2018-2019学年高中数学-选修2-3分层优化练习：第3章 章末检测
2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第三章 章末优化总结
章末检测(三)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.因此选A.答案：A2．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f (1＋i )3＋i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为函数f (x )＝x 2，所以f (1＋i)＝(1＋i)2，化简得f (1＋i)＝2i ， 所以f (1＋i )3＋i ＝2i 3＋i ＝2i (3－i )(3＋i )(3－i )＝2＋6i 10＝1＋3i 5＝15＋35i.根据复数的几何意义知，f (1＋i )3＋i所对应的点的坐标为(15，35)，所以其对应的点在第一象限．故应选A.答案：A3．(2014·高考辽宁卷)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：由(z －2i)(2－i)＝5得z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋2i ＝5(2＋i )5＋2i ＝2＋3i ，选A.答案：A4．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝12－32i.答案：D5．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A.π6B.π4C.π3D. π2解析：∵z 2＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0.∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z)，∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．答案：D6．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m 等于( ) A.112 B.112i C ．－112D ．－112i解析：设方程的实数根为x ＝a (a 为实数)，则a 2＋(1＋2i)·a ＋3m ＋i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0， ∴⎩⎨⎧a ＝－12，m ＝112.故选A.答案：A7．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题意得x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴xy ＝1. 答案：B8．设O 为原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA →对应的复数为( ) A ．－1＋i B ．1－i C ．－5－5iD ．5＋5i解析：∵由已知OA →＝(2,3)，OB →＝(－3，－2)， ∴BA →＝OA →－OB →＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)， ∴BA →对应的复数为5＋5i. 答案：D9．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤ 3.答案：D数ab∈R ，则实10．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位，x ∈R)，若复数x 的值为( )A ．－6B ．6 C.83D ．－83解析：a b ＝3＋2i 4＋x i ＝(3＋2i )(4－x i )16＋x 2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2·i ∈R ，∴8－3x 16＋x 2＝0，∴x ＝83. 答案：C11．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴z 对应的点在实轴的上方． 又∵z 与z 对应的点关于实轴对称，∴C 项正确． 答案：C12．(2013·高考陕西卷)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0则z 2＝－b 2<0，正确．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知x ＋1x ＝－1，则x 2 014＋1x 2 014的值为________．解析：∵x ＋1x ＝－1，∴x 2＋x ＋1＝0.∴x ＝－12±32i ，∴x 3＝1.∵2 014＝3×671＋1，∴x 2 014＝x ，∴x 2 014＋1x 2 014＝x ＋1x ＝－1.答案：－114．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，则复数z 1·z 2的实部是________． 解析：z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i. 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)． 答案：cos(α＋β)15．若(3－10i)y ＋(－2＋i)x ＝1－9i ，则实数x 、y 的值分别为x ＝________，y ＝________. 解析：原式可以化为(3y －2x )＋(x －10y )i ＝1－9i ，根据复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3y －2x ＝1，x －10y ＝－9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.答案：1 116．已知复数z 1＝m ＋(4＋m )i(m ∈R)，z 2＝2cos θ＋(λ＋ 3cos θ)i(λ∈R)，若z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2 cos θ，4＋m ＝λ＋3 cos θ.消去m 得λ＝4－cos θ.又因为－1≤cos θ≤1，所以3≤4－cos θ≤5，所以λ∈[3,5]． 答案：[3,5]三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i (a ∈R)对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1. 18．(本小题满分12分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z ＝1，求z ； (2)已知复数z ＝5m 21－2i－(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．解析：(1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴b ＝－32.∴z ＝12－32i. (2)z ＝5m 21－2i－(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，2m 2－5m －3≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－12且m ≠3.∴m ＝－2. 19. (本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，①x 2－y 2＋3x <0，② 又x 2＋y 2＝1.③由①②③得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.20．(本小题满分12分)满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．解析：存在．设虚数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，且y ≠0)．z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5xx 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 21．(本小题满分13分)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i ，(x ，y ∈R)，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2. 解析：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， 又∵z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.22．(本小题满分13分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．解析：(1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3. 依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：1 2 34 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果． 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。
高中数学(人教版A版选修2-3)配套单元检测：第3章 统计案例 3.2学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．通过对K2的统计量的研究得到了若干个临界值，当K2≤2.706时，我们认为()A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X与Y有关系B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为X与Y有关系C．没有充分理由认为X与Y有关系D．不能确定]2．下列关于等高条形图的叙述正确的是()A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D．以上说法都不对]3．分类变量X和Y的列联表如下：y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋dA．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越弱C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强]4．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是()A．k≥6.635B．k<6.635C．k≥7.879 D．k<7.879]5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：由K2＝n(ad(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，k＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”]二、填空题6．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：【导学号：97270063】]7．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射14天内的结果如表所示：8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)三、解答题9．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下表．附：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系？10．有人发现一个有趣的现象，中国人的邮箱里含有数字比较多，而外国人邮箱名称里含有数字比较少，为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字．(1)根据以上数据建立2×2列联表；(2)他发现在这组数据中，外国人邮箱里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关，你能帮他判断一下吗？[能力提升]1．对两个分类变量A，B，下列说法中正确的个数为()①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则K2的值就越大；③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．A．1B．2C．3D．02．(晋江市季延中学期中)某研究所为了检验某血清预防感冒的作用，把500名使用了该血清的志愿者与另外500名未使用该血清的志愿者一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列叙述中正确的是()A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95%D．这种血清预防感冒的有效率为5%3．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H k≈________(小数点后保留一位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．4．为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10 000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：(1)6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．通过对K2的统计量的研究得到了若干个临界值，当K2≤2.706时，我们认为()A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X与Y有关系B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为X与Y有关系C．没有充分理由认为X与Y有关系D．不能确定【解析】∵K2≤2.706，∴没有充分理由认为X与Y有关系．【答案】 C2．下列关于等高条形图的叙述正确的是()A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D．以上说法都不对【解析】在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．【答案】 C3．分类变量X和Y的列联表如下：A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越弱C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强【解析】对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强．【答案】 C4．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是()A．k≥6.635B．k<6.635C．k≥7.879 D．k<7.879【解析】有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.【答案】 C5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：由K2＝n(ad(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，k＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【答案】 C二、填空题6．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：【导学号：97270063】【解析】由公式可计算得k＝102×(27×29－34×12)239×63×61×41≈2.334.【答案】 2.3347．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射14天内的结果如表所示：【解析】根据独立性检验的基本思想，可知类似于反证法，即要确认“两个分量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立．对于本题，进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关”．【答案】小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)【解析】K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③三、解答题9．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下表．阳性阴性总计荧光抗体法1605165常规培养法264874总计18653239附：P(K2≥k0)0.0100.0050.001k0 6.6357.87910.828(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系？【解】(1)作出等高条形图如图所示，由图知采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．(2)通过计算可知K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)≈113.184 6.而查表可知，因为P(K2≥10.828)≈0.001，而113.184 6远大于10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．10．有人发现一个有趣的现象，中国人的邮箱里含有数字比较多，而外国人邮箱名称里含有数字比较少，为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字．(1)根据以上数据建立2×2列联表；(2)他发现在这组数据中，外国人邮箱里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关，你能帮他判断一下吗？【解】(1)2×2的列联表：(2)假设“由表中数据得k＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为k>5.024，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无关”是不合理的，即在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“国籍和邮箱名称里与是否含有数字有关”．[能力提升]1．对两个分类变量A，B，下列说法中正确的个数为()①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则K2的值就越大；③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．A．1B．2C．3D．0【解析】①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，也可借助等高条形图等．故选A.【答案】 A2．某研究所为了检验某血清预防感冒的作用，把500名使用了该血清的志愿者与另外500名未使用该血清的志愿者一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列叙述中正确的是()A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95%D．这种血清预防感冒的有效率为5%【解析】K2≈3.918>3.841，因此有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故选A.【答案】 A3．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H k≈________(小数点后保留一位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．【解析】由公式计算得K2的观测值k≈4.9.∵k>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．【答案】 4.95%4．为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10 000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：(1)6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？【解】(1)依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为a，b；矮茎4株，记为A，B，C，D，从中随机选取2株的情况有如下15种：aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，ab，AB，AC，AD，BC，BD，CD.其中满足题意的共有aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共8种，则所求概率为P＝8 15.(2)根据已知列联表，得k＝50×(11×7－13×19)230×20×24×26≈3.860>3.841，即有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．。
高中数学人教A版选修-优化练习第三章章末检测含解析
7＋i 3－4i 25
＝25－2525i＝1－i
∴ ＝1＋i.
z 答案：B
5．若复数 z＝(1＋i)(x＋i)(x∈R)为纯虚数，则|z|等于( )
1
A．2 C. 2
B. 5 D．1
解析：∵z＝x－1＋(x＋1)i 为纯虚数且 x∈R，
∴Error!得 x＝1，z＝2i，|z|＝2.
答案：A
6．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且 z1·z2 是实数，则实数 t 等于( )
A．A C．C
B．B D．D
解析：设 z＝a＋bi(a<0，b>0)
∴ ＝a－bi 对应点的坐标是(a，－b)，是第三象限点 B.
z 答案：B
4．i 是虚数单位，复数 z＝37＋＋4ii的共轭复数z＝(
)
A．1－i
B．1＋i
C.1275＋3215i
D．－177＋275i
解析：z＝ 7＋i ＝ 3＋4i
＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋ 23i.
1 答案：2＋
3 2i
a
b
5
13．已知复数 z＝a＋bi(a，b∈R)且1－i＋1－2i＝3＋i，则复数 z＝________.
解析：∵a，b∈R
a
b
5
且1－i＋1－2i＝3＋i，
a 1＋i b 1＋2i 3－i 即 2 ＋ 5 ＝2，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
∵z2＝a2－b2＋2abi 为纯虚数，∴Error!
∴a＝±b，即 z 在直线 y＝±x(x≠0)上．
答案：C
8．定义运算|a b cd
|＝ad－bc，则符合条件|1z
| －1
zi
2018-2019年人教A版数学选修2-3同步练习：第三章+统计案例+本章测评+Word版含解析
第三章测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中错误的是()A.如果变量x与y之间存在线性相关关系,则我们根据试验数据得到的点(x i,y i)(i=1,2,…,n)将散布在某一条直线的附近B.如果两个变量x与y之间不存在线性关系,那么根据它们的一组数据(x i,y i)(i=1,2,…,n)不能写出一个线性方程C.设x,y是具有相关关系的两个变量,且y关于x的线性回归方程为x+叫做回归系数D.为使求出的线性回归方程有意义,可用统计检验的方法来判断变量y与x之间是否存在线性相关关系解析:任何一组(x i,y i)(i=1,2,…,n)都能写出一个线性方程,只是有的无意义.答案:B2.在建立两个变量y与x的回归模型时,分别选择了4个不同的模型,它们的相关指数R2如下,其中拟合得最好的模型为()A.模型1的相关指数R2为0.75B.模型2的相关指数R2为0.90C.模型3的相关指数R2为0.25D.模型4的相关指数R2为0.55解析:相关指数R2的值越大,意味着残差平方和越小,也就是说拟合效果越好.答案:B3.下列关于独立性检验的说法中,错误的是()A.独立性检验依据小概率原理B.独立性检验得到的结论一定正确C.样本不同,独立性检验的结论可能有差异D.独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法答案:B4.一位母亲记录了儿子3~9岁的身高,数据略,由此建立的身高与年龄的回归模型为=7.19x+73.93,用这个模型预测这个孩子10岁时的身高,则正确的叙述是()A.身高一定是145.83cmB.身高在145.83cm以上C.身高在145.83cm左右D.身高在145.83cm以下解析:只能预测,不能确定实际值.答案:C5.为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了200位老年人,结构如下:性别是否需要志愿者男女需要74不需要36附:P(K 2>k0).050.0100.001k03.8416.63510.828K2=参照附表,得到的正确结论是().A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”C.最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”D.最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”解析:由公式可计算K2的观测值k==≈18.18>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”,故选A.答案:A6.三点(3,10),(7,20),(11,24)确定的线性回归方程是()A.=1.75x-5.75B.=1.75x+5.75C.=-1.75x+5.75D.=-1.75x-5.75xz解析:设回归直线为x+,则由公式得=1.75,=5.75.答案:B7.下列说法:①若r>0,则x增大时,y也相应增大;②若r<0,则x增大时,y也相应增大;③若r=1,或r=-1,则x与y的关系完全对应(有函数关系),在散点图上各个散点均在一条直线上.正确的有()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析:由相关系数的定义可知①③正确.答案:C8.某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查,y与x具有相关关系,回归方程为=0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为7.675(千元),估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为()A.83%B.72%C.67%D.66%解析:因为当=7.675时,x=≈9.262,所以≈0.829≈83%.答案:A9.若对于变量y与x的10组统计数据的回归模型中,相关指数R2=0.95,又知残差平方和为120.53,那么(y i-)2的值为()A.241.06B.2410.6C.253.08D.2530.8解析:由R2=1-,得0.95=1-,得(y i-)2==2410.6.答案:B10.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两个同学各自独立做了10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线l1和l2,已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好相等,都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等,都为t,那么下列说法正确的是()A.直线l1和直线l2有交点(s,t)B.直线l1和直线l2相交,但交点未必是点(s,t)C.直线l1和直线l2由于斜率相等,所以必定平行D.直线l1和直线l2必定重合解析:l1与l2都过样本中心点(s,t).答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.有下列关系:①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系;②曲线上的点与该点的坐标之间的关系;③苹果的产量与气候之间的关系;④森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系;⑤学生与他(她)的学号之间的关系.其中具有相关关系的是.解析:②⑤中两个变量之间的关系是确定性关系,不是相关关系.①③④中两个变量之间具有相关关系.答案:①③④12.由数据:(1,2),(3,4),(2,2),(4,4),(5,6),(3,3.6)得出的线性回归方程x必经过的定点是以上点中的.解析:易知,线性回归方程x必经过定点(),而根据计算可知这几个点中满足条件的是(3,3.6).答案:(3,3.6)13.晚上白天总计男婴45a b女婴e35c总计98d180那么a=,b=,c=,d=,e=.解析:∵45+e=98,∴e=53;∵e+35=c,∴c=88;∵98+d=180,∴d=82;∵a+35=d,∴a=47;∵45+a=b,∴b=92.答案:479288825314.某学校对校选课程“,得到如下数据:选未选总计男40545450女23022450总计635265900那么,在犯错误的概率不超过的前提下认为选修“人与自然”与性别有关.解析:K2=,k≈163.8>10.828,即在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为选修“人与自然”与性别有关.答案:0.00115.对有关数据的分析可知,每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与28天后混凝土的抗压度y(单位:kg/cm2)之间具有线性相关关系,其线性回归方程为=0.30x+9.99.根据建设项目的需要,28天后混凝土的抗压度不得低于89.7kg/cm2,则每立方米混凝土的水泥用量最少应为kg.(精确到0.1kg)解析:由已知,0.30x+9.99≥89.7,解得x≥265.7.答案:265.7三、解答题(本大题共2小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18 725学习积极性一般6 1925合计24 265 0(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?(2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.分析:(1)运用古典概型概率公式求值.(2)求出随机变量,说明关系.解:(1)积极参加班级工作的学生有24人,不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人,总人数为50人,∴抽到积极参加班级工作的学生的概率为;抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率为.(2)k=≈11.5,∵k>10.828,∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系.17.(15分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中,研究人员获得了一组数据如下表:年龄x23273941454955354565758661脂肪含量y9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6(1)作出散点图,并判断y与x是否线性相关,若线性相关,求线性回归方程;(2)求相关指数R2,并说明其含义;(3)给出37岁时人的脂肪含量的预测值.分析:先作出样本数据的散点图,进而求出回归模型,并依据公式求出R2,进而说明拟合效果.解:(1)散点图如图所示.由散点图可知样本点呈条状分布,脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系.设线性回归方程为x+,则由计算器算得≈0.576,=-0.448,所以线性回归方程为=0.576x-0.448.(2)(y i-)2≈37.78.(y i-)2≈644.99.R2=1-≈0.941.R2≈0.941,表明年龄解释了94.1%的脂肪含量变化.(3)当x=37时,=0.576×37-0.448≈20.9,故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.。
高中数学人教版选修2-3 章末综合测评3 Word版含答案
章末综合测评(三) 统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法中错误的是( )A ．如果变量x 与y 之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )将散布在某一条直线的附近B ．如果两个变量x 与y 之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )不能写出一个线性方程C ．设x ，y 是具有相关关系的两个变量，且y 关于x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a^，b ^叫做回归系数 D ．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量y 与x 之间是否存在线性相关关系【解析】 任何一组(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都能写出一个线性方程，只是有的不存在线性关系．【答案】 B2.如图1所示，有5组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的4组数据的线性相关性最大( )图1A ．EB ．C C ．DD ．A【解析】 由题图易知A ，B ，C ，D 四点大致在一条直线上，而E 点偏离最远，故去掉E 点后剩下的数据的线性相关性最大．【答案】 A3．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1，12，13，14时，变量y 的值分别为2,3,4,5，则y 与1x 的回归曲线方程为( )A.y ^＝1x ＋1B.y ^＝2x ＋3C.y ^＝2x ＋1D.y ^＝x －1【解析】 由数据可得，四个点都在曲线y ^＝1x ＋1上． 【答案】 A 4．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好； ③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 ①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R 2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．【答案】 D5．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )A BC D【解析】 在四幅图中，D 图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．【答案】 D6．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大()A.aa＋b与cc＋dB.ac＋d与ca＋bC.aa＋d与cb＋cD.ab＋d与ca＋c【解析】当ad与bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时a a＋b与cc＋d相差越大．【答案】 A7．如图2,5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是()图2A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强【解析】由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．【答案】 B8．(2016·安庆一中期中)在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，根据表中数据判断如下结论中正确的是()A.在此次调查中有B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关D ．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关【解析】 由表中数据得k ＝30×(6×9－8×7)214×16×13×17≈0.002 42<3.841.因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选D. 【答案】 D9．某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋e (单位：亿元)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e |<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A ．10亿B ．9亿C ．10.5亿D ．9.5亿【解析】 代入数据得y ＝10＋e ，∵|e |<0.5， ∴|y |<10.5，故不会超过10.5亿． 【答案】 C10．(2016·合肥高二检测)废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为y ^＝256＋3x ，表明( )A ．废品率每增加1%，生铁成本增加259元B ．废品率每增加1%，生铁成本增加3元C ．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加3元D ．废品率不变，生铁成本为256元【解析】 回归方程的系数b ^表示x 每增加一个单位，y ^平均增加b ^个单位，当x 为1时，废品率应为1%，故当废品率增加1%时，生铁成本平均每吨增加3元．【答案】 C11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b^>b ′，a ^>a ′ B.b^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′【解析】 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b^＝∑i ＝16x i y i －6x －y －∑i ＝16x 2i －6x－2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，所以b^<b ′，a ^>a ′.【答案】 C12．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%，则c 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 附：【解析】 2×2故K 2的观测值k ＝31×35×(10＋c )(56－c )≥5.024.把选项A ，B ，C ，D 代入验证可知选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知一回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,19}，则y ＝________.【解析】因为x＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，且y＝1.5x＋45，所以y＝1.5×9＋45＝58.5.【答案】58.514．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：．【解析】根据列联表中的数据，得到k＝189×(54×63－40×32)294×95×86×103≈10.76.【答案】10.7615．(2016·深圳高二检测)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y^＝0.67x＋54.9.．【解析】由表知x＝30，设模糊不清的数据为m，则y＝15(62＋m＋75＋81＋89)＝307＋m5，因为y＝0.67x＋54.9，即307＋m5＝0.67×30＋54.9，解得m＝68.【答案】6816．某地区恩格尔系数Y(%)与年份x的统计数据如下表：从散点图可以看出Y与x线性相关，且可得回归方程为y＝b x＋4 055.25，据此模型可预测2017年该地区的恩格尔系数Y(%)为________．【解析】由表可知x＝2 007.5，y＝44.25.因为y＝b^x＋4 055.25，即44.25＝2 007.5b^＋4 055.25，所以b^≈－2，所以回归方程为y^＝－2x＋4 055.25，令x＝2 017，得y^＝21.25.【答案】21.25三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表.(1)①y＝0.429 4x－25.318，②y＝2.004e0.019 7x.通过计算，得到它们的相关指数分别是：R21＝0.9311，R22＝0.998.试问哪个回归方程拟合效果更好？(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175 cm，体重为78 kg，他的体重是否正常？【解】(1)∵R22>R21，∴选择第二个方程拟合效果更好．(2)把x＝175代入y＝2.004e0.019 7x，得y＝62.97，由于7862.97＝1.24>1.2，所以这名男生偏胖．18．(本小题满分12分)关于x与y有如下数据：为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型y^＝6.5x ＋17.5，乙模型y^＝7x＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好．【解】R21＝1－∑5i＝1(y i－y^i)2∑5i＝1(y i－y)2＝1－1551 000＝0.845，R22＝1－∑5i＝1(y i－y^i)2∑5i＝1(y i－y)2＝1－1801 000＝0.82.又∵84.5%>82%，∴甲选用的模型拟合效果更好．19．(本小题满分12分)为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在生产现场时，990件产品中合格品有982件，次品有8件；甲不在生产现场时，510件产品中合格品有493件，次品有17件．试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响？【解】(1)2×2列联表如下：度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．(2)由2×2列联表中数据，计算得到K2的观测值为k＝1 500×(982×17－493×8)2990×510×1 475×25≈13.097>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系．20．(本小题满分12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a均为大于0.1的前提下认为x与y之间有关系？【解】查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而k＝65×[a(30＋a)－(20－a)(15－a)]2 20×45×15×50＝65×(65a－300)220×45×15×50＝13×(13a－60)260×90.故k≥2.706，得a≥7.19或a≤2.04.又a>5且15－a>5，a∈Z，解得a＝8或9，故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系．21．(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b^＝∑ni＝1(t i－t)(y i－y－)∑ni＝1(t i－t)2，a^＝y－－b^t.【解】(1)由所给数据计算得t＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y－＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑7i ＝1(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， ∑7i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑7i ＝1 (t i －t )(y i －y －)∑7i ＝1 (t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －－b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得 y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．。
【高中同步测控优化设计】高中数学选修2-3训练：3章测评BWord版含答案[高考]
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【⾼中同步测控优化设计】⾼中数学选修2-3训练：3章测评BWord版含答案[⾼考]第三章测评B(⾼考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)⼀、选择题(本⼤题共10⼩题,每⼩题5分,共50分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的)1.(2014重庆⾼考)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归⽅程可能是()A.=0.4x+2.3B.=2x-2.4C.=-2x+9.5D.=-0.3x+4.4解析:由变量x与y正相关,可知x的系数为正,排除C,D.⽽所有的回归直线必经过点(),由此排除B,故选A.答案:A2.(2015福建⾼考)为了解某社区居民的家庭年收⼊与年⽀出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:根据上表可得回归直线⽅程x+,其中=0.76,.据此估计,该社区⼀户年收⼊为15万元家庭的年⽀出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元解析:∵=10,=8,∴-0.76=8-0.76×10=0.4.∴=0. 76x+0.4.当x=15时,=0.76×15+0.4=11.8.答案:B3.(2015湖北武汉调考)得到的回归直线⽅程为x+.若=7.9,则x每增加1个单位,y就()A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位C.增加1.2个单位D.减少1.2个单位解析:(3+4+5+6+7)=5,(4.0+2.5-0.5+0.5-2.0)=0.9,所以样本中⼼为(5,0.9),代⼊回归直线⽅程可得0.9=×5+7.9?=-1.4,所以x每增加1个单位,y就减少1.4个单位,故选B.答案:B4.(2012新课标全国⾼考改编)在⼀组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关指数为()A. B.0C. D.1解析:因为所有的点都在直线上,所以就是确定的函数关系,所以相关指数为1.答案:D5.(2014陕西咸阳模拟)某产品在某零售摊位上的零售价x(元)与每天的销售量y(个)的统计如下表:据上表可得回归直线⽅程x+中的=-4,则据此模型预测零售价为15元时,销售量为()A.48B.49C.50D.51解析:=39.∵回归直线⽅程为x+,且=-4,∴39=-4×+a,解得a=109.∴=-4x+109,当x=15时,y=49.答案:B6.(2014河南开封模拟):且最后发现,两个分类变量X和Y没有任何关系,则m的可能值是()A.200B.720C.100D.180解析:∵两个变量没有任何关系,∴200m≈180×800,解得m≈720.答案:B7.四名同学根据各⾃的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线⽅程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关,且=2.347x-6.423;②y与x负相关,且=-3.476x+5.648;③y与x正相关,且=5.437x+8.493;④y与x正相关,且=-4.326x-4.578.其中⼀定不正确的结论的序号是()A.①②B.②③C.③④D.①④解析:正相关指的是y随x的增⼤⽽增⼤,负相关指的是y随x的增⼤⽽减⼩,故不正确的为①④,故选D.答案:D8.(2014湖北⾼考)得到的回归⽅程为x+,则( )A .>0,>0B .>0,<0C .<0,>0D .<0,<0解析:由样本数据可知y 值总体上是随x 值的增⼤⽽减少的,故<0.⼜回归直线过第⼀象限,故纵截距>0.故选B . 答案:B9.(2013福建⾼考改编)已知x 与y :假设根据上表数据所得线性回归直线⽅程为x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线⽅程为'x+',则以下结论正确的是( ) A.',' B.',' C.',' D.',' 解析:,, , =-,'==2>'=-2<. 答案:C10.(2014江西⾼考)某⼈研究中学⽣的性别与成绩、视⼒、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学⽣,得到统计数据如表1⾄表4,则与性别有关联的可能性最⼤的变量是( )表1表2视⼒好差总计表3表4A.成绩B.视⼒C.智商D.阅读量解析:根据K 2=,代⼊题中数据计算得D 选项K 2最⼤.故选D . 答案:D⼆、填空题(本⼤题共5⼩题,每⼩题5分,共25分.把答案填在题中横线上)11.(2015河北唐⼭⼀模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线⽅程为=0.85c 的值为 .解析:∵=5,,∴这组数据的样本中⼼点是.把样本中⼼点代⼊回归直线⽅程中得=0.85×5-0.25,解得c=6. 答案:6 12.(2015辽宁⼤连双基)已知x ,y :如果y 与x 线性相关,且线性回归⽅程为x+,则的值为 . 解析:将=3,=5代⼊到x+中,得=-. 答案:-13.(2011辽宁⾼考)调查了某地若⼲户家庭的年收⼊x(单位:万元)和年饮⾷⽀出y(单位:万元).调查显⽰年收⼊x与年饮⾷⽀出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线⽅程=0.254x+0.321.由回归直线⽅程可知,家庭年收⼊每增加1万元,年饮⾷⽀出平均增加万元.解析:家庭收⼊每增加1万元,对应回归直线⽅程中的x增加1,相应的的值增加0.254,即年饮⾷⽀出平均增加0.254万元.答案:0.25414.(2014⼭东青岛⾼三⽉考试题)已知y与x之间具有很强的线性相关关系,现观测得到(x,y)的四组观测值并制作了如下的对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线⽅程为x+60,其中的值没有写上.当x不⼩于-5时,预测y的最⼤值为.解析:由已知,得=10,=40,所以40=10+60,=-2,=-2x+60.当x≥-5时,≤70.答案:7015.(2011⼴东⾼考)某数学⽼师⾝⾼176 cm,他爷爷、⽗亲和⼉⼦的⾝⾼分别是173 cm、170 cm 和182 cm.因⼉⼦的⾝⾼与⽗亲的⾝⾼有关,该⽼师⽤线性回归分析的⽅法预测他孙⼦的⾝⾼为cm.解析:由题意⽗亲⾝⾼x cm与⼉⼦⾝⾼:则=173,=176,(x i-)(y i-)=(173-173)×(170-176)+(170-173)×(176-176)+(176-173)(182-176)=18,(x i-)2=(173-173)2+(170-173)2+(176-173)2=18.∴=1.∴=176-173=3.∴线性回归直线⽅程x+=x+3.∴可估计孙⼦⾝⾼为182+3=185(cm).答案:185三、解答题(本⼤题共4⼩题,共25分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)(2014课标全国Ⅱ⾼考)某地区2007年⾄2013年农村居民家庭⼈均纯收⼊y(单位:千元)的数据如下表:(1)求y关于t的线性回归⽅程;(2)利⽤(1)中的回归⽅程,分析2007年⾄2013年该地区农村居民家庭⼈均纯收⼊的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭⼈均纯收⼊.附:回归直线的斜率和截距的最⼩⼆乘估计公式分别为.解:(1)由所给数据计算得(1+2+3+4+5+6+7)=4,(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,(t i-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,(t i-)(y i-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,=0.5,=4.3-0.5×4=2.3,所求回归⽅程为=0.5t+2.3.(2)由(1)知,=0.5>0,故2007年⾄2013年该地区农村居民家庭⼈均纯收⼊逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代⼊(1)中的回归⽅程,得=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭⼈均纯收⼊为6.8千元.17.(6分)(2014安徽⾼考改编)某⾼校共有学⽣15 000⼈,其中男⽣10 500⼈,⼥⽣4 500⼈,为调查该校学⽣每周平均体育运动时间的情况,采⽤分层抽样的⽅法.收集300位学⽣每周平均体育运动时间的样本数据(单位:⼩时).(1)应收集多少位⼥⽣的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学⽣每周平均体育运动时间的频率分布直⽅图(如图所⽰),其中样本数据的分组区间为[0,2],(2,4], (4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学⽣每周平均体育运动时间超过4⼩时的概率;(3)在样本数据中,有60位⼥⽣的每周平均体育运动时间超过4⼩时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学⽣的每周平均体育运动时间与性别有关”.附K2=.解:(1)300×=90,所以应收集90位⼥⽣的样本数据.(2)由频率分布直⽅图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学⽣每周平均体育运动时间超过4⼩时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知,300位学⽣中有300×0.75=225⼈的每周平均体育运动时间超过4⼩时,75⼈的每周平均体育运动时间不超过4⼩时.⼜因为样本数据中有210份是关于男⽣的,90份是关于⼥⽣的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:每周平均体育运动时间与性别列联表男⼥总结合列联表可算得K2的观测值为k=≈4.762>3.841.所以,能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学⽣的每周平均体育运动时间与性别有关”.18.(6分)(2013福建⾼考改编)某⼯⼚有25周岁以上(含25周岁)⼯⼈300名,25周岁以下⼯⼈200名.为研究⼯⼈的⽇平均⽣产量是否与年龄有关,现采⽤分层抽样的⽅法,从中抽取了100名⼯⼈,先统计了他们某⽉的⽇平均⽣产件数,然后按⼯⼈年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组⼯⼈的⽇平均⽣产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所⽰的频率分布直⽅图.25周岁以上组25周岁以下组(1)从样本中⽇平均⽣产件数不⾜60件的⼯⼈中随机抽取2⼈,求⾄少抽到⼀名“25周岁以下组”⼯⼈的概率;(2)规定⽇平均⽣产件数不少于80件者为“⽣产能⼿”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“⽣产能⼿与⼯⼈所在的年龄组有关”? 附:χ2=(注:此公式也可以写成K2=)解:(1)由已知得,样本中有25周岁以上组⼯⼈60名,25周岁以下组⼯⼈40名.所以,样本中⽇平均⽣产件数不⾜60件的⼯⼈中,25周岁以上组⼯⼈有60×0.05=3(⼈),记为A1,A2,A3;25周岁以下组⼯⼈有40×0.05=2(⼈),记为B1,B2.从中随机抽取2名⼯⼈,所有的可能结果共有10种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1), (A3,B2),(B1,B2).其中,⾄少有1名“25周岁以下组”⼯⼈的可能结果共有7种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=.(2)由频率分布直⽅图可知,在抽取的100名⼯⼈中,“25周岁以上组”中的⽣产能⼿60×0.25=15(⼈),“25),据此可得2×2列联表如下:所以得K2的观测值为k===≈1.79.因为1.79<2.706,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“⽣产能⼿与⼯⼈所在的年龄组有关”.19.(7分)(2015课标全国Ⅰ⾼考)某公司为确定下⼀年度投⼊某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下⾯的散点图及⼀些统计量的值.表中w i=w i.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪⼀个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归⽅程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建⽴y关于x的回归⽅程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最⼤?附:对于⼀组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为.解:(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归⽅程类型.(2)令w=,先建⽴y关于w的线性回归⽅程.由于=68,=563-68×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归⽅程为=100.6+68w,因此y关于x的回归⽅程为=100.6+68.(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.②根据(2)的结果知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以当=6.8,即x=46.24时,取得最⼤值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最⼤.。
高中数学人教A版选修2-3学案第3章-章末分层突破 Word版含解析
章末分层突破
,
[自我校对]
①散点图
②＝＋
③残差图
④相关指数
⑤等高条形图
线性回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．根据两个变量的一组观测值，可以画出散点图或利用相关系数，判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可得出线性回归直线方程．利用公式求回归直线方程时应注意以下几点：
()求时，利用公式＝，先求出＝(＋＋＋…＋)，＝(＋＋＋…＋)．再由＝－
求的值，并写出回归直线方程．
()回归直线一定经过样本的中心点(，)．
()回归直线方程中的截距和斜率
都是通过样本估计得来的，存在误差，这种误差可能导致预报结果的偏差．()回归直线方程＝＋中的表示每增加个单位时预报变量的平均变化量，而表示预报变量不随的变化而变化的部分．
()在一元线性回归模型中，相关指标与相关系数都能刻画线性回归模型拟合数据的效果．越大，就越大，用线性回归模型拟合数据的效果就越好．
关于与有以下数据：
()求与的线性回归方程；
()现有第二个线性模型：＝＋，且＝.
若与()的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．【规范解答】()依题意设与的线性回归方程为＝＋.
＝＝，
＝＝，
∴＝＋经过(，)，
∴＝×＋，∴＝，
∴与的线性回归方程为＝＋.
()由()的线性模型得－与－的关系如下表：
所以(－)＝
(－)＝(－)＋(－)＋＋＋＝ .
所以＝－＝－)＝.
由于＝，＝知>，
所以()的线性模型拟合效果比较好．。
高中数学人教A版选修2-3优化练习第三章章末检测含解析
章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是()A．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的解析：相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用，独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义．故选C.答案：C2．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：图(1)中随x增大y减小，图(2)中随u增大v增大．答案：C3．如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出()A．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的比例约为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生中不喜欢理科的比例约为60%解析：由图可知，女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些． 答案： C4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得K 2的观测值k ＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析：因为k ≈7.8>6.635，所以相关的概率大于1－0.010＝0.99，所以选A. 答案：A5．下表给出5组数据(x ，y )，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )A.第2组 C ．第3组D ．第5组解析：通过散点图选择，画出散点图如图．应除去第3组，对应点是(－3,4)．故选C.答案：C6．对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程中的截距为( ) A ．a ＝y ＋b ^x B ．a ＝y ＋b ^x C ．a ＝y －b ^xD ．a ＝y －b ^x解析：由回归直线方程恒过(x －，y －)定点． 答案：D7．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表如下：( ) A ．a ＝9，b ＝8，c ＝7，d ＝6 B ．a ＝9，b ＝7，c ＝6，d ＝8 C ．a ＝8，b ＝6，c ＝9，d ＝7 D ．a ＝6，b ＝7，c ＝8，d ＝9解析：对于同一样本|ad －bc |越小，K 2越小，说明X 与Y 之间的关系越弱，|ad －bc |越大，K 2越大，说明X 与Y 之间的关系越强． 答案：B8．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2 xD ．y ＝(12)x解析：把x 的值分别代入A 、B 、C 中的函数，得函数值与真实值比较易知B 中的函数最接近． 答案：B9．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) 表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量解析：根据K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，代入题中数据计算得D 选项K 2最大．故选D.答案：D10．某调查机构调查教师工作压力大小的情况，部分数据如表：( ) A ．0.01 B ．0.05 C ．0.10D ．0.005解析：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(c ＋d )(d ＋b )＝100×(53×1－12×34)287×13×65×35≈4.9＞3.841，因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工作压力大与不喜欢教师职业有关系． 答案：B11．如表及图是某同学记载的5月1日至5月12日每天某市某种传染病患者治愈者数据及根据这些数据绘制出的散点图.下列说法中，正确的有( )①根据此散点图可以判断日期与人数具有线性相关关系； ②根据此散点图可以判断日期与人数具有一次函数关系；③根据此散点图可以判断日期与人数具有非线性相关关系． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有①正确．故选B. 答案：B12．对具有线性相关关系的变量x ， y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程为y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，则实数a 等于( )A.116B.18C.14D.12 解析：由x 1＋x 2＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，得x ＝34，y ＝38.由于回归直线方程y ^＝13x ＋a 过样本点(x ，y )，则y ＝13x ＋a ，解得a ＝18.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13．对于线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x ，当x ＝3时，对应的y 的估计值是17，当x ＝8时，对应的y 的估计值是22，那么，该回归直线方程是________，根据回归直线方程判断当x ＝________时，y 的估计值是38.解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^＝14.所以回归直线方程是y ^＝x ＋14.令x ＋14＝38，可得x ＝24.即当x ＝24时，y 的估计值是38. 答案：y ^＝x ＋14 2414．对有关数据的分析可知，每立方米混凝土的水泥用量x (单位：kg)与28天后混凝土的抗压度y (单位：kg/cm 2)之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝0.30x ＋9.99.根据建设项目的需要，28天后混凝土的抗压度不得低于89.7 kg/cm 2，每立方米混凝土的水泥用量最少应为________kg.解析：∵y ^≥89.7，∴0.30x ＋9.99≥89.7， ∴x ≥265.7，故水泥用量最少应为265.7 kg. 答案：265.715．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：则这四位同学中， 解析：由题表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果体现A ，B 两变量有更强的线性相关性． 答案：丁16. 下列说法正确的有________(填写你认为正确的序号)．①线性回归方法就是利用样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可用线性关系表示；③通过线性回归方程y ^＝b ^＋a ^x 及回归系数b ^，可以估计和预测变量的取值及变化规律． 解析：样本的散点图可以直观判断两个变量是否线性相关，只有线性相关才能用线性回归的方法找到回归直线，并预测变量的取值及变化规律，故正确的答案是①②③. 答案：①②③三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)x 与y 有五组数据，试分析x 与y 解析：作出散点图，如图所示：由散点图可以看出，x 与y 不具有线性相关关系．18．(12分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于50.1的前提下认为x 与y 之间有关系？解析：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而k ＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50＝13×(13a －60)260×90. 由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04.又a >5且15－a >5，a ∈Z ，解得a ＝8或9，故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系．19．(12分)随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到性别与读营养说明的列联表营养说明之间有关系？注：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．解析：由表中数据，得k ＝40×(16×12－8×4)224×16×20×20≈6.67>6.635.因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关． 20．(12分)在研究一种新药对小白鼠得病的防治效果时，得到如表数据.解析：由公式得K 2的观测值 k ＝339×(43×121－162×13)2205×134×56×283≈7.469.由于7.469>6.635，所以我们有99%的把握认为这种新药对小白鼠得病的防治效果是有效的． 21．(13分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．解析：(1)数据对应的散点图如图所示．(2)x ＝1551i =∑x i ＝109，l xx ＝51i =∑(x i －x )2＝1 570，y ＝23.2，l xy ＝51i =∑(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝l xy l xx ＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －b ^x ≈1.814 2.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．22．(13分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解析：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．。
2018-2019学年高中数学(人教B版)选修2-3学案：第3章 统计案例 习题课Word版含答案
习题课 课时目标1.进一步理解回归分析的基本思想.2.了解一些非线性回归问题的解法．1．回归直线方程：y ^＝a ^＋b ^x 一定过点(x ，y )．2．用相关系数可以对两个变量之间的________________进行较为精确的刻画，运用________的方法研究一些非线性相关问题．一、选择题1．下列说法中错误的是( )A ．如果变量x 与y 之间存在着线性相关关系，则我们根据实验数据得到的点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )将散布在某一条直线的附近B ．如果两个变量x 与y 之间不存在线性关系，那么根据它们的一组数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )不能写出一个线性方程C ．设x 、y 是具有相关关系的两个变量，且x 关于y 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，b ^叫做回归系数D ．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计假设检验的方法来判断变量y 与x 之间是否存在线性相关关系2．回归方程是y ^＝1.5x －15，则( )A.y ^＝1.5，x ＝15 B ．15是回归系数a ^C ．1.5是回归系数a ^D ．x ＝10时，y ^＝03．有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找贴近这些样本点的一条直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^及其回归系数b ^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势； ④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ；③求回归直线方程；④根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够得出变量x ，y 具有线性相关的结论，则正确的操作顺序是( )A ．①②④③B ．③②④①C ．②③①④D ．②④③①5．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1、l 2，已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别是s 、t ，那么下列说法正确的是( )A ．直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t )B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．必有l1∥l2D．l1与l2必定重合二、填空题6．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：7．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：的回归模型是下列四种模型中的哪一种________．(填序号)8．下列说法中正确的是________．(填序号)①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法．三、解答题9．假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的．若10个学生初一(x)和初二(y)数学分数如下：10．在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量．(1)设y与0.001)；(2)估计化学反应进行到10min 时未转化物质的质量(精确到0.1)．能力提升11．测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：(1)(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．12．某种书每册的成本费y (元)与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下：检验每册书的成本费y 与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系？如有，求出y 对x 的回归方程．1．利用回归分析可对一些实际问题作出预测．2．非线性回归方程有时并不给出回归模型，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与我们所学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等)图象进行比较，挑选一种拟和比较好的函数，把问题通过变量转换，转化为线性的回归分析问题，使之得到解决．习题课答案知识梳理2．线性相关程度 转化作业设计1．B2．D3．C [①反映的正是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，也正确．③解释的是回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的作用，故也正确．④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．]4．D 5．A [线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.而a ^＝y －b ^x ，即a ^＝t －b ^s ，t ＝b ^s ＋a ^.∴(s ，t )在回归直线上．∴直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t )．]6．0.9998解析 x ＝55，y ＝91.7，∑10i ＝1x 2i ＝38500， ∑10i ＝1y 2i ＝87777，∑10i ＝1x i y i＝55950， 所以r ＝∑10i ＝1x i y i －10·x ·y (∑10i ＝1x 2i －10x 2)(∑10i ＝1y 2i －10y 2)≈0.9998. 7．①8．④⑤ 解析 回归分析就是研究两个事件的相关性；回归模型是需要通过散点图模拟的；回归模型有线性和非线性之分．9．解 因为x ＝71，y ＝72.3，∑i ＝110x 2i ＝50520，∑i ＝110x i y i ＝51467，。
2018年新人教A版高中数学选修2-3全册同步检测含答案解析
2018年新人教A版高中数学选修2-3全册同步检测目录第1章1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1章1.1第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用第1章1.2-1.2.1第1课时排列与排列数公式第1章1.2-1.2.1第2课时排列的综合应用第1章1.2-1.2.2第1课时组合与组合数公式第1章1.2-1.2.2第2课时组合的综合应用第1章1.3-1.3.1二项式定理第1章1.3-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质第1章章末复习课第1章章末评估验收(一)第2章2.1-2.1.1离散型随机变量第2章2.1-2.1.2第1课时离散型随机变量的分布列第2章2.1-2.1.2第2课时两点分布与超几何分布第2章2.2-2.2.1条件概率第2章2.2-2.2.2事件的相互独立性第2章2.2-2.2.3独立重复试验与二项分布第2章2.3-2.3.1离散型随机变量的均值第2章2.3-2.3.2离散型随机变量的方差第2章2.4正态分布第2章章末复习课第2章章末评估验收(二)第3章3.1第1课时线性回归模型第3章3.1第2课时线性回归分析第3章3.2独立性检验的基本思想及其初步应用第3章章末复习课第3章章末评估验收(三) 模块综合评价(一)模块综合评价(二)第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理A级基础巩固一、选择题1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有() A．1种B．2种C．3种D．4种解析：分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3(种)．故选C.答案：C2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有()A．7种B．12种C．64种D．81种解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故不同取法共有4×3＝12(种)．答案：B3．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()A．2 160 B．720 C．240 D．120解析：第1张门票有10种分法，第2张门票有9种分法，第3张门票有8种分法，由分步乘法计数原理得分法共有10×9×8＝720(种)．答案：B4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16 C．13 D．10解析：分两类情况讨论．第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，8＋5＝13(个)，即共可以确定13个不同的平面．答案：C5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有()A．30个B．42个C．36个D．35个解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个)．答案：C二、填空题6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5，6，4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120(种)．答案：1207．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有________种．解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有N＝2×2×2＝23＝8(种)．答案：88．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，不同选法共有4＋3＝7(种)．若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)．答案：712三、解答题9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对；……x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，有序自然数对共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类．第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步．第一、第二、第三、第四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步．从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．B级能力提升1．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种B．36种C．54种D．81种解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．答案：C2．有三个车队分别有4辆、5辆、5辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各一辆共4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共4×5＝20(种)；乙、丙各一辆共5×5＝25(种)，所以共有20＋20＋25＝65(种)．答案：653．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种．解：按出场位置顺序逐一安排：第一位置有3种安排方法；第二位置有7种安排方法；第三位置有2种安排方法；第四位置有6种安排方法；第五位置有1种安排方法．由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3×7×2×6×1＝252(种)．第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用A级基础巩固一、选择题1．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有()A．1×2×3 B．2×3×4C．34D．43解析：完成这件事分三步．第一步，植第一棵树，有4种不同的方法；第二步，植第二棵树，有4种不同的方法；第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法．由分步乘法计数原理得：N＝4×4×4＝43，故选D.答案：D2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为() A．2 B．4C．6 D．8解析：分两类：第一类，公差大于0，有以下4个等差数列：①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，可组成的不同的等差数列共有4＋4＝8(个)．答案：D3．从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为()A．12 B．11C．24 D．23解析：先在{1，2，3}中取出1个元素，共有3种取法，再在{1，4，5，6}中取出1个元素，共有4种取法，取出的2个数作为点的坐标有2种方法，由分步乘法计数原理知不同的点的个数有N＝3×4×2＝24(个)．又点(1，1)被算了两次，所以共有24－1＝23(个)．答案：D4．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则xy可表示不同的值的个数是() A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6 D．3×3＝9解析：x，y在各自的取值集合中各选一个值相乘求积，这件事可分两步完成．第一步，x在集合{2，3，7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24，4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理知，不同值有3×3＝9(个)．答案：D5．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数的个数是()A．20 B．16C．14 D．12解析：因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14(个)．答案：C二、填空题6．3位旅客投宿到1个旅馆的4个房间(每房间最多可住3人)有________种不同的住宿方法．解析：分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而共有不同的方法4×4×4＝43＝64(种)．答案：647．甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法．解析：分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×5＝15(种)；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×2＝6(种)；第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有5×2＝10(种)．综合以上三类，根据分类加法计数原理，不同选法共有15＋6＋10＝31(种)．答案：318．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．解析：分三类．若甲在周一，则乙、丙的排法有4×3＝12(种)；若甲在周二，则乙、丙的排法有3×2＝6(种)；若甲在周三，则乙、丙的排法有2×1＝2(种)．所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20(种)．答案：20三、解答题9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，不同的选法有28＋7＋9＋3＝47(种)．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，不同的选法有28×7×9×3＝5 292(种)．10．8张卡片上写着0，1，2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排百位数字，从1，2，…，7共7个数字中选一个，有7种选法；再排十位数字，从除去百位数字外，剩余的7个数字(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位数字，从除前两步选出的数字外，剩余的6个数字中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理得，共可以组成的不同三位数有7×7×6＝294(个)．B级能力提升1．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A．6种B．12种C．18种解析：因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1，2，9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后与之相邻的空格可填6，7，8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．结果共有2×3＝6(种)，故选A.答案：A2．把9个相同的小球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有________种．解析：分四类：第一个箱子放入1个小球，将剩余的8个小球放入2，3号箱子，共有4种放法；第一个箱子放入2个小球，将剩余的7个小球放入2，3号箱子，共有3种放法；第一个箱子放入3个小球，将剩余的6个小球放入2，3号箱子，共有2种放法；第一个箱子放入4个小球则共有1种放法．根据分类加法计数原理共有10种情况．答案：103．某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？解：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，4×3×2＝24，即共有24种方法．第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法．第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得，安装方法共有4×3×2×3×3＝216(种)．第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列第1课时 排列与排列数公式A 级 基础巩固一、选择题1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( )A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．计算A 67－A 56A 45＝( )A．12 B．24 C．30 D．36解析：A67＝7×6A45，A56＝6A45，所以A67－A56A45＝36A45A45＝36.答案：D3．北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为()A．3 B．6 C．9 D．12解析：这个问题就是从北京、上海、香港三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有()A．180种B．360种C．15种D．30种解析：由排列定义知选派方案有A46＝6×5×4×3＝360(种)．答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有() A．24个B．30个C．40个D．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________.解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6 三、解答题9．求下列各式中n 的值：(1)90A 2n ＝A 4n ；(2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2.解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)．所以n 2－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12.所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！.所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级 能力提升1．满足不等式A 7nA 5n ＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种．所以符合条件的直线有A 26＝30(条)．答案：303．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？解：原有m 个车站，所以原有客运车票A 2m 种，现有(n ＋m )个车站，所以现有客运车票A 2n ＋m 种．所以A 2n ＋m －A 2m ＝58，所以(n ＋m )(n ＋m －1)－m (m －1)＝58. 即2mn ＋n 2－n ＝58，即n (2m ＋n －1)＝29×2＝1×58.由于n ，2m ＋n －1均为正整数，故可得方程组①⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29 或③⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，2m ＋n －1＝58或④⎩⎪⎨⎪⎧n ＝58，2m ＋n －1＝1.方程组①与④不符合题意．解方程组②得m ＝14，n ＝2，解方程组③得m ＝29，n ＝1.所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列第2课时排列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是()A．6B．24C．48D．120解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，排法共有A44＝24(种)．答案：B2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．48个B．36个C．24个D．18个解析：个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．答案：B3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A．6种B．12种C．24种D．30种解析：首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，排列方法有A23＝6(种)．于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24(种)．答案：C4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为()A．30 B．48 C．60 D．96解析：“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A33；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到不同的三位数有A33×2×2×2＝48(个)．答案：B5．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有() A．24种B．36种C．48种D．72种解析：分类完成．第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A24种排法；第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A24种排法，有2A24种排法．由分类加法计数原理得，不同的安排方案共有A24＋2A24＝36(种)．答案：B二、填空题6．若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．解析：A25－1＝19.答案：197．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A44种方法，而A、B可交换位置，所以摆法有2A44＝48(种)．又当A、B相邻又满足A、C相邻，摆法有2A33＝12(种)．故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．答案：368．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．解析：千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制．所以共有8A28＝448(个)．答案：448三、解答题9．7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？(2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解析：(1)法一7人的所有排列方法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又已知甲、乙、丙排序一定，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A77A33＝840(种)．法二(插空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故排法有A47＝7×6×5×4＝840(种)．(2)“甲在乙的左边”的7人排列数与“甲在乙的右边”的7人排列数相等，而7人的排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的排法有12A77＝2 520(种)．10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝1 440(种)．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440(种)．B级能力提升1．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则试验顺序的编排方法共有() A．24种B．48种C．96种D．144种解析：本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，所以从第一个位置和最后一个位置中选一个位置排A，编排方法有A12＝2(种)．因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间有2种排法，即编排方法共有A44A22＝48(种)．根据分步乘法计数原理知，编排方法共有2×48＝96(种)，故选C.答案：C2．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．解析：“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可．所以不同坐法共有A34＝24(种)．答案：243．用1，2，3，4，5，6，7排成无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰好夹有一个奇数，没有偶数．解：(1)用插空法，共有A44A35＝1 440(个)．(2)先把偶数排在奇数位上有A34种排法，再排奇数有A44种排法．所以共有A34A44＝576(个)．(3)1和2的位置关系有A22种，在1和2之间放一个奇数有A13种方法，把1，2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有A55种排法，所以共有A22A13A55＝720(个)．第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合第1课时组合与组合数公式A级基础巩固一、选择题1．从10个不同的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题，属于组合的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：因为减法、除法运算中交换位置，对结果有影响，所以属于组合的有2个．答案：B2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为()A．3 B．4 C．12 D．24解析：C34＝C14＝4.答案：B3．集合A＝{x|x＝C n4，n是非负整数}，集合B＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是()A．A∪B＝{0，1，2，3，4} B．B AC．A∩B＝{1，4} D．A⊆B解析：依题意，C n4中，n可取的值为1，2，3，4，所以A＝{1，4，6}，所以A∩B ＝{1，4}．答案：C4．下列各式中与组合数C m n(n≠m)相等的是()A.nm Cmn－1B.nn－mC m n－1C．C n－m＋1n D.A m n n！解析：因为nn－m C m n－1＝nn－m·（n－1）！m！（n－m－1）！＝n！m！（n－m）！，所以选项B正确.答案：B5．C22＋C23＋C24＋…＋C216＝()A．C215B．C316C．C317D．C417解析：原式＝C22＋C23＋C24＋…＋C216＝C34＋C24＋…＋C216＝C35＋C25＋…＋C216＝…＝C316＋C216＝C317.答案：C二、填空题6．化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________．解析：C9m－C9m＋1＋C8m＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.答案：07．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则所有线段在圆内的交点最多有________个．解析：此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所以交点最多有C49＝126(个)．答案：1268．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若BA＝213，则这组学生共有________人．解析：设有学生n 人，则A 2nC 4n ＝213，解之得n ＝15.答案：15 三、解答题9．解不等式：2C x －2x ＋1＜3C x －1x ＋1. 解：因为2C x －2x ＋1＜3C x －1x ＋1，所以2C 3x ＋1＜3C 2x ＋1.所以2×（x ＋1）x （x －1）3×2×1＜3×（x ＋1）x 2×1.所以x －13＜32，解得x ＜112.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3x ＋1≥2，所以x ≥2.所以2≤x ＜112.又x ∈N *，所以x 的值为2，3，4，5.所以不等式的解集为{2，3，4，5}．10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线． (1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？ (2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？ (3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A 210＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C 310＝10×9×83×2×1＝120(个)．B级能力提升1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A．120 B．84 C．52 D．48解析：用间接法可求得选法共有C38－C34＝52(种)．答案：C2．A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．解析：根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则不同的走法有C35＝10(种)．答案：103．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市．(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？解：(1)从5名男司机中选派3名，有C35种方法，从4名男司机中选派2名，有C24种方法，根据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为C35C24＝C25C24＝5×42×1×4×32×1＝60(种)．(2)分四类：第一类，选派2名男司机，3名女司机的方法有C25C34＝40(种)；第二类，选派3名男司机，2名女司机的方法有C35C24＝。
2018学年数学人教A版选修2-3优化练习：第三章 章末检测
章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．下列说法正确是()A．相关关系是一种不确定关系，回归分析是对相关关系分析，因此没有实际意义B．独立性检验对分类变量关系研究没有100%把握，所以独立性检验研究结果在实际中也没有多大实际意义C．相关关系可以对变量发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误D．独立性检验如果得出结论有99%可信度，就意味着这个结论一定是正确解析：相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差条件下可以对生产与生活起到一定指导作用，独立性检验对分类变量检验也是不确定，但是其结果也有一定实际意义．故选C.答案：C2．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：图(1)中随x增大y减小，图(2)中随u增大v增大．答案：C3．如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科等高条形图，阴影部分表示喜欢理科百分比，从图可以看出()A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科比例约为80%C．男生比女生喜欢理科可能性大些D．男生中不喜欢理科比例约为60%解析：由图可知，女生中喜欢理科比例约为20%，男生中喜欢理科比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科可能性大些．答案： C4．通过随机询问110名性别不同大学生是否爱好某项运动，得到列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得K 2观测值k ＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到正确结论是( A ．有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误概率不超过0.1%前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误概率不超过0.1%前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析：因为k ≈7.8>6.635，所以相关概率大于1－0.010＝0.99，所以选A. 答案：A5．下表给出5组数据(x ，y )，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )A.第2组 C ．第3组D ．第5组解析：通过散点图选择，画出散点图如图．应除去第3组，对应点是(－3,4)．故选C.答案：C6．对于一组具有线性相关关系数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程中截距为( ) A ．a ＝y ＋b ^xB ．a ＝y ＋b ^xC ．a ＝y －b ^x D ．a ＝y －b ^x解析：由回归直线方程恒过(x －，y －)定点． 答案：D7．假设有两个分类变量X 和Y ，它们可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表如下：A ．a ＝9，b ＝8，c ＝7，d ＝6B ．a ＝9，b ＝7，c ＝6，d ＝8C ．a ＝8，b ＝6，c ＝9，d ＝7D ．a ＝6，b ＝7，c ＝8，d ＝9解析：对于同一样本|ad －bc |越小，K 2越小，说明X 与Y 之间关系越弱，|ad －bc |越大，K 2越大，说明X 与Y 之间关系越强． 答案：B8．在某种新型材料研制中，实验人员获得了下面一组实验数据：现准备用下列四个函数中一个近似地表示这些数据规律，其中最接近一个是( )A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2 xD ．y ＝(12)x解析：把x 值分别代入A 、B 、C 中函数，得函数值与真实值比较易知B 中函数最接近． 答案：B9．某人研究中学生性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联可能性最大变量是( ) 表1表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量解析：根据K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，代入题中数据计算得D选项K2最大．故选D. 答案：D10．某调查机构调查教师工作压力大小情况，部分数据如表：A．0.01 B．0.05C．0.10 D．0.005解析：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(c＋d)(d＋b)＝100×(53×1－12×34)287×13×65×35≈4.9＞3.841，因此，在犯错误概率不超过0.05前提下，认为工作压力大与不喜欢教师职业有关系．答案：B11．如表及图是某同学记载5月1日至5月12日每天某市某种传染病患者治愈者数据及根据这些数据绘制出散点图.下列说法中，正确有( )①根据此散点图可以判断日期与人数具有线性相关关系； ②根据此散点图可以判断日期与人数具有一次函数关系； ③根据此散点图可以判断日期与人数具有非线性相关关系． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有①正确．故选B. 答案：B12．对具有线性相关关系变量x ， y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程为y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，则实数a 等于( ) A.116 B.18 C.14D.12 解析：由x 1＋x 2＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，得x ＝34，y ＝38.由于回归直线方程y ^＝13x ＋a 过样本点(x ，y )，则y ＝13x ＋a ，解得a ＝18.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13．对于线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x ，当x ＝3时，对应y 估计值是17，当x ＝8时，对应y 估计值是22，那么，该回归直线方程是________，根据回归直线方程判断当x ＝________时，y 估计值是38.解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^＝14.所以回归直线方程是y ^＝x ＋14.令x ＋14＝38，可得x ＝24.即当x ＝24时，y 估计值是38.答案：y ^＝x ＋14 2414．对有关数据分析可知，每立方米混凝土水泥用量x (单位：kg)与28天后混凝土抗压度y (单位：kg/cm 2)之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝0.30x ＋9.99.根据建设项目需要，28天后混凝土抗压度不得低于89.7 kg/cm 2，每立方米混凝土水泥用量最少应为________kg. 解析：∵y ^≥89.7，∴0.30x ＋9.99≥89.7， ∴x ≥265.7，故水泥用量最少应为265.7 kg. 答案：265.715．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：则这四位同学中，________解析：由题表可知，丁同学相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学试验结果体现A ，B 两变量有更强线性相关性． 答案：丁16. 下列说法正确有________(填写你认为正确序号)．①线性回归方法就是利用样本点去寻找一条贴近这些样本点直线数学方法； ②利用样本散点图可以直观判断两个变量关系是否可用线性关系表示；③通过线性回归方程y ^＝b ^＋a ^x 及回归系数b ^，可以估计和预测变量取值及变化规律．解析：样本散点图可以直观判断两个变量是否线性相关，只有线性相关才能用线性回归方法找到回归直线，并预测变量取值及变化规律，故正确答案是①②③. 答案：①②③三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)x 与y 有五组数据，试分析x 与y 解析：作出散点图，如图所示：由散点图可以看出，x 与y 不具有线性相关关系．18．(12分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于5整数，则a 0.1前提下认为x 与y 之间有关系？ 解析：查表可知，要使在犯错误概率不超过0.1前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而 k ＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50＝13×(13a －60)260×90. 由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04.又a >5且15－a >5，a ∈Z ，解得a ＝8或9，故a 为8或9时，在犯错误概率不超过0.1前提下认为x 与y 之间有关系．19．(12分)随机询问某大学40名不同性别大学生在购买食物时是否读营养说明，得到性别与读营养说明列联表根据列联表进行独立性检验， 注：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．解析：由表中数据，得k ＝40×(16×12－8×4)224×16×20×20≈6.67>6.635.因此，能在犯错误概率不超过0.01前提下，认为性别与读营养说明有关． 20．(12分)在研究一种新药对小白鼠得病防治效果时，得到如表数据.解析：由公式得K 2观测值k ＝339×(43×121－162×13)2205×134×56×283≈7.469.由于7.469>6.635，所以我们有99%把握认为这种新药对小白鼠得病防治效果是有效． 21．(13分)以下是某地搜集到新房屋销售价格y 和房屋面积x 数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)结果估计当房屋面积为150 m 2时销售价格． 解析：(1)数据对应散点图如图所示．(2)x ＝1551i =∑x i ＝109，l xx ＝51i =∑(x i －x )2＝1 570，y ＝23.2，l xy ＝51i =∑(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝l xy l xx ＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －b ^x ≈1.814 2.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．22．(13分)某工厂为了对新研发一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定价格进行试销，得到如表数据：(1)求回归直线方程y ^＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后销售中，销量与单价仍然服从(1)中关系，且该产品成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解析：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．。
新课程高中数学分层章节练习题选修23含答案
《选修2—3》第一章 计数原理[基础训练A 组]一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A ．81 B ．64 C ．12 D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种 3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ） A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ） A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）A ．男生2人,女生6人B ．男生3人,女生5人C ．男生5人,女生3人D ．男生6人,女生2人.6．在82x ⎛- ⎝的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28D ．28- 7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ） A.120 B ．120- C ．100D ．100-8．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法. 2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在10(x 的展开式中，6x 的系数是 .5．在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，4r T = .6．在1,2,3,...,9的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这样的四位数有 个？ 7．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x .8．从1,3,5,7,9中任取三个数字,从0,2,4,6,8中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,共有___ 个？ 三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头， （2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起， （4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻， （6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序， （8）甲不排头，乙不排当中。
2018年数学同步优化指导北师大版选修2-3练习：3章整合提升 含解析 精品
第三章 本章整合提升一、选择题1．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关，则下列结论正确的是( ) A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：由回归方程知x 与y 负相关，又因为y 与z 正相关，所以x 与z 负相关．故选A ． 答案：A2．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：回归直线一定过样本中心(10,8)，∵b ^＝0.76，∴a ^＝0.4.由y ^＝0.76x ＋0.4得当x ＝15万元时，y ^＝11.8万元，故选B ． 答案：B3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：当x ＝170时，y ＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg ，故D 不正确．答案：D4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ＝bx ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A ．b ＞b ′，a ＞a ′B ．b ＞b ′，a ＜a ′C ．b ＜b ′，a ＞a ′D ．b ＜b ′，a ＜a ′解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ＝∑i ＝16x i y i －6x ·y∑i ＝16x 2i －6x －2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ＝y －b x －＝136－57×72＝－13，所以b ＜b ′，a ＞a ′．答案：C 二、填空题5．有同学在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人的邮箱名称里含有数字的比较少，为了研究国籍与邮箱名称是否含有数字有关，于是我们共收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱名称中有43个含数字，外国人的邮箱名称中有27个含数字．那么认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”的把握性为________．(用百分数表示)．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).由表中数据，得χ2＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201．∵χ2≥5.024，∴有97.5%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”． 答案：97.5%6．已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 则实数a 的值为________． 解析：x ＝2＋3＋4＋54＝3. 5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回归直线必过样本的中心点(x ，y )，把(3.5，4.5)代入回归方程，计算得a ＝－0.61．答案：－0.617．调查者通过随机询问72名男女生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)： 性别与喜欢文科还是理科列联表学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”) 附：当χ2＞7.879时，有99.5%以上的把握判定变量A ，B 有关联． 解析：通过计算χ2＝72×(8×16－28×20)236×36×28×44≈8.42＞7.879．故我们有99.5%的把握认为学生的性别和喜欢文科还是理科有关系． 答案：有 三、解答题8．某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y (单位：千元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：(1)求y 关于x (2)判定y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．附：回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x ．解：(1)列表.这里n ＝5，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝355＝7，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝455＝9．又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝295－5×72＝50，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －＝287－5×7×9＝－28，从而，b ＝l xy l xx ＝－2850＝－0.56，a ＝y －b x ＝9－(－0.56)×7＝12.92， 故所求回归方程为y ＝－0.56x ＋12.92． (2)由b ＝－0.56<0知y 与x 之间是负相关． 将x ＝6代入回归方程可预测该店当日的营业额为 y ＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千元)．9．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表(单位：人)：(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ 附：当χ2＞5.024时，有97.5%以上的把握判定变量A ，B 有关联．(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7 min ，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8 min ，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．解：(1)由表中数据得χ2＝50×(22×12－8×8)230×20×30×20＝509≈5.556＞5.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关． (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x min ，y min ，则基本事件满足的区域为⎩⎪⎨⎪⎧5≤x ≤7，6≤y ≤8(如图所示)．设事件A 为“乙比甲先做完此道题”， 则满足的区域为x >y ， 所以P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18．。
[精品]新人教A版选修2-3高中数学章末综合测评3和答案
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章末综合测评(三) 统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中错误的是( )A．如果变量x与y之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)将散布在某一条直线的附近B．如果两个变量x与y之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)不能写出一个线性方程C．设x，y是具有相关关系的两个变量，且y关于x的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，b^叫做回归系数D．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量y与x之间是否存在线性相关关系【解析】任何一组(x i，y i)(i＝1,2，…，n)都能写出一个线性方程，只是有的不存在线性关系．【答案】 B2.如图1所示，有5组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的4组数据的线性相关性最大( )图1A．E B．CC．D D．A【解析】由题图易知A，B，C，D四点大致在一条直线上，而E 点偏离最远，故去掉E 点后剩下的数据的线性相关性最大．【答案】 A3．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1，12，13，14时，变量y 的值分别为2,3,4,5，则y 与1x的回归曲线方程为( ) 【导学号：97270064】A.y ^＝1x ＋1B.y ^＝2x＋3C.y ^＝2x ＋1D.y ^＝x －1【解析】 由数据可得，四个点都在曲线y ^＝1x＋1上．【答案】 A 4．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 ①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R 2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．【答案】 D5．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )A BC D【解析】 在四幅图中，D 图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．【答案】 D6．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( )A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.aa ＋d 与cb ＋cD.ab ＋d 与ca ＋c【解析】 当ad 与bc 相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时aa ＋b 与cc ＋d相差越大．【答案】 A7．如图2,5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )图2A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强【解析】由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．【答案】 B8．(2016·安庆一中期中)在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，根据表中数据判断如下结论中正确的是( )A.B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关【解析】由表中数据得k＝－214×16×13×17≈0.00242<3.841.因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选D.【答案】 D9．某地财政收入x与支出y满足线性回归方程y^＝b^x＋a^＋e(单位：亿元)，其中b^＝0.8，a^＝2，|e|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A．10亿 B．9亿C．10.5亿 D．9.5亿【解析】代入数据得y＝10＋e，∵|e|<0.5，∴|y|<10.5，故不会超过10.5亿．【答案】 C10．(2016·合肥高二检测)废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为y^＝256＋3x，表明( )A．废品率每增加1%，生铁成本增加259元B．废品率每增加1%，生铁成本增加3元C．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加3元D．废品率不变，生铁成本为256元【解析】回归方程的系数b^表示x每增加一个单位，y^平均增加b^个单位，当x为1时，废品率应为1%，故当废品率增加1%时，生铁成本平均每吨增加3元．【答案】 C11．已知x与y之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝b^x＋a^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )A.b^>b′，a^>a′B.b^>b′，a^<a′C.b^<b′，a^>a′D.b^<b′，a^<a′【解析】 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑i ＝16x i y i －6x －y －∑i ＝16x 2i －6x －2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，所以b ^<b ′，a ^>a ′. 【答案】 C12．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%，则c 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 附：【解析】故K 2的观测值k ＝]2＋c －c≥5.024.把选项A，B，C，D代入验证可知选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知一回归直线方程为y^＝1.5x＋45，x∈{1,5,7,13,19}，则y＝________. 【导学号：97270065】【解析】因为x＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，且y＝1.5x＋45，所以y＝1.5×9＋45＝58.5.【答案】58.514．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：________．【解析】根据列联表中的数据，得到k＝－294×95×86×103≈10.76.【答案】10.7615．(2016·深圳高二检测)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.________．【解析】 由表知x ＝30，设模糊不清的数据为m ，则y ＝15(62＋m ＋75＋81＋89)＝307＋m5，因为y ＝0.67x ＋54.9，即307＋m5＝0.67×30＋54.9， 解得m ＝68. 【答案】 6816．某地区恩格尔系数Y (%)与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出Y 与x 线性相关，且可得回归方程为y ^＝b ^x ＋4 055.25，据此模型可预测2017年该地区的恩格尔系数Y (%)为________．【解析】 由表可知x ＝2 007.5，y ＝44.25. 因为y ＝b ^ x ＋4 055.25， 即44.25＝2 007.5b ^＋4 055.25，所以b ^≈－2，所以回归方程为y ^＝－2x ＋4 055.25，令x ＝2 017，得y^＝21.25.【答案】21.25三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表.①y＝0.429 4x－25.318，②y＝2.004e0.019 7x.通过计算，得到它们的相关指数分别是：R21＝0.9311，R22＝0.998.试问哪个回归方程拟合效果更好？(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175 cm，体重为78 kg，他的体重是否正常？【解】(1)∵R22>R21，∴选择第二个方程拟合效果更好．(2)把x＝175代入y＝2.004e0.019 7x，得y＝62.97，由于7862.97＝1.24>1.2，所以这名男生偏胖．18．(本小题满分12分)关于x与y有如下数据：为了对x，y甲模型y^＝6.5x＋17.5，乙模型y^＝7x＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好．【解】R21＝1－∑5i＝1y i－y^i2∑5i＝1y i－y2＝1－1551 000＝0.845，R22＝1－∑5i＝1y i－y^i2∑5i＝1y i－y2＝1－1801 000＝0.82.又∵84.5%>82%，∴甲选用的模型拟合效果更好．19．(本小题满分12分)为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在生产现场时，990件产品中合格品有982件，次品有8件；甲不在生产现场时，510件产品中合格品有493件，次品有17件．试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响？【解】(1)2×2列联表如下：，相差较大，可在某种程度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．(2)由2×2列联表中数据，计算得到K2的观测值为k＝－2990×510×1 475×25≈13.097>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系．20．(本小题满分12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系？【解】查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而k＝65×[a＋a－－a－a220×45×15×50＝a－220×45×15×50＝a－260×90.故k≥2.706，得a≥7.19或a≤2.04.又a>5且15－a>5，a∈Z，解得a＝8或9，故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y 之间有关系．21．(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b ^＝∑ni ＝1 t i －t y i －y －∑ni ＝1t i －t 2，a ^＝y －－b ^t . 【解】 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y －＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3， ∑7i ＝1 (t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， ∑7i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑7i ＝1 t i －t y i －y －∑7i ＝1t i －t 2＝1428＝0.5，a^＝y－－b^t＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y^＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．22．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：图3将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断“体育迷”与性别是否有关？(2)育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，【解】(1)100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2k＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d＝－2 75×25×45×55＝10033≈3.030.因为 3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，其中女生为2人．记：从“超级体育迷”中取2人，至少有1名女性为事件A.则P(A)＝C22C03＋C12C13C25＝710，即从“超级体育迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众的概率为710.。
2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第三章章末优化总结
章末检测 (三 )时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．已知复数 z1＝ 3＋ 4i， z2＝ t＋ i，且 z1·z 2 是实数，则实数t 等于 ( )3 B.4A. 4 3C．－4D．－3 3 4分析： z1·z 32 ＝(3＋4i)( t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.由于z1·z 2 是实数，所以4t－ 3＝ 0，所以 t＝4.所以选 A. 答案： A2．已知 f(x)＝ x2， i 是虚数单位，则在复平面中复数 f 1＋i对应的点在 ( )3＋ iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：由于函数 f(x)＝ x2，所以 f(1＋ i) ＝ (1＋ i) 2，化简得 f(1＋ i)＝ 2i，f 1＋i 2i 2i 3－ i 2＋ 6i 1＋ 3i 1 3 f 1＋ i所以3＋ i ＝＝＝10 ＝ 5 ＝5＋5i. 依据复数的几何意义知，所对应的点的坐3＋ i 3＋ i 3－ i 3＋ i1 3标为 (5，5)，所以其对应的点在第一象限．故应选A.答案： A3． (2014 高·考辽宁卷 )设复数 z 知足 (z－ 2i)(2 －i) ＝ 5，则 z＝ ( )A ． 2＋ 3i B． 2－ 3iC． 3＋2i D． 3－ 2i分析：由 (z－ 2i)(2 － i) ＝5 得 z＝5＋ 2i＝5 2＋ i 5 2＋ i＋2i ＝5＋ 2i＝ 2＋ 3i，选 A. 2－i 2－ i 2＋ i答案： A4．已知复数z＝－1＋ 3i，则 z ＋|z|＝ ( ) 2 2A ．－1－3i B．－1＋3i 2 2 2 2C.1＋ 3 i D.1－3i 2 2 2 2分析：由于 z＝－1 3 1 3 1 2 3 2 1 32 ＋2 i ，所以 z ＋ |z|＝－2－2 i＋－2 ＋ 2 ＝2－2 i.答案： D5．若 z＝ cos θ＋ isin θ(i 为虚数单位 )，则使 z2＝－ 1 的θ值可能是 ( )π π A. 6 B.4 π π C.3D. 2cos 2θ＝－ 1，分析： ∵z 2＝ cos 2θ＋ isin 2 θ＝－ 1，∴sin 2θ＝ 0.∴2θ＝ 2k π＋π(k ∈Z) ，π∴θ＝ k π＋2.令 k ＝ 0 知， D 正确． 答案： D6．若对于 x 的方程 x 2＋(1＋ 2i) x ＋ 3m ＋ i ＝ 0 有实根，则实数 m 等于 () 11 A. 12 B.12iC ．－1D ．－ 1i1212分析： 设方程的实数根为 x ＝a( a 为实数 )，则 a 2＋ (1＋ 2i)a 2＋ a ＋ 3m ＝ 0，a ·＋3m ＋ i ＝0，∴2a ＋ 1＝ 0，1a ＝－ 2，应选 A.∴1m ＝12.答案： A7．实数 x ， y 知足 (1＋ i)x ＋ (1－ i)y ＝2，则 xy 的值是 ( )A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析： 由题意得 x ＋ y ＋ (x － y)i ＝ 2，x ＋ y ＝ 2， x ＝ 1，∴ ∴x － y ＝ 0， y ＝ 1，∴xy ＝ 1. 答案： B→ →2＋ 3i→8．设 O 为原点，向量 OA ，OB 对应的复数分别为 ，－ 3－ 2i ，那么向量 BA 对应的复数为 ()A ．－ 1＋ iB ． 1－ iC ．－ 5－ 5iD ． 5＋ 5i→→分析： ∵由已知OA ＝ (2,3)， OB ＝ (－ 3，－ 2)，→ → →∴BA ＝ OA － OB ＝ (2,3)－ (－ 3，－ 2)＝ (5,5)，→ 5＋ 5i. ∴BA 对应的复数为答案： D9．已知复数 z ＝ (x － 2)＋ yi(x 、 y ∈ R)在复平面内对应的向量的模为y的最大值是 ()3，则 x3 3 A. 2 B. 31C.2D. 3分析： 由于 |(x － 2)＋ yi| ＝ 3，所以 (x － 2)2＋ y 2＝ 3，所以点 (x ， y)在以 C(2,0)为圆心，以 3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－ y≤ 3.3≤ x答案： D10．已知复数a∈ R ，则实数 x 的值为 ()a ＝ 3＋ 2i ，b ＝ 4＋ xi( 此中 i 为虚数单位， x ∈ R) ，若复数 b A ．－6 B ． 6 88C.3D ．－ 33＋ 2i 3＋ 2i 4－xi 12＋ 2x 8－ 3x 8－ 3x ＝ 0，∴x ＝8. 分析： a ＝＝ ＝ 16＋x 2 ＋ 16＋ x 2 ·i ∈R ，∴ b4＋xi16＋ x 216＋ x 23答案： C11．设 z ＝ (2t 2＋5t －3) ＋ (t 2＋ 2t ＋ 2)i ， t ∈R ，则以下结论正确的选项是()A ． z 对应的点在第一象限B ． z 必定不为纯虚数C. z 对应的点在实轴的下方 D ． z 必定为实数分析： ∵t 2＋ 2t ＋ 2＝ (t ＋ 1)2＋ 1>0 ，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与 z 对应的点对于实轴对称，∴ C 项正确．答案： C12． (2013高·考陕西卷)设z 是复数，则以下命题中的假命题是()A ．若 z 2 ≥ 0，则 z 是实数B ．若 z 2<0，则 z 是虚数C ．若 z 是虚数，则 z 2≥ 02D ．若 z 是纯虚数，则 z <0分析： 设 z ＝ a ＋ bi(a ， b ∈R)，。
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章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是( )A．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的解析：相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用，独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义．故选C.答案：C2．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：图(1)中随x增大y减小，图(2)中随u增大v增大．答案：C3．如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出( )A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比例约为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生中不喜欢理科的比例约为60%解析：由图可知，女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些． 答案： C4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到列联表：由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得K 2的观测值k ＝×20260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析：因为k ≈7.8>6.635，所以相关的概率大于1－0.010＝0.99，所以选A. 答案：A5．下表给出5组数据(x ，y )，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )A.第2组 C ．第3组D ．第5组解析：通过散点图选择，画出散点图如图．应除去第3组，对应点是(－3,4)．故选C.答案：C6．对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程中的截距为( )A ．a ＝y ＋b ^x B ．a ＝y ＋b ^x C ．a ＝y －b ^xD ．a ＝y －b ^x解析：由回归直线方程恒过(x －，y －)定点． 答案：D7．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表如下：对于以下数据，对同一样本能说明X A ．a ＝9，b ＝8，c ＝7，d ＝6 B ．a ＝9，b ＝7，c ＝6，d ＝8 C ．a ＝8，b ＝6，c ＝9，d ＝7 D ．a ＝6，b ＝7，c ＝8，d ＝9解析：对于同一样本|ad －bc |越小，K 2越小，说明X 与Y 之间的关系越弱，|ad －bc |越大，K 2越大，说明X 与Y 之间的关系越强． 答案：B8．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2B ．y ＝2(x 2－1)C ．y ＝log 2 xD ．y ＝(12)x解析：把x 的值分别代入A 、B 、C 中的函数，得函数值与真实值比较易知B 中的函数最接近． 答案：B9．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) 表1表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量解析：根据K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，代入题中数据计算得D选项K2最大．故选D.答案：D10．某调查机构调查教师工作压力大小的情况，部分数据如表：A ．0.01B ．0.05C ．0.10D ．0.005解析：K 2＝n ad －bc 2a ＋ba ＋c c ＋dd ＋b＝100×53×1－12×34287×13×65×35≈4.9＞3.841，因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工作压力大与不喜欢教师职业有关系． 答案：B11．如表及图是某同学记载的5月1日至5月12日每天某市某种传染病患者治愈者数据及根据这些数据绘制出的散点图.下列说法中，正确的有( )①根据此散点图可以判断日期与人数具有线性相关关系； ②根据此散点图可以判断日期与人数具有一次函数关系； ③根据此散点图可以判断日期与人数具有非线性相关关系． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有①正确．故选B. 答案：B12．对具有线性相关关系的变量x ， y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程为y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，则实数a 等于( ) A.116B.18C.14D.12 解析：由x 1＋x 2＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，得x ＝34，y ＝38.由于回归直线方程y ^＝13x ＋a 过样本点(x ，y )，则y ＝13x ＋a ，解得a ＝18.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13．对于线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x ，当x ＝3时，对应的y 的估计值是17，当x ＝8时，对应的y 的估计值是22，那么，该回归直线方程是________，根据回归直线方程判断当x ＝________时，y 的估计值是38.解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^＝14.所以回归直线方程是y ^＝x ＋14.令x ＋14＝38，可得x＝24.即当x ＝24时，y 的估计值是38. 答案：y ^＝x ＋14 2414．对有关数据的分析可知，每立方米混凝土的水泥用量x (单位：kg)与28天后混凝土的抗压度y (单位：kg/cm 2)之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝0.30x ＋9.99.根据建设项目的需要，28天后混凝土的抗压度不得低于89.7 kg/cm 2，每立方米混凝土的水泥用量最少应为________kg. 解析：∵y ^≥89.7，∴0.30x ＋9.99≥89.7， ∴x ≥265.7，故水泥用量最少应为265.7 kg. 答案：265.715．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：则这四位同学中，________解析：由题表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果体现A ，B 两变量有更强的线性相关性． 答案：丁16. 下列说法正确的有________(填写你认为正确的序号)．①线性回归方法就是利用样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可用线性关系表示；③通过线性回归方程y ^＝b ^＋a ^x 及回归系数b ^，可以估计和预测变量的取值及变化规律．解析：样本的散点图可以直观判断两个变量是否线性相关，只有线性相关才能用线性回归的方法找到回归直线，并预测变量的取值及变化规律，故正确的答案是①②③. 答案：①②③三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)x 与y 有五组数据，试分析x与y解析：作出散点图，如图所示：由散点图可以看出，x与y不具有线性相关关系．18．(12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a均为大于5的整数，则a的前提下认为x与y之间有关系？解析：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而k＝65×[a30＋a－20－a15－a]220×45×15×50＝65×65a－300220×45×15×50＝13×13a－60260×90.由k≥2.706得a≥7.19或a≤2.04.又a>5且15－a>5，a∈Z，解得a＝8或9，故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系．19．(12分)随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到性别与读营养说明的列联表注：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．解析：由表中数据，得k＝40×16×12－8×4224×16×20×20≈6.67>6.635.因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关．20．(12分)在研究一种新药对小白鼠得病的防治效果时，得到如表数据.解析：由公式得K 2的观测值k ＝339×43×121－162×132205×134×56×283≈7.469.由于7.469>6.635，所以我们有99%的把握认为这种新药对小白鼠得病的防治效果是有效的． 21．(13分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解析：(1)数据对应的散点图如图所示．(2)x ＝1551i =∑x i ＝109，l xx ＝51i =∑(x i －x )2＝1 570，y ＝23.2，l xy ＝51i =∑(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝l xy l xx ＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －b ^x ≈1.814 2.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．22．(13分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：(1)求回归直线方程y ^＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解析：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －334)2＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．。