4.1 概率

X的数学期望为 x ab E ( X ) xf ( x )dx dx b a 2 a 即数学期望位于区间 ( a , b )的中点.
b
3随机变量函数的数学期望
N min( X1 , X 2 ) 的分布函数为 2x x0 Fmin ( x ) 1 [1 F ( x )]2 1 e x0 0 于是N的概率密度为
阴影面积近似为
由此启发我们引进如下定义. 定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 如果积分
xf

( x) dx

x f ( x ) x
i i i
f ( xi )xi
绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
i
这正是



x f ( x )dx
小区间[xi, xi+1)
随机波动
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定值 ? 5 5 n k nk n k pk k 0 k 0
随机波动
稳定值
设射手命中的环数为随机变量 Y .
“平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 若级数
2
例2 设X ~ ( ), 求E ( X ).
解 X的分布率为 P{ X k }
X的数学期望为 E( X ) k
k 0
例3 按规定,某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00 都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者 到站的时间相互独立。其规律为：
8:10 9:10 1/6 8:30 9:30 3/6 8:50 9:50 2/6

g( x , y ) f ( x , y )dxdy
( 2) 若( X ,Y )是二维离散型 , 概率分布为
P { X xi ,Y y j } pij ( i , j 1,2)则有 E ( Z ) E[ g ( X ,Y )] g ( xi , y j ) pk
200 3 4 0 1 4
引例2 射击问题 设某射击手在同样的条 件下, 瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 命中环数 k
0
2
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为
3 1 200 0 150( 元 ). 4 4
1
13
2
3
10
4
20
上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变 量的函数的情况。
设Z是随机变量X ,Y的函数Z g( X ,Y )( g是连续函数)
Z是一维随机变量 , 则
(1)若( X ,Y )是二维连续型, 概率密度为 f ( x , y ), 则有

E ( Z ) E[ g ( X ,Y )]
2、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在 数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区 间[xi, xi+1)的概率是
X
10
3 6
30
2 6
50
1 1 6 6
70
1 3 6 6
90
1 2 6 6
pk
上表中例如
1 3 P{ X 70} P ( AB ) P ( A) P ( B ) 6 6

0 0
1 x sin( x y )dxdy 2 4
f ( x , y )dxdy 0
/2
1 dy A sin( x y )dx 1 ，得A 2 0
( k 1,2,), 若 g ( xk ) pk 绝对收敛，则有
k 1
E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若

g( x ) f ( x )dx绝对收敛，则有

E (Y ) E[ g ( X )]
分赌本问题
A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望
3 1 E ( X ) 200 0 150(元 ). 4 4
xk pk k 1

绝对收敛，则称级数
xk pk k 1

的和为随机变量X的数学期望，记为 E ( X ) , 即
射击问题
“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望 E (Y )
k e
k!
, k 0,1,2,, 0
到站时刻 概率
k e
k!
e

e k 1 ( k 1)!

k 1

e
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
即E ( X )
解：设旅客的候车时间 为X (以分计 ), 其分布率为
阴影面积近似为
f ( xi )xi
f ( xi )( xi 1 xi )
f ( x i ) x i
小区间[xi, xi+1)
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值 可以用xi来近似代替. 因此X与以概率 f ( xi ) xi 取值xi的离散型r.v 近似, 该离散型r.v 的数学 期望是
0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 5 p5 .
E ( X ) x k pk
k 1

请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收 敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。
关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数, 而非变量, 它是一种加
( k 1,2)服从同一指数分布 , 其概率密度为 x 1 e x 0, 0 f ( x ) 0 0 , x
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机 寿命(以小时计) N 的数学期望.
解 X k ( k 1,2)的分布函数为
x x0 F ( x ) 1 e x0 0

g( x ) f ( x )dx
4
g ( xk ) pk , X离散型 E (Y ) E [ g ( X )] k 1 g ( x ) f ( x )dx , X连续型
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必 知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这 给求随机变量函数的期望带来很大方便.
因此, A 能“期望”得到的数目应为 3 1 200 0 150( 元), 4 4 而B 能“期望”得到的数目, 则为 1 3 200 0 50( 元). 4 4
若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为: 其概率分别为:
j 1 i 1
例6 设风速V在(0, a )上服从均匀分布 ,即具有概率 密度 1 0va f (v ) a 0 其它
又设飞机机翼受到的正 压力W是V的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数 ), 求W的数学期望 . 解：由上面的公式

这里假定上两式右边的 积分或级数都绝对收敛 .
例1 甲、乙二人进行打靶， 所得分数分别记为 X 1 , X 2 ,
权平均, 与一般的平均值不同 ,它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. 它与一般变量的算术平均值不同.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不
它们的分布率分别为
X1
0 0
1
2
X2
pk
0
1
2
pk
0.2 0.8
E( N )
xfmin ( x )dx 0

2x
e

2x

dx

2
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？ 下面的定理指出，答案是肯定的.
定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数) (1) 当X为离散型时,它的分布率为P(X= xk)=pk ;
5 30
命中次数 nk
频率 nk n
15 15 90
X 的可能值与其概率之积的累加.
2 90
13 90
10 90
20 90
30 90
试问: 该射手每次射击平均命中靶多少环?
1
解
平均射中环数
射中靶的总环数 射击次数
平均射中环数
k
k 0
5
nk n
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 30 90 2 13 15 10 20 0 1 2 3 4 90 90 90 90 90 30 5 90 5 n k k 3.37. n k 0
2 2x e x0 f min ( x ) x0 0

1. 问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
E ( X ) x f ( x )dx

的渐近和式.
请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛 的积分.
3
例4 设X ~ U (a , b), 求E ( X ).