-m）tanα.三角证明中经常要化未知角为已知角，看准角与角的关系，相当重要.哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析，本题正是抓住了“角”的变换顺利获得了证明.三、逆变在进行三角变换时，顺用公式较多，但有时若能逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式解题可以帮助我们快速开拓解题思路.已知A，B为三角形ABC的两个内角，sin（A-B）cos B+cos（A-B）sin B=1，求sin（A+π）的值.B无关，因此我们应想方设法把角B去掉.由已知条件联想所学过的知识逆用两角和的余弦公式得：sin（A-B）cos B+cos（A-B）sin B=13，即sin A=13.因为A为三角形ABC的内角，所以A可能为钝角，也可能为锐角，接下来我们便得到了题目的思路.由已知sin（A-B）cos B+cos（A-B）sin B=13，可得sin（A-B+B）=sin A=13.当A为第一象限角时，所以cos A=1-（13）2姨=232姨.所以sin（A+π）=sin A cosπ+cos A sinπ=1×1+22姨×3姨=1+26姨.当A为第二象限角时，所以cos A=-1-（13）2姨=-22姨.所以sin（A+π3）=sin A cosπ3+cos A sinπ3=13×12-22姨3×3姨2=1-26姨6.本题根据已知条件逆用两角和的余弦公式得到了sin A=13，再对A进行讨论，A可能为钝角，也可能为锐角，所以需要利用分类讨论思想方法求解.y=sin x+3姨cos x+1的周期及最大值.够作出判断，由sin x+3姨cos x=2（12sin x+3姨2cos x)联想逆用两角和的正弦公式即可得到解题思路.y=sin x+3姨cos x+1=2（12sin x+3姨2cos x)+1=2sin（x+π3）+1，所以y=sin x+3姨cos x+1的周期为2π，最大值为3.本题逆用两角和的正弦公式化简了式子，从而解答了此题.四、“1”的变换在三角函数变换过程中，“1”的作用有时是相当大的，“1”的变换主要有1=sin2θ+cos2θ，1=tan45°，1=tanθ·cosθ等等.求y=1sin2x+4cos2x的最小值.观察式子，由分母的结构我们联想到1=sin2θ+cos2θ的代换，有y=1sin2x+4cos2x=sin2x+cos2xsin2x+4（sin2x+cos2x）cos2x，于是我们找到了解题的思路.=1sin2x+4cos2x=sin2x+cos2xsin2x+4（sin2x+cos2x）cos2x=5+cot2x+4tan2x≥5+24tan2x cot2x姨=9（当且仅当tan2α=12时取等号），即函数的最小值是9.解答本题的关键是灵活应用了1=sin2θ+cos2θ，从而巧妙解答了此题.五、利用降次与升幂进行变换分析题目的结构，掌握题目结构上的特点，通过降次升幂等手段，为使用公式创造条件，也是三角变换的一种重要策略，常见的降次与升幂公式主要有cos2α=1+cos2α2，sin2α=1-cos2α2，cos4α+sin4α=1-2sin2αcos2α等.化简1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α．这道题的分子与分母部分的次数分别是4次与6次，次数较高，题目不容易下手解答，应当考虑降低式子的次数，联想学过的知识我们有cos4α+sin4α=（cos2α+sin2α）2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α，cos6α+sin6α=（cos2α）3+（sin2α）3=（cos2α+sin2α）（cos4α-sin2αcos2α+sin4α）=1-3sin2αcos2α，这样我们就容易处理问题了.因为1-cos4α-sin4α=1-（cos2α+sin2α）2+2sin2αcos2α25高中2008年第12期数学有数与升幂等三角变换手段，能快速帮助我们解答一些涉及到高次幂的三角函数问题，希望同学们在备考复习中要注重总结这种方法，以提高自己解答这类题的能力已知函数f（x）=sin2x+3姨cos x+2cos2x，x∈R.求函数f（x）的最小正周期和单调增区间.，关键是要先化简三角函数式，能得到f（x）=A sin（ωx+准）的形式，再利用周期公式及单调性的定义来解答，观察题目的条件是二次式，考虑降次，联想sin2α=1-cos2α2，cos2α=1+cos2α2，我们便得到了解题的思路.f（x）=sin2x+3姨cos x+2cos2x=1-cos x2+3姨2sin2x+（1+cos2x）=3姨2sin2x+12cos2x+32=sin（2x+π6）+32.所以f（x）的最小正周期T=2π2=π.由题意得2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ-π3≤x≤kπ+π6，k∈Z.所以f(x)的单调增区间为[kπ-π3，kπ+π6]，k∈Z.本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图像和性质等基本知识，以及推理和运算能力，这类题是高考的考查热点，解答的关键是充分利用三角公式进行降幂.六、利用数学思想方法进行变换数学思想与方法是数学知识在更高层次上的概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中.数学思想方法主要有转化与化归思想、整体化思想、特殊与一般化思想等等设锐角三角形ABC的内角A，B，C，B=π，求cos A+sin C的取值范围．由三角形的内角和定理可得A+C=π-π=5π6，要想求得cos A+sin C的范围我们必须利用消元思想把A，C用另一个角表示，即化成只有一个角的形式，这样我们就容易处理问题了.因为B=π，所以C=π-（A+π），得cos A+sin C=cos A+sin（π-π-A）=cos A+sin（π+A）=cos A+1cos A+3姨2sin A=3姨sin（A+π3）.由△ABC为锐角三角形知，π-A＞π-B，π-B=π-π=π·2π＜A+π＜π，所以12sin（A+π3）＜3姨2．由此有3姨2＜3姨sin（A+π3）＜3姨2×3姨，所以cos A+sin C的取值范围为（3姨2，32）．在三角恒等变换过程中，若能充分利用一些重要的数学思想和方法，能快速帮助我们找到解题思路，本小题主要考查利用消元思想与两角和差公式求三角函数式的范围值.七、结构的变换在三角函数变换过程中，认真观察题目，挖掘题目的隐含条件，充分把握题目的整体结构，有助于我们找到解题的思路.求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.，因为20°、40°、80°都不是特殊角，想直接求出它们的值是不可能的，认真观察题目，从把握题目的整体结构入手的话我们可以看出式子结构上给人一种对称美、和谐美的感觉.由已知条件联想类比所学过的二倍角公式2sinαcosα=sin2α，我们不妨通过设置辅助因子23sin20°，于是我们找到了解题的思路.°cos40°cos60°cos80°=12cos20°cos40°cos80°=23sin20°cos20°cos40°cos80°24sin20°=22sin40°cos40°cos80°24sin20°=2sin80°cos80°24sin20°=sin160°24sin20°=sin20°24sin20°=116.凡呈二倍角的余弦的连乘结构的题目，均可采用本题之方法，此法有火烧连营之势，妙得很.总之，解答三角恒等变换的题目的方法不拘泥,万变不离其宗，要注意灵活运用,要注意这样的口决，要努力作到“三看”，即（1）看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化；（2）看名,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；（3）看式,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用.责任编校徐国坚26。