江苏省南通中学_学年高二数学上学期期中试题【含答案】

合集下载

江苏省南通中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学试卷 PDF版含答案

江苏省南通中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）.8A .16B .18C .27D 【答案】C2.设,a R ∈.则“1a >”是“2a a >”的（）.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件【答案】A3.不等式1021x x +≤-的解集为（）1.1,2A ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1.1,2B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(]1.,1,2C ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭()1.,1,2D ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A4.已知椭圆的准线方程为4,x =±离心率为12，则椭圆的标准方程为（）22.12x A y +=22.12y B x +=22.143x y C +=22.134x y D +=【答案】C5.数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-，则10a 的值为（）.511A .513B .1025C .1024D 【答案】B6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（）5.3A 10.3B 5.6C 11.6D 【答案】A7.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆C 上的动点，若a =，满足1290F PF ∠= 的点P 有（）个.2A 个.4B 个.0C 个.1D 个【答案】A8.已知实数0,0a b >>且9a b ab +=，若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为（）[).3,A +∞(].,3B -∞(].,6C -∞[).6,D +∞【答案】A二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9.若实数0a >，0b >，1a b = ，若下列选项的不等式中，正确的是（）.A 2a b +≥.B 2≥.C 222a b +≥.D 112a b+≤【答案】ABC10.对任意实数a ，b ，c ，给出下列结论，其中正确的是（）.A “a b =”是“ac bc =”的充要条件.B “a b >”是“22a b >”的充分条件.C “5a <”是“3a <”的必要条件.D “5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】CD11.设椭圆.22193x y +=.的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则下述结论正确的是（）.A AF BF +为定值.B ABF ∆的周长的取值范围是[]6,12.C 当m =ABF ∆为直角三角形.D 当1m =时，ABF ∆【答案】AD12.已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T ，且满足12n n a a n ++=，()12n n n b b n N *+=∈ ，则下列结论正确的是（）.A101a <<.B 11b <<.C 22n nS T <.D 22n nS T ≥【答案】ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏南通中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题(含答案)

南通中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题）1.设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求出11x -<的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<。

故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。

故选B 。

【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．2.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A. 64 B. 31C. 30D. 15【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的等和性即可.【详解】因为{}n a 是等差数列,所以79124a a a a =++, 所以1279416115a a a a =+-=-=．故选：D ．【点睛】若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 本题考查了等差数列的性质,属于基础题．3.己知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. ()0,8 B. (),0-∞C. ()8,+∞D. ()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】二次函数恒成立问题利用判别式小于0列式求解即可．【详解】不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,2420(8)0a a a a ∆=-⨯<⇒-< 即()0,8a ∈, 故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数恒成立问题,属于基础题．4.椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为（）A. -21B. 21C. 1925-或21 D.1925或21 【答案】C 【解析】试题分析：当焦点在x 轴时222516199,4592525k a b k c k k -==+∴=-∴=∴=-，当焦点在y 轴时2225164,9521425k a k b c k k k -=+=∴=-∴=∴=+，故选C 考点：椭圆方程及性质5.已知双曲线22132x y a a+=--的焦点在y 轴上，若焦距为4，则a =（）A.32B. 5C. 7D.12【答案】D 【解析】因为双曲线22132x y a a +=--的焦点在y 轴上，所以该双曲线的标准方程为22123y xa a-=--（其中2a <）.又因为焦距为4，所以24322a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.所以12a =.故本题正确答案为D.6.不等式220ax bx ++>的解集是22a x a+=，则+a b 等于（） A. 14 B. -14C. -10D. 10【答案】B 【解析】【分析】先根据不等式的解集得到方程的解为12-或13，进而求出a 与b 的数值，即可得到答案．【详解】由题意可得：不等式ax 2+bx+2＞0的解集11{|}23x x -<<，所以方程ax 2+bx+2=0的解为12-或13，所以a-2b+8=0且a+3b+18=0，所以a=-12，b=-2，所以a b +值是-14．故选B ．【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．7.已知数列{}n a ，如果1a ，21a a -，32a a -，……，1n n a a --，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a = A. 31123n （）- B. 131123n --（） C. 21133n-（） D.121133n --（）【答案】A 【解析】分析：累加法求解。

2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．等差数列为递增数列，为其前项和，已知，，则{}n a n S n 54a =4612a a ⋅=（）7S =A ．B ．C ．D ．1412217A【分析】根据等差数列通项公式基本量运算公式计算出公差，进而利用求和公式计算出答案.【详解】设数列的公差为，由，，得：，解得：d 54a =4612a a ⋅=()()4412d d -+=，又因为数列递增，所以，，所以．2d =±2d =4422a =-=74714S a ==故选：A ．2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（）22214x y a +=2212x y a -=aA ．1BC ．2D ．3A由双曲线方程知，结合椭圆方程及共焦点有且，即可求值.0a >24a <242a a -=+a【详解】由双曲线知：且，2212x y a -=0a >(而其与椭圆有相同焦点，22214x y a +=∴且，解得，24a <242a a -=+1a =故选：A3．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆2221(02)4x y b b +=<<12,F F 1F l 于两点，若的最大值为5，则的值是,A B 22BF AF + bA ．1BC ．D 32D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时|AB |最小，把|AB |的最小值b 2代入|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，由|BF 2|+|AF 2|的最大值等于5列式求b 的值即可．【详解】由0＜b ＜2可知，焦点在x 轴上，∵过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|＝2a +2a ＝4a ＝8∴|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |．当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|+|AF 2|值最大，此时|AB |＝b 2，则5＝8﹣b 2，解得b=故选D ．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．4．已知数列前项和为且为非零常数则下列{}n a n .n S 11222n n a p S S pn -=-=≥，（）p （）结论中正确的是（）A ．数列不是等比数列B ．时{}n a 1p =415.16S =C ．当时，D ．12p =()*m n m n a a a m n N +⋅=∈，3856a a a a +=+C【分析】根据，利用数列通项和前n 项和的关系求解，再11222n n a p S S p n -=-=≥，（）逐项判断.【详解】解：因为，11222n n a p S S p n -=-=≥，（）所以，当时，，22pa =3n ≥1222n n S S p ---=两式相减得，又，120n n a a --=2112a a =所以数列是以p 为首项，以为公比的等比数列，故A 错误；{}n a 12当时，，故B 错误；1p =44111521812S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-当时，，所以，故C 正确；12p =12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()* ，+⋅=∈m n m n a a a m n N由得，故D 错误，112-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a p 387332+=a a p 56451132232+=+=a a p p p ，故选：C5．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )221169x y -=A ． B ．216y x =216y x =-C ．D ．28y x=28y x=-A【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为，得到22y px =，进而可求出结果.42p =【详解】由双曲线的方程可得：右顶点为：，221169x y -=()4,0设所求抛物线方程为：，22y px =因为其以为焦点，所以，因此；()4,042p =8p =故抛物线方程为.216y x=故选：A本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型.6．给出下列说法：①方程表示一个圆；222460x y x y +-++=②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；0m n >>221mx ny +=y ③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；(1,0)M -(1,0)N 2PM PN -=P ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.其中正确说法的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4B【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案；对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案；对于③，根据双曲线的定义，可得答案；对于④，根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案.【详解】方程即不表示圆，故①错；222460x y x y +-++=()()22121x y -++=-若m >n >0，则方程，即，所以表示焦点在221mx ny +=22111011x y m n m nm n +=>>∴< ，，y 轴上的椭圆，故②对；已知点、，若，所以动点P 的轨迹是一条射线，()1,0M -()1,0N 2PM PN MN-==故③错；设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A ,B ，线段AB 的中点为M ,由抛物线的定义可得即为AB 两点到准线的距离和，即为M 点到准线距离的两倍，所以以AB 为AB直径的圆与准线相切，故④对；故选：B.7．以下四个命题表述错误的是（）A ．圆上有且仅有个点到直线222x y +=3:10l x y -+=B ．曲线与曲线，恰有四条公切线，则22120C :x y x ++=222480C :x y x y m +--+=实数的取值范围为m4m >C ．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切22:2C x y +=P 0x y ++=P C 线，其中为切点，则的最小值为PA A PA2D ．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两22:4C x y +=P :280l x y +-=P C 条切线，，为切点，则直线经过点PA PB ,A B AB 11,2⎛⎫⎪⎝⎭B【分析】选项A 根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B 根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C 利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D ，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断．(),82p n n -lAB 【详解】解：选项A ：圆的圆心为，半径，222x y +=()0,0Or 所以圆心到直线的距离，()0,0O :10l x y -+=12===d r所以圆上有且仅有个点到直线222x y +=3:10l x y -+=故选项A 正确；选项B ：方程可化为，故曲线表示圆心为，2220x y x ++=()2211x y ++=1C 1(1,0)C -半径的圆，11r =方程可化为，22480x y x y m +--+=()()222420x y m -+-=-因为圆与曲线有四条公切线，1C 2C 所以曲线也为圆，且圆心为，半径，2C 2(2,4)C 220)rm =<同时两圆的位置关系为外离，有，即，1212||C C r r >+51>+解得，故B 错误；420m <<选项C ：圆的圆心，半径，22:2C x y +=()0,0C r =圆心到直线的距离，()0,0C 0x y ++=>d r 所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形，PAC ，当且仅当与直线垂直时等号成||2=PA PC 0x y ++=立，所以的最小值为，故选项C 正确；PA2选项D ：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为(),82P n n -l O P ，即：，两圆的方()22242n x y n ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭22820x nx y y ny -+-+=程相减得到直线方程为，即，AB 8240nx y ny +--=()()2840n x y y -+-=所以直线过定点，D 正确．AB 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B ．8．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，n a ()9,n n n *≤∈N若，且，则解下个环所需的最少移动次数为（）11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数5A ．B ．713C ．D ．1622C【分析】根据数列的递推公式逐项计算可得出，即为所求.{}n a 5a 【详解】数列满足．且，{}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数所以，，，，.21211a a =-=32224a a =+=43217a a =-=542216a a =+=所以解下个环所需的最少移动次数为．516故选：C ．二、多选题9．下列四个命题中，假命题的是（）A ．要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点B ．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点C ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点D ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率CD【分析】对于四个选项，分别根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．【详解】A ：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A 正确；B ：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B 选项正确；C ：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C 选项不正确；D ：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D 选项不正确．故选：CD ．10．已知抛物线的焦点为，过点任作一直线交抛物线于，两点，点24y x =F F A B关于轴的对称点为，直线为抛物线的准线，则（）B xC l A ．以线段为直径的圆与直线相离AB 32x =-B ．的最小值为AB4C ．为定值11AF BF+D ．当，不重合时，直线，轴，直线三线交于同一点A C AC x l ABCD【分析】设出点的坐标和、的方程，方程与抛物线联立，利用韦达定理，AB AC AB 利用已知条件，对选项逐个判断即可．【详解】解：设为线段的中点，则点到准线的距离为M AB M =1x -，()1122AF BF AB +=于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离，A 正AB =1x -32x =-确；设，，直线方程为，()11,A x y ()22,B x y AB 1x my =+联立直线与抛物线方程可得，，则，．2440y my --=124y y m +=124y y =-于是，()21212444AB x x p m y y m =++=++=+当时，有最小值为，B 正确；0m =AB4由，，12pAF x =+22p BF x =+得为定值，()()1221212121241111111112224m y y AF BF x x my my m y y m y y +++=+=+==+++++++故C 对；，则直线的方程为，()22,C x y -AC ()121112y y y y x x x x +-=--令，得0y =12211212121221y x y x my y y y x y y y y +++===-++即与轴的交点为，恰为准线与轴的交点，故D 正确．AC x ()1,0-l x 故选：ABCD ．11．已知等差数列的首项为1，公差，前n 项和为，则下列结论成立的有{}n a 4d =n S A ．数列的前10项和为100n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．若成等比数列，则1,a 3,a m a 21m =C ．若，则n 的最小值为6111625ni i i a a=+>∑D ．若，则的最小值为210mn a a a a +=+116m n +2512AB由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可43n a n =-22n S n n =-=21nS n n -n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为,通过裂项11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D 错误.111ni i i a a=+∑12m n +=【详解】由已知可得:,,43n a n =-22n S n n=-,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A 正确;=21nS n n -n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()10119=1002+成等比数列,则,即,解得故B 正确;1,a 3,a m a 231=,m a a a ⋅81m a ==4381m a m =-=21m =因为所以11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,解得,故的最小值为7,1111111116=1=455494132451ni ii n n n a an =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑ 6n >n 故选项C 错误;等差的性质可知,所以12m n +=,当且仅当()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D 错16=n m m n 48=45n m =*,m n ∈N 48=45n m =误.故选:AB.本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.12．已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，()222:10x C y a a -=>()2221x y -+=C 则（）A ．双曲线的实轴长为C 6B ．双曲线的离心率C e =C ．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则P C P C 1d 2d 2134d d =D ．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原1y k x m =+C A B D AB OD O 点）的斜率为，则2k 1213k k =BCD【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB 选C a 项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C 选项的()00,P x y 220033x y -=正误；利用点差法可判断D 选项的正误.【详解】解：由题意知的渐近线方程为，因为，则C 0x ay ±=1=0a >a =所以双曲线的实轴长为A 错误；C 2a =，所以，故B 正确；2c ==c e a ===设，则，C 正确；()00,P x y 220033x y -=12d d 设、，则，两式作差得()11,A x y ()2222,B x y 221122223333x y x y ⎧-=⎨-=⎩，()()()()121212123x x x x y y y y +-=+-所以，，D 对.121212121213y y y y k k x x x x -+=⋅=-+故选：BCD.三、填空题13．已知数列的前项和为，且满足，，则 ____．{}n a n n S 11a =()12N n na S n *+=∈n a =.21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩【分析】利用求解即可.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【详解】当时可得，1n =1222,2a a a =∴=当时，由，得，2n ≥12n n S a +=12n n S a -=两式做差可得，13n n a a +=因为，212,1a a ==所以数列是从第二项开始，以3为公比的等比数列，{}n a 所以21,1,23, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩故21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩14．过点与圆相切的直线方程为______.()5,1B -2225x y +=或5x =125650x y --=【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为，由5x =1(5)y k x +=-直线与圆的位置关系可得的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答k 案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意；5x =2225x y +=②、所求直线的斜率存在，设其方程为，即，1(5)y k x +=-510kx y k ---=要求直线与圆，解可得，2225x y +=5125k =此时要求直线的方程为：，125650x y --=综上可得：所求直线的方程为：或5x =125650x y --=故答案为或5x =125650x y --=本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题．15．过抛物线C ：的焦点F 作互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的24y x =最小值为____．32【分析】设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，列出AB (1)y k x =-AB 韦达定理，利用抛物线的定义得出，同理得出，由面积公式||AB ||CD 结合基本不等式可得出四边形面积的最小值．1·2S AB CD =ACBD 【详解】如下图所示，显然焦点的坐标为，所以，可设直线的方程为F (1,0)AB ，(1)y k x =-将直线的方程代入抛物线的方程并整理得l ，2222(24)0k x k x k -++=所以，，所以，，12242x x k +=+122424AB x x k =++=+同理可得，244=+CD k 由基本不等式可知，四边形的面积为ACBD 222114(1)··4(1)22+==⨯+k S AB CD k k．2218(2)32=++k k 当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最小值为32．1k =±ACBD 本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．四、双空题16．2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象Z 24x y =F F ()2214x y +-=Z 限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭l ()0x t t m =<<Z A l在第一象限的交点为，则______；周长的取值范围为______．F B m =FAB 2()4,6【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m ，然后由分别与抛物线，与()02x t t =<<圆的方程联立求得A ，B 的坐标，再结合抛物线的定义求解.【详解】如图所示：由，解得，()2224140,0x y x y x y ⎧=⎪⎪+-=⎨⎪>>⎪⎩2,1x y =⎧⎨=⎩∴2m =由，解得，24x t x y =⎧⎨=⎩24x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2,4t A t ⎛⎫⎪⎝⎭由，解得()2214x t x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩1x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，(,1B t 由抛物线的定义得：∴，AF AC =∴周长，FAB FA FB AB =++，2AC AB BF BC =++=+.4=，()0,2t ∈()44,6∈故2，．()4,6五、解答题17．已知各项均为正数的等比数列满足，，数列的前n 项和{}n a 236aa =3542a a a =-{}nb 为Sn ，且，，N ．11b =12n n n S b b +=n ∈*（1）求数列的通项公式；{}n a （2）证明数列是等差数列，并求数列的前n 项和Tn ．{}n b {}n n a b +（1）；（2）证明见解析，2nn a =21112222n n T n n +=++-（1）由和分别表示出等式中的、、和，解方程组求出和，再由等比1a q3a 4a 5a 6a 1a q 数列的通项公式表示出即可；n a （2）时，求出，时，由和的关系得到，进而求出1n =22b =2n ≥n S 1n S -112n n b b +--=，用定义证明数列是等差数列即可，分别求出数列和的前项和，n b n ={}n b {}n a {}n b n 从而求出.n T 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，{}n a ()0q q >，2363542a a a a a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒()225112431112a q a q a q a q a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩⇒122a q =⎧⎨=⎩所以.112n nn a a q -==（2）由题意，当时，，又，所以，1n =1122S b b =11b =22b =当时，，2n ≥112n n n S b b --=所以，()11111222n n n n n n n n n n S S b b b b b b b b -+-+--==-=-所以，112n n b b +--=又，所以，，所以，11b =2121n b n -=-22b =22n b n =所以，，n b n =11n n b b +-=所以数列是以首项为，公差为的等差数列，{}n b 11数列的前项和为，{}n a n ()()11121222112n n n a q q +-⨯-==---数列的前项和为，{}n b n ()()121112222n b b n n n n n++==+所以数列的前项和.{}n n a b +n 21112222n n T n n +=++-本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前项和公式，考查分组求和的计n 算方法，属于中档题.18．如图，圆M ：，点为直线l ：上一动点，过点P 引圆()2221x y -+=()1,P t -=1x -M 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若，求切线所在直线方程；1t =（2）求的最小值；AB（1）切线方程为，（2）1y =3410x y +-=min AB =【分析】（1）设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解；（2）将弦长构造成角度的函数，求函数的最小值即可.AB 【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，()11y k x -=+即，10kx y k-++=则圆心M 到切线的距离，1d 解得或，0k =34-故所求切线方程为，；1y =3410x y +-=（2）连接，交于点N ，PM AB设，MPA MAN θ∠=∠=则，2cos 2cos AB AM θθ==在中，，Rt MAP ∆1sin AM PMPMθ==因为，3PM ≥，()max 1sin 3θ∴=()min cos θ∴==min min 2(cos )AB θ∴=故的最小值为AB 本题考查圆的切线方程的求解，以及圆中弦长的最值问题，属综合题；第二问的难点在于如何构造函数，本题以角度入手，值得总结.19．在①；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，()3,44且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求2.l 出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由.l l 问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点C ()221,0mx ny m n +=≠x 的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？()1,1P -l C A B P AB 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.答案见解析【分析】选条件：可得曲线为焦点在轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，①C x 根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意l 即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意；选条件：可得曲线为焦点在轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线②C x 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜l率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意.【详解】选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的双曲线，①C x 设，，所以的方程为，21m a =21(0,0)n a b b =->>C 22221(0,0)x y a b a b -=>>由题设得，解得，，229161a b =⎪-=⎪⎩21a =22b =所以的方程为，C 2212y x -=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与曲线有且仅有一个交点，l l =1x -C ()1,0-不符合题意；当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即l ()11,A x y ()22,B x y l ()11y k x -=+，()11y k x =++代入得，2212y x -=()()()()222221230*k x k k x kk --+-++= 若，即有且仅有一解，不符合题意；220k -=k =()*若，即时，其判别式220k -≠k ≠，则，()()()()222Δ[21]42238230k k k k k k =+--++=+>32k >-所以方程有两个不同实数解时，()*32k k >-≠且于是，解得，与且1222(1)2(1)22k k x x k -++=-=⨯-=--2k =-32k >-k ≠所以，不存在直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点．l C A B P AB 选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的椭圆，②C x 设，，所以的方程为，21ma =21(0)n a b b =>>C 22221(0)x y a b a b +=>>由题设得，解得，，242a c ⎧==⎪⎨⎪=⎩24a =23b =所以的方程为，C 22143x y +=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得，l l =1x -22143x y +=32y =±不是线段的中点，不符合题意；()1,1P -AB 当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即l ()11,A x y ()22,B x y l ()11y k x -=+，()11y k x =++代入得，22143x y +=()()()22234814220k x k k x k k +++++-=其判别式，()()()()2222Δ[81]4·34·422169660k k k k k k k =+-++-=-+>于是，解得，()()1228121234k k x x k ++=-=⋅-=-+34k =故，即，()33711444y x x =++=+3470x y -+=所以存在直线：，与曲线交于，两点，且为线段的中点．l 3470x y -+=C A B P AB 方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20．已知数列的前项和是，数列的前项和是，若，{}n a n n A {}n b n n B 314A =，．再从三个条件：12n n a a +=*N n ∈①；②，；③，中任选一组作221n B n n =-+12n n n B B b ++=+120b =2222log n n b a =-为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列的通项公式；{}n b （2）定义：．记，求数列的前项的和．,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩n n n c a b =*{}n c 100100T 选择见解析；（1）；（2）．222n b n =-7940-【分析】（1）根据已知条件可知数列是公比为的等比数列，根据求出{}n a 2314A =的值，可求得等比数列的通项公式.1a {}n a 选①，由可求得数列的通项公式；11,1,2n n n B n b B B n -=⎧=⎨-≥⎩{}n b 选②，推导出数列是公差为的等差数列，结合可求得数列的通项公{}n b 2-120b ={}n b 式；选③，由的通项公式结合对数运算可得出数列的通项公式；{}n a {}n b （2）求出数列的表达式，进而可求得的值.{}n c 100T【详解】（1）由已知得，为等比数列，公比为，则，{}n a 2q =231112214A a a a =++=，所以，.12a ∴=112n n n a a q -==选择①，当时，，1n =1120b B ==当时，.2n ≥()()()221212111222n n n b B B n n n n n-⎡⎤=-=-----=-⎣⎦满足，所以，；120b =222n b n =-()222n b n n N *=-∈选择②，，即，12n n n B B b +-=-12n n b b +=-所以是首项为，公差为的等差数列，；{}n b 202-()121222n b b n n ∴=--=-选择③，；2222log 2222nn b n =-=-（2），，，，11220a b =<=22418a b =<=33816a b =<=441614a b =>=当且时，令，4n ≥n N *∈()22222222n n n n n x a b n n =-=--=+-则数列为单调递增数列，且，即.{}n x 420n x x ≥=>n n a b >所以，，()*2,13N 222,4n n n n n c a b n n n ⎧≤≤=*=∈⎨-≥⎩所以，()()31410010012345610019712a qb b T a a a b b b b q -+=++++++⋅⋅⋅+=+-．()()3421297141782279547940122-⨯-=+=--=--方法点睛：已知求：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项，n S n a n n S n a {}n a 可用公式求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩21．已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大.()(),0P x y x ≥()1,0F y 1(1)求动点的轨迹的方程；P C (2)过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得()2,0Q l C A B x M 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.AMQ BMQ ∠=∠M (1)()240y x x =≥(2)存在，()2,0M -【分析】（1）由动点到点的距离比到轴的距离大，可得点到的距离等P ()1,0F y 1P F 于到直线的距离，从而可得点的轨迹为以为焦点的抛物线，即可求得P =1x -P ()1,0F 轨迹的方程；（2）设，，，直线，代入C ()11,A x y ()22,B x y (),0M t :2l x my =+可得，由根与系数的关系可得，，由24y x =2480y my --=124y y m +=128y y =-，可得，计算可求得的值，即可得结论．AMQ BMQ ∠=∠AM BM k k =t 【详解】(1)动点到定点的距离比到轴的距离大，()(),0P x y x ≥()1,0F y 1又，到的距离等于到直线的距离，0x ≥ P F P =1x -动点的轨迹为以为焦点的抛物线，∴P ()1,0F 轨迹的方程；∴C ()240y x x =≥(2)设，，，()11,A x y ()22,B x y (),0M t 直线过点，l ()2,0Q 设直线方程：，∴l 2x my =+代入，可得，显然，24y x =2480y my --=216320m ∆=+>则，，124y y m +=128y y =- AMQ BMQ∠=∠∴AM BMk k =∴()()21120y x t y x t -+-=∴()()2112220y my t y my t +-++-=得()()1212220my y t y y +-+=又，124y y m +=128y y =-()()28240m t m ∴-+-⨯= 得()20m t --=，即2t ∴=-()2,0M -.故在轴上存在点使得x ()2,0M -AMQ BMQ∠=∠22．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭22122:1(0)x y C a b a b +=>>2C (±圆上一点作两直线与椭圆相交于相异的两点，直线、的倾斜1C (2,1)P -1C ,A B PA PB 角互补．直线与轴正半轴相交，分别记交点为．AB ,x y ,MN （1）求椭圆和双曲线的方程；1C 2C （2）若的面积为，求直线的方程；PMN 54AB （3）若与双曲线的左、右两支分别交于，求的范围．AB 2C ,Q R ||||NQ NR （1）；（2）；（3）．22221,18288x y xy +=-=20x y+=⎛ ⎝【分析】（1）解方程即得椭圆方程和双曲线的方程；22411a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩（2）联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，,A B 12AB k =-1:(0)2AB y x n n =-+>根据的面积为求出的值即得解；PMN 54n （3）先求出的范围求解.||1||QRx NQ NR x ==n 【详解】【解】（1）由题得，所以椭圆的方程为22,411a ab a b ⎧=⎪∴==⎨+=⎪⎩221,82x y +=等轴双曲线的方程为.22188x y -=（2）221(2)48y k x x y +=-⎧⎨+=⎩消去得：y 2222(41)(168)161640k x k k x k k +-+++-=221616441A P k k x x k +-⋅=+因为，所以，并求出2P x =2288241A k k x k +-=+2244141A k k y k --=+将换成，得：，则可得k k -2222882441(,)4141k k k k B k k --+-++12AB k =-设1:(0)2AB y x n n =-+>，消去得：221248y x n x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩y 222240x nx n -+-=，所以得：2248160n n ∆=-+>02n <<则，，:220(02)AB x y n n +-=<<(2,0),(0,)M n Nn d =，解得：21524PMN S n ===n =即:20AB x y +-=（3），消去得：221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩y 22344320x nx n +--=1,2x=||1||NQ NR ==，则204n << 2632n ∴>11->-，∴0<<||1||NQ NR ∴<<则的取值范围为．||||NQNR ⎛ ⎝。

江苏省南通中学高二上学期期中考试数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1. 抛物线x 2= - 4y 的焦点坐标为 ▲ .2. 已知椭圆上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 ▲ .3.（文）一个圆柱的底面直径．．和它的高相等，且圆柱的体积为，则圆柱的高是 ▲ . （理）已知空间两点轴上存在一点，使得，则点坐标为 ▲ .4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为▲ .5. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ . 6．已知椭圆与双曲线（）有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则等于 ▲ . 7.，，是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是 ▲ .（1），；（2），（3），，共面；（4），，共点，，共面8. 设是椭圆上的一点,则的最大值是 ▲ .9. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为 ▲ cm.10. 直线y=kx-2与抛物线交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 ▲ . 11. 设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且AC+BD=a ，，则 ▲ .12.如图所示，等边的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使'A PQ BPQC ⊥平面平面 , 若折叠后的长为d ，则d 的最小值为 ▲ . 13. 已知P 是椭圆上任意一点，EF 是圆 M ：的直径，则的最大值为 ▲ ．14.设短轴长为的椭圆C :和双曲线的离心率互为倒APBQCE FA ′数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求与双曲线：有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程.16.如图，在四棱锥中，,2,AB CD CD AB AB PAD =⊥平面,E 为PC 的中点.（1）求证：；（2）若,AD PB PA ABCD ⊥⊥求证：平面.17.设，两点在抛物线上，是的垂直平分线.（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围.18．如图，在直三棱柱中，,，直线与平面ABC 成角.（1）求证：111B AC ABB A ⊥平面平面；（2）求到的距离；（3）求三棱锥的体积.BCA DPE （第16题） B 1C 1A 1B C19．已知圆224O x y +=：，若椭圆22221x y a b+=过点(01)P -，，且其长轴长等于圆O 的直径．（1）求椭圆的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，1l 与圆O 交于A ，B 两点，2l 交椭圆于另一点C ，①设直线1l 的斜率为k ，求弦AB 的长；②求ABC ∆面积的最大值．20．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（1）求椭圆的方程；（2）若点D 为椭圆上不同于、的任意一点，，，求当内切圆的面积最大时内切圆圆心的坐标；（3）若直线：与椭圆交于、两点，证明直线与的交点在直线上．江苏南通中学2014-2015学年度第一学期期中考试高二数学答题纸一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 请注意文理科类，不需写出解答过程,把答案写在答题纸的指定位置上）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 请注意文理科类，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,把答案写在答题纸的指定区域内）.班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________装订线内请勿答题15. （本题满分14分）题满分14分）18. （本题满分16分）江苏省南通中学2014—2015学年度第一学期期中考试高二数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类，并把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1.抛物线x 2=-4y 的焦点坐标为 (0,-1) .2.已知椭圆上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 7 .3.（文）一个圆柱的底面直径．．和它的高相等，且圆柱的体积为，则圆柱的高是4. （理）已知空间两点轴上存在一点，使得，则点坐标为（1,0,0）.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线过点4(1,)3P ，则该双曲线的离心率为53. 5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为.6．已知椭圆与双曲线（）有相同的焦点F 1、F 2、P 是两曲线的一个交点，则等于. 7.，，是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是 1 .（1），；（2），（3），，共面；（4），，共点，，共面 8.设是椭圆上的一点,则的最大值是.9.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为13 cm.10.直线y=kx-2与抛物线交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是2. 11.设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且AC+BD=a ，，则.12.如图所示，等边的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使,若折叠后的长为d ，则d 的最小值为. 13. 已知P 是椭圆上任意一点，EF 是圆M ：的直径，则的最大值为23．14.设短轴长为的椭圆C :和双曲线的离心率互为倒数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共APBQCEFA ′点都只有一个的圆的方程为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求与双曲线：有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程. 解：由题意得， 222222201218418a b a b a b ⎧+=⎧=⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩解得，所求双曲线标准方程为：e .c a ±±=±顶点(）；焦点(离心率渐近线方程y=16.如图，在四棱锥中，,2,AB CD CD AB AB PAD =⊥平面,E 为PC 的中点.（1）求证：；（2）若,AD PB PA ABCD ⊥⊥求证：平面. 证明：（1）证法一：取PD 中点F ，连结EF ，AF . E 是PC 中点，F 是PD 中点，,2,,=,AB CD CD AB EFAB EF AB ABEF =∴∴又四边形是平行四边形.,,,BE AF AF PAD BE PAD BEPAD∴⊂⊄∴又平面平面平面证法二：延长DA ，CB ，交于点F ，连结PF . ,2,..,,.AB CD CD AB B CF E PC BEPF PF PAD BE PAD BEPAD =∴∴⊂⊄∴为的中点又为的中点，平面平面平面(2),,,.,,,.,.,.AB PAD PA AD PAD AB AD AB PA AD AB AD PB AB PB B AD PAB PA PAB AD PA AB AD A PA ABCD ⊥⊂∴⊥⊥⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥⋂=∴⊥平面、平面平面又平面平面 17.设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。

江苏省南通中学高二上学期期中考试数学试题

江苏省南通中学高二数学上学期期中考试试题

5n =0s =While 15s <s s n =+ 1n n =-End Pr int n End（第9题）江苏省南通中学2008-2009学年度高二数学上学期期中考试试题一、填空题（每小题5分，共70分）1．命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是 ▲ ．2．已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，命题2320q x x -+<：的解集是{|12}x x <<，下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧⌝”是假命题；③命题“p q ⌝∨”是真命题； ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是 ▲ ．3．x 1是1x ，2x ，3x ，……，40x 的平均值，2x 为41x ，42x ，43x ，……，100x 的平均值，x 是1x ，2x ，3x ，……，100x ．则x ＝．4．用如下方法从1004名工人中选取50代表：先用简单随机抽样从1004人中剔除4人，剩下的1000人再按系统抽样的方法选取50人．则工人甲被抽到的概率为 ▲ ． 5．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ， :p ⌝ ▲ ． 6．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 ▲ ．7．命题“ax 2－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命题．．．, 则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是_▲ ．9．右边程序执行后输出的结果是 ▲ ．10．“12a b ≠≠或”是“3a b +≠”成立的 ▲ 条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个) 11．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图：甲乙569 6 7 0 99 8 1 8 3 6 8 5 4 1 9 3 8 8 9 9 10 3 99 11甲、乙同学中 ▲ 同学数学成绩发挥比较稳定.12．若存在实数[]1,1p ∈-，使得不等式()2330px p x +-->成立，则实数x 的取值范围为 ▲ ．13．用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则三个矩形颜色都不相同的概率为 ▲ ．14．定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N 输入的值为100,结果m 的输出值为21,则由此可估计π的近似值为 ▲ .二、解答题（第15、16题14分，第17、 18题15分，第19、20题16分）15．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：第14题图（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；（Ⅱ）补全频数条形图；（Ⅲ）若成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 16.已知||2,||2x y ≤≤，点P 的坐标为(,).x y（I ）求当,x y ∈R 时，点P 满足()222(2)4x y -+-≤的概率；（II ）求当,x y ∈Z 时，点P 满足()222(2)4x y -+-≤的概率。

江苏省南通中学高二数学上学期期中试题

江苏省南通中学2016—2017 学年度第一学期期中试卷高二数学试卷一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．直线l在平面α内，能够用符号“▲”表示．2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于 P、 Q、 R，则点 Q▲直线 PR（用符号表示它们的地点关系）．3．直线y x m 的倾斜角为▲．4．长方体－ 1 11 1 中，异面直线， 1 1 所成的角等于▲．ABCD A BCD AB AD5．点 P(m2 ,5) 与圆x2＋y2＝ 24 的地点关系是▲．6．棱长都是 1 的三棱锥的表面积为▲．7．已知 {(x ，y)|ax＋＋＝0} ∩{(x，)|x＋＋ 1＝0} ＝，则a，b所知足的条件是▲．y b y y8．两直线l：ax＋2y＋b＝0； l： ( a－ 1) x＋y＋b＝ 0. 若l∥l，且l1与 l2的距离为2，则12122a b▲ .9．无论 m 取什么实数，直线 (2m1)x(m3) y(m11) 0 恒过定点▲ .10．如图，在三棱柱 A B C1ABC AC，AA的11中， D，E，F 分别是 AB，1中点，设三棱锥 F ADE 的体积为V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1 :V2▲ .（第 10 题）11．光芒从点M( － 2,3)射到 x 轴上一点 P(1,0)后被 x 轴反射，则反射光芒所在的直线方程为▲．12．设m，n是两条不一样的直线，α，β 是两个不一样的平面，以下命题正确的选项是▲．①若 m⊥n， m⊥α， n∥β，则α∥β；②若 m∥α， n∥β，α∥β，则 m∥ n；③若⊥，∥β，α∥β，则⊥；④若∥，∥α，∥β，则α∥β．mαn m n m n m n13．已知两点 A(1,0) 、B(0,2) ，点P是圆 (x22uuur uuur1 上随意一点，则 PA PB 的最大值是▲ ．1)y14．已知圆 O : x2y24与曲线 C : y 3| x t | ，曲线C上两点 A(m, n) ， B(s, p ) （ m 、 n 、s、p均为正整数），使得圆O上随意一点到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值ks p▲．(k 1) ，则 m n =二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定地区内作答.解答时应写出文字说明、证．．．．．．．明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l 的垂线，若垂足为A(－2,3)，求直线 l 的方程；（ 2）三角形三个极点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求AB边上的高所在的直线方程．16．求经过P( － 2,4) ，Q(3 ，－ 1) 两点，而且在x 轴上截得的弦长等于 6 的圆的方程．17．如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB 平面 SBC， AB BC， AS AB，过 A作AF SB ，垂足为F，点E，G分别是棱，SC的中点 .SA（1）求证：平面EFG∥平面ABC；（2）求证：BC SA.（第 17 题）18．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时建立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的界限为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经丈量，点 A 位于点 O正北方向60 m处，点 C位于点 O正东方向170 m处( OC为河岸)，4tan ∠BCO＝3.（ 1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；（ 2）若古桥两头O和 A 到该圆上随意一点的距离均许多于80 m．当OM多长时，点M到直线 BC的距离最小？（第 18 题）19．如图，在棱长均为 4 的三棱柱 ABC A1B1C1中，D、 D1分别是BC和 B1C1的中点 .（ 1）求证： A1 D1∥平面 AB1 D ；（ 2）若平面ABC⊥平面 BCC1B1，B1BC 60o，求三棱锥 B1 ABC 的体积 .A1C11DB1A CDB（第 19 题）22420．在平面直角坐标系xOy中，圆 O： x ＋ y ＝1，P为直线l：x＝3上一点．（1）若点P在第一象限，且OP＝5，求过点P圆O的切线方程；3（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（ 3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交l于M、N两点，关于随意直径MN，平面上是否存在不在直线l 上的定点，使得∠为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不A MAN存在，请说明原因.2016— 2017 学年度第一学期高二数学期中参照答案一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1.l2.3.44. 5.在圆外 6.327.a1且 b 18.49.(2,3)10. 1: 2411.x y 1 012.③13.31314.0二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定地区内作答.解答时应写出文字说明、证．．．．．．．明过程或演算步骤．15.( 本小题满分 14 分 )解：（ 1）∵ k OA 3，且 OA⊥ l ，22∴ l 的斜率为k.3于是 l的方程为 y－32(x＋ 2) ．整理得2x－ 3y＋ 13＝ 0. （ 7 分）3（2）∵k AB7 ，∴设所求直线方程 2 x＋ 7y＋m＝ 0，2代入点C 坐标得＝－ 21.m( 也可由点斜式求，由y－32( x－0) ，得 2x＋7y－ 21＝0.) 7∴AB 边上的高所在的直线方程为 2 ＋ 7y－21＝0. （7 分）x16.( 本小题满分 14 分 )解：设圆的方程为x2＋ y2＋ Dx＋Ey＋ F＝0，2D－ 4E－F＝ 20，①将 P、 Q点的坐标分别代入得3D－E＋F＝－ 10. ②又令 y＝0，得 x2＋ Dx＋ F＝0.③设 x1、x2是方程③的两根，由 | x1－x2| ＝ 6 有D2－ 4F＝36. ④由①②④解得D＝－2， E＝－4，F＝－8或 D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋ y2－2 x－4y－8＝0或x2＋ y 2－6x－8y＝0.17.( 本小题满分 14 分 )证明 : （1）∵AS AB , AF SB∴ F 分别是 SB的中点∵E，F 分别是 SA， SB的中点∴ EF∥AB又∵ EF平面ABC，AB平面ABC∴EF∥平面 ABC同理： FG∥平面 ABC又∵ EF I FG=F，EF平面ABC，FG平面ABC∴平面 EFG / / 平面 ABC （7分）（2）∵平面SAB平面SBC，平面SAB I 平面SBC=BC AF平面 SAB， AF⊥ SB∴ AF⊥平面 SBC 又∵ BC 平面 SBC∴AF⊥ BC又∵ AB BC ,AB I AF=A, AB平面SAB，AF平面SAB∴BC⊥平面 SAB又∵ SA平面SAB，∴ BC⊥ SA.（14分）18. ( 本小题满分16 分)解：（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，成立平面直角坐标系xOy.由条件知 (0,60) ，(170,0) ，A C直线 BC的斜率k BC 4 3又因为 AB⊥ BC，所以直线 AB的斜率k AB 3 4设点 B的坐标为( a, b)，则k BC b04， k AB b603a1703a04解得 a＝80， b＝120所以圆形保护区半径r AB(800)2(120 60)2100则圆形保护区面积为10000m2 . （ 8 分）（2）设保护区的界限圆M的半径为r m，OM＝d m( 0≤d≤60 )4由条件知，直线BC的方程为 y＝－( x－170)，即4x＋3y－680＝03因为圆 M 与直线相切，故点(0， ) 到直线的距离是rBCMdBC|3 d － 680|680－ 3d即 r ＝42＋ 32＝5因为和A 到圆上随意一点的距离均许多于80 m ，O Mr － d ≥ 80，所以解得 10≤ d ≤ 35r － (60 － d ) ≥ 80，则当 d ＝ 10，即 OM ＝ 10m 时， M 到直线 BC 的距离最小．（ 16 分）19. ( 本小题满分 16 分 )证明：（1）如图，连接 DD 1 ，在三棱柱 ABCA 1B 1C 1 中，因为 D, D 1 分别是 BC 与 B 1C 1 的中点，所以 B 1D 1 / /BD ，且 B 1D 1BD ．所以四边形 B 1 BDD 1 为平行四边形，所以 BB 1 / / DD 1 ，且 BB 1 DD 1又因为 AA 1 / / BB 1 , AA 1 BB 1 ，所以 AA 1 / /DD 1, AA 1DD 1 ，所以四边形 AA 1D 1D 为平行四边形，所以 A 1D 1 / /AD又 A 1D 1 平面 AB 1D ， AD平面 AB 1D ，故 A 1D 1 / / 平面 AB 1D （ 8 分）解：（2）在 ABC 中，因为 AB AC ， D 为 BC 的中点，所以 AD BC因为平面 ABC 平面 B 1C 1CB ，交线为 BC ， AD 平面 ABC ，所以 AD平面 B 1C 1CB ，即 AD 是三棱锥 AB 1 BC 的高．在 ABC 中，因为 AB AC BC 4，得 AD2 3 ．在 B 1BC 中， B 1 B BC 4, B 1BC 60o ，所以 B 1BC 的面积 S B BC3 424 3 ，14所以三棱锥 B 1 ABC 的体积，即三棱锥A B 1 BC 的体积，V1AD1 4 3 23 8 ．（16 分）S B 1BC 3320. ( 本小题满分 16分 )4解：（ 1）设点 P 的坐标为 ( 3， y 0) ．因54y 252y＝± 1．＝，所以( ) ＋＝ ( ) ，解得OP0 0又点 P 在第一象限，所以4y 0＝1，即 P 的坐标为 ( ， 1) ．3易知过点 P 圆 O 的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k ，44 4|1 － 3k |则切线为 y － 1＝ k ( x － 3) ，即 kx － y ＋1－ 3k ＝0，于是有 k 2＋ 1 ＝ 1，24解得 k ＝0 或 k ＝ 7 ．所以过点 P 圆 O 的切线为： y ＝ 1 或 24x － 7y －25＝ 0．（ 5 分）4xy y 0（2）设 (， ) ，则3 ．B(,)A x y2 2x 2＋ y 2＝ 1，因为点 A ， B 均在圆上，所以有x ＋ 43 2y ＋ y 02(2 )＋(2 ) ＝1．x 2＋ y 2＝ 1，即( x ＋ 43) 2＋( y ＋ y 0) 2＝ 4．22422该方程组有解，即圆x ＋ y ＝ 1 与圆 ( x ＋ ) ＋ ( y ＋ y 0) ＝4 有公共点．1626565于是 1≤9 ＋y 0 ≤ 3，解得－3 ≤ y 0≤ 3 ，即点 P 纵坐标的取值范围是[－65， 65 ] ．（10 分）3 3（ 3）存在，点 A 的坐标为 (37,0) ．（16 分）（写出存在两字给 2 分）4。

江苏省南通市高二上学期数学期中联考试卷

江苏省南通市高二上学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）命题“若A∩B=A，则A B的逆否命题是（）A . 若A∪B≠A，则A BB . 若A∩B≠A，则A BC . 若A B，则A∩B≠AD . 若A B，则A∩B≠A2. （1分） (2018高一上·阜城月考) 如图，设直线的斜率分别为，则的大小关系为（）A .B .C .D .3. （1分）直线m(x+2y-1)+n(x-y+2)=0(m，n∈R且m，n不同时为0)经过定点（）A . (-1，1)B . (1，-1)C . (2，1)D . (1，2)4. （1分）己知命题“使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A .B . (−1,3)C .D . (−3,1)5. （1分）已知三点A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上，则实数a的值是A . 1B . 4C . 3D . 不确定6. （1分） (2018高二上·衢州期中) 若，则方程表示的圆的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），给出以下四个命题：①∀x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x）；②∀x1 ，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2 ，有；③∀x1 ，x2∈（0，1），有；④∀x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|．其中所有真命题的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①②③D . ①②③④8. （1分） (2018高二上·衢州期中) 过作圆的弦，其中弦长为整数的弦共有（）A . 74条B . 72条C . 37条D . 36条9. （1分） (2018高二上·嘉兴期中) 是边长为2的等边三角形，是边上的动点，于，则的最小值是（）A . 1B .C .D .10. （1分）已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的 ;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切.其中真命题的序号是（）A . ①②③B . ①②C . ①③D . ②③二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2017·莱芜模拟) 定义“正对数”：ln+x= ，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则 b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有：________．（写出所有真命题的编号）12. （1分） (2016高一下·黄冈期末) 一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图的轮廓都是边长为1的菱形，俯视图是边长为1的正方形，则该几何体的体积为________．13. （1分） (2018高一下·包头期末) 已知直线：与直线：，若，则实数的值为________或________．14. （1分） (2018高二上·衢州期中) 圆 : 关于直线与直线都对称，则＝________，若原点在圆外，则的取值范围是________．15. （1分） (2017高二上·嘉兴月考) 是两个平面, 是两条直线, 有下列四个命题:①如果 ,那么；②如果m⊥α，α∥α,那么；③如果 ,那么；④如果 ,那么与所成的角和与所成的角相等,其中正确的命题为________．16. （1分）(2018·南阳模拟) 已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为________．17. （1分） (2019高一上·北京月考) 若对，，使得成立，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共5题；共5分)18. （1分） (2018高二上·衢州期中) 如图，已知矩形的两条对角线的交点为 ,点 ,．（Ⅰ）求直线和直线的方程；（Ⅱ）若平面上动点满足，求点的轨迹方程．19. （1分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（1）求证：DA1⊥ED1；（2）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值．20. （1分） (2020高三上·泸县期末) 已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为，且过点，圆是以线段为直径的圆，经过点且倾斜角为的直线与圆相切.（1）求椭圆及圆的方程；（2）是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由.21. （1分）(2019·浙江模拟) 如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且,（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.22. （1分） (2016高二下·金堂开学考) 已知圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求直线y=x被圆C所截得的弦长；（Ⅱ）若a＞1，如图，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M的动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得对任意的直线l均有∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共5分)18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。

2022-2023学年江苏省南通市通州区高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省南通市通州区高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线不经过（）2360x y ++=A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】分析直线的斜率及在轴上的截距即可.y 【详解】由可得：，2360x y ++=223y x =--所以直线的斜率，轴上的截距为，23k =-y 2-所以直线不经过第一象限，故选：A2．已知圆：，则该圆的圆心坐标为（）M 226250x y x y +-++=A ．B ．C ．D ．()3,1-()3,1--()3,1()3,1-【答案】D【分析】把一般方程化为标准方程即可求解【详解】圆：化为标准方程得M 226250x y x y +-++=，()()22315x y -++=所以圆心坐标为，()3,1-故选：D3．若直线：与直线：垂直，则实数的值为（）1l10ax y a +--=2l 220x ay a +--=a A ．-1B ．0C ．1D ．1±【答案】B【分析】根据给定条件，利用两条直线垂直的关系列式求解作答.【详解】因直线：与直线：垂直，则有，解得.1l10ax y a +--=2l 220x ay a +--=110a a ⋅+⋅=0a =故选：B4．直线被圆截得的弦长为（）0x +=224x y +=A B C ．2D ．3【答案】C【分析】由垂径定理求解即可【详解】因为圆的圆心为，半径为2，224x y +=()0,0且圆心到直线的距离为，0x +=d 所以直线被圆截得的弦长为，0x +=224x y +=2==故选：C5．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，C ()1F)2F P C 112PF F F ⊥，则双曲线的标准方程为（）14PF =C A ．B ．C ．D ．2214x y -=2214y x -=22132x y -=22123x y -=【答案】B【分析】由题意可知，求解即可222224c b PF a c a b ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩【详解】由题意可知双曲线方程为且，()222210,0x y a b a b -=>>222224c b PF a c a b ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩解得，12c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以双曲线的标准方程为，C 2214y x -=故选：B6．若点，分别在椭圆上运动，则的最小值为（）P Q 2214y x +=0y +-=PQ A B C D【答案】A【分析】由题意可知，利用点到直线的距离公式转化为三角函数的最值，即可求解()cos ,2sin P θθ【详解】由椭圆方程可设，()cos ,2sin P θθ则的距离为()cos ,2sin P θθ0y +-=d 当时，，()sin 1θϕ+=mind =所以PQ 故选：A7．设椭圆：的左､右顶点为，，左､右焦点为，，上､下顶点为，C ()222210x y a b a b +=>>1A 2A 1F 2F 1B ，关于该椭圆，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：离心率为；丁：四边形2B 111A F =214A F =12的面积为如果只有一个假命题，则该命题是（）1122A B F B A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【分析】先由甲乙丙丁都为真得到有关等式，在分别讨论即可求解【详解】若甲为真命题，则；1a c -=若乙为真命题：；4a c +=若丙为真命题，则；12c a =若丁为真命题，则()a c b +=当甲乙都为真时，有，解得，则，14a c a c -=⎧⎨+=⎩5232a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2b ==此时，3152c a =≠()428a c b +=⨯=≠所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真；若甲、丙和丁为真，则，符合题意；()112a c c a a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩12c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩34a c +=≠若乙、丙和丁为真，则，此时，不符合题意；()412a c c a a cb ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩4383c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩b a >综上可知：乙命题为假命题故选：B8．设椭圆：的上顶点为，左､右焦点分别为，，连接并延长交椭C ()222210x y a b a b +=>>A 1F 2F 1AF 圆于点，若，则该椭圆的离心率为（）C P 25||||4PA PF =A ．B ．CD1513【答案】C【分析】根据给定的条件，结合椭圆定义用a 表示，在中利用余弦定理121||,||,||PF PF AF 12PF F △列式计算作答.【详解】依题意，，由得：，而，1||AF a =25||||4PA PF =2115||||||4PF PF AF a -==21||||2PF PF a +=于是得，令椭圆半焦距为c ，有，如图，1224||,||33PF a PF a ==1cos cAF O a ∠=在中，由余弦定理得：，12PF F △222211211212||||||2||||cos PF F P F F F P F F PF F =+-∠即，整理得，因此，解得，222422()()(2)22()333c a a c a c a =+-⋅⋅⋅-225a c =215e =e =故选：C二、多选题9．已知直线，则（）l 10y -+=A ．直线的倾斜角为l π3B ．直线lC ．点到直线的距离为2)lD ．直线关于l y 10y +-=【答案】ACD【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A ；求出直线与坐标轴的截距可判断B ；由点到直线的距离公式可判断C ；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D y【详解】对于A ：因为直线l 10y -+=所以直线的倾斜角为，故A 正确；l π3对于B ：令，则；令，则0x =1y =0y =x =所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B 错误；l 112⨯=对于C ：点到直线，故C 正确；)l 2对于D ：设在直线关于轴对称的直线上，(),x y l y 则关于轴对称的点在直线上，(),x y y (),x y -l，)10x y --+=10y +-=所以直线关于，故D 正确；l y 10y +-=故选：ACD10．设双曲线：的焦点为，，若点在双曲线上，则（）C 2221(0)3x y b b -=>1F 2F ()2,1P C A ．双曲线的离心率为2B ．双曲线的渐近线方程为C C y x=±C ．D ．12||||||PF PF -=122PF PF ⋅=【答案】BC【分析】根据给定条件，求出b ，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.【详解】依题意，，解得，双曲线：的实半轴长24113b -=b C 22133y x -=a =c =双曲线的离心率A 不正确；C ce a ==双曲线的渐近线方程为，B 正确；C y x =±C 正确；12||||||2PF PF a -==，，则，1(F 2F 12(2,1),2,1)PF PF =-=--有，D 不正确.12(2)(1)(1)1PF PF ⋅=-+-⋅-=-故选：BC11．已知点在直线：上，过点作圆：的两条切线，切点分别为P l 30x y --=P M ()2212x y ++=，，则（）A BA ．存在点，使得四边形为菱形B ．四边形的面积最小值为P PAMB PAMBC ．的外接圆恒过两个定点D ．原点到直线PAB AB 【答案】BCD 【分析】由到直线距离结合已知条件可判断AB ；由点共圆以及点()1,0M -30x y --=,,,M A P B 求出直线，利用点到直线的距离可判断CDAB【详解】对于A ：当四边形为菱形时，PAMB MA AP ==则，2PM ==又到直线，()1,0M -30x y --=2>所以不存在点，使得四边形为菱形，故A 错误；P PAMB对于B ：由A 可知PM ≥≥=所以四边形的面积PAMB 2MAP S =所以四边形的面积最小值为B 正确；PAMB对于C ：设，由图象可知四点在以为直径的圆上，(),3P t t -,,,M A P B PM 圆的方程为，()()22221313224t t t t x y +---⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+即，()22310x y x y x y t +++-++=令，解得或，223=010x y x y x y ⎧+++⎨++=⎩10x y =-⎧⎨=⎩12x y =⎧⎨=-⎩所以的外接圆恒过两个定点，故C 正确；PAB 对于D ：过的圆的方程为，,,,M A P B ()()()130x x t y y t +-+-+=由得直线的方程为：，()()()()2213012x x t y y t x y ⎧+-+-+=⎪⎨++=⎪⎩AB ()()1310t x t y t ++-+-=则原点到直线的距离为ABd ==，故D正确；==<=故选：BCD.12．已知抛物线：的焦点为，准线为，经过点的直线与抛物线相交，两点，C 24y x =F l F C A B ，在上的射影分别为，，与轴相交于点，则下列说法正确的是（）A B l 1A 1B l x M A ．B ．11A F B F ⊥0AM BM ⋅>C ．若，则D ．若，，则2AF FB = 3AF =AQ QM =2AM BQ= ||||4AF BF -=【答案】ACD【分析】设，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，得到，即得221212(,),(,)44y y A y B y 111A F B F k k ⨯=-选项A 正确；，所以选项B 错误；求出即得选项C 正确；由题得240AM BM m ⋅=≥m =,求出，即得选项D 正确.π2ABM ∠=228y =-【详解】解：设，则，221212(,),(,)44y y A y B y 1112(1,),(1,)A y B y --当直线斜率显然不能为零，设其方程为，联立抛物线方程得，所以AB 1x my =+2440y my --= .21212Δ1616044m y y m y y ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩所以，所以，所以选项A 正确；1112122A F B F y y k k ⨯=⨯=---11A F B F⊥221212(1,),(1,),44y y AM y BM y =---=--- 所以，所以选项B 错误；22222121212140416y y y y AM BM y y m +⋅⋅=+++=≥如图，设过点作，则，||2,||,AF a BF a ==B 1BN AA⊥||,|||AN a BN ==由题得直线的斜率为AB 121m y y m =∴=∴+=所以，222111212()22+8189||22+2==444442y y y y y y AB +-=++=+=所以，所以选项C 正确；2||33AFAB =⨯= 由题得,π2ABM ∠=所以，42212222122441,1,=,1616014AB MB y k k y y y y y y y -⋅=-∴⨯=-∴+-=++所以.228y =所以.2222241222221616||||44444y y y y y AF BF y ---=-====所以选项D 正确.故选：ACD三、填空题13．写出一个关于直线对称的圆的标准方程___________.10x y -+=【答案】（答案不唯一，形如）()2211x y +-=()()()22210x a y a r r -+--=>【分析】设出圆心坐标，利用圆心在直线上可得圆心满足的条件，设圆的半径为1，即可得到答案.【详解】设圆心坐标为，半径为，(),C a b ()0r r >则圆的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>因为圆关于对称，C 10x y -+=所以在直线上，(),C a b 10x y -+=则，10a b -+=1b a =+则圆的方程，()()()22210x a y a r r -+--=>取，设圆的半径为1，01a b =⇒=则圆的方程，()2211x y +-=故答案为：(不唯一，形如)()2211x y +-=()()()22210x a y a r r -+--=>14．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为A x B y AB M ()2,1-AB ___________.【答案】【分析】利用直角三角形的几何性质得出，利用两点间的距离公式可求得结果.2AB OM=【详解】在平面直角坐标系中，，AO BO ⊥则为直角三角形，且为斜边，ABO AB故.2AB OM ===故答案为：15．已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临1.5m 2m 之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为___________.4m m 【答案】##120.5【分析】根据题意，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方y 程为，进而且，再计算得，进而得答案.()220x py p =->()()1,,2,A B A y B y 1.5A B y y -=12A y =-【详解】如图，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，y 设抛物线的方程为，()220x py p =->由已知得且，()()1,,2,A B A y B y 1.5A B y y -=所以，解得，14 1.522A B y y p p -=-+=22p =所以，即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为12A y =-12m故答案为：12四、双空题16．已知双曲线的左､右焦点分别为、，若点在双曲()2222:10,0x y C a b a b -=>>()12,0F -()22,0F P线的面积最大值为___________，实数的最小值为C 12PF F △a ___________.【答案】 23【分析】（1）设，由题意可知点在圆上，则到轴的最大距(),P x y (),P x y ()22632x y -+=(),P x y x离为的最小值.a【详解】设(),P x y =整理得，即，221240x y x +-+=()22632x y -+=所以点在圆上，(),P x y ()22632x y -+=则到轴的最大距离为(),P x y x所以的面积最大值为12PF F △142⨯⨯又渐近线与圆有交点，b y x a =()22632x y -+=，即，整理得，解得，≤()2223632b a b≤+249a ≥23a ≥所以实数的最小值为，a 23故答案为：.23五、解答题17．已知椭圆的焦点为，该椭圆经过点P （5,2）12(-6,0),(6,0)F F （1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点满足，求y0的值.00(,)M x y 12MF MF ⊥【答案】（1）（2）221459x y +=032y =±【详解】试题分析：（1）根据椭圆定义得a ，再根据c 求b （2）由得,再12MF MF ⊥2200360x y -+=与椭圆方程联立解得y 0的值.试题解析：（1）依题意，设所求椭圆方程为 22221(0),x y a b a b +=>>其半焦距c=6.因为点P （5,2）在椭圆上，所以122a PF PF =+==所以2229a b a c ==-=从而故所求椭圆的标准方程是 221459x y +=（2）由得12MF MF ⊥()2212000000MF MF (6,)6,360x y x y x y ⋅=---⋅--=-+= 即代入椭圆方程得：220036x y =-2094y =故032y =±18．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线ABC ()0,1A AB CD 20x y +-=AC 所在直线的方程为.BE 350x y +-=(1)求点B 的坐标；(2)求直线的方程.BC 【答案】(1)()1,2(2)75170x y +-=【分析】（1）已知，直线的斜率为，则直线的斜率为1，由，可得直线AB CD ⊥CD 1-AB ()0,1A 的方程，直线和直线交点为B ，可求出点B 的坐标；AB AB BE（2）设点，根据中点坐标公式，可得点的坐标为，代入所在直线的方()00,C x y E 001,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭BE 程可求出点C 所在直线方程，联立所在直线的方程，求出点C 的坐标，即可求出直线的斜BE BC 率，利用点斜式即可求出直线的方程.BC 【详解】（1）因为直线的斜率为，，CD 1-AB CD ⊥所以直线的斜率为1，AB 又因为，()0,1A 所以直线的方程为，AB 1y x =+联立，解得，1350y x x y =+⎧⎨+-=⎩12x y =⎧⎨=⎩故点B 的坐标为.()1,2（2）设点，所以.()00,C x y 0020x y +-=因为点是边的中点，E AC 所以点的坐标为，E 001,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭因为边上的中线所在直线的方程为，AC BE 350x y +-=所以，00135022x y +⨯+-=即.00390x y +-=联立，解得，000020390x y x y +-=⎧⎨+-=⎩007232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以点的坐标为，C 73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所以直线的斜率，BC 32727512k --==--故直线的方程为，BC 72(1)5y x -=--即.75170x y +-=19．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与到直线的距离相等.xOy M ()1,0=1x -(1)求点的轨迹方程；M (2)设不经过原点的直线与点的轨迹相交于A ，B 两点，___________.l M ①若直线经过点，则；②若，则直线经过定点.l ()4,0OA OB ⊥OA OB ⊥l ()4,0在①②中任选一个补充在上面的横线上，并给出证明.（注：如果选择两个命题分别证明，按第一个证明计分.）【答案】(1)24y x=(2)证明见解析【分析】（1）方法1：设，根据两点间距离公式即可列出方程，整理后得出点的轨迹方(),M x y M 程；方法2：根据抛物线的定义，可知点的轨迹为抛物线，焦点为，则，即可得出点M ()1,02p =的轨迹方程；M （2）选①：设直线的方程为，，，联立抛物线方程，利用韦达定理l 4x my =+()11,A x y ()22,B x y 可求出，可证明；选②：设直线的方程为，，0OA OB ⋅=OA OB ⊥l ()0x my t t =+≠()11,A x y ，联立抛物线方程，利用韦达定理可求出，由于，所以()22,B x y 24OA OB t t ⋅=- OA OB ⊥，解得，可证明直线经过定点.240t t -=4t =l ()4,0【详解】（1）方法1：设，(),M x y 因为点到点的距离与到直线的距离相等，M ()1,0=1x -整理得，24y x =所以点的轨迹方程为.M 24y x =方法2：因为点到点的距离与到直线的距离相等，M ()1,0=1x -所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，M ()1,0=1x -所以点的轨迹方程为.M 24y x =（2）选①.由题意可知，直线的斜率不为0，l 设直线的方程为.l 4x my =+联立，消，得244x my y x =+⎧⎨=⎩x ，，24160y my --=216640m ∆=+>设，，则，()11,A x y ()22,B x y 1212416y y m y y +=⎧⎨=-⎩所以，()212121212016y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+= 所以，故.OA OB ⊥OA OB ⊥选②.由题意可知，直线的斜率不为0，且不经过原点，l 设直线的方程为.l ()0x my t t =+≠联立，消，得24x my t y x =+⎧⎨=⎩x ，，2440y my t --=21616m t ∆=+设，，则.()11,A x y ()22,B x y 121244y y m y y t +=⎧⎨=-⎩所以，()2122121212416y y OA OB x x y y y y t t⋅=+=+=- 因为，所以，，OA OB ⊥OA OB ⊥ 0OA OB ⋅=所以，240t t -=解得或（舍），4t =0=t 此时，，216160m t ∆=+>故直线经过定点.l ()4,020．已知圆：，圆：.1C 22(1)(1)4x y -++=2C 222()(0)x m y m m -+=>(1)若两圆相交，求实数的取值范围；m (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理m m 由.【答案】(1)()1,+∞(2)存在，m 【分析】（1）由圆与圆的位置关系求解即可；（2）由点直线的距离结合勾股定理求解即可【详解】（1）由题意，得，半径，，半径，()11,1C -12r =()2,0C m ()20r m m =>因为两圆相交，所以，121212r r C C r r -<<+所以，2m m <+即，解得，()()()()2222211112m m m m ⎧-<-+⎪⎨-+<+⎪⎩113m m >⎧⎪⎨>-⎪⎩又因为，0m >所以，1m >故的取值范围为.m ()1,+∞（2）两圆的公共弦所在直线方程为，()110m x y -+-=假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2，m 因为，半径，()11,1C -12r =所以点到直线的距离，1C ()110m x y -+-=d ==又因为d =，=解得，232m =因为，0m >所以=m 21．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，右顶点为，点，C ()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F P ()0,Q b ，.21PF =160F PQ ∠=︒(1)求双曲线的方程；C (2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为的方程.l 2F C A B 1F AB l 【答案】(1)2213y x -=(2)或或或5100x -=5100x -=360x y +-=360x y --=【分析】（1）由题意得，求解即可；2221c a b a b c -=⎧⎪=⎨⎪+=⎩（2）设：，联立，由根与系数的关系结合三角形面积求解即可AB 2x my =+22233x my x y =+⎧⎨-=⎩【详解】（1）由题意，得，2221c a b a b c -=⎧⎪=⎨⎪+=⎩解得，，，1a=b 2c =所以双曲线的方程为.C 2213y x -=（2）由题意可知，直线的斜率不为0，l 设：，AB 2x my =+联立，消，得，22233x my x y =+⎧⎨-=⎩x ()22311290m y my -++=由，解得.()222310Δ1443610m m m ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩213m ≠设，，则.()11,A x y ()22,B x y 1221221231931m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以，()()()()2222121212222236112364313131m m y y y y y y m m m +⎛⎫-=+-=--= ⎪--⎝⎭-所以的面积1F AB 121211422S F Fy y =⋅-=⨯，化简，得，42453230m m -+=解得，，，，235m =219m=m =13m =±所以直的方程为或或或.l 5100x +-=5100x -=360x y +-=360x y --=22．在平面直角坐标系中，已知双曲线与椭圆，A ，B 分别为的xOy 221:142x y C -=222:142x y C +=1C 左､右顶点，点在双曲线上，且位于第一象限.P 1C (1)直线与椭圆相交于第一象限内的点，设直线，，，的斜率分别为，OP 2C M PA PB MA MB 1k ，，，求的值；2k 3k 4k 1234k k k k +++(2)直线与椭圆相交于点（异于点A ），求的取值范围.AP 2C N AP AN ⋅【答案】(1)0(2)()16,+∞【分析】（1）方法1：设直线，联立双曲线方程和椭圆方程，求得P ，M 两点坐():0OP y kx k =>标，因为，，则可求出，，所以；方法()2,0A -()2,0B 121k k k +=341k k k +=-12340k k k k +++=2：设，，因为点在双曲线上，点在椭圆线()()1111,0,0P x y x y >>()()2222,0,0M x y x y >>P 1C Q 上，得出x ，y 的关系，即可求出，，再利用，，三点共线，即可求出2C 12k k +34k k +O P M 的值.1234k k k k +++（2）设直线的方程为，联立双曲线方程求出点坐标，联立椭圆方程求出N 点坐标，AP 2y kx k =+P 即可求出，因为点位于第一象限，可求k 的取值范围，则可求出函数值域，()2416114k AP AN k +⋅=-P 即的取值范围.AP AN ⋅【详解】（1）方法1：设直线，():0OP y kx k =>联立，消，得，22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()22124k x -=所以，解得，20120k k >⎧⎨->⎩0k <<设，则()()1111,0,0P x y x y >>11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以.P 联立，消，得，22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()22124k x +=设，则，()()2222,0,0M x y x y >>22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以.M 因为，，()2,0A -()2,0B 所以，211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k -+=+===-+---，222223422222821124224412k y y x y k k k x x x k k ++=+===--+--+所以.1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭方法2设，，()()1111,0,0P x y x y >>()()2222,0,0M x y x y >>因为，，()2,0A -()2,0B 所以，11111221112224y y x y k k x x x +=+=-+-.22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-因为点在双曲线上，所以，P 1C 2211142x y -=所以，所以.221142x y -=1121x k k y +=因为点在椭圆线上，所以，Q 2C 2222142x y +=所以，所以.222242x y-=-2342x k k y +=-因为，，三点共线，所以，O P M 1212y y x x =所以.121234120x x k k k k y y +++=-=（2）设直线的方程为，AP 2y kx k =+联立，消，得22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩y ，()()22222184210k x k x k -+++=解得，，12x =-2224212k x k +=-所以点的坐标为，P 222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭因为点位于第一象限，所以，P 222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩解得，消，得0k <<22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩y ，()()22222184210k x k x k +++-=解得，，32x =-2422412k x k -=+所以点的坐标为，N 222244,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以，()22222224161422444221212121214k k k k k AP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭ 设，则，21t k =+312t <<所以.22161616314(1)48384t t AP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因为函数在区间上单调递增，3()4f x x x =+31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当时，，所以，312t <<3748t t <+<30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭所以，即，1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭16AP AN ⋅>故的取值范围为.AP AN ⋅()16,+∞【点睛】（1）此题考查椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率之积和斜率之和证明结论.（2）解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．。

江苏省南通市南通中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。

故选B 。

【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．2.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A. 64 B. 31C. 30D. 15【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的等和性即可.【详解】因为{}n a 是等差数列,所以79124a a a a =++,所以1279416115a a a a =+-=-=．故选：D ．【点睛】若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 本题考查了等差数列的性质,属于基础题．3.己知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. ()0,8 B. (),0-∞C. ()8,+∞D. ()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】二次函数恒成立问题利用判别式小于0列式求解即可．【详解】不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,2420(8)0a a a a ∆=-⨯<⇒-< 即()0,8a ∈, 故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数恒成立问题,属于基础题．4.椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为（）A. -21B. 21C. 1925-或21 D.1925或21 【答案】C 【解析】试题分析：当焦点在x 轴时222516199,4592525k a b k c k k -==+∴=-∴=∴=-，当焦点在y 轴时2225164,9521425k a k b c k k k -=+=∴=-∴=∴=+，故选C 考点：椭圆方程及性质5.已知双曲线22132x y a a+=--的焦点在y 轴上，若焦距为4，则a =（）A. 32B. 5C. 7D. 12【答案】D 【解析】因为双曲线22132x y a a +=--的焦点在y 轴上，所以该双曲线的标准方程为22123y x a a -=--（其中2a <）.又因为焦距为4，所以24322a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.所以12a =.故本题正确答案为D.6.不等式220ax bx ++>的解集是22a x a+=，则+a b 等于（） A. 14 B. -14C. -10D. 10【答案】B 【解析】【分析】先根据不等式的解集得到方程的解为12-或13，进而求出a 与b 的数值，即可得到答案．【详解】由题意可得：不等式ax 2+bx+2＞0的解集11{|}23x x -<<，所以方程ax 2+bx+2=0的解为12-或13，所以a-2b+8=0且a+3b+18=0，所以a=-12，b=-2，所以a b +值是-14．故选B ．【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．7.已知数列{}n a ，如果1a ，21a a -，32a a -，……，1n n a a --，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a = A. 31123n （）- B. 131123n --（） C. 21133n -（） D.121133n --（）【答案】A 【解析】分析：累加法求解。

江苏省南通市高二上学期期中数学试卷

江苏省南通市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·揭阳期中) 数列的一个通项公式是（）A .B .C .D .2. （2分）已知为等差数列，若，则A . 24B . 27C . 15D . 543. （2分）已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为（）A .B .C .D .4. （2分）若实数x为10和90的等差中项，则x的值为（）A . 30B . 40C . 50D . 605. （2分） (2016高一下·望都期中) 记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若﹣7• ﹣8=0，且正整数m，n满足a1ama2n=2 ，则 + 的最小值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·上杭期中) 数列的通项公式为，则的第5项是（）A . 13B .C .D . 157. （2分）(2017·河北模拟) 已知 0＜a＜b＜1，c＞1，则（）A . logac＜logbcB . （）c＜（） cC . abc＜bacD . alogc ＜blogc8. （2分） (2016高一下·吉安期末) 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a5＞0，a1+a10＜0，则当Sn最大时正整数n为（）A . 4B . 5C . 6D . 109. （2分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且满足Sn, Sn+2, Sn+1成等差数列，则a3等于（）A .B .C .D .10. （2分）在等差数列中，，则的值是（）A . 24B . 48C . 96D . 无法确定11. （2分）在等比数列中，，是方程的两个根，则 =（）A .B .C .D . 以上都不对12. （2分）已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为的前n项和，则的值为（）A . 2B . 3C .D . 不存在二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 设变量x，y满足，则x+2y的最小值为________．14. （1分） (2016高一下·高淳期末) 在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则的值为________．15. （1分） (2016高二上·宝安期中) 已知数列{an}中，a1=1，an+1= ，则a6=________．16. （1分） (2015高三上·孟津期末) 定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{an}满足a1=a（a＞0），a2=1，an+2= （n∈N*），若a2015=4a，记数列{an}的前n项和为Sn ，则S2016的值为________ ．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2018高一下·毕节期末) 已知数列的前项和为，数列是等比数列.设数列前项和为，且， .（1）求数列和的通项公式；（2）求 .18. （10分）某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年巴西奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2016年生产化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半的和，则当年生产的化妆品正好能销完．（1）将2016年的利润y（万元）表示为促销费t万元的函数．（2）该企业2016年的促销费投入多少时，企业的年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）19. （10分） (2017高一下·衡水期末) 已知数列{an}是首项为正数的等差数列，a1•a2=3，a2•a3=15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（an+1）•2 ，求数列{bn}的前n项和Tn．20. （10分） (2016高二上·湖北期中) 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．（1）求b．（2）若a= ，求角C．21. （10分）(2019高二上·中山月考) 已知是一个公差大于的等差数列，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）等比数列满足：，若数列，求数列的前项和 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ，N 满足M ∩N ≠∅，则（） A ．∀x ∈M ，x ∈N B ．∀x ∈M ，x ∉N C ．∃x ∈M ，x ∈N D ．∃x ∈M ，x ∉N2．复数1+i i 3（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设m 为实数，已知直线l 1：2x +3y ﹣2＝0，l 2：mx +（2m ﹣1）y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．44．“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为144πcm 3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为1.5g /cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（1.5π≈4.7）（）A ．3045.6gB ．1565.1gC ．972.9gD ．296.1g6．已知函数f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32，则下列说法正确的是（）A ．f(x)=sin(2x −π3) B ．函数f （x ）的最小正周期为πC ．函数f （x ）的对称轴方程为x =kπ+5π12(k ∈Z) D ．函数f （x ）的图象可由y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到7．已知在各项为正的等比数列{a n }中，a 2与a 8的等比中项为8，则4a 3+a 7取最小值时首项a 1 等于（） A ．8B ．4C ．2D ．18．曲线y =1+√4−x 2与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个不同交点，实数k 的取值范围是（）A ．k ≥34B ．−34≤k ＜−512C ．k ＞512D ．512＜k ≤34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或错选不得分． 9．已知椭圆mx 2+y 2＝1的离心率为2√55，则m 的值可能为（） A ．√55B ．15C ．5D ．2510．已知直线（2m +1）x +（1﹣m ）y ﹣m ﹣2＝0（m ∈R ）与圆C ：x 2﹣4x +y 2＝0，则（） A ．对∀m ∈R ，直线恒过一定点B ．∃m ∈R ，使直线与圆相切C ．对∀m ∈R ，直线与圆一定相交D ．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为2√2 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下命题正确的有（） A ．若数列{a n }为等差数列，则{2a n }为等比数列B ．若数列{a n }为等差数列，S n ＞0恒成立，则{a n }是严格增数列C ．若数列{a n }为等比数列，则S 2023•a 2023＞0恒成立D ．若数列{a n }为等差数列，a 1＞0，S 6＝S 11，则S n 的最大值在n 为8或9时取到12．已知抛物线C ：x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上异于点O 的两点（O 为坐标原点）则下列说法正确的是（）A ．若A 、F 、B 三点共线，则|AB |的最小值为2 B ．若|AF |=32，则△AOF 的面积为√24C ．若OA ⊥OB ，则直线AB 过定点（2，0）D ．若∠AFB ＝60°，过AB 的中点D 作DE ⊥l 于点E ，则|AB||DE|的最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{a n }中，a 4a 5＝32，log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 8＝．14．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一段，宽6m ，高0.5m ，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为．15．圆心在直线x ﹣y +4＝0上，且经过圆x 2+y 2﹣4x ﹣6＝0与x 2+y 2﹣4y ﹣6＝0的交点的圆的标准方程是．16．已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，△AF 1F 2与△BF 1F 2的内切圆圆心均在直线x ＝a 上，且r 1r 2≤3a 2，则此双曲线离心率的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0．（1）直线l 的方程为x −√3y =0，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的值；（2）从圆C 外一点P （4，4）引圆C 的切线，求此切线方程．18．（12分）已知等差数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，又a 2＝4，S 9＝90．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设b n ＝|9﹣a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sinA−sinB sinC=a−c a+b．（1）求角B 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝2，求△ABC 的面积S 的取值范围． 20．（12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝10．（1）若S 20＝590，求{a n }的公差；（2）若a 1∈Z ，且S 7是数列{S n }中最大的项，求a 1所有可能的值． 21．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A （0，√2），右焦点为F （c ，0），直线AF 交椭圆于B 点，且满足|AF |＝2|FB |，|AB |=3√32．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆相交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．22．（12分）对于椭圆：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，我们称双曲线：y 2a 2−x 2b 2=1为其伴随双曲线．已知椭圆C ：y 23+x 2b 2=1（0＜b ＜√3），它的离心率是其伴随双曲线Γ离心率的√22倍．（1）求椭圆C 伴随双曲线Γ的方程；（2）如图，点E ，F 分别为Γ的下顶点和上焦点，过F 的直线l 与Γ上支交于A ，B 两点，设△ABO 的面积为S ，∠AOB ＝θ（其中O 为坐标原点）．若△ABE 的面积为6+3√3，求S tanθ．2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ，N 满足M ∩N ≠∅，则（） A ．∀x ∈M ，x ∈NB ．∀x ∈M ，x ∉NC ．∃x ∈M ，x ∈ND ．∃x ∈M ，x ∉N解：∵集合M ，N 满足M ∩N ≠∅， ∴由交集合定义得∃x ∈M ，x ∈N ．故选：C ． 2．复数1+i i 3（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：因为复数1+i i 3=1+i −i=(1+i)i −i⋅i=−1+i ，所以复数1+i i 3在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B ．3．设m 为实数，已知直线l 1：2x +3y ﹣2＝0，l 2：mx +（2m ﹣1）y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4解：由题意l 1∥l 2，可得m 2=2m−13≠1−2，解得m ＝2，故选：B ．4．“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆，则{m +1＞07−m ＞0m +1≠7−m，解得﹣1＜m ＜3或3＜m ＜7，故“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的充分不必要条件．故选：A ．5．某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为144πcm 3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为1.5g /cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（1.5π≈4.7）（）A ．3045.6gB ．1565.1gC ．972.9gD ．296.1g解：由于半球的体积为144πcm 3，设球的半径为R ，所以23⋅π⋅R 3=144π，解得R ＝6，故圆台的上底面半径和圆台的高都为3，故V 圆台=13×(S 上+√S 上⋅S 下+S 下)⋅ℎ=13×(32π+√32π⋅62⋅+62π)×3=63πcm 3，模型的体积V =V 圆台+V 半球=144π+63π=207πcm 3，故模型的质量为207π×1.5＝207×4.7＝972.9g ．故选：C ．6．已知函数f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32，则下列说法正确的是（）A ．f(x)=sin(2x −π3) B ．函数f （x ）的最小正周期为π C ．函数f （x ）的对称轴方程为x =kπ+5π12(k ∈Z) D ．函数f （x ）的图象可由y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到解：依题意，f(x)=12sin2x −√3⋅1+cos2x 2+√32=12sin2x −√32cos2x =sin(2x −π3)，A 正确；函数f （x ）的最小正周期为2π2=π，B 正确；由2x −π3=π2+kπ，k ∈Z ，得x =5π12+kπ2，k ∈Z ，则函数f （x ）的对称轴方程为x =5π12+kπ2，k ∈Z ，C 错误；函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6，得y =sin2(x −π6)=sin(2x −π3)，因此函数f （x ）的图象可由y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，D 正确．故选：ABD ．7．已知在各项为正的等比数列{a n }中，a 2与a 8的等比中项为8，则4a 3+a 7取最小值时首项a 1 等于（）A ．8B ．4C ．2D ．1解：由题意知a 2a 8＝82=a 52，解得a 5＝8，设公比为q （q ＞0）， ∴4a 3+a 7=4a 5q 2+a 5q 2=32q 2+8q 2≥2√32q 2×8q 2=32，当且仅当32q 2=8q 2，即q 2＝2时取等号，此时a 1=a 5q 4=2．故选：C ．8．曲线y =1+√4−x 2与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个不同交点，实数k 的取值范围是（） A ．k ≥34 B ．−34≤k ＜−512 C ．k ＞512D ．512＜k ≤34解：y =1+√4−x 2与可化为x 2+（y ﹣1）2＝4，y ≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y ≥1的部分．直线y ＝k （x ﹣2）+4过定点p （2，4），由图知，当直线经过A （﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个， ∵k AP =4−12+2=34，由直线与圆相切得d =|−1+4−2k|√1+k =2，解得k =512，则实数k 的取值范围为512＜k ≤34．故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或错选不得分． 9．已知椭圆mx 2+y 2＝1的离心率为2√55，则m 的值可能为（） A ．√55B ．15C ．5D ．25解：mx 2+y 2＝1化为标准形式为x 21m+y 2=1，当m ＞1时，0＜1m ＜1，表示焦点在y 轴上的椭圆，a 2＝1，b 2=1m ，离心率为√1−1m =2√55，解得m＝5；当0＜m ＜1时，1m ＞1，表示焦点在x 轴上的椭圆，此时a 2=1m ，b 2＝1，离心率为e =√1m −1√1m=√1−m =2√55，解得m =15．故选：BC ．10．已知直线（2m +1）x +（1﹣m ）y ﹣m ﹣2＝0（m ∈R ）与圆C ：x 2﹣4x +y 2＝0，则（） A ．对∀m ∈R ，直线恒过一定点B ．∃m ∈R ，使直线与圆相切C ．对∀m ∈R ，直线与圆一定相交D ．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为2√2解：直线（2m +1）x +（1﹣m ）y ﹣m ﹣2＝0（m ∈R ）是直线系，{2x −y −1=0x +y −2=0，解得x ＝1，y ＝1，恒过（1，1），所以A 正确；圆C ：x 2﹣4x +y 2＝0的圆心为（2，0），半径为2，（1，1）在圆内，所以B 不正确；C 正确；直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长：2√22−(√(1−2)2+12)2=2√2，所以D 正确；故选：ACD ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下命题正确的有（） A ．若数列{a n }为等差数列，则{2a n }为等比数列B ．若数列{a n }为等差数列，S n ＞0恒成立，则{a n }是严格增数列C ．若数列{a n }为等比数列，则S 2023•a 2023＞0恒成立D ．若数列{a n }为等差数列，a 1＞0，S 6＝S 11，则S n 的最大值在n 为8或9时取到解：选项A ：若{a n }为等差数列，设公差为d ，则2a n+12a n=2a n+1−a n =2d ，为常数，则{2a n }为等比数列，故A 正确；选项B ：若数列{a n }为等差数列，设公差为d ，首项为a 1，则a 1＞0，当d ＝0时，S n ＞0恒成立，数列{a n }为常数列，则{a n }不是严格增数列，故B 不正确；选项C ：若数列{a n }为等比数列，设首项为a 1≠0，公比为q ，q ＝1时，{a n }为常数列，a 1＝a 2023，所以，S 2023⋅a 2023=2023⋅a 1⋅a 1=2023a 12，q ≠1时，S 2023⋅a 2023=a 1(1−q 2023)1−q ⋅(a 1⋅q 2022)=a 12⋅q 2022⋅1−q 20231−q＞0，所以若数列{a n }为等比数列，则S 2023•a 2023＞0恒成立，故C 正确；选项D ：若数列{a n }为等差数列，a 1＞0，S 6＝S 11，可得a 7+a 8+a 9+a 10+a 11＝0，又等差数列性质有5a 9＝0，a 9＝0，由a 1＞0可知d ＜0，所以S n 的最大值在n 为8或9时取到，故D 正确．故选：ACD ．12．已知抛物线C ：x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上异于点O 的两点（O 为坐标原点）则下列说法正确的是（）A ．若A 、F 、B 三点共线，则|AB |的最小值为2 B ．若|AF |=32，则△AOF 的面积为√24C ．若OA ⊥OB ，则直线AB 过定点（2，0）D ．若∠AFB ＝60°，过AB 的中点D 作DE ⊥l 于点E ，则|AB||DE|的最小值为1解：对于A 选项，易知抛物线C 的焦点为F(0，12)，当直线AB 与y 轴重合时，直线AB 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，设直线AB 的方程为y =kx +12，设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），联立{y =kx +12x 2=2y，可得x 2﹣2kx ﹣1＝0，Δ＝4k 2+4＞0，由韦达定理可得x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣1，则y 1y 2=x 12x 224=14，易知y 1＞0，y 2＞0，所以，|AB|=y 1+y 2+1≥2√y 1y 2+1=2，当且仅当y 1=y 2=12时，等号成立，故|AB |的最小值为2，A 对；对于B 选项，设点A(x 1，y 1)，|AF|=y 1+12=32，可得y 1＝1，所以，x 12=2y 1=2，则|x 1|=√2，所以，S △AOF =12|OF|⋅|x 1|=12×12×√2=√24，B 对；对于C 选项，易知AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx +b ，设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由于直线AB 不过原点，所以，b ≠0，联立{y =kx +b x 2=2y，可得x 2﹣2kx ﹣2b ＝0，Δ＝4k 2+8b ＞0，由韦达定理可得x 1x 2＝﹣2b ，所以，y 1y 2=x 12x 224=b 2，因为OA ⊥OB ，则OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=−2b +b 2=0，解得b ＝2，所以，直线AB 的方程为y ＝kx +2，故直线AB 过定点（0，2），C 错；对于D 选项，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设|AF |＝m ，|BF |＝n ，所以|DE|=|AA 1|+|BB 1|2=m+n 2，因为|AB |2＝m 2+n 2﹣2mn cos ∠AFB ＝m 2+n 2﹣mn ＝（m +n ）2﹣3mn≥(m +n)2−3(m+n)24=(m+n 2)2=|DE|2，所以|AB |≥|DE |，则|AB||DE|的最小值为1，当且仅当m ＝n 时，等号成立，D 对．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{a n }中，a 4a 5＝32，log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 8＝ 20 ．解：正项等比数列{a n }中，∵log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 8＝log 2[a 1a 8•a 2a 7•a 3a 6•a 4a 5]＝log 2（a 4a 5）4 ＝log 2324＝20，故答案为：2014．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一段，宽6m ，高0.5m ，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为 y =−92 ．解：根据题意，设抛物线方程为x 2＝2py （p ＞0），则B 的坐标为（3，12），则有32＝2p ×12，解可得p ＝9，抛物线的方程为x 2＝18y ，则其准线的方程为y =−92，故答案为：y =−92．15．圆心在直线x ﹣y +4＝0上，且经过圆x 2+y 2﹣4x ﹣6＝0与x 2+y 2﹣4y ﹣6＝0的交点的圆的标准方程是（x +1）2+（y ﹣3）2＝16 ．解：联立圆x 2+y 2﹣4x ﹣6＝0与x 2+y 2﹣4y ﹣6＝0的方程可得x ＝y ，由{x =y x 2+y 2−4x −6=0，可得x ＝y ＝3或x ＝y ＝﹣1，即两圆的交点为（3，3），（﹣1，﹣1），因为两圆的圆心分别为（2，0）和（0，2），故两圆的连心线为x +y ﹣2＝0，因为圆心在直线x ﹣y +4＝0上，联立{x +y −2=0x −y +4=0，可得x ＝﹣1，y ＝3，即所求圆的圆心（﹣1，3），半圆r =√(3+1)2+(−1+1)2=4，所以圆的方程为（x +1）2+（y ﹣3）2＝16．故答案为：（x +1）2+（y ﹣3）2＝16． 16．已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，△AF 1F 2与△BF 1F 2的内切圆圆心均在直线x ＝a 上，且r 1r 2≤3a 2，则此双曲线离心率的取值范围为（1，√3+1] ．解：设△AF 1F 2、△BF 1F 2的内切圆圆心分别为O 1、O 2，设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，由切线长定理，可得|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1G|，|F2G|＝|F2N|，∴|AF2|+|F1F2|﹣|AF1|＝（|AN|+|F2N|）+（|F1G|+|F2G|）﹣（|AM|+|F1M|）＝|F2N|+|F2G|＝2|F2G|＝2c﹣2a，则|F2G|＝c﹣a，∴点G的横坐标为c﹣（c﹣a）＝a．故点O1的横坐标也为a，同理可知点O2的横坐标为a，故O1O2⊥x轴，故圆O1和圆O2均与x轴相切于G（a，0），圆O1和圆O2两圆外切．在△O1O2F2中，∠O1F2O2=∠O1F2G+∠O2F2G=12(∠AF2F1+∠BF2F1)=90°，O1O2⊥F2G，∴∠GO1F2＝∠F2O1O2，∠O1GF2＝∠O1F2O2＝90°，∴△O1GF2∽△O1F2O2，∴|O1G||O1F2|=|O1F2||O1O2|，则|O1F2|2=|O1G|⋅|O1O2|，∴|F2G|2=|O1F2|2−|O1G|2=|O1G|⋅|O1O2|−|O1G|2=|O1G|⋅|O2G|，即（c﹣a）2＝r1•r2，∴（c﹣a）2≤3a2，可得c﹣a≤√3a，可得c≤（√3+1）a，则a＜c≤（√3+1）a，因此e=ca∈（1，√3+1]．故答案为：（1，√3+1]．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0．（1）直线l的方程为x−√3y=0，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的值；（2）从圆C外一点P（4，4）引圆C的切线，求此切线方程．解：（1）化圆C：x2+y2﹣4x＝0为：（x﹣2）2+y2＝4，知圆心（2，0）为半径为2，故圆心到直线的距离d=23+1=1，∴|AB|=2√R2−d2=2√3；（2）当斜率不存在时，过P（4，4）的直线是x＝4，显然是圆的切线；当斜率存在时，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣4）．由√k2+1=2，解得k=34．此时切线方程为3x﹣4y+4＝0．综上所述，切线方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．18．（12分）已知等差数列{a n}，前n（n∈N*）项和为S n，又a2＝4，S9＝90．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n ＝|9﹣a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）等差数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，又a 2＝4，S 9＝90．设首项为a 1，公差为d ，所以{a 1+d =49a 1+9×82d =90，解得{a 1=2d =2．故a n ＝2n ；（2）由（1）得：b n ＝|9﹣a n |＝|9﹣2n |；当n ≤4时，T n =7+9−2n2⋅n =8n −n 2，当n ≥5时，T n ＝（b 1+b 2+b 3+b 4）﹣（b 5+b 6+...+b n ）＝32﹣（8n ﹣n 2）＝n 2﹣8n +32．故T n ={8n −n 2(n ≤4的正整数)n 2−8n +32(n ≥5的正整数)．19．（12分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sinA−sinB sinC=a−c a+b．（1）求角B 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝2，求△ABC 的面积S 的取值范围．解：（1）由已知及正弦定理，得a−b c=a−c a+b，即（a ﹣b ）（a +b ）＝c （a ﹣c ），即a 2﹣b 2＝ac ﹣c 2，即a 2+c 2﹣b 2＝ac ．由余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac =12，因为B ∈（0°，180°），所以B ＝60°．（2）因为A +C ＝120°，c ＝2，由正弦定理，得a =csinAsinC =2sin(120°−C)sinC =√3cosC+sinCsinC =√3tanC+1．所以S =12acsinB =asin60°=√32(√3tanC +1)．因为△ABC 为锐角三角形，则30°＜C ＜90°，从而tanC ∈(√33，+∞)，所以S ∈(√32，2√3)．20．（12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝10．（1）若S 20＝590，求{a n }的公差；（2）若a 1∈Z ，且S 7是数列{S n }中最大的项，求a 1所有可能的值．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 4=a 1+3d =10S 20=20a 1+190d =590，解得d ＝3．（2）由（1）得a 4＝a 1+3d ＝10，d =10−a 13，由于S 7是数列{S n }中最大的项，d =10−a 13＜0，a 1＞10，所以{a 7≥0a 8≤0，即{a 1+6d ≥0a 1+7d ≤0，即{a 1+6×10−a13=20−a 1≥0a 1+7×10−a 13=70−4a 13≤0，解得352≤a 1≤20，由于a 1是整数，所以a 1的可能取值是18，19，20．21．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A （0，√2），右焦点为F （c ，0），直线AF 交椭圆于B 点，且满足|AF |＝2|FB |，|AB |=3√32．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆相交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（Ⅰ）因为点A （0、√2）为椭圆C 上一点，∴b =√2，又|AF |＝2|FB |，|AB|=3√32可得|AF|=√3，即 a =√3，所以椭圆C 的标准方程是x 23+y 22=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知F （1，0），A(0，√2)，∴直线AF 的方程为√2x +y −√2=0，联立{x 23+y 22=1√2x +y −√2=0，整理得4x 2﹣6x ＝2（2x 2﹣3x ）＝0，解得x 1＝0，x 2=32，∴B(32，−√22)，设点A(0，√2)，B(32，−√22) 到直线y ＝kx （k ＞0）的距离为d 1 和 d 2，则d 1=2√k +1，d 2=3k+22√k +1，∵直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆相交于C ，D 两点，联立 {x 23+y 22=1y =kx，整理得：（3k 2+2）x 2＝6，解得：x 3=√6√3k +2，x 4=√6√3k +2，|CD|=√k 2+1|x 3−x 4|=√6√2√3k +2，设四边形ACBD 面积为S ，则S =12|CD|(d 1+d 2)=√6√2√3k +23(k+√2)2√k +1=3√62k+√2√3k +2＞0)，设t =k +√2∈(√2，+∞)，则 k =t −√2， ∴S =3√62t √3(t−√2)+2=3√62⋅t √3t −6√2t+8=3√621√3−6√21t +8⋅1t2=3√621√8(1t−3√28)2+34≤3√2，所以当1t=3√28，即t =83√2=4√23=k +√2，即k =√23 时，四边形ACBD 面积有最大值 3√2．22．（12分）对于椭圆：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，我们称双曲线：y 2a 2−x 2b 2=1为其伴随双曲线．已知椭圆C ：y 23+x 2b 2=1（0＜b ＜√3），它的离心率是其伴随双曲线Γ离心率的√22倍．（1）求椭圆C 伴随双曲线Γ的方程；（2）如图，点E ，F 分别为Γ的下顶点和上焦点，过F 的直线l 与Γ上支交于A ，B 两点，设△ABO 的面积为S ，∠AOB ＝θ（其中O 为坐标原点）．若△ABE 的面积为6+3√3，求S tanθ．解：（1）设椭圆C 与其伴随双曲线Γ的离心率分别为e 1，e 2，依题意可得a 2＝3，e 1=√22e 2，即e 12=12e 22，即3−b 23=12×3+b 23，解得b 2＝1，所以椭圆C ：y 23+x 2=1，则椭圆C 伴随双曲线Γ的方程为y 23−x 2=1．（2）由（1）可知F （0，2），E(0，−√3)，设直线l 的斜率为k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则直线l 的方程y ＝kx +2，与双曲线y 23−x 2=1联立并消去y 得（k 2﹣3）x 2+4kx +1＝0，则Δ＝12k2+12＞0，所以x1+x2=−4kk2−3，x1x2=1k2−3＜0，则k2＜3，又|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√3√2√(k2−3)2=2√3√k2+13−k2，又|EF|=2+√3，∴S△ABE=12|EF|⋅|x1−x2|=12(2+√3)2√3√k2+13−k2=6+3√3，解得k2＝2或k2=133（舍去），又Stanθ=12|OA||OB|sinθtanθ=12|OA||OB|cosθ=12OA→⋅OB→=12(x1x2+y1y2)=12[x1x2+(kx1+2)(kx2+2)]=12[(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4]=12(4+−7k2+1k2−3)，∴Stanθ=12(4+13)=172．。

江苏省南通市高二上学期)期中数学试卷

江苏省南通市高二上学期）期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共13题；共26分)1. （2分） (2019高二上·郑州期中) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分）(2013·浙江理) 已知f(x)=·sin(x+1)，则f’(1)=（）A . +cos2B . sin2+2cos2C . sin2+cos2D . sin2+cos23. （2分） (2016高二上·福州期中) 下列说法正确的是（）A . 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B . 若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0C . 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D . “x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件4. （2分）已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）B .C .D .5. （2分）直线l与函数y=sinx（x∈[0，π]）的图象相切于点A，且l∥OP，其中O为坐标原点，P为图象的极大值点，则点A的纵坐标是（）A .B .C .D .6. （2分）(2016·南平模拟) 已知抛物线的焦点为F，点,在抛物线上，且，则有（）A .B .C .D .7. （2分）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（2，0）的椭圆方程是（）A . +y2=1B . +y2=1或x2+ =1D . +y2=1或 + =18. （2分） (2019高二下·拉萨月考) 已知为虚数单位，，则在复平面上复数对应的点位于（）A . 第四象限B . 第三象限C . 第二象限D . 第一象限9. （2分） (2016高二下·鹤壁期末) 由直线x= ，x=2，曲线y= 及x轴所围成的图形的面积是（）A .B .C .D . 2ln210. （2分）已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2017高二下·长春期末) 若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）若双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A . 4B . 2C .D .13. （2分）椭圆的焦点F1 ， F2 ， P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2 ，则△F1PF2的面积为（）A . 8B . 9C . 10D . 12二、填空题 (共5题；共5分)14. （1分）已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)．若关于x的不等式f[x2＋a(a ＋2)]≤f(2ax＋2x)的解集为A，函数f(x)在[－8，8]上的值域为B，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．15. （1分） (2017高二下·徐州期末) 已知复数z= ，其中i是虚数单位，则z的模是________．16. （1分） (2017高二下·池州期末) 根据定积分的几何意义，计算 dx=________．17. （1分） (2016高一上·福州期中) 下列说法：①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[﹣1，a]）是偶函数，则实数b=﹣2；②f（x）= + 既是奇函数又是偶函数；③若f（x+2）= ，当x∈（0，2）时，f（x）=2x ，则f（2015）=2；④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（xy）=xf（y）+yf（x），则f （x）是奇函数．其中所有正确命题的序号是________．18. （1分） (2016高二上·长春期中) 已知椭圆的左焦点为F，A（﹣a，0），B（0，b）为椭圆的两个顶点，若F到AB的距离等于，则椭圆的离心率为________．三、解答题 (共6题；共55分)19. （10分）(2019·永州模拟) 已知函数， .（1）讨论函数在上的单调性；（2）设，当时，证明： .20. （10分） (2018高二上·普兰期中) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.21. （5分） (2017高二上·延安期末) 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．22. （10分） (2018高二下·深圳月考) 已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程，有三个不同的实根，求实数的取值范围.23. （10分） (2019高二上·龙潭期中) 已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．24. （10分）(2017·重庆模拟) 已知函数f（x）=g（x）﹣（a﹣1）lnx，g（x）=ax+ +1﹣3a+（a﹣1）lnx．（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若不等式g（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求正实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共13题；共26分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共5题；共5分)14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共6题；共55分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。