经济控制论 第五章 经济系统的能控性与能观测性 46页
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现代控制理论
定理3.4 对于n阶连续时间线性定常系统 x=Ax+Bu y=Cx+Du
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
19
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
19
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
控制系统的能控性与能观性
▪ 一个系统的传递函数阵所表示的是该系统 既能控又能观的那一部分子系统（卡尔曼吉伯特定理）。
系统能控性与能观性的对偶关系
▪ 卡尔曼对偶原理
若有两系统 x1 A1x1 B1u1 x2 A2x2 B2u2
y1 C1x1
y2 C2x2
满足条件 A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
▪ 例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性
2 1 3 2 5 4
[B
AB
A2
B]
1
1
2
2
4
4
-1 -1 -2 -2 -4 -4
▪ 系统的能控矩阵M的秩等于2，即rankM=2，所 以系统是不完全能控的。
▪ 3. 通过系统的输入和状态矢量间的传递函数来判别 系统的能控性
▪ 例：（1）
4 5 5
x
1
0
1
1
x
0 b2
u;
y
c1
c2 x
画出模拟结构图
（3-2）
u b2
x1
c1
1
x2
c2
y
2
u b2
x2
1
c2
x1 c1
y
1
▪ 由图可以看出: (3-1) 的系统模拟结构 图中状态变量 x1 是一个与 u(t) 无任 何联系的孤立部分，也就是说 x1 不 受 u(t)的控制，因此，x1 是不能控的。 尽管 x2受到的 u(t) 控制，但整个系统仍
( An1)T CT T
CAn1
满秩，即RankN=n。
1 1 0 x 2 1 x 1 u
y 1 0 x
N
C CA
1 0
1 1
rankN=2，满秩，系统是能观的。
系统能控性与能观性的对偶关系
▪ 卡尔曼对偶原理
若有两系统 x1 A1x1 B1u1 x2 A2x2 B2u2
y1 C1x1
y2 C2x2
满足条件 A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
▪ 例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性
2 1 3 2 5 4
[B
AB
A2
B]
1
1
2
2
4
4
-1 -1 -2 -2 -4 -4
▪ 系统的能控矩阵M的秩等于2，即rankM=2，所 以系统是不完全能控的。
▪ 3. 通过系统的输入和状态矢量间的传递函数来判别 系统的能控性
▪ 例：（1）
4 5 5
x
1
0
1
1
x
0 b2
u;
y
c1
c2 x
画出模拟结构图
（3-2）
u b2
x1
c1
1
x2
c2
y
2
u b2
x2
1
c2
x1 c1
y
1
▪ 由图可以看出: (3-1) 的系统模拟结构 图中状态变量 x1 是一个与 u(t) 无任 何联系的孤立部分，也就是说 x1 不 受 u(t)的控制，因此，x1 是不能控的。 尽管 x2受到的 u(t) 控制，但整个系统仍
( An1)T CT T
CAn1
满秩，即RankN=n。
1 1 0 x 2 1 x 1 u
y 1 0 x
N
C CA
1 0
1 1
rankN=2，满秩，系统是能观的。
控制系统的能控性和能观测性
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能 控的。 4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。
x(0) e Aτ Bu( τ ) d τ
0
t1
（3）
5）当系统中存在不依赖于 u(t ) 的确定性干扰 f (t ) 时，f (t ) 不会改 变系统的能控性。 Ax Bu f (t ) x （4）
定理3-2 （2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下 面的n×nr 维能控性矩阵满秩。
QC [ B AB
A2 B An1 B]
（6）
（7）
rankQC n
证明
应用凯-哈定理，有
e Aτ a0 ( τ ) I a1 ( τ )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA an1 ( τ ) An-1 ai ( τ ) Ai
上式代入（3）式
n 1 i 0
x(0) A B ai ( τ )u( τ ) d τ
i t1 i 0 0
n 1
（8）
βi1 β t1 i2 a ( τ ) u ( τ ) d τ i 0 i βir
(i 0,1,, n 1)
定理3-7 状态在时刻 t 0 能控的充分必要条件是存在一个有限时 间 t1 t0 ，使得以下格拉姆矩阵非奇异。
WC [t0 , t1 ] (t0 , t ) B(t ) BT (t ) T (t0 , t ) d t
t0
t1
（14）
定义：M k 1 (t ) A(t ) M k (t ) d M k (t )
0 7 2 x 0 u （1） x 5 1 0 9 0 7 0 1 （2） x 4 0u x 5 1 0 7 5
能控性与能观性分析
Chapter3能控性与能观性现代控制理论中，用状态空间方法描述系统，将系统的的输出输入关系分成两部分，一部分是系统的控制输入对状态的影响，由状态方程描述；另一部分是系统输出与状态的关系，由输出方程描述。
1960年，Kalman 根据“控制输入对状态的影响”首先提出了系统状态的能控性问题，根据“输出与状态的关系”提出了系统状态的能观性问题。
能控性：输入)(t u 能否通过“状态方程”引起系统任一状态)(t x i 的变化)(t xi ？能控性描述通过输入)(t u 对系统状态)(t x 的控制能力；能观性：系统任一状态)(t x i 的变化能否通过“输出方程”引起输出)(t y 的变化？或者由输出)(t y 的变化能否通过“输出方程”确定系统所有状态变量)(t xi ，能观性描述通过输出)(t y 对系统状态)(t x 的测辨能力。
3.1 系统的能控性 3.1.1 能控性的定义和性质系统能控性定义：在初始时刻0t t =时，对系统施加控制)(t u 使系统状态)(t x 发生变化，并且输出)(t y ,)()()()()(t u t B t x t A t x+= ，)()()(t x t C t y =，0t t ≥图3-1 能控性与能达性如果在有限时间a t t t ≤≤0内存在容许（满足∞<⎰at t t t u 0d )(2）的控制向量)(t u ，能使此系统从不为0的初始状态)(0t x 转移到0终态0)(=a t x ，则称状态)(t x 在),(0a t t 上是能控的，或称在时刻0t 上是能控的。
若对系统状态的任一元素均能满足上述条件，则称系统在],[0a t t 上是完全能控（简称能控）的。
而由0初态0)(0=t x ，在时间],[0a t t 内转移到任意不为0的终态0)(≠f t x 称为能达性；对于线性定常系统，能控必能达，能达必能控，二者等价。
（参见图3-1 ） 系统能控性的基本性质：状态方程的解 ⎰Φ+Φ=tt u B t x t t t x 0d )()(),(),()(00ττττ （3-1）根据定义，若状态向量是能控的，则存在容许控制)(t u ，使0d )()(),(),()(000=Φ+Φ=⎰at t a a a u B t x t t t x ττττ由此可反解出 ⎰ΦΦ-=-at t a a u B t t t t x 0d )()(),(),()(010ττττ),(01t t a -Φ与积分变量τ无关，可以放到积分号下⎰ΦΦ-=-at t a a u B t t t t x 0d )()(),(),()(010ττττ),(),(001a a t t t t Φ=Φ-（反演性），),(),(),(00ττt t t t a a Φ=ΦΦ（传递性）⎰⎰Φ-=ΦΦ-=aat t t t a a u B t u B t t t t x 0d )()(),(d )()(),(),()(000ττττττττ对线性定常系统，)(0e),(ττ-=Φt A a t上式可写成⎰⋅-=-at t t A u B t x 00d )(e )()(0τττ （3-2）3.1.2 能控性判据将τA e-写成有限和形式∑-=-=1)(n k k k A A eτατ代入（3-2）式可得kaat k n k k t A u B A u B x βτττταττ=-=-⎰∑⎰-=⋅-=]d )()([d )(e1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---=∑11011)...(n n k n k k B A AB BB A ββββ若系统能控，上式就有解，所以对任意向量0x ，其充要条件是能控矩阵满秩。
现代控制理论-第5章 线性控制系统的可控性和可观测性
V(x)必有一个二次型矩阵与之对应，同理，一个实对
称矩阵必有一个二次型函数。
3.赛尔维斯特准则：二次型函数V(x)正定的充要条件 是：二次型矩阵P的主、子行列式的值为正；若二次 型矩阵P的主、子行列式的值非负，则V(x)半正定。
例题.证明V(x)为正定函数
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
x1
x1 )
x2 (
g L
sin
x1 )
g L
( sin
x1
x2 )
0
p11 p12 p1n x1
V (x) xT px x1
x2
xn
p12 p22 p2n
x2
pn1
pn2
pnn
xn
2.二次型矩阵： P为二次型矩阵。一个二次型函数
x2 (x1 x2 ) x1x2
解： （1）求xe
(2)设V(x)
(x1 x2 ) x22 0 (x1 x2 ) x1x2 0 x1 x2 0
(3)求 V (x)
V (x) x12 x22
V (x) 2x1 x1 2x2 x2 2(x1 x2 )2
4 p12 1
p12 1/ 4
p11 3 p12 2 p22 0
p11 5 / 4
2 p12 6 p22 1
p22 1/ 4
4 1
P
能控和能观标准型
能控性和能观性
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要 的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最 优控制和最优估计的设计基础。
能观性针对的是系统状态空间模型中的状态x的能 观测性，它反映系统的内部状态x（通常是不可以 直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直 接测量的）所反映的能力。
能控Ⅰ 型
0 1 0
A
0
0 1
2 9 0
能观Ⅱ型
0 b 0
1
C 3 2 1
0 1 2
0 0 2
A~ 1 0
9
0 1 0
b~
3 2
0 1
C~ 0
0
1
1 2
A~ AT b~ C T C~ b T
能控Ⅰ型 ( AbC )与能观Ⅱ型 ( A~b~C~)相对偶
能观Ⅰ型 ( A~b~C~)与能控Ⅱ 型 ( AbC ) 相对偶
b
Tc11b
0
1
(3 72)
C CTc1 0 1 n1 (3 73)
式(3 71)中的a0 , a1 an1是系统特征多项式
I
A
n
a n1 n1
a1
a0
的各项系数。
也可由 W (s) C(sI A)1 B 2 s2 1s 0
s3 a2s2 a1s a0
就称系统不能控。
若在有限时间[t0, tf]内,通过改变u，能使x,由初
态 x(t0)＝0转移到终态x(tf)为任意值，则称系统状
态完全能达。
x2
x(tf)
x(t0) 0
x1
x3
2.能观性定义
在有限的时间段[t0，tf ]内, 通过观测 y能唯 一确定系统全部初始状态 x(t0)，则称系统是状 态完全能观测的。
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要 的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最 优控制和最优估计的设计基础。
能观性针对的是系统状态空间模型中的状态x的能 观测性，它反映系统的内部状态x（通常是不可以 直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直 接测量的）所反映的能力。
能控Ⅰ 型
0 1 0
A
0
0 1
2 9 0
能观Ⅱ型
0 b 0
1
C 3 2 1
0 1 2
0 0 2
A~ 1 0
9
0 1 0
b~
3 2
0 1
C~ 0
0
1
1 2
A~ AT b~ C T C~ b T
能控Ⅰ型 ( AbC )与能观Ⅱ型 ( A~b~C~)相对偶
能观Ⅰ型 ( A~b~C~)与能控Ⅱ 型 ( AbC ) 相对偶
b
Tc11b
0
1
(3 72)
C CTc1 0 1 n1 (3 73)
式(3 71)中的a0 , a1 an1是系统特征多项式
I
A
n
a n1 n1
a1
a0
的各项系数。
也可由 W (s) C(sI A)1 B 2 s2 1s 0
s3 a2s2 a1s a0
就称系统不能控。
若在有限时间[t0, tf]内,通过改变u，能使x,由初
态 x(t0)＝0转移到终态x(tf)为任意值，则称系统状
态完全能达。
x2
x(tf)
x(t0) 0
x1
x3
2.能观性定义
在有限的时间段[t0，tf ]内, 通过观测 y能唯 一确定系统全部初始状态 x(t0)，则称系统是状 态完全能观测的。
现代控制理论能控性和能观测性
I A1
B
I A
B f
(3-21)
式中B 为元素埏是I A的伴随矩阵。方程(3-21)两端右 乘 I A得：
BI A f I
(3-22)
由于 B 的元素 I A代数余子式，均为 n 1 次多项式，
故据矩阵加法运算规则，可将其分解为n个矩阵之和：
B
B n1 n1
B n2 n2
Bn1 I
Bn2 Bn1A an1I
Bn3 Bn2A an2I
M
B0 B1A a1I
B0A a0I
Bn1An An
Bn2An1 Bn1An an1An1
Bn3An2 Bn2An1 an2An2 M
0 1 M 1 －2 M 2 3
S2 G2 G2 L 2G2 0 0 M 0 1 0 M 0
0 M 0 0 1 M 1 －2
显见出现全零行，rankS2 2 3 ，故不能控。
多输入系统能控阵 S2，其行数小于列数，在计算列写能控阵时， 若有显时见可通过矩计S阵2算的秩为Sn的2，秩S便T2 是不否必为把n来判矩断S阵2多的输所入有系列统都的写能出控。性。 这只是需因计为算，一当次n阶非行奇列S异式2 时即，可确定能必S控非2 性奇ST2，异但，在而计算 为S方2 S阵T2 ，
系统矩阵 的阶数，或系统特征方程的阶次数。
以上研究假定了终态 x 0 0。若令终态为任意给定状态xn
则方程(3-2)变为：
n 1
nx 0 x n n1igu i
i0
(3-9)
方程两端左乘 n ，有
x 0－nx n 1g 2g L
u0
ng
u 1
M
u n 1
(3-10)
线性控制系统的能控性和能观性
x2
0
5
0
x2
4
0u
完全能控
下页 末页
x3 0 0 1 x3 7 5
结束
电气与新能源学院
2019/12/17
电子笔
10
（5） x1 7 0 0 x1 0 0
自 动 控 制
x2
动 控
系统 X AX X (t0) X0 y CX
制 理 论
如果对任意给定的输入u，在有限的观测时间 t f t0 ，使
得根据[t0 ,t f ] 期间的输出y（t）能唯一地确定系统在初始
时刻的状态 x(t0 ) ，则称状态 x(t0 ) 是能观测的。若每一
个状态都是能观测的，则称系统是完全能观测的。
如果存在一个分段连续的输入u（t），能在有限的时间区
间 [t0,t f ] 内，使系统由某一初始状态x(t0 )转移到指定的
任一终端状态x(t f ) ，则称此状态是能控的。若系统的所
有状态都是能控的，则系统是状态完全能控的。
几点说明：
1）系统的初始状态X0，可以是状态空间中任意非零的有
首页
限点，终端状态X(tf)为状态空间的原点。
0 0
0 0 0 1
1 2 u 0 0
能控
首页 上页 下页
（9）
x1 x2
4
0
1 4
0
x1 1 0 1 0 0 2
x2
0
0
2 u
0
0
4
末页 结束
控制论 能控性和能观测性
t0
=e
A ( t 2 −t1 )
[e
A ( t1 −t 0 )
x0 + ∫ e A(t1 −τ ) Bu1 (τ )dτ ]
t0
t1
=0
于是对 x1 (t 0 ), x 2 (t 0 ) ∈ K ,取 u = u (t ) + u 2 (t ) ，便有
x1 (t 2 ) + x2 (t 2 ) = e A( t2 −t0 ) ( x1 (0) + x2 (0)) + ∫ e A( t2 −τ ) B (u (τ ) + u 2 (τ ) dτ )
证明：⇒ 充分性，反证法。假定 rankQC = n ，但系统不能控，那么由前 面得讨论知，对任意 t1 > 0,
W (t1 ,0) 总是奇异的。注意到
T T
W (t1 ,0) = e
At1
( ∫ e − Aτ BB T e − A t dτ )e A t
0
t1
可知（ e At 非奇异） ，
− Aτ T −A t ∫ e BB e dτ
t0
−
t1
由此可知
ξ = ∫ Φ (t1 ,τ ) B(τ )u0 (τ )dτ
t0
t1
上式两端左乘 ξ T ,有
ξ
2
= ξ ξ = ∫ ξ T Φ (t1 ,τ )B(τ )u0 (τ )dτ = 0
T t0
t1
即 ξ = 0 ，矛盾。 W (t1 , t 0 ) 非奇异。 注： ( A(t ), B(t )) 能控性与否取决于 W (t1 , t 0 ) 的非奇异性，故 W (t , t 0 ) 称为能控矩 阵。
引理 设 得
f ( s ) 是一首一多项式，A 是一个方阵，若存在一个非零向量 v 使
=e
A ( t 2 −t1 )
[e
A ( t1 −t 0 )
x0 + ∫ e A(t1 −τ ) Bu1 (τ )dτ ]
t0
t1
=0
于是对 x1 (t 0 ), x 2 (t 0 ) ∈ K ,取 u = u (t ) + u 2 (t ) ，便有
x1 (t 2 ) + x2 (t 2 ) = e A( t2 −t0 ) ( x1 (0) + x2 (0)) + ∫ e A( t2 −τ ) B (u (τ ) + u 2 (τ ) dτ )
证明：⇒ 充分性，反证法。假定 rankQC = n ，但系统不能控，那么由前 面得讨论知，对任意 t1 > 0,
W (t1 ,0) 总是奇异的。注意到
T T
W (t1 ,0) = e
At1
( ∫ e − Aτ BB T e − A t dτ )e A t
0
t1
可知（ e At 非奇异） ，
− Aτ T −A t ∫ e BB e dτ
t0
−
t1
由此可知
ξ = ∫ Φ (t1 ,τ ) B(τ )u0 (τ )dτ
t0
t1
上式两端左乘 ξ T ,有
ξ
2
= ξ ξ = ∫ ξ T Φ (t1 ,τ )B(τ )u0 (τ )dτ = 0
T t0
t1
即 ξ = 0 ，矛盾。 W (t1 , t 0 ) 非奇异。 注： ( A(t ), B(t )) 能控性与否取决于 W (t1 , t 0 ) 的非奇异性，故 W (t , t 0 ) 称为能控矩 阵。
引理 设 得
f ( s ) 是一首一多项式，A 是一个方阵，若存在一个非零向量 v 使
第五章能控性、能观性与传递函数
故
⎡ A22 (⎢ ⎣ 0
A24 ⎤ , [ C2 ⎥ A44 ⎦
C4 ]) 能观。
(5.1.15)
17
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解 最后证明 ( A22 , B2 , C2 ) 能控能观。根据
得
⎡ sI n1 − A11 rank ⎢ ⎢ ⎣ 0
− A12 sI n2 − A22
2
ˆ ˆ n −1 , , CA 0 C4 ]
0 C2 A24 + C4 A44 ] ⎡ A22 A24 ⎤ [C2 A22 C2 A24 + C4 A44 ] = [C2 C4 ] ⎢ 0 A ⎥ ⎣ 44 ⎦ ˆ ˆ 2 = CA ˆˆ⋅A ˆ = ⎡0 C A 2 0 C A A + (C A + C A ) A ⎤ CA 2 22 2 22 24 2 24 4 44 44 ⎦ ⎣
n −1
⎡ A11 ⎢0 ⎣
⎡ A11 ⎢0 ⎣
A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢B ⎥ A22 ⎥ ⎦⎣ 2⎦
A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢B ⎥ A22 ⎥ ⎦⎣ 2⎦
⎡ A11 ⎢0 ⎣
⎡ A11 ⎢0 ⎣
A12 ⎤ ⎥ A13 ⎦
A12 ⎤ 1 ⎥ A13 ⎦
⎡ B1 ⎤ ⎤ ⎢B ⎥⎥ ⎣ 2 ⎦⎥ ⎦
n1 + n2 = rank ⎡ ⎣B
AB
An −1 B ⎤ ⎦
⎡ ⎡ B1 ⎤ ⎡ A11 A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 A ⎥ ⎢B ⎥ = rank ⎢ ⎢ B 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎢ 0 0 ⎣
ˆ B = rank ⎡ ⎣
ˆˆ AB
ˆ n −1 B ˆ⎤ A ⎦
现代控制工程-第5章能控性和能观性分析
23
5.3 线性定常系统的能观性
S的能控阵为 rankSc rank B
rankSc rank PB
rankPB rankPB
变换为 S： x A x B u
AB A2 B An1 B
PA 2 P 1 PB PA n 1 P 1 PB
PA P 1 PB PA B AB
PA 2 B PA n 1 B A 2 B A n 1 B
11
5.2.2 能控性判别准则
能控性判别准则：线性定常（连续、离散）系统状态完全能控的 充分必要条件是，由A，B构成的能控性判别矩阵满秩。即
rankSc rank B
AB
A2 B
An1 B n
例5.1 判别下列系统的能控性。
2 1 2 0 x 0 2 0 x 0 u 1 1 3 3
1 x 0
0 2 x Bu n
B
阵不包含元素全为零的行。
18
5.2.3 能控性第二判别准则
上述定理在判别对角线标准型状态方程的能控性时尤为简单。 例如，容易判别下面四个系统的能控性。
1) 0 7 0 2 x 0 5 0 x 5 u 0 7 0 1
解: 因为
rankSc 1 rank0 0
1 1 1 B AB A 2 B rank0 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 2 2 rank0 2 2 3 n 0 0 2 2 4
首要问题是从输出中能否估计出状态？——系统的能观测性 问题。
5.3 线性定常系统的能观性
S的能控阵为 rankSc rank B
rankSc rank PB
rankPB rankPB
变换为 S： x A x B u
AB A2 B An1 B
PA 2 P 1 PB PA n 1 P 1 PB
PA P 1 PB PA B AB
PA 2 B PA n 1 B A 2 B A n 1 B
11
5.2.2 能控性判别准则
能控性判别准则：线性定常（连续、离散）系统状态完全能控的 充分必要条件是，由A，B构成的能控性判别矩阵满秩。即
rankSc rank B
AB
A2 B
An1 B n
例5.1 判别下列系统的能控性。
2 1 2 0 x 0 2 0 x 0 u 1 1 3 3
1 x 0
0 2 x Bu n
B
阵不包含元素全为零的行。
18
5.2.3 能控性第二判别准则
上述定理在判别对角线标准型状态方程的能控性时尤为简单。 例如，容易判别下面四个系统的能控性。
1) 0 7 0 2 x 0 5 0 x 5 u 0 7 0 1
解: 因为
rankSc 1 rank0 0
1 1 1 B AB A 2 B rank0 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 2 2 rank0 2 2 3 n 0 0 2 2 4
首要问题是从输出中能否估计出状态？——系统的能观测性 问题。
第五章 经济系统的能控性与能观测性PPT课件
行平衡方程：X(k)=Ax(k)+I(k)+C(k)
资产投资使固定资产增加
在第k年 固定资产 Bx(k) 在第k＋1年 固定资产 Bx(k+1) 假设不考虑固定资产折旧，则有，
Bx(k+1)=Bx(k)+I(k)
资本存量
资本增量
x(k)=Ax(k)+I(k)+C(k) (1)
Bx(k+1)=Bx(k)+I(k)
约翰.梅纳德.凯恩斯
凯恩斯 对国家干 预政策的 理论和实 践做出了 杰出贡献。
讨论:
重建经济系统 改造经济系统
第四节
投入产出系统的 能控性与能观性
科学家背景介绍
➢列昂节夫，美国经 济 学 家 ， 1936 年 《美国经济系统中 的投入与产出的数 量关系》。在西方 国家得到了广泛应 用。 ➢1973年，诺贝尔奖 ➢中国1976年开始编 制 我 国 61 类 产 品 的 投入产出表。
x(k1)Ax(k)Bu(k) y(k)C(xk)
讨论：
通过对经济系统 的分解，理解了 子系统的可控性 与可观性。
系统可控，每个子系统可控。 系统可观，每个子系统可观。
注意：对于一个系统而言，由于分解 方法的不同，其结果也可能不同。
改革是多方法、多途径的。
二、能控性问题
研究能否用调整政策的方法使经 济系统达到预先设定的目标。系统 的控制输入对系统的状态能产生多 大影响。
1、状态能控的判定（定理5.1.1）
x(k1)A(xk)B(uk) y( kC ) (xk), x(0)x0 状态能控的充分必要条件：
ran(PkN)n
P N[BA BA n 1B ]
PN 称能控性矩阵。
资产投资使固定资产增加
在第k年 固定资产 Bx(k) 在第k＋1年 固定资产 Bx(k+1) 假设不考虑固定资产折旧，则有，
Bx(k+1)=Bx(k)+I(k)
资本存量
资本增量
x(k)=Ax(k)+I(k)+C(k) (1)
Bx(k+1)=Bx(k)+I(k)
约翰.梅纳德.凯恩斯
凯恩斯 对国家干 预政策的 理论和实 践做出了 杰出贡献。
讨论:
重建经济系统 改造经济系统
第四节
投入产出系统的 能控性与能观性
科学家背景介绍
➢列昂节夫，美国经 济 学 家 ， 1936 年 《美国经济系统中 的投入与产出的数 量关系》。在西方 国家得到了广泛应 用。 ➢1973年，诺贝尔奖 ➢中国1976年开始编 制 我 国 61 类 产 品 的 投入产出表。
x(k1)Ax(k)Bu(k) y(k)C(xk)
讨论：
通过对经济系统 的分解，理解了 子系统的可控性 与可观性。
系统可控，每个子系统可控。 系统可观，每个子系统可观。
注意：对于一个系统而言，由于分解 方法的不同，其结果也可能不同。
改革是多方法、多途径的。
二、能控性问题
研究能否用调整政策的方法使经 济系统达到预先设定的目标。系统 的控制输入对系统的状态能产生多 大影响。
1、状态能控的判定（定理5.1.1）
x(k1)A(xk)B(uk) y( kC ) (xk), x(0)x0 状态能控的充分必要条件：
ran(PkN)n
P N[BA BA n 1B ]
PN 称能控性矩阵。
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