2018年湖南省郴州市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2018年湖南省郴州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，B{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{0}2．（5分）已知复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z的虚部是（）A．﹣1B．﹣i C．1D．i3．（5分）如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列的前15项和S15＝30，则a2+a13+a9＝（）A．7B．15C．6D．85．（5分）已知双曲线的一个焦点在直线x+y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象（）可得的图象A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+1B．C．D．8．（5分）若实数x，y满足约束条件，则3x+4y+2的最小值为（）A．5B．4C．D．9．（5分）函数f（x）＝lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为（）A．6B．5C．4D．311．（5分）已知函数，其中e是自然对数的底数．则关于x的不等式f（2x ﹣1）+f（﹣x﹣1）＞0的解集为（）A．B．（2，+∞）C．D．（﹣∞，2）12．（5分）设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|P A|+|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13．（5分）在等腰直角三角形△ABC中，E为斜边BC的中点，且AC＝2，F为AB的中点，则＝．14．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+b2﹣c2）tan C＝ab，则角C的值．15．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为的等边三角形．若AB＝8，则四面体ABCD外接球的表面积为．16．（5分）已知函数，g（x）＝mx+1，若f（x）与g（x）的图象上存在关于直线y＝1对称的点，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a3﹣1成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，数列{b n}的前n项和为S n，试比较S n与n2+2n的大小．18．（12分）寒冷的冬天，某高中一组学生来到一大棚蔬菜基地，研究种子发芽与温度控制技术的关系，他们分别记录五组平均温度及种子的发芽数，得到如下数据：（Ⅰ）若从五组数据中选取两组数据，求这两组数据平均温度相差不超过2°C概率；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：＝＝，）19．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝2，现将△ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在线段AB上．（Ⅰ）证明：AP⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EBC的表面积．20．（12分）动点P到定点F（0，1）的距离比它到直线y＝﹣2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）求证：；21．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣2）e x+b（x﹣2）2，（Ⅰ）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为5x﹣y﹣2＝0，求a，b的值；（Ⅱ）若a＝1，b∈R求函数f（x）的零点的个数．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，曲线C1的普通方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣1＝0．（Ⅰ）求曲线C1、C2的参数方程；（Ⅱ）若点M、N分别在曲线C1、C2上，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤10的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为m，且a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥12．2018年湖南省郴州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，B{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{0}【解答】解：A＝{x∈R|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B{﹣1，0，1}，则A∩B＝{0，1}，故选：C．2．（5分）已知复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z的虚部是（）A．﹣1B．﹣i C．1D．i【解答】解：由（1+2i）z＝4+3i，得z＝，∴z的虚部是﹣1．故选：A．3．（5分）如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设黑色小圆的半径为r，则黑色大圆的半径为2r，由题意可知，8r＝8，即r＝1．∴图中黑色区域的面积为8×8﹣π×42+4×π×12+π×22＝64﹣8π，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为．故选：C．4．（5分）已知等差数列的前15项和S15＝30，则a2+a13+a9＝（）A．7B．15C．6D．8【解答】解：∵设等差数列的等差为d，{a n}前15项的和S15＝30，∴＝30，即a1+7d＝2，则a2+a9+a13＝（a1+d）+（a1+8d）+（a1+12d）＝3（a1+7d）＝6．故选：C．5．（5分）已知双曲线的一个焦点在直线x+y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在y轴上，若双曲线的一个焦点在直线x+y＝5上，则双曲线的焦点为（0，5），则有m+9＝25，则m＝16，则双曲线的方程为，则a＝4，b＝3，则双曲线的渐近线方程为y＝±x；故选：B．6．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象（）可得的图象A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：由图象得A＝1，＝﹣＝，即T＝π，由T＝＝π，则ω＝2，即f（x）＝sin（2x+φ），∵f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，∴sin（+φ）＝﹣1，即+φ＝+2kπ，得φ＝﹣+2kπ＝+2kπ，∵，∴当k＝0时，φ＝，则f（x）＝sin（2x+），＝sin（2x﹣++]＝sin[2（x﹣）+]，即将函数f（x）的图象向右平移个长度单位可得的图象，故选：D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+1B．C．D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为圆柱挖去一部分，圆柱底面半径为1，高为3，∴这个几何体的体积是．故选：C．8．（5分）若实数x，y满足约束条件，则3x+4y+2的最小值为（）A．5B．4C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（﹣，），令z＝3x+4y+2，化为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故选：D．9．（5分）函数f（x）＝lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝lnx﹣x2，其定义域为（0，+∞）∴f′（x）＝﹣x＝由f′（x）＞0得，0＜x＜2；f′（x）＜0得，x＞2；∴f（x）＝lnx﹣x2，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；∴x＝2时，f（x）取到极大值．又f（2）＝ln2﹣＞0，∴函数f（x）＝lnx﹣x2的图象的点（2，f（2））在x轴上方，可排除B，C，D．故选：A．10．（5分）秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4s＝4，k＝1不满足条件k＞n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2不满足条件k＞n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3不满足条件k＞n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4不满足条件k＞n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5由题意，此时应该满足条件k＞n，退出循环，输出s的值为484，可得：5＞n≥4，所以输入n的值为4．故选：C．11．（5分）已知函数，其中e是自然对数的底数．则关于x的不等式f（2x ﹣1）+f（﹣x﹣1）＞0的解集为（）A．B．（2，+∞）C．D．（﹣∞，2）【解答】解：∵函数＝e x﹣e﹣x满足f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数且是单调递增函数，关于x的不等式f（2x﹣1）+f（﹣x﹣1）＞0，即关于x的不等式为f（2x﹣1）＞f（x+1），∴2x﹣1＞x+1，求得x＞2，故选：B．12．（5分）设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|P A|+|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），另一个焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2a＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2a﹣|PF|，可得|P A|﹣|PF'|＝8﹣2a，由||P A|﹣|PF'||≤|AF'|＝1，可得﹣1≤8﹣2a≤1，解得≤a≤，又c＝2，可得e＝∈[，]，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13．（5分）在等腰直角三角形△ABC中，E为斜边BC的中点，且AC＝2，F为AB的中点，则＝﹣1．【解答】解：以AC，AB为坐标轴建立平面坐标系，则A（0，0），B（0，2），C（2，0），∴E（1，1），F（0，1），∴＝（1，1），＝（﹣2，1），∴＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+b2﹣c2）tan C＝ab，则角C的值．【解答】解：在△ABC中，由已知等式整理得：＝，即cos C＝，∵cos C≠0，∴sin C＝，∵C为锐角，∴C＝．故答案为：．15．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为的等边三角形．若AB＝8，则四面体ABCD外接球的表面积为100π．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形；∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，∴CD⊥AE，BE⊥CD，AE∩BE＝E，CD⊥平面ABE，可得平面ACD⊥平面ABE，如图所示；∵AB＝8，BC＝3，△BCD是边长为3的等边三角形；∴BE＝×3＝，设△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线FO于O，则O为外接球的中心，R＝＝＝5；∴四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2＝100π．故答案为：100π．16．（5分）已知函数，g（x）＝mx+1，若f（x）与g（x）的图象上存在关于直线y＝1对称的点，则实数m的取值范围是[﹣，3e]．【解答】解：g（x）＝mx+1关于直线y＝1对称的直线为y＝h（x）＝1﹣mx，∴直线y＝1﹣mx与y＝2lnx在[，e2]上有交点．作出y＝1﹣mx与y＝2lnx的函数图象，如图所示：若直线y＝1﹣mx经过点（，﹣2），则m＝3e，若直线y＝1﹣mx与y＝2lnx相切，设切点为（x，y）．则，解得．∴﹣≤m≤3e．故答案为：[﹣，3e]．三、解答题：共70分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a3﹣1成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，数列{b n}的前n项和为S n，试比较S n与n2+2n的大小．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1，a2，a3﹣1成等差数列，∴2a2＝a1+（a3﹣1）＝a3，∴，∴．（Ⅱ）∵b n＝2n﹣1+a n∴＝[1+3+5+…（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）＝．∵，∴．18．（12分）寒冷的冬天，某高中一组学生来到一大棚蔬菜基地，研究种子发芽与温度控制技术的关系，他们分别记录五组平均温度及种子的发芽数，得到如下数据：（Ⅰ）若从五组数据中选取两组数据，求这两组数据平均温度相差不超过2°C概率；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：＝＝，）【解答】解：（Ⅰ）设A＝{从五组数据中选取两组数据，平均温度相差不超过2°C}，则基本事件为（11，10），（11，13），（11，9），（11，12），（10，13），（10，9），（10，12），（13，9），（13，12），（9，12），所以；（Ⅱ）计算，，，，，5•＝5×112＝605，∴＝＝＝＝3.1，∴＝24﹣3.1×11＝﹣10.1，∴y关于x的线性回归方程为y＝3.1x﹣10.1；（Ⅲ）利用回归方程y＝3.1x﹣10.1，得到五组估计数据如图所示；所以线性回归方程y＝3.1x﹣10.1是可靠的．（注只要验证一两个数据且结论正确可给两分）19．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝2，现将△ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在线段AB上．（Ⅰ）证明：AP⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EBC的表面积．【解答】证明：（Ⅰ）由题知PE⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴PE⊥BC，又AB⊥BC，且AB∩PE＝E，∴BC⊥平面P AB，又AP⊂平面P AB，∴BC⊥AP，又AP⊥CP，且BC∩CP＝C，∴AP⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AP⊥PB．解：（Ⅱ）在△P AB中，由（Ⅰ）得AP⊥PB，AB＝4，AP＝2，∴，∴BE＝3∴在△EBC中，EB＝3，BC＝2，∴，在△PEC中，∴，∴，∴三棱锥P﹣EBC的表面积为：．20．（12分）动点P到定点F（0，1）的距离比它到直线y＝﹣2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）求证：；【解答】解：（Ⅰ）由已知，动点P在直线y＝﹣2上方，条件可转化为动点P到定点F（0，1）的距离等于它到直线y＝﹣1的距离，∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点，直线y＝﹣1为准线的抛物线故其方程为x2＝4y；（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y＝kx+1，由得：x2﹣4kx﹣4＝0，设A（x A，y A），B（x B，y B），则x A+x B＝4k，x A x B＝﹣4，由x2＝4y得：，∴，∴直线AM的方程为：①直线BM的方程为：②①﹣②得：，即，将代入①得：，∴，故M（2k，﹣1），∴，，∴．21．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣2）e x+b（x﹣2）2，（Ⅰ）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为5x﹣y﹣2＝0，求a，b的值；（Ⅱ）若a＝1，b∈R求函数f（x）的零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f'（x）＝a（x﹣1）e x+2b（x﹣2），f'（0）＝﹣a﹣4b＝5，f（0）＝﹣2a+4b＝﹣2，解得a＝b＝﹣1；（Ⅱ）f（x）＝（x﹣2）[e x+b（x﹣2）]，易得f（x）有一个零点为x＝2，令g（x）＝e x+b（x﹣2），（1）若b＝0，则g（x）＝e x＞0，无零点，所以函数f（x）只有一个零点；（2）若b≠0，则g'（x）＝e'x＝e x+b①若b＞0，则g'（x）＞0所以g（x）单调递增，而，g（2）＝e2＞0，所以g（x）有一个零点，所以f（x）有两个零点；②若b＜0，由g'（x）＝e x+b＝0，知e x＝﹣b，x＝ln（﹣b），所以g（x）在（﹣∞，ln（﹣b）]单调递减，在（ln（﹣b），+∞）单调递增；所以函数g（x）的最小值为g（x）min＝g（ln（﹣b））＝b[ln（﹣b）﹣3]（ⅰ）当ln（﹣b）﹣3＜0即﹣e3＜b＜0时，g（x）min＝g（ln（﹣b））＝b[ln（﹣b）﹣3]＞0，所以g（x）无零点，所以f（x）函数只有一个零点；（ⅱ）当ln（﹣b）﹣3＝0时，即b＝﹣33，所以g（x）有一个零点，所以函数f（x）有两个零点，（ⅲ）当ln（﹣b）﹣3＞0时，即b＜﹣33时，g（x）min＜0，所以g（x）有两个零点，所以函数f（x）有三个零点；综上，当b＝0或﹣e3＜b＜0时，函数f（x）只有一个零点；当b＞0或b＝﹣e3时，函数f（x）有两个零点；当b＞﹣e3时，函数f（x）有三个零点．（利用函数图象的交点个数讨论酌情给分）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，曲线C1的普通方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣1＝0．（Ⅰ）求曲线C1、C2的参数方程；（Ⅱ）若点M、N分别在曲线C1、C2上，求|MN|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，曲线C1的参数方程为（α是参数），因为曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣1＝0，化简可得直角坐标方程：x2+y2+2x﹣1＝0，即（x+1）2+y2＝2，所以曲线C2的参数方程为（θ是参数）（Ⅱ）设点，易知C2（﹣1，0），∴|MC2|＝＝＝，∴cosα＝0时，，∴．∴|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤10的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为m，且a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥12．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|x+1|+|x﹣5|≤10，等价于或或，解得﹣3≤x≤﹣1或﹣1＜x＜5或5≤x≤7，所以不等式f（x）≤10的解集为{x|﹣3≤x≤7}．（Ⅱ）因为f（x）＝|x+1|+|x﹣5|≥|（x+1）﹣（x﹣5）|＝6，当且仅当（x+1）（x﹣5）≤0即﹣1≤x≤5时取等号．所以m＝6，即a+b+c＝6．∵a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，c2+b2≥2bc，∴2（a2+b2+c2）≥2ab+2ac+2bc，∴3（a2+b2+c2）≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝（a+b+c）2＝36．∴a2+b2+c2≥12．当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立．。