24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
线段垂直平分线的应用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，这是线段垂直平分线的一个重要性质，在解题过程中，若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，利用上述性质可顺利解决问题．一、用于计算例1 如图1，点P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P PEF 的周长为5，求MN 的长．分析：由图1知MN 的长是ME 、EF 、FN 而P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 对称，所以OA 、 OB 分别是PM 、PN 知EM=EP ， FP=FN ，故MN 的长就是△PEF 的周长．解：因为P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 的垂直平分线，所以EM=EP ， FP=FN ．所以例2 如图2所示，DE 是△ABC 的边AB E 平分∠B AC ，若∠B=30º，求∠C 的度数．分析：由DE 是AB 边的垂直平分线可知BE=A E ∠B=∠1，又因为A E 是∠B AC 的角平分线，所以∠1=∠即可求出∠C 的度数． 解：因为DE 是AB 边的垂直平分线，所以BE=A E ∠B=∠1．因为∠B=30º，所以∠1=30º．又因为A E 平分∠B AC ，所以∠2=∠1=30º，即∠B AC=60º．因为∠C=180º－∠B AC －∠B ，所以∠C=90º．点评：通过以上两例可以看出，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地二、用于证明例3 如图3，已知AB=AC ， AD 平分∠BAC ，求证：∠分析：由已知AB=AC 及AD 平分∠BAC ，易想到连结BC ，得 等腰△ABC ，且AD 垂直平分BC ，从而有DB=CD 及BE=EC ，可得∠EBC=∠ECB ，∠DBC=∠DCB ，两式相减即有∠DBE=∠ECD ．证明：连结BC ，因为AB=AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD 垂 直平分BC ，所以BE=EC ，DB=CD ，所以∠EBC=∠ECB ，∠DBC= ∠DCB ，所以∠EBC －∠DBC=∠ECB －∠DCB ，即∠DBE=∠ECD 点评：本题也可以通过证明△ABE ≌△ACE 得∠AEB=∠AEC 及BE=EC ，再证明△BDE ≌△DCE ．但这种证法显然没有利用线段垂直平分线性质来得简捷．例4 如图4，在△ABC 中，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，分析：要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD=90º．由于AD=DB 可在AB 边上取中点E ，连结DE ，由AB=2AC 及∠BAD=∠得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD=∠AED ，由AD=DB 知D 在AB 的垂直平分线上，可知∠AED=90º，问题解决．证明：在AB 边上取中点E ，连结DE ，因为AD=DB ，E 为中点，所以ED ⊥AB ．因为AB=2AC ，所以AE=21AB= AC ．在△ADE 和△ADC 中，AE= AC ，∠DAE=∠DAC ，AD 共用，所以△ADE ≌△ADC ，所以∠ACD=∠AED=90º，所以CD ⊥CA ．点评：由于受习惯思维的影响，同学们在解题过程中，在可以用线段垂直平分线性质说明的问题，仍然用三角形全等的方法来解决，这就给解题增加的麻烦，我们应有意识地应用这个性质探求新的解题途径，切勿机械套用全等三角形知识．线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
线段垂直平分线定理知识总结
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理课前预习1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。
当堂训练知识点1：线段垂直平分线的性质1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，•需加_ _______条件，理由是___ _____．2.（09钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB3.如图所示，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm，BD=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）．A．3.9cm B．7.8cm C．4cm D．4.6cm4.如图所示，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（）．A．20° B．30° C．35° D．40°知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理5.AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于点E．则AB是线段CD的___ _____．课后作业6.给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）．∵BM=BN，∴点B在直线l上（）．∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．这是因为如果点C在直线l上，那么CM＝CN（）．这与条件CM≠CN矛盾．典例精析【例1】如图所示，在△ABC中，D为BC上的一点，连结AD，点E在AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AD垂直平分BC【分析】证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线，可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，也就是通过得出EB=EC，AB=AC，从而证明出AD垂直平分BC【证明】∵∠1=∠2，∴EB=EC，∴点E在线段BC的垂直平分线上。
线段的垂直平分线及其应用
线段的垂直平分线性质及其应用一、基础知识归纳1 线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程.2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P作已知线段AB的垂线PC，再证明PC平分AB；②取AB的中点C，证明PC⊥AB；③作∠APC的平分线PC，证明PC⊥AB，且AC=AB.3 三角形的三边的垂直平分线定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．二、典型例题剖析典例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N.求证：CM=2BM.【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。
线段垂直平分线的逆定理
线段垂直平分线的逆定理
线段垂直平分线的逆定理是一个有趣的几何定理，可以用来证明某些有关线段的性质。
它也被称为三角形垂直平分线定理，因为它可以用来证明三角形内角和对应的外角之间的关系。
定理：如果一条线段AB与CD垂直平分，则
∠ACD=∠BDC。
证明：
设线段AB的中点为M，线段CD的中点为N。
1. 由垂直平分线定理可知，AM⊥CD，BN⊥CD。
2. 因此，线段MN是CD的中垂线，所以MN⊥CD。
3. 又因为AM⊥CD，MN⊥CD，故M和N都在同一个CD 的平面上，于是，∠AMN=∠BNM。
4. 由边平行定理得，∠ACD=∠AMN=∠BNM=∠BDC，即证明了∠ACD=∠BDC。
结论：如果一条线段AB与CD垂直平分，则
∠ACD=∠BDC。
线段垂直平分线的逆定理是几何学中重要的定理，它可以用来证明三角形内角和外角的关系。
例如：如果一个三角形的内角A、B和C的大小分别为α、β和γ，如果AO与BC垂直平分，那么α+γ=2β。
它还可以用来证明其
他任意多边形的角之和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
这也是一个有趣的定理，可以用来解决许多几何问题，是几何学中不可或缺的一部分。
2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教学设计一. 教材分析《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第3节的内容。
本节课主要介绍线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过证明线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，以及线段垂直平分线垂直平分线段这两个性质，让学生理解线段垂直平分线的重要性和应用。
同时，通过逆定理的证明，让学生掌握如何判断一条直线是线段的垂直平分线。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段、射线、直线的基本概念，以及全等三角形的性质和判定。
但线段垂直平分线的性质定理及其逆定理较为抽象，需要学生具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过生动形象的比喻和具体例子，帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
2.学会运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明。
2.如何运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索；通过具体案例，让学生理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；通过小组合作学习，培养学生之间的交流和合作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.尺子、圆规、直尺等作图工具。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入：在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(6,7)之间有一条线段，求线段的垂直平分线方程。
让学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题。
2.呈现（15分钟）讲解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
通过PPT课件和板书，呈现定理的证明过程，让学生理解定理的含义。
同时，给出一些例子，让学生学会运用定理解决实际问题。
垂直平分线的定理
垂直平分线的定理
1 垂直平分线的定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。
2 垂直平分线定理
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
垂直平分线定理为：垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
3 垂直平分线的逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
4 垂直平分线的判定方法
1、利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。
2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。
垂直平分线的逆定理
垂直平分线的逆定理
线段垂直平分线定理是在平面内，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
那么逆定理就是，在平面内，到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上。
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。
它是初中几何学科中非常重要的一部分内容。
垂直平分线将一条线段从中间分成左右相等的两条线段，并且与所分的线段垂直（成90°角）。
性质
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等
4.垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点；（2）直线⊥线段。
八年级数学下册 24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理教案 冀教版
教学设计思想及其逆定理我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，本节学习这个性质的证明及其应用，以启发引导的方式，引导学生完成定理的证明。
对于逆命题的书写，先回顾有关的知识，再书写，师生一起完成证明。
对于用尺规作线段垂直平分线的过程，要学生说出每步作法的依据。
教学目标知识目标总结线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用；经历用尺规作线段垂直平分线的过程，并能说明其依据。
能力目标经历探索、猜测、证明过程，进一步发展推理、证明意识和能力。
情感目标在探索活动中感受数学的严密性、严谨性；在各种活动中获得猜想。
教学重点和难点重点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理及它们的实际应用；难点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用。
教学方法启发引导、合作探究课时安排１课时教具学具准备投影仪或电脑、三角板教学过程设计我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？（一）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
下面我们就来证明这个定理。
如图，已知线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O，AO=BO，点P是EF上异于点 O的任意一点。
求证：PA=PB。
证明：∵EF⊥AB(已知)，∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定义)。
在△PAO和△PBO中，AO=BO(已知)，∠POA=∠POB(已证)，PO=PO(公共边)，∴△PAO≌△PBO(SAS)。
∴PA=PB。
（二）做一做1、写出上面定理的逆命题。
2、填写下面命题证明过程的理由。
已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。
求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则∠POA＝∠POB＝90°( )。
在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA＝PB( )，PO＝PO( )，∴Rt△PAO≌Rt△PBO ( )。
∴AO＝BO( )。
∴EF是线段AB的垂直平分线( )。
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理学习目标：
知识目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用。
能力目标：
1．经历用尺规作角垂直平分线的过程，并能说明其作法的依据；2．能够熟练的安照证明的格式和步骤对一些命题进行证明。
情感目标：培养学生步步有据的推理意识。
学习重、难点：
学习重点及难点：角直平分线的性质定理及其逆定理的灵活运用。
预习导航：通读课本141-142页，思考以下几个简单问题：
1．三角形全等的判定公理的推论是什么？
2．角直平分线的性质定理的内容是什么？
3．角直平分线的性质定理的逆定理的内容是什么？
24.8角平分线的性质定理及其逆定理
一、角平分线的性质定理的内容
二、角平分线的性质定理的逆定理的内容
三、角平分线的尺规画法。
第二十四的判定定理;线段垂直平分线的性质定理及其逆定理;
【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 直角三角形全等的判定定理．2. 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理．3. 角平分线的性质定理及其逆定理．二. 知识要点：1. 三角形全等的判定（1）公理：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）．（2）定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．2. 线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．（2）线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．3. 角平分线（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）角平分线的性质定理的推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．（3）角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．三. 重点难点：本讲重点是掌握三角形全等的判定方法，线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理．难点是灵活运用这些知识解决证明题，形成逻辑推理能力．【典型例题】例1. 已知：如图所示，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF＝DF．分析：通过添加辅助线，构造全等三角形，再通过证三角形全等得到线段相等．证明：连结AC、AD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD．∵AF⊥DC，∴∠AFC＝∠AFD＝90°．在Rt△ACF和Rt△ADF中，∴Rt△AFC≌Rt△AFD（HL），∴CF＝DF．评析：在推理时，不指出是直角三角形，就利用直角三角形判定定理判断三角形全等，这是本节中常犯的错误．例2. 如图所示，已知AB＝AC，BD＝DC，AD、BC相交于O．求证：AD⊥BC．分析：此题证法较多，这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证明．证明：∵AB＝AC（已知），∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．同理，点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD是BC的垂直平分线，∴AD⊥BC．例3. 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝5，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E．求△ABE的周长．分析：△ABE的周长为AB＋BE＋AE，由于DE是BC的垂直平分线，所以EB＝EC，利用等量代换可得△ABE的周长为AB＋AE＋EC＝AB＋AC．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝EC（线段垂直平分线的性质定理）．∴AC＝AE＋EC＝AE＋BE，∴AB＋AE＋BE＝AB＋AC．∵AB＝3，AC＝5，∴AB＋AE＋BE＝8，即△ABE的周长为8．评析：此题中∠A＝90°为多余条件．例4. 在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线MN与AC所在直线相交所得的锐角是50°，求∠B的大小．分析：首先根据题意画出图形，MN有可能和AC相交，也有可能和AC的延长线或反向延长线相交，注意分情况解答．解：第一种情况：如图（1）所示，MN与AB交于点D，与AC交于点E．∵∠ADE＝90°，∠AED＝50°，∴∠A＝90°－∠AED＝40°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝（180°－∠A）＝（180°－40°）＝70°．第二种情况：AB的中垂线MN与CA的延长线交于E点，与AB交于点D，如图（2）所示．∵∠ADE＝90°，∠AED＝50°，∴∠BAE＝90°－∠AED＝40°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠BAE＝∠B＋∠C＝2∠B，∴∠B＝∠BAE＝20°．∴综合以上，∠B为70°或20°．评析：从多角度分析问题，探索方法，培养发散思维．例5. 如图（1）所示，内宜高速公路OA与自雅路OB在我市相交于点O，在∠AOB内部有五宝和正紫两个镇C、D．若要修一个大型农贸市场P，使P到OA、OB 的距离相等，且使PC＝PD，用尺规作出市场P的位置（不写作法，保留作图痕迹）．分析：P到OA、OB的距离相等，则点P必在∠AOB的平分线上．又PC＝PD，故P必在DC的垂直平分线上．解：如图（2）所示．评析：到两点距离相等的点必在这两点间线段的垂直平分线上，到角两边距离相等的点必在这个角的平分线上，同时满足以上两个要求的点则是这两条直线的交点．例6. 如图所示，已知四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＋∠BCD＝180°，求证：AD＝CD．分析：通过观察，AD与CD所在的两个三角形不可能全等，这就需要考虑构造以AD和CD为边的全等三角形．根据已知条件，利用角平分线的性质定理，过D 作∠ABC两边的垂线段．证明：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E点，作DF⊥BC，交BC于F点．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠DEA＝∠DFC＝90°（垂直的定义）．又∵∠BAD＋∠C＝180°（已知），∠BAD＋∠EAD＝180°（邻补角定义），∴∠C＝∠EAD（同角的补角相等），在Rt△DEA和Rt△DFC中，∴Rt△DEA≌Rt△DFC（AAS），∴AD＝CD（全等三角形的对应边相等）．评析：当有角平分线这一条件时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证题．【方法总结】通过这三讲的学习，我们学习了平行线的判定定理和性质定理、直角三角形全等的判定定理、角平分线和线段垂直平分线的性质定理及其逆定理．从中，我们不仅理解了证明的必要性，也体验了证明的方法和步骤，并初步掌握了证明的书写格式．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 能证明两个直角三角形全等的条件是（）A．两个锐角对应相等 B．周长对应相等C．斜边对应相等 D．两条直角边对应相等2. 不能使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角和斜边对应相等B. 两个锐角对应相等C. 两条直角边对应相等D. 斜边和一直角边对应相等3. 如图，△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB∶∠CAE＝3∶1，则∠C等于（）A．28° B．25° C．22.5° D．20°*4. 如图所示，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（）A．BD＋ED＝BC B．DE平分∠ADBC．AD平分∠EDC D．ED＋AC＞AD5. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形**6. 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE＝BD，且DE＝1.5，则AC等于（）A．3 B．7.5 C．6 D．4.5二. 填空题1. 如图所示，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN 上一点，若AB＝10cm，BD＝__________cm；若PA＝10cm，则PB＝__________cm；此时，PD＝__________cm．2. 如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD 的周长是12cm，AC＝5cm，△ABC的周长是__________cm．*3. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交BC于E，BE＝5，则AE＝__________，∠AEC＝__________，AC＝__________．4. 角的平分线可以看作是__________相等的所有点的集合．5. 命题“角平分线上的点到角的两边距离相等”的逆命题是______________________________，逆命题是__________命题．*6. 如图所示，已知AM⊥AN，BM⊥BN，（1）若AN＝BN，那么N在∠AMB的__________；（2）若M在∠ANB的平分线上，那么__________＝__________．三. 解答题1. 如图所示，已知∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，FB＝EC．求证：AB＝DE．*2. 如图所示，已知Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD＝BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE．3. 如图所示，OP是∠AOB的平分线，点C在OP上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别是D、E，求证：CO垂直平分DE．4. 如图所示，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E、D，BE、CD交于O，且∠1＝∠2，求证：OB＝OC．**5. 如图所示，已知M是∠AOB的平分线OS上的一点，MC⊥OA，MD⊥OB，C、D为垂足，P是OS上的另一点，求证：PC＝PD．【试题答案】一. 选择题1. D2. B3. A4. B5. B6. D二. 填空题1. 5；10；52. 173. 5，30°，4. 到角的两边距离5. 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真 6.（1）平分线上；（2）AM，BM三. 解答题1. 提示：∵FB＝EC，∴FB＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF．在Rt△ABC和Rt△DEF 中，AC＝DF，BC＝EF．∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），所以AB＝DE．2. 提示：由已知可以得到△DBE与△BCE全等即可证明DE＝EC．又BD＝BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CD⊥BE．3. 提示：用HL证明Rt△OCE≌Rt△OCD，得OE＝OD，又CE＝CD，所以CO垂直平分DE．4. 提示：∵∠1＝∠2，BE⊥AC，CD⊥AB，∴OE＝OD．在△BDO和△CEO中，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，∠DOB＝∠EOC，∴△BDO≌△CEO（ASA），∴OB＝OC．5. 提示：∵点M是∠AOB平分线OS上的一点，且MC⊥OA，MD⊥OB，∴MC＝MD．在Rt△OCM和Rt△ODM中，OM＝OM，MC＝MD，∴Rt△OCM≌Rt△ODM（HL）．∴OC＝OD，又∠AOP＝∠BOP，且OP＝OP，∴△OCP≌△ODP（SAS），∴PC＝PD．。
线段垂直平分线的性质定理及逆定理课件
已知线段AB的垂直平分线为OM，点 C在直线OM上，AC=5cm， BC=3cm，则AB=多少cm。
进阶习题
进阶习题1
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 直线OM上，AC=3cm，BC=5cm，求 AB的长度。
VS
进阶习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 直线OM上，AC=6cm，BC=4cm，求 AB的长度。
理，△AMP≌△MBN，所以PM=PN。
证明逆定理2
假设线段AB上有两点C、D到直线l的距离相等，即CL=DL，取AB的中点M，连接MC 、MD、MN，由于∠CML=∠DML=90°，ML=ML，CL=DL，根据三角形的全等定理
，△CML≌△DML，所以CM=DM，根据中点的性质，CM+MA=DM+MB，所以 AC=BD，即线段AB被直线l垂直平分。
定理证明的注意事项
注意证明的逻辑严推理都是正确的，避免出现 逻辑漏洞。
注意使用正确的几何语言
在书写证明过程时，要使用规范的几何语言，确保表达的准确性和 严谨性。
注意检查结论是否符合题意
在得出结论后，要再次核对结论是否符合题目的要求，确保结论正 确无误。
04 定理的应用
定理在数学竞赛中的解题策略中的应用
在数学竞赛中，利用线段垂直平分线性质定理可以设计出一些巧妙的解题策略， 如利用对称性质简化问题、利用中点性质构造辅助线等。
05 习题与解答
基础习题
基础习题1
已知线段AB的垂直平分线与AB交于 点O，点C在直线OM上，CA=CB， 若AB=6cm，则AC=多少cm。
定理在几何图形中的应用
定理在三角形中的应用
线段垂直平分线性质定理可以用于证明三角形中的一些重要 性质，如等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线 性质等。
线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理
线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理一，复习：线段的垂直平分线的定义？
二，探究新知
测量发现：测量PA，PB，QA，QB
的长度，你有什么发现？
动手操作：将线段AB沿直线PQ对折，你有什么发现？
逻辑推理：已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在MN上. 求证:PA=PB
三，总结归纳：线段的垂直平分线的性质定理:
五，勤学善思
反过来，如果PA=PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
总结归纳
线段的垂直平分线的性质定理的逆定理:。
学以致用
如图，点C,D 是线段AB 外的两点,且AC=BC,AD=BD,AB 与CD 相交于点O. 求证：AO=BO
六，自我检测
1.如图，在△ABC 中，BC=8cm ，AB 的垂
直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，
△BCE 的周长等于18cm ，求AC 的长？
2.已知:如图,点E 是∠ AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C ，D ，连接CD 。
求证：OE 是CD 的垂直平分线。
垂直平分线的定理
知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD=BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC=BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
定理的数学表示：如图3，若直线i、j、k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i、j、k相交于一点O，且OA=OB=OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.典型例题：例1如图1，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm例2 1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例3 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线例4 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.4、角平分线的性质定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
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24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
课前预习
1.线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的
2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。
当堂训练
知识点1：线段垂直平分线的性质
1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要 使钢索AB 与AC 的长度相等，•需加_ _______条件，理由是___ _____．
2.（09钦州）如图，AC ＝AD ，BC
＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB
C ．AB 与C
D 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB
3.如图所示，CD 是AB 的垂直平分线，若AC=1.6cm ，BD=2.3cm 则四边形ABCD 的周长是（ ）．
A ．3.9cm
B ．7.8cm
C ．4cm
D ．4.6cm
4.如图所示，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，连接AD 若∠CAD=20°，则∠B=（ ）．
A ．20°
B ．30°
C ．35°
D ．40° 知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理 5.AB =AD ，BC =CD ，AC 、BD 相交于点
E ．则AB 是线段CD 的___ _____． 课后作业
上，并且∠
6.给出以下两个定理：
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．
∵点A在直线l上，∴AM=AN（）．
∵BM=BN，∴点B在直线l上（）．
∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．
这是因为如果点C在直线l上，
那么CM＝CN（）．这与条件CM≠CN
矛盾．
以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）A．②①①B．②①② C．①②②D．①②①
7.如图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若PA=10 cm ，则PB=______cm 。
8.如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△
ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BC=___ __cm ；△ABC 的周长是__________cm. 9.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°， 沿着过点B 的一条直线BE 折叠△ABC
使点C•恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A 的度数等于________． 10.(09泉州)如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E.若
△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为 ．
11.(09肇庆有改动)如图，在△ABC 中，AB=AC,
∠A=36°，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，连接BE ．求证：∠CBE =36°；
．
12.已知：如图△ABC 中，边AB ，BC 的垂直
平分线相交于点P ．
求证：点P 在AC 的垂直平分线上．
13.（09.梧州）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ；
（2）填空：四边形ADCE 的形状是
．
14.（09烟台有改动）如图，直角梯形ABCD 中，
BC AD ∥，90BCD ∠=°
，
且
BC=CD ，过点D 作
AB DE ∥，交B C D ∠的平分线于点E ，连接
BE ．将B C E △绕点C ，顺时针旋转90°得到DCG △，连接EG .．
求证：CD 垂直平分EG .
1.BD=DC 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
2.A
3.B
4.C
5. 垂直平分线
6.D
7. 10
8. 12, 17 9.30° 10. 6
11.∵DE 是A B 的垂直平分线，∴EA EB =， ∴36EBA A ∠=∠=°． ∵36AB AC A =∠=，°， ∴72ABC C ∠=∠=°． ∴36CBE ABC EBA ∠=∠-∠=°
12.连接PA 、PB 、PC ，则有PA=PB ，PB=PC ，
∴PA=PC ，
∴点P 在AC •的垂直平分线上 13.（1）证明：∵MN 是AC 的垂直平分线
∴OA ＝OC ∠AOD ＝
∠EOC =90°
∵CE ∥AB ∴∠DAO ＝∠ECO ∴△ADO ≌△CEO ∴AD ＝CE （2）四边形ADCE 是菱形．
14CE 平分BCD ∠，∴BCE DCE ∠=∠． ∵BC=CD CE=CE ，BCE DCE ∴△≌△，
BE DE ∴=．
由图形旋转的性质知
CE CG BE DG DE DG ==∴=，，． C D ∴，都在EG 的垂直平分线上， CD ∴垂直平分EG ．。