高三数学第三轮复习检测题
高中高三数学三轮复习第二次综合测试 理 试题(共7页)
示范性高中罗山高中09届高三三轮(sān lún)复习第二次综合测试〔数学理〕第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1. 在复平面上，复数对应的点到原点的间隔是〔〕A. 1B.C. 2D.2. 函数的反函数为，假设，那么x的取值范围是〔〕A. B. C. (2,)D. 〔－2，2〕3. △ABC满足，那么△ABC一定是〔〕A. 等边三角形B. 斜三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 函数的图象的大致形状是〔〕5. 设，那么S等于〔〕A. B. C. D.6. 等比数列前n项的积为，假设是一个确定的常数，那么数列中也是常数的项是〔〕A. B. C. D.7. 假设(jiǎshè)，那么的值是〔〕A. B. C. D.8. 双曲线的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，那么分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是〔〕A. 相交B. 相离C. 相切D. 内含9. 如图，在棱长为的正方体ABCD－A/B/C/D/中，P为A/D/的中点，Q为A/B/上任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为定值，那么下面的四个值中不为定值的是〔〕A. 点P到平面QEF的间隔B. 直线PQ与平面PEF所成角C. 二面角P－EF－Q的大小D. 三棱锥P－QEF的体积10. 设函数为偶函数，且对于任意正实数x满足，，那么的值是〔〕A. 2B. －2C. 1D. －111. 从－3，－2，－1，0，1，2，3，4这8个数中任选3个不同的数组成二次函数的系数a、b、c，那么可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线的概率是〔〕A. B. C. D.f x在内可导，且，那么(nà()me)曲线在点处切线的斜率为〔〕A. 2B. －2C. 1D. －1第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。
2023届高考数学重点专题三轮冲刺双空题小题压轴练(解析版)
双空题小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023秋·广东清远·高三统考期末)设函数f x =-x 2+4x ,x ≤4,log 2x -4 ,x >4, 若关于x 的方程f x =t 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3x 4-4x 3+x 4 =，2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为.【答案】 -15 15【分析】画出f x 的图象，结合图象求得x 1，x 2，x 3，x 4的关系式，根据基本不等式求得正确答案.【详解】画出f x 的图象如下图所示.由图可知x 1+x 2=4，其中x 2>2>x 1>0.因为-log 2x 3-4 =log 2x 4-4 ，即x 3-4 x 4-4 =1，整理得x 3x 4-4x 3+x 4 =-15.且x 4>5>x 3>4，所以2+x 1 2-x 2 =-2+x 1 -2+x 2 ≥-2+x 1-2+x 222=-4，当且仅当2+x 1=-2+x 2,x 1=2-2,x 2=2+2时等号成立，此时t =2，又因为4x 3+14x 4=4x 3-4 +14x 4-4 +17≥24x 3-4 ⋅14x 4-4 +17=19，当且仅当4x 3-4 =14x 4-4 ,x 3=174,x 4=8时等号成立，此时t =2.所以2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为-4+19=15.故答案为：-15；15【点睛】解决含有绝对值的对数函数的问题，可结合函数图象来进行研究.求解最值问题，可考虑利用基本不等式或二次函数的性质来进行求解.二次函数的图象具有对称性.2.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，过其焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点(点P 在第一象限)，PF =3FQ ，则直线l 的斜率为若FQ =1，点A 为抛物线C 上的动点，且点A 在直线l 的左上方，则△APQ 面积的最大值为.【答案】33【分析】空1：设直线l 的方程为x -p2=my ，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据线段比例关系得到两交点纵坐标关系，联立即可解出斜率；空2：根据三角形底为弦长PQ，若面积最大，则高最大，则点A到直线l的距离最大，则转化为直线与抛物线相切的问题.【详解】设直线l的方程为x-p2=my，P x1,y1，Q x2,y2，联立抛物线方程y2=2px p>0得y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm①，y1y2=-p2②，∵|PF|=3|FQ|，则y1=-3y2，代入②式得-3y22=-p2，解得y2=±33p，∵P在第一象限，故Q在第四象限，故y1>0,y2<0，故y2=-33p，y1=3p，则y1+y2=3p-33p=2pm，解得m=33，故直线l的斜率k=3，∵y22=2px2，即13p2=2px2，则x2=16p，若|FQ|=1，则|FQ|=16p+p2=1，则p=32，故抛物线方程为y2=3x，此时y1=332，x1=94，x2=16p=14，而PQ=x1+x2+p=14+94+32=4，若要△APQ的面积最大，则只需将直线沿着左上方平移直至与抛物线相切，此时切点位置即为A点位置，故设切线方程为：x-t=33y，t<33，将切线方程与抛物线方程联立得y2-3y-3t=0，则Δ=3+12t=0，解得t=-14，此时切线方程为：x-33y+14=0，直线l的方程为x-33y-34=0，则两直线的距离d=14+341+13=32，此时△APQ面积最大值为12×4×32=3.故答案为：3；3.【点睛】结论点睛：设抛物线方程为y2=2px p>0，若倾斜角为α直线l经过焦点F交抛物线于P x1,y1,Q x2,y2，则有以下结论：(1)x1x2=p24；(2)y1y2=-p2；(3)PQ=2psin2α=x1+x2+p.3.(2023·广东深圳·统考一模)设a>0，A2a,0，B0,2，O为坐标原点，则以OA为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P(该点称为直角△OAB 的Brocard 点)，则点P 横坐标x 的最大值为．【答案】 x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 445##0.8【分析】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，易得圆心在线段OA 的垂直平分线，且通过DA ⊥AB 可得k DA =a ，得到直线DA 的方程即可求出圆的方程；先求出以OB 为直径的⊙C ，然后两圆进行相减得到公共弦方程y =aa 2+1x ，代入⊙C 可得点P 横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1，然后用对勾函数即可求得最值【详解】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，且圆心在线段OA 的垂直平分线x =a 上，⊙D 与直线AB 相切于A ，则DA ⊥AB ，由k AB =2-00-2a =-1a可得k DA =a ，所以直线DA 为y =a x -2a ，将x =a 代入直线DA 可得圆心为D a ,-a 2 ，r D =AD =2a -a2+0+a 2 2=a 2+a 4，所以所求的圆的标准方程为x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4①；以OB 为直径的圆的圆心C 0,1 ，半径为1，则⊙C 的方程为x 2+y -1 2=1②，①-②可得-2ax +2a 2+1 y =0，即y =aa 2+1x 为⊙C 与⊙D 的公共弦所在直线的方程，将y =a a 2+1x 代入⊙C 可得1+aa 2+12x 2-2a a 2+1x =0，因为交点P 在第一象限，所以x ≠0，所以x =2a 2+1a+aa 2+1，令m =a 2+1a =a +1a ≥2，(当且仅当a =1时取等号)则1m =aa 2+1所以交点P 的横坐标x =2m +1m ,m ≥2由对勾函数可得y =m +1m 在2,+∞ 内单调递增，所以当m =2时，y =m +1m取得最小值，为52，所以交点P 的横坐标的最大值为x =252=45故答案为：x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4；45【点睛】关键点睛：本题的关键是求出交点P 的横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1后，利用换元法、构造函数法，结合对勾函数的单调性进行解题.4.(2023秋·广东·高三校联考阶段练习)数学家康托(Cantor )在线段上构造了一个不可数点集--康托三分集.将闭区间0,1 均分为三段，去掉中间的区间段13,23，余下的区间段长度为a 1；再将余下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为a 2.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列a n 表示第n 次操作后余下的区间段长度.(1)a 4=；(2)若∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，则实数λ的取值范围是.【答案】1681； 503,+∞ .【分析】由题意直接求出a 1，a 2，a 3，a 4.归纳出数列a n 为等比数列，求出a n =23n.利用分离常数法得到λ≥n 2⋅23n -4.记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，判断出单调性，求出g 5 =503最大，即可求出λ的取值范围.【详解】由题意可知：a 1=23，a 2=a 1×23=232，a 3=a 2×23=233，a 4=a 3×23=234.所以a 4=1681.所以数列a n 为首项a 1=23，公比q =23的等比数列，所以a n =a 1×q n -1=23n.因为∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，且a 4=1681，所以λ≥n 2⋅23n⋅8116=n 2⋅23n -4恒成立，只需λ≥n 2⋅23n -4max记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，显然，g n >0.所以g n +1g n =n +1 2⋅23 n +1-4n 2⋅23n -4=2n +1 23n2.令g n +1 g n ≤1，即2n +1 23n2≤1，即n 2-4n -2≥0，解得：n ≥2+6.因为n ∈N ∗，所以n ≥2+6，可以取包含5以后的所有正整数，即n ≥5以后g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗递减.而g 1 =12⋅231-4=278,g 2 =22⋅232-4=9,g 3 =32⋅233-4=812,g 4 =42⋅234-4=16,g 5 =52⋅235-4=503，所以g 1 <g 2 <g 3 <g 4 <g 5 .综上所述：当n =5时，g 5 =503最大.所以λ≥503，所以实数λ的取值范围是503,+∞ .故答案为：1681；503,+∞.【点睛】求数列最值的方法：(1)利用函数单调性求出最值；(2)利用数列的性质求出最大项或最小项.5.(2023·广东湛江·统考一模)已知函数f x =2x +1，记f 2x =f f x =22x +1 +1=4x +3为函数f x 的2次迭代函数，f 3x =f f f x =42x +1 +3=8x +7为函数f x 的3次迭代函数，⋯，依次类推，f nx =f f f ⋅⋅⋅f x ⋅⋅⋅ n 个为函数f x 的n 次迭代函数，则f nx =；f 10032 除以17的余数是．【答案】 2n x +1 -1 0【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前n 项和公式即可推出f nx 的表达式；第二空，将f 10032 化为33×17-125-1，利用二项式定理展开，化简即可求得答案.【详解】由题意，f nx =2nx +2n -1+2n -2+⋅⋅⋅+20=2nx +1-2n1-2=2n x +1 -1，所以f 10032 =33×2100-1=33×1625-1=33×17-1 25-1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517-1 -1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517 -34=1733C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2又33C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2为正整数，所以f 10032 除以17的余数为0，故答案为：2n x +1 -1;0【点睛】关键点睛：解答本题中函数迭代问题，要结合题设找到迭代规律，即可求出函数表达式，解决余数问题的关键在于将f 10032 利用二项式定理展开化简转化为17的倍数的形式，即可求得答案.6.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1m >0,n >0 有公共焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 c >0 ，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，点P 为两曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2=60°，则1e 21+3e 22=；I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，且GP ⋅IP =0，x 轴上点A ,B 满足AI =λIP ，BG =μGP ，则λ2+μ2的最小值为．【答案】 4 1+32【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出PF 1 ,PF 2 ，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；第二空：由I 为△F 1PF 2的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出λ =e 1及μ =e 2，代入λ2+μ2中利用基本不等式求最值即可.【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为F 1F 2 =2c ，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：PF 1 -PF 2 =2m ，由椭圆的定义：PF 1 +PF 2 =2a ，可得：PF 1 =m +a ,PF 2 =a -m ，又∠F 1PF 2=60°，由余弦定理得：PF 12+PF 2 2-PF 1 ⋅PF 2 =FF 2 2=4c 2，即m +a 2+a -m 2-m +a ⋅a -m =4c 2，整理得：a 2+3m 2=4c 2，所以：a 2c 2+3m 2c 2=4⇒1e 21+3e 22=4；②I 为△F 1PF 2的内心，所以IF 2为∠PF 1F 2的角平分线，则有PF 1 AF 1=IP AI，同理：PF 2AF 2=IP AI，所以PF 1 AF 1 =PF 2 AF 2=IP AI，所以IP AI=PF 1 +PF 2 AF 1 +AF 2=2a 2c =1e 1，即AI =e 1IP ，因为AI =λIP，所以AI =λ IP ，故λ =e 1，I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，即F 1G 为∠PF 1B 的角平分线，则有GB PG=BF 2 PF 2=BF 1 PF 1，又BF 2 ≠BF 1 ，所以BGPG =BF 1 -BF 2PF 1 -PF 2=2c2m =e 2，即BG =e 2GP ，因为BG =μGP ，所以BG =μ GP ，故μ =e 2，所以λ2+μ2=e 21+e 22=14e 21+e 22 1e 21+3e 22=141+3+3e 21e 22+e 22e 21≥144+23e 21e 22⋅e 22e 21=1+32，当且仅当3e 21e 22=e 22e 21⇒e 2=3e 1时，等号成立，所以λ2+μ2的最小值为1+32，故答案为：4，1+32.【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，(1)直接法：由题意知道a ,c 利用公式求解即可；(2)一般间接法：由题意知道a ,b 或b ,c 利用a ,b ,c 的关系式求出a ,c ，在利用公式计算即可；(3)齐次式方程法：建立关于离心率e 的方程求解.7.(2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，⋯，往里第n 个正方形为A n B n C n D n ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477)．【答案】5007294【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n 项和公式进行求解.【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，所以A 2B 1=23，B 2B 1=13,由勾股定理有：A 2B 2=A 2B 1+B 1B 2=232+132=53，设第n 个正方形A n B n C n D n 的边长为l n ，则l 1=1，l 2=23l 12+13l 1 2=53l 1，⋯⋯，l n =23l n -12+13l n -1 2=53l n -1，所以l n =53n -1l 1=53n -1，所以第7个正方形的周长是4l 7=4×536=4×5336=4×125729=500729，第n 个正方形的面积为ln 2=532n -2=59n -1，则第1个正方形的面积为l 12=59=1，则第2个正方形的面积为l 22=591=59，则第3个正方形的面积为l 32=59 2，⋯⋯则第n 个正方形的面积为l n 2=59n -1，前n 个正方形的面积之和为S n =1+591+⋯+59n -1=1-59 n1-59=941-59n，当n =1时，S 1=941-591=1，当n =2时，S 2=941-592=149，当n =3时，S 3=941-593=15181，当n =4时，S 4=941-594=1484729>2，所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．故答案为：500729，4.8.(2023春·云南曲靖·高三宣威市第三中学校考阶段练习)△ABC 中，AB =AC =3,BC =2，沿BC 将△ABC 折起到△PBC 位置，P 点不在△ABC 面内，当三棱锥P -ABC 的体积最大时，三棱锥P -ABC 的外接球半径是；当PA =2时，三棱锥P -ABC 的外接球表面积是.【答案】654 15815π【分析】根据图形，得出面ABC 外接圆的半径为r ，而后利用勾股定理求出三棱锥P -ABC 的外接球半径；结合余弦定理，二倍角公式以及同角关系，求出OE ，再由勾股定理得出R 2，进而求出三棱锥P -ABC 的外接球表面积.【详解】由题知，取BC 中点D ，连接AD ，PD ，设△ABC 的外接圆的圆心为E ，△PBC 的外接圆的圆心为F ，三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，连接OE ，OF 如图所示，要使三棱锥P -ABC 的体积最大时，即要使得点P 到平面ABC 的距离最大，只有当平面ABC ⊥平面PBC 时，体积最大，即点P 到BC 的距离最大，三棱锥体积最大.此时，四边形OEDF 是正方形，假设△ABC 外接圆的半径为r ，则在△BDE 中，由勾股定理得：r 2-1+r =AD =22，解得r =928，所以OE =DF =DE =r 2-1=728，∴R =OE 2+r 2=654.当PA =2时，由上述可知，结合余弦定理cos ∠EDF =8+8-22×22×22=78，由二倍角公式cos ∠ODE =154，∴tan ∠ODE =1515，∴OE =1515×728=730120，∴R 2=OE 2+r 2，∴三棱锥P -ABC 的外接球表面积为S =4πR 2=158π15.故答案为：654；158π15.9.(2023春·云南·高三校联考开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M ，N 的距离之比为定值λ(λ≠1,λ>0)的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0),N (4,0)，点P 满足|PM ||PN |=12．则点P 的轨迹方程为；在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA =3,BC =6,AC =2AB ，该三棱锥体积的最大值为．【答案】 (x +4)2+y 2=16 12【分析】利用求点的轨迹方程的步骤及两点间的距离公式即可求解；根据已知条件及阿波罗尼斯圆的特点，结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】设P (x ,y ),|PM ||PN |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，所以x 2+8x +y 2=0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16；三棱锥的高为SA =3，当底面△ABC 的面积最大值时，三棱锥的体积最大，BC =6，AC =2AB ，取BC 靠近B 的一个三等分点为坐标原点O ，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，不妨取B (-2,0),C (4,0)，由题设定义可知A (x ,y )的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16，所以A 在圆(x +4)2+y 2=16的最高点处(-4,4)，S △ABC =12×6×4=12，此时，V S -ABC max =13×3×12=12．故答案为：(x +4)2+y 2=16；12.【点睛】解决此题的关键是第一空主要利用求点的轨迹方程的步骤即可；第二空要使该三棱锥体积的最大值，只需要将问题转化为求底面△ABC 的面积最大值，再利用阿波罗尼斯圆的特点即可.10.(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知抛物线E ：x 2=2py p >0 的焦点为F ，现有不同的三点A ，B ，C 在抛物线E 上，且AF +BF +CF =0，AF +BF +CF=12，则p 的值是；若过点P 1,-2 的直线PM ，PN 分别与抛物线E 相切于点M ，N ，则MN =.【答案】 4172##8.5【分析】根据向量的坐标运算化简可得y A +y B +y C =32p ，再利用抛物线的定义求出p ，根据切线的方程可求出直线MN 的方程，根据直线过焦点利用弦长公式y 1+y 2+p 求解.【详解】设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),F 0,p2，则AF +BF +CF =-x A -x B -x C ,p 2-y A +p 2-y B +p2-y C =0,∴p 2-y A +p 2-y B +p 2-y C =0，即y A +y B +y C =32p ，又AF +BF +CF =y A +p 2+y B +p 2+y C +p 2=32p +32p =3p =12，解得p =4.设M (x 1,y 2),N (x 2,y 2)，由x 2=8y 可得y =x4，则k PM =x 14,k PN =x 24，所以直线PM 的方程为y -y 1=x14(x -x 1),即x 1x =4(y +y 1)①，同理直线PN 的方程为x 2x =4(y +y 2)②由直线均过点P 可得x 1=4(-2+y 1)，x 2=4(-2+y 2)，即直线MN 的方程为x =4(-2+y )，过焦点F (0,2)，联立x 2=8y x =4(-2+y ) ，消元得2y 2-9y +8=0，所以y 1+y 2=92，∴MN =y 1+y 2+p =92+4=172，故答案为：4；17211.(2023·安徽淮北·统考一模)已知双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，则其方程为，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左右焦点，E 为右顶点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(其中点A 在第一象限)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME -NE 的取值范围是．【答案】 x 24-y 212=1 -433,433【分析】①将点代入方程中求出λ，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴切于双曲线的右顶点E ，设直线AB 的倾斜角为θ，可用θ表示ME -NE ，根据A ,B 两点都在右支上得到θ的范围，利用θ的范围可求得ME -NE 的取值范围【详解】①由双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，所以52-36=λ⇒λ=2所以方程为x 24-y 212=1②如图：设△AF 1F 2的内切圆与AF 1,AF 2,F 1F 2分别切于H ,D ,G ，所以|AH |=|AD |,|HF 1|=|GF 1|,|DF 2|=|GF 2|，所以|AF 1|-|AF 2|=|AH |+|HF 1|-|AD |-|DF 2|=|HF 1|-|DF 2|=|GF 1|-|GF 2|=2a ，又|GF 1|+|GF 2|=2c ，所以|GF 1|=a +c ,|GF 2|=c -a ，又|EF 1|=a +c ,|EF 2|=c -a ，所以G 与E (a ,0)重合，所以M 的横坐标为a ，同理可得N 的横坐标也为a ，设直线AB 的倾斜角为θ.则∠EF 2M =π-θ2，∠EF 2N =θ2，|ME |-|NE |=c -a tan π-θ2-c -a tanθ2=c -a ⋅sin π2-θ2 cos π2-θ2 -sin θ2cos θ2=c -a ⋅cos θ2sin θ2-sin θ2cos θ2 =(c -a )⋅cos 2θ2-sin 2θ2sin θ2⋅cos θ2=c -a 2cos θsin θ，当θ=π2时，|ME |-|NE |=0，当θ≠π2时，由题知，a =2.c =4.ba=3.因为A ,B 两点在双曲线的右支上，∴π3<θ<2π3，且θ≠π2，所以tan θ<-3或tan θ>3，∴-33<1tan θ<33.且1tan θ≠0，ME -NE =4-2 ⋅2tan θ=4tan θ∈-433,0 ∪0,433，综上所述，|ME |-|NE |∈-433,433.故①答案为：x 24-y 212=1;-433,433【点睛】关键点点睛：第一问相对简单，代点求出即可；第二问难度较大，主要根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴同时切于双曲线的右顶点E ,并将ME -NE 用直线AB 的倾斜角θ表示出来是解题关键.12.(2023春·重庆·高三统考开学考试)定义：若A ，B ，C ，D 为球面上四点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则把以EF 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”.已知A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上四点，AB =CD =23，则AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围为；若A ，B ，C ，D 不共面，则四面体ABCD 体积的最大值为.【答案】 0,2 4【分析】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，则由题可知E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，据此即可求出EF 范围；根据V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d (d 为点A 到平面CDE 距离，)，求出S △CDE ,d 的最大值即可得体积最大值.【详解】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，∴OA =OC =2.∵AB =CD =23，且E ,F 分别是AB ,CD 的中点，∴OE ⊥AB ，OE ⊥CD ，且AE =CF =3，∴OE =OF =1，则E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，若以EF 为直径作球，则0<EF ≤OE +OF =2，即AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]；∵E 是AB 中点，∴V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d ，d 为点A 到平面CDE 距离，d ≤AE =3，又S △CDE =12CD ⋅h ，h 为点E 到CD 距离，h ≤EF ≤2，∴V A -BCD ≤23×23×22×3=4，当且仅当E ,O ，F 三点共线，且AB ⊥CD 时，等号成立.故答案为：(0，2]；4.【点睛】本题关键是根据已知条件确定E 和F 的轨迹，数形结合可得EF 的范围；根据E 是AB 中点，则A 与B 到平面CDE 的距离相等，据此将三棱锥A -BCD 的体积转化为三棱锥A -CDE 体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.13.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，过点F 作倾斜角为θ(θ为锐角)的直线交抛物线于A ，B 两点，如图，把平面ADF 沿x 轴折起，使平面ADF ⊥平面BDF ，则三棱锥A -BDF 体积为；若θ∈π6,π3，则异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为．【答案】4377,155【分析】根据抛物线焦点弦的性质可得AF =p 1-cos θ，BF =p1+cos θ，进而根据面面垂直即可求三棱锥的高，进而利用体积公式即可求解，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角就可求解异面直线的夹角.【详解】过B 作BM ⊥x ,BN ⊥准线，垂足为M ,N ,在Rt △BMF 中，MF =BF cos θ，又BN =BF =DF -MF =p -BF cos θ⇒BF =p 1+cos θ，MB =BF sin θ=p sin θ1+cos θ同理可得，AF =p1-cos θ过A 作AH ⊥x 于H ,由于平面ADF ⊥平面BDF ，且交线为DF ，AH ⊂平面ADF ,所以AH ⊥平面BDF ,且AH =AF sin θ=p sin θ1-cos θ，故三棱锥的体积为13S △BDF AF =13×12DF BM AH =16p p sin θ1+cos θp sin θ1-cos θ=p 36=86=43，AD =p 1-cos θ 2+p sin θ1-cos θ2=p 1-cos θ1+sin 2θ，BF =p1+cos θ且MB =p sin θ1+cos θ，FH =p cos θ1-cos θ，所以建立如图所示的空间直角坐标系，B p 2-p cos θ1+cos θ,-p sin θ1+cos θ,0 ,A p 2+p cos θ1-cos θ,0,p sin θ1-cos θ，p =2即B 1-cos θ1+cos θ,-2sin θ1+cos θ,0 ,A 1+cos θ1-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ，D -1,0,0 ,F 1,0,0 ,DA =21-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ,BF =2cos θ1+cos θ,2sin θ1+cos θ,0 ,DA ⋅BF =21+cos θ 2cos θ1-cos θ =4cos θsin 2θ所以cos DA ,BF =DA ⋅BFDA BF =4cos θsin 2θp 1-cos θ1+sin 2θp 1+cos θ=cos θ1+sin 2θ=1-sin 2θ1+sin 2θ=-1+21+sin 2θ，当θ∈π6,π3时，sin θ∈12,32 ⇒sin 2θ∈14,34 ⇒1+sin 2θ∈54,74 ，所以cos DA ,BF =-1+21+sin 2θ∈77,155 ，由于DA ,BF为锐角，所以异面直线AD ，BF 所成角的角等于DA ,BF ，故异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为77,155故答案为：43，77,155【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用14.(2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知数列a n 满足：①a 1=5；②a n +1=a n +2,n 为奇数3a n +2,n 为偶数 .则a n 的通项公式a n =；设S n 为a n 的前n 项和，则S 2023=.(结果用指数幂表示)【答案】 a n =3n +32-4,n 为奇数 3n +22-2,n 为偶数2×31013-6079【分析】当n 为奇数时令n =2k -1,k ∈N *可得a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时令n =2k ,k ∈N *，可得a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，即可得到a 2k -1+4 是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】当n 为奇数时a n +1=a n +2，令n =2k -1,k ∈N *，则a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时a n +1=3a n +2，令n =2k ,k ∈N *，则a 2k +1=3a 2k +2=3a 2k -1+2 +2=3a 2k -1+8，则a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，当k=1时a1+4=9，所以a2k-1+4是以9为首项，3为公比的等比数列，所以a2k-1+4=9×3k-1=3k+1，所以a2k-1=3k+1-4，则a2k=a2k-1+2=3k+1-4+2=3k+1-2，当n为奇数时，由n=2k-1,k∈N*，则k=n+12，所以a n=3n+12+1-4=3n+32-4，当n为偶数时，由n=2k,k∈N*，则k=n2，所以a n=3n2+1-2=3n+22-2，所以a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，所以S2023=a1+a3+⋯+a2023+a2+a4+⋯+a2022=32+33+⋯+31013-4×1012+32+33+⋯+31012-2×1011=321-310121-3-4×1012+321-310111-3-2×1011=2×31013-6079故答案为：a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，2×31013-607915.(2023秋·河北张家口·高三统考期末)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，c=3b，则△ABC面积的最大值是；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的范围为．【答案】 3；34,2 .【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出cos A，再表示出sin A，再利用S△ABC=12bc sin A可得答案；对于第二空，利用r=2S△ABCabc，R=12⋅asin A可得答案.【详解】因a，b，c在三角形中，则由三角形三边关系可得c+b=4b>4c-b=2b<4⇒1<b<2，又利用余弦定理有：cos A=b2+c2-a22bc =10b2-166b2，又cos2A+sin2A=1，sin A>0，则sin A=1-cos2A=1-100b4+256-320b236b4=4-b4+5b2-43b2.得S△ABC=12bc sin A=2-b4+5b2-4=2-b2-522+94≤3，当且仅当b2=52，即b=102时取等号.则△ABC面积的最大值是3；对于第二空，因S△ABC=12a+b+cr，则r=2S△ABCa+b+c=bc sin A4+4b=3b2sin A4+4b，又asin A=2R⇒R=a2sin A=2sin A，则rR=6b24+4b=32⋅b21+b=32⋅1+b-121+b=32b+1+1b+1-2，因1<b<2，则2<b+1<3.令f x =x+1x，其中x∈2,3，因f x =x2-1x2>0，则f x 在2,3上单调递增，故52<b+1+1b+1<103，得rR∈34,2.故答案为：3；3 4 ,2.16.(2023秋·河北保定·高三统考期末)定义在R上的两个函数f x 和g x ，已知f x +g1-x=3，g x +f x-3=3．若y=g x 图象关于点1,0对称，则f0 =，g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=．【答案】 3 0【分析】①根据题意，利用方程法得到f x =f-2-x，通过赋值得到f0 =f-2，根据y=g x 的图象关于点1,0对称得到g1-x+g1+x=0，即可得到f x -g1+x=3，再利用方程法得到f x +f x-2=6，令x=0，得到f0 +f-2=6，然后求f0 即可；②利用方程法得到g x =-g x-2，整理可得g x =g x-4，得到4是g x 的一个周期，然后根据g x =-g x-2得到g1 +g2 +g3 +g4 =0，最后再利用周期求g1 +g2 +g3 +⋯+g1000即可.【详解】由g x +f x-3=3可得g1-x+f-2-x=3，又f x +g1-x=3，所以f x =f-2-x，令x=0，所以f0 =f-2；因为y=g x 的图象关于点1,0对称，所以g1-x+g1+x=0，又f x +g1-x=3，所以f x -g1+x=3，因为g x +f x-3=3，所以g1+x+f x-2=3，f x +f x-2=6，令x=0，所以f0 +f-2=6，则f0 =3；因为f x -g1+x=3，所以f x-3-g x-2=3，又g x +f x-3=3，所以g x =-g x-2，g x-2=-g x-4，则g x =g x-4，4是g x 的一个周期，因为g3 =-g1 ，g4 =-g2 ，所以g1 +g2 +g3 +g4 =0，因为g x 周期是4，所以g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=0.故答案为：3，0.17.(2023秋·江苏·高三统考期末)已知数列a n､b n满足b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k其中k∈N*，b n 是公比为q的等比数列，则a n+1a n=(用q表示)；若a2+b2=24，则a5=.【答案】 q2 1024【分析】根据已知得出a k=b2k-1，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，即可得出a n+1a n=q2，根据已知得出a2=b3，可得到b1q1+q=24，根据已知得出a3=b2,b5=a3，结合条件即得.【详解】∵n=2k-1时，b n=a n+12，即a k=b2k-1，k∈N*，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，∵b n是公比为q的等比数列，∴b2n+1b2n-1=q2，即a n+1a n=q2；∵q2>0，∴a n中的项同号，∵n=2k时，b n=a n+1，∴a n+1≥0，则a n中的项都为正，即a n>0，∴b n=a n+12>0，∴q>0，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a2=b3，∴a2+b2=b2+b3=24，∴b1q1+q=24，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a3=b2,b5=a3，∴b22=b5，即b21q2=b1q4，∴b1=q2，∴q31+q=24,q4-16+q3-8=0，解得q=2，∴a5=b24=q10=1024.故答案为：q 2；1024.18.(2023秋·山东潍坊·高三统考期中)在△ABC 中，点D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，且AD =λAC ，则实数λ的取值范围为；若△ABC 的面积为1，当BC 最短时，λ=.【答案】 0,43 2105##2510【分析】过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，由题设易得BD =2DC 、AC =EC 、△ADB ∼△EDC ，在△ACE 中应用三边关系求λ的取值范围，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2，由三角形面积公式得b 2sin2θ=1，且AE =2AC ⋅cos θ得cos θ=3λ4，进而可得b 2=83λ16-9λ2，应用余弦定理得到BC 关于λ的表达式，结合其范围求BC 最小时λ对应值即可.【详解】由△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，即BD =2DC ，如上图，过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，又AD 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠CAE =∠AEC ，即AC =EC ，且△ADB ∼△EDC ，故ED AD=CD BD =12，若AC =EC =b ，又AD =λAC ，则AD =λb 且λ>0，ED =λb2，△ACE 中，AC +EC =2b >AE =3λb 2，可得λ<43，故0<λ<43；由角平分线性质知：S △ABD S △ACD =ABAC =2，则AB =2AC =2b ，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2 ，则S △ABC =12AB ⋅AC sin2θ=b 2sin2θ=1，又AE =2AC ⋅cos θ，即3λb 2=2b cos θ，则cos θ=3λ4，故sin θ=16-9λ24，所以b 2sin2θ=2b 2sin θcos θ=3λb 216-9λ8=1，可得b 2=83λ16-9λ2，由BC 2=5b 2-4b 2cos2θ=9b 2-8b 2cos 2θ=12(2-λ2)λ16-9λ2=12⋅(λ2-2)2-9(λ2-2)2-20(λ2-2)-4，令t =1λ2-2∈-92,-12 ，则BC 2=12⋅1-9-20t-4t 2=12-141t+522-16，所以t =-52时BC 2min =12×14=3，即BC min =3，此时λ2=85，即λ=2105.故答案为：0<λ<43，2105.【点睛】关键点点睛：注意过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，应用三角形三边关系求参数范围，根据已知条件得到BC 关于λ的表达式是求最值的关键.19.(2023秋·山东德州·高三统考期末)如图所示，已知F 1、F 2分别为双曲线x 24-y 212=1的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，则∠AF 2O 的取值范围为；记△AF 1F 2的内切圆O 1的面积为S 1，△BF 1F 2的内切圆O 2的面积为S 2，则S 1+S 2的取值范围是．【答案】π3,2π3 8π,403π【分析】分析可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，将直线AB 的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出m 的取值范围，可求得∠AF 2O 的取值范围；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，分析可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，推导出圆O 1、圆O 2的半径r 1、r 2满足r 1r 2=4，求得r 1∈233,23 ，利用双勾函数的单调性可求得S 1+S 2的取值范围.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，在双曲线x 24-y 212=1中，a =2，b =23，则c =a 2+b 2=4，故点F 24,0 ，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意，所以，直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立x =my +43x 2-y 2=12可得3m 2-1 y 2+24my +36=0，由题意可得3m 2-1≠0Δ=242m 2-4×36×3m 2-1 >0 ，解得m 2≠13，由韦达定理可得y 1+y 2=-24m 3m 2-1，y 1y 2=363m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 +8=-24m 23m 2-1+8=-83m 2-1>0，可得m 2<13，x 1x 2=my 1+4 my 2+4 =m 2y 1y 2+4m y 1+y 2 +16=-12m 2+163m 2-1>0，可得m 2<13，所以，-33<m <33，且α∈0,π 当-33<m <0时，tan α=1m ∈-∞,-3 ，此时α∈π2,2π3，当m =0时，AB ⊥x 轴，此时α=π2，当0<m <33时，tan α=1m ∈3,+∞ ，此时α∈π3,π2 ，综上，π3<α<2π3，不妨设点A 在第一象限，则∠AF 2O =α∈π3,2π3；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1G ，F 2G =F 2N ，所以，AF 2 +F 1F 2 -AF 1 =AN +F 2N +F 1G +F 2G -AM +F 1M =F 2N +F 2G =2F 2G =2c -2a ，则F 2G =c -a =2，所以点G 的横坐标为4-2=2.故点O 1的横坐标也为2，同理可知点O 2的横坐标为2，故O 1O 2⊥x 轴，故圆O 1和圆O 2均与x 轴相切于G 2,0 ，圆O 1和圆O 2两圆外切.在△O 1O 2F 2中，∠O 1F 2O 2=∠O 1F 2G +∠O 2F 2G =12∠AF 2F 1+∠BF 2F 1 =90°，O 1O 2⊥F 2G ，∴∠GO 1F 2=∠F 2O 1O 2，∠O 1GF 2=∠O 1F 2O 2=90°，所以，△O 1GF 2∽△O 1F 2O 2，所以，O 1G O 1F 2=O 1F 2 O 1O 2，则O 1F 2 2=O 1G ⋅O 1O 2 ，所以F 2G 2=O 1F 2 2-O 1G 2=O 1G ⋅O 1O 2 -O 1G 2=O 1G ⋅O 2G ，即c -a 2=r 1⋅r 2，则r 1⋅r 2=4，由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1=12∠AF 2F 1∈π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=2tan ∠O 1F 2F 1∈233,23，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+16r 21，其中r 1∈233,23 ，令f x =x +16x ，其中x ∈43,12 ，则f x 在43,4 单调递减，在4,12 单调递增.因为f 4 =8，f 43=f 12 =403，则当x ∈43,12 时，f x ∈8,403 ，故S 1+S 2=πr 21+16r 21∈8π,40π3 .故答案为：π3,2π3；8π,40π3.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.20.(2023春·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习)如图所示，一个平面内任意两两相交但不重合的若干条直线，直线的条数与这些直线将平面所划分的区域个数满足如下关系：1条直线至多可划分的平面区域个数为2；2条直线至多可划分的平面区域个数为4；3条直线至多可划分的平面区域个数为7；4条直线至多可划分的平面区域个数为11；一般的，n n ∈N * 条直线至多可划分的平面区域个数为；在一个平面内，对于任意两两相交但不重合的若干个圆，类比上述研究过程，可归纳出：n 个圆至多可划分的平面区域个数为.【答案】 n 2+n +22n 2-n +2【分析】根据当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，推导出a n =a n -1+n n ≥2 ，利用累加法求得a n ；利用类比的方法可求得n 个圆至多可划分的平面区域个数.【详解】当这些直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，已知a 1=2,a 2=4，当n ≥2时，因为第n 条直线l 与前n -1条直线至多新增n -1个交点，且新增的这n -1个交点均在l 上，按沿l 的方向向量方向排布将这n -1个交点依次记为A 1,A 2,⋯，A n -1，对于线段A m -1A m m ∈N * ，且2≤m ≤n -1 ，和以A 1和A n -1为端点且不经过A 2,A 3⋯,A n -2的两条射线，均能将前n -1条直线所划分的区域一分为二，故将新增n 个区域，故a n =a n -1+n n ≥2 ，故a n =a 1+a 2-a 1 +a 3-a 2 +⋯+a n -a n -1 =2+2+3+⋯+n =1+n n +1 2=n 2+n +22，故n 条直线至多将平面划分的区域个数为n 2+n +22；同理，当这些圆两两相交，且任意三个圆均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 个圆可划分的平面区域个数为b n ，已知b 1=2,b 2=4，当n ≥2时，因为第n 个圆C 与前n -1个圆至多新增2n -1 个交点，且新增的这2n -2个交点均在C 上，按沿C 的逆时针方向排布将这2n -2个交点依次记为B 1,B 2,⋯,B 2n -2，对于弧B k -1Bk (k ∈N *，且2≤k ≤2n -2)，和弧B 2n -2B 1，每一段弧均能将前n -1个圆所划分的区域一分为二，故将新增2n -2个区域，故有b n =b n -1+2n -2n ≥2 ，故b n =b 1+b 2 -b 1 +b 3-b 2 +⋯+b n -b n -1=2+2+4+⋯+2n -2 =2+n n -1 =n 2-n +2，故n 个圆至多可划分的平面区域个数为n 2-n +2.故答案为：n 2+n +22;n 2-n +2.【点睛】关键点点睛：确定当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，关键点就是要推导出当增加一条直线时新增的区域个数，从而得到a n =a n -1+n n ≥2 .21.(2023·山东青岛·统考一模)设函数f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足f 0 =1，f 1 =0，对任意的x ，y ∈Z 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则f 3 =；f 12+22+⋅⋅⋅+20232f 12+f 22 +⋅⋅⋅+f 20232=．【答案】 011011【分析】由f x +y +f x -y =2f x f y 结合已知函数值，通过代入特殊值计算f 3 ；推导出函数f x 周期T =4，通过已知函数值，分析f 12+22+⋅⋅⋅+20232 f 12 +f 22 +⋅⋅⋅+f 20232中自变量的数据特征求值.【详解】令x =y =1，f (2)+f (0)=2f 2(1)，∴f 2 =-1，。
2021年高考数学三轮复习试题汇编 专题4 数列、推理与证明 第2讲 推理与证明(A卷)理(含解析)
2021年高考数学三轮复习试题汇编专题4 数列、推理与证明第2讲推理与证明（A卷）理（含解析）一、选择题（每题5分，共25分）1. (江西省新八校xx学年度第二次联考·11)已知数列为依它的前10项的规律，则应为（）A. B. C. D.2. ( xx`临沂市高三第二次模拟考试数学（理）试题·10)若对于定义在R上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“特征函数”.下列结论中正确的个数为（）①是常数函数中唯一的“特征函数”；②不是“特征函数”；③“特征函数”至少有一个零点；④是一个“特征函数”.A.1B.2C.3D.43．（xx·陕西省安康市高三教学质量调研考试·12）对于函数为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）4.(xx·北京市东城区综合练习二·8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（）（A）（B）（C）（D）5．(xx·漳州市普通高中毕业班适应性考试·9)对于一个有限数列，的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中．若一个99项的数列（的蔡查罗和为1000，那么100项数列的蔡查罗和为（）A．991 B．992 C．993 D．999二、非选择题（75分）6．(xx·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·13)设为正整数，，计算得，，观察上述结果，可推测一般的结论为。
7．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1. 类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝▲ _．8．(xx·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·16)将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为．9.（xx.成都三诊·15）10．（xx ·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·15）已知数列满足．定义：使乘积为正整数的叫做“易整数”．则在内所有“易整数”的和为________．11．(xx.绵阳市高中第三次诊断性考试·15)用｜S ｜表示集合S 的元素个数，由n 个集合为元素组成的集合称为“n 元集”，如果集合A, B, C 满足为最小相交“三元集”．给出下列命题：①集合｛1，2}的非空子集能组成6个目“二元集”②若集合M 的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，则3:③集合（1，2． 3． 4）的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有16个书④若集合｜M ｜＝n ，则它的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有个．其中正确的命题有 ．（请演上你认为所有正确的命题序号）12. (xx ·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·21)（本小题共12分）（Ⅰ）已知正数、满足，求证：；（Ⅱ）若正数、、、满足，求证：121222323424log log log log 2a a a a a a a a +++≥-．13．（本小题满分14分）已知数列的前和，数列的通项公式．（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：；（3）若数列与中相同的项由小到大构成的数列为，求数列的前项和．14.（xx ·山西省太原市高三模拟试题二·21）15.(xx ·盐城市高三年级第三次模拟考试·23)（本小题满分10分）设123*12341()(1)(2,)n n n n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈．（1）若数列的各项均为1，求证：；（2）若对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，试证明数列是等差数列．16、(xx ·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·21)（13分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：且，求证：；（3）求证：。
高三数学三轮复习好题精选
三轮复习好题精选1．下列关于人体生理活动的叙述中，正确的是A．食物过咸时，会导致血浆渗透压降低，引起口渴B．当血糖浓度低于80～120mg／d时，人体内脂肪开始大量分解C．人体呼吸作用产生的CO2一定是有氧呼吸释放的D．部分糖尿病人若连续使用猪或牛的胰岛素治疗糖尿病，会出现严重免疫反应，其根本原因是猪或牛的胰岛素生理功能与人的胰岛素功能不同2．右图是细胞直接与内环境进行物质交换示意图，⑤处的箭头表示血液流动的方向。
分析下列说法正确的是A．若③为组织细胞，物质交换过程为：B．若③为脑细胞，⑤处的氧气浓度高于①处，而CO2的浓度相反C．若③为肝脏细胞，饭后一小时⑤处的血糖浓度低于①处D．若③为胰岛B细胞，饭后半小时⑤处的胰岛素浓度高于①处3．下列是有关某种淀粉酶的实验，处理方式及结果如下表与下图。
根据结果判断，下列叙述正确的是A．甲物质可能是淀粉酶的抑制剂B．此种淀粉酶较适合在40℃的环境下作用C．此淀粉酶在中性环境中的作用速度比碱性快D．此种淀粉酶在作用35分钟后便会失去活性4．已知每克淀粉和脂肪完全氧化分解时产生水的量分别是0.55g和1.05g。
现有A、B两种小型哺乳动物体重和年龄都相似，将它们分成数量相等的2组，每天每只消耗100g大麦种子（含65%淀粉和35%脂肪），两者在相同环境下持续实验10天，数据如下表所示：物种失水量（g/只·天）尿中尿素浓度（mmo·L-1）尿液粪便汗液呼吸物种A 15 5 50 5 3500物种B 30 15 65 10 2000为维持水分代谢平衡，每天应给两组动物中的每个动物至少各提供多少水分A．物种A为2.5g，B为47.5g B．物种A为4.5g，B为7.5gC．物种A为2.5g，B为7.5g D．物种A为12.5g，B为4.5g5、下列有关人体相关物质的叙述中，正确的是（）（1）胰岛B细胞分泌的胰高血糖素和肾上腺分泌的肾上腺素具有协同作用（2）生长激素和胰岛素均能与双缩脲试剂发生作用（3）人体内没有酪氨酸就无法合成黑色素，所以酪氨酸是必需氨基酸（4）当人体受到寒冷刺激时，垂体分泌促甲状腺激素增加A、1、2B、3、4C、1、3D、2、46．每年2月2日是“世界湿地日”，2022年的主题是“湿地和减贫”。
高三数学复习三轮复习精编模拟套题1
三轮复习精编模拟套题（一）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多 3. 若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.22±B. 22-C. 22i -D. 22i ± 4. 设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为 （A ）1010 (B) 15 (C) 31010 (D) 356. 在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( )A ．10- B ．10 C ．5- D ．57.如图所示，f i （x ）（i =1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x 1和x 2，任意λ∈［0，1］，f ［λx 1+（1－λ）x 2］≤λf （x 1）+（1－λ）f （x 2）恒成立”的只有（ ）A.f 1（x ），f 3（x ）B.f 2（x ）C.f 2（x ），f 3（x ）D.f 4（x ）8. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为（A）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题）9.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 10．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于__________. 11. 在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________. 12. 执行下边的程序框图，输出的T= .（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13. （不等式选讲选做题）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为_______. 14. （坐标系与参数方程选做题）设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和2s ()4in πρθ+=上的动点，则M 、N 的最小距离是15. (几何证明选讲选做题）如图，在正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，F Ｇ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16. （本小题满分12分）开S=0,T=0,nT>S S=S+5 n=n+2 T=T+n输出结束是否设函数()f x a b =，其中向量(2cos ,1),(cos ,3sin 2),a x b x x x R==∈ （1） 若函数()1,,;33f x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦且求 （2） 若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)()3c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象，求实数m,n 的值。
高三数学第三次模拟考试试卷 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校郓城一中等2021届高三数学第三次模拟考试试卷理〔含解析〕一、选择题1.集合A＝{x|－2≤x≤3}，函数f〔x〕＝ln〔1－x〕的定义域为集合B，那么A∩B＝〔〕A.[－2，1]B.[－2，1〕C.[1，3]D.〔1，3]【答案】B【解析】【分析】求出集合，再利用交集运算得解【详解】由得：，所以集合，又所以.应选：B【点睛】此题主要考察了集合的交集运算，属于根底题。
2.假设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，那么〔〕A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用求得z2=−1+i，再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解。
【详解】∵z1=1+i，复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴z2=−1+i，∴z1z2=1+i−1+i=(1+i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−2i2=−i应选:B【点睛】此题主要考察了复数的对称关系，还考察了复数的除法、乘法运算，属于根底题。
3.假设tanα=43，那么cos(2α+π2)=〔〕A.−2425B.−725C.725D.2425【答案】A 【解析】 【分析】由tan α=43及cos 2α+sin 2α=1可求得cos 2α=925，整理cos (2α+π2)得cos (2α+π2)=−83cos 2α，问题得解。
【详解】由{tan α=43=sinαcosαcos 2α+sin 2α=1得：cos 2α=925又cos (2α+π2)=−sin2α=−2sinα⋅cosα=−2×43cosα⋅cosα=−83cos 2α所以cos (2α+π2)=−83×925=−2425 应选：A【点睛】此题主要考察了同角三角函数根本关系及诱导公式，还考察了二倍角公式，考察计算才能，属于中档题。
4.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规那么多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉冷庐杂识写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部七巧新谱．假设用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，那么恰好取自雄鸡鸡尾〔阴影局部〕的概率为〔〕 A.14B.17C.18D.116【答案】C 【解析】 【分析】设包含7块板的正方形边长为4，其面积为16，计算雄鸡的鸡尾面积为2，利用几何概型概率计算公式得解。
高三数学解析三轮复习(学生版)
2009潞河中学高三解析几何三轮训练题1已知抛物线拱桥的顶点距水面2米，测量水面宽度为8米，当水面上升1米后，求此时水面的宽度. 2．（本小题满分14分）2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。
据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时， 身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是 一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件）， 且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空 中的最高点距水面2103米，入水处距池边4米，同时 运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的 翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
(Ⅰ)求这个抛物线的解析式；(Ⅱ)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹 为(Ⅰ)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时 距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？ 请通过计算说明理由；(Ⅲ)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？3已知定圆,16)3(:22=++y x A 圆心为A ，动圆M 过点)0,3(B ，且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点),(00y x P 为曲线C 上一点，探究直线044:00=-+y y x x l 与曲线C 是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．4. 已知点N （1，2），过点N 的直线交双曲线1222=-y x 于A 、B 两点，且)(21OB OA ON +=（1）求直线AB 的方程；（2）若过N 的直线l 交双曲线于C 、D 两点，且0=⋅，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？5. 已知点C （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足PM PM 21,0==⋅ （1）当点P 在y 轴上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在一个点H ，使得以过H 点的动直线L 被轨迹C 截得的线段AB 为直径的圆始终过原点O 。
高考三轮复习模拟考试数学试卷及答案
n(a1 2
an )
n(an 1) 2
, 得an
2Sn n
n
10. 已知双曲线
x2 a2
y2 3
1(a
0)的右焦点为F ,圆x2
y2
c2 (c为双曲线的半焦距)与双曲线C的一条渐近线交于
A, B两点, 且线段AF的中点M落在另一条渐近线上, 则双
曲线C的方程是( D )
x2 y2
x2 y2
D
E
C
A F D1
A1
B C1
所以VP ABC
1 1 2b a 32
1 ab ≤ 1 33
a2
b2 2
16 , 3
当且仅当a b 4时,
VP
ABC
取得最大值
16 3
P
此时PB AC 42 22 2 5,
所以三棱锥的表面积
S 2 124 2 142 5
A
2
2
88 5
B
C
12.
已知函数f
(
x)
2
sin
x
6
sin B cos A 0
又因为B (0, ), sin B 0,cos A 0, 所以A
2
(2) 若a 5,△ABC的面积为1,求以a, 2b, 2c为边的 △A1B1C1的面积.
(2)
依题意知S△ABC
1 bc 2
1, bc
2, 且b2
c2
5
设△A1B1C1中,内角A1, B1, C1的对边分别为a, 2b, 2c, 则
因为f
2
1
2ln
2
0, 所以排除A
因为f ( ) 0 ln 0,所以排除B, 故选C
2021-2022年高三下学期三轮复习备考模拟测试数学试题 含解析
2021-2022年高三下学期三轮复习备考模拟测试数学试题含解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．1、集合，若，则符合条件的实数a的值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42、在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、函数的大致图象是（）4、已知命题1:(0,),sin cos22pπααα∃∈+=；命题[):0,,cos1q x x x∀∈+∞+≥，则下列命题中真命题的为（）A． B． C． D．5、已知O为内一点，且由，则和的面积之比为（）A． B． C． D．6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．12B．16C．D．7、把函数()cos23sin2f x x x=的图象向右平移个单位，所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值是（）A． B． C． D．8. 某程序框图如图所示，则运行后输出结果为（）A．504B．120C．240D．2479、已知点P是抛物线上任意一点，，P到y轴的距离为d，则的最大值为（）A．12 B．11 C．10 D．910、已知(4)(4)0,0,a b aba b fab++>>=，则的最小值为（）A．8 B．16 C．20 D．2511. 已知整数数列共5项，其中，且对任意都有，则符合条件的数列个数为（）A．24 B．36 C．48 D．5212、设分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，，半径为a的圆I与的延长线线段及的延长线分别切于点，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C．3 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、点在不等式组3020220x yyx y+-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，表示的平面区域上运动，则的最大值为_____.14、在中，，面积，则BC边的长度为15、已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面是等边三角形，且有侧面底面，则四棱柱的外接球表面积为16、对任意实数表示不超过的最大整数，如，关于函数，有下列命题：①是周期函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数在区间内有两个不同的零点，其中正确的命题为（把正确答案的序号填在横线上）．三、解答题：本大题共6小题，共70 分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）已知等差数列，公差，前n项和为，且满足成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．18、（本小题满分12分）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED平面ABCD，BAD=，AD=2.（1）求证：平面FCB//平面AED；（2）若二面角A-EF-C的大小，求线段ED的长．19、(本小题满分12分）某青少年研究中心为了统计某市青少年（18岁以下）xx春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向，随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况，得到如下数据统计表（如图（1））：已知“超过2千元的青少年”与“不超过2千元的青少年”人数比恰好为2:3．（Ⅰ）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图(2)）．（Ⅱ）该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向，从“超过2千元的青少年”、“不超过2千元的青少年”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设为选取的3人中“超过2千元的青少年”的人数，求的分布列和数学期望．（Ⅲ）若以频率估计概率，从该市青少年中随机抽取15人进行座谈，若15人中“超过2千元的青少年”的人数为，求的期望.20、(本小题满分12分）已知圆过椭圆的两焦点，过且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3，过椭圆上任意一点P引圆的切线，为切点．（1）求椭圆的方程；（2）求三角形面积的取值范围．21、(本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22、(本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆内接四边形ABCD 的对角线BD 上有一点E ，满足BAE=CAD.(1) 求证：AEBACD ，AEDABC ；(2) 若AB=5，BC=5，CD=3，DA=5.5，AC=6.5，求BD 的长．23、(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点与平面坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，圆C 的参数方程为（为参数），点Q 的极坐标为．（1）写出圆C 的直角坐标方程和极坐标方程；（2）已知点P 是圆C 上的任意一点，求P ，Q 两点间距离的最小值．24、(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()()321,331f x x a x a g x x x a =-+--=-+-．（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）16、（本小题满分12分）16、（本小题满分12分）16、（本小题满分12分）16、（本小题满分12分）16、（本小题满分12分）"]j36957 905D 遝31153 79B1 禱q .TN#c640168 9CE8 鳨s。
高三数学三轮复习模拟试题
高三数学三轮复习模拟试题2020.6一、单项选择题：1、设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B I =（ ）（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--2、若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、已知双曲线)0(1222>=-b by x 的离心率为5 ，则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、已知x=π0.3，y=log π3，z=cos3，则（ ）A. z<y<xB. y<z<xC. z<x<yD. x<z<y5、在6)21(x x-的展开式中，常数项为（A ）-120 （B ）120 （C ）-160 （D ）160 6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6（B ）4（C ）3（D ）27、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110-8、若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞二、多项选择题：9、设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B.DA →与BC →C.CA →与DC →D.OD →与OB → 10、已知函数f (x )＝a －2xa ＋2x(a ∈R )是定义域上的奇函数，则f (a )的值等于( )A ．13B ．3C ．－13D.—311、某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y ^＝1.16x －30.75，以下结论正确的为( )图1 图2A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米12、等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为 A.2πB. ()12π+C. 22πD. ()22π+三、填空题：13、设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b __ __．14、在等差数列{a n }中，a 1=3，a 2+a 5=16，则数列{a n }的前4项的和为 ． 15、设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为_ ___。
高三数学第三轮复习综合测试卷一 试题
高三数学第三轮复习综合测试卷一说明：本套试卷分第一卷和第二卷两局部.第一卷60分，第二卷90分，一共150分，答题时间是120分钟.第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．设P 、Q 是两个非空集合，定义：},|),{(Q b P a b a Q P ∈∈=⨯.假设}7,6,5,4{},5,4,3{==Q P ，那么Q P ⨯中元素的个数是〔 〕A ．3B ．4C ．7D ．12 2．双曲线19)3(16)3(22=---y x 的焦点到渐近线的间隔 为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．53．{}n a 为等差数列，且+++432a a a …14314=+a ，那么此数列的前15项之和15S 等于〔 〕A ．146B ．150C ．165D ．1804．假设0)23(log )23(log <-++n m ，那么以下m ，n 的关系中不能成立的是〔 〕A ．1n m >>B ．10m n >>>C ．1m n >>D ．10n m >>>5．在正四面体的一个顶点处，有一只蚂蚁每一次都以31的概率从一个顶点爬到另一个顶点。
那么它爬行了4次又回到起点的概率是〔 〕A ．276B ．277 C ．278D ．31 6．圆2224)(:a y c x C =++,点)0,(c A ,其中0c a >>,M 是圆C 上的动点,MA 的中 垂线交MC 所在直线于P ,那么点P 的轨迹是 〔 〕A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线7．设31sin (),tan(),522πααππβ=<<-=那么tan(2)αβ-的值等于 〔 〕A ．－724B ．－247C ．724D ．2478．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，那么二面角B AD C --的 正切值等于〔 〕A ．21B ．22C ．2D ．36 9．某城对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R 〔即每销售100元征税R 元〕，假设年销售量为30－25R万件，要使附加税不少于128万元，那么R 的取值范围是〔 〕A ．[4，8]B ．[6，10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%]10．图中的每个开关都有闭合与不闭合两种可能,电路从P 到Q 接通的情况一共有〔 〕种．A ．30B ．24C ．16D ．1211．向量,a b 夹角为60,||3,||2,a b ==假设(35)()a b ma b +⊥-，那么m 的值是〔 〕A ．2332B ．4223 C ．4229 D ．2942 12．为常数），且b a a a x f b x 10()(≠>=+的图象经过点(1,1)，且1)0(0<f ＜.记)2()],()([212112111x x fq x fx fp +=+=---〔其中21,x x 是两个不相等的正实数〕，那么 q p 与的大小关系是〔 〕A ．p q >B ．q p <C ．q p =D ．q p 2=第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.13．关于x 的不等式x a x <-的解集是{}2|>x x ，那么关于x 的不等式1<xa的解集为 ．14．9)222(-x的展开式的第7项为421，)(lim 32n n x x x x ++++∞→ 则的值为 ．15．正态总体落在区间〔0.2,+∞〕里的概率是5.0，那么相应的正态曲线)(x f 在x ＝________时，到达最高点. 16．有如下四个命题：①假设两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线，那么这两条直线也平行； ②平面α和平面β垂直的充要条件是平面α内有一条直线与平面β垂直； ③平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行； ④直线a 与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a 平行。
【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习训练试题含答案
【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习精典试题巩固训练(1)1. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为__f(x)＝x 3＋2x －1__．解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，所以f(－x)＝(－x)3－2x ＋1＝－x 3－2x ＋1，所以－f(x)＝－x 3－2x ＋1，所以f(x)＝x 3＋2x －1.2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R )．其中结论正确的个数是__1__．解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，①错误，③正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x ∈R ，只要定义域关于原点对称即可，④错误．3. 已知定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x ＋3)＝f(x)，当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，则f(2 018)＝__13__．解析：由题意，得f(x)是周期为3的函数，所以f(2 018)＝f(3×673－1)＝f(－1)．因为当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，所以f(2 018)＝f(－1)＝3－1＝13.4. 定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a b ＝（a －b ）2，则函数f(x)＝2x 2－（x 2）是__奇__函数(填“奇”或“偶”)． 解析：由题意，得f(x)＝4－x 22－（x －2）2，由4－x 2≥0且2－（x －2）2≠0，得－2≤x<0或0<x ≤2，所以（x －2）2＝|x －2|＝2－x ，所以f(x)＝4－x 22－（2－x ）＝4－x 2x ，x ∈[－2，0)∪(0，2]．因为f(－x)＝4－x 2－x＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 5. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x －a －x＋2(其中a>0，且a ≠1)．若g(2)＝a ，则f(2)＝__154__．解析：由题意得f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知f(2)＋g(2)＝a 2－a －2＋2①，f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a －2－a 2＋2②，由①②解得g(2)＝2＝a ，f(2)＝a 2－a －2＝154.6. 已知y ＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__3__．解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)＋2＝3.7. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23__． 解析：偶函数f(x)＝f(|x|)，所以f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|2x －1|<13，解得13<x<23.8. 已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x ∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1＝a 2，即a＝2.因为对称轴为直线x ＝1，且图象开口向下，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又f(x)>0恒成立，则f(x)min ＝f(－1)＝b 2－b －2>0，解得b<－1或b>2，故实数b 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．9. 对于函数y ＝f(x)(x ∈R )，给出下列命题：①在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称；②若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数；④若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称． 其中正确命题的序号是__③④__．解析：y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝1对称，①错；函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，②错；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x ＋1－1)＝f(x)，函数y ＝f(x)是周期为2的函数，③正确；由f(1－x)＝－f(x －1)可得f(－t)＝－f(t)，函数f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，④正确．10. 设函数f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__2__．解析：f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinx x 2＋1.设g(x)＝2x ＋sinx x 2＋1，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称知g(x)max ＋g(x)min ＝0，所以M ＋m ＝[g(x)＋1]max ＋[g(x)＋1]min ＝2＋g(x)max ＋g(x)min ＝2.11. 设函数f(x)＝－2x ＋a 2x ＋1＋b(a>0，b>0)． (1) 当a ＝b ＝2时，求证：函数f(x)不是奇函数；(2) 设函数f(x)是奇函数，求a 与b 的值；(3) 在(2)条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>－16的解集．解析：(1) 当a ＝b ＝2时，f(x)＝－2x ＋22x ＋1＋2， 所以f(－1)＝12，f(1)＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)不是奇函数．(2) 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得(2a －b)·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b)＝0对定义域内任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 因为a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2符合题意． 故a 与b 的值分别为1，2.(3) 由(2)可知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12(－1＋22x ＋1)． 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝12(－1＋22x 1＋1)－12(－1＋22x 2＋1)＝2x 2－2x 1（2x 1＋1）（2x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数f(x)在R上是减函数．由f(1)＝－16，f(x)>－16，得f(x)>f(1)．由函数f(x)在R 上是减函数可得x<1，所以不等式f(x)>－16的解集为(－∞，1)．12. (1) 已知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，试判断函数f(x)的奇偶性；(2) 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于一切实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．解析：(1) 因为函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ， ① 所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f(x)＝1x .② 由①②解得f(x)＝2x 2－13x .因为定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，关于原点对称，f(－x)＝2（－x ）2－13（－x ）＝－2x 2－13x ＝－f(x)， 所以函数f(x)＝2x 2－13x 是奇函数．(2) 因为定义域关于原点对称，令x ＝y ＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝0.令y ＝－x 得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．13. 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数，对定义域上的任意x 1，x 2，都有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；(3) 解不等式：f(2x 2－1)<2.解析：(1) 令x 1＝x 2＝1，所以f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，所以f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，所以0＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.令x 1＝x ，x 2＝－1，所以f[x ×(－1)]＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2) 设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2·x 1x 2－f(x 2)＝f(x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2. 因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2>1. 因为当x>1时，f(x)>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．(3) 令x 1＝x 2＝2，所以f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(4)＝2. 因为f(2x 2－1)<2＝f(4)，且函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1≠0，|2x 2－1|<4，解得－102<x<102且x ≠±22. 巩固训练(2)1. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴的交点坐标为(0，11)，则a ，b ，c 的值为__3，－12，11__．解析：由题意得⎩⎨⎧－b 2a ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－1，c ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.故a ，b ，c 的值分别为3，－12，11.2. 函数f(x)＝x 2－2x －2(x ∈[－2，2])的最小值是__－3__． 解析：因为f(x)＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3，所以函数f(x)在区间[－2，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2－2＝－3.3. 如果函数f(x)＝x 2＋px ＋q 对任意的x 均有f(1＋x)＝f(1－x)成立，那么f(0)、f(－1)、f(1)从小到大的顺序为__f(1)<f(0)<f(－1)__．解析：由题意得函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以函数在区间(－∞，1]上是减函数，所以f(1)<f(0)<f(－1)．4. 若f(x)＝x 2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝__8__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，所以f(x)＝x 2－4x ＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.5. 若f(x)＝－x 2＋(b ＋2)x ＋3，x ∈[b ，c]的图象关于直线x ＝1对称，则c ＝__2__．解析：由题意，得⎩⎨⎧－b ＋22×（－1）＝1，b ＋c 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝2，故c 的值为2. 6. 函数f(x)＝2x 2－6x ＋1在区间[－1，1]上的最小值为__－3__，最大值为__9__．7. 已知函数f(x)＝|x 2－2ax ＋b|(x ∈R )，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x ＝1对称；③f(x)有最大值|a 2－b|；④若a 2－b ≤0，则f(x)在区间[a ，＋∞)上是增函数．其中正确的序号是__④__．解析：当a ＝0时，函数f(x)为偶函数；当a ≠0时，函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数，故①错误；若f(0)＝f(2)，则|b|＝|4－4a ＋b|，所以4－4a ＋b ＝b 或4－4a ＋b ＝－b ，即a ＝1或b ＝2a －2.当a ＝1时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1；当b ＝2a －2时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝a ，故②错误；若a 2－b ≤0，则f(x)＝|(x －a)2＋b －a 2|＝(x －a)2＋b －a 2，所以函数在区间[a ，＋∞)上是增函数，此时有最小值b －a 2，故③错误，④正确．8. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在区间(－∞，－1]上单调递增，则实数a 的取值范围是．解析：当a ＝0时，函数f(x)＝1，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎨⎧a<0，－a 3－a 2a ≥－1，解得－3≤a<0，故实数a 的取值范围是[－3，0)．9. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a 2＋b)x ＋c 的图象开口向上，且f(0)＝1，f(1)＝0，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)__．解析：由题意得a>0，c ＝1，a ＋a 2＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a 2＋a)－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－34.因为a>0，所以b<－1，故实数b 的取值范围为(－∞，－1)．10. 函数y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值为__4__．解析：因为y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5＝[(x ＋1)(x ＋4)][(x ＋2)(x ＋3)]＋5＝(x 2＋5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)＋5＝(x 2＋5x ＋5－1)(x 2＋5x ＋5＋1)＋5＝(x 2＋5x ＋5)2＋4.设t ＝x 2＋5x ＋5，则y ＝t 2＋4.因为t ＝x 2＋5x ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522－54，x ∈[－3，3]，所以y ＝t 2＋4，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，29，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝0，所以y min ＝4，故y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值是4.11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1) 若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；(2) 若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，证明方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．解析：(1) 因为f(－1)＝0，所以a －b ＋c ＝0，即b ＝a ＋c. 因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2，所以当a ＝c 时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．(2) 令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2， g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2， 所以g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2.因为f(x 1)≠f(x 2)，所以g(x 1)·g(x 2)<0，所以g(x)＝0在区间(x 1，x 2)上必有一个实数根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．12. 已知函数f(x)＝ax 2－1，a ∈R ，x ∈R ，集合A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f(f(x))＝x}且A ＝B ≠，求实数a 的取值范围．解析：①若a ＝0，则A ＝B ＝{－1}；②若a ≠0，由A ＝{x|ax 2－x －1＝0}≠，得a ≥－14且a ≠0.集合B 中元素为方程a(ax 2－1)2－1＝x ，即a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝0的实数根，所以a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝(ax 2－x －1)(a 2x 2＋ax －a ＋1)＝0. 因为A ＝B ，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根或其根为ax 2－x －1＝0的根．由a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根，得a<34，故a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34； 当a 2x 2＋ax －a ＋1＝0有实数根且为ax 2－x －1＝0的根时， 因为ax 2－x －1＝0，所以ax 2＝x ＋1，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝a(x ＋1)＋ax －a ＋1＝0，解得x ＝－12a ，代入ax 2－x －1＝0得a ＝34.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 13. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，若f(1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)．(1) 求a ，b 的值；(2) 若h(x)＝2f(x ＋1)＋x|x －m|＋2m ，求h(x)的最小值． 解析：(1) 显然a ≠0，因为f(1)＝0，所以a ＋b ＋1＝0.又f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝b 2－4a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，b 2－4a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. (2) 由(1)知f(x)＝x 2－2x ＋1，h(x)＝2x 2＋x|x －m|＋2m ，即h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－mx ＋2m ，x ≥m ，x 2＋mx ＋2m ， x<m. ①若m ≥0，则h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h （m ），h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2， 即h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2m 2＋2m ，－m 24＋2m . 又2m 2＋2m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 24＋2m ＝9m 24≥0，所以当m ≥0时，h(x)min ＝－m 24＋2m ；②若m<0，则h(x)min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 6＝2m －m 212. 综上所述，h(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2m －m 24， m ≥0，2m －m 212， m<0.巩固训练(3)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n 的值只有－1和2. 2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__． 解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__． 解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当n m 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0， 解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3，解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)， 所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0， 所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4， 解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．巩固训练(4)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n的值只有－1和2.2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为． 解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当nm 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13， 所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3， 解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)， 所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0， 所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4， 解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．随堂巩固训练(5)1. 计算：（π－4）2＋π＝__4__． 解析：原式＝|π－4|＋π＝4－π＋π＝4.2. 求值：(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋10－2＝__110__．解析：原式＝9100＋53－53＋1100＝110.3. 化简：a 12b b －123a－2÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －1b a －23＝． 解析：原式＝a 12b 12b －12a －23÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －12ba 12－23＝(a 12＋23·b 12＋12)÷(a －1－12b －12－1)－23＝a 76b÷(ab)＝6a. 4. 化简：(a 23b 12)×(－3a 12b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13a 16b 56＝__－9a__． 解析：原式＝－9a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a.5. 关于x 的不等式2x 2＋x ≤4的解集为__[－2，1]__．解析：由题意得2x 2＋x ≤22，所以x 2＋x ≤2，解得－2≤x ≤1，故原不等式的解集为[－2，1]．6. 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫166－13＋3＋23－2－(1.03)0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623＝16． 解析：原式＝116＋(6－32)－13＋（3＋2）2（3）2－（2）2－⎝⎛⎭⎪⎫－668＝116＋6＋5＋26＋364＝81＋60616. 7. 给出下列等式：36a 3＝2a ；3－2＝6（－2）2；－342＝4（－3）4×2，其中一定成立的有__0__个．解析：36a 3＝a 36≠2a ，故错误；6（－2）2＝622＝322＝32≠3－2，故错误；4（－3）4×2＝434×2＝342≠－342，故错误，所以一定成立的有0个．8. 方程22x ＋3·2x －1－1＝0的解是__x ＝－1__.解析：令2x ＝t(t>0)，则原方程化为t 2＋32t －1＝0，解得t ＝12或t＝－2(舍去)，所以2x＝12，解得x ＝－1，故原方程的解是x ＝－1.9. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b>0，则a －b a ＋b＝5．10. 计算：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫5490.5＋（0.008）－23÷（0.02）－12×（0.32）12÷0.062 50.25.解析：原式＝[(827)23－(499)12＋(1 0008)23÷50×4210]÷⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＋2×2＝29.11. 化简：a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －23－23b a ×a ×3a 25a ×3a.(式中字母都是正数)解析：原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23＝a 2. 12. 解下列方程：(1) 1＋3－x 1＋3x ＝3；(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－2－x ＋1－8＝0.解析：(1) 令3x ＝t(t>0)，则原方程为1＋1t1＋t＝3，解得t ＝13或t ＝－1(舍去)，所以3x ＝13，即x ＝－1.(2) 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t(t>0)，则原方程为t 2－2t －8＝0，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝4，即x ＝－2.13. 利用指数的运算法则，解下列方程： (1) 43x ＋2＝256×81－x ； (2) 2x ＋2－6×2x －1－8＝0.解析：(1) 因为43x ＋2＝256×81－x ， 所以26x ＋4＝28×23－3x ， 所以6x ＋4＝11－3x ，所以x ＝79.(2) 因为2x ＋2－6×2x －1－8＝0， 所以4×2x －3×2x －8＝0， 所以2x ＝8，所以x ＝3.巩固训练(6)1. 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34，则a 、b 、c 的大小关系为__c<b<a__．解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 在R 上单调递减，且－13<－14<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14>⎝ ⎛⎭⎪⎫340，即a>b>1.又0<c<1，所以c<b<a. 2. 已知函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)上不单调，则实数k 的取值范围为__(－1，1)__．解析：易知函数y ＝|2x －1|在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不单调，所以k －1<0<k ＋1，解得－1<k<1.3. 已知集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N ＝__{－1}__．解析：由题意得⎩⎨⎧2x ＋1>12，2x＋1<4，解得－2<x<1.又因为x ∈Z ，所以N ＝{－1，0}，所以M ∩N ＝{－1}．4. 定义运算：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b ，则函数f(x)＝12x 的值域为__(0，1]__．解析：当x<0时，0<2x <1，此时f(x)＝2x ∈(0，1)；当x ≥0时，2x ≥1，此时f(x)＝1，所以f(x)＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x<0，1， x ≥0，其值域为(0，1]．5. 若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12__．解析：方程|a x －1|＝2a 有两个不相等的实数根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，当a>1时，如图1；当0<a<1，如图2.由图象可知当0<2a<1时，符合题意，即0<a<12.图1 图2 6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x<0，a x ， x ≥0(a>0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为__⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1__． 解析：根据单调性定义，函数f(x)为减函数应满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，3a ≥a 0，即13≤a<1.7. 设函数f(x)＝x(e x ＋ae －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a ＝__－1__． 解析：设g(x)＝e x ＋ae －x ，则f(x)＝xg(x)是偶函数．所以g(x)＝e x ＋ae －x (x ∈R )是奇函数，所以g(0)＝e 0＋ae －0＝1＋a ＝0，即a ＝－1.8. 若函数f(x)＝a x －1(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 的值为__3__．解析：易知函数f(x)是单调函数，所以当a>1时，f(2)＝2，所以a 2－1＝2，解得a ＝3，经验证符合题意；当0<a<1时，f(0)＝2，即1－1＝2，无解．所以a ＝ 3.9. 函数y ＝2x2x －1的值域为__(－∞，0)∪(1，＋∞)__．解析：由题意得2x －1≠0，解得x ≠0，所以函数的定义域为{x|x ≠0}，y ＝2x x 2x －1＝1＋12x －1，因为2x >0，所以2x －1>－1且2x －1≠0，所以12x －1∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以y ＝1＋12x －1∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，故所求的值域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．10. 设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性；(3) 求函数f(x)的值域．解析：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 由(1)可知f(x)＝3x ＋13x .设x 2＞x 1≥0，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋13x 1－3x 2－13x 2＝(3x 2－3x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1＋x 2－1. 因为y ＝3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在区间[0，＋∞)上为单调增函数．(3) 因为f(x)为偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，所以f(0)＝2为函数的最小值，故函数的值域为[2，＋∞)．11. 已知函数f(x)＝3x ，f(a ＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax －4x 的定义域为[0，1]．(1) 求实数a 的值；(2) 若函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，求实数λ的取值范围．解析：(1) 由已知得3a ＋2＝18，解得a ＝log 32.故实数a 的值为log 32.(2) 方法一：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1.因为函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g(x 1)－g(x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．方法二：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x .因为g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g′(x)＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0在区间[0，1]上恒成立，所以λ≤2·2x 在区间[0，1]上恒成立，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．12. 已知函数y ＝1＋2x ＋4x ·a 在x ∈(－∞，1]上恒大于零，求实数a 的取值范围．解析：由题意得1＋2x ＋4x ·a>0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a>－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．令f(x)＝－1＋2x 4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ≥12，则f(t)＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥12， 所以当t ＝12，即x ＝1时，函数f(t)取到最大值－34，所以a>－34，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 13. 已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1) 若a ＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有最大值3，求实数a 的值；(3) 若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，求实数a 的值．解析：(1) 当a ＝－1时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g(x)＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，因为函数g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，＋∞)上单调递减，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)，单调减区间是(－∞，－2)．(2) 令h(x)＝ax 2－4x ＋3，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ）， 因为函数f(x)有最大值3，所以函数h(x)有最小值－1，所以3a －4a ＝－1，且a>0，解得a ＝1，即当函数f(x)有最大值3时，实数a 的值为1.(3) 由指数函数的性质可知，若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，则h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R .若a ≠0，则h(x)＝ax 2－4x ＋3为二次函数，其值域不可能为R ， 所以a ＝0.随堂巩固训练(7)1. 已知a 23＝49(a>0)，则log 32a ＝__－3__．解析：因为a 23＝49(a>0)，所以a 13＝23，所以a ＝827，所以log 32827＝－3.2. (lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25＝__2__．解析：原式＝lg 2×(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.3. 2lg 5＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝__3__．解析：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2＋(lg5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.4. log 2748＋log 212－12log 242－1＝__－32__．解析：原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 212 2＝log 22－32＝－32. 5. lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝__0__．解析：原式＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.6. 12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝__12__．解析：原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12lg 10＝12.7. 已知log 37×log 29×log 49a ＝log 412，则实数a 的值为2． 解析：原等式可化为lg 7lg 3·lg 9lg 2·lg a lg 49＝－12，即lg a lg 2＝－12，所以log 2a ＝－12，所以a ＝22.8. log 2(2＋3－2－3)＝__12__． 解析：原式＝12log 2(2＋3－2－3)2＝12log 2[4－2（2＋3）（2－3）]＝12log 2(4－2)＝12log 22＝12.9. 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645＝__a ＋b 2－a__．(用字母a ，b 表示)解析：因为18b ＝5，所以b ＝log 185，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 189log 181829＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b2－a .10. 计算：(1) lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2) 2(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.解析：(1) 原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2) 原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2）2－2lg 2＋1＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2＋1－lg 2＝1.11. 已知log a x ＋log c x ＝2log b x ，且x ≠1，求证：c 2＝(ac)log a b.解析：因为log a x ＋log a x log a c ＝2log a x log ab ，且x ≠1， 所以log a x ≠0，所以1＋1log a c ＝2log a b ， 所以2log a c ＝(log a c ＋1)log a b ，所以log a c 2＝log a b·log a (ac)＝log a (ac)log a b ，所以c 2＝(ac)log a b.12. 已知loga 1b 1＝loga 2b 2＝…＝loga n b n ＝λ，a 1a 2…a n ≠0，n ∈N *，求证：loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.解析：由换底公式，得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n＝λ， 由等比定理得lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n＝λ， 所以lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ， 所以loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ. 13. 已知2lg x －y 2＝lgx ＋lgy ，求x y 的值．解析：由2lg x －y 2＝lgx ＋lgy 得lg （x －y ）24＝lg(xy)，x>y ， 所以x 2－2xy ＋y 2＝4xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，所以x 2y 2－6x y ＋1＝0，所以x y ＝3＋22或x y ＝3－22(舍去)， 所以x y ＝3＋22＝（2＋1）2＝2＋1.随堂巩固训练(8)1. 设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈[0，＋∞），N ＝{y|y ＝log 2x ，x ∈(0，1]}，则集合M ∪N ＝__(－∞，1]____．解析：因为x ≥0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈(0，1]，所以M ＝(0，1]．因为0<x ≤1，所以y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]，所以M ∪N ＝(－∞，1]．2. 设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为__c<a<b__．解析：因为1a ＝log 23>1，1b ＝log 2e>1，log 23>log 2e ，所以1a >1b >1，所以0<a<b<1.因为a ＝log 32>log 33＝12，所以a>12.因为b ＝ln 2>ln e ＝12，所以b>12.因为c ＝5－12＝15<12，所以c<a<b.3. 设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为__a<b<c__．解析：因为a ，b ，c 均为正数，所以log 12a ＝2a >1，log 12b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ∈(0，1)，log 2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ∈(0，1)，所以0<a<12，12<b<1，1<c<2，故a<b<c. 4. 已知0<a<b<1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__m>n__．解析：由题意得1m ＝log c a ，1n ＝log c b.因为0<a<b<1<c ，所以log c a<log c b<0，即1m <1n <0，所以n<m.5. 已知函数f(x)＝a x ＋log a x(a>0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则实数a 的值为__2__．解析：当x>0时，函数y ＝a x 与y ＝log a x 的单调性相同，因此函数f(x)＝a x ＋log a x 是区间(0，＋∞)上的单调函数，所以函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a ＋a 2＋log a 2.由题意得a ＋a 2＋log a 2＝6＋log a 2，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．故实数a 的值为2.6. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ， x>0，log 12（－x ）， x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围为__(－1，0)∪(1，＋∞)__．解析：①当a>0时，f(a)＝log 2a ，f(－a)＝log 12a.因为f(a)>f(－a)，即log 2a>log 12a ＝log 21a ，所以a>1a ，解得a>1；②当a<0时，f(a)＝log 12(－a)，f(－a)＝log 2(－a)．因为f(a)>f(－a)，即log 12(－a)>log 2(－a)＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以－a<－1a ，解得－1<a<0.由①②得－1<a<0或a>1.7. 已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝__2__008__． 解析：令3x ＝t ，则f(t)＝4log 2t ＋233，所以f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.8. 下列命题为真命题的是__①②③__．(填序号)①若函数f(x)＝lg(x ＋x 2＋a)为奇函数，则a ＝1；②若a>0，则关于x 的方程|lg x|－a ＝0有两个不相等的实数根； ③方程lg x ＝sinx 有且只有三个实数根；④对于函数f(x)＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2. 解析：①因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以lg(－x ＋x 2＋a)＋lg(x ＋x 2＋a)＝lg [(x 2＋a)－x 2]＝lg a ＝0，所以a ＝1.故①正确；②因为|lg x|－a ＝0，所以|lg x|＝a.作出y ＝|lg x|，y ＝a 的图象，由图象可知，当a>0时两函数图象有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根．故②正确；③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象，由图象可知在y 轴的右侧有三个交点，故方程有三个实数根．故③正确；④对于f(x)＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，y A >y B ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2.故④错误． 9. 若函数f(x)＝log －(ax ＋4)在区间[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是__(－2，－3)∪(2，4)__．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3>1，－a ＋4>0，a>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a 2－3<1，a ＋4>0，a<0，解得2<a<4或－2<a<－3，所以实数a 的取值范围是(－2，－3)∪(2，4)．10. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解析：因为f(x)＝2＋log 3x ，所以y ＝[f(x)]2＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.因为函数f(x)的定义域为[1，9]，所以要使函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，解得1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1，所以6≤(log 3x ＋3)2－3≤13，当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.所以当x ＝3时，函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)取最大值13.11. 已知函数f(x)＝log a (1－a x )(a>0且a ≠1)．(1) 解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f(1)；(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于零．解析：(1) 因为f(x)＝log a (1－a x )，所以f(1)＝log a (1－a)，所以1－a>0，所以0<a<1.所以不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a)．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a x >0，1－a x <1－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x <1，a x >a ，解得0<x<1. 所以不等式的解集为(0，1)．(2) 设x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝log a (1－ax 2)－log a (1－ax 1)＝log a 1－ax 21－ax 1. 因为1－a x >0，所以a x <1.所以当a>1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当0<a<1时，因为x 2>x 1>0，所以ax 2<ax 1<1，所以1－ax 21－ax 1>1， 所以log a 1－ax 21－ax 1<0， 所以f(x 2)<f(x 1)，即y 2<y 1；同理可证，当a>1时，y 2<y 1.综上，y 2<y 1，即y 2－y 1<0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0， 所以直线AB 的斜率小于零．12. 已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)．(1) 求y ＝f(x)的定义域；(2) 在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴？(3) 当a ，b 满足什么条件时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值？解析：(1) 由a x －b x >0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1.因为a>1>b>0，所以ab>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2) 任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2>1，bx1<bx2<1，所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，故f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与函数f(x)是增函数矛盾，故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴．(3) 由(2)知函数f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．因为f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值，所以f(1)＝lg(a－b)≥0，所以a≥b＋1，即当a≥b＋1时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值．随堂巩固训练(9)1. 由y ＝3x 的图象，将其图象向__右__平移__1__单位长度，再向__上__平移__1__个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象． 解析：由题意得，y ＝x ＋2x －1＝（x －1）＋3x －1＝1＋3x －1，所以由y ＝3x 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到y ＝3x －1＋1的图象，即为y ＝x ＋2x －1的图象． 2. 已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，则函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点__(3，2)__．解析：因为函数f(x)是R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象必过原点(0，0)，而函数y ＝f(x －3)＋2的图象是由函数f(x)的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，所以函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点(3，2)．3. 已知f(x)为R 上的奇函数，则F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点__(a ，b)__对称．解析：因为函数f(x)为R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0，0)对称，而函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象是由函数f(x)的图象向右平移a 个单位长度，再向上平移b 个单位长度得到的，所以函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点(a ，b)对称．4. 对任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ， a>b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__1__．解析：由题意得h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）>g （x ）.因为f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，所以画出h(x)的图象如图所示，所以这两个函数的交点的纵坐标，即为h(x)的最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝log 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，故h(x)的最大值为1. 5. 函数f(x)＝2lnx 的图象与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图象的交点。
高三数学第三轮考试试题 理含解析 试题
沂水县第一中学2021届高三第三轮考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理〕试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 设全集，那么集合和的关系用如下图的四幅图可表示为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合N，通过集合的包含关系得到N是M的真子集，得到韦恩图．【详解】={1，2}∵M={0，1，2}，∴N是M的真子集应选：A．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进展集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 是虚数单位，那么复数在复平面上所对应的点的坐标为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标．【详解】由于z====i，那么复数z在复平面上的对应点〔0，1〕．应选：D．【点睛】此题考察复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法那么：分子、分母同乘以分母的一共轭复数．3. 设向量，且，那么〔〕A. 2B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】推导出=0，利用数量积的坐标运算能求出m．【详解】∵∴，又，∴，即应选：A【点睛】此题考察向量的数量积、向量的模等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，属于根底题．4. 假设变量满足约束条件，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目的函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，立，解得B〔2，2〕，化目的函数z=x﹣3y为，由图可知，当直线过B〔2，2〕时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2﹣3×2=﹣4．应选：B．【点睛】此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.5. 等差数列的前项和为，且满足，那么〔〕A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,,联立解得，那么，应选B.6. 函数在处的切线倾斜角为，那么〔〕A. B. C. 0 D. 3【答案】C【解析】【分析】由求导公式和法那么求出函数的导数，由切线倾斜角为求出切线的斜率，即可求出的值．【详解】求出导函数,又函数在处的切线倾斜角为，∴，即应选：C【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，那么以的切点的切线方程为：．假设曲线在点的切线平行于轴〔即导数不存在〕时，由切线定义知，切线方程为．7. 的展开式中恰有三项的系数为有理数，那么的可能取值为〔〕A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项.【详解】由题意，展开式中项的系数为，系数为有理数，n﹣r是3的倍数，r是2的倍数，n=9，r=6，不符合；n=10，r=4,10，不符合；n=11，r=2，8，,不符合；n=12，r=0,6,12，符合题意，应选：D．【点睛】此题考察二项展开式，考察学生的计算才能，属于中档题．8. ，且，，那么如下图的程序框图输出的〔〕A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】由的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值，由此计算可得答案．【详解】设那么有，即解得，所以，，又∴，∴，即，根据程序框图可知：S=显然，∴应选：C【点睛】此题考察的知识点是程序框图，对数及指数运算，其中根据的程序框图，分析出程序的功能是解答的关键，属于根底题．9. 某儿何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】几何体是直三棱柱截去两个一样的四棱锥后余下的局部，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长及底面三角形的相关几何量的数据，判断截去四棱锥的高，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【详解】由三视图知：几何体是直三棱柱截去两个一样的四棱锥后余下的局部，如图：直三棱柱的侧棱长为，底面三角形的底边长为，底边上的高为1，截去的四棱锥的高为1，∴几何体的体积V=××1×﹣2×××××1=．应选：D．【点睛】此题考察了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此题的关键．10. 设函数〔是常数，).假设在区间上具有单调性，且，那么的最小正周期为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由f〔〕=f〔〕求出函数的一条对称轴，结合f〔x〕在区间[，]上具有单调性，且f〔〕=﹣f〔〕可得函数的半周期，那么周期可求．【详解】由f〔〕=f〔〕，可知函数f〔x〕的一条对称轴为x=，那么x=离最近对称轴间隔为．又f〔〕=﹣f〔〕，那么f〔x〕有对称中心〔，0〕，由于f〔x〕在区间[，]上具有单调性，那么≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．应选：B．【点睛】此题考察f〔x〕=型图象的形状，考察了学生灵敏处理问题和解决问题的才能，属于中档题．11. 是椭圆的左、右焦点，点，那么的角平分线的斜率为〔〕A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】【分析】求得直线AF1的方程，根据角平分线的性质，可得P到AF1的间隔与P到AF2的间隔相等，即可求得直线l的方程．【详解】由椭圆+=1，那么F1〔﹣2，0〕，F2〔2，0〕，那么直线AF1的方程为y=〔x+2〕，即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P〔x，y〕为直线l上一点，那么=|x﹣2|，解得2x﹣y﹣1=0或者x+2y﹣8=0〔斜率为负，舍〕，∴直线l的方程为2x﹣y﹣1=0，应选：C【点睛】此题考察椭圆的性质，点到直线的间隔公式，考察转化思想，属于中档题．12. 函数，.假设不等式在上恒成立，那么的最小值为〔〕A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】【分析】令h〔x〕f〔x〕﹣g〔x〕=lnx﹣〔a﹣e〕x﹣2b，利用导数求得h〔x〕max=h〔〕=﹣ln〔a ﹣e〕﹣1﹣2b≤0，求得≥，a＞e，运用导数求得a=2e时，可得所求最小值．【详解】令h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕=lnx﹣〔a﹣e〕x﹣2b，那么h′〔x〕=﹣〔a﹣e〕，当a≤e时，h〔x〕单调递增，h〔x〕无最大值，不合题意；当a＞e时，令h′〔x〕=0，那么x=，x∈〔0，〕时，h′〔x〕＞0，h〔x〕单调递增，x∈〔，+∞〕时，h′〔x〕＜0，h〔x〕单调递减，∴h〔x〕max=h〔〕=﹣ln〔a﹣e〕﹣1﹣2b≤0，即ln〔a﹣e〕≥﹣1﹣2b，2b≥﹣1﹣ln〔a﹣e〕，≥，a＞e，由的导数为﹣=〔+ln〔a﹣e〕〕，当a=2e时，〔+ln〔a﹣e〕〕=0，且a＞2e，〔+ln〔a﹣e〕〕＞0；e＜a＜2e时，〔+ln〔a﹣e〕〕＜0，可得a=2e时，获得最小值﹣．的最小值为﹣．应选：A．【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种〞常用方法〔1〕别离参数法：将原不等式别离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13. 四个人围坐在一张方形桌旁，每个人抛掷一枚质地均匀的硬币.假设硬币正面朝上，那么这个人站起来；假设硬币反面朝上，那么这个人继续坐着.那么，恰有相邻的两个人站起来的概率为__________．【答案】【解析】【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可．【详解】恰有相邻的两个人站起来，即正正反反，反正正反，反反正正，正反反正，一共有4种情况，故P==，故答案为：【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算根本领件总数和事件包括的根本领件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.14. 双曲线与抛物线有公一共焦点，是它们的公一共点，设，假设，那么的离心率__________．【答案】【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用直线的垂直关系，求出P的坐标，利用双曲线的定义，求出a，然后求解离心率．【详解】双曲线C：与抛物线y2=4x有公一共焦点F，F〔1，0〕，Q〔0，1〕，QP⊥QF，所以k QP=1，直线QP：y=x+1，代入y2=4x得到P〔1，2〕，所以PF⊥x轴，|PF|=2．，．c=1，∴e===．故答案为：．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：〔1〕求得的值，直接代入公式求解；〔2〕列出关于的齐次方程(或者不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或者不等式)求解．15. —张半径为的圆形包装纸，按照如下图的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长都相等的四棱锥，折叠所成的四棱锥外接球的外表积为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，利用圆的直径建立方程，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【详解】如图，连接OF，与BC交于I，设正方形ABCD的边长为2x，那么FI=，那么2x+，即设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，．∴．该四棱锥的外接球的外表积S=．故答案为：．【点睛】解决与球有关的内切或者外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的间隔相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的间隔相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．16. 整数的排列满足：从第二个数开场，每个数或者者大于它之前的所有数，或者者小于它之前的所有数.那么这样的排列个数一共有__________个.〔用含的代数式表示〕【答案】【解析】【分析】利用前几个特例找到规律，从而可以得到答案.【详解】记所求的排列种数为，当n=1时，只有数1，显然；对于n，假如数n排在第i位，那么它之后的n-i个数完全确定，即只能是n-i，n-i-1，1，而它之前的i-1个数有种排法，考虑到n的不同位置，那么必有，由，可得，，，由此猜测【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜测出数列的一个通项公式；②将递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或者用累加法、累乘法、迭代法求通项．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. 在中，内角所对的边分别为，.〔1〕求角；〔2〕假设的周长为8，外接圆半径为，求的面积.【答案】(1);(2).【解析】【分析】〔1〕由利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求tanA的值，结合A的范围即可得解A 的值;〔2〕由根据正弦定理可求a，由可得，由余弦定理进而可得bc的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】〔1〕由，得，即，所以即，因为，所以.由正弦定理得，因为，所以，所以，得.〔2〕因为的外接圆半径为，所以，所以，由余弦定理得所以，得，所以的面积.【点睛】解三角形的根本策略一是利用正弦定理实现“边化角〞，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用根本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18. 如图，矩形中，，为的中点，现将与折起, 使得平面及平面都与平面垂直.〔1〕求证：平面；〔2〕求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：〔1〕分别取中点，分别连接，可证明平面平面，可得，又，∴四边形为平行四边形，，从而可得平面；〔2〕以为原点，为，正半轴，建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：〔1〕分别取中点，分别连接，那么且∵平面及平面都与平面垂直，∴平面平面，由线面垂直性质定理知，又，∴四边形为平行四边形，又平面，∴平面.〔2〕如图，以为原点，为，正半轴，建立空间直角坐标系，那么.平面的一个法向量，设平面的法向量，那么，获得∴，注意到此二面角为钝角，故二面角的余弦值为.点睛：此题主要考察线面平行的断定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和间隔 .19. 随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一局部，很多消费者对手机流量的需求越来越大.某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城〔总人数、经济开展情况、消费才能等方面比拟接近〕采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元/月〕和购置人数(单位：万人〕的关系如表:〔1〕根据表中的数据，运用相关系数进展分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；〔2〕①求出关于的回归方程；②假设该通信公司在一个类似于试点的城中将这款流量包的价格定位25元/ 月，请用所求回归方程预测一个月内购置该流量包的人数能否超过20 万人.参考数据：，，.参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，.【答案】(1)见解析;(2)①;②一个月内购置该流量包的人数会超过20万人.【解析】【分析】(1) 根据题意，得,计算出相关系数，从而可以作出判断;(2) ①求出回归直线方程，②由①知，假设，那么，从而预测一个月内购置该流量包的人数会超过20万人【详解】〔1〕根据题意，得，.可列表如下根据表格和参考数据，得，.因此相关系数.由于很接近1，因此可以用线性回归方程模型拟合与的关系.由于，故其关系为负相关.〔2〕①，，因此关于的回归方程为.②由①知，假设，那么，故假设将流量包的价格定为25元/月，可预测一个月内购置该流量包的人数会超过20万人.【点睛】此题主要考察线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 如图，抛物线的焦点为，抛物线上两点，在抛物线的准线上的射影分别为.〔1〕如图，假设点在线段上，过作的平行线与抛物线准线交于，证明：是的中点；〔2〕如图，假设的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1) 设直线,与抛物线方程联立可得，∴.于是，直线，设直线与交于点，令.易得〔2〕设与轴的焦点分别为，那么，∵的面积是的面积的两倍，∴，所以点. 可设直线，与抛物线方程联立可得∴，从而可得,即所求轨迹方程.【详解】〔1〕由题，，准线.设直线，，.联立，∴.于是，直线，设直线与交于点，令.得：.故直线经过的中点.〔2〕设与轴的焦点分别为，那么，∵的面积是的面积的两倍，∴，所以点.可设直线，，中点，，∴.于是，,即中点的轨迹方程为.【点睛】求轨迹方程的常见方法有：〔1〕直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.解题时要注意解题技巧的运用，如常用的“设而不求〞、“整体代换〞的方法，以简化计算.21. 设函数，不单调，且其导函数存在唯一零点.〔1〕求的取值范围；〔2〕假设集合，，求证：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】【分析】〔1〕由题意得有唯一零点，且在零点两侧的符号相反. ，.对a分类讨论，分析函数的单调性从而得到的取值范围；〔2〕由〔1〕知，设，即.那么在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴的值域为，即.要使，只需【详解】〔1〕由题意得有唯一零点，且在零点两侧的符号相反.，.①当时，，故在区间上单调递增，又时，，故在区间上存在唯一零点且在零点两侧的符号相反.②当时，，得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，假设，那么存在唯一零点，但在零点两侧都为负，不合题意；假设，那么恒成立，此时无零点，不合题意；假设，又时，，时，，此时有两个零点，不合题意.综上所述，的取值范围是.〔2〕由〔1〕知，设，即.那么在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴的值域为，即.要使，只需，即，也就是.又，故，即.又在区间上单调递增函数，∴要证只要证，即.而，故结论得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考察都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进展： (1)考察导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联络． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考察数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.〔1〕求的极坐标方程；〔2〕假设直线的极坐标方程为，设与的公一共点分别为，求的面积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】〔1〕由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2能求出的极坐标方程；〔2〕代入+〔3+2〕=0，得．代入+〔3+2〕=0，得ρ2=1+．由此能求出△OAB的面积．【详解】〔1〕∵，∴的极坐标方程为，即，的极坐标方程为.〔2〕将代入，得，解得.将代入，得，解得.故的面积为.【点睛】此题考察直线与圆的极坐标方程的求法，考察三角形面积的求法，考察极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．23. 选修4-5：不等式选讲函数.〔1〕当时，求函数的定义域；〔2〕当时，求证：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：〔1〕函数有意义，那么，据此可得.〔2〕由题意结合绝对值三角不等式的性质证得题中的结论即可.详解：〔1〕当时，所以，得，解得.〔2〕，当且仅当时等号成立.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
江西省南昌市新建二中2014届高三第三轮复习测试卷数学(8)
江西省南昌市新建二中2014届高三第三轮复习测试卷数学（8）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，复数21ii-等于 A ．l +i B ．-l -iC ．l -iD ．-l+i2．（理）在6-的二项展开式中，x 2的系数为 A ．427- B ．227- C ．227D ．427（文）已知集合M={y|y=sinx, x ∈R}，N={0，1，2}, 则M N=A ．{-1,0,1}B ．[0,1]C ．{0,1}D ．{0，1,2}3．下列有关命题说法正确的是A ．命题p ：“∃x ∈R ，，则⌝p 是真命题 B ．“x=－1”是“x 2－5x －6=0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2 +x+1<0“的否定是：“∀x ∈R ，x 2+x+1<0”D ．“a>l”是“y=log a x （a >0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件4．设m ，n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面，给出下列条件,能得到m β⊥的是 A ．αβ⊥，m α⊂ B ．m ⊥α，αβ⊥ C ．m ⊥n,n β⊂ D ．m ∥n,n β⊥5．设函数f （x ）=32sin tan 32x x θθθ++，其中θ∈50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则导数f '（1）的取值范围是A ．[-2，2] B． C．2⎤⎦ D．2⎤⎦6．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差222s s s 甲乙丙，，的大小关系是（ ）A ．222s s s<<乙甲丙B ．222s s s<<甲乙丙C ．222s s s <<甲乙丙D ．222s s s<<乙甲丙7．设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图象可能是8．（理）己知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n ，若直线y = a 1x+m 与圆（x －2）2+ y 2 =1的两个交点关于直线x +y +d =0对称，则S n =频数环数甲乙丙环数A ． n 2B ．－n 2C ．2n －n 2D ．n 2－2n（文）已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为A ．51-B ．51C ．5-D ．5 9．（理）设两个向量)cos ,2(22αλλ-+=和,(m =)sin 2α+m ，其中αλ,,m 为实数，若2=，则mλ的取值范围是A ．]1,6[-B ．[4，8]C ．]1,6(-D ．]6,1[-（文）已知向量),1(m a =，),2(n b =，),3(t c =，且b a //，c b ⊥，则22||||c a +的最小值为 A ．4 B ．10 C ．16 D ．2010．（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =（文）已知斜率为2的直线l 过抛物线ax y =2的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．x y 42= B ．x y 82= C ．x y 42=或x y 42-= D ．x y 82=或x y 82-=二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)11.(理)如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有 （文）如果函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 的两个相邻零点之间的距离为12π，则ω的值为13已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则常数=k _______．14. 已知四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，且21=AA ，底面ABCD 的边长均大于2，且︒=∠45DAB ，点P 在底面ABCD 内运动，且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥MN D P 1-体积的最大值为______．15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）①．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数，R ϕ∈）上的点到曲线cos sin 4(,)R ρθρθρθ+=∈的最短距离是 ②．（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .．15(文). 若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本题满分12分） 在△ABC 中，7cos 25A =-，3cos 5B =. （1）求sinC 的值；（2）设BC ＝5，求△ABC 的面积. 17、（本题满分12分）（理）已知数列｛a n }满足：a 1＝1，1n na +＝2(n 十1)a n ＋n （n ＋1），（*n N ∈）， （1）若1nn a b n=+，试证明数列｛b n }为等比数列； （2）求数列｛a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ．（文）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且n a =1，*n N ∈，数列1b ，21b b -，32b b -……，1n n b b --是首项为1，公比为12的等比数列. （1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若n n n c a b =，求数列{c n }的前n 项和Tn.18. （本题满分12分）（理）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点． （1）在正方形ABCD 内部随机取一点P，求满足||PH <（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．（文）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．QPABC19. （本题满分12分）（理）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ， 底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //， 222===CD AD AB ，E 是PB 的中点.（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ； （2）若二面角E AC P --的余弦值为36， 求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.（文）在空间几何体PQ ABC -中，PA ⊥平面ABC ， 平面QBC ⊥平面ABC ，AB AC =，QB QC =． （1）求证：//PA 平面QBC ；（2）如果PQ ⊥平面QBC ，求证：Q PBC P ABC V V --=．20. （本题满分13分）（理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为)0,1(1-F ，P 为椭圆G 的上顶点，且︒=∠451O PF（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11:m kx y l +=与椭圆G 交于A 、B 两点，直线CD AB =，如图)(:2122m m m kx y l ≠+=与椭圆G 交于C 、D 两点，且所示.（i ）证明：021=+m m ；（ii ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.（文）四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线2y x =上，A ，C 关于y 轴对称，BD 平行于抛物线在点C 处的切线. （1）证明：AC 平分BAD ∠；（2）若点A 坐标为(1,1)-，四边形ABCD 的面积为4，求直线BD 的方程.21. （本题满分14分）（理）已知)(,2121x x x x =/是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点． (1)若11-=x ，22=x ，求函数)(x f 的解析式； (2)若22||||21=+x x ，求实数b 的最大值；(3)设函数)()()(1x x a x f x g --'=，若21x x <，且a x =2，求函数)(x g 在),(21x x 内的最小值．(用a 表示) （文）若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x ，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（1）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（2）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；南昌市2013—2014学年度高三新课标第三轮复习测试卷数学（8）参考答案一、选择题：每小题5分，共50分．二、填空题：每小题5分，共25分．11．(理)120（文）12； 12．i =7； 13．9； 14．312-；15．（理）1；○242≤≤-a （文）42≤≤-a 三、解答题：（本大题共6小题共75分） 16、解：（1）在ABC ∆中，∵7cos 25A =-，24sin 25A ∴= 又∵34c o s s i n 55B B =∴=12544sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴B A B A B A C ; （2）由正弦定理知：625sin sin ==A B BC AC 311sin 21=⋅⋅=∴∆C AC BC S ABC17．（理）解：(1)121)1()1(211+=+⇒+++=++na n a n n a n na nn n n ，)1(222111+=+=+++nan a n a n n n 得，即n n b b 21=+，21=b 又,{}n b 所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由(1)知),12(212b -=⇒=+⇒=nn n n n n n a n a∴231(21)2(21)3(21)(21)nn S n =⨯-+⨯-+⨯-++-K231222322(123)n n n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++K K23(1)12223222n n n n +=⨯+⨯+⨯++⋅-K .令231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅K ，则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅K ，两式相减得：23112(12)22222212n nn n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-K ，22)1(2)21(211+⋅-=⋅+-=++n n n n n n T .∴2)1(22)1(1+-+⋅-=+n n n S n n .(文)解（1）∵1n a =，21(1)4n n S a ∴=+当2211112,(1)(1)44n n n n n n a S S a a --≥=-=+-+22111(22)4n n n n a a a a --=+-- 即11()(2)0n n n n a a a a --+--=，12n n a a -∴-= 又11a =故数列{}n a 是等差数列.且21n a n =-;（2）∵12132111()()()22n n n n b b b b b b b b --=+-+-++-=-L L ∴11121(21)(2)2(21)22n n n n c n n ---=--=-- 先求数列1212n n --⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A . ∵2313572112222n n n A --=+++++K2312311135232122222212222211222222n n n n n nn n A n A ----=+++++-∴=+++++-K K 211123232336262222n n n n n n n n n A A T n --+++=-∴=-∴=+-. 18.（理）解：（1）所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 224⨯=．满足||PH <P 构成的平面区域是以H 为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H π直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部 构成．其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．所以满足||PH <112484π+π=+． （2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．其中长度为1的线段有84条，长度为2的线段有68条，长度为2条．所以ξ所有可能的取值为12 且()821287P ξ===，(41287P ξ===， ()6322814P ξ===，(82287P ξ===，(212814P ξ===．所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ21321127714714E ξ=⨯++⨯++57+=（文）解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形． 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=15319．（理）解：（1）⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴， 2=AB ，1==CD AD ，2==∴BC AC 222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴ 又C PC BC = ，⊥∴AC 平面PBC ，⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0）.设P （0，0，a ）（a>0），则E （21，21-，2a ），)0,1,1(=，),0,0(a =，)2,21,21(a-=，取m=（1，－1，0） 则0m CP m CA ⋅=⋅= ，∴m为面PAC 的法向量 设(,,)n x y z = 为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则(,,2)n a a =--，依题意，cos ,m n m n m n⋅<>===，则2=a 于是(2,2,2)n =--设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅=<>==， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为32（文）解：（I ）如图，取BC 中点D ，连QD ，由QB QC =得QD BC ⊥，∵平面QBC ⊥平面ABC ， ∴QD ⊥平面ABC ，又∵PA ⊥平面ABC ，∴QD ∥PA ， 又∵QD ⊆平面QBC ， ∴PA ∥平面QBC ．（2）连接AD ，则AD BC ⊥．∵平面QBC ⊥平面ABC ，面QBC ∩面ABC BC =， ∴AD ⊥平面QBC ．又∵PQ QBC ⊥平面，∴PQ ∥AD ．又由（1）知，四边形APQD 是矩形， ∴PQ AD =，PA QD =．∴11()32Q PBC P QBC V V BC QD PQ --==⋅⋅⋅⋅，而11()32P ABC V BC AD PA -=⋅⋅⋅⋅，则Q PBC P ABC V V --=．20.（理）解：（1）设椭圆G 的标准方程为12222=+by a x （a>b>0）因为)0,1(1-F ,︒=∠451O PF ，所以b=c=12222=+=∴c b a∴椭圆G 的标准方程为1222=+y x（2）设A （11,y x ），B （22,y x ），),(33y x C ，D （44,y x ）PA（i ）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12,221y x m kx y ，消去y 得0224)21(21122=-+++m x km x k 则0)12(8212>+-=∆m k ，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2212121212122,214k m x x k km x x 2122122212214)(1)()(x x x x k y y x x AB -++=-+-=∴2212222122122112122212242141km k k k m k km k++-+=+-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+= 同理222222112122km k kCD ++-+=CD AB =，∴222222212221121222112122k m k k km k k ++-+=++-+21m m ≠，∴021=+m m（ii ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则2211km m d +-=，因为021=+m m ，∴2112km d +=∴2122122122112122km km k kd AB S +⋅++-+=⋅=22212122421)12(24221212221212=+++-≤++-=k m m k k m m k 当且仅当212212m k =+时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值，且最大值为22（文）（1）设A (x 0，x 20)，B (x 1，x 21)，C (－x 0，x 20)，D (x 2，x 22)． 对y ＝x 2求导，得y '＝2x ，则抛物线在点C 处的切线斜率为－2x 0．直线BD 的斜率k ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 1＋x 2，依题意，有x 1＋x 2＝－2x 0．记直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2，与BD 的斜率求法同理，得 k 1＋k 2＝(x 0＋x 1)＋(x 0＋x 2)＝2x 0＋(x 1＋x 2)＝0， 所以∠CAB ＝∠CAD ，即AC 平分∠BAD ．（2）由题设，x 0＝－1，x 1＋x 2＝2，k ＝2．四边形ABCD 的面积 S ＝ 1 2|AC |·|x 22－x 21|＝ 1 2|AC |·|x 2＋x 1|·|x 2－x 1|＝ 12×2×2×|2－2x 1|＝4|1－x 1|，由已知，4|1－x 1|＝4，得x 1＝0，或x 1＝2． 所以点B 和D 的坐标为(0，0)和(2，4)， 故直线BD 的方程为y ＝2x ．21．（理）解：)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ． (1)因为11-=x ，22=x 是函数)(x f 的两个极值点， 所以0)1(=-'f ，0)2(='f ．（2分）所以0232=--a b a ，04122=-+a b a ，解得6=a ，9-=b ． 所以x x x x f 3696)(23--=．（4分）(2)因为)(,2121x x x x =/是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点， 所以0)()(21='='x f x f ，所以21,x x 是方程)0(02322>=-+a a bx ax 的两根，因为32124a b +=∆，所以0>∆对一切0>a ，R b ∈恒成立，而a b x x 3221-=+，321ax x -=，又0>a ，所以021<x x ， 所以||||||2121x x x x -=+=-+=212214)(x x x x a a b a a b 3494)3(4)32(222+=---， 由22||||21=+x x ，得22349422=+a a b ，所以-=6(322a b )a ． 因为02≥b ，所以0)6(32≥-a a ，即60≤<a ．令)6(3)(2a a a h -=，则a a a h 369)(2+-='．当40<<a 时，0)(>'a h ，所以)(a h 在(0，4)上是增函数； 当64<<a 时，0)(<'a h ，所以)(a h 在(4，6)上是减函数．所以当4=a 时，)(a h 有极大值为96，所以)(a h 在]6,0(上的最大值是96， 所以b 的最大值是64．(3)因为21,x x 是方程0)(='x f 的两根，且)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ， 所以321a x x -=，又a x =2，311-=x ， 所以))((3)(21x x x x a x f --='))(31(3a x x a -+=，所以)()()(1x x a x f x g --'=+--+=x a a x x a ())(31(3)31)(31(3)31--+=a x x a ，其对称轴为2a x =，因为0>a ，所以),31(2a a -∈，即),(221x x a ∈，所以在),(21x x 内函数)(x g 的最小值==)2()(m in a g x g )312)(312(3--+a a a a 221(32)3()=2312a a a a +=-+-（文）解：（1）函数()22x x f x +=的定义域是R ，若是关于1可线性分解， 则定义域内存在实数0x ，使得()()()1100f x f x f +=+．构造函数()()()()11f x f x f x h --+=()12212221----++=+x x x x()1221-+=-x x ．∵()10-=h ，()21=h 且()x h 在[]0,1上是连续的， ∴()x h 在[]0,1上至少存在一个零点．即存在[]00,1x ∈，使()()()1100f x f x f +=+． 另解：函数()22x x f x+=关于1可线性分解，由()()()11f x f x f +=+，得()3212221++=+++x x x x ．即222+-=x x ．作函数()xx g 2=与()22+-=x x h 的图象， 由图象可以看出，存在∈0x R ，使222+-=x x， 即()()()1100f x f x f +=+)成立． （2）()x g 的定义域为()+∞,0．由已知，存在00>x ，使()()()a g x g a x g +=+00． 即()()1ln 1ln 1ln 20000+-++-=++-+a a ax x a x a a x ．整理，得()1ln ln ln 00++=+a x a x ，即())e ln(ln 00ax a x =+．∴e 00ax x a =+，所以1e 0-=a ax ． 由01e 0>-=a a x 且0>a ，得e1>a ．∴a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,e 1．。
2021届高考高三数学三轮复习模拟考试卷(二十五)
高三模拟考试卷（二十五）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合22{(,)|3A x y x y =+，x Z ∈，}y Z ∈，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．52．设复数z 满足11zi z+=-，则(z = ) A ．iB ．i -C ．1D ．1i +3．某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01，02，⋯，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为( )（注:表中的数据为随机数表的第一行和第二行） A ．24B ．36C ．46D ．474．某养老院一楼有六个房间，现有6位男住户和4位女住户，要求安排其中2位女住户人住中间四个房间中的两个，安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，则不同的安排方式有( ) A ．25920种 B ．26890种C ．27650种D ．28640种5．在ABC ∆中，6A π=，AB =，4AC =，则BC 边上的高的长度为( )A B C D 6．设椭圆22143x y +=的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，ABF ∆周长的最大值为( )A ．4B ．6C ．2D ．87．已知实数a ，b ，c 成等差数列，则点(2,1)P -到直线0ax by c ++=的最大距离是( )A ．2B ．1CD ．28．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁，扇面形状较为美观．从半径为r的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为51-，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比值为51-．则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为( )A 51-B 51-C 35- D 52二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020江苏高考数学三轮综合试卷3套(PDF版含答案及附加题)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为 ．2．若复数z 满足()1234zi i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是 ． 3．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．4．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ．5．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点（3，1），则双曲线的焦距等于 ．7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ． 8．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ． 9．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π）图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f （2φ）的值为 ． 10．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S +也为等比数列，则q = ．11．如图，在平面四边形ABCD 中，π2CAD ∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是 ．13．己知△ABC 的面积为2＋1，AC ＝23，且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为 ．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是 ．AFEDCB（第11题图）7 7 9 0 8 94 8 1 0 35 甲 乙 （第4题图）（第3题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：PB //平而AEC；（2）若四边形ABCD是矩形且PA＝AD，求证：AE⊥平面PCD．16．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝45．（1）若c＝2a，求sin Bsin C的值；（2）若C﹣B＝4，求sinA的值．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a－3x500)万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？如图，己知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>过点（1，32），离心率为12，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线线l与椭圆相交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFM，△BFN的而积分别为S1，S2，若1265SS=，求k的值；（3）己知直线AM、BN的斜率分k1，k2，求21kk的值．己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程：（2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ≠2x ），且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围． 已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=．（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nnn a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．21．已知a b c d ∈，，，R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()5π224，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 22．（本小题满分10分）某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．（本小题满分10分）如图，F 是抛物线y 2＝2px （p > 0）的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点H ，其中．过点H 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的而积S 的最小值．盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题（教师版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为 ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意．2．若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是 ． 【答案】1【详解】因为复数z 满足（1+2i ）z =−3+4i ，所以（1−2i ）（1+2i ）z =（−3+4i ）（1−2i ）， 即5z =5+10i ，所以z =1+2i ，实部为1． 故答案为：1．3．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．【答案】8【解析】由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S=4．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ． 4．6.85．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ． 答案：30 考点：计数原理解析：若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有12个，若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有18个，故一共有30个．6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点（3，1），则双曲线的焦距等于 ． 答案：8考点：双曲线及其性质解析：由题意知：221911ba ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得228a b ==，故216c =，∴焦距2c ＝8．7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ． 答案：3：2考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R ，则S 1：S 2＝2(222)RR R ππ+⋅：24R π＝3：2．8．已知函数221()log (1)1x ax f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ． 【答案】2【解析】∵0(0)223f =+=，∴[(0)](3)log 2a f f f ==7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲 乙 （第4题图）（第3题图）∵[(0)]2f f =，∴log 22a =，解得a．9．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π）图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f （2φ）的值为 ． 9．1210．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若q = ．【答案】2 【详解】已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列．所以()1122221111nnn na q qq Sqq q q---===+----． 222112n n q q S q=++-+--{}2n S +也为等比数列．所以2201q+=-，即2q =． 故答案为：211．如图，在平面四边形ABCD 中，π2CAD ∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．【答案】612．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是 ．12．解析：因为直线l ：kx －y ＋5k ＝0过定点P （－5，0），且CM ⊥MP ，所以点M 在以CP 为直径的圆上．设点M （x ，y ），则x 2＋y 2＝25．联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25x 2＋y 2－10x ＝0，解得x ＝52．又因为点M 在圆C 内，所以点M 的横坐标的取值范围为（52，5]．13．己知△ABC的面积为＋1，AC ＝2，且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为 ．答案：1考点：三角恒等变换、正弦定理解析：∵43tan A tan B+＝1，∴4cos A 3cos B1sin A sin B+=，∴4cosAsinB ＋3cosBsinA ＝sinAsinB ，∴3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ），故3cb＝sinA ﹣cosA ， ∵△ABC＋1，则1)sin A c b =，代入上式得：21)sin A cos A sin Ab =-，∵b ＝AC ＝，∴21sin A sin A cos A 2=-，即221tan A tan A 2tan A 1-=+， AFEDCB（第11题图）解得tan A 21=-．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是 ． 答案：（-∞，34）U （1，+∞） 考点：函数与方程解析：直线kx ﹣y ﹣3＝0关于直线y ＝﹣2的对称直线为y ＝﹣1﹣kx ， 故可将题意转化为直线y ＝﹣1﹣kx 与函数()y f x =有且仅有两个交点，当x ＝0时，显然不符合题意，当x ≠0时，参变分离得：1()f x kx--=，即方程1ln 201504x x xk x x x ⎧--+>⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，，有两个不相等的实数根，通过数形结合即可求得实数k 的取值范围是k ＞1或k ＜34，即（-∞，34）U （1，+∞）． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ． （1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ． 证明：（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以OE //PB又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB //平面AEC ………………6分 （2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥ 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cosB ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值； （2）若C ﹣B ＝4π，求sinA 的值． 解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分 解法2：因为cos B ＝45，B ∈（0，π），所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin （B ＋C ）＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－（B ＋C ）＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin （3π4－2B ）＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x ∈N *）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a －3x500)万元（a ＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0．2x %．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？17．（1）由题意得，10（1000－x ）（1＋0．2x %）≥10×1000，………………2分 即x 2－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500．………………4分 即最多调整500名员工从事第三产业．………………5分 （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a －3x500）x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为10（1000－x ）（1＋1500x ）万元， 则10（a －3x 500）x ≤10（1000－x ）（1＋1500x ），………………8分故ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2， 故ax ≤2x 2500＋1000＋x ， 即a ≤2x 500＋1000x ＋1恒成立．………………10分因2x 500＋1000x≥22x 500·1000x＝4， 当且仅当2x 500＝1000x，即x ＝500时等号成立，故a ≤5，………………12分 又a ＞0，故0＜a ≤5．故a 的取值范围为（0，5]．………………14分 18．（本小题满分16分）如图，己知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点（1，32），离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线线l 与椭圆相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的而积分别为S 1，S 2，若1265S S =，求k 的值； （3）己知直线AM 、BN 的斜率分k 1，k 2，求21k k 的值．解：（1）设椭圆的焦距为2c ．312Q 椭圆过点（，），离心率为12∴229141a b +=，12c a =解得2,a b == 则椭圆的方程为22143x y +=．………………4分(2) 设点1122(,),(,)M x y N x yQ 1265s s = ∴12162152AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得M N 3|y |6|y |5= 即2||||5M N y y =，25FM NF ∴=u u u u r u u u r代入坐标，可得121221(1)525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又Q 点,M N 在椭圆C 上22222222722()()555143143x y x y ⎧--⎪+=⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得2254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线l的斜率8514k ==--………………10分（3）Q 直线l 的方程为(1)y k x =-由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-= 221212228412,3443k k x x x x k k -∴+=⋅=++ 又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 222222222222222222412812182()234343434128462()2434343k k k x x x k k k k k k x x x k k k ---+---++++==------+++++ 222222463()4334643k x k k x k --++==--++ 213k k ∴=………………16分 19．（本小题满分16分）己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程： （2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ≠2x ），且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）当1a =时，()2ln 2x f x x x =-+，()112f =- ()1'1f x x x=-+，()'11f =所以()f x 在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --= ………………2分（2）()f x 定义域为()0,+∞，()2'a x ax af x a x x x-+=-+=①若04a <<时，240a a -<，()'0f x >，所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；…………4分②若4a =，则()()22244'x x x f x x x--+==当02x <<时，()'0f x >；当2x >时，()'0f x >所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；………………6分③若4a >时，由()2'0x ax a f x x-+==，得x =x =当0x <<x >()'0f x >x <<时，()'0f x < 所以()f x单调递增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭………………8分 （3）由（1）知，4a >，且1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立等价于1212()()()()f x f x f x f x λ++>=恒成立又221211122211()()(ln )(ln )22f x f x a x x x a x x x +=-++-+221212121(ln ln )()()2a x x a x x x x =+-+++2121212121ln ()[()2]2a x x a x x x x x x =-+++-221ln (2)2a a a a a =-+- 21ln 2a a a a =--所以1212()()1ln 12f x f x a a x x +=--+，令1ln 12y a a =--（4a >），则11'02y a =-<， 所以1ln 12y a a =--在(4,)+∞上单调递减， 所以2ln 23y <-，所以2ln23λ≥-………………16分20．（本小题满分16分） 已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=．（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nnn a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．解：（1）由12-=n a n 得{}n a 是递增数列，所以,1,121==-==a B n a A n n n所以.2n B A b n n n=+=………………2分（2）由n nn a 212-=得-+=-++11212n n n n a a ,2232121+-=-n nnn 当1=n ，01>-+n n a a ，即;21a a <当2≥n ，01<-+n n a a ，即>>>432a a a ┈又,167,85,43,21141321a a a a a a <=>=== 所以,45,45,1321===b b b 当4≥n 时，,21243nn n b -+= 所以,27,49,1321===s s s当4≥n 时，令,22)1(43212431nn n n bkn b n k n b +-+-+=-+=- 则,3,2==b k 即nn n n n n n b 23221243212431+-++=-+=- 所以)232212()213211()21129()3(432715443n n n n s n n +-++⋅⋅⋅+-+-+-+=-n n n 23229)3(43273+-+-+= .23243819nn n +-+=综上所述，27,49,1321===s s s ，当4≥n 时，.23243819nn n n s +-+=…………8分（3）设数列{}n b 的公差为d ，则d B B A A b b n n n n n n =-+-=-+++111，由题意n n n n B B A A ≤≥++11,n n A A d >>+1,0，对任意*∈N n 都成立，即n n n n a A a A =>+=+11，所以{}n a 是递增数列。
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南山中学2015级周末数学(理科)演练(4)
第Ⅰ卷（选择题，共50分）命题人：周莉莎
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1.复数12i
z i
-+=
+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 下列说法错误的是（ ）
A ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠
B ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”
C ．若y ＝f （x ）为偶函数, 则y ＝f （x ＋2 ）的图象关于直线2x =-对称.
D ．“a =1”是“函数2()21f x x ax =-+在区间[)∞+，1上是增函数”的充要条件. 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．12-π
B ．8+π
C ．8-π
D ．12π+
4.已知直线,m l ，平面,,αβ且,,m l αβ⊥⊂给出下列命题：①若α∥β，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则
m ∥l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥； ④若m ∥l ，则αβ⊥. 其中正确的命题的是（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．①③ 5.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A
. B
. C . 0 D
. 6.已知函数()()2
1cos ,4
f x x x f x '=
+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）
第5题图
7.如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB a = ，AC b = ，AF xa yb =+
，则
14
x y
+的最小值为（ ） A
. B .93 C .9 D
. 8.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不 能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张. 则不同的取法的共有（ ） A.135
B. 172
C .189
D.216
9.离心率为1e 的椭圆与离心率为2e 的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲
线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则21221
1
e e -=-（ ）
A . 2
1
e -
B . 11e -
C . 2e -
D . 1e -
10.函数2
2()log (0)1
x g x x x =>+，关于x 的方程2
()()230g x m g x m +++=恰有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）
(
().,44A -∞-++∞
(.44B -+
32C.,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 34.,23D ⎛⎤
-- ⎥⎝⎦
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.
二项式210)x -的展开式中的常数项是________ 12. 设,x y 满足0203x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为 .
13．已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若
4FP FQ =
，则||QO = .
14.在ABC ∆中，角,,A B C
所对的边分别为222,,,sin sin sin sin sin a b c A B C A B C ++= 且2a =，则ABC ∆的外接圆的半径R =
15.函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定
||
(,)||
A B k k A B AB ϕ-=
叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2
，则(,)A B ϕ ②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；
④设曲线x y e =上不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞. 其中正确的是
(
)．
三．解答题：本大题共6 75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分
12,,,A B C D 共4个品牌的食用油进行检测，其中A 品牌被抽检到21个批次。
（1）若从这4个品牌共53个批次进行某项检测，求抽取的3个批次的食用油中至少有一个是A （2）若对这4个品牌共510分）：
若检测的这5a ，从这5个批次中随机抽取2个，记这2个批次食用油中得分超过a ，求ξ 17. （本小题满分,在△ABC 中,3
B π
=
,2BC =,点D 在边A B 上,A
D D C =, D
E A C ⊥,.
(Ⅰ)若△,求CD
的长;
(Ⅱ)若D E =,求.
E
D
C
B
A
18. （本小题满分12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O = ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图的五棱锥
P ABFED -
，且PB =
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面POA ；
（Ⅱ）求二面角--B AP O 的余弦值.
19.（本小题满分12分）设数列{n a }满足1a ＝1，1(1)(1)n n na n a n n +-+=+. （Ⅰ）求证数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）证明：对一切正整数n ，有
123111174
n a a a a ++++< . 20. （本小题满分13分）如图，已知椭圆22
221(0),(2,0)x y a b A a b
+=>>是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的
中心O ，且0,2AC BC OC OB BC BA ⋅=-=-
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P 、Q 为椭圆上异于,A B 且不重合的两点，()
CP CQ CD CP CQ
μ=+ 且CD x ⊥
是否存在实数λ，使得PQ BA =λ
，若存在，请求出λ的最大值，若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的斜率为1，问： m 在什么范围取值时，对于任意
的]2,1[∈t ，函数)](2
[
)(2
3
x f m
x x x g '++=在区间)3,(t 上总存在极值？ （Ⅲ）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=x
e
p x p x h ，若在区间],1[e 上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围．
第20题图。