泊松过程讲义
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第三章泊松(Poisson)过程.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
泊松过程poisson
分析、推荐系统等。
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
随机过程第三章 泊松过程 ppt课件
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记T n 为
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
第三章 泊松过程要点
P[ N1 (t , t s ) k , N1 (t , t s ) m k )]
k 0 m m
P[ N1 (t , t s ) k ]P[ N1 (t , t s ) m k )]
k 0 m m (1s ) k e 1s (2 s ) m k e 1s m! ( 1 2 ) s k mk 1 e (1s ) (2 s ) k! (m k )! m! k 0 k 0 k !( m k )!
P[ N1 (t , t s ) k1 | N (t , t s ) m]P[ N (t , t s ) m]
m0
m k1
P[ N (t , t s) k
1 k1 k1 m k1 C p (1 p ) m
1
| N (t , t s ) m]P[ N (t , t s ) m]
其中 N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 表示独立到达泊松系统的 k1 k2 个质点中恰好到达系统A有 k1 个，则有
P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ] C kk1k p k1 (1 p ) k2
1 2
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
（4）证明 N1 (t ), N2 (t ) 的独立性
P[ N1 (t ) k1 , N 2 (t ) k2 ] P[ N1 (t ) k1 , N (t ) k1 k2 ] P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ]P( N (t ) k1 k2 )
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
k 0 m m
P[ N1 (t , t s ) k ]P[ N1 (t , t s ) m k )]
k 0 m m (1s ) k e 1s (2 s ) m k e 1s m! ( 1 2 ) s k mk 1 e (1s ) (2 s ) k! (m k )! m! k 0 k 0 k !( m k )!
P[ N1 (t , t s ) k1 | N (t , t s ) m]P[ N (t , t s ) m]
m0
m k1
P[ N (t , t s) k
1 k1 k1 m k1 C p (1 p ) m
1
| N (t , t s ) m]P[ N (t , t s ) m]
其中 N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 表示独立到达泊松系统的 k1 k2 个质点中恰好到达系统A有 k1 个，则有
P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ] C kk1k p k1 (1 p ) k2
1 2
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
（4）证明 N1 (t ), N2 (t ) 的独立性
P[ N1 (t ) k1 , N 2 (t ) k2 ] P[ N1 (t ) k1 , N (t ) k1 k2 ] P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ]P( N (t ) k1 k2 )
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
北京大学 泊松过程 讲义
2 2
D {N (t )} = E [ N (t )] − ⎡ ⎣ E {N (t )}⎤ ⎦ = λt
2
{
}
自相关函数
R(t1 , t2 ) = E {N (t1 ) N (t2 )}
假设 t1 < t2 ，有
E{N (t1 ) N (t2 )} = E {N (t1 ) N (t1 ) + N (t1 ) [ N (t2 ) − N (t1 ) ]} = E{N (t1 ) N (t1 )} + E {N (t1 )} ⋅ E{[ N (t2 ) − N (t1 )]} = λ t1 + ( λ t1 ) + λ t1 ⋅ λ ( t2 − t1 )
n ≥1
d P0 (t ) = −λ P0 (t ) dt d Pn (t ) = −λ Pn (t ) + λ Pn −1 (t ), n ≥ 1 dt
泊松过程递推微分方程的解，
P0 (t ) = e − λ t P1 (t ) = λ t ⋅ e − λ t Pn (t ) = (λ t ) n − λ t e n!
则
(s < t)
λ se − λ s ⋅ e − λ ( t − s ) s = t λ te − λ t
Ｓ的概率密度是 1/t。
结论：如果已知在(0,t)内发生 n 次事件，则 n 次事件的发生时间是 n 个独立同分布的随 机变量的顺序序列，每一随机变量均匀分布于(0,t)内。
4.4 时间间隔 (0, t2 ) 内发生 n 个事件时， (0, t1 < t2 ) 内发生 k 次事件的概率
1.3 泊松过程的基本概念
定义，设有一个计数过程{N(t), t>0}满足下列假设，称为泊松过程， 1. 2. 3. 4. 在 t=0 时，N(t)=0； 该过程是独立增量计数过程； 该过程是平稳增量计数过程； 在（t, t+Δt）内出现一个事件的概率为 λΔt + 0(Δt)，λ为一常数，在（t, t+Δt） 内出现两个或两个以上事件的概率为 0(Δt)，即 P{ N(t+Δt) - N(t)>1}=0(Δt)
D {N (t )} = E [ N (t )] − ⎡ ⎣ E {N (t )}⎤ ⎦ = λt
2
{
}
自相关函数
R(t1 , t2 ) = E {N (t1 ) N (t2 )}
假设 t1 < t2 ，有
E{N (t1 ) N (t2 )} = E {N (t1 ) N (t1 ) + N (t1 ) [ N (t2 ) − N (t1 ) ]} = E{N (t1 ) N (t1 )} + E {N (t1 )} ⋅ E{[ N (t2 ) − N (t1 )]} = λ t1 + ( λ t1 ) + λ t1 ⋅ λ ( t2 − t1 )
n ≥1
d P0 (t ) = −λ P0 (t ) dt d Pn (t ) = −λ Pn (t ) + λ Pn −1 (t ), n ≥ 1 dt
泊松过程递推微分方程的解，
P0 (t ) = e − λ t P1 (t ) = λ t ⋅ e − λ t Pn (t ) = (λ t ) n − λ t e n!
则
(s < t)
λ se − λ s ⋅ e − λ ( t − s ) s = t λ te − λ t
Ｓ的概率密度是 1/t。
结论：如果已知在(0,t)内发生 n 次事件，则 n 次事件的发生时间是 n 个独立同分布的随 机变量的顺序序列，每一随机变量均匀分布于(0,t)内。
4.4 时间间隔 (0, t2 ) 内发生 n 个事件时， (0, t1 < t2 ) 内发生 k 次事件的概率
1.3 泊松过程的基本概念
定义，设有一个计数过程{N(t), t>0}满足下列假设，称为泊松过程， 1. 2. 3. 4. 在 t=0 时，N(t)=0； 该过程是独立增量计数过程； 该过程是平稳增量计数过程； 在（t, t+Δt）内出现一个事件的概率为 λΔt + 0(Δt)，λ为一常数，在（t, t+Δt） 内出现两个或两个以上事件的概率为 0(Δt)，即 P{ N(t+Δt) - N(t)>1}=0(Δt)
第3讲第三章泊松过程
对于n＞1 和t＞0,以及 s1，s2，…，sn-1>0,有
P Tn t T1 s1,,Tn1 sn1 P Nt s1 sn1 Ns1 sn1 1T1 s1,,Tn1 sn1
PN t s1 sn1 N s1 sn1 1
1 PN t s1 sn1 N s1 sn1 0
(2) N(t)是独立增量过程；
(3) 对一切0≤s,t, N(t+s) －N(s) ～P(λt),即
P[N (t s) N (s)] k et [t]k , k 0,1, 2,
k! 称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程.
注1 从增量分布知：齐次泊松过程也是平稳增量过程.
注2 N(t) ～P(λt).
et (t)k1 dt
t0
(k 1)!
例3.3 设N1(t)和N2( t )分别是强度为λ1和λ2的相互独立的
泊松过程, Wk1为过程N1(t)的第k个事件的到达时间，
W12 为过程N2(t)的第1个事件的到达时间，求 P Wk1 W12
解： fwk1
x
e1x 1
1 x k1
(k 1)!
所以3.2→定义3.3
再证 由定义3.3 → 定义3.2
即：需证明 N(t s) N(s) ~ t 由于是平稳增量故只需证 N(t) ~ t
记：Pn t PN(t) n
下面我们依次求Po(t), P1(t),…， Pk(t) ,…
首先，由定义3.3中的条件（3）：
P1 h h oh
P0
0
1,由条件1
N
0
0
解得p0 (t) et , t 0
当n≥1时， n
pn (t h) pk (h)pnk (t) k 0 p0 (h) pn (t) p1(h) pn1(t) oh
P Tn t T1 s1,,Tn1 sn1 P Nt s1 sn1 Ns1 sn1 1T1 s1,,Tn1 sn1
PN t s1 sn1 N s1 sn1 1
1 PN t s1 sn1 N s1 sn1 0
(2) N(t)是独立增量过程；
(3) 对一切0≤s,t, N(t+s) －N(s) ～P(λt),即
P[N (t s) N (s)] k et [t]k , k 0,1, 2,
k! 称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程.
注1 从增量分布知：齐次泊松过程也是平稳增量过程.
注2 N(t) ～P(λt).
et (t)k1 dt
t0
(k 1)!
例3.3 设N1(t)和N2( t )分别是强度为λ1和λ2的相互独立的
泊松过程, Wk1为过程N1(t)的第k个事件的到达时间，
W12 为过程N2(t)的第1个事件的到达时间，求 P Wk1 W12
解： fwk1
x
e1x 1
1 x k1
(k 1)!
所以3.2→定义3.3
再证 由定义3.3 → 定义3.2
即：需证明 N(t s) N(s) ~ t 由于是平稳增量故只需证 N(t) ~ t
记：Pn t PN(t) n
下面我们依次求Po(t), P1(t),…， Pk(t) ,…
首先，由定义3.3中的条件（3）：
P1 h h oh
P0
0
1,由条件1
N
0
0
解得p0 (t) et , t 0
当n≥1时， n
pn (t h) pk (h)pnk (t) k 0 p0 (h) pn (t) p1(h) pn1(t) oh
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
第三章泊松过程PPT课件
பைடு நூலகம்
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et
泊松过程 ppt课件
P{X(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1}+
P{X(njt2)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j}.
根据定义3.3的(2)与(3),得
Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1(t)P1(h)+o(h) =(1-λh)Pn(t)+λhPn-1(t)+o(h) 于是,有
则称 { n n 1 }
以 T n （ n 1 ） 表 示 第 n 1 次 发 生
则称 { T n n 1 }
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定理3.2
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设{ X (t) ， t 0 }是参数为 （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列T1，T2， 是相互独立的随机变量序列，
且都有相同的均值为1/ 的指数分布。
故定义3.3蕴涵定义3.2.
n!
第二节 泊松过程的基本性质
一．数字特征
设{ X (t) ， t 0 }为泊松过程，对任意的 t, s [0, ),
且s t,有 E [ X ( t ) X ( s ) ] D [ X ( t ) X ( s ) ] ( t s ) 由于X(0)0,故
第三章 泊松过程(Poisson process)
第一节 泊松过程的定义和例子 第二节 泊松过程的基本性质 第三节 非齐次泊松过程 第四节 复合泊松过程
第一节 泊松过程的定义和例子
1．计数过程
如果用 N(t) 表示到时刻 t 为止已发生的“事件 A”的总数， 若 N(t) 满足下列条件：
（1） N(t) 0
k!
k0,1,2,
则称 X (t) 为具有参数 的泊松过程。
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注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
P{X(njt2)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j}.
根据定义3.3的(2)与(3),得
Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1(t)P1(h)+o(h) =(1-λh)Pn(t)+λhPn-1(t)+o(h) 于是,有
则称 { n n 1 }
以 T n （ n 1 ） 表 示 第 n 1 次 发 生
则称 { T n n 1 }
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定理3.2
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设{ X (t) ， t 0 }是参数为 （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列T1，T2， 是相互独立的随机变量序列，
且都有相同的均值为1/ 的指数分布。
故定义3.3蕴涵定义3.2.
n!
第二节 泊松过程的基本性质
一．数字特征
设{ X (t) ， t 0 }为泊松过程，对任意的 t, s [0, ),
且s t,有 E [ X ( t ) X ( s ) ] D [ X ( t ) X ( s ) ] ( t s ) 由于X(0)0,故
第三章 泊松过程(Poisson process)
第一节 泊松过程的定义和例子 第二节 泊松过程的基本性质 第三节 非齐次泊松过程 第四节 复合泊松过程
第一节 泊松过程的定义和例子
1．计数过程
如果用 N(t) 表示到时刻 t 为止已发生的“事件 A”的总数， 若 N(t) 满足下列条件：
（1） N(t) 0
k!
k0,1,2,
则称 X (t) 为具有参数 的泊松过程。
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注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
第一章-马氏过程_泊松过程_讲稿
第一章 随机过程离散时间随机过程连续型随机过程()X t →采样 →(),1,2,n n X X t n ==⋅⋅⋅称为随机变量序列12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅也记作{(),1,2,,}X n n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅或{}n X ，简记为()X n 或n X 。
称()X n 为离散时间随机过程。
()X n 在时刻n 的取值是一个随机变量n X ，其概率分布就是离散时间随机过程的一维分布。
()X n 在时刻n m ,的取值n m X X ,的联合分布，就是离散时间随机过程的二维分布。
以此类推，()X n 在n 个时刻的取值的联合分布，就是离散时间随机过程的n 维分布。
若经过某时间平移k 后，其任意n 维分布保持不变：X k k N k X N F x x x k k N k F x x x N 1212(,,...,;1,2,...,)(,,...,;1,2,...,)++++++=则称该离散时间随机过程为严平稳的。
均值 nX n m E X E X n ()(())==均方值 nX n E X ψ22()=相关函数 X n n R n n E X X 1212(,)()=宽平稳的定义 nX n X m E X m ()==X n n X R n n E X X R m m n n 121221(,)()(),===-nX X R ψ2(0)=<∞遍历性 （对应连续随机过程的时间平均 TTT dt T 1lim 2-→∞⎰g ）时间均值 Nn N n NA X n X n X N 1()()lim 21→∞=-==+∑ 时间相关函数NX n n m N n NR n n m X n X n m X X N 1(,)()()lim 21+→∞=-+=+=+∑ 定义： 若宽平稳随机序列()X n 的时间均值依概率1等于其统计均值X m ，时间相关函数依概率1等于其统计相关函数X R m ()则称其为宽遍历的。
第五节 泊松过程
第五节 泊松过程
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0
0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
7
2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
8
2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0
0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
7
2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
8
2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率
第四章泊松过程3讲解
n =i1 +1
i2
0i0 i1 i2
P (N (t )-N (t )=i -i , Y
n =i0 +1
x1 )P(N (t2 )-N (t1 )=i2 -i1, Yn x2 )
n =i1 +1
i2
= P (N (t1 )-N (t0 )=i1 -i0 ,
0i0 i1
=EX (s)E (X (t )-X (s))+EX (s)X (s)) = sEY1 (t -s)EY1 + sEY12 +( sEY1 ) 2 = 2 st (EY1 ) 2 + sEY12
应用复合泊松过程的简单应用
例：某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天 内平均到达率为8的泊松过程.他们分别以概率 1/2,1/3,和1/6订阅1季度、2季度和3季度的杂志， 其选择是相互独立的.每次订阅1季度时，该负责人 可得1元手续费.令X(t)表示在[0,t)内此人所得的手 续费，试求E[X(t)],D[X(t)],以及相应的特征函数.
k 0 n 1
例 设在[0, t]内事件A已经发生n次， 求第k次(k<n) 事件A发生的时间Tk的条 件概率密度函数. 解 先求条件分布 P {h Wk s h | X (t ) n} s s+h t 再对s求导。
0 Tk Tn
{s Tk s h} {Tk s h}\{Tk s} 当h充分小时，有X (s h) k
i1
n
x1,N (t1 )=i1,N (t2 )=i2 , Yn x2 )
n =i1 +1 i2
i2
0i0 i1 i2
P (N (t )-N (t )=i -i , Y
i2
0i0 i1 i2
P (N (t )-N (t )=i -i , Y
n =i0 +1
x1 )P(N (t2 )-N (t1 )=i2 -i1, Yn x2 )
n =i1 +1
i2
= P (N (t1 )-N (t0 )=i1 -i0 ,
0i0 i1
=EX (s)E (X (t )-X (s))+EX (s)X (s)) = sEY1 (t -s)EY1 + sEY12 +( sEY1 ) 2 = 2 st (EY1 ) 2 + sEY12
应用复合泊松过程的简单应用
例：某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天 内平均到达率为8的泊松过程.他们分别以概率 1/2,1/3,和1/6订阅1季度、2季度和3季度的杂志， 其选择是相互独立的.每次订阅1季度时，该负责人 可得1元手续费.令X(t)表示在[0,t)内此人所得的手 续费，试求E[X(t)],D[X(t)],以及相应的特征函数.
k 0 n 1
例 设在[0, t]内事件A已经发生n次， 求第k次(k<n) 事件A发生的时间Tk的条 件概率密度函数. 解 先求条件分布 P {h Wk s h | X (t ) n} s s+h t 再对s求导。
0 Tk Tn
{s Tk s h} {Tk s h}\{Tk s} 当h充分小时，有X (s h) k
i1
n
x1,N (t1 )=i1,N (t2 )=i2 , Yn x2 )
n =i1 +1 i2
i2
0i0 i1 i2
P (N (t )-N (t )=i -i , Y
第十七讲泊松过程
所以P{N (t + ∆t ) − N (t ) = 0} = 1 − λ∆t + o(∆t )
P0 (t + ∆t ) = P{N (t + ∆t ) = 0} = P{N (t ) = 0, N (t + ∆t ) − N (t ) = 0}
独立增量
=
P{N (t ) = 0}P{N (t + ∆t ) − N (t ) = 0} = P0 (t ){1 − λ∆t + o(∆t )}
2
6、泊松流
• 通常记录到某一数量的质点所需的时间Wn, • 如W1表示一个质点到达的时间，W2表示两个质点 到达所需的时间,… • {Wn>t}={n个质点到达的时间>t} • ={[0,t)时间内到达的质点数<n}={N(t)<n} • Fwn(t)=P{Wn<=t}=1-P{Wn>t}=1-P{N(t)<n} • = P{N (t ) ≥ n} =
− λt
定理1、强度为 λ 的泊松过程的点间间距是相 互独立的随机变量,且服从同一个指数分布。
• 定理2、如果任意相继出现的两个质点的点间间 距相互独立，且服从同一个指数分布，则质点流 构成了强度为 λ 的泊松过程。
维纳过程
• 维纳过程是布朗运动的数学模 型。 • 设W(t)表示运动微粒从t=0时 刻到t时刻位移的横坐标。 • (1)具有平稳的独立增量 • (2)对于任意t>s>=0,W(t)-W(s) 服从正态分布 • (3)对于任意t>=0,E(W(t))=0 • (4)W(0)=0
第十七讲
泊松过程
5、泊松过程的两个定义 • 定义1、一个计数过程{N(t),t>=0}称为泊松 过程，如果存在参数 λ ，使得N(t)满足： • (1)N(0)=0 (从0开始计数) • (2)过程具有独立增量 • (3) P{N (t + ∆t ) − N (t ) = 1} = λ∆t + o(∆t ) (短时间内发生一
4-泊松过程
n n 1 2 1
n kn1
k1 !(k2 k1 )!(kn kn 1 )!
12
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则
1. 均值函数 mN (t ) E( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质： （1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫； （2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
9
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
2 1
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
n kn1
k1 !(k2 k1 )!(kn kn 1 )!
12
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则
1. 均值函数 mN (t ) E( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质： （1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫； （2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
9
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
2 1
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
第三章 泊松过程要点
其中 N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 表示独立到达泊松系统的 k1 k2 个质点中恰好到达系统A有 k1 个，则有
P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ] C kk1k p k1 (1 p ) k2
1 2
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
二、泊松过程的几个例子
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
二、泊松过程的数字特征 1、均值函数
mN (t ) E[ N (t )] t
表示单位时间内平均发生的事件数。
E[ N (t )] E[ N (t )] 表示[0,t)时段内平均发生的事件数， t
第一节、泊松过程的基本概念
从定义可得知， N (t ), t 0 为一时齐泊松过程，N(t)表示[0,t] 时段内事件发生的次数。 （1）条件（1） 表明在初始时刻无事件发生，即 P[ N (0) 0] 1 （2）条件（2）表明任意多个不相重叠的时间间隔内发生的 事件数相互独立 （3）条件（3）表明[s, s t ] 时间内发生的时间数的分布只与 时间间隔t有关，与时间起点无关 （4）条件（4）表明在足够小的时间 t 内事件发生一次的 概率与时间 t 成正比，而在足够小的时间内事件发生次数 不少于2的概率是关于t 的高阶无穷小。即在足够短的时间 内，事件发生两次以上为小概率事件。
第一节、泊松过程的基本概念
三、泊松过程的叠加与分解
1、泊松过程的叠加
定理：设 N1 (t ), t 0 与N2 (t ), t 0 为相互独立且强度分别 为 1 , 2 的泊松过程，对于任意给定的 t T ,
第二章泊松过程随机过程ppt课件
命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。
证明：P{X1>t}= P{ N(t)=0}=et P{ X2>t| X1=s}= P{在(s,s+t]内没有事件| X1=s}=P{在(s,s+t]内没有
事件}(由独立增量)= et (由平稳增量)
所以，从上可得，X2 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 X2
证明： (1)对 y1 y2 yn，如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排 列中的任一个，Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当( yi1 , yi2 , , yin )是 (y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,, Yn 等于( yi1 , yi2 , , yin )的概率密度是
2. 来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival times)
假设已知到时间 t 泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件
发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为
[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个
2．泊松过程第二个定义 为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件
(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确 定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
14 泊松过程
( t ) k t P N (t0 t ) N (t0 ) k e k! k 0,1, 2......, 式中t0 , t 0， 0泊松
过程的强度，因此对固定的t，泊松随机 过程 N (t )服 从 t的泊松分布
通俗证明方法
二、泊松过程—数字特征
1、泊松过程—均值 2、泊松过程－方差
E[Tk ]
tfTk (t )dt t e
k t
0
t
e
k
( t ) (k 1)!
t
k 1
dt k
(k 1)! 0
k
dt
k!
k 1
( k 1)!
第k个到达时间的均值正好是该过程
速率λ 倒数的k倍。
3、到达时间的数字特征－方差
3、泊松过程－自相关函数
4、
平均强度 5、泊松过程—样本函数 6、泊松脉冲序列
1、泊松过程—均值
均值： E N t t , t t 0 0
证明：E N t t , t kp ( t t , t ) 0 0 k 0 0
4、泊松过程—定义
设有一随机计数过程 N (t ), t [0, )， 其状态仅取非负整数值，并满足下列 条件：零初始值性： 1) P N (0) 0 1 2)平稳增量过程 3)独立增量计数过程
4、泊松过程—定义
4)单跳跃性： P N (t t ) N (t ) k lim 0, t 0 t 0 t k 2
2
2
t (t 1) (t ) t
过程的强度，因此对固定的t，泊松随机 过程 N (t )服 从 t的泊松分布
通俗证明方法
二、泊松过程—数字特征
1、泊松过程—均值 2、泊松过程－方差
E[Tk ]
tfTk (t )dt t e
k t
0
t
e
k
( t ) (k 1)!
t
k 1
dt k
(k 1)! 0
k
dt
k!
k 1
( k 1)!
第k个到达时间的均值正好是该过程
速率λ 倒数的k倍。
3、到达时间的数字特征－方差
3、泊松过程－自相关函数
4、
平均强度 5、泊松过程—样本函数 6、泊松脉冲序列
1、泊松过程—均值
均值： E N t t , t t 0 0
证明：E N t t , t kp ( t t , t ) 0 0 k 0 0
4、泊松过程—定义
设有一随机计数过程 N (t ), t [0, )， 其状态仅取非负整数值，并满足下列 条件：零初始值性： 1) P N (0) 0 1 2)平稳增量过程 3)独立增量计数过程
4、泊松过程—定义
4)单跳跃性： P N (t t ) N (t ) k lim 0, t 0 t 0 t k 2
2
2
t (t 1) (t ) t
第4讲第三章泊松过程
k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n]（Dk 与N(t), Wk相互独立） k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注： 复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一 个复合模型，通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布，则
1） {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明：
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理 了.
若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变， 设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：
定义：如果计数过程满足下列条件 1）N(0)=0； 2）{N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程；
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1
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定义中的条件 (3)说明，在充分小的时间间隔内，最 多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件 同时发生。
可以证明两个定义是等价的。
2015/12/22 北京邮电大学电子工程学院 6
证明：定义3.2蕴含定义3.3，显然。
下证定义3.3蕴含定义3.2。
令P （0） n} n (t ) P{X (t ) n} P{X (t ) X
( t ) n t 根据平稳增量性，得P{ X (t s) - X ( s) n} e , n 0,1, n!
2015/12/22 北京邮电大学电子工程学院 11
第二节 泊松过程的基本性质
一、数字特征 (1) mX (t ) E[ X (t )] t
2 (2) X (t ) D[ X (t )] t
j 2 n
由定义3.3的（2）和(3)得
Pn (t h) Pn (t ) P0 (h) Pn1 (t ) P 1 (h) o(h) (1 h) Pn (t ) hPn1 (t ) o(h)
2015/12/22 北京邮电大学电子工程学院 9
于是 Pn (t h) Pn (t ) o( h) Pn (t ) Pn 1 (t ) h h 令h 0 , 取极限得：
j n
t
对上式求导，得
( t ) j!
j
fWn (t ) e t
j n
j 1 ( t ) j ( t ) e t j! ( j 1)! j n
e ) e t j! j! j n 1
(3) RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )] E[ X ( s)[ X (t ) X ( s) X ( s)]] E[ X ( s) X (0)][ X (t ) X ( s) X ( s)] E[ X ( s) X (0)][ X (t ) X ( s)] E[ X ( s)]2 s (t s) s ( s ) 2 s (t 1) 当s t时，RX ( s, t ) t ( s 1) (s t )
n 1 n 1 ( t ) ( t ) [et Pn (t )]' et Pn 1 (t )=et e t （n 1)! （n 1)!
则
n ( t ) et Pn (t )= c n!
由Pn (0)=0，代入上式得
( t ) n t Pn (t )= e n!
上式又称爱尔兰分布，它是 n 个相互独立且服从指 数分布的随机变量之和的概率密度。
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证明：由于第n个事件在时刻t或t之前发生当且仅当时 间t已发生的事件数目至少是n，即
X (t ) n Wn t
因此
P(Wn t ) P( X (t ) n) e
t P ( t ) ( t c ) e 1
当n 1时
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-t 由P (0) 0, 代入上式得 P ( t ) te . 1 1 ( t ) n - t 下由归纳法证明Pn (t ) e 。 n! 假设n 1时定义3.2的（3）成立，则
所以T2服从均值为1/的指数分布，且与T1独立。
对于任意n>0和t, s1, s2 ,…, sn-1≥0,有 P(Tn t | T1 s1 , , Tn 1 sn 1 )
P( X (t s1 sn 1 ) X ( s1 sn 1 ) 0) P( X (t ) X (0) 0) e t
T1 T2 W2 Tn Wn-1 Wn
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0
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W1
定理3.2 设{X(t), t≥0}是具有参数的泊松过程， {Tn，n ≥1}是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn(n ≥1)是独立 同分布的均值为1/ 的指数分布。
证明：首先注意到事件 {T1>t}发生当且仅当泊松过程 在区间[0，t]内没有事件发生，因而 P(T1>t)=P(X(t)=0)=e- t 即 FT1(t)=P(T1≤t)=1- P(T1>t)=1- e- t
n ( t ) P{ X (t s) X (s) n} e t , n 0,1, n! 从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=t。
E[ X (t )] t 表示单位时间内事件A发生的平均次数，故称为此 过程的速率或强度。
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e t
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(t ) n 1 (n 1)!
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例 3.2 已知仪器在 [0 ， t] 内发生振动的次数 X(t) 是具有 参数的泊松过程。若仪器振动k(k≥1)次就会出现故障， 求仪器在t0正常工作的概率。
于是：P0 (t ) ce t 而P0 (0) 1，则P{ X (t ) 0} e t
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类似地，对于n 1有
Pn (t h) P{ X (t h) n} P{ X (t h) X （0） n} P{ X (t ) X （0） n, X (t h) X （t） 0} P{ X (t ) X （0） n 1, X (t h) X （t） 1} P{ X (t ) X （0） n j , X (t h) X （t） j}
于是 Pn '(t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) 所以 et [ Pn '(t ) Pn (t )] et Pn 1 (t ) 得 [et Pn (t )]' et Pn 1 (t )
t [e t P 1 (t )]' e P 0 (t )
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定义3.3 称计数过程{X(t), t≥0 }为具有参数>0的泊松 过程，若它满足下列条件：
(1) X(0)=0;
(2) X(t)是独立、平稳增量过程；
(3) X(t)满足下列条件: (h>0)
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h), P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
根据定义3.3之（2）和（3）有
P0 (t h) P{ X (t h) 0} P{ X (t h) X （0） 0} P{ X (t ) X （0） 0, X (t h) X （t） 0} P{ X (t ) X （0） 0}P{ X (t h) X （t） 0} P0 (t )[1 h o(h)]
设 {X(t),t≥0} 是泊松过程，令 X(t) 表示 t 时刻事件 A发生（顾客出现）的次数，W1,W2,…表示第一次、 第二次， …事件 A发生的时间，Tn(n ≥1) 表示从第 (n-1) 次事件 A发生到第 n 次发生的时间间隔。通常 称Wn为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A的等 待时间, Tn为第n个时间间隔.
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P 0 (t h) P 0 (t ) P 0 (t )[h o(h)]
P0 (t h) P0 (t ) o( h) 于是： P0 (t ) h h P0 (t h) P0 (t ) 则： lim P0 (t ) P0 '(t ) h 0 h
即
FTn (t ) P(Tn t ) 1 et
所以对任一Tn(n≥1)，其分布是均值为1/ 的指数分布， 且独立。
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另一个感兴趣的是等待时间Wn的分布，即第n次事件 A到达的时间分布，因 n Wn Ti (n 1)
i 1
由于
例.设X (t )表示[0, t ]时间段内进入某商场的顾客数 那么{ X (t ), t 0}是计数过程。且： （1）0 t1 t2 t3 t4 X (t2 ) X (t1 ) ： (t1 , t2 ]内进入该商场的顾客数 X (t4 ) X (t3 ) ： (t3 , t4 ]内进入该商场的顾客数 X (t2 ) X (t1 )，X (t4 ) X (t3 )相互独立； （2）0 t1 t2 , X (t2 ) X (t1 )的分布仅由t2 t1决定； 因此{ X (t )，t 0}是独立平稳增量过程。
第三章 泊松过程
掌握泊松过程的基本概念 掌握泊松过程的数字特征
掌握泊松过程时间间隔和等待时间的分
布 掌握泊松过程达到时间的条件分布 了解非齐次泊松过程和复合泊松过程
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第一节 泊松过程的定义
例3.1 电话交换台在时间段 [0，t]内接到 的呼叫次数是与t有关的随机变量X(t)。对于 固定的t，X(t)是取非负整数的随机变量。由 于在不相重叠的时间间隔内收到的呼叫数是 相互独立的，故{X(t)， t≥0}是独立增量过程。
由定理3.2知，Wn是n个相互独立的指数分布随机变量 和，可以得到如下结论： 定理3.3 设{Wn，n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个 等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，其概率 密度为： t (t ) n 1 , t 0, e fWn (t ) (n 1)! 0, t 0.
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可以证明两个定义是等价的。
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证明：定义3.2蕴含定义3.3，显然。
下证定义3.3蕴含定义3.2。
令P （0） n} n (t ) P{X (t ) n} P{X (t ) X
( t ) n t 根据平稳增量性，得P{ X (t s) - X ( s) n} e , n 0,1, n!
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第二节 泊松过程的基本性质
一、数字特征 (1) mX (t ) E[ X (t )] t
2 (2) X (t ) D[ X (t )] t
j 2 n
由定义3.3的（2）和(3)得
Pn (t h) Pn (t ) P0 (h) Pn1 (t ) P 1 (h) o(h) (1 h) Pn (t ) hPn1 (t ) o(h)
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于是 Pn (t h) Pn (t ) o( h) Pn (t ) Pn 1 (t ) h h 令h 0 , 取极限得：
j n
t
对上式求导，得
( t ) j!
j
fWn (t ) e t
j n
j 1 ( t ) j ( t ) e t j! ( j 1)! j n
e ) e t j! j! j n 1
(3) RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )] E[ X ( s)[ X (t ) X ( s) X ( s)]] E[ X ( s) X (0)][ X (t ) X ( s) X ( s)] E[ X ( s) X (0)][ X (t ) X ( s)] E[ X ( s)]2 s (t s) s ( s ) 2 s (t 1) 当s t时，RX ( s, t ) t ( s 1) (s t )
n 1 n 1 ( t ) ( t ) [et Pn (t )]' et Pn 1 (t )=et e t （n 1)! （n 1)!
则
n ( t ) et Pn (t )= c n!
由Pn (0)=0，代入上式得
( t ) n t Pn (t )= e n!
上式又称爱尔兰分布，它是 n 个相互独立且服从指 数分布的随机变量之和的概率密度。
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证明：由于第n个事件在时刻t或t之前发生当且仅当时 间t已发生的事件数目至少是n，即
X (t ) n Wn t
因此
P(Wn t ) P( X (t ) n) e
t P ( t ) ( t c ) e 1
当n 1时
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-t 由P (0) 0, 代入上式得 P ( t ) te . 1 1 ( t ) n - t 下由归纳法证明Pn (t ) e 。 n! 假设n 1时定义3.2的（3）成立，则
所以T2服从均值为1/的指数分布，且与T1独立。
对于任意n>0和t, s1, s2 ,…, sn-1≥0,有 P(Tn t | T1 s1 , , Tn 1 sn 1 )
P( X (t s1 sn 1 ) X ( s1 sn 1 ) 0) P( X (t ) X (0) 0) e t
T1 T2 W2 Tn Wn-1 Wn
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定理3.2 设{X(t), t≥0}是具有参数的泊松过程， {Tn，n ≥1}是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn(n ≥1)是独立 同分布的均值为1/ 的指数分布。
证明：首先注意到事件 {T1>t}发生当且仅当泊松过程 在区间[0，t]内没有事件发生，因而 P(T1>t)=P(X(t)=0)=e- t 即 FT1(t)=P(T1≤t)=1- P(T1>t)=1- e- t
n ( t ) P{ X (t s) X (s) n} e t , n 0,1, n! 从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=t。
E[ X (t )] t 表示单位时间内事件A发生的平均次数，故称为此 过程的速率或强度。
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e t
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(t ) n 1 (n 1)!
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例 3.2 已知仪器在 [0 ， t] 内发生振动的次数 X(t) 是具有 参数的泊松过程。若仪器振动k(k≥1)次就会出现故障， 求仪器在t0正常工作的概率。
于是：P0 (t ) ce t 而P0 (0) 1，则P{ X (t ) 0} e t
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类似地，对于n 1有
Pn (t h) P{ X (t h) n} P{ X (t h) X （0） n} P{ X (t ) X （0） n, X (t h) X （t） 0} P{ X (t ) X （0） n 1, X (t h) X （t） 1} P{ X (t ) X （0） n j , X (t h) X （t） j}
于是 Pn '(t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) 所以 et [ Pn '(t ) Pn (t )] et Pn 1 (t ) 得 [et Pn (t )]' et Pn 1 (t )
t [e t P 1 (t )]' e P 0 (t )
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(1) X(0)=0;
(2) X(t)是独立、平稳增量过程；
(3) X(t)满足下列条件: (h>0)
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h), P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
根据定义3.3之（2）和（3）有
P0 (t h) P{ X (t h) 0} P{ X (t h) X （0） 0} P{ X (t ) X （0） 0, X (t h) X （t） 0} P{ X (t ) X （0） 0}P{ X (t h) X （t） 0} P0 (t )[1 h o(h)]
设 {X(t),t≥0} 是泊松过程，令 X(t) 表示 t 时刻事件 A发生（顾客出现）的次数，W1,W2,…表示第一次、 第二次， …事件 A发生的时间，Tn(n ≥1) 表示从第 (n-1) 次事件 A发生到第 n 次发生的时间间隔。通常 称Wn为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A的等 待时间, Tn为第n个时间间隔.
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P 0 (t h) P 0 (t ) P 0 (t )[h o(h)]
P0 (t h) P0 (t ) o( h) 于是： P0 (t ) h h P0 (t h) P0 (t ) 则： lim P0 (t ) P0 '(t ) h 0 h
即
FTn (t ) P(Tn t ) 1 et
所以对任一Tn(n≥1)，其分布是均值为1/ 的指数分布， 且独立。
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另一个感兴趣的是等待时间Wn的分布，即第n次事件 A到达的时间分布，因 n Wn Ti (n 1)
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由于
例.设X (t )表示[0, t ]时间段内进入某商场的顾客数 那么{ X (t ), t 0}是计数过程。且： （1）0 t1 t2 t3 t4 X (t2 ) X (t1 ) ： (t1 , t2 ]内进入该商场的顾客数 X (t4 ) X (t3 ) ： (t3 , t4 ]内进入该商场的顾客数 X (t2 ) X (t1 )，X (t4 ) X (t3 )相互独立； （2）0 t1 t2 , X (t2 ) X (t1 )的分布仅由t2 t1决定； 因此{ X (t )，t 0}是独立平稳增量过程。
第三章 泊松过程
掌握泊松过程的基本概念 掌握泊松过程的数字特征
掌握泊松过程时间间隔和等待时间的分
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第一节 泊松过程的定义
例3.1 电话交换台在时间段 [0，t]内接到 的呼叫次数是与t有关的随机变量X(t)。对于 固定的t，X(t)是取非负整数的随机变量。由 于在不相重叠的时间间隔内收到的呼叫数是 相互独立的，故{X(t)， t≥0}是独立增量过程。
由定理3.2知，Wn是n个相互独立的指数分布随机变量 和，可以得到如下结论： 定理3.3 设{Wn，n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个 等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，其概率 密度为： t (t ) n 1 , t 0, e fWn (t ) (n 1)! 0, t 0.
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