矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析

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矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析

第一章误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。

1 .误差的基本概念和有效数字 1) .绝对误差和相对误差的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则称x a 为近似值a 的绝对误差，简称x a为误差.当x 0时，=称为a 的相对误差.在实际运算中，精确值 x 往往是未知的，所x a以常把—匚作为a 的相对误差.2) .绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数 e a ，使得此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a近似x 的程度越好，即a 的精度越好.3) .有效数字设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成ka 10 O.a i a 2 a n其中a i (i 1,2,)是0,1, ,9中的一个数字，q 0,k 为整数.如果x a - 10kn2则称a为x的具有n位有效数字的近似值.4) .函数计算的误差估计如果yf(x 1,x 2, ,x n )为n 元函数，自变量*,X 2, ,X n 的近似值分别为a 1,a 2, ,a n ,称e a为a的绝对误差界或简称为误差界.称a是a的相对误差界它可以是有限或无限小数的形式, 如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足:x a l a l1 2a 1101其中丄_f(a 1,a 2, ,a n ),所以可以估计到函数值的误差界，近似地有Xk aXknf(X i ,X 2, ,X n ) f(a i ,a 2, ,a n ) e a取y f(x,x 2)为X i , X 2之间的四则运算，则它们的误差估计为,数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高.如果x i 和X 2是两个十分接近的数，即 a i 和a 2两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值 a i a 2的有效数字的位数将会很少。

(整理)数值分析课件典型例题与习题2.ppt

0.4
1
0.8
x2
2
0.4 0.8 1 x3 3
(B) 1.0928203 1
20/51
例6.设A对称正定矩阵, 证明 x xT Ax是向量范数。 A
思路 : 对称正定矩阵的Cholesky分解A LLT。
x 2 xT Ax=xT LLT x= LT x 2
A
2
x+y LT ( x y) LT x LT y x y
➢中止准则
| x(k ) x* | L | x(k) x(k1) | 1 L
|| X (k ) X * || || B || || X (k) X (k1) || 1 || B ||
➢加速(松弛思想)
Aitken加速方法
超松弛加速方法
8/51
现代迭代方法 (Top 10 Algorithms)
Hilbert矩阵条件数: for i=1:10 c(i)=cond(hilb(i),2);%%vander(1:i) end,plot(1:10,c')
13/51
范数的威力和魅力: 范数(全局)
问题的好与坏
算法的快与慢
|| x || (|| A || || A1 ||) || b ||
|| x ||
7/51
➢迭代格式构造
x (x)
➢收敛条件(局部vs全局)
x*为( x)的不动点,( x) 对任意的f 和任意的初始
在x*的某邻域N (x* )连续
且 | ( x* ) | 1, 则迭代法
对任意x(0) N (x* )收敛
向量X(0)迭代法收敛的充
分必要条件是(B) 1和
充分条件是||B|| 1
A
2

数值分析课后习题与解答

课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式()(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？〔1〕〔2〕解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

〔1〕〔2〕4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1与n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计〔5.8〕。

线性插值时，用0.5与0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式〔5.8〕，令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048与cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式〔5.17〕得其中计算时用Newton后插公式〔 5.18)误差估计由公式〔5.19〕得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法

第三章逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

第三章-矩阵及其运算-典型例题及求解

第三章矩阵及其运算扩展例题及求解[例1] 计算101nλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[分析]计算方阵A 的幂，一般有如下方法：(1) 归纳法先求出A 2,A 3,…,在此基础上归纳出A n 的一般表达式, 并证明其正确性. (2) 对角化法找一个可逆矩阵P , 使P -1AP 为对角阵Λ, 则A =P ΛP -1, 从而有A n =PΛn P -1. (参见第五章)(3) 二项式展开法若A 的主对角线上元素相同, 设为λ, 则A =λE +B , 则A n =(λE +B )n , 当B k 容易计算时, 可用二项式展开计算A n .(4) 递推法通过建立A n 的递推公式, 如A 2=k A , 则A n =k A n -1, 从而计算出A n . (5) 其它方法例如, 若A 能表示为一个列向量α和一个行向量β的乘积, 即A =αβ, 则利用矩阵简洁的结合律, 有A n =k n -1A , 其中k =βα是一个数. [解] 设200,010⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A ,则 ()()()()001010C =C +C 1nnn k k n n n k =⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦∑λλλλλE A A A A 即1010001010101nn n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦λλλ[例2] 设11000110,00110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求23,A A 和n A [分析]本题矩阵阶数较大，可以使用数学归纳法和二项式展开法。

(1) 归纳法：求出A 2,A 3,…,在此基础上归纳出A n 的一般表达式, 并证明其正确性。

（2）二项式展开法：A 的主对角线上元素相同, 设为λ, 则A =λE +B , 则A n =(λE +B )n , 当B k 容易计算时, 可用二项式展开计算A n 。

[解] 设2301000100010010********,,,000100000000000000000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B B B 40=B ,且 ()0C nnnk kn k ==+=∑A B E B从而222012100121C 200120001nk k k =⎡⎤⎢⎥⎢⎥==++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑A B E B B 33233013310133C 33001301k kk =⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑A B E B B B 123121223310101C C C C 0010001n n n nn k k nn n n n n k n C C C C C C =⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑A B E B B B[例3]设α是三维列向量，T α是α的转置，若T 111111111-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦αα，则T ____=αα。

矩阵与数值分析部分习题解答

其具有6位有效数字。故
*
而
y y* zz ，于是， y
*
1 4 1 1 k n 26 10 y y 10 10 2 2 2
y y* y z
* *
z z* z
*

0.5 104 0.5 106 59.9833 4.09407
可见，用公式 f ( x) ln x
k
k 2 k A A ( I A ) 5．证明ρ(A)＜1时，

1 注意，绝对收敛的函数幂级数 f t t 1 t , t 1，则证明(1)： k 0 1 t k 1 k s t f t t f t kt kt 令 2 1 t 1 t 2 k 1 k 0
3 。节点为: x1 h , x2 2h , x3 3h 4 8 8
相应的方程组为：
2 1 h 2 0 1 h 2 0 u1 h u2 1 2 2 u 3

2 先令 y x x 1 ，由于开方用六位函数表，则 y 的误差为已
知，故应看成 z g ( y) ln( y) , 由 y的误差限
* ln( y ) ln( y )。误差限
y y * 求g(y)的
解：当x=30时，求 y 30 302 1 , 用六位开方表得
xi a ih,
h 称为步长。
i 0,1,
,N, h
ba N
于是我们得区间 I=[a, b]的一个网格剖分。 xi称为网格节点,
h
a x0 x1

矩阵论与数值分析理论及其工程应用课程设计 (2)

矩阵论与数值分析理论及其工程应用课程设计背景与意义近年来，计算机科学技术的迅速发展给各个领域的科学研究和工程实践带来了巨大的影响。

数学和计算科学作为计算机学科的重要分支，在计算机科学技术的推动下得到了飞速的发展。

其中，矩阵论和数值分析理论是计算科学研究和工程应用中不可或缺的数学基础。

矩阵论研究矩阵的性质和运算规律，是线性代数的一部分。

数值分析理论研究数学问题的数值解法，是数学计算的一个重要研究领域。

它们在计算机科学、物理学、经济学、自然科学等众多领域都有着广泛的应用。

因此，本课程设计旨在通过对矩阵论和数值分析理论的学习和实践，帮助学生掌握和应用这两个重要的数学理论，并将其运用到具体的工程问题中，提高其解决实际问题的能力和实践操作能力。

课程设计内容理论学习本课程设计将针对矩阵论和数值分析理论两部分内容进行理论学习，包括以下内容：矩阵论1.矩阵的定义和基本运算2.线性方程组和矩阵求逆3.矩阵特征值和特征向量4.矩阵的奇异值分解（SVD）5.矩阵的正交化和QR分解数值分析理论1.数值积分和数值微分2.插值方法和拟合方法3.常微分方程数值解法4.线性方程组数值解法5.非线性方程数值解法应用实践除了理论学习外，本课程设计还将结合具体的工程应用问题进行应用实践，以加深对理论知识的理解和应用能力。

主要应用实践包括以下内容：1.基于矩阵的人脸识别算法实现2.基于最小二乘法的数据拟合实现3.基于数值微分的图像特征提取和图像处理实现4.基于数值解法的工程问题解决实现以上实践内容主要涉及到矩阵论和数值分析理论的一些具体应用案例，通过实际操作，帮助学生掌握和应用课程理论知识。

课程设计要求本课程设计对学生提出了如下要求：1.在理论学习方面，学生需要掌握矩阵论和数值分析理论的基本知识，理解其原理和运用方法；2.在应用实践方面，学生需要能够熟练掌握相关工具和编程技能，具备基本的编程思维能力；3.在课程实践过程中，学生需要积极参与课程学习和实践，完成相关任务和作业，展现自己的课程能力和实践水平。

数值分析计算方法复习(典型例题)解析

6
626
复化 Simpson 公式
h
ba 2n
,
xj
a
jh
( j 0,1,,2n)
x2 j2
x2 j1
x2 j
I( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j2
)
4
f
(
x2
) j 1
f (x2 j )]
Sn( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j
2
)
4
f
(
x2
j 1
)
f ( x2 j )]
b a
则迭代格式为
xk 1
2
x3 k
1
取初值 x0 0
x1
2
x3 0
1
1
x2
2
x3 1
1
3
x3
2
x3 2
1
55
由此可见，这种迭代格式是发散的
(2) 如果将原方程化为等价方程 x 3 x 1 2
仍取初值
x0 0 x1 3
x0 1 3 2
1 0.7937 2
x2 3
x1 1 3 1.7937 0.9644
h(1 f (xn1, y(xn1)) f (xn , y(xn )) 1 f (xn1, y(xn1)))
y(xn1) ( y(xn ) y(xn1))
h(1 y(xn1) y(xn ) 1 y(xn1))
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
计算方法复习
Final Exam Review

矩阵与数值分析

矩阵与数值分析学院电子信息与电气工程学部专业生物医学工程班级学号姓名刘江涛1：考虑计算给定向量的范数；输入向量T n x x x x ),,,(21 =，输出∞x x x ,,21，请编制一个通用程序，并用你编制的程序计算如下向量的范数：()TTn y n x ,,2,1,1,,31,21,1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=对1000,100,10=n 甚至更大的n 计算其范数，你会发现什么结果？你能否修改你的程序使得计算结果相对精确呢？通用求范数程序： function NORM(x) y1=sum(abs(x)); y2=(sum(x.^2))^(1/2); y3=max(abs(x));fprintf('1-范数=%g ； 2-范数= %g ； inf-范数=%g\n',y1,y2,y3); 例题的运行程序： function xianglaing(n) x=[]; y=[]; for i=1:n x(i)=1/i; y(i)=i; enddisp('x 的范数：'); NORM(x'); disp(' ')disp('y 的范数：'); NORM(y'); 运行结果如下表：根据上述的两个表的运行结果，我们可以得知无论n 的值如何变化，对于1=∞x 恒成立；n y =∞恒成立，其1-范数与2-范数随着n 的增大而增大，但是其变化越来越小，这是因为计算在进行数值计算时有误差存在，对于表达式(1)当n 很大时n1却很小，会出现“大数吃小数的现象”；修改方案：当n 很大时我们避免用n 做除数，因为当n 非常大时01→n成立；所以在求解其范数时我们从小数开始相加，无穷个非常小的数值相加也可能是个很大的数，从而可以避免两个数相加时出现“大数吃小数”的现象；2：考虑xx x f y )1ln()(+==，其中定义1)0(=f ，此时)(x f 是连续函数，用此公式计算当]10,10[1515---∈x 时的函数值，画出图像。

矩阵与数值分析部分习题解答

2
(
)(
)
(
)
A ρ ( A)
从而此矩阵序列的收敛，其极限为：
A A ρ ( A) = ρ ( A)
k
4．证明ρ(A)＜1时，
k k = A ∑ k =1
∞
A( I − A) −2
1 , t < 1，则 1− t k =0 ∞ t ′ ( t ) t ∑ kt k = f= (1 − t )2 k =0
2 −1 0 − 1 2 − 1 （3） A = , 则cond2(A)= 0 −1 2
a−2
(2 + 2 ) =
2
2
R的对角元，对角矩阵， A 的特征值为 R 为（4）
A的特征向量为 U的列，当A为Hermite阵时，R为实对角阵，
∞
A ( ) ρ A
k
k =1
注意，A=xxH 的特征值为：xHx, 0, …, 0，故 r(A)=xHx。又
xx H xx H x x H x x H ρ ( A ) ( xx H ) A = = = = 2 2 2 ρ ( A) ρ ( A) ρ ( A) ρ ( A)
∑ A= ( I − A)
k k =0
∞
−1
。取
( ) k = 1 , A ( I + A + A + ) = k = 2 , A ( I + A + A + ) =
2 2 3 2
∞ −1 k −2 P A Q A ( I A ) = − P=A, Q = ( I − A) , ∑ k =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ k k k +1 n k n P ∑ A Q = ∑ PA Q = ∑ AA ∑ A = ∑ A ∑ A = k 1= n 0 = k 1 k 1= k 0= n 0

矩阵与数值分析课后答案

矩阵与数值分析课后答案【篇一：李庆扬-数值分析第五版第5章习题答案(20130808)】>【篇二：李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案】>【篇三：数值分析习题】(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的； (4) 有效数字越多,相对误差越2. 用例1.4的算法计算,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.x1?0.3040, x2?5.1?109, x3?400, x4?0.003346,x5?0.875?10?55. 证明1.2.3之定理1.1.6. 若钢珠的的直径d的相对误差为1.0%,则它的体积v的相对误差将为多少。

（假定钢珠为标准的球形）7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m成绩为60s的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件,直径d为10.25?0.25mm,高h为40.00?1.00mm,则它的体积v的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有?r(f(x))?k??r(x), 其中k?xf?(x)f(x)并求出f(x)?tanx,x?1.57时的k值，从而说明f(x)?tanx在x?11. 定义多元函数运算?2时是病态问题．s??cixi,其中?ci?1,?(xi)??,i?1i?1nn求出?(s)的表达式，并说明ci全为正数时，计算是稳定的，ci有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：(1) y?11?x?,1?2x1?x(x?1)(x?1)1-cos2x(3) y?,(x?1)x(2) y?(4) y?p,(p?0,q?0,p?q)习题21. 填空题(1) gauss消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素的绝对值太小会发生 ;(2) gauss消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为;(3) 直接lu分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为追赶法解对角占优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为; (4) a????11??,a1?, a2?, ?(a)?; ??02??t0???,t?1 ?(a)cond2(a)?0t??(5) a????a???b(6) a???,c?b?a?0 ?(a)cond2(a)?; ?c???2．用gauss消元法求解下列方程组ax?b?11?1???(1)a??12?2?,??211????4??1????3b??0?, (2)a??2?1?????1?321??1????432??1?,b? ???343?1?????1?234????3．用列主元消元法解下列方程组ax?b．??326???(1)a??10?70?,?5?15???4. 用gauss－jordan消元法求：01??02?0??????4???2232????2?b??7?(2)a??,b????7?4?301?6????????61?6?5??6??????11?1????210? ?1?10???5．用直接lu分解方法求1题中两个矩阵的lu分解，并求解此二方程组． 6．用平方根法解方程组ax?b?321??4?????a??221?,b??3??111??6?????7．用追赶法解三对角方程组ax?b?1?2?1000??1???????12?100??0?a??0?12?10?,b??0? ?????00?12?1??0??000?12??0?????8．证明：(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵．(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵．9．由l?l1l2?ln?1，(见(2.18)式)，证明:?1?1?1?1??l211?ll3231?l?????????l?n1ln210．证明向量范数有下列等价性质：1???1ln3?ln,n?1????? ???1??(1)(2)(3)x2?x1?nxxx??2?x1?nx???x2?nx11．求下列矩阵的a1,a2,a?,??a?．?1??13?a???;?12???2??513???a??1102?.?326???12．求cond2?a??10099?1a?????;?9998?13．证明：?cos?2a?????sin??sin???. cos??(1)若a是正交矩阵，即ata?i, 则cond2?a??1;(2)若a是对称正定阵，?1是a的最大特征值，?n是最小特征值，则cond2?a???1. ?n习题31. 填空题:(1) 当a具有严格对角线优势或具有对角优势且ax=b用jacobi迭代法和gauss－seidel迭代法均收敛;(2) 当线性方程组的系数矩阵a对称正定时.(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的小于1; sor法收敛的必要条件是 ;(4) 用迭代法求解线性方程组,若q = ? (b), q, q接近时收敛较快, q接近时收敛较慢; (5)?11?a???,bj?;bs?; ??bj????bs???12?2．用jacobi迭代法和gauss－seidel迭代法求解方程组?210??x1??3???????(1) ?121??x2????5?；(2)?012??x??4????3???1??x1??1???81??????1?51???x2???16? ?1????1?4????x3??7?各分量第三位稳定即可停止．3．用sor法解方程组，取??0.9，与取??1 (即gauss-seidel法)作比较．?321??x1???5????????573???x2???13?． ?2?57??x??3??? ?3???性?521????12?(1)?132?； (2)??32??；???112???00???21??212??0??1?21??(3)?121?；(4)?； ?01?21??212??????001?2????5???1(5)??1???1?5．方程组?1?1?1?1??1122?10?1?1??11?1； (6)2?． ?2?15?1??111??????1?110??a11a12??x1??b1????a???x?????b??a?2122??2??2?,a11?0,a22?0证明用jacobi迭代法收敛的充要条件是：r?6．设a12a21?1． a11a22?1aa???a??a1a?,a为实数；?aa1???(1)若a正定，a的取值范围；(2)若jacobi迭代法收敛，a的取值范围．习题41. 填空题：(1) 幂法主要用于求一般矩阵的jacobi旋转法用于求对称矩阵的特征值；(2) 古典的jacobi法是选择的一对元素将其消为零;(3) qr方法用于求特征值的和求出对应的． 2．用幂法求矩阵． ?621???4140?????⑴?231?，⑵??5130???102??111?????按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位． ??11111???9?2? 3．已知： a??11?1?213???。

矩阵分析课件chapt4 矩阵分解例题详解

第4章矩阵分解(I)高斯消去法假设矩阵A 的顺序主子式i D ≠0 (i=1,…,n),则我们可以进行以下的顺序消元过程1．消元过程n k k i b m b b nk k j i a m a a k k ik k i k i k kj ik k ij k ij ,,2,1,,,2,1,,)()()1()()()1( ++=-=++=-=++等价于用初等矩阵T k k k e l I L -=分别左乘)(k A 和)(k b ，即)()1(k k k A L A =+ (1)其中，Tk n k k k k k m m m l ),,,,0,,0(,,2,1 ++=,n k i a a m k kk k ik ik ,,1,/)()( +==我们称ik m 为消元因子，)(k kk a 为主元素；消元过程的一个重要性质是：消元过程不改变矩阵的主子矩阵的行列式(主子式)的值。

例⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=012131121A ,顺序主子式为，1，5，-10 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−−→−++250050121)1*(2)3(),1()2(,顺序主子式为，1，5，-10 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−-200050121)2()3(，顺序主子式为，1，5，-10 引理：约化的主元素)(i ii a ≠0的充要条件是矩阵A 的顺序主子式i D ≠0 (i=1,…,k);推论：若矩阵A 的顺序主子式i D ≠0(i=1,…,k)，则1)1(11D a =，k i D D a i i i ii ,,2,1,/1)( ==-；由此有若A 对称正定或严格对角占优，而它们的顺序主子矩阵也是对称正定或严格对角占优，从而顺序主子式不为0，顺序高斯消去过程可进行；2.回代过程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==∑+=1,,2,1,/)(/)(1)()()()( n n k a a b x a b x k kk n k j k kj k k k n nn n n n 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=012131121A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=311b , 用高斯消去法解线性方程Ax=b.增广矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----301211311121 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−−→−++125000501121)1*(2)3(),1()2( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-120000501121)2()3( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-120000501121)2()3( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-2/1100005011212/)3( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−2/1100001011215/)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−-+2/110000102/3001)2*(2)3()1(，因此，问题的解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2/102/3x 3. 数值稳定性1)选列主元；2)选全主元；3)高斯若当(Gauss-Jordan)消去法，求矩阵的逆;⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=012131121A , 求A -1. 增广矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100012010131001121 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−−→−++102250011050001121)1*(2)3(),1()2( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−-11120005/15/10100011215/)2(),2()3( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-2/12/12/110005/15/10102/12/12/1021)3()1(,2/)3( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−-2/12/12/110005/15/10102/110/110/10012)*2()1( 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-5550225111011A4．高斯顺序消元法解方程的计算量1)乘除次数：3/3/23n n n -+2)加减次数：6/52/3/23n n n -+3)求矩阵的逆的计算量为o(4n )(II) 顺序消元过程与矩阵的三角分解(1) T k k T k k k e l I e l I L +=-=--11)( (2) 若 ,j i ≤则有0=j T i l e ，从而T j j T i i Tj j T i i e l e l I e l I e l I ++=++))((，Le l e l e l I L L L T n n T T n =++++=------112211111211(3) 由)()1(k k k A L A =+有)(111211)1(n n A L L L A A ----== 故有 A =LU ，其中)(n A U =.这时L 为单位下三角矩阵。

大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法

由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --=Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()(超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

数值分析中的数值线性代数与矩阵计算

数值分析中的数值线性代数与矩阵计算数值线性代数与矩阵计算在数值分析领域扮演着重要的角色。

它们是处理线性方程组、特征值问题以及最小二乘逼近等数值计算任务中的核心工具。

本文将对数值线性代数与矩阵计算的概念、方法以及应用进行全面的探讨。

一、数值线性代数的基础概念在数值分析中，线性代数是一个重要的数学分支，它研究向量空间和线性映射的性质。

数值线性代数则是将线性代数的理论与数值计算相结合，旨在解决大规模线性方程组和特征值问题等实际计算中的挑战。

1.1 线性方程组的数值解法线性方程组是数值线性代数研究的核心内容之一。

通过数值方法解决线性方程组可以提供高效且精确的解答。

常见的数值解法包括直接法和迭代法。

直接法通过矩阵消元的方式直接求解方程组，如高斯消元法和LU分解法。

迭代法则通过不断逼近解向量来求解方程组，如雅可比迭代法和Gauss-Seidel迭代法。

1.2 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量在许多科学和工程问题中具有重要的意义。

求解矩阵特征值问题可以帮助我们理解矩阵的性质，并且在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。

常用的求解特征值问题的数值算法有幂法、反幂法和QR方法。

一、矩阵计算的数值方法矩阵计算作为数值线性代数的一部分，旨在研究矩阵的基本运算和性质。

数值方法可以提高矩阵计算的效率，并且可以应用于处理大规模矩阵的情况。

2.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法和乘法。

数值计算中常用的矩阵乘法算法有传统的三重循环算法、Strassen算法和Coppersmith-Winograd算法，这些算法在不同规模的矩阵乘法中有不同的效率。

2.2 矩阵分解与逆的数值计算矩阵的分解和逆是矩阵计算中的重要问题。

常见的矩阵分解方法有LU分解、Cholesky分解和QR分解。

这些分解方法不仅可以帮助我们理解矩阵的性质，还可以用于求解线性方程组和特征值问题。

矩阵的逆也是一个常见的数值计算任务，通过矩阵分解可以有效地计算矩阵的逆。

数值分析中的数值解线性方程组与矩阵计算

数值分析中的数值解线性方程组与矩阵计算数值分析是一门研究利用计算机数值方法解决数学问题的学科。

线性方程组是数值分析领域中常见的问题之一，而矩阵计算则是解决线性方程组的关键。

一、线性方程组的数值解线性方程组指的是由一系列线性方程组成的方程组。

在数值分析中，往往会遇到大规模的线性方程组，解它们的解析解是困难且耗时的，因此需要采用数值方法来求解。

1.1 直接法直接法是一种通过有限次数的运算，得到给定线性方程组的精确解的方法。

其中最常用的方法是高斯消元法和LU分解法。

高斯消元法通过将线性方程组的增广矩阵化为上三角矩阵，再通过回代求解得到解向量。

LU分解法则将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后通过迭代求解来得到解向量。

1.2 迭代法迭代法是一种通过迭代逼近的方式，不断改进解的近似值，直到满足精度要求为止。

其中最常用的方法是雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。

雅可比迭代法通过将线性方程组的每个方程都表示为未知数的显式函数，并通过迭代公式逐步逼近解向量。

高斯-赛德尔迭代法则在雅可比迭代法的基础上，通过使用每次迭代后的更新值来改善近似解的质量。

二、矩阵计算矩阵计算在数值分析中扮演着至关重要的角色，它们是线性方程组求解的基础。

2.1 矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。

在数值分析中，矩阵乘法常常用于表示线性方程组的系数矩阵与解向量的乘法，以及迭代法中的更新矩阵与解向量的乘法。

2.2 矩阵求逆矩阵求逆是指找到一个矩阵的逆矩阵，使得将该矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。

在数值分析中，矩阵求逆常常用于直接法中的LU分解和迭代法中的雅可比迭代法。

2.3 特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，也是矩阵计算中的重要内容。

特征值表示矩阵对应的线性变换在某个向量上的缩放因子，而特征向量则表示在该缩放因子下不变的向量。

在数值分析中，特征值和特征向量常常用于求解线性方程组的特殊解，以及判断矩阵的性质和稳定性。

数值分析典型习题2

= ( I − AX 0 )
2k
11/16
X k = A [ I − ( I − AX 0 ) ]
2k
−1
ρ ( I − AX 0 ) < 1
−1
lim ( I − AX 0 )
k →∞
2k
2k
=0
lim X k = lim A [ I − ( I − AX 0 ) ] = A −1
k →∞ k →∞
2 1 2 5 − 2 − 2 3 1 1 − 2 x1 4 x 7 3 − 2 2 = 3 5 x3 − 1 2 3 x4 0
13/16
练习5: 练习求矩阵的 2-范数,
|| x || − || y || ≤|| x − y ||
证: || x || = || (x – y )+ y || ≤|| x – y || + || y || || x || – || y || ≤|| x – y || 同理, 同理 || y || – || x || ≤|| y – x || =|| x – y || || x || – || y ||≥ – || x – y || – || x – y || ≤ || x || – || y || ≤|| x – y ||
|λ(D– L ) – U | = 0
a 12 ⋯
行列式对应的矩阵为
λa 11 λa 21 C (λ ) = ⋮ λ a n1
λa 22
⋮
λa n 2
a1n ⋯ a 2n ⋱ ⋮ ⋯ λa nn
矩阵的主对角占优性质，当|λ | > 1时，利用矩阵的主对角占优性质，得时利用A矩阵的主对角占优性质

矩阵与数值分析

2011级工科硕士研究生《矩阵与数值分析》课程数值实验报告教学班号：1任课老师：张宏伟姓名：xxx院系：机械工程学院学号：21104218一、对于数列11111,,,,,392781，有如下两种生成方式1、首项为01a =，递推公式为11,1,2,3nn a a n -== ； 2、前两项为0111,3a a ==，递推公式为1210,2,3,3n n n a a a n --=-= ；给出利用上述两种递推公式生成的序列的第50项。

1题程序: clear; clc;a=linspace(0,0,50); k=1;a(1)=1; %a0=a(1),a1=a(2)依次类推....a49=a(50)。

for k=1:49a(k+1)=1/3*a(k); endformat short e a 运行结果 a =Columns 1 through 61.0000e+000 3.3333e-001 1.1111e-001 3.7037e-002 1.2346e-002 4.1152e-003Columns 7 through 121.3717e-003 4.5725e-004 1.5242e-004 5.0805e-005 1.6935e-005 5.6450e-006Columns 13 through 181.8817e-006 6.2723e-0072.0908e-007 6.9692e-008 2.3231e-008 7.7435e-009Columns 19 through 242.5812e-009 8.6039e-010 2.8680e-010 9.5599e-0113.1866e-011 1.0622e-011Columns 25 through 303.5407e-012 1.1802e-012 3.9341e-013 1.3114e-0134.3712e-014 1.4571e-014Columns 31 through 364.8569e-015 1.6190e-0155.3966e-016 1.7989e-016 5.9962e-017 1.9987e-017Columns 37 through 426.6625e-018 2.2208e-0187.4027e-019 2.4676e-0198.2253e-020 2.7418e-020Columns 43 through 489.1392e-021 3.0464e-021 1.0155e-021 3.3849e-022 1.1283e-022 3.7610e-023Columns 49 through 501.2537e-023 4.1789e-024clear;clc;a=linspace(0,0,50);k=3;a(1)=1; %a0=a(1),a1=a(2)依次类推....a49=a(50)。

矩阵与数值分析

2013级工科硕士研究生《矩阵与数值分析》课程数值实验题目一、设622101NNjSj==-∑，分别编制从小到大和从大到小的顺序程序分别计算100001000000,S S并指出两种方法计算结果的有效位数。

Matlab程序如下：function [si,sd]=S(N)format long;si=0;sd=0;for j=N:-1:2si=1.0e6/(j^2-1)+si;endfor j=2:Nsd=1.0e6/(j^2-1)+sd;endend在matlab命令窗口中输入：[si,sd]=S(10000)运行结果：si =7.499000049995000e+005sd =7.499000049994994e+005在matlab命令窗口中输入：[si,sd]=S(1000000)运行结果：si =7.499990000005000e+005sd =7.499990000005200e+0051结果分析：si为从大到小的顺序求和的值，sd为从小到大的顺序求和的值。

当N分别为10000和1000000时，si分别为7.499000049995000e+005和7.499990000005000e+005，可以看出这两个数的有效值均为13位；而sd分别为7.499000049994994e+005和7.499990000005200e+005，这两个数的有效值均为16位。

这就出现了我们在矩阵理论课上所学的“大数吃小数”的问题。

为了使结果更为精确我们必须避免在四则运算中出现“大数吃小数”的情况，应该按从小到大的顺序进行求和。

二、解线性方程组1．分别利用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax b=，其中常向量为()21n-维随机生成的列向量，系数矩阵A具有如下形式1111111122n n n n n n n n T I I I A I I T I --------+-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-+⎝⎭O O O O ，其中1211112n T --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭O O O O 为1n -阶矩阵，1n I -为1n -阶单位矩阵，迭代法计算停止的条件为：101210k k x x -+-<，给出10,100,1000n =时的不同迭代步数．求解系数矩阵A 和向量b 的Matlab 程序如下：function [A,b,x0]=jz(n)for i=1:n-1 %此处n 赋值即可，如n=100for j=1:n-1if(i==j)T(i,j)=2;endif(i==(j+1))T(i,j)=-1;endif(i==(j-1))T(i,j)=-1;endendendI=eye(n-1);k=1;for mm=1:(n-1)A(k:(k+n-2),k:(k+n-2))=T+2*I;k=k+n-1;endk=1;for xx=1:(n-2)A(k:(k+n-2),(k+n-1):(k+2*n-3))=-I;A((k+n-1):(k+2*n-3),k:(k+n-2))=-I;k=k+n-1;endb=randn((n-1)^2,1);x0=zeros((n-1)^2,1);Jacobi 迭代法Matlab 程序如下：function n=jacobi(A,b,x0)eps= 1.0e-10;M = 10000;D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B=D\(L+U);f=D\b;x=B*x0+f;n=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=epsx0=x;x=B*x0+f;n=n+1;if(n>=M)disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！');return;endendGauss-Seidel迭代法Matlab程序如下：function n=gauseidel(A,b,x0)eps= 1.0e-10;M = 10000;D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵U=-triu(A,1); %求A的上三角阵G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=G*x0+f;n=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=epsx0=x;x=G*x0+f;n=n+1;if(n>=M)disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！');return;endend在matlab命令窗口中输入：[A,b,x0]=jz(10);J10=jacobi(A,b,x0)G10=gauseidel(A,b,x0)[A,b,x0]=jz(20);J20=jacobi(A,b,x0)G20=gauseidel(A,b,x0)[A,b,x0]=jz(30);J30=jacobi(A,b,x0)G30=gauseidel(A,b,x0)运行结果：J10 =436；G10 =214J20 =1810；G20 =913J30 =3990；G30 =2001结果分析：N=10且M=1000时，Jacobi 迭代法和Gauss —seidel 迭代法的迭代次数分别为436和214；N=20且M=1000时，Jacobi 迭代法和Gauss —seidel 迭代法的迭代次数分别为1810和913；N=30且M=1000时，Jacobi 和Gauss-seidel 算法的迭代次数分别为3990和2001次。

数值分析例题详解

1. 用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7173530103421101002014321x x x x解：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡443433242322434241323121020111113010342110100201u u u u u ul l l l l l 由矩阵的乘法可以求出⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10101211011111434241323121l l l l l l ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡21210102010201443433242322u u u u u u 解下三角方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7173510101211014321y y y y 可得 4,6,3,54321====y y y y 。

再解上三角方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡463521************x x x x 可得 1,1,2,21234====x x x x 。

2. 设有迭代格式 ),2,1(,)1()( =+=-k g Bx x k k其中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=05.0215.005.0215.00B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=5.015.0g试证明该迭代格式收敛，并取T x)0,0,0()0(=，计算)(k x证明：（1）设λ为B 的特征值，则0=-I B λ，即05.0215.05.0215.03==-----λλλλ，故 03,2,1=λ。

所以10)(<=B ρ，从而迭代法收敛。

（2）由T x)0,0,0()0(=计算可得TT T T xx x x )0,1,0(,)0,1,0(,)2/5.0,5.0,2/5.0(,)5.0,1,5.0()4()3()2()1(==-=--=3. 给定线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23122121x x x x 问用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解是否收敛？解：所给线性方程组的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1321 （1）雅可比迭代矩阵J 的特征方程为6,6,06,032212-===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλλλλ 因为 16)(>=J ρ，故雅可比迭代法发散。