高中数学必修2课件2-2-2圆的一般方程

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【变式 2】 △ABC 的三个顶点分别为 A(1，－1)，B(1,4)，C(4， －2)，求其外接圆方程． 解 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将 A，B，C 三点坐标代入， D－E＋F＝－2， 整理，得D＋4E＋F＝－17， 4D－2E＋F＝－20， 解得 D＝－7，E＝－3，F＝2. 故所求圆的方程为 特点对比
标准方程
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋ E2－4F＞0)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
指出了圆心坐标和半径大小，几何 是一种特殊的二元二次方 特征明显 程，代数特征明显
二者都含有三个待定的系数，要确定方程，均需要三个独立条件
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拓展：一些特殊条件下，圆的标准方程和圆的一般方程形式如 下：
条件
圆心在原点
标准方程
x2＋y2＝r2(r≠0)
一般方程
x2＋y2－r2＝0(r≠0)
圆过原点
圆心在x轴上
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
(x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
圆心在x轴上 且过原点
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题型三 与圆有关的动点的轨迹问题 【例 3】 (12 分)等腰三角形的顶点是 A(4,2)，底边的一个端点 是 B(3,5)，求另一个端点 C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什 么． 审题指导 求曲线方程是解析几何的基本内容， 必须理解各种方 法在什么情况下使用．常用方法：定义法、待定系数法、直接 法、代入法等．
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名师点睛 1．圆的一般方程的特点 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 具有以下特征： (1)x2 项和 y2 项的系数都相等，且不为零． (2)是二元二次方程且没有 xy 这样的二次项． (3)参数 D、E、F 满足 D2＋E2－4F＞0.
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自学导引 圆的一般方程 (1)方程：当 D2＋E2－4F＞0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程，其圆心为 D2＋E2－4F. (2)说明：方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆，当且仅 当
D2＋E2－4F＞0
D E C － ，－ ，半径为 2 2
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题型二
求圆的一般方程
【例 2】 求经过点 C(－1,1)和 D(1,3)，且圆心在 x 轴上的圆的 方程． [思路探索] 设出圆的一般方程，利用待定系数法求解． 解 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)． E ∵圆心在 x 轴上，∴－ ＝0，即 E＝0① 2 又圆过点 C(－1,1)和 D(1,3)， ∴(－1)2＋12＋D· (－1)＋E· 1＋F＝0， 12＋32＋D· 1＋E· 3＋F＝0，
2．2
圆的一般方程
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【课标要求】 1．正确理解圆的一般方程及其特点． 2．会由圆的一般方程求其圆心、半径． 3． 会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程， 并能简单 应用． 4．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用． 【核心扫描】 1．用二元二次方程表示圆的条件及圆的一般方程解题．(重点) 2．圆与方程、不等式结合命题．(难点) 3．数形结合思想在解题中的应用．(方法)
1 r＝ 2
时表示圆，当 D2＋E2－4F＝0 时表示 D2＋E2－4F＜0 时不表示任何图形．
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D E 一个点－ ，－ ，当 2 2
想一想：如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？ 提示 圆的一般方程与标准方程之间的互化， 可以用下图表示：
展开 圆的标准方程 圆的一般方程 配方
捷．熟练掌握 D2＋E2－4F 的值，是判断二元二次方程是否表 示圆的关键．
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【变式 1】 讨论方程 x2＋y2＋2ay＋1＝0(0∈R)表示曲线的形 状． 解 原方程配方，得 x2＋(y＋a)2＝a2－1，
当 a2－1＞0，即 a＜－1 或 a＞1 时，此方程表示的曲线是圆心 为(0，－a)，半径 r＝ a2－1的圆； 当 a2－1＝0，即 a＝± 1 时，此方程表示的曲线是一个点，坐标 为(0，－a)； 当 a2－1＜0，即－1＜a＜1 时，此方程不表示任何曲线．
[思路探索] 利用配方法，将四个二元二次方程分别配方，或直 接利用 D2＋E2－4F 是否为正数来判断．
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解析 对于
法一 (配方法)
12 12 1 A：x＋2 ＋y－2 ＝－ 不表示圆； 2
对于 B：(x＋1)2＋(y＋1)2＝( 2)2 表示圆； 对于 C：(x－3)2＋(y＋4)2＝0 不表示圆； 对于 D：(x－6)2＋(y＋5)2＝0 不表示圆．
x2＋(y－b)2＝r2
(x－a)2＋y2＝a2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
x2＋y2＋Dx＝0
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题型一
判定二元二次方程是否表示圆 )．
【例 1】 下列二元二次方程一定表示圆的是( A．x2＋y2＋x－y＋1＝0 B．x2＋y2＋2x＋2y＝0 C．x2＋y2－6x＋8y＋25＝0 D．x2＋y2－12x＋10y＋61＝0
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法二
用 D2＋E2－4F＞0 的条件来判断．
对于 A：D2＋E2－4F＝－2＜0 不表示圆； 对于 B：D2＋E2－4F＝8＞0 表示圆； 对于 C：D2＋E2－4F＝0 不表示圆； 对于 D：D2＋E2－4F＝0 不表示圆． 答案 B
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规律方法
两种方法本质上是一致的，解答本例法二较为简
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即 E－D＋F＋2＝0② 3E＋D＋F＋10＝0③ D＝－4， 联立①②③，解得E＝0， F＝－6. ∴所求圆的方程为 x2＋y2－4x－6＝0.
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规律方法
一般地，若已知圆上两个点或三个点的坐标时，可
设圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 由已 知条件求出待定系数 D，E，F.